Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrales généralisées (ou impropres)

Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Intégrales généralisées (ou impropres)
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrales généralisées (ou impropres)
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle modifier

Rappel : intégrale d'une fonction continue par morceaux sur intervalle fermé (ou “intégrale propre”) modifier

     Revoir le paragraphe « intégrale définie sur un intervalle fermé »[1] du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie modifier

     Une 1ère intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux   est définie sur l'intervalle ouvert   avec  , comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de   quand   soit

  si cette dernière existe et est finie[2] ;

     on peut définir une autre intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux   sur l'intervalle ouvert   avec  , comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de   quand   soit

  si cette dernière existe et est finie[3] ;

     enfin on peut définir l'intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux   sur l'intervalle ouvert  , comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de   quand   et   soit

  si cette dernière existe et est finie[4].

     Remarque : Il ne suffit pas que   quand    resp.   pour que    resp.   converge[5], voir deux exemples ci-dessous où   quand   et où la 1ère intégrale diverge alors que la 2ème converge :

  • 1er exemple :   qui   quand   mais pour laquelle   avec   diverge quand   car   et     ;
  • 2nd exemple :   qui   quand   et pour laquelle   avec   converge quand   car   et   d'où  .

Intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé à l'exception d'au moins une des bornes pour laquelle la fonction diverge modifier

     Une 2ème intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux   est définie sur l'intervalle fermé   avec   et   non définie en  [6], comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale propre   définie sur l'intervalle ouvert à droite  , limite quand   soit

  si cette dernière existe et est finie[7] ;

     on peut définir une autre intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux   sur l'intervalle fermé   avec   et   non définie en  [8], comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale propre   définie sur l'intervalle ouvert à gauche  , limite quand   soit

  si cette dernière existe et est finie[7] ;

     enfin on peut définir l'intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux   sur l'intervalle fermé   avec  ,   non définie en   et en  [9], comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de   quand   et   soit

  si cette dernière existe et est finie[7].

     Remarque : Le plus souvent   quand   ou   et   admet une primitive  , dans ces conditions l'intégrale convergera si   admet une limite finie ; il convient donc d'effectuer le calcul de l'intégrale « propre » pour conclure : suivent deux exemples à conclusions différentes :

  • 1er exemple :   qui   quand   mais pour laquelle   avec   diverge car l'intégrale propre sur l'intervalle ouvert   avec   s'évalue selon   et   ;
  • 2nd exemple :   qui   quand   mais pour laquelle   avec   converge car l'intégrale propre sur l'intervalle ouvert   avec   s'évalue selon   d'une part et d'autre part   d'où  .

Intégrales curvilignes généralisées modifier

     Comme une intégrale curviligne « propre »[10] se ramène, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrale « propre » sur un segment, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe précédent.

Intégrales curvilignes généralisées sur une courbe d'extension infinie modifier

     L'intégrale curviligne généralisée d'une fonction   continue par morceaux sur une courbe   d'extension infinie  , notée  , converge si l'intégrale curviligne « propre » sur la courbe   dont l'extension   est finie, « »[10] admet une limite finie quand   en suivant la courbe   et cette limite définit   soit

  si cette dernière existe et est finie[11] ;

     on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée de la fonction   continue par morceaux sur la courbe   d'extension infinie  , notée  , comme la limite, dans la mesure où elle existe et est finie, de « »[10] quand   en suivant la courbe   soit

  si cette dernière existe et est finie[12] ;

     enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée de la fonction   continue par morceaux sur la courbe   d'extension infinie  , notée  , comme la limite, dans la mesure où elle existe et est finie, de « »[10] quand   et   en suivant la courbe   soit

  si cette dernière existe et est finie[13].

Intégrales curvilignes généralisées sur une courbe d'extension finie d'une fonction divergeant en une de ses extrémités modifier

     L'intégrale curviligne généralisée d'une fonction   continue par morceaux sur une courbe   d'extension finie   avec   non définie en   extrémité droite de l'arc[14], intégrale curviligne généralisée notée  , est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre « »[10] définie sur l'arc ouvert à droite  ,   étant sur   avant  , limite quand   en restant sur   soit

  si cette dernière existe et est finie[15] ;

     on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée de la fonction   continue par morceaux sur la courbe   d'extension finie   avec   non définie en   extrémité gauche de l'arc[16], intégrale curviligne généralisée notée  , est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre « »[10] définie sur l'arc ouvert à gauche  ,   étant sur   après  , limite quand   en restant sur   soit

  si cette dernière existe et est finie[15] ;

     enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée de la fonction   continue par morceaux sur la courbe   d'extension finie   avec   non définie en   et  [17], intégrale curviligne généralisée notée  , est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre « »[10] définie sur l'arc ouvert aux deux extrémités  ,   étant sur   après   et   sur   avant  , limite quand   et   en restant sur   soit

  si cette dernière existe et est finie[15] ;

Intégrales surfaciques généralisées modifier

     Comme une intégrale surfacique « propre »[18] se ramène, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrales « propres » emboîtées sur des segments, il est aussi aisé de prolonger les définitions données dans le premier paragraphe.

