Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrales généralisées (ou impropres)

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Notion d'intégrales généralisées (ou impropres) sur un intervalle

Rappel : intégrale d'une fonction continue par morceaux sur intervalle fermé (ou “intégrale propre”)

     Revoir le paragraphe « intégrale définie sur un intervalle fermé » du chap.$15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie

     Une 1^ère intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux $\;f\;$ est définie sur l'intervalle ouvert $\;\left[a,\;+\infty \right[\;$ avec $\;a\in \mathbb {R}$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de $\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$ quand $\;b\,\rightarrow \,+\infty \;$ soit

$\;\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx=\lim \limits _{b\,\rightarrow \,+\infty }\left[\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\;$ si cette dernière existe et est finie  ;

     on peut définir une autre intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux $\;f\;$ sur l'intervalle ouvert $\;\left]-\infty ,\;b\right]\;$ avec $\;b\in \mathbb {R}$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de $\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$ quand $\;a\,\rightarrow \,-\infty \;$ soit

$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{a\,\rightarrow \,-\infty }\left[\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\;$ si cette dernière existe et est finie  ;

     enfin on peut définir l'intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux $\;f\;$ sur l'intervalle ouvert $\;\left]-\infty ,\;+\infty \right[$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de $\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$ quand $\;a\,\rightarrow \,-\infty \;$ et $\;b\,\rightarrow \,+\infty \;$ soit

$\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx=\lim \limits _{b\,\rightarrow \,+\infty }\left\lbrace \lim \limits _{a\,\rightarrow \,-\infty }\left[\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\right\rbrace \;$ si cette dernière existe et est finie .

     Remarque : Il ne suffit pas que $\;f(x)\rightarrow 0\;$ quand $\;x\rightarrow -\infty \;$ ${\big (}$resp. $\;x\rightarrow +\infty {\big )}\;$ pour que $\;\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\,dx\;$ ${\bigg (}$resp. $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{b}f(x)\,dx{\bigg )}\;$ converge , voir deux exemples ci-dessous où $\;f(x)\rightarrow 0\;$ quand $\;x\rightarrow \pm \infty \;$ et où la 1^ère intégrale diverge alors que la 2^ème converge :

• 1^er exemple : $\;f(x)={\dfrac {1}{x}}\;$ qui $\;\rightarrow 0\;$ quand $\;x\rightarrow \pm \infty \;$ mais pour laquelle $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{x}}\;$ avec $\;(a,\,b)\in (\mathbb {R} ^{+})^{2}\;$ diverge quand $\;b\rightarrow +\infty \;$ car $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{x}}=\left[\ln |x|\right]_{a}^{b}=\ln \left({\dfrac {b}{a}}\right)\;$ et $\;\lim \limits _{b\,\rightarrow \,+\infty }\left[\ln \left({\dfrac {b}{a}}\right)\right]=$ $+\infty$ ;
• 2^nd exemple : $\;f(x)={\dfrac {1}{x^{2}}}\;$ qui $\;\rightarrow 0\;$ quand $\;x\rightarrow \pm \infty \;$ et pour laquelle $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{x^{2}}}\;$ avec $\;(a,\,b)\in (\mathbb {R} ^{+})^{2}\;$ converge quand $\;b\rightarrow +\infty \;$ car $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{x^{2}}}=\left[-{\dfrac {1}{x}}\right]_{a}^{b}={\dfrac {1}{a}}-{\dfrac {1}{b}}\;$ et $\;\lim \limits _{b\,\rightarrow \,+\infty }\left[{\dfrac {1}{a}}-{\dfrac {1}{b}}\right]={\dfrac {1}{a}}\;$ d'où $\;\displaystyle \int _{a}^{+\infty }{\dfrac {dx}{x^{2}}}={\dfrac {1}{a}}$.

Intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé à l'exception d'au moins une des bornes pour laquelle la fonction diverge

     Une 2^ème intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux $\;f\;$ est définie sur l'intervalle fermé $\;\left[a,\;b\right]\;$ avec $\;(a,\,b)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ et $\;f\;$ non définie en $\;b\;$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale propre $\;\displaystyle \int _{a}^{\xi }f(x)\,dx\;$ définie sur l'intervalle ouvert à droite $\;\left[a,\;\xi \right[$, limite quand $\;\xi \,\rightarrow \,b\;$ soit

$\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{\xi \,\rightarrow \,b}\left[\displaystyle \int _{a}^{\xi }f(x)\,dx\right]\;$ si cette dernière existe et est finie  ;

     on peut définir une autre intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a,\;b\right]\;$ avec $\;(a,\,b)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ et $\;f\;$ non définie en $\;a\;$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale propre $\;\displaystyle \int _{\xi }^{b}f(x)\,dx\;$ définie sur l'intervalle ouvert à gauche $\;\left]\xi ,\;b\right]$, limite quand $\;\xi \,\rightarrow \,a\;$ soit

$\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{\xi \,\rightarrow \,a}\left[\displaystyle \int _{\xi }^{b}f(x)\,dx\right]\;$ si cette dernière existe et est finie  ;

     enfin on peut définir l'intégrale généralisée de la fonction continue par morceaux $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a,\;b\right]\;$ avec $\;(a,\,b)\in \mathbb {R} ^{2}\;$, $\;f\;$ non définie en $\;a\;$ et en $\;b\;$, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de $\;\displaystyle \int _{\xi }^{\zeta }f(x)\,dx\;$ quand $\;\xi \,\rightarrow \,a\;$ et $\;\zeta \,\rightarrow \,b\;$ soit

$\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{\zeta \,\rightarrow \,b}\left\lbrace \lim \limits _{\xi \,\rightarrow \,a}\left[\displaystyle \int _{\xi }^{\zeta }f(x)\,dx\right]\right\rbrace \;$ si cette dernière existe et est finie .

     Remarque : Le plus souvent $\;f(x)\rightarrow \pm \infty \;$ quand $\;x\rightarrow b\;$ ou $\;x\rightarrow a\;$ et $\;f\;$ admet une primitive $\;F$, dans ces conditions l'intégrale convergera si $\;F\;$ admet une limite finie ; il convient donc d'effectuer le calcul de l'intégrale « propre » pour conclure : suivent deux exemples à conclusions différentes :

• 1^er exemple : $\;f(x)={\dfrac {1}{b-x}}\;$ qui $\;\rightarrow \pm \infty \;$ quand $\;x\rightarrow b\;$ mais pour laquelle $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{b-x}}\;$ avec $\;(a,\,b)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ diverge car l'intégrale propre sur l'intervalle ouvert $\;\left[a,\;\xi \right[\;$ avec $\;\xi <b\;$ s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{a}^{\xi }{\dfrac {dx}{b-x}}=\left[-\ln |b-x|\right]_{a}^{\xi }=\ln \left({\dfrac {b-a}{b-\xi }}\right)\;$ et $\;\lim \limits _{\xi \,\rightarrow \,b}\left[\ln \left({\dfrac {b-a}{b-\xi }}\right)\right]=+\infty$ ;
• 2^nd exemple : $\;f(x)={\dfrac {1}{\sqrt {b-x}}}\;$ qui $\;\rightarrow \infty \;$ quand $\;x\rightarrow b^{-}\;$ mais pour laquelle $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{\sqrt {b-x}}}\;$ avec $\;(a,\,b)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ converge car l'intégrale propre sur l'intervalle ouvert $\;\left[a,\;\xi \right[\;$ avec $\;\xi <b\;$ s'évalue selon $\;\displaystyle \int _{a}^{\xi }{\dfrac {dx}{\sqrt {b-x}}}=\left[-2\;{\sqrt {b-x}}\right]_{a}^{\xi }=2\left({\sqrt {b-\xi }}-{\sqrt {b-a}}\right)\;$ d'une part et d'autre part $\;\lim \limits _{\xi \,\rightarrow \,b}\left[2\left(-{\sqrt {b-\xi }}+{\sqrt {b-a}}\right)\right]=2\;{\sqrt {b-a}}\;$ d'où $\;\displaystyle \int _{a}^{b}{\dfrac {dx}{\sqrt {b-x}}}=2\;{\sqrt {b-a}}$.

Intégrales curvilignes généralisées

     Comme une intégrale curviligne « propre » se ramène, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrale « propre » sur un segment, il est aisé de prolonger les définitions données dans le paragraphe précédent.

