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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Intégrales généralisées (ou impropres)
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrales généralisées (ou impropres) », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle
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Rappel : intégrale d'une fonction continue par morceaux sur intervalle fermé (ou “intégrale propre”)
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Revoir le paragraphe « intégrale définie sur un intervalle fermé »[1] du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
Intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie
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Une 1ère intégrale généralisée[2] d'une fonction continue par morceaux
est définie sur l'intervalle ouvert
avec
, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de
quand
soit
Une 1ère intégrale généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[3] ;
on peut définir une autre intégrale généralisée[2] de la fonction continue par morceaux
sur l'intervalle ouvert
avec
, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de
quand
soit
on peut définir une autre intégrale généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[4] ;
enfin on peut définir l'intégrale généralisée[2] de la fonction continue par morceaux
sur l'intervalle ouvert
, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de
quand
et
soit
enfin on peut définir l'intégrale généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[5].
Remarque : Il ne suffit pas que
quand
ou quand
pour que
ou pour que
converge[6],
Remarque : voir deux exemples ci-dessous où
quand
et où la 1ère intégrale diverge alors que la 2ème converge :
Remarque :
1er exemple :
qui
quand
mais pour laquelle
avec
diverge quand
car
Remarque :
1er exemple :
et
;
Remarque :
2nd exemple :
qui
quand
et pour laquelle
avec
converge quand
car
Remarque :
2nd exemple :
et
d'où
.
Intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé à l'exception d'au moins une des bornes pour laquelle la fonction diverge
modifier
Une 2ème intégrale généralisée[2] d'une fonction continue par morceaux
est définie sur l'intervalle fermé
avec
et
non définie en
[7], comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale propre
définie sur l'intervalle ouvert à droite
, limite quand
soit
Une 2ème intégrale généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[8] ;
on peut définir une autre intégrale généralisée[2] de la fonction continue par morceaux
sur l'intervalle fermé
avec
et
non définie en
[9], comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale propre
définie sur l'intervalle ouvert à gauche
, limite quand
soit
on peut définir une autre intégrale généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[8] ;
enfin on peut définir l'intégrale généralisée[2] de la fonction continue par morceaux
sur l'intervalle fermé
avec
,
non définie en
et en
[10], comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de
quand
et
soit
enfin on peut définir l'intégrale généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[8].
Remarque : Le plus souvent
quand
ou
et
admet une primitive
,
Remarque : Le plus souvent
quand
ou
et dans ces conditions l'intégrale convergera si
admet une limite finie ;
Remarque : Le plus souvent
quand
ou
et il convient donc d'effectuer le calcul de l'intégrale « propre » pour conclure :
Remarque : Le plus souvent
quand
ou
suivent deux exemples à conclusions différentes :
Remarque : Le plus souvent
quand
ou
1er exemple :
qui
quand
mais pour laquelle
avec
diverge car
Remarque : Le plus souvent
quand
ou
1er exemple :
l'intégrale propre sur l'intervalle ouvert
avec
s'évalue selon
Remarque : Le plus souvent
quand
ou
1er exemple :
et
;
Remarque : Le plus souvent
quand
ou
2nd exemple :
qui
quand
, pour laquelle
avec
converge car
Remarque : Le plus souvent
quand
ou
2nd exemple :
l'intégrale propre sur l'intervalle ouvert
avec
s'évalue selon
Remarque : Le plus souvent
quand
ou
2nd exemple :
d'une part et
Remarque : Le plus souvent
quand
ou
2nd exemple :
d'autre part d'où
Remarque : Le plus souvent
quand
ou
2nd exemple :
.
Intégrales curvilignes généralisées
modifier
Une intégrale curviligne « propre »[11] se ramenant, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrale « propre » sur un segment, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe « notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle » plus haut dans ce chapitre.
