Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrales généralisées (ou impropres)

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Notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle

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Rappel : intégrale d'une fonction continue par morceaux sur intervalle fermé (ou “intégrale propre”)

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     Revoir le paragraphe « intégrale définie sur un intervalle fermé » [1] du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie

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     Une 1ère intégrale généralisée [2] d'une fonction continue par morceaux est définie sur l'intervalle ouvert avec , comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de quand soit
         Une 1ère intégrale généralisée «» si cette dernière existe et est finie [3] ;

     on peut définir une autre intégrale généralisée [2] de la fonction continue par morceaux sur l'intervalle ouvert avec , comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de quand soit
         on peut définir une autre intégrale généralisée «» si cette dernière existe et est finie [4] ;

     enfin on peut définir l'intégrale généralisée [2] de la fonction continue par morceaux sur l'intervalle ouvert , comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de quand et soit
         enfin on peut définir l'intégrale généralisée «» si cette dernière existe et est finie [5].

     Remarque : Il ne suffit pas que quand ou quand pour que ou pour que converge [6],
     Remarque : voir deux exemples ci-dessous où quand et où la 1ère intégrale diverge alors que la 2ème converge :
     Remarque : 1er exemple : qui quand mais pour laquelle avec diverge quand car
     Remarque : 1er exemple : et  ;
     Remarque : 2nd exemple : qui quand et pour laquelle avec converge quand car
     Remarque : 2nd exemple : et d'où .

Intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé à l'exception d'au moins une des bornes pour laquelle la fonction diverge

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     Une 2ème intégrale généralisée [2] d'une fonction continue par morceaux est définie sur l'intervalle fermé avec et non définie en [7], comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale propre définie sur l'intervalle ouvert à droite , limite quand soit
         Une 2ème intégrale généralisée «» si cette dernière existe et est finie [8] ;

     on peut définir une autre intégrale généralisée [2] de la fonction continue par morceaux sur l'intervalle fermé avec et non définie en [9], comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale propre définie sur l'intervalle ouvert à gauche , limite quand soit
         on peut définir une autre intégrale généralisée «» si cette dernière existe et est finie [8] ;

     enfin on peut définir l'intégrale généralisée [2] de la fonction continue par morceaux sur l'intervalle fermé avec , non définie en et en [10], comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de quand et soit
         enfin on peut définir l'intégrale généralisée «» si cette dernière existe et est finie [8].

     Remarque : Le plus souvent quand ou et admet une primitive ,
     Remarque : Le plus souvent quand ou et dans ces conditions l'intégrale convergera si admet une limite finie ;
     Remarque : Le plus souvent quand ou et il convient donc d'effectuer le calcul de l'intégrale « propre » pour conclure :
     Remarque : Le plus souvent quand ou suivent deux exemples à conclusions différentes :
     Remarque : Le plus souvent quand ou 1er exemple : qui quand mais pour laquelle avec diverge car
     Remarque : Le plus souvent quand ou 1er exemple : l'intégrale propre sur l'intervalle ouvert avec s'évalue selon
     Remarque : Le plus souvent quand ou 1er exemple : et  ;
     Remarque : Le plus souvent quand ou 2nd exemple : qui quand , pour laquelle avec converge car
     Remarque : Le plus souvent quand ou 2nd exemple : l'intégrale propre sur l'intervalle ouvert avec s'évalue selon
     Remarque : Le plus souvent quand ou 2nd exemple : d'une part et
     Remarque : Le plus souvent quand ou 2nd exemple : d'autre part d'où
     Remarque : Le plus souvent quand ou 2nd exemple : .

Intégrales curvilignes généralisées

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     Une intégrale curviligne « propre » [11] se ramenant, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrale « propre » sur un segment, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe « notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle » plus haut dans ce chapitre.

Intégrales curvilignes généralisées sur une courbe d'extension infinie

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     L'intégrale curviligne généralisée d'une fonction continue par morceaux sur une courbe d'extension infinie , notée , converge si l'intégrale curviligne « propre » sur la courbe dont l'extension est finie, «» [11] admet une limite finie quand en suivant la courbe et cette limite définit soit
     L'intégrale curviligne généralisée «» si cette dernière existe et est finie [12] ;

     on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée de la fonction continue par morceaux sur la courbe d'extension infinie , notée , comme la limite, dans la mesure où elle existe et est finie, de «» [11] quand en suivant la courbe soit
     on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée «» si cette dernière existe et est finie [13] ;

     enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée de la fonction continue par morceaux sur la courbe d'extension infinie , notée , comme la limite, dans la mesure où elle existe et est finie, de «» [11] quand et en suivant la courbe soit
     enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée «» si cette dernière existe et est finie [14].