Intégrales curvilignes généralisées sur une courbe d'extension infinie

     L'intégrale curviligne généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension infinie $\;{\stackrel {\frown }{AB_{\infty }}}$, notée $\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B_{\infty }}\!\!f\!\left[M(s)\right]ds$, converge si l'intégrale curviligne « propre » sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ dont l'extension $\;{\stackrel {\frown }{AB}}\;$ est finie, «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» admet une limite finie quand $\;B\rightarrow B_{\infty }\;$ en suivant la courbe $\;(\Gamma )\;$ et cette limite définit $\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B_{\infty }}f\!\left[M(s)\right]ds\;$ soit

$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B_{\infty }}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{B\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,B_{\infty }}\left[\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\;$ si cette dernière existe et est finie  ;

     on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée de la fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension infinie $\;{\stackrel {\frown }{A_{\infty }B}}$, notée $\;\displaystyle \int _{A_{\infty }{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds$, comme la limite, dans la mesure où elle existe et est finie, de «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» quand $\;A\,\rightarrow \,A_{\infty }\;$ en suivant la courbe $\;(\Gamma )\;$ soit

$\;\displaystyle \int _{A_{\infty }{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{A\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,A_{\infty }}\left[\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\;$ si cette dernière existe et est finie  ;

     enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée de la fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension infinie $\;{\stackrel {\frown }{A_{\infty }B_{\infty }}}$, notée $\;\displaystyle \int _{A_{\infty }{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B_{\infty }}f\!\left[M(s)\right]ds$, comme la limite, dans la mesure où elle existe et est finie, de «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» quand $\;A\,\rightarrow \,A_{\infty }\;$ et $\;B\,\rightarrow \,B_{\infty }\;$ en suivant la courbe $\;(\Gamma )\;$ soit

$\;\displaystyle \int _{A_{\infty }{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B_{\infty }}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{B\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,B_{\infty }}\left\lbrace \lim \limits _{A\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,A_{\infty }}\left[\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\right\rbrace \;$ si cette dernière existe et est finie .

Intégrales curvilignes généralisées sur une courbe d'extension finie d'une fonction divergeant en une de ses extrémités

     L'intégrale curviligne généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension finie $\;{\stackrel {\frown }{AB}}\;$ avec $\;f(M)\;$ non définie en $\;B\;$ extrémité droite de l'arc , intégrale curviligne généralisée notée $\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds$, est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}P}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» définie sur l'arc ouvert à droite $\;{\stackrel {\frown }{AP}}$, $\;P\;$ étant sur $\;(\Gamma )\;$ avant $\;B$, limite quand $\;P\,\rightarrow \,B\;$ en restant sur $\;(\Gamma )\;$ soit

$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{P\,\rightarrow \,B}\left[\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}P}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\;$ si cette dernière existe et est finie  ;

     on peut définir une autre intégrale curviligne généralisée de la fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension finie $\;{\stackrel {\frown }{AB}}\;$ avec $\;f(M)\;$ non définie en $\;A\;$ extrémité gauche de l'arc , intégrale curviligne généralisée notée $\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds$, est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «$\;\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» définie sur l'arc ouvert à gauche $\;{\stackrel {\frown }{PB}}$, $\;P\;$ étant sur $\;(\Gamma )\;$ après $\;A$, limite quand $\;P\,\rightarrow \,A\;$ en restant sur $\;(\Gamma )\;$ soit

$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{P\,\rightarrow \,A}\left[\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\;$ si cette dernière existe et est finie  ;

     enfin on peut définir l'intégrale curviligne généralisée de la fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ d'extension finie $\;{\stackrel {\frown }{AB}}\;$ avec $\;f(M)\;$ non définie en $\;A\;$ et $\;B\;$, intégrale curviligne généralisée notée $\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds$, est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale curviligne propre «$\;\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}Q}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» définie sur l'arc ouvert aux deux extrémités $\;{\stackrel {\frown }{PQ}}$, $\;P\;$ étant sur $\;(\Gamma )\;$ après $\;A\;$ et $\;Q\;$ sur $\;(\Gamma )\;$ avant $\;B$, limite quand $\;P\,\rightarrow \,A\;$ et $\;Q\,\rightarrow \,B\;$ en restant sur $\;(\Gamma )\;$ soit