Intégrales curvilignes généralisées sur une courbe d'extension infinie
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L'intégrale curviligne généralisée d'une fonction
continue par morceaux sur une courbe
d'extension infinie
, notée
, converge si l'intégrale curviligne « propre » sur la courbe
dont l'extension
est finie, «
»[11] admet une limite finie quand
en suivant la courbe
et cette limite définit
soit
L'intégrale curviligne généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[12] ;
on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée de la fonction
continue par morceaux sur la courbe
d'extension infinie
, notée
, comme la limite, dans la mesure où elle existe et est finie, de «
»[11] quand
en suivant la courbe
soit
on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[13] ;
enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée de la fonction
continue par morceaux sur la courbe
d'extension infinie
, notée
, comme la limite, dans la mesure où elle existe et est finie, de «
»[11] quand
et
en suivant la courbe
soit
enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[14].
Intégrales curvilignes généralisées sur une courbe d'extension finie d'une fonction divergeant en une de ses extrémités
modifier
L'intégrale curviligne généralisée d'une fonction
continue par morceaux sur une courbe
d'extension finie
avec
non définie en
extrémité droite de l'arc[15], intégrale curviligne généralisée notée
, est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «
»[11] définie sur l'arc ouvert à droite
,
étant sur
avant
, limite quand
en restant sur
soit
L'intégrale curviligne généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[16] ;
on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée de la fonction
continue par morceaux sur la courbe
d'extension finie
avec
non définie en
extrémité gauche de l'arc[17], intégrale curviligne généralisée notée
,
on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée selon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «
»[11] définie sur l'arc ouvert à gauche
,
étant sur
après
, limite quand
en restant sur
soit
on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[16] ;
enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée de la fonction
continue par morceaux sur la courbe
d'extension finie
avec
non définie en
et
[18], intégrale curviligne généralisée notée
,
enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée selon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «
»[11] définie sur l'arc ouvert aux deux extrémités
,
étant sur
après
et
sur
avant
, limite quand
et
en restant sur
soit
enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[16].
Intégrales surfaciques généralisées
modifier
Une intégrale surfacique[19] « propre »[20] se ramenant, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrales « propres » emboîtées sur des segments, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe « notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle » plus haut dans ce chapitre.
Intégrales surfaciques généralisées sur une surface d'extension infinie
modifier
L'intégrale surfacique[19] généralisée d'une fonction
continue par morceaux sur une surface
d'extension infinie
c.-à-d. telle que le contour fermé
limitant
soit de longueur infinie
, notée
ou
, converge si l'intégrale surfacique[19] « propre » sur la surface
dont l'extension est finie
car le contour fermé
limitant
est de longueur finie
, «
ou
»[20] admet une limite finie quand
de façon à ce que
[21] définissant
ou, de façon plus précise,
soit
L'intégrale surfacique généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[22] s'écrivant encore
L'intégrale surfacique généralisée «
».
Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques[19] généralisées d'une fonction à symétrie centrale[23] sur le plan
auquel on a retiré un petit disque de centre
[24], la 1ère étant divergente et la 2ème convergente :
Exemples :
1er exemple :
à symétrie centrale[23]
avec intégration sur
plan
auquel on a retiré le disque de centre
et de rayon
;
Exemples :
1er exemple :
on réalise l'intégration surfacique[19] propre sur
disque de centre
de rayon
auquel on a retiré le disque de centre
et de rayon
,
Exemples :
1er exemple :
on réalise l'intégration surfacique propre sur
«
»[20] qui s'évalue selon
[25] ou
Exemples :
1er exemple :
on réalise l'intégration surfacique propre sur
«
quand
;
Exemples :
1er exemple :
en conclusion
diverge ;
Exemples :
2nd exemple :
à symétrie centrale[23]
avec intégration sur
plan
auquel on a retiré le disque de centre
et de rayon
;
Exemples :
2nd exemple :
on réalise l'intégration surfacique[19] propre sur
disque de centre
de rayon
auquel on a retiré le disque de centre
et de rayon
,
Exemples :
2nd exemple :
on réalise l'intégration surfacique propre sur
«
»[20] qui s'évalue selon
[25] ou
Exemples :
2nd exemple :
on réalise l'intégration surfacique propre sur
«
quand
;
Exemples :
2nd exemple :
en conclusion
converge.
