En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 1 (PCSI) : Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.
La définition d'un oscillateur « non linéaire » n'est pas explicitée dans le programme de physique de P.C.S.I. mais sa tentative de linéarisation y est clairement indiquée et il semble difficile de chercher à linéariser un oscillateur « non linéaire » sans définir ce dernier correctement ;
dans tout ce paragraphe on note le paramètre de position même si celui-ci est angulaire.
1ère définition d'un oscillateur « non linéaire » au voisinage d'un équilibre stable
Définition d'un oscillateur « non linéaire » en termes d'équation différentielle
Un point est un oscillateur « non linéaire » à une dimension au voisinage d'un équilibre stable Un point est un oscillateur « non linéaire » si sa position, repérée par le paramètre de position , Un point est un oscillateur « non linéaire » si sa position, est solution d'une équation différentielle du 2ème ordre non linéaire du type Un point est un oscillateur « non linéaire » si sa position, est solution d'une «» avec Un point est un oscillateur « non linéaire » si sa position, est solution d'une «» et Un point est un oscillateur « non linéaire » si sa position, est solution d'une « une fonction réelle de , non linéaire, s'annulant pour paramètre de position repérant l'équilibre, et de forme telle que cet équilibre soit stable » [1] ; Un point est un oscillateur « non linéaire » si sa position, est solution d'une si l'oscillateur est dit « non amorti ».
2ème définition d'un oscillateur « non linéaire » au voisinage d'un équilibre stable
Définition d'un oscillateur « non linéaire » en termes de profil d'énergie potentielle
Un point est un oscillateur « non linéaire » à une dimension au voisinage d'un équilibre stable Un point est un oscillateur « non linéaire » si son diagramme d'énergie potentielle relativement au paramètre de position Un point est un oscillateur « non linéaire » si son diagramme d'énergie potentielle est un puits [2]non parabolique, présentant un minimum en paramètre de position repérant l'équilibre stable [3],[4], Un point est un oscillateur « non linéaire » étant éventuellement soumis à une force de frottement fluide linéaire ; Un point est un oscillateur « non linéaire » en absence de force de frottement fluide linéaire, l'oscillateur est dit « non amorti » et Un point est un oscillateur « non linéaire » en absence de force de frottement fluide linéaire, est à mouvement conservatif.
Cas d'un équilibre stable tel que le D.L. de la force « motrice » à l'ordre le plus bas non nul soit linéaire (et de rappel), approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire
Point matériel à un degré de liberté soumis à une résultante de force « motrice » (hors frottement fluide) non linéaire « unidirectionnelle selon l'axe x'x » (ou « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force ») dont le mouvement est étudié au voisinage d'un équilibre stable, oscillateur non linéaire au voisinage de cet équilibre
Considérons un point matériel [5], de masse , soumis à une résultante de force « motrice » [6]hors frottement fluide non linéaire telle que
le mouvement du point soit unidirectionnel selon l'axe correspondant à une résultante de force « motrice » [6]hors frottement fluide étant non linéaire ou
la trajectoire du point soit circulaire, de centre pôle du repérage polaire et de rayon , correspondant à une résultante de force « motrice » [6]hors frottement fluide\; tangentielle étant non linéaire et
Considérons une position d'équilibre stable d'abscisse linéaire si le mouvement du point matériel est unidirectionnel selon l'axe ou Considérons une position d'équilibre stable d'abscisse angulaire si le mouvement du point matériel est circulaire de centre et de rayon ,
on se propose d'établir l'équation différentielle du 2ème ordre en ou en pour vérifier que le point matériel satisfait bien à la 1ère définition d'un oscillateur « non linéaire » et on se propose d'établir l'expression de ou en .
Pour cela on applique la r.f.d.n. [7] au point matériel , dont les forces suivant la direction du mouvement sont la résultante de force « motrice » [6]hors frottement fluide et éventuellement Pour cela on applique la r.f.d.n. au point matériel , dont les forces suivant la direction du mouvement sont la résistance à l'avancement de dans le fluide [8] supposée linéaire [9] Pour cela on applique la r.f.d.n. au point matériel , dont les forces suivant la direction du mouvement sont la résistance à l'avancement avec et
Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel selon l'axe , ou, Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel en normalisant «», Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel s'identifiant à «» avec Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel s'identifiant à «» et Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel s'identifiant à «» fonction vérifiant bien Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel les propriétés nécessaires à un oscillateur « non linéaire » Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel les propriétés nécessaires au voisinage de en effet Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel et Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel le D.L. [10] de au voisinage de est, Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel le D.L. de à l'ordre le plus bas non nul : Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel si , l'ordre le plus bas non nul est un et Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel «» avec Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel la stabilité nécessitant [11] Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel «» Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel avec «» ou Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel si , , l'ordre Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel si , le plus bas non nul est trois, Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel «» avec Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel la stabilité nécessitant [11] Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel «» Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel avec et Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement c.-à-d. sur dans le cas où est de mouvement unidirectionnel avec «»,
Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire de centre et de rayon , Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire ou, en normalisant «»,
s'identifiant à Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire ou, en normalisant «» avec Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire ou, en normalisant «» et «» Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire ou, en normalisant «» et fonction vérifiant bien Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire les propriétés nécessaires à un oscillateur « non linéaire » Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire les propriétés nécessaires au voisinage de en effet Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire et Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire le D.L. [10] de au voisinage de est, Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire le D.L. de à l'ordre le plus bas non nul : Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire si , l'ordre le plus bas non nul est un et Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire «» avec Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire la stabilité nécessitant [12] Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire «» Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire avec «» ou Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire si , , l'ordre Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire si , le plus bas non nul est trois, Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire «» avec Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire la stabilité nécessitant [12] Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire «» Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou. sur dans le cas où est de mouvement circulaire avec et Pour cela on obtient, en la projetant sur la direction du mouvement ou sur dans le cas où est de mouvement circulaire avec «».
Cas d'une force « motrice » « unidirectionnelle selon l'axe x'x » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul au voisinage de l'équilibre stable est linéaire
Nous sommes dans le cas «» c.-à-d. «», l'ordre le plus bas non nul du D.L. [10] de la force « motrice » [6] au voisinage de l'équilibre stable est « un » Nous sommes dans le cas «» c.-à-d. «», soit, en notant «» et , le D.L. [10] de Nous sommes dans le cas «» c.-à-d. «», la force « motrice » [6] au voisinage de l'équilibre stable «» [13] Nous sommes dans le cas «» c.-à-d. «», la force « motrice » avec «» assurant le caractère force « de rappel » et Nous sommes dans le cas «» c.-à-d. «», la fonction caractérisant l'oscillateur « non linéaire » dans «» au Nous sommes dans le cas «» c.-à-d. «», voisinage de son équilibre stable «» [14] avec Nous sommes dans le cas «» c.-à-d. «», ou «» où .
L'équation différentielle en au voisinage de plus précisément en au voisinage de est «» [15],[16] avec ,
L'équation différentielle en au voisinage de plus précisément en au voisinage de est le cœfficient de caractérise un oscillateur harmonique amorti ou non[17], L'équation différentielle en au voisinage de plus précisément en au voisinage de est le D.L. [10] à l'ordre un en définissant l'« approximation harmonique L'équation différentielle en au voisinage de plus précisément en au voisinage de est le D.L. à l'ordre un en définissant l'« de l'oscillateur non linéaire ».
Nous en déduisons la « pulsation propre des petites élongations[18]» ; Nous en déduisons en absence de frottement fluide [17] l'oscillateur non amorti oscille sinusoïdalement avec une « période propre des petites élongations[18]».
Cas d'une force « motrice » « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul au voisinage de l'équilibre stable est linéaire
Nous sommes dans le cas «» c.-à-d. «», l'ordre le plus bas non nul du D.L. [10] de la force « motrice » [6] au voisinage de l'équilibre stable est « un » Nous sommes dans le cas «» c.-à-d. «», soit, en notant «» et , le D.L. [10] de Nous sommes dans le cas «» c.-à-d. «», la force « motrice » [6] au voisinage de l'équilibre stable «» [13] Nous sommes dans le cas «» c.-à-d. «», la force « motrice » avec «» assurant le caractère force « de rappel » et Nous sommes dans le cas «» c.-à-d. «», la fonction caractérisant l'oscillateur « non linéaire » dans «» au Nous sommes dans le cas «» c.-à-d. «», voisinage de son équilibre stable «» [19] avec Nous sommes dans le cas «» c.-à-d. «», ou «» où .