$\;\displaystyle \int _{A{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}B}f\!\left[M(s)\right]ds=\lim \limits _{Q\,{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}\,B}\left\lbrace \lim \limits _{P\,\rightarrow \,A}\left[\displaystyle \int _{P{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}Q}f\!\left[M(s)\right]ds\right]\right\rbrace \;$ si cette dernière existe et est finie  ;

Intégrales surfaciques généralisées

     Comme une intégrale surfacique « propre » se ramène, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrales « propres » emboîtées sur des segments, il est aussi aisé de prolonger les définitions données dans le premier paragraphe.

Intégrales surfaciques généralisées sur une surface d'extension infinie

     L'intégrale surfacique généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une surface $\;(\Sigma _{\infty })\;$ d'extension infinie $\;{\big [}$c.-à-d. telle que le contour $\;(\Gamma _{\infty })\;$ limitant $\;(\Sigma _{\infty })\;$ soit de longueur infinie${\big ]}$, notée $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$ ${\Bigg [}$ou $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty }){\text{ limitée par }}(\Gamma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma {\Bigg ]}$, converge si l'intégrale surfacique « propre » sur la surface $\;(\Sigma )\;$ dont l'extension est finie $\;{\big [}$car le contour $\;(\Gamma )\;$ limitant $\;(\Sigma )\;$ est de longueur finie${\big ]}$, «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$ ${\Bigg [}$ou $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ){\text{ limitée par }}(\Gamma )}f\!\left[M\right]d\Sigma {\Bigg ]}\;$» admet une limite finie quand $\;(\Gamma )\rightarrow (\Gamma _{\infty })\;$ de façon à ce que $\;(\Sigma )\rightarrow (\Sigma _{\infty })\;$ définissant $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$ ${\Bigg [}$ou $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty }){\text{ limitée par }}(\Gamma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma {\Bigg ]}\;$ soit

$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma =\lim \limits _{(\Sigma )\,\rightarrow \,(\Sigma _{\infty })}\left[\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma \right]\;$ si cette dernière existe et est finie
s'écrivant encore $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty }){\text{ limitée par }}(\Gamma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma =\lim \limits _{(\Gamma )\,\rightarrow \,(\Gamma _{\infty })}\left[\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ){\text{ limitée par }}(\Gamma )}f\!\left[M\right]d\Sigma \right]$.

     Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques généralisées d'une fonction à symétrie centrale sur le plan $\;xOy\;$ auquel on a retiré un petit disque de centre $\;O\;$, la 1^ère étant divergente et la 2^ème convergente :

• 1^er exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;$ qui est à symétrie centrale car ne dépendant pas de $\;\theta$, l'intégration se faisant sur $\;(\Sigma _{\infty })\;$ c.-à-d. le plan $\;xOy\;$ auquel on a retiré le disque de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a\;$ ; on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;(\Sigma )\;$ c.-à-d. le disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel on a retiré le disque de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a$, soit «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f(M)\;d\Sigma \;$» qui se décompose en $\;\displaystyle \int _{a}^{R}{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ soit «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f(M)\;d\Sigma \;$» $=\displaystyle \int _{a}^{R}2\;\pi \;{\dfrac {d\rho }{\rho }}\;=$ $2\;\pi \;\ln \!\left[{\dfrac {R}{a}}\right]\rightarrow \infty \;$ quand $\;R\rightarrow \infty \;$ ; en conclusion $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty })}{\dfrac {1}{OM^{2}}}\;d\Sigma \;$ diverge ;

• 2^nd exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{\rho ^{3}}}\;$ qui est à symétrie centrale car ne dépendant pas de $\;\theta$, l'intégration se faisant sur $\;(\Sigma _{\infty })\;$ c.-à-d. le plan $\;xOy\;$ auquel on a retiré le disque de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a\;$ ; on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;(\Sigma )\;$ c.-à-d. le disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel on a retiré le disque de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a$, soit «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f(M)\;d\Sigma \;$» qui se décompose en $\;\displaystyle \int _{a}^{R}{\dfrac {1}{\rho ^{3}}}\;2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ soit «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f(M)\;d\Sigma \;$» $=\displaystyle \int _{a}^{R}2\;\pi \;{\dfrac {d\rho }{\rho ^{2}}}\;=$ $2\;\pi \left[-{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{a}}\right]\rightarrow {\dfrac {2\;\pi }{a}}\;$ quand $\;R\rightarrow \infty \;$ ; en conclusion $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma _{\infty })}{\dfrac {1}{OM^{3}}}\;d\Sigma ={\dfrac {2\;\pi }{a}}\;$ donc effectivement convergente.