Intégrales surfaciques généralisées sur une surface d'extension finie d'une fonction divergeant sur le contour limitant la surface ou en un point de celle-ci
modifier
L'intégrale surfacique[19] généralisée d'une fonction
continue par morceaux sur une surface
d'extension finie[26] avec
non définie en tout point du contour fermé
[27] limitant
, intégrale surfacique généralisée notée
ou
,
L'intégrale surfacique généralisée est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale surfacique[19] propre «
»[20] calculée sur la surface
définie comme la surface
à laquelle on a retiré un voisinage du contour fermé
[28], limite quand
ou quand le voisinage du contour fermé
[28] tend vers
soit
L'intégrale surfacique généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[29].
l'intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques[19] généralisées d'une fonction à symétrie centrale[23] sur
l'intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques le disque du plan
, de centre
, de rayon
,
l'intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de la 1ère étant divergente et la 2ème convergente :
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
où
en position la plus proche de
à symétrie centrale[23]
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
avec intégration sur
disque du plan
, de centre
et de rayon
;
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
on réalise l'intégration surfacique propre sur
disque de centre
de rayon
auquel a été
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
on réalise l'intégration surfacique propre sur
retiré un voisinage du contour fermé
[28]
,
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
»[20] qui s'évalue selon
[25] ou
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
forme
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
indéterminée quand
[30] dont le 2ème terme entre accolades
plus vite
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
que le 1er ne
quand
d'où
quand
;
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
en conclusion
diverge
en position la plus proche de
;
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
2nd exemple :
où
en position la plus proche de
à symétrie centrale[23]
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
2nd exemple :
avec intégration sur
disque du plan
, de centre
et de rayon
;
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
2nd exemple :
on réalise l'intégration surfacique propre sur
disque de centre
de rayon
auquel a été
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
2nd exemple :
on réalise l'intégration surfacique propre sur
retiré un voisinage du contour fermé
[28]
,
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
2nd exemple :
«
»[20] qui s'évalue selon
[25] ou
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
2nd exemple :
«
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
2nd exemple :
«
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
2nd exemple :
«
[31]
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
2nd exemple :
«
quand
;
l'intégrale surfacique généralisée Exemples :
2nd exemple :
en conclusion
en position la plus proche de
.
On peut définir une autre intégrale surfacique[19] généralisée de la fonction
continue par morceaux sur une surface
d'extension finie[26] avec
non définie en un point
[32], intégrale surfacique[19] généralisée notée
ou
,
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée selon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale surfacique[19] propre «
»[20] calculée sur la surface
s'identifiant à
à laquelle on a retiré un voisinage du point
[33], limite quand
ou quand le voisinage du point
tend vers
soit
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[29].
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques[19] généralisées d'une fonction
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous à symétrie centrale[23] sur le disque du plan
, de centre
et de rayon
,
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la 1ère étant divergente et la 2ème convergente :
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
à symétrie centrale[23]
avec intégration sur
disque du plan
,
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
à symétrie centrale
avec intégration sur
de centre
et de rayon
;
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
on réalise l'intégration surfacique propre sur
disque de centre
de rayon
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
on réalise l'intégration surfacique propre sur sans le disque de centre
de rayon
,
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
on réalise «
»[20] qui s'évalue selon
[25] ou
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
on réalise «
quand
;
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples :
1er exemple :
en conclusion
diverge ;
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples :
2nd exemple :
à symétrie centrale[23]
avec intégration sur
disque du plan
,
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples :
2nd exemple :
à symétrie centrale
avec intégration sur
de centre
et de rayon
;
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples :
2nd exemple :
on réalise l'intégration surfacique propre sur
disque de centre
de rayon
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples :
2nd exemple :
on réalise l'intégration surfacique propre sur sans le disque de centre
de rayon
,
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples :
2nd exemple :
on réalise «
»[20] qui s'évalue selon
[25] ou
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples :
2nd exemple :
on réalise «
quand
;
On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples :
2nd exemple :
en conclusion
donc effectivement convergente.
