Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrales généralisées (ou impropres)

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Notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle

Rappel : intégrale d'une fonction continue par morceaux sur intervalle fermé (ou “intégrale propre”)

     Revoir le paragraphe « intégrale définie sur un intervalle fermé » du chap.$15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie

     Une 1^ère intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux $\;f\;$ est définie sur l'intervalle ouvert $\;\left[a,\;+\infty \right[\;$ avec $\;a\in \mathbb {R}$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de $\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$ quand $\;b\,\rightarrow \,+\infty \;$ soit
         Une 1^ère intégrale généralisée «$\;\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx=\lim \limits _{b\,\rightarrow \,+\infty }\left[\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\;$» si cette dernière existe et est finie  ;

     on peut définir une autre intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux $\;f\;$ sur l'intervalle ouvert $\;\left]-\infty ,\;b\right]\;$ avec $\;b\in \mathbb {R}$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de $\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$ quand $\;a\,\rightarrow \,-\infty \;$ soit
         on peut définir une autre intégrale généralisée «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{a\,\rightarrow \,-\infty }\left[\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\;$» si cette dernière existe et est finie  ;

     enfin on peut définir l'intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux $\;f\;$ sur l'intervalle ouvert $\;\left]-\infty ,\;+\infty \right[$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de $\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$ quand $\;a\,\rightarrow \,-\infty \;$ et $\;b\,\rightarrow \,+\infty \;$ soit
         enfin on peut définir l'intégrale généralisée «$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=\lim \limits _{b\,\rightarrow \,+\infty }\left\lbrace \lim \limits _{a\,\rightarrow \,-\infty }\left[\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\right\rbrace \;$» si cette dernière existe et est finie .

     Remarque : Il ne suffit pas que $\;f(x)\rightarrow 0\;$ quand $\;x\rightarrow -\infty \;$ ${\big (}$ou quand $\;x\rightarrow +\infty {\big )}\;$ pour que $\;\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx\;$ ${\bigg (}\!$ou pour que $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx{\bigg )}\;$ converge ,
     Remarque : voir deux exemples ci-dessous où $\;f(x)\rightarrow 0\;$ quand $\;x\rightarrow \pm \infty \;$ et où la 1^ère intégrale diverge alors que la 2^ème converge :
     Remarque : $\bullet \;$1^er exemple : $\;f(x)={\dfrac {1}{x}}\;$ qui $\;\rightarrow 0\;$ quand $\;x\rightarrow \pm \infty \;$ mais pour laquelle $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{x}}\;$ avec $\;(a,\,b)\in (\mathbb {R} ^{+})^{2}\;$diverge quand $\;b\rightarrow +\infty \;$ car
     Remarque : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(x)={\dfrac {1}{x}}}\;$ $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{x}}=\left[\ln |x|\right]_{a}^{b}=\ln \left({\dfrac {b}{a}}\right)\;$ et $\;\lim \limits _{b\,\rightarrow \,+\infty }\left[\ln \left({\dfrac {b}{a}}\right)\right]=+\infty$ ;
     Remarque : $\bullet \;$2^nd exemple : $\;f(x)={\dfrac {1}{x^{2}}}\;$ qui $\;\rightarrow 0\;$ quand $\;x\rightarrow \pm \infty \;$ et pour laquelle $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{x^{2}}}\;$ avec $\;(a,\,b)\in (\mathbb {R} ^{+})^{2}\;$converge quand $\;b\rightarrow +\infty \;$ car
     Remarque : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(x)={\dfrac {1}{x^{2}}}}\;$ $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{x^{2}}}=\left[-{\dfrac {1}{x}}\right]_{a}^{b}={\dfrac {1}{a}}-{\dfrac {1}{b}}\;$ et $\;\lim \limits _{b\,\rightarrow \,+\infty }\left[{\dfrac {1}{a}}-{\dfrac {1}{b}}\right]={\dfrac {1}{a}}\;$ d'où $\;\displaystyle \int _{a}^{+\infty }{\dfrac {dx}{x^{2}}}={\dfrac {1}{a}}$.

Intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé à l'exception d'au moins une des bornes pour laquelle la fonction diverge

     Une 2^ème intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux $\;f\;$ est définie sur l'intervalle fermé $\;\left[a,\;b\right]\;$ avec $\;(a,\,b)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ et $\;f\;$ non définie en $\;b\;$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale propre $\;\displaystyle \int _{a}^{\xi }f(x)\,dx\;$ définie sur l'intervalle ouvert à droite $\;\left[a,\;\xi \right[$, limite quand $\;\xi \,\rightarrow \,b\;$ soit
         Une 2^ème intégrale généralisée «$\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{\xi \,\rightarrow \,b}\left[\displaystyle \int _{a}^{\xi }f(x)\,dx\right]\;$» si cette dernière existe et est finie  ;

     on peut définir une autre intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a,\;b\right]\;$ avec $\;(a,\,b)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ et $\;f\;$ non définie en $\;a\;$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale propre $\;\displaystyle \int _{\xi }^{b}f(x)\,dx\;$ définie sur l'intervalle ouvert à gauche $\;\left]\xi ,\;b\right]$, limite quand $\;\xi \,\rightarrow \,a\;$ soit
         on peut définir une autre intégrale généralisée «$\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{\xi \,\rightarrow \,a}\left[\displaystyle \int _{\xi }^{b}f(x)\,dx\right]\;$» si cette dernière existe et est finie  ;

     enfin on peut définir l'intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a,\;b\right]\;$ avec $\;(a,\,b)\in \mathbb {R} ^{2}\;$, $\;f\;$ non définie en $\;a\;$ et en $\;b\;$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de $\;\displaystyle \int _{\xi }^{\zeta }f(x)\,dx\;$ quand $\;\xi \,\rightarrow \,a\;$ et $\;\zeta \,\rightarrow \,b\;$ soit
         enfin on peut définir l'intégrale généralisée «$\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{\zeta \,\rightarrow \,b}\left\lbrace \lim \limits _{\xi \,\rightarrow \,a}\left[\displaystyle \int _{\xi }^{\zeta }f(x)\,dx\right]\right\rbrace \;$» si cette dernière existe et est finie .

     Remarque : Le plus souvent $\;f(x)\rightarrow \pm \infty \;$ quand $\;x\rightarrow b\;$ ou $\;x\rightarrow a\;$ et $\;f\;$ admet une primitive $\;F$,
     Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ et dans ces conditions l'intégrale convergera si $\;F\;$ admet une limite finie ;
     Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ et il convient donc d'effectuer le calcul de l'intégrale « propre » pour conclure :
     Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ suivent deux exemples à conclusions différentes :
     Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ $\bullet \;$1^er exemple : $\;f(x)={\dfrac {1}{b-x}}\;$ qui $\;\rightarrow \pm \infty \;$ quand $\;x\rightarrow b\;$ mais pour laquelle $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{b-x}}\;$ avec $\;(a,\,b)\in \mathbb {R} ^{2}\;$diverge car
     Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(x)={\dfrac {1}{b-x}}}\;$ l'intégrale propre sur l'intervalle ouvert $\;\left[a,\;\xi \right[\;$ avec $\;\xi <b\;$ s'évalue selon
     Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(x)={\dfrac {1}{b-x}}}\;$ $\;\displaystyle \int _{a}^{\xi }{\dfrac {dx}{b-x}}=\left[-\ln |b-x|\right]_{a}^{\xi }=\ln \left({\dfrac {b-a}{b-\xi }}\right)\;$ et $\;\lim \limits _{\xi \,\rightarrow \,b}\left[\ln \left({\dfrac {b-a}{b-\xi }}\right)\right]=+\infty$ ;
     Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ $\bullet \;$2^nd exemple : $\;f(x)={\dfrac {1}{\sqrt {b-x}}}\;$ qui $\;\rightarrow \infty \;$ quand $\;x\rightarrow b^{-}$, pour laquelle $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{\sqrt {b-x}}}\;$ avec $\;(a,\,b)\in \mathbb {R} ^{2}\;$converge car
     Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(x)={\dfrac {1}{\sqrt {b-x}}}}\;$ l'intégrale propre sur l'intervalle ouvert $\;\left[a,\;\xi \right[\;$ avec $\;\xi <b\;$ s'évalue selon
     Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(x)={\dfrac {1}{\sqrt {b-x}}}}\;$ $\;\displaystyle \int _{a}^{\xi }{\dfrac {dx}{\sqrt {b-x}}}=\left[-2\;{\sqrt {b-x}}\right]_{a}^{\xi }=2\left({\sqrt {b-\xi }}-{\sqrt {b-a}}\right)\;$ d'une part et
     Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(x)={\dfrac {1}{\sqrt {b-x}}}}\;$ $\;\lim \limits _{\xi \,\rightarrow \,b}\left[2\left(-{\sqrt {b-\xi }}+{\sqrt {b-a}}\right)\right]=2\;{\sqrt {b-a}}\;$ d'autre part d'où
     Remarque : Le plus souvent $\;\color {transparent}{f(x)\rightarrow \pm \infty }\;$ quand $\;\color {transparent}{x\rightarrow b}\;$ ou $\;\color {transparent}{x\rightarrow a}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(x)={\dfrac {1}{\sqrt {b-x}}}}\;$ $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{\sqrt {b-x}}}=2\;{\sqrt {b-a}}$.