L'équation différentielle en au voisinage de plus précisément en au voisinage de est «» [15],[16] avec ,
L'équation différentielle en au voisinage de plus précisément en au voisinage de est le cœfficient de caractérise un oscillateur harmonique amorti ou non[17], L'équation différentielle en au voisinage de plus précisément en au voisinage de est le D.L. [10] à l'ordre un en définissant l'« approximation harmonique L'équation différentielle en au voisinage de plus précisément en au voisinage de est le D.L. à l'ordre un en définissant l'« de l'oscillateur non linéaire ».
Nous en déduisons la « pulsation propre des petites élongations[18]» ; Nous en déduisons en absence de frottement fluide [17] l'oscillateur non amorti oscille sinusoïdalement avec une « période propre des petites élongations[18]».
Cas d'un équilibre stable tel que le D.L. de l'énergie potentielle à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro ait, pour diagramme, un « puits parabolique », approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire
Point matériel à un degré de liberté soumis à une résultante de force « motrice » (hors frottement fluide) conservative « dérivant » d'une énergie potentielle non parabolique « U(M) = U(x) » ou « U(M) = U(θ) » dont le mouvement est étudié au voisinage d'un équilibre stable, oscillateur non linéaire au voisinage de cet équilibre
Considérons un point matériel [5], de masse , soumis à une résultante de force « motrice » [6]hors frottement fluide non linéaire conservative telle que
le mouvement du point soit unidirectionnel selon l'axe correspondant à une résultante de force « motrice » [6]hors frottement fluide dérivant de l'énergie potentielle , primitive de , étant non parabolique ou
la trajectoire du point soit circulaire, de centre pôle du repérage polaire et de rayon , correspondant à une résultante de force « motrice » [6]hors frottement fluide\; tangentielle dérivant de l'énergie potentielle , primitive de , étant non parabolique et
Considérons une position d'équilibre stable d'abscisse linéaire si le mouvement du point matériel est unidirectionnel selon l'axe ou Considérons une position d'équilibre stable d'abscisse angulaire si le mouvement du point matériel est circulaire de centre et de rayon ,
on se propose de vérifier que le point matériel satisfait bien à la 2ème définition d'un oscillateur « non linéaire ».
Pour cela il suffit de constater que le diagramme d'énergie potentielle du point matériel au voisinage de la position d'équilibre est un puits [2]non parabolique, c.-à-d. Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale la nature « non parabolique » étant dans les hypothèses de mouvement du point matériel , Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale la stationnarité découlant d'une définition de la position d'équilibre et Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale le caractère minimal, de la stabilité de cette dernière, plus précisément :
Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale si le mouvement de est unidirectionnel selon l'axe , l'abscisse linéaire de la position d'équilibre Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale étant solution de où stationnaire en et Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale l'équilibre étant stable «» avec c.-à-d. «» Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale l'équilibre étant stable y assurant le caractère minimal de [20] ou Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale l'équilibre étant stable «, et » avec Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale l'équilibre étant stable «, et » Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale l'équilibre étant stable y assurant le caractère minimal de [20] ;
Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale si le mouvement de est circulaire de centre et de rayon , l'abscisse angulaire de la position Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale d'équilibre étant solution de où Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale d'équilibre étant solution de où stationnaire en et Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale l'équilibre étant stable «» avec c.-à-d. «» Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale l'équilibre étant stable y assurant le caractère minimal de [21] ou Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale l'équilibre étant stable «, et » avec Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale l'équilibre étant stable « et » y assurant Pour cela il suffit de constater que l'énergie potentielle y est stationnaire et minimale l'équilibre étant stable le caractère minimal de [21].
En conclusion, le point matériel soumis à une résultante de force « motrice » [6]hors frottement fluide conservative « dérivant » d'une énergie potentielle non parabolique «» ou «» dont le mouvement est étudié au voisinage d'un équilibre stable est effectivement un oscillateur « non linéaire » au voisinage de cet équilibre l'éventuelle résistance à l'avancement dans le fluide [8] étant supposée linéaire.
Cas d'une force « motrice » « unidirectionnelle selon l'axe x'x » dérivant de l'énergie potentielle « U(M) = U(x) » dont le D.L. à l’ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l’équilibre stable est parabolique
Nous sommes dans le cas «» la nature parabolique du profil énergétique autour de l'équilibre stable repéré par son abscisse , avec [22] Nous sommes dans le cas «» la nature parabolique du profil énergétique autour de l'équilibre stable repéré par son abscisse , mais a priori [23],
Nous sommes dans le cas «» l'ordre le plus bas non nul [24] du D.L. [10] de l'énergie potentielle dont dérive la force « motrice » [6]hors frottement fluide au voisinage de Nous sommes dans le cas «» l'ordre le plus bas non nul du D.L. de l'énergie potentielle est « deux » Nous sommes dans le cas «» soit, en notant «», le D.L. [10] de au voisinage de ou D.L. [10] de en fonction de au voisinage de Nous sommes dans le cas «» soit, en notant «», le D.L. de est «» [25] avec Nous sommes dans le cas «» soit, en notant «», le D.L. de est «» « minimale » en la position d'équilibre étudiée [3].
L'équation différentielle en au voisinage de plus précisément en au voisinage de est «» [15],[16] avec ,
L'équation différentielle en au voisinage de plus précisément en au voisinage de est le cœfficient de caractérise un oscillateur harmonique amorti ou non[17], L'équation différentielle en au voisinage de plus précisément en au voisinage de est le D.L. [10] à l'ordre un en définissant l'« approximation harmonique L'équation différentielle en au voisinage de plus précisément en au voisinage de est le D.L. à l'ordre un en définissant l'« de l'oscillateur non linéaire ».
Nous en déduisons la « pulsation propre des petites élongations[18]» ; Nous en déduisons en absence de frottement fluide [17] l'oscillateur non amorti oscille sinusoïdalement avec une « période propre des petites élongations[18]».
L'énergie cinétique du point matériel de masse s'écrivant, à l'instant , selon ou encore, avec , selon , nous en déduisons l'expression approchée de l'énergie mécanique du point matériel au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse [26]
à l'ordre deux en ;
on peut alors définir la « pulsation propre des petites élongations[18]» ce qui permet de réécrire l'expression approchée de l'énergie mécanique du point matériel [26] selon à l'ordre deux en d'où :
en absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1ère énergétique suivie par l'oscillateur non amorti correspondant à la conservation de l'énergie mécanique soit le D.L. [10] à l'ordre deux en suivant avec [27], D.L. [10] définissant l'« approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire (et non amorti) » sous sa forme énergétique oscillations sinusoïdales avec une « période propre des petites élongations[18]», son amplitude d'oscillations se déterminant à l'aide de son énergie mécanique initiale par ;
en présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1ère énergétique doit être remplacée par le résultat de l'application à l'oscillateur amorti du théorème de la puissance mécanique à savoir avec d'où, avec à l'ordre deux en , l'équation différentielle approchée du 2ème ordre en de l'oscillateur amorti après simplification par non identiquement nulle, soit encore, après normalisation, [28], D.L. [10] à l'ordre un en [29] définissant l'« approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire (et amorti) » après application du théorème énergétique.
Cas d'une force « motrice » « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force » dérivant de l'énergie potentielle « U(M) = U(θ) » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l'équilibre stable est parabolique
Nous sommes donc dans le cas caractérisant la nature parabolique autour d'un équilibre stable avec étant l'abscisse angulaire de la position d'équilibre étudiée mais a priori sauf si sa référence est choisie en cette position d'équilibre, l'ordre le plus bas non nul autre que zéro du D.L. [10] de l'énergie potentielle dont dérive la force « motrice » [6] (hors frottement fluide) au voisinage de l'équilibre stable est donc « deux » soit, en notant , le D.L. [10] de au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire s'écrit selon
[25] avec assurant le caractère « minimal » de l'énergie potentielle en la position d'équilibre étudiée.