Intégrales surfaciques généralisées sur une surface d'extension finie d'une fonction divergeant sur le contour limitant la surface ou en un point de celle-ci

     L'intégrale surfacique généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une surface $\;(\Sigma )\;$ d'extension finie avec $\;f(M)\;$ non définie en tout point du contour $\;(\Gamma )\;$, intégrale surfacique généralisée notée $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma$, est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale surfacique propre «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$» calculée sur la surface $\;(\Sigma ^{*})\;$ définie comme la surface $\;(\Sigma )\;$ à laquelle on a retiré un voisinage du contour $\;(\Gamma )\;$, limite quand $\;(\Sigma ^{*})\,\rightarrow \,(\Sigma )\;$ ${\big [}$ou quand le voisinage du contour $\;(\Gamma )\;$ tend vers $\;\emptyset {\big ]}\;$ soit

$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma =\lim \limits _{(\Sigma ^{*})\,\rightarrow \,(\Sigma )}\left[\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f\!\left[M\right]d\Sigma \right]\;$ si cette dernière existe et est finie  ;

     on peut définir une autre intégrale surfacique généralisée de la fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une surface $\;(\Sigma )\;$ d'extension finie avec $\;f(M)\;$ non définie en un point $\;B\;$, intégrale surfacique généralisée notée $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$ et définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale surfacique propre «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f\!\left[M\right]d\Sigma \;$» calculée sur la surface $\;(\Sigma ^{*})\;$ s'identifiant à $\;(\Sigma )\;$ à laquelle on a retiré un voisinage du point $\;B\;$, limite quand $\;(\Sigma ^{*})\,\rightarrow \,(\Sigma )\;$ ${\big [}$ou quand le voisinage du point $\;B\;$ tend vers $\;\emptyset {\big ]}\;$ soit

$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}f\!\left[M\right]d\Sigma =\lim \limits _{(\Sigma ^{*})\,\rightarrow \,(\Sigma )}\left[\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f\!\left[M\right]d\Sigma \right]\;$ si cette dernière existe et est finie .

     Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales surfaciques généralisées d'une fonction à symétrie centrale sur le disque du plan $\;xOy$, de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R$, la 1^ère étant divergente et la 2^ème convergente :

• 1^er exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;$ qui est à symétrie centrale car ne dépendant pas de $\;\theta$, l'intégration se faisant sur $\;(\Sigma )\;$ c.-à-d. le disque du plan $\;xOy$, de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R$ ; on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;(\Sigma ^{*})\;$ c.-à-d. le disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel on a retiré le disque de centre $\;O\;$ et de rayon $\;\mu$, soit «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma \;$» qui se décompose en $\;\displaystyle \int _{\mu }^{R}{\dfrac {1}{\rho ^{2}}}\;2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ ou «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma \;$» $=\displaystyle \int _{\mu }^{R}2\;\pi \;{\dfrac {d\rho }{\rho }}=$ $2\;\pi \;\ln \!\left[{\dfrac {R}{\mu }}\right]\rightarrow \infty \;$ quand $\;\mu \rightarrow 0\;$ ; en conclusion $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\dfrac {1}{OM^{2}}}\;d\Sigma \;$ diverge ;

• 2^nd exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM}}={\dfrac {1}{\rho }}\;$ qui est à symétrie centrale car ne dépendant pas de $\;\theta$, l'intégration se faisant sur $\;(\Sigma )\;$ c.-à-d. le disque du plan $\;xOy$, de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R$ ; on réalise l'intégration surfacique propre sur $\;(\Sigma ^{*})\;$ c.-à-d. le disque de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel on a retiré le disque de centre $\;