Intégrales curvilignes généralisées

     Une intégrale curviligne « propre » se ramenant, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrale « propre » sur un segment, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe « notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle » plus haut dans ce chapitre.

Intégrales curvilignes généralisées sur une courbe d'extension infinie

     L'intégrale curviligne généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension infinie $\;{\stackrel {\frown }{AB_{\infty }}}$, notée $\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B_{\infty }}\!\!f\!\left[M(s)\right]ds$, converge si l'intégrale curviligne « propre » sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ dont l'extension $\;{\stackrel {\frown }{AB}}\;$ est finie, «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» admet une limite finie quand $\;B\rightarrow B_{\infty }\;$ en suivant la courbe $\;(\Gamma )\;$ et cette limite définit $\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B_{\infty }}f\!\left[M(s)\right]ds\;$ soit
     L'intégrale curviligne généralisée «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B_{\infty }}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{B\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,B_{\infty }}\left[\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\;$» si cette dernière existe et est finie  ;

     on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée de la fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension infinie $\;{\stackrel {\frown }{A_{\infty }B}}$, notée $\;\displaystyle \int _{A_{\infty }{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds$, comme la limite, dans la mesure où elle existe et est finie, de «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» quand $\;A\,\rightarrow \,A_{\infty }\;$ en suivant la courbe $\;(\Gamma )\;$ soit
     on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée «$\;\displaystyle \int _{A_{\infty }{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{A\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,A_{\infty }}\left[\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\;$» si cette dernière existe et est finie  ;

     enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée de la fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension infinie $\;{\stackrel {\frown }{A_{\infty }B_{\infty }}}$, notée $\;\displaystyle \int _{A_{\infty }{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B_{\infty }}f\!\left[M(s)\right]ds$, comme la limite, dans la mesure où elle existe et est finie, de «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» quand $\;A\,\rightarrow \,A_{\infty }\;$ et $\;B\,\rightarrow \,B_{\infty }\;$ en suivant la courbe $\;(\Gamma )\;$ soit
     enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée «$\;\displaystyle \int _{A_{\infty }{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B_{\infty }}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{B\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,B_{\infty }}\left\lbrace \lim \limits _{A\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,A_{\infty }}\left[\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\right\rbrace \;$» si cette dernière existe et est finie .

Intégrales curvilignes généralisées sur une courbe d'extension finie d'une fonction divergeant en une de ses extrémités

     L'intégrale curviligne généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension finie $\;{\stackrel {\frown }{AB}}\;$ avec $\;f(M)\;$ non définie en $\;B\;$ extrémité droite de l'arc , intégrale curviligne généralisée notée $\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds$, est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}P}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» définie sur l'arc ouvert à droite $\;{\stackrel {\frown }{AP}}$, $\;P\;$ étant sur $\;(\Gamma )\;$ avant $\;B$, limite quand $\;P\,\rightarrow \,B\;$ en restant sur $\;(\Gamma )\;$ soit
     L'intégrale curviligne généralisée «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{P\,\rightarrow \,B}\left[\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}P}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\;$» si cette dernière existe et est finie  ;

     on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée de la fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension finie $\;{\stackrel {\frown }{AB}}\;$ avec $\;f(M)\;$ non définie en $\;A\;$ extrémité gauche de l'arc , intégrale curviligne généralisée notée $\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds$,
     on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée selon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «$\;\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» définie sur l'arc ouvert à gauche $\;{\stackrel {\frown }{PB}}$, $\;P\;$ étant sur $\;(\Gamma )\;$ après $\;A$, limite quand $\;P\,\rightarrow \,A\;$ en restant sur $\;(\Gamma )\;$ soit
     on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{P\,\rightarrow \,A}\left[\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\;$» si cette dernière existe et est finie  ;

     enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée de la fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension finie $\;{\stackrel {\frown }{AB}}\;$ avec $\;f(M)\;$ non définie en $\;A\;$ et $\;B\;$, intégrale curviligne généralisée notée $\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds$,
     enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée selon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «$\;\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}Q}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» définie sur l'arc ouvert aux deux extrémités $\;{\stackrel {\frown }{PQ}}$, $\;P\;$ étant sur $\;(\Gamma )\;$ après $\;A\;$ et $\;Q\;$ sur $\;(\Gamma )\;$ avant $\;B$, limite quand $\;P\,\rightarrow \,A\;$ et $\;Q\,\rightarrow \,B\;$ en restant sur $\;(\Gamma )\;$ soit
     enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{Q\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,B}\left\lbrace \lim \limits _{P\,\rightarrow \,A}\left[\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}Q}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\right\rbrace \;$» si cette dernière existe et est finie .