L'énergie cinétique du point matériel de masse s'écrivant, à l'instant , selon ou, avec , selon , nous en déduisons l'expression approchée de l'énergie mécanique du point matériel au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire [30]
à l'ordre deux en ;
on peut alors définir la « pulsation propre des petites élongations[18]» ce qui permet de réécrire l'expression approchée de l'énergie mécanique du point matériel [30] selon à l'ordre deux en d'où :
en absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1ère énergétique suivie par l'oscillateur non amorti correspondant à la conservation de l'énergie mécanique soit le D.L. [10] à l'ordre deux en suivant avec [27], D.L. [10] définissant l'« approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire (et non amorti) » sous forme énergétique oscillations sinusoïdales avec une « période propre des petites élongations[18]», son amplitude d'oscillations se déterminant à l'aide de son énergie mécanique initiale par ;
en présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1ère énergétique doit être remplacée par le résultat de l'application à l'oscillateur amorti du théorème de la puissance mécanique à savoir avec d'où, avec à l'ordre deux en , l'équation différentielle approchée du 2ème ordre en de l'oscillateur amorti après simplification par non identiquement nulle, soit encore, après normalisation, [28], D.L. [10] à l'ordre un en [29] définissant l'« approximation harmonique de l'oscillateur non linéaire (et amorti) » après application du théorème énergétique.
Cas d'un équilibre stable tel que le D.L. de la force « motrice » à l'ordre le plus bas non nul soit non linéaire (et de rappel), approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire
Cas d'une force « motrice » « unidirectionnelle selon l'axe x'x » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul au voisinage de l'équilibre stable est non linéaire
Nous sommes donc dans le cas , et , c.-à-d. encore , et , l'ordre le plus bas non nul du D.L. [10] de la force « motrice » [6] au voisinage de l'équilibre stable est donc « trois » soit, en notant et ,
le D.L. [10] de la force « motrice » [6] au voisinage de l'équilibre stable s'écrit selon
[13] avec assurant le caractère force « de rappel » et
celui de la fonction caractérisant l'oscillateur « non linéaire » dans son équation différentielle du 2ème ordre au voisinage de son équilibre stable selon [14] avec ou avec .
L'équation différentielle en au voisinage de ou plus précisément en au voisinage de s'écrit alors
le cœfficient de caractérise alors un oscillateur harmonique amorti ou non amorti si , le D.L. [10] à l'ordre trois en définissant dans ce cas l'« approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire ».
Cas d'une force « motrice » « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul au voisinage de l'équilibre stable est non linéaire
Nous sommes donc dans le cas , et , c.-à-d. encore , et , l'ordre le plus bas non nul du D.L. [10] de la force « motrice » [6] au voisinage de l'équilibre stable est donc « trois » soit, en notant et ,
le D.L. [10] de la force « motrice » [6] au voisinage de l'équilibre stable s'écrit selon
[13] avec assurant le caractère force « de rappel » et
celui de la fonction caractérisant l'oscillateur « non linéaire » dans son équation différentielle du 2ème ordre au voisinage de son équilibre stable selon [19] avec ou avec .
L'équation différentielle en au voisinage de ou plus précisément en au voisinage de s'écrit alors
le cœfficient de caractérise alors un oscillateur harmonique amorti ou non amorti si , le D.L. [10] à l'ordre trois en définissant dans ce cas l'« approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire ».
Cas d'un équilibre stable tel que le D.L. de l'énergie potentielle à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro ait, pour diagramme, un « puits non parabolique », approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire, utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour déterminer la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements, expression intégrale de la période de ces derniers
Cas d'une force « motrice » « unidirectionnelle selon l'axe x'x » dérivant de l'énergie potentielle « U(M) = U(x) » dont le D.L. à l’ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l’équilibre stable est non parabolique
Nous sommes donc dans le cas étant l'abscisse de la position d'équilibre stable étudiée, ainsi que usuellement réalisé dans le cas d'une nature non parabolique autour d'un équilibre stable, mais a priori sauf si sa référence est choisie en cette position d'équilibre, l'ordre le plus bas non nul autre que zéro du D.L. [10] de l'énergie potentielle dont dérive la force « motrice » [6] (hors frottement fluide) au voisinage de l'équilibre stable est donc « quatre » soit, en notant , le D.L. [10] de au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse s'écrit selon
[25] avec assurant le caractère « minimal » de l'énergie potentielle en la position d'équilibre étudiée.
L'énergie cinétique du point matériel de masse s'écrivant, à l'instant , selon ou encore, avec , selon , nous en déduisons l'expression approchée de l'énergie mécanique du point matériel au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse [33]
à l'ordre quatre en ;
suivant l'absence ou la présence de frottement fluide linéaire on obtient les conséquences suivantes :
en présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1ère énergétique doit être remplacée par le résultat de l'application à l'oscillateur amorti du théorème de la puissance mécanique à savoir avec d'où, avec à l'ordre quatre en , sa dérivation temporelle conduisant à , l'équation différentielle approchée du 2ème ordre en de l'oscillateur amorti s'écrit, après simplification par non identiquement nulle, selon soit encore, après transposition dans un même membre de gauche et normalisation, [28], D.L. [10] à l'ordre trois en [34] définissant l'« approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire (et amorti) » après application du théorème énergétique.
Cas d'une force « motrice » « s'appliquant tangentiellement sur la trajectoire circulaire de rayon R décrite par le point subissant la force » dérivant de l'énergie potentielle « U(M) = U(θ) » dont le D.L. à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro au voisinage de l'équilibre stable est non parabolique
Nous sommes donc dans le cas étant l'abscisse angulaire de la position d'équilibre stable étudiée, ainsi que usuellement réalisé dans le cas d'une nature non parabolique autour d'un équilibre stable, mais a priori sauf si sa référence est choisie en cette position d'équilibre, l'ordre le plus bas non nul autre que zéro du D.L. [10] de l'énergie potentielle dont dérive la force « motrice » [6] (hors frottement fluide) au voisinage de l'équilibre stable est donc « quatre » soit, en notant , le D.L. [10] de au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire s'écrit selon
[25] avec assurant le caractère « minimal » de l'énergie potentielle en la position d'équilibre étudiée.
L'énergie cinétique du point matériel de masse s'écrivant, à l'instant , selon ou, avec , selon , nous en déduisons l'expression approchée de l'énergie mécanique du point matériel au voisinage de l'équilibre stable d'abscisse angulaire [35]
à l'ordre quatre en ;
suivant l'absence ou la présence de frottement fluide linéaire on obtient les conséquences suivantes :
en présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1ère énergétique doit être remplacée par le résultat de l'application à l'oscillateur amorti du théorème de la puissance mécanique à savoir avec d'où, avec à l'ordre quatre en , sa dérivation temporelle conduisant à , l'équation différentielle approchée du 2ème ordre en de l'oscillateur amorti s'écrit, après simplification par non identiquement nulle, selon soit encore, après transposition dans un même membre de gauche et normalisation, [28], D.L. [10] à l'ordre trois en [34] définissant l'« approximation anharmonique de l'oscillateur non linéaire (et amorti) » après application du théorème énergétique.