Intégrales volumiques généralisées
modifier
Une intégrale volumique « propre »[34] se ramenant, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrales « propres » emboîtées sur des segments, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe « notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle » plus haut dans ce chapitre.
Intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension infinie
modifier
L'intégrale volumique généralisée d'une fonction
continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle
d'extension infinie
c.-à-d. telle que la surface
limitant
soit d'aire infinie
, notée
ou encore
, converge si l'intégrale volumique « propre »[34] sur l'expansion tridimensionnelle
dont l'extension est finie
car la surface
limitant
est d'aire finie
, «
ou encore
»[34] admet une limite finie quand
de façon à ce que
[35] et cette limite définit
ou encore
soit
L'intégrale volumique généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[36] s'écrivant encore
L'intégrale volumique généralisée «
».
Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction à symétrie sphérique[37] sur l'espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre
[38], la 1ère étant divergente et la 2ème convergente :
Exemples :
1er exemple :
à symétrie sphérique[37]
avec intégration sur
espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre
et de rayon
;
Exemples :
1er exemple :
on réalise l'intégration volumique propre sur
boule de centre
de rayon
auquel on a retiré la petite boule de centre
et de rayon
,
Exemples :
1er exemple :
on réalise l'intégration volumique propre sur
«
»[34] qui s'évalue selon
[39] ou
Exemples :
1er exemple :
on réalise l'intégration volumique propre sur
«
quand
;
Exemples :
1er exemple :
en conclusion
diverge ;
Exemples :
2nd exemple :
à symétrie sphérique[37]
avec intégration sur
espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre
et de rayon
;
Exemples :
2nd exemple :
on réalise l'intégration volumique propre sur
boule de centre
de rayon
auquel on a retiré la petite boule de centre
et de rayon
,
Exemples :
2nd exemple :
on réalise l'intégration volumique propre sur
«
»[34] qui s'évalue selon
[39] ou
Exemples :
2nd exemple :
on réalise l'intégration volumique propre sur
«
quand
;
Exemples :
2nd exemple :
en conclusion
donc effectivement convergente.
Intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension finie d'une fonction divergeant sur la surface limitant l'expansion tridimensionnelle ou en un point de cette dernière
modifier
L'intégrale volumique généralisée d'une fonction
continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle
dont l'extension est finie[40] avec
non définie en tout point de la surface fermée
[41] limitant
, intégrale volumique généralisée notée
ou
,
L'intégrale volumique généralisée est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale volumique propre[34] «
»[34] calculée sur l'expansion tridimensionnelle
définie comme l'expansion tridimensionnelle
à laquelle on a retiré un voisinage de la surface fermée
[42], limite quand
ou quand le voisinage de la surface fermée
[42] limitant
tend vers
soit
L'intégrale volumique généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[43].