Intégrales surfaciques généralisées

     Une intégrale surfacique « propre » se ramenant, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrales « propres » emboîtées sur des segments, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe « notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle » plus haut dans ce chapitre.

Intégrales surfaciques généralisées sur une surface d'extension infinie

     L'intégrale surfacique généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une surface $\;(\Sigma _{\infty })\;$ d'extension infinie $\;{\big [}$c.-à-d. telle que le contour fermé $\;(\Gamma _{\infty })\;$ limitant $\;(\Sigma _{\infty })\;$ soit de longueur infinie${\big ]}$, notée $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$ ${\Bigg [}$ou $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty }){\text{ limitée par }}(\Gamma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma {\Bigg ]}$, converge si l'intégrale surfacique « propre » sur la surface $\;(\Sigma )\;$ dont l'extension est finie $\;{\big [}$car le contour fermé $\;(\Gamma )\;$ limitant $\;(\Sigma )\;$ est de longueur finie${\big ]}$, «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$ ${\Bigg [}$ou $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ){\text{ limitée par }}(\Gamma )}f\!\left[M\right]d\Sigma {\Bigg ]}\;$» admet une limite finie quand $\;(\Gamma )\rightarrow (\Gamma _{\infty })\;$ de façon à ce que $\;(\Sigma )\rightarrow (\Sigma _{\infty })\;$ définissant $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$ ${\Bigg [}$ou, de façon plus précise, $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty }){\text{ limitée par }}(\Gamma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma {\Bigg ]}\;$ soit
          L'intégrale surfacique généralisée «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma =\lim \limits _{(\Sigma )\,\rightarrow \,(\Sigma _{\infty })}\left[\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma \right]\;$» si cette dernière existe et est finie s'écrivant encore
          L'intégrale surfacique généralisée «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty }){\text{ limitée par }}(\Gamma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma =\lim \limits _{(\Gamma )\,\rightarrow \,(\Gamma _{\infty })}\left[\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ){\text{ limitée par }}(\Gamma )}f\!\left[M\right]d\Sigma \right]\;$».

     Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques généralisées d'une fonction à symétrie centrale sur le plan $\;xOy\;$ auquel on a retiré un petit disque de centre $\;O\;$, la 1^ère étant divergente et la 2^ème convergente :
     Exemples : $\bullet \;$1^er exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;$ ${\big (}$à symétrie centrale ${\big )}\;$ avec intégration sur $\;(\Sigma _{\infty })\;$ ${\big [}$plan $\;xOy\;$ auquel on a retiré le disque de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a{\big ]}$ ;
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;(\Sigma )\;$ ${\big [}$disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel on a retiré le disque de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a{\big ]}$,
            Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f(M)\;d\Sigma \;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{a}^{R}{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ ou
            Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f(M)\;d\Sigma }$ $=\displaystyle \int _{a}^{R}2\;\pi \;{\dfrac {d\rho }{\rho }}=2\;\pi \;\ln \!\left[{\dfrac {R}{a}}\right]\rightarrow \infty \;$ quand $\;R\rightarrow \infty \;$ ;
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty })}{\dfrac {1}{OM^{2}}}\;d\Sigma \;$ diverge ;
     Exemples : $\bullet \;$2^nd exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{\rho ^{3}}}\;$ ${\big (}$à symétrie centrale ${\big )}\;$ avec intégration sur $\;(\Sigma _{\infty })\;$ ${\big [}$plan $\;xOy\;$ auquel on a retiré le disque de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a{\big ]}$ ;
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{\rho ^{3}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;(\Sigma )\;$ ${\big [}$disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel on a retiré le disque de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a{\big ]}$,
            Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{\rho ^{3}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f(M)\;d\Sigma \;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{a}^{R}{\dfrac {1}{\rho ^{3}}}\;2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ ou
            Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{\rho ^{3}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f(M)\;d\Sigma }$ $=\displaystyle \int _{a}^{R}2\;\pi \;{\dfrac {d\rho }{\rho ^{2}}}=2\;\pi \left[-{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{a}}\right]\rightarrow {\dfrac {2\;\pi }{a}}\;$ quand $\;R\rightarrow \infty \;$ ;
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{\rho ^{3}}}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty })}{\dfrac {1}{OM^{3}}}\;d\Sigma \;$ converge.