Établissement de la nature oscillatoire puis périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations
Établissement de la nature oscillatoire des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti)
En absence de frottement fluide, il existe une intégrale 1ère énergétique suivie par l'oscillateur non linéaire et non amorti dans son approximation anharmonique des petits mouvements [18] autour de la position d'équilibre stable d'abscisse ou d'abscisse angulaire correspondant à la conservation de l'énergie mécanique soit le D.L. [10] à l'ordre quatre en suivant avec [27]ou, si la trajectoire de est circulaire de rayon avec comme paramètre de position, avec l'énergie mécanique initiale [27] ;
En absence de frottement fluide, pour établir la nature oscillatoire des petits mouvements [18] de l'oscillateur non linéaire et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée on trace le diagramme d'énergies potentielle et mécanique correspondant voir ci-dessous à savoir, sur un même repère d'abscisses ou d'abscisses angulaires et d'ordonnées l'énergie potentielle ou l'énergie mécanique ,
la courbe d'énergie potentielle , ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée avec ou ensemble des points d'abscisse angulaire et d'ordonnée avec et
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) au voisinage d'une position d'équilibre stable autour de laquelle l'approximation des petits mouvements [18] est anharmonique
la courbe d'énergie mécanique , ensemble des points d'abscisse et d'ordonnée avec [27]ou ensemble des points d'abscisse angulaire et d'ordonnée avec [27] ;
En absence de frottement fluide, constatant l'existence de deux murs d'énergie potentielle situés symétriquement l'un de l'autre relativement à l'abscisse d'équilibre ou à l'abscisse angulaire d'équilibre nous en déduisons que la trajectoire de est « cinétiquement bornée » correspondant à un « état lié » et assurant un mouvement « oscillatoire » sur l'intervalle ou un mouvement « oscillatoire » sur l'intervalle .
Établissement de la nature périodique des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire (non amorti) et expression intégrale de la période des petites oscillations
Pour déterminer la nature périodique des petits mouvements [18] de l'oscillateur « non linéaire » et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée, on utilise simultanément son intégrale 1ère énergétique et son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, de façon à montrer que la durée correspondant au nème aller-retour des points et sur et de est indépendant du numéro de l'aller-retour :
par intégrale 1ère énergétique avec [27] et dans laquelle et ou, si la trajectoire de est circulaire de rayon avec comme paramètre de position, [27] et avec et , on tire [36] soit finalement l'expression de la durée élémentaire correspondant à une variation élémentaire de l'écart d'abscisse relativement à du point selon [37],[36]ou [37],[36], puis
par diagramme d'énergies potentielle et mécanique on fait le choix entre et suivant le sens de déplacement des points et dans la cuvette (ou puits) d'énergie potentielle soit math>\;\succ\;</math>pour le nème aller des points et de à , d'où correspondant à est , ce qui permet de déduire [37], la durée totale du nème aller s'obtenant par intégration de à soit [38]ou, par intégration de à soit [38] ainsi que pour le nème retour des points et de à , d'où correspondant à est , ce qui permet de déduire [37], la durée totale du nème retour s'obtenant par intégration de à soit [38]ou, par intégration de à soit [38] d'où la durée de la nème oscillation du point , soit finalement [38]ou, si la trajectoire de est circulaire de rayon avec comme paramètre de position, [38] indépendante de la fonction à intégrer et les bornes d'intégration en étant indépendantes, ce qui établit la nature périodique des petits mouvements [18] de l'oscillateur « non linéaire » et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée.
La période des petits mouvements [18] de l'oscillateur « non linéaire » et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée étant la durée d'un aller-retour quelconque des points et de à en passant par s'écrit, sous forme intégrale, selon [38],[39] ou, avec dont on tire , la réécriture de la période des petits mouvements [18] de l'oscillateur « non linéaire » et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée selon
[38] ou, si la trajectoire de est circulaire de rayon avec comme paramètre de position, [38].
Remarque : Il y a « absence d'isochronisme » des petits mouvements [18] de l'oscillateur « non linéaire » et non amorti dans son approximation anharmonique autour de la position d'équilibre stable étudiée car sa période dépend effectivement de l'amplitude ou , en effet, si on effectue le changement de variable ou , on obtient soit encore ou établissant que la période est plus précisément inversement proportionnelle à l'amplitude d'oscillations.
Remarque : L'intégrale généralisée n'est pas algébriquement calculable avec les fonctions usuelles, on utilise un logiciel de calcul comme Scilab[40] pour l'évaluer numériquement et on trouve [41] d'où ou, si la trajectoire de est circulaire de rayon avec comme paramètre de position, .
Établissement de la nature pseudo-oscillatoire des petits mouvements au voisinage d'un équilibre stable dans l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire faiblement amorti
En présence de frottement fluide linéaire, l'intégrale 1ère énergétique devant être remplacée par le résultat de l'application du théorème de la puissance mécanique à l'oscillateur amorti dans l'approximation anharmonique de ses petits mouvements [18] autour de la position d'équilibre stable étudiée, cette application conduit à l'équation différentielle non linéaire du 2ème ordre en l'écart de l'abscisse de relativement à sa position d'équilibre stable [42],
cette équation n'ayant pas de solution algébrique utilisant les fonctions usuelles sollicite une résolution numérique par utilisation d'un logiciel de calcul comme Scilab[40], résolution faite de façon à tracer la courbe d'énergie mécanique du diagramme d'énergies potentielle et mécanique de l'oscillateur « non linéaire » faiblement amorti, dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements autour de la position d'équilibre stable étudiée dont l'expression numérique de l'équation différentielle du 2ème ordre en ou en est associé à ou correspondant à et conduisant au diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-dessous [43] :
Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un oscillateur non linéaire faiblement amorti au voisinage d'une position d'équilibre stable autour de laquelle l'approximation des petits mouvements [18] est anharmonique
on y observe des allers-retours des points et , respectivement sur et , entre des murs d’énergie potentielle de plus en plus proches de la position d'équilibre stable caractérisant
une trajectoire (cinétiquement) bornée de l'oscillateur « non linéaire » faiblement amorti dans l'approximation anharmonique de ses petits mouvements [18] autour de la position d'équilibre stable ainsi que
des pseudo-oscillations (non sinusoïdales) dont la pseudo-amplitude étant la valeur absolue de la différence entre l'abscisse du mur d'énergie potentielle considéré et celle de la position d'équilibre est effectivement une fonction du temps dont la limite au bout d'une durée théoriquement infinie est nulle.
Remarque : sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre, on constate que la de la pseudo-amplitude est d'autant plus prononcée que l'abscisse du mur de l'énergie potentielle considéré est proche de celle de la position d'équilibre stable, ceci étant dû à la forme de la cuvette d'énergie potentielle non parabolique [44].
Approche numérique : utiliser les résultats fournis par une méthode numérique pour mettre en évidence des effets non linéaires
But recherché : Il s'agit d'observer les effets non linéaires dans les petits mouvements [18] d'un oscillateur « non linéaire » (amorti ou non) autour d'une position d'équilibre stable, l'approximation des petits mouvements [18] dans le voisinage de cette dernière devant être anharmonique [45] ;
But recherché : nous allons rappeler, dans le prochain paragraphe, l'observation des effets non linéaires dans les mouvements non petits [46] d'un oscillateur « non linéaire » (non amorti) autour d'une position d'équilibre stable sur l'exemple du P.P.S.N.A. à un degré de liberté, de façon à visualiser ces effets non linéaires que nous retrouverons dans les petits mouvements [18] d'un oscillateur « non linéaire » (non amorti) autour d'une position d'équilibre stable si l'approximation des petits mouvements [18] dans le voisinage de cette dernière est anharmonique.
Rappel : effets non linéaires d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté écarté de sa position d'équilibre stable d'un écart non petit et lâché sans vitesse initiale
Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de position d'un pendule pesant simple lâché sans vitesse angulaire initiale avec un écart angulaire initial par rapport à sa position d'équilibre stable de
Commentaires : Il est très difficile sur le diagramme horaire de position ci-contre d'observer que la fonction « élongation angulaire » n'est pas sinusoïdale et pourtant elle ne l'est pas
Commentaires : Par contre sur le diagramme horaire de vitesse ci-dessous à gauche on observe nettement que la fonction « vitesse angulaire » n’est pas sinusoïdale elle est plus proche d'une fonction triangulaire et cela implique que la fonction primitive « élongation angulaire » n'est pas non plus sinusoïdale.