Intégrales curvilignes généralisées sur une courbe d'extension finie d'une fonction divergeant en une de ses extrémités

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     L'intégrale curviligne généralisée d'une fonction continue par morceaux sur une courbe d'extension finie avec non définie en extrémité droite de l'arc [15], intégrale curviligne généralisée notée , est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «» [11] définie sur l'arc ouvert à droite , étant sur avant , limite quand en restant sur soit
     L'intégrale curviligne généralisée «» si cette dernière existe et est finie [16] ;

     on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée de la fonction continue par morceaux sur la courbe d'extension finie avec non définie en extrémité gauche de l'arc [17], intégrale curviligne généralisée notée ,
     on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée selon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «» [11] définie sur l'arc ouvert à gauche , étant sur après , limite quand en restant sur soit
     on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée «» si cette dernière existe et est finie [16] ;

     enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée de la fonction continue par morceaux sur la courbe d'extension finie avec non définie en et [18], intégrale curviligne généralisée notée ,
     enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée selon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «» [11] définie sur l'arc ouvert aux deux extrémités , étant sur après et sur avant , limite quand et en restant sur soit
     enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée «» si cette dernière existe et est finie [16].

Intégrales surfaciques généralisées

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     Une intégrale surfacique [19] « propre » [20] se ramenant, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrales « propres » emboîtées sur des segments, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe « notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle » plus haut dans ce chapitre.

Intégrales surfaciques généralisées sur une surface d'extension infinie

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     L'intégrale surfacique [19] généralisée d'une fonction continue par morceaux sur une surface d'extension infinie c.-à-d. telle que le contour fermé limitant soit de longueur infinie, notée ou , converge si l'intégrale surfacique [19] « propre » sur la surface dont l'extension est finie car le contour fermé limitant est de longueur finie, « ou » [20] admet une limite finie quand de façon à ce que [21] définissant ou, de façon plus précise, soit
          L'intégrale surfacique généralisée «» si cette dernière existe et est finie [22] s'écrivant encore
          L'intégrale surfacique généralisée «».

     Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques [19] généralisées d'une fonction à symétrie centrale [23] sur le plan auquel on a retiré un petit disque de centre [24], la 1ère étant divergente et la 2ème convergente :
     Exemples : 1er exemple : à symétrie centrale [23] avec intégration sur plan auquel on a retiré le disque de centre et de rayon  ;
     Exemples : 1er exemple : on réalise l'intégration surfacique [19] propre sur disque de centre de rayon auquel on a retiré le disque de centre et de rayon ,
            Exemples : 1er exemple : on réalise l'intégration surfacique propre sur «» [20] qui s'évalue selon [25] ou
            Exemples : 1er exemple : on réalise l'intégration surfacique propre sur « quand  ;
     Exemples : 1er exemple : en conclusion diverge ;
     Exemples : 2nd exemple : à symétrie centrale [23] avec intégration sur plan auquel on a retiré le disque de centre et de rayon  ;
     Exemples : 2nd exemple : on réalise l'intégration surfacique [19] propre sur disque de centre de rayon auquel on a retiré le disque de centre et de rayon ,
            Exemples : 2nd exemple : on réalise l'intégration surfacique propre sur «» [20] qui s'évalue selon [25] ou
            Exemples : 2nd exemple : on réalise l'intégration surfacique propre sur « quand  ;
     Exemples : 2nd exemple : en conclusion converge.

Intégrales surfaciques généralisées sur une surface d'extension finie d'une fonction divergeant sur le contour limitant la surface ou en un point de celle-ci

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     L'intégrale surfacique [19] généralisée d'une fonction continue par morceaux sur une surface d'extension finie [26] avec non définie en tout point du contour fermé [27] limitant , intégrale surfacique généralisée notée ou ,
           L'intégrale surfacique généralisée est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale surfacique [19] propre «» [20] calculée sur la surface définie comme la surface à laquelle on a retiré un voisinage du contour fermé [28], limite quand ou quand le voisinage du contour fermé [28] tend vers soit
           L'intégrale surfacique généralisée «» si cette dernière existe et est finie [29].

           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques [19] généralisées d'une fonction à symétrie centrale [23] sur
                 l'intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques le disque du plan , de centre , de rayon ,
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de la 1ère étant divergente et la 2ème convergente :
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : en position la plus proche de à symétrie centrale [23]
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : avec intégration sur disque du plan , de centre et de rayon  ;
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : on réalise l'intégration surfacique propre sur disque de centre de rayon auquel a été
            l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : on réalise l'intégration surfacique propre sur retiré un voisinage du contour fermé [28],
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : «» [20] qui s'évalue selon [25] ou
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : «
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : «
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : «
                     l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : « forme
                     l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : «indéterminée quand [30] dont le 2ème terme entre accolades plus vite
                     l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : «que le 1er ne quand d'où quand  ;
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : en conclusion diverge en position la plus proche de  ;
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 2nd exemple : en position la plus proche de à symétrie centrale [23]
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 2nd exemple : avec intégration sur disque du plan , de centre et de rayon  ;
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 2nd exemple : on réalise l'intégration surfacique propre sur disque de centre de rayon auquel a été
            l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 2nd exemple : on réalise l'intégration surfacique propre sur retiré un voisinage du contour fermé [28],
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 2nd exemple : «» [20] qui s'évalue selon [25] ou
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 2nd exemple : «
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 2nd exemple : «
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 2nd exemple : «[31]
                     l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 2nd exemple : « quand  ;
           l'intégrale surfacique généralisée Exemples : 2nd exemple : en conclusion en position la plus proche de .