Intégrales surfaciques généralisées sur une surface d'extension finie d'une fonction divergeant sur le contour limitant la surface ou en un point de celle-ci

     L'intégrale surfacique généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une surface $\;(\Sigma )\;$ d'extension finie avec $\;f(M)\;$ non définie en tout point du contour fermé $\;(\Gamma )\;$ limitant $\;(\Sigma )$, intégrale surfacique généralisée notée $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$ ${\Bigg [}$ou $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ){\text{ limitée par }}(\Gamma )}f\!\left[M\right]d\Sigma {\Bigg ]}\!$,
           L'intégrale surfacique généralisée est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale surfacique propre «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$» calculée sur la surface $\;(\Sigma ^{*})\;$ définie comme la surface $\;(\Sigma )\;$ à laquelle on a retiré un voisinage du contour fermé $\;(\Gamma )\;$, limite quand $\;(\Sigma ^{*})\,\rightarrow \,(\Sigma )\;$ ${\big [}$ou quand le voisinage du contour fermé $\;(\Gamma )\;$ tend vers $\;\emptyset {\big ]}\;$ soit
           L'intégrale surfacique généralisée «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma =\lim \limits _{(\Sigma ^{*})\,\rightarrow \,(\Sigma )}\left[\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f\!\left[M\right]d\Sigma \right]\;$» si cette dernière existe et est finie .