Commentaires : On observe aussi une légère déformation du portrait de phase ci-dessous à droite relativement à celui des « petites élongations angulaires » [47]lequel, rappelons-le, est une ellipse centrée au point origine et ayant pour axes les axes du repère, la courbe gardant les propriétés de fermeture, de symétrie centrale relativement au point origine et d'antisymétries axiales relativement aux axes du repère.
Tracé, obtenu par intégration numérique, du diagramme horaire de vitesse d'un pendule pesant simple lâché sans vitesse angulaire initiale avec un écart angulaire initial par rapport à sa position d'équilibre stable de Tracé, obtenu par intégration numérique, du portrait de phase d'un pendule pesant simple lâché sans vitesse angulaire initiale avec une élongation angulaire initiale relativement à sa position d'équilibre stable de
Résolution numérique d'un oscillateur « non linéaire » (amorti ou non) dans le cadre de petits mouvements autour d'une position d'équilibre stable correspondant à une approximation anharmonique et observations des effets non linéaires
L'équation différentielle d'un oscillateur « non linéaire » non amorti dans l'approximation anharmonique de ses petits mouvements [18] autour de la position d'équilibre stable étudiée, équation du 2ème ordre en l'écart de l'abscisse de relativement à sa position d'équilibre stable en considérant [42] s'écrivant
Tracé du diagramme de position d'un oscillateur non linéaire non amorti unidirectionnel selon l'axe x'x dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements [18] autour de la position d'équilibre stable d'abscisse xéq. st.Tracé du diagramme de vitesse d'un oscillateur non linéaire non amorti unidirectionnel selon l'axe x'x dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements [18] autour de la position d'équilibre stable d'abscisse xéq. st.Tracé du portrait de phase d'un oscillateur non linéaire non amorti unidirectionnel selon l'axe x'x dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements [18] autour de la position d'équilibre stable d'abscisse xéq. st.
nous nous intéressons uniquement à l'oscillateur « non linéaire » unidirectionnel selon l'axe d'équation différentielle avec [48] dans laquelle soit ou, en écrivant l'équation différentielle en ,
l'équation différentielle sous forme réduite suivante ;
la résolution numérique par utilisation du logiciel de calcul Scilab [40] est présentée ci-dessous avec pour C.I. [49] et , les lignes de programme étant
Effets non linéaires des petits mouvements [18] de l'approximation anharmonique d'un oscillateur non linéaire non amorti (et comparaison avec les effets non linéaires d'un oscillateur non linéaire non amorti avec écart non petit relativement à sa position d'équilibre stable) : on constate
que le diagramme de position est plus nettement triangularisé que celui avec écart non petit,
que le diagramme de vitesse qui était assez nettement triangularisé dans le cas d'un écart non petit est ici plus proche d'un signal trapézoïdal [50] et
que le portrait de phase est plus nettement rectangularisé que celui avec écart non petit.
Tracé du diagramme de position d'un oscillateur non linéaire faiblement amorti unidirectionnel selon l'axe x'x dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements [18] autour de la position d'équilibre stable d'abscisse xéq. st.Tracé du diagramme de vitesse d'un oscillateur non linéaire faiblement amorti unidirectionnel selon l'axe x'x dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements [18] autour de la position d'équilibre stable d'abscisse xéq. st.
ci-dessous les lignes de programme de Scilab [40] pour résoudre numériquement cette équation avec les mêmes C.I. [49] et , de façon à tracer successivement les diagrammes de position, de vitesse, le portrait de phase et le diagramme d'énergies potentielle et mécanique
1ères observations sur les diagrammes de position et de vitesse : en plus des effets non linéaires déjà constatés sur l'approximation anharmonique des petits mouvements [18] d'un oscillateur « non linéaire » non amorti autour de la position d'équilibre stable étudiée, on observe, pour un oscillateur « non linéaire » amorti, que le mouvement devient pseudo_oscillatoire par amortissement des oscillations mais qu'il n'est pas pseudo-périodique la durée d'une pseudo-oscillation étant d'autant plus grande que la pseudo-amplitude diminue
Tracé du portrait de phase d'un oscillateur non linéaire faiblement amorti unidirectionnel selon l'axe x'x dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements [18] autour de la position d'équilibre stable d'abscisse xéq. st.
pour tracer le portrait de phase ci-contre
drawlater
clf()
plot(x1,v1);
drawnow
1ères observations sur le portrait de phase : en plus des effets non linéaires déjà constatés sur l'approximation anharmonique des petits mouvements [18] d'un oscillateur « non linéaire » non amorti autour de la position d'équilibre stable étudiée, on observe, pour un oscillateur « non linéaire » amorti, que le portrait de phase ne se ferme plus le point générique spirale dans le sens horaire [51] avec le point comme point asymptote et que la valeur absolue de la vitesse n'est plus maximale au passage par la position d'équilibre mais assez nettement avant pratiquement au milieu de l'intervalle quand et au milieu de l'intervalle quand , et étant respectivement la pseudo-amplitude de droite et de gauche lors de la nème pseudo-oscillation
Tracé du diagramme d' énergies potentielle et mécanique d'un oscillateur non linéaire faiblement amorti unidirectionnel selon l'axe x'x dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements [18] autour de la position d'équilibre stable d'abscisse xéq. st.
pour tracer le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre
drawlater
clf()
Em=1/2*v1^2 + x1^4;
x=[-1:0.1:+1]
plot(x1, Em, "r", x, x^4, "b");
drawnow
commentaires sur les lignes de programme nécessaires au tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique : l'énergie mécanique définie par compte-tenu du choix de la référence de l'énergie potentielle en la position d'équilibre stable étudiée se réécrit en introduisant , soit numériquement ou, avec car et , l'expression de l'énergie mécanique réduite
↑ Le puits ou la cuvette est « non parabolique » mais le développement limité à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro de l'énergie potentielle au voisinage de l'équilibre stable peut être et le plus souvent est « parabolique ».
↑ 5,0 et 5,1 On rappelle que le caractère « matériel » du point n'est pas indispensable à l'une ou l'autre définition d'un oscillateur non linéaire, ce caractère n'existant pas, par exemple, dans le domaine de l'électricité, mais ici nous nous limitons au domaine de la mécanique et par conséquent le point ayant, en mécanique newtonienne, effectivement une masse, est matériel.
↑ Ce qui suppose que la vitesse de déplacement de dans le fluide reste faible en accord avec le fait que nous cherchons à obtenir des oscillations, donc une succession de points d'arrêt avec changement de sens du mouvement, ce qui limite évidemment la norme des vitesses.
↑ 13,013,113,2 et 13,3 On rappelle qu'un équilibre est défini par nullité de la force « motrice ».
↑ 14,0 et 14,1 On rappelle que d'où le lien des valeurs des deux fonctions ou des dérivées de même ordre de ces deux fonctions pour .
↑ 15,015,115,215,3 et 15,4 Ayant fait un D.L. à l'ordre le plus bas non nul de on devrait noter mais l'usage veut que l'on écrive dans les équations différentielles obtenues par D.L., le signe étant alors réservé pour la recherche de solutions approchées de l'équation différentielle.
↑ 16,016,1 et 16,2 Nous avons supposé que le point matériel subissait une résistance à l'avancement dans le fluide l'entourant de type linéaire avec .
↑ 25,025,125,2 et 25,3 On rappelle qu'un équilibre est défini par « stationnarité » de l'énergie potentielle.
↑ 26,0 et 26,1 C'est aussi le D.L. à l'ordre deux de l'énergie mécanique du point matériel dans la mesure où ce dernier est un oscillateur, ceci entraînant que étant alors d'amplitude ou de pseudo-amplitude proportionnelle à celle de définie comme infiniment petit d'ordre un, l'énergie cinétique de , à savoir , est un infiniment petit d'ordre deux.
↑ 27,0027,0127,0227,0327,0427,0527,0627,0727,08 et 27,09 La vitesse initiale étant telle que l'oscillateur non linéaire non amorti reste dans le cadre des petits mouvements, soit encore, telle que son amplitude reste petite.