     On peut définir une autre intégrale surfacique [19] généralisée de la fonction continue par morceaux sur une surface d'extension finie [26] avec non définie en un point [32], intégrale surfacique [19] généralisée notée ou ,
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée selon la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale surfacique [19] propre «» [20] calculée sur la surface s'identifiant à à laquelle on a retiré un voisinage du point [33], limite quand ou quand le voisinage du point tend vers soit
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée «» si cette dernière existe et est finie [29].

           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques [19] généralisées d'une fonction
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous à symétrie centrale [23] sur le disque du plan , de centre et de rayon ,
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : Ci-dessous la 1ère étant divergente et la 2ème convergente :
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : à symétrie centrale [23] avec intégration sur disque du plan ,
                 On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : à symétrie centrale avec intégration sur de centre et de rayon  ;
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : on réalise l'intégration surfacique propre sur disque de centre de rayon
            On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : on réalise l'intégration surfacique propre sur sans le disque de centre de rayon ,
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : on réalise «» [20] qui s'évalue selon [25] ou
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : on réalise « quand  ;
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : 1er exemple : en conclusion diverge ;
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : 2nd exemple : à symétrie centrale [23] avec intégration sur disque du plan ,
                 On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : 2nd exemple : à symétrie centrale avec intégration sur de centre et de rayon  ;
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : 2nd exemple : on réalise l'intégration surfacique propre sur disque de centre de rayon
            On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : 2nd exemple : on réalise l'intégration surfacique propre sur sans le disque de centre de rayon ,
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : 2nd exemple : on réalise «» [20] qui s'évalue selon [25] ou
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : 2nd exemple : on réalise « quand  ;
           On peut définir une autre intégrale surfacique généralisée Exemples : 2nd exemple : en conclusion donc effectivement convergente.

Intégrales volumiques généralisées

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     Une intégrale volumique « propre » [34] se ramenant, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrales « propres » emboîtées sur des segments, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe « notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle » plus haut dans ce chapitre.

Intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension infinie

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     L'intégrale volumique généralisée d'une fonction continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle d'extension infinie c.-à-d. telle que la surface limitant soit d'aire infinie, notée ou encore , converge si l'intégrale volumique « propre » [34] sur l'expansion tridimensionnelle dont l'extension est finie car la surface limitant est d'aire finie, « ou encore » [34] admet une limite finie quand de façon à ce que [35] et cette limite définit ou encore soit
     L'intégrale volumique généralisée «» si cette dernière existe et est finie [36] s'écrivant encore
     L'intégrale volumique généralisée «».

     Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction à symétrie sphérique [37] sur l'espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre [38], la 1ère étant divergente et la 2ème convergente :
     Exemples : 1er exemple : à symétrie sphérique [37] avec intégration sur espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre et de rayon  ;
     Exemples : 1er exemple : on réalise l'intégration volumique propre sur boule de centre de rayon auquel on a retiré la petite boule de centre et de rayon ,
            Exemples : 1er exemple : on réalise l'intégration volumique propre sur «» [34] qui s'évalue selon [39] ou
            Exemples : 1er exemple : on réalise l'intégration volumique propre sur « quand  ;
     Exemples : 1er exemple : en conclusion diverge ;
     Exemples : 2nd exemple : à symétrie sphérique [37] avec intégration sur espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre et de rayon  ;
     Exemples : 2nd exemple : on réalise l'intégration volumique propre sur boule de centre de rayon auquel on a retiré la petite boule de centre et de rayon ,
            Exemples : 2nd exemple : on réalise l'intégration volumique propre sur «» [34] qui s'évalue selon [39] ou
            Exemples : 2nd exemple : on réalise l'intégration volumique propre sur « quand  ;
     Exemples : 2nd exemple : en conclusion donc effectivement convergente.

Intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension finie d'une fonction divergeant sur la surface limitant l'expansion tridimensionnelle ou en un point de cette dernière

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     L'intégrale volumique généralisée d'une fonction continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle dont l'extension est finie [40] avec non définie en tout point de la surface fermée [41] limitant , intégrale volumique généralisée notée ou ,
     L'intégrale volumique généralisée est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale volumique propre [34] «» [34] calculée sur l'expansion tridimensionnelle définie comme l'expansion tridimensionnelle à laquelle on a retiré un voisinage de la surface fermée [42], limite quand ou quand le voisinage de la surface fermée [42] limitant tend vers soit
     L'intégrale volumique généralisée «» si cette dernière existe et est finie [43].

     l'intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction à symétrie sphérique [37] sur
     l'intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées la sphère de centre , de rayon ,
     l'intégrale volumique généralisée Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de la 1ère étant divergente et la 2ème convergente :
     l'intégrale volumique généralisée Exemples : 1er exemple : en position la plus proche de à symétrie sphérique [37]
     l'intégrale volumique généralisée Exemples : 1er exemple : avec intégration sur boule, de centre et de rayon  ;
     l'intégrale volumique généralisée Exemples : 1er exemple : on réalise l'intégration volumique propre sur boule de centre de rayon auquel a été
     l'intégrale volumique généralisée Exemples : 1er exemple :