l'intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction à symétrie sphérique[37] sur
l'intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées la sphère de centre
, de rayon
,
l'intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de la 1ère étant divergente et la 2ème convergente :
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
où
en position la plus proche de
à symétrie sphérique[37]
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
avec intégration sur
boule, de centre
et de rayon
;
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
on réalise l'intégration volumique propre sur
boule de centre
de rayon
auquel a été
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
on réalise l'intégration volumique propre sur
retiré un voisinage de la surface fermée
[42]
,
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
»[34] qui s'évalue selon
[39] ou
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
[44]
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
[31]
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
forme indéterminée
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
quand
[45] dont le 3ème terme entre accolades
plus vite que le 2ème ne
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
quand
dont le 3ème terme entre accolades
plus vite et que le 1er ne
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
quand
dont le 3ème terme entre accolades
quand
vers
d'où
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
«
quand
;
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
en conclusion
diverge
en position la plus proche de
;
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
où
en position la plus proche de
à symétrie sphérique[37]
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
avec intégration sur
boule, de centre
et de rayon
;
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
on réalise l'intégration volumique propre sur
boule de centre
de rayon
auquel a été
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
on réalise l'intégration volumique propre sur
retiré un voisinage de la surface fermée
[42]
,
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
«
»[34] qui s'évalue selon
[39] ou
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
«
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
«
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
«
[44]
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
«
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
«
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
«
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
«
[31]
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
«
de limite
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
«
finie quand
égale à «
» d'où
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
«
quand
effectivement convergente ;
l'intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
en conclusion
en position la plus proche de
.
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée de la fonction
continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle
d'extension finie[40] avec
non définie en un point
[46], intégrale volumique généralisée notée
ou
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée selon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale volumique propre[34] «
»[34] calculée sur l'expansion tridimensionnelle
s'identifiant à
à laquelle a été retiré un voisinage du point
[47], limite quand
ou quand le voisinage du point
tend vers
soit
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée «
» si cette dernière existe et est finie[43].
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous à symétrie sphérique[37] sur la boule de centre
et de rayon
,
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous la 1ère étant divergente et la 2ème convergente :
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
à symétrie sphérique[37]
avec intégration sur
boule de centre
, de rayon
,
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
on réalise l'intégration volumique propre sur
boule de centre
, de rayon
sans
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
on réalise l'intégration volumique propre sur
la boule de centre
, de rayon
,
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
on réalise «
»[34] qui s'évalue selon
[39] ou
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
on réalise «
quand
;
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples :
1er exemple :
en conclusion
diverge ;
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
à symétrie sphérique[37]
avec intégration sur
boule de centre
, de rayon
,
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
on réalise l'intégration volumique propre sur
boule de centre
, de rayon
sans
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
on réalise l'intégration volumique propre sur
la boule de centre
, de rayon
,
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
on réalise «
»[34] qui s'évalue selon
[39] ou
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
on réalise «
quand
;
On peut définir une autre intégrale volumique généralisée Exemples :
2nd exemple :
en conclusion
donc effectivement convergente.
- ↑ Que l’on peut qualifier d’“ intégrale propre ” par opposition aux intégrales impropres ou généralisées définies par la suite.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 et 2,5 Ou intégrale impropre.
- ↑ Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est
on dit que l'intégrale
diverge
sinon on dit qu'elle converge
.
- ↑ Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est
on dit que l'intégrale
diverge
sinon on dit qu'elle converge
.
- ↑ Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est
on dit que l'intégrale
diverge
sinon on dit qu'elle converge
.
- ↑ Par contre il y a nécessité que
quand
ou quand
sinon
ou
diverge.
- ↑ Raison pour laquelle l'intégrale sur l'intervalle fermé
est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple
.
- ↑ 8,0 8,1 et 8,2 Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est
on dit que l'intégrale
diverge
sinon on dit qu'elle converge
.
- ↑ Raison pour laquelle l'intégrale sur l'intervalle fermé
est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple
.
- ↑ Raison pour laquelle l'intégrale sur l'intervalle fermé
est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple
et
.
- ↑ 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 et 11,6 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est
on dit que l'intégrale
diverge
sinon on dit qu'elle converge
.
- ↑ Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est
on dit que l'intégrale
diverge
sinon on dit qu'elle converge
.
- ↑ Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est
on dit que l'intégrale
diverge
sinon on dit qu'elle converge
.
- ↑ Raison pour laquelle l'intégrale curviligne sur l'arc fermé
est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple
.
- ↑ 16,0 16,1 et 16,2 Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est
on dit que l'intégrale
diverge
sinon on dit qu'elle converge
.