Intégrales surfaciques généralisées sur une surface d'extension infinie modifier

     L'intégrale surfacique généralisée d'une fonction   continue par morceaux sur une surface   d'extension infinie  c'est-à-dire telle que le contour   limitant   soit de longueur infinie , notée    ou  , converge si l'intégrale surfacique « propre » sur la surface   dont l'extension est finie  car le contour   limitant   est de longueur finie , «   ou  »[18] admet une limite finie quand   de façon à ce que  [19] définissant    ou   soit

  si cette dernière existe et est finie[20]
s'écrivant encore  .

     Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques généralisées d'une fonction à symétrie centrale[21] sur le plan   auquel on a retiré un petit disque de centre  [22], la 1ère étant divergente et la 2ème convergente :

  • 1er exemple :   qui est à symétrie centrale car ne dépendant pas de  , l'intégration se faisant sur   c'est-à-dire le plan   auquel on a retiré le disque de centre   et de rayon   ; on réalise l'intégration surfacique propre sur   c'est-à-dire le disque de centre   de rayon   auquel on a retiré le disque de centre   et de rayon  , soit « »[18] qui se décompose en  [23] soit « »[18]     quand   ; en conclusion   diverge ;
  • 2nd exemple :   qui est à symétrie centrale car ne dépendant pas de  , l'intégration se faisant sur   c'est-à-dire le plan   auquel on a retiré le disque de centre   et de rayon   ; on réalise l'intégration surfacique propre sur   c'est-à-dire le disque de centre   de rayon   auquel on a retiré le disque de centre   et de rayon  , soit « »[18] qui se décompose en  [23] soit « »[18]     quand   ; en conclusion   donc effectivement convergente.

Intégrales surfaciques généralisées sur une surface d'extension finie d'une fonction divergeant sur le contour limitant la surface ou en un point de celle-ci modifier

     L'intégrale surfacique généralisée d'une fonction   continue par morceaux sur une surface   d'extension finie[24] avec   non définie en tout point du contour  [25], intégrale surfacique généralisée notée  , est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale surfacique propre « »[18] calculée sur la surface   définie comme la surface   à laquelle on a retiré un voisinage du contour  [26], limite quand    ou quand le voisinage du contour   tend vers   soit

  si cette dernière existe et est finie[27] ;

     on peut définir une autre intégrale surfacique généralisée de la fonction   continue par morceaux sur une surface   d'extension finie[24] avec   non définie en un point  [28], intégrale surfacique généralisée notée   et définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale surfacique propre « »[18] calculée sur la surface   s'identifiant à   à laquelle on a retiré un voisinage du point  [29], limite quand    ou quand le voisinage du point   tend vers   soit

  si cette dernière existe et est finie[27].

     Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques généralisées d'une fonction à symétrie centrale[21] sur le disque du plan  , de centre   et de rayon  , la 1ère étant divergente et la 2ème convergente :

  • 1er exemple :   qui est à symétrie centrale car ne dépendant pas de  , l'intégration se faisant sur   c'est-à-dire le disque du plan  , de centre   et de rayon   ; on réalise l'intégration surfacique propre sur   c'est-à-dire le disque de centre   de rayon   auquel on a retiré le disque de centre   et de rayon  , soit « »[18] qui se décompose en  [23] ou « »[18]     quand   ; en conclusion   diverge ;
  • 2nd exemple :   qui est à symétrie centrale car ne dépendant pas de  , l'intégration se faisant sur   c'est-à-dire le disque du plan  , de centre   et de rayon   ; on réalise l'intégration surfacique propre sur   c'est-à-dire le disque de centre   de rayon   auquel on a retiré le disque de centre   et de rayon  , soit « »[18] qui se décompose en  [23] ou « »[18]     quand   ; en conclusion   donc effectivement convergente.

Intégrales volumiques généralisées modifier

     Comme une intégrale volumique « propre »[30] se ramène, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrales « propres » emboîtées sur des segments, il est aussi aisé de prolonger les définitions données dans le premier paragraphe.

Intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension infinie modifier

     L'intégrale volumique généralisée d'une fonction   continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle   d'extension infinie  c'est-à-dire telle que la surface   limitant   soit d'aire infinie , notée    ou encore  , converge si l'intégrale volumique « propre » sur l'expansion tridimensionnelle   dont l'extension est finie  car la surface   limitant   est d'aire finie , «   ou encore  »[30] admet une limite finie quand   telle que  [31] et cette limite définit    ou encore   soit

  si cette dernière existe et est finie[32]
s'écrivant encore  .

     Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction à symétrie sphérique[33] sur l'espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre  [34], la 1ère étant divergente et la 2ème convergente :

  • 1er exemple :   qui est à symétrie sphérique car ne dépendant pas de   et de  , l'intégration se faisant sur   c'est-à-dire l'espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre   et de rayon   ; on réalise l'intégration volumique propre sur   c'est-à-dire la boule de centre   de rayon   auquel on a retiré la petite boule de centre   et de rayon  , soit « »[30] qui se décompose en  [35] ou « »[30]     quand   ; en conclusion   diverge ;
  • 2nd exemple :   qui est à symétrie sphérique car ne dépendant pas de   et de  , l'intégration se faisant sur   c'est-à-dire l'espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre   et de rayon   ; on réalise l'intégration volumique propre sur   c'est-à-dire la boule de centre   de rayon   auquel on a retiré la petite boule de centre   et de rayon  , soit « »[30] qui se décompose en  [35] ou « »[30]     quand   ; en conclusion     donc effectivement convergente.

Intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension finie d'une fonction divergeant sur la surface limitant l'expansion tridimensionnelle ou en un point de cette dernière modifier

     L'intégrale volumique généralisée d'une fonction   continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle   dont l'extension est finie[36] avec   non définie en tout point de la surface  [37] limitant cette dernière, intégrale volumique généralisée notée  , est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale volumique propre « »[30] calculée sur l'expansion tridimensionnelle   définie comme l'expansion tridimensionnelle   à laquelle on a retiré un voisinage de la surface  [38], limite quand    ou quand le voisinage de la sphère   limitant   tend vers   soit

  si cette dernière existe et est finie[39] ;

     on peut définir une autre intégrale volumique généralisée de la fonction   continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle   d'extension finie[36] avec   non définie en un point  [40], intégrale volumique généralisée notée   et définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale volumique propre « »[30] calculée sur l'expansion tridimensionnelle   s'identifiant à   à laquelle on a retiré un voisinage du point  [41], limite quand    ou quand le voisinage du point   tend vers   soit

  si cette dernière existe et est finie[39].

     Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction à symétrie sphérique[33] sur la boule de centre   et de rayon  , la 1ère étant divergente et la 2ème convergente :

  • 1er exemple :   qui est à symétrie sphérique car ne dépendant pas de   et de  , l'intégration se faisant sur   c'est-à-dire la boule de centre   et de rayon   ; on réalise l'intégration volumique propre sur   c'est-à-dire la boule de centre   de rayon   auquel on a retiré la boule de centre   et de rayon  , soit « »[30] qui se décompose en  [35] ou « »[30]     quand   ; en conclusion   diverge ;
  • 2nd exemple :   qui est à symétrie sphérique car ne dépendant pas de   et de  , l'intégration se faisant sur   c'est-à-dire la boule de centre   et de rayon   ; on réalise l'intégration volumique propre sur   c'est-à-dire la boule de centre   de rayon   auquel on a retiré la boule de centre   et de rayon  , soit « »[30] qui se décompose en  [35] ou « »[30]     quand   ; en conclusion   diverge donc effectivement convergente.