           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques généralisées d'une fonction à symétrie centrale sur
                 l'intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques le disque du plan $\;xOy$, de centre $\;O$, de rayon $\;R$,
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de la 1^ère étant divergente et la 2^ème convergente :
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\bullet \;$1^er exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}\;$ où $\;M'\,\in \,(\Gamma )\;$ en position la plus proche de $\;M\;$ ${\big (}$à symétrie centrale ${\big )}\;$
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}}\;$ avec intégration sur $\;(\Sigma )\;$ ${\big [}$disque du plan $\;xOy$, de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R{\big ]}$ ;
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;(\Sigma ^{*})\;$ ${\big [}$disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel a été
            l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;\color {transparent}{(\Sigma ^{*})}\;$ $\color {transparent}{\big [}$retiré un voisinage du contour fermé $\;(\Gamma )\;$${\big ]}$,
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}}\;$ «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma \;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{0}^{(R-\mu )}{\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}\;2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ ou
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma }\;$$=\left\lbrace \displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R-\mu }\!\!\!{\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}\;2\;\pi \,\left(R-\rho \right)\,d\!\left(R-\rho \right)\right\rbrace -2\;\pi \;R\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R-\mu }{\dfrac {d\!\left(R-\rho \right)}{\left(R-\rho \right)^{2}}}$
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma }\;$$=2\;\pi \;\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R-\mu }{\dfrac {d\!\left(R-\rho \right)}{R-\rho }}-2\;\pi \;R\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R-\mu }{\dfrac {d\!\left(R-\rho \right)}{\left(R-\rho \right)^{2}}}\;$
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma }\;$$=2\;\pi \,\left[\ln \!\left(R-\rho \right)\right]_{0}^{R-\mu }-2\;\pi \;R\,\left[-{\dfrac {1}{R-\rho }}\right]_{0}^{R-\mu }$
                     l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)=M{M'}^{2}=\left(R-\rho \right)^{2}}\;$ «$\;\color {transparent}{f(M)\;d\Sigma }\;$$=2\;\pi \left\lbrace \ln \!\left({\dfrac {\mu }{R}}\right)+R\left({\dfrac {1}{\mu }}-{\dfrac {1}{R}}\right)\right\rbrace =2\;\pi \left\lbrace \ln \!\left({\dfrac {\mu }{R}}\right)+{\dfrac {R-\mu }{\mu }}\right\rbrace \;$ forme
                     l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)=M{M'}^{2}=\left(R-\rho \right)^{2}}\;$ «$\;\color {transparent}{f(M)\;d\Sigma }\;$indéterminée quand $\;\mu \rightarrow 0\;$ dont le 2^ème terme entre accolades $\nearrow$ plus vite
                     l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)=M{M'}^{2}=\left(R-\rho \right)^{2}}\;$ «$\;\color {transparent}{f(M)\;d\Sigma }\;$que le 1^er ne $\searrow \;$ quand $\;\mu \searrow \;$ d'où $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma \;\rightarrow +\infty \;$ quand $\;\mu \rightarrow 0$ ;
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}={\dfrac {1}{\left(R-\rho \right)^{2}}}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\dfrac {1}{M{M'}^{2}}}\;d\Sigma \;$ diverge $\;{\big [}M'\,\in \,(\Gamma )\;$ en position la plus proche de $\;M{\big ]}$ ;
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\bullet \;$2^nd exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}\;$ où $\;M'\,\in \,(\Gamma )\;$ en position la plus proche de $\;M\;$ ${\big (}$à symétrie centrale ${\big )}\;$
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}}\;$ avec intégration sur $\;(\Sigma )\;$ ${\big [}$disque du plan $\;xOy$, de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R{\big ]}$ ;
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;(\Sigma ^{*})\;$ ${\big [}$disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel a été
            l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;\color {transparent}{(\Sigma ^{*})}\;$ $\color {transparent}{\big [}$retiré un voisinage du contour fermé $\;(\Gamma )\;$${\big ]}$,
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}}\;$ «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma \;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{0}^{(R-\mu )}{\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}\;2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ ou
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma }\;$$=\left\lbrace \displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R-\mu }\!\!\!{\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}\;2\;\pi \,\left(R-\rho \right)\,d\!\left(R-\rho \right)\right\rbrace -2\;\pi \;R\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R-\mu }{\dfrac {d\!\left(R-\rho \right)}{\sqrt {R-\rho }}}$
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma }\;$$=2\;\pi \;\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R-\mu }\left(R-\rho \right)^{\frac {1}{2}}\;d\!\left(R-\rho \right)-2\;\pi \;R\displaystyle \int _{\rho =0}^{\rho =R-\mu }\left(R-\rho \right)^{-{\frac {1}{2}}}\;d\!\left(R-\rho \right)\;$
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma }\;$$=2\;\pi \,\left\lbrace \left[{\dfrac {2}{3}}\,\left(R-\rho \right)^{\frac {3}{2}}\right]_{0}^{R-\mu }-R\,\left[2\,\left(R-\rho \right)^{\frac {1}{2}}\right]_{0}^{R-\mu }\right\rbrace \;$
                     l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\sqrt {M{M'}}}={\sqrt {R-\rho }}}\;$ «$\;\color {transparent}{f(M)\;d\Sigma }\;$$=2\;\pi \left\lbrace {\dfrac {2}{3}}\left(\!\mu ^{\,{\frac {3}{2}}}-R^{\,{\frac {3}{2}}}\!\right)-2\;R\left(\,{\sqrt {\mu }}-{\sqrt {R}}\,\right)\right\rbrace \rightarrow {\dfrac {8\;\pi }{3}}\;R^{\,{\frac {3}{2}}}\;$ quand $\;\mu \rightarrow 0$ ;
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}={\dfrac {1}{\sqrt {R-\rho }}}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\dfrac {1}{\sqrt {M{M'}}}}\;d\Sigma ={\dfrac {8\;\pi }{3}}\;R^{\,{\frac {3}{2}}}\;$ ${\big [}M'\,\in \,(\Gamma )\;$ en position la plus proche de $\;M{\big ]}$.

     On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée de la fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une surface $\;(\Sigma )\;$ d'extension finie avec $\;f(M)\;$ non définie en un point $\;B\;$, intégrale surfacique généralisée notée $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$ ${\Bigg [}$ou $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ){\text{ limitée par }}(\Gamma )}f\!\left[M\right]d\Sigma {\Bigg ]}\!$,
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée selon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale surfacique propre «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$» calculée sur la surface $\;(\Sigma ^{*})\;$ s'identifiant à $\;(\Sigma )\;$ à laquelle on a retiré un voisinage du point $\;B\;$, limite quand $\;(\Sigma ^{*})\,\rightarrow \,(\Sigma )\;$ ${\big [}$ou quand le voisinage du point $\;B\;$ tend vers $\;\emptyset {\big ]}\;$ soit
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma =\lim \limits _{(\Sigma ^{*})\,\rightarrow \,(\Sigma )}\left[\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f\!\left[M\right]d\Sigma \right]\;$» si cette dernière existe et est finie .