↑ 28,028,128,228,328,428,528,6 et 28,7 Ayant dérivé un D.L. à l'ordre le plus bas non nul autre que zéro de on devrait noter mais l'usage veut que l'on écrive dans les équations différentielles obtenues par D.L., le signe étant alors réservé pour la recherche de solutions approchées de l'équation différentielle.
↑ 29,0 et 29,1 Le passage de l'ordre deux à l'ordre un résultant de la simplification par l'infiniment petit d'ordre un .
↑ 30,0 et 30,1 C'est aussi le D.L. à l'ordre deux de l'énergie mécanique du point matériel dans la mesure où ce dernier est un oscillateur, ceci entraînant que étant alors d'amplitude ou de pseudo-amplitude proportionnelle à celle de définie comme infiniment petit d'ordre un, l'énergie cinétique de , à savoir , est un infiniment petit d'ordre deux.
↑ On rappelle que l'on peut obtenir l'intégrale 1ère énergétique d'un oscillateur non amorti à partir de son équation différentielle du 2ème ordre en son écart avec sa position d'équilibre stable en multipliant les deux membres de l'équation différentielle par et en intégrant entre l'instant initial et l'instant quelconque d'où, partant de qui s'intègre en ou encore, avec et multiplication des deux membres par , l'intégrale 1ère énergétique suivante .
↑ On rappelle que l'on peut obtenir l'intégrale 1ère énergétique d'un oscillateur non amorti à partir de son équation différentielle du 2ème ordre en son écart avec sa position d'équilibre stable en multipliant les deux membres de l'équation différentielle par et en intégrant entre l'instant initial et l'instant quelconque d'où, partant de qui s'intègre en ou encore, avec et multiplication des deux membres par , l'intégrale 1ère énergétique suivante .
↑ C'est aussi le D.L. à l'ordre quatre de l'énergie mécanique du point matériel dans la mesure où ce dernier est un oscillateur, ceci entraînant que étant alors d'amplitude ou de pseudo-amplitude proportionnelle à celle de définie comme infiniment petit d'ordre un, l'énergie cinétique de , à savoir , est un infiniment petit d'ordre deux.
↑ 34,0 et 34,1 Le passage de l'ordre quatre à l'ordre trois résultant de la simplification par l'infiniment petit d'ordre un .
↑ C'est aussi le D.L. à l'ordre quatre de l'énergie mécanique du point matériel dans la mesure où ce dernier est un oscillateur, ceci entraînant que étant alors d'amplitude ou de pseudo-amplitude proportionnelle à celle de définie comme infiniment petit d'ordre un, l'énergie cinétique de , à savoir , est un infiniment petit d'ordre deux.
↑ 36,036,1 et 36,2 Le choix entre et dépend du sens de variation de la variable de position ou, ce qui revient au même, du sens de déplacement de et sur et .
↑ 37,037,137,2 et 37,3 Cette expression n'étant définie que si ou, dans le cas où la trajectoire de est circulaire de rayon avec comme paramètre de position, si ; dans le cas où est égale à ou la nullité du dénominateur nécessite un numérateur également nul pour assurer une forme indéterminée permettant une valeur de non infinie, correspondant alors à un état stationnaire de plus précisément l'une ou l'autre des bornes de l'intervalle de variation de pour laquelle la vitesse est effectivement nulle, la levée de la forme indéterminée non exposée car nécessitant l'explicitation de l'énergie potentielleou conduisant à la valeur infiniment petite .
↑ 40,040,140,240,3 et 40,4 La version utilisée étant Scilab, Scilab étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.
↑ Ci-dessous les deux lignes de programme par Scilab (la réponse du logiciel de calcul étant donnée en rouge) : function y = f(u) ; y = 1/sqrt(1-u^4) ; endfunction T = integrate('f(u)' , 'u' , 0 , 1)............T = 1.3110288.
↑ Tracé en considérant un oscillateur « non linéaire » faiblement amorti , dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements autour de la position d'équilibre stable d'abscisse l'origine de l'axe ayant été choisie en la position d'équilibre stable, la référence de l'énergie potentielle ayant été choisie en la position d'équilibre stable ; le cas d'un oscillateur « non linéaire » faiblement amorti , dans le cadre de l'approximation anharmonique de ses petits mouvements autour de la position d'équilibre stable d'abscisse angulaire l'origine des abscisses angulaires choisie en la position d'équilibre stable, avec la référence de l'énergie potentielle également choisie en la position d'équilibre stable n'est pas traité car il se déduit sans difficulté à partir du cas précédent.
↑ Cette cuvette non parabolique en ayant un plus grand méplat au voisinage du sommet qu'une cuvette parabolique en .
↑ Car, si l'approximation était harmonique, cela correspondrait à une linéarisation de l'oscillateur « non linéaire » dans le cadre des petits mouvements, linéarisation évidemment sans effets non linéaires.
↑ Bien que les mouvements non petits autour d'une position d'équilibre stable ne soit pas l'objet de ce chapitre.
↑ On devrait dire « petites valeurs absolues d'élongations angulaires » mais personne ne le fait par abus de langage, toutefois il faut se souvenir qu'une grandeur petite relativement à une autre grandeur positive doit nécessairement être positive pour que cette affirmation est une signification
↑ L'oscillateur « non linéaire » dans lequel décrit un mouvement circulaire de rayon et de centre , le pôle du repérage polaire du point d'abscisse angulaire , se traitant de la même façon en substituant à et en remplaçant par
![{\displaystyle \;{\ddot {x}}(t)+\alpha \;{\dot {x}}(t)+f\!\left[x(t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea22b160c6e5dad2e8963fb42e28dfd6c3858f9d)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;\theta (t){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b39cd57c31cf7a377dfdfc230e420f109e9cde9)
![{\displaystyle \;f\!\left[x(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d52d5d2ce14ce73fb3dacc6389e1638fc0c1495d)
![{\displaystyle \;f\!\left[\theta (t)\right]{\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79c229c633c573aa6d525a49685d7bcb82e50a3c)
![{\displaystyle \;F\!\left[x(t)\right]-h\;{\dot {x}}(t)=m\;{\ddot {x}}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee7e829922c7bec5aa7190ada9df6af4cca99bbf)
![{\displaystyle \;{\ddot {x}}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {x}}(t)-{\dfrac {F\!\left[x(t)\right]}{m}}=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02753f59c2592067cebd8af37807d59d6674373)
![{\displaystyle \;F\!\left[\theta (t)\right]-h\;R\;{\dot {\theta }}(t)=m\;R\;{\ddot {\theta }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d11d30526f3e3d913871c62ba81a0f74f07c66a)
![{\displaystyle \;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\theta }}(t)-{\dfrac {F\!\left[\theta (t)\right]}{m\;R}}=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55f8a657ad3c0f4c942e0656c11b600a7dad583)
![{\displaystyle \;{\ddot {\theta }}(t)+\alpha \;{\dot {\theta }}(t)+f\!\left[\theta (t)\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74906ea093c922bace6dc7a6e89dd0d8c45dc5ca)
![{\displaystyle \;{\ddot {\varepsilon }}(t)={\ddot {x}}(t){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c66310b8525381c4ebad22e276c90816e42a0bf7)
![{\displaystyle \;0{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5677a6c1f9c8ba724e8a58bb8c12df3aaf196a43)
![{\displaystyle \;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\varepsilon }}(t)+\left[-{\dfrac {F'(x_{\text{éq. st.}})}{m}}\right]\,\varepsilon (t)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265ca3eb0db396ca6f067aa03493b30f9239c3ea)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{0{\big ]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/049026a9336a6a8cc66cd7c30e4ca45df7ef82e2)
![{\displaystyle \;{\ddot {\varepsilon }}(t)={\ddot {\theta }}(t){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a49c25f9d3a3aff5b0e3256edde58e58a124b62)
![{\displaystyle \;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {h}{m\;R}}\;{\dot {\varepsilon }}(t)+\left[-{\dfrac {F'(\theta _{\text{éq. st.}})}{m\;R}}\right]\,\varepsilon (t)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/304f662f7e65b2e7330e796ba9b816f26d19593c)
![{\displaystyle \;M{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ee29e700212816b70e22cc23ed37656d4fe18f3)
![{\displaystyle \;x_{\text{éq. st.}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87771ad31867ea926251877f769c4e8decbbccc2)
![{\displaystyle \;\theta _{\text{éq. st.}}{\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edb6b19207ea2099012ec10173681964bd5c3ced)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;x_{\text{éq. st.}}{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e820d3b09d8867f7a330ca1f2abff4e364bef156)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{x_{\text{éq. st.}}{\big ]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da319287cf6ef1aead8ba1f785777aec803a1ecd)