Notes et références modifier

  1. Que l’on peut qualifier d’“intégrale propre” par opposition aux intégrales impropres ou généralisées définies par la suite.
  2. Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale   diverge  sinon on dit qu'elle converge .
  3. Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale   diverge  sinon on dit qu'elle converge .
  4. Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale   diverge  sinon on dit qu'elle converge .
  5. Par contre il y a nécessité que   quand    resp.   sinon    resp.   diverge.
  6. Raison pour laquelle l'intégrale sur l'intervalle fermé   est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple  .
  7. 7,0 7,1 et 7,2 Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale   diverge  sinon on dit qu'elle converge .
  8. Raison pour laquelle l'intégrale sur l'intervalle fermé   est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple  .
  9. Raison pour laquelle l'intégrale sur l'intervalle fermé   est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple   et  .
  10. 10,0 10,1 10,2 10,3 10,4 10,5 et 10,6 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  11. Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale   diverge  sinon on dit qu'elle converge .
  12. Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale   diverge  sinon on dit qu'elle converge .
  13. Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale   diverge  sinon on dit qu'elle converge .
  14. Raison pour laquelle l'intégrale curviligne sur l'arc fermé   est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple  .
  15. 15,0 15,1 et 15,2 Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale   diverge  sinon on dit qu'elle converge .
  16. Raison pour laquelle l'intégrale curviligne sur l'arc fermé   est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple  .
  17. Raison pour laquelle l'intégrale curviligne sur l'arc fermé   est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple   et  .
  18. 18,00 18,01 18,02 18,03 18,04 18,05 18,06 18,07 18,08 18,09 18,10 et 18,11 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  19. Il faudrait préciser comment faire tendre   vers  , ce qui n'a rien d'évident, nous n'entrons pas dans cette difficulté et supposons « intuitive » cette façon de faire : voir exemple ci-dessous ;
       prenant le plan   comme surface   d'extension infinie,   est alors limitée par le cercle   de centre   et de rayon   effectivement de longueur infinie ; nous pouvons approcher l'intégrale surfacique généralisée sur le plan    noté   en évaluant l'intégrale « propre » sur le disque   limité par le cercle   de centre   et de rayon   et en faisant tendre   vers  , ce qui s'obtient alors en faisant tendre le rayon   vers l'  ;
       il est en fait toujours possible de paramétrer    ici le paramètre est le rayon   et   correspond alors à une limite (finie ou infinie) du paramètre  ici la limite est infinie .
  20. Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale    ou   diverge  sinon on dit qu'elle converge .
  21. 21,0 et 21,1 C.-à-d. une fonction invariante par rotation autour d'un point   en restant dans un même plan passant par   ; si le plan est   et qu'on adopte le repérage polaire, la fonction est indépendante de  , ne dépendant que de  .
  22. La raison en étant que la fonction à intégrer diverge en  .
  23. 23,0 23,1 23,2 et 23,3 On utilise la forme semi-intégrée de l'élément de surface en polaire à savoir   résultant de l'intégration sur   de   à   de   voir le paragraphe « notion d'élément de surface semi-intégré » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »  le principe y est donné mais l'exemple présent n'y est pas traité .
  24. 24,0 et 24,1 C.-à-d. tel que le contour   limitant   soit de longueur finie.
  25. Raison pour laquelle l'intégrale surfacique sur la surface   est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple  .
  26. Un voisinage d'un contour fermé  , noté  , nécessiterait une définition mathématique plus précise mais nous nous contenterons d'une explicitation sur un exemple ;
       considérons comme surface   le disque de centre   et de rayon   limité par le cercle  ,   est un voisinage de   si et seulement s'il existe un réel strictement positif   tel que l'anneau  inclus dans   de centre de  , compris entre le cercle   et le cercle de centre   et de rayon   est inclus dans   soit encore   ;
       dans ce cas la surface   est tout disque de centre   et de rayon    est un réel quelconque inclus dans  .
  27. 27,0 et 27,1 Si la limite n'existe pas ou si elle existe mais est infinie on dit que l'intégrale   diverge  sinon on dit qu'elle converge .
  28. Raison pour laquelle l'intégrale surfacique sur la surface   est qualifiée de « généralisée » ; on peut avoir par exemple  .
  29. Un voisinage d'un point  , noté  , nécessiterait une définition mathématique plus précise mais nous nous contenterons d'une explicitation sur un exemple ;
       considérons comme surface   le disque de centre  , limité par le cercle   et de rayon  ,   est un voisinage de   si et seulement s'il existe un réel strictement positif   tel que le disque  inclus dans   de centre de   et de rayon   est inclus dans   soit encore   ;
       dans ce cas la surface   est tout anneau de centre  , de rayon intérieur   et de rayon extérieur    est un réel quelconque inclus dans  .
  30. 30,00 30,01 30,02 30,03 30,04 30,05 30,06 30,07 30,08 30,09 30,10 et 30,11 Voir le paragraphe « les deux types d'intégrales volumiques » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  31. Il faudrait préciser comment faire tendre   vers  , ce qui n'a rien d'évident, nous n'entrons pas dans cette difficulté et supposons « intuitive » cette façon de faire : voir exemple ci-dessous ;
       prenant l'espace entier comme expansion trid