           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques généralisées d'une fonction
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous à symétrie centrale sur le disque du plan $\;xOy$, de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R$,
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la 1^ère étant divergente et la 2^ème convergente :
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\bullet \;$1^er exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;$ ${\big (}$à symétrie centrale ${\big )}\;$ avec intégration sur $\;(\Sigma )\;$ ${\big [}$disque du plan $\;xOy$,
                 On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ $\color {transparent}{\big (}$à symétrie centrale $\color {transparent}{\big )}\;$ avec intégration sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R{\big ]}$ ;
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;(\Sigma ^{*})\;$ ${\big [}$disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$
            On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur sans le disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;\mu {\big ]}$,
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ on réalise «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma \;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{\mu }^{R}{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ ou
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ on réalise «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma }\;$$=\displaystyle \int _{\mu }^{R}2\;\pi \;{\dfrac {d\rho }{\rho }}=$ $2\;\pi \;\ln \!\left[{\dfrac {R}{\mu }}\right]\rightarrow \infty \;$ quand $\;\mu \rightarrow 0\;$ ;
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\dfrac {1}{OM^{2}}}\;d\Sigma \;$ diverge ;
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\bullet \;$2^nd exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM}}={\dfrac {1}{\rho }}\;$ ${\big (}$à symétrie centrale ${\big )}\;$ avec intégration sur $\;(\Sigma )\;$ ${\big [}$disque du plan $\;xOy$,
                 On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM}}={\dfrac {1}{\rho }}}\;$ $\color {transparent}{\big (}$à symétrie centrale $\color {transparent}{\big )}\;$ avec intégration sur $\;\color {transparent}{(\Sigma )}\;$ de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R{\big ]}$ ;
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM}}={\dfrac {1}{\rho }}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;(\Sigma ^{*})\;$ ${\big [}$disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$
            On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM}}={\dfrac {1}{\rho }}}\;$ on réalise l'intégration surfacique propre sur sans le disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;\mu {\big ]}$,
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM}}={\dfrac {1}{\rho }}}\;$ on réalise «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma \;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{\mu }^{R}{\dfrac {1}{\rho }}\;2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ ou
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM}}={\dfrac {1}{\rho }}}\;$ on réalise «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma }\;$$=\displaystyle \int _{\mu }^{R}2\;\pi \;d\rho =2\;\pi \,\left[R-\mu \right]\rightarrow 2\;\pi \;R\;$ quand $\;\mu \rightarrow 0\;$ ;
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM}}={\dfrac {1}{\rho }}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\dfrac {1}{OM}}\;d\Sigma =2\;\pi \;R\;$ donc effectivement convergente.

Intégrales volumiques généralisées

     Une intégrale volumique « propre » se ramenant, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrales « propres » emboîtées sur des segments, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe « notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle » plus haut dans ce chapitre.

Intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension infinie

     L'intégrale volumique généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}}_{\infty })\;$ d'extension infinie $\;{\big [}$c.-à-d. telle que la surface $\;(\Sigma _{\infty })\;$ limitant $\;({\mathcal {V}}_{\infty })\;$ soit d'aire infinie${\big ]}$, notée $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty })}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$ ${\Bigg [}$ou encore $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty }){\text{ limitée par }}(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}{\Bigg ]}$, converge si l'intégrale volumique « propre » sur l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$ dont l'extension est finie $\;{\big [}$car la surface $\;(\Sigma )\;$ limitant $\;({\mathcal {V}})\;$ est d'aire finie${\big ]}$, «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$ ${\Bigg [}$ou encore $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}){\text{ limitée par }}(\Sigma )}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}{\Bigg ]}\;$» admet une limite finie quand $\;(\Sigma )\rightarrow (\Sigma _{\infty })\;$ de façon à ce que $\;({\mathcal {V}})\rightarrow ({\mathcal {V}}_{\infty })\;$ et cette limite définit $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty })}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$ ${\Bigg [}$ou encore $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty }){\text{ limitée par }}(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma {\Bigg ]}\;$ soit
     L'intégrale volumique généralisée «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty })}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}=\lim \limits _{({\mathcal {V}})\,\rightarrow \,({\mathcal {V}}_{\infty })}\left[\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\right]\;$» si cette dernière existe et est finie s'écrivant encore
     L'intégrale volumique généralisée «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty }){\text{ limitée par }}(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}=\lim \limits _{(\Sigma )\,\rightarrow \,(\Sigma _{\infty })}\left[\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}){\text{ limitée par }}(\Sigma )}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\right]\;$».

     Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction à symétrie sphérique sur l'espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre $\;O\;$, la 1^ère étant divergente et la 2^ème convergente :
     Exemples : $\bullet \;$1^er exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{r^{3}}}\;$ ${\big (}$à symétrie sphérique ${\big )}\;$ avec intégration sur $\;({\mathcal {V}}_{\infty })\;$ ${\big [}$espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a{\big ]}$ ;
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{r^{3}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;({\mathcal {V}})\;$ ${\big [}$boule de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel on a retiré la petite boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a{\big ]}$,
            Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{r^{3}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})}\;$ «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{a}^{R}{\dfrac {1}{r^{3}}}\;4\;\pi \;r^{2}\;dr\;$ ou
            Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{r^{3}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}$ $=\displaystyle \int _{a}^{R}4\;\pi \;{\dfrac {dr}{r}}=4\;\pi \;\ln \!\left[{\dfrac {R}{a}}\right]\rightarrow \infty \;$ quand $\;R\rightarrow \infty \;$ ;
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{r^{3}}}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty })}{\dfrac {1}{OM^{3}}}\;d{\mathcal {V}}\;$ diverge ;
     Exemples : $\bullet \;$2^nd exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{4}}}={\dfrac {1}{r^{4}}}\;$ ${\big (}$à symétrie sphérique ${\big )}\;$ avec intégration sur $\;({\mathcal {V}}_{\infty })\;$ ${\big [}$espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a{\big ]}$ ;
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{4}}}={\dfrac {1}{r^{4}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;({\mathcal {V}})\;$ ${\big [}$boule de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel on a retiré la petite boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a{\big ]}$,
            Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{4}}}={\dfrac {1}{r^{4}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})}\;$ «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;$» qui s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{a}^{R}{\dfrac {1}{r^{4}}}\;4\;\pi \;r^{2}\;dr\;$ ou
            Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{4}}}={\dfrac {1}{r^{4}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;\color {transparent}{({\mathcal {V}})}\;$ «$\;\color {transparent}{\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f(M)\;d{\mathcal {V}}}$ $=\displaystyle \int _{a}^{R}4\;\pi \;{\dfrac {dr}{r^{2}}}=4\;\pi \,\left[-{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{a}}\right]\rightarrow {\dfrac {4\;\pi }{a}}\;$ quand $\;R\rightarrow \infty \;$ ;
     Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$2^nd exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{OM^{4}}}={\dfrac {1}{r^{4}}}}\;$ en conclusion $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty })}{\dfrac {1}{OM^{4}}}\;d{\mathcal {V}}={\dfrac {4\;\pi }{a}}\;$ donc effectivement convergente.

Intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension finie d'une fonction divergeant sur la surface limitant l'expansion tridimensionnelle ou en un point de cette dernière

     L'intégrale volumique généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$ dont l'extension est finie avec $\;f(M)\;$ non définie en tout point de la surface fermée $\;(\Sigma )\;$ limitant $\;({\mathcal {V}})$, intégrale volumique généralisée notée $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$ ${\Bigg [}$ou $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}){\text{ limitée par }}(\Sigma )}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}{\Bigg ]}\!$,
     L'intégrale volumique généralisée est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale volumique propre «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$» calculée sur l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}}^{*})\;$ définie comme l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$ à laquelle on a retiré un voisinage de la surface fermée $\;(\Sigma )\;$, limite quand $\;({\mathcal {V}}^{*})\,\rightarrow \,({\mathcal {V}})\;$ ${\big [}$ou quand le voisinage de la surface fermée $\;(\Sigma )\;$ limitant $\;{\mathcal {V}}\;$ tend vers $\;\emptyset {\big ]}\;$ soit
     L'intégrale volumique généralisée «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}=\lim \limits _{({\mathcal {V}}^{*})\,\rightarrow \,({\mathcal {V}})}\left[\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\right]\;$» si cette dernière existe et est finie .

     l'intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction à symétrie sphérique sur
     l'intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées la sphère de centre $\;O$, de rayon $\;R$,
     l'intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de la 1^ère étant divergente et la 2^ème convergente :
     l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\bullet \;$1^er exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}={\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}\;$ où $\;M'\,\in \,(\Sigma )\;$ en position la plus proche de $\;M\;$ ${\big (}$à symétrie sphérique ${\big )}\;$
     l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}={\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}}\;$ avec intégration sur $\;({\mathcal {V}})\;$ ${\big [}$boule, de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R{\big ]}$ ;
     l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple : $\;\color {transparent}{f(M)={\dfrac {1}{M{M'}^{3}}}={\dfrac {1}{\left(R-r\right)^{3}}}}\;$ on réalise l'intégration volumique propre sur $\;({\mathcal {V}}^{*})\;$ ${\big [}$boule de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel a été
     l'intégrale volumique généralisée Exemples : $\color {transparent}{\bullet }\;$1^er exemple :