- ↑ Raison pour laquelle l'intégrale curviligne sur l'arc fermé
est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple
.
- ↑ Raison pour laquelle l'intégrale curviligne sur l'arc fermé
est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple
et
.
- ↑ 19,00 19,01 19,02 19,03 19,04 19,05 19,06 19,07 19,08 19,09 19,10 19,11 et 19,12 Ou intégrale(s) de surface.
- ↑ 20,00 20,01 20,02 20,03 20,04 20,05 20,06 20,07 20,08 et 20,09 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Il faudrait préciser comment faire tendre
vers
, ce qui n'a rien d'évident, nous n'entrons pas dans cette difficulté et supposons « intuitive » cette façon de faire : voir exemple ci-dessous ;
prenant le plan
comme surface
d'extension infinie,
est alors limitée par le cercle
de centre
et de rayon
effectivement de longueur infinie ; nous pouvons approcher l'intégrale surfacique généralisée sur le plan
noté
en évaluant l'intégrale surfacique « propre » sur le disque
limité par le cercle
de centre
et de rayon
et en faisant tendre
vers
, ce qui s'obtient alors en faisant tendre le rayon
vers l'
;
il est en fait toujours possible de paramétrer
ici le paramètre est le rayon
et
correspond alors à une limite
finie ou infinie
du paramètre
ici la limite est infinie
.
- ↑ Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est
on dit que l'intégrale
ou
diverge
sinon on dit qu'elle converge
.
- ↑ 23,0 23,1 23,2 23,3 23,4 23,5 23,6 23,7 et 23,8 C.-à-d. une fonction invariante par rotation autour d'un point
en restant dans un même plan passant par
; si le plan est
et qu'on adopte le repérage polaire, la fonction est indépendante de
, ne dépendant que de
.
- ↑ La raison en étant que la fonction à intégrer diverge en
.
- ↑ 25,0 25,1 25,2 25,3 25,4 et 25,5 On utilise la forme semi-intégrée de l'élément de surface en polaire à savoir
résultant de l'intégration sur
de
à
de
voir le paragraphe « notion d'élément de surface semi-intégré » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
le principe y est donné mais l'exemple présent n'y est pas traité
.
- ↑ 26,0 et 26,1 C.-à-d. tel que le contour fermé
limitant
soit de longueur finie.
- ↑ Raison pour laquelle l'intégrale surfacique sur la surface
est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple
.
- ↑ 28,0 28,1 28,2 et 28,3 Un voisinage d'un contour fermé
, noté
, nécessiterait une définition mathématique plus précise mais nous nous contenterons d'une explicitation sur un exemple ;
considérons comme surface
le disque de centre
et de rayon
limité par le cercle
,
est un voisinage de
si et seulement s'il existe un réel strictement positif
tel que l'anneau
inclus dans
de centre de
, compris entre le cercle
et le cercle de centre
et de rayon
est inclus dans
soit encore
;
dans ce cas la surface
est tout disque de centre
et de rayon
où
est un réel quelconque inclus dans
.
- ↑ 29,0 et 29,1 Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est
on dit que l'intégrale
diverge
sinon on dit qu'elle converge
.
- ↑ Le 1er terme de l'expression entre accolades étant équivalant à
quand
et le 2ème terme équivalent à
quand
.
- ↑ 31,0 31,1 et 31,2 Une « primitive de
avec
est
».
- ↑ Raison pour laquelle l'intégrale surfacique sur la surface
est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple
.
- ↑ Un voisinage d'un point
, noté
, nécessiterait une définition mathématique plus précise mais nous nous contenterons d'une explicitation sur un exemple ;
considérons comme surface
le disque de centre
, limité par le cercle
et de rayon
,
est un voisinage de
si et seulement s'il existe un réel strictement positif
tel que le disque
inclus dans
de centre de
et de rayon
est inclus dans
soit encore
;
dans ce cas la surface
est tout anneau de centre
, de rayon intérieur
et de rayon extérieur
où
est un réel quelconque inclus dans
.