![{\displaystyle \;E_{m,\,M}(t)\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon ^{2}\!(t)\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158209af704ad693f80121607ff074d2c2dd0219)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon ^{2}\!(t)\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\simeq E_{m,\,M}(0^{+})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a94743476b4df406c56f0637db9db93543c3cbf)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon ^{2}\!(0^{+})\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056f8ee68a10d41ab00e935e793d1795560aeb85)
![{\displaystyle \;X_{m}={\sqrt {\dfrac {2\left[E_{m,\,M}(0^{+})-U(x_{\text{éq. st.}})\right]}{U''(x_{\text{éq. st.}})}}}{\Bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e477592cc4bef3afe1be7a16ef7e597228f488cd)
![{\displaystyle \;{\dfrac {dE_{m,\,M}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}\right]\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4802b00333cb9f07e576ec306dd6feece767ffb5)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}\right]\!(t)=-h\;{\dot {x}}^{2}\!(t)=-h\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfb33f6e35e1a0b9875571d9890925146adbe28)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon ^{2}\!(t)\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad0e5a3e1be6d797821f7761d3d2cdd6c78449d2)
![{\displaystyle \;{\dfrac {dE_{m,\,M}}{dt}}(t)\simeq m\left[{\dot {\varepsilon }}(t)\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon (t)\;{\dot {\varepsilon }}(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0817207d07ceaf6a0e4fcde2db58c6cbc9fc3a0)
![{\displaystyle \;m\left[{\ddot {\varepsilon }}(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon (t)\right]=-h\;{\dot {\varepsilon }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/082648ad576309c4c7292cdae614e71a0b7c4cfb)
![{\displaystyle \;E_{m,\,M}(t)\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon ^{2}\!(t)\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c339c4bfb8390278196880bfe167b82e8455b05)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon ^{2}\!(t)\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\simeq E_{m,\,M}(0^{+})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4e5a4e3c3ad4c937704844c22e8c6caef76bf1)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon ^{2}\!(0^{+})\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8ebee9b09a1fcc6be26aa9e6c136092929a7f4c)
![{\displaystyle \;\theta _{m}={\sqrt {\dfrac {2\left[E_{m,\,M}(0^{+})-U(\theta _{\text{éq. st.}})\right]}{U''(\theta _{\text{éq. st.}})}}}{\Bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0b2b1e830a06eed9cacd5de1f4cfc90d39d8cbc)
![{\displaystyle \;{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}\right]\!(t)=-h\;R^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)=-h\;R^{2}\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765182791fd4f69e0dcb0f7e9481d35be72dc43d)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon ^{2}\!(t)\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c4793d667411f5240111da8cc1593e310cc3142)
![{\displaystyle \;{\dfrac {dE_{m,\,M}}{dt}}(t)\simeq m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}(t)\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon (t)\;{\dot {\varepsilon }}(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3afa962828a7bc3a800453dac3f18e7a8bcd3598)
![{\displaystyle \;m\;R^{2}\left[{\ddot {\varepsilon }}(t)+\omega _{0}^{2}\;\varepsilon (t)\right]=-h\;R^{2}\;{\dot {\varepsilon }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f55085708b0d332b287d10ce86cb8cad0ff8d11)
![{\displaystyle \;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\varepsilon }}(t)+\left[-{\dfrac {F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}\right]\,\varepsilon ^{3}\!(t)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78f1d987a694e8e3253760df96860816ccfa50cc)
![{\displaystyle \;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\varepsilon }}(t)+\left[-{\dfrac {F'''(\theta _{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R}}\right]\,\varepsilon ^{3}\!(t)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ff2f93ad0c36b7a37a4a0f174c5cbbc34aef55b)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\simeq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbd8ea5f7174ba71723fdac12544223a8c8cab5a)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d5681bf3c6b904bb75229c02f213aa07f942770)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{\dfrac {24\left[E_{m,\,M}(0^{+})-U(x_{\text{éq. st.}})\right]}{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}}}{\Bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58e5e747d856ce6da8462f3b71162f486e77d8f)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37479dc1ad4de4c6335d3974faf54adecefbc099)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;m\left[2\;{\dot {\varepsilon }}(t)\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{3\;m}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)\;{\dot {\varepsilon }}(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30eca0d5a3b13a29b57522735a063ac17f5bdf2)
![{\displaystyle \;m\left[{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)\right]=-h\;{\dot {\varepsilon }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d576b46f70fd79730270949cd40638241987dcb)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\simeq }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf864e3e1aa0754cb32875d4d18e99a3be584d7a)
![{\displaystyle \simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1af4679f9cefac2e0eab5726980832bafdcb67c6)
![{\displaystyle {\sqrt[{4}]{\dfrac {24\left[E_{m,\,M}(0^{+})-U(\theta _{\text{éq. st.}})\right]}{U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}}}{\Bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37b394559af134bb92d744ef105c9add4398674f)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/763f177399ebd5e21da8bcb09f7ecb32e804a736)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[2\;{\dot {\varepsilon }}(t)\;{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{3\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)\;{\dot {\varepsilon }}(t)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5eb3a347ac5a5a60cdbf21ba78095f5efe61bef2)
![{\displaystyle \;m\;R^{2}\left[{\ddot {\varepsilon }}(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{3}\!(t)\right]=-h\;R^{2}\;{\dot {\varepsilon }}(t)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dea6cdc757f72579e8597b6c52b5b440b4a1e54e)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\right]+U(x_{\text{éq. st.}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856b928c3559556a4f7c404539e82b619ff897f9)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{4}\!(t)\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\simeq E_{m,\,M}(0^{+})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969be341b8076068419706cc62616dd7c7188b37)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c2f9bde335ee7a1f6224c85467a14a15945fc8)
![{\displaystyle \;E_{m,\,M}(0^{+})\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d356693773bc8d1b75a7833a1c4a63b9f28dd3f9)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48412432f4a8bd44a97c1f5b37c3a3642f459504)
![{\displaystyle \;\left[x_{\text{éq. st.}}-X_{m}\,,\,x_{\text{éq. st.}}+X_{m}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58348cc8cd8321b722269e0f42113f75181913db)
![{\displaystyle \;\left[\theta _{\text{éq. st.}}-\theta _{m}\,,\,\theta _{\text{éq. st.}}+\theta _{m}\right]{\Big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044e08fc518a8d8e2333de516057832aab4def4b)
![{\displaystyle \;E_{m,\,0}\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f4535e41214f17875910233977aa19e1e7eccf)
![{\displaystyle \;E_{m,\,0}\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]+U(\theta _{\text{éq. st.}})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4506e69e56560c05d752a8e2d9b0ceb4a6de0c)
![{\displaystyle {\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\!(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1741096d06e46056acb6e29092cfb4331841e50e)
![{\displaystyle \;{\dot {\varepsilon }}(t)={\dfrac {d\varepsilon }{dt}}(t)\simeq \pm {\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\!(t)\right]}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad2ca006fd17e4acc46ef6d4ec2dab2fb88e5515)
![{\displaystyle \pm {\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\!(t)\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e18a1fd1c7ad95e05f29b847566e43962da8c56)
![{\displaystyle \;dt\simeq \pm {\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\!(t)\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5581a2d9dc68ad7292fa6787402bd949a69e4be2)