- ↑ 34,00 34,01 34,02 34,03 34,04 34,05 34,06 34,07 34,08 34,09 34,10 34,11 et 34,12 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Il faudrait préciser comment faire tendre
vers
, ce qui n'a rien d'évident, nous n'entrons pas dans cette difficulté et supposons « intuitive » cette façon de faire : voir exemple ci-dessous ;
prenant l'espace entier comme expansion tridimensionnelle
d'extension infinie,
est alors limitée par la sphère
de centre
et de rayon
effectivement d'aire infinie ; nous pouvons approcher l'intégrale volumique généralisée sur l'espace entier
noté
en évaluant l'intégrale « propre » sur la boule
limité par la sphère
de centre
et de rayon
et en faisant tendre
vers
, ce qui s'obtient alors en faisant tendre le rayon
vers l'
;
il est en fait toujours possible de paramétrer
ici le paramètre est le rayon
et
correspond alors à une limite
finie ou infinie
du paramètre
ici la limite est infinie
.
- ↑ Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est
on dit que l'intégrale volumique
ou
diverge
sinon on dit qu'elle converge
.
- ↑ 37,0 37,1 37,2 37,3 37,4 37,5 37,6 37,7 et 37,8 C.-à-d. une fonction invariante par rotation autour d'un point
; si on adopte le repérage sphérique, la fonction est indépendante de
et de
, ne dépendant que de
.
- ↑ La raison en étant que la fonction à intégrer diverge en
.
- ↑ 39,0 39,1 39,2 39,3 39,4 et 39,5 On utilise la forme semi-intégrée de l'élément de volume en sphérique lors d'une symétrie sphérique de la fonction à intégrer à savoir
résultant de l'intégration sur
de
à
et sur
de
à
de
voir le paragraphe « notion d'élément de volume semi-intégré (1er exemple) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 40,0 et 40,1 C.-à-d. telle que la surface
limitant
soit d'aire finie.
- ↑ Raison pour laquelle l'intégrale volumique sur l'expansion tridimensionnelle
est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple
.
- ↑ 42,0 42,1 42,2 et 42,3 Un voisinage d'une surface fermée
, noté
, nécessiterait une définition mathématique plus précise mais nous nous contenterons d'une explicitation sur un exemple ;
considérons comme expansion tridimensionnelle
la boule de centre
et de rayon
limitée par la sphère
,
est un voisinage de
si et seulement s'il existe un réel strictement positif
tel que la couche sphérique
inclus dans
de centre de
, compris entre la sphère
et la sphère de centre
et de rayon
est inclus dans
soit encore
;
dans ce cas l'expansion tridimensionnelle
est toute boule de centre
et de rayon
où
est un réel quelconque inclus dans
.
- ↑ 43,0 et 43,1 Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est
on dit que l'intégrale
diverge
sinon on dit qu'elle converge
.
- ↑ 44,0 et 44,1 En effet on utilise
.
- ↑ Le 1er terme de l'expression entre accolades étant équivalant à
quand
, le 2ème terme équivalent à
quand
et le 3ème terme équivalent à
quand
.
- ↑ Raison pour laquelle l'intégrale volumique sur l'expansion tridimensionnelle
est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple
.
- ↑ Un voisinage d'un point
, noté
, nécessiterait une définition mathématique plus précise mais nous nous contenterons d'une explicitation sur un exemple ;
considérons comme expansion tridimensionnelle
la boule de centre
, limité par la sphère
et de rayon
,
est un voisinage de
si et seulement s'il existe un réel strictement positif
tel que la boule
inclus dans
de centre de
et de rayon
est inclus dans
soit encore
;
dans ce cas l'expansion tridimensionnelle
est toute couche sphérique de centre
, de rayon intérieur
et de rayon extérieur
où
est un réel quelconque inclus dans
.