![{\displaystyle -{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\!(t)\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd748a71658efa7d26a70bbf1ae8dacc250b657)
![{\displaystyle \displaystyle \int _{X_{m}}^{-X_{m}}-{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d663290d13f5d2a5940455dce746a6b988538dc7)
![{\displaystyle =\displaystyle \int _{-X_{m}}^{X_{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05bee3df2401a2d206923b3e56243c06c655f49b)
![{\displaystyle \;\Delta t_{P_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{1}}\;{\overset {\ldots }{\simeq }}\;\displaystyle \int _{-\theta _{m}}^{\theta _{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d50f1086318b2a4b9709aed5adb713e40d6fc356)
![{\displaystyle {\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\!(t)\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f52a6603e3b32be15c3a472743f477f99fcfe72)
![{\displaystyle \displaystyle \int _{-X_{m}}^{X_{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}=\Delta t_{P_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{1}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2b065d1c1edc3dcdfd4ad1cd9e2370f884d935)
![{\displaystyle \displaystyle \int _{-\theta _{m}}^{\theta _{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}=\Delta t_{P_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{1}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0d3efb7ecbb5ca70c988567ed314085431c3bc3)
![{\displaystyle 2\;\displaystyle \int _{-X_{m}}^{X_{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d9eec4a4f17fff73d4978037621d093814ce03e)
![{\displaystyle \;\Delta t_{P_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{1}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{1}}\simeq 2\;\displaystyle \int _{-\theta _{m}}^{\theta _{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d3041e9b2746446757bf52e1f485a1b0ea3682)
![{\displaystyle \simeq 2\;\displaystyle \int _{-X_{m}}^{X_{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}=4\;\displaystyle \int _{0}^{X_{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc6d87a15610b305a6eee824904e3db1326ebd2f)
![{\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]+U(x_{\text{éq. st.}})=E_{m,\,M}(t_{P_{1}})\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\left[{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\;X_{m}^{\,4}\right]+U(x_{\text{éq. st.}})\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be293a7726b2e2c32311101dad89a77a110badcd)
![{\displaystyle \;{\mathcal {T}}\simeq 4\;\displaystyle \int _{0}^{X_{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[X_{m}^{\,4}-\varepsilon ^{4}\right]}}}=8\;{\sqrt {\dfrac {3\;m}{U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}}}\;\displaystyle \int _{0}^{X_{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {X_{m}^{\,4}-\varepsilon ^{4}}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bc492790b3f17e708e0686a448e648115a9016)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {h}{m}}\!\!&=&\!\!0,1\;s^{-1}\\{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4}{X_{m}^{2}}}\;s^{-2}\cdot m^{-2}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57370e322b3e970032c55b96ec13c0f968ffd109)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {h}{m}}\!\!&=&\!\!0,1\;s^{-1}\\{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{m}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {24}{X_{m}^{2}}}\;s^{-2}\cdot m^{-2}\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5330a45687e06efa090d463602ef195a81439b0d)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {h}{m}}\!\!&=&\!\!0,1\;s^{-1}\\{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R^{2}}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {4}{\theta _{m}^{2}}}\;s^{-2}\end{array}}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cecd125e1a99ceb49edc70ead4965370862e686)
![{\displaystyle \;\left[{\begin{array}{c}{\dfrac {h}{m}}\!\!&=&\!\!0,1\;s^{-1}\\{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{m}}\!\!&=&\!\!{\dfrac {24\;R^{2}}{\theta _{m}^{2}}}\;m^{2}\cdot s^{-2}\end{array}}\right]{\Bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f541fb7d834854fd90e6b4e16b4d027930580ee2)
![{\displaystyle \;\left[0\,,\,X_{m,\,n}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24ad2f41a23d431ebbe696ea6245b302e72fee5)
![{\displaystyle \;\left[-{X'}_{m,\,n}\,,\,0\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8549d98d109d20bf276367e6a74cfd7ca6c6615e)
![{\displaystyle \;E_{m,\,M}(t)=m\left[{\dfrac {1}{2}}\;X_{m}^{2}\;{\dot {\varepsilon '}}^{2}\!(t)+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}\;{\dfrac {X_{m}^{4}}{4}}\;{\varepsilon '}^{4}\!(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b467484d5bf8e4b0cc81c5654fc3342e300f1ae)
![{\displaystyle \;E_{m,\,M}(t)=m\left[{\dfrac {1}{2}}\;X_{m}^{2}\;{\dot {\varepsilon '}}^{2}\!(t)+{\dfrac {4}{X_{m}^{2}}}\;{\dfrac {X_{m}^{4}}{4}}\;{\varepsilon '}^{4}\!(t)\right]=m\;X_{m}^{2}\left[{\dfrac {1}{2}}\;{\dot {\varepsilon '}}^{2}\!(t)+{\varepsilon '}^{4}\!(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00740091bb5597a79ec565105ee4ae65d4de794)
![{\displaystyle \;{\ddot {\varepsilon }}(t)+\left[-{\dfrac {F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}\right]\,\varepsilon ^{3}\!(t)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cc24d703be233a6cbd7acb7ea3101d27a7edec3)
![{\displaystyle \;{\ddot {\varepsilon }}(t)\;{\dot {\varepsilon }}(t)+\left[-{\dfrac {F'''(x_{\text{éq. st.}})}{6\;m}}\right]\,\varepsilon ^{3}\!(t)\;{\dot {\varepsilon }}(t)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f6ed738674afad6aaee855a3344f0d5375c957e)
![{\displaystyle \;{\dfrac {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)}{2}}-{\dfrac {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})}{2}}+\left[-{\dfrac {F'''(x_{\text{éq. st.}})}{24\;m}}\right]\left[\varepsilon ^{4}\!(t)-\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac081bf25b51de92fe09e6833a0ff9c2f93e4eec)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+\left[{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{24}}\right]\varepsilon ^{4}\!(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+\left[{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{24}}\right]\varepsilon ^{4}\!(0^{+})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a1d9b6e3fade71c880cb05a5191c0280a57e5a)
![{\displaystyle \;{\ddot {\varepsilon }}(t)+\left[-{\dfrac {F'''(\theta _{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R}}\right]\,\varepsilon ^{3}\!(t)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e61a255c2cdbde5eb12452402a8aa3a395c1b46)
![{\displaystyle \;{\ddot {\varepsilon }}(t)\;{\dot {\varepsilon }}(t)+\left[-{\dfrac {F'''(\theta _{\text{éq. st.}})}{6\;m\;R}}\right]\,\varepsilon ^{3}\!(t)\;{\dot {\varepsilon }}(t)=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b44fa4192e93baa8ba165dddf287624bc0c2bd2a)
![{\displaystyle \;{\dfrac {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)}{2}}-{\dfrac {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})}{2}}+\left[-{\dfrac {F'''(\theta _{\text{éq. st.}})}{24\;m\;R}}\right]\left[\varepsilon ^{4}\!(t)-\varepsilon ^{4}\!(0^{+})\right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0921464af19a4ec5986e8bd883daf106705bf88)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(t)+\left[{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{24}}\right]\varepsilon ^{4}\!(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;R^{2}\;{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+\left[{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{24}}\right]\varepsilon ^{4}\!(0^{+})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e15cc6c17d79853956ccaba8f9c9a6c40a43a8f)
![{\displaystyle \;(\Gamma _{m}){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a9b6e0fdb397011506c948a26c49baa4f1a0398)
![{\displaystyle {\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\!(t)\right]}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6ab1cb95c718e2ea5e934d18c0180e6f40a86f9)
![{\displaystyle \;{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(\theta _{\text{éq. st.}})}{12\;m\;R^{2}}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\!(t)\right]}}}{\Bigg \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae3eddfd4e3c22bcefe7d966dc6d5e15234753f)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{-X_{m}}^{0}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}=\displaystyle \int _{0}^{X_{m}}{\dfrac {d\varepsilon }{\sqrt {{\dot {\varepsilon }}^{2}\!(0^{+})+{\dfrac {U^{(IV)}(x_{\text{éq. st.}})}{12\;m}}\left[\varepsilon ^{4}\!(0^{+})-\varepsilon ^{4}\right]}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368f52e77c0cbd4e3164418b73cb3557c7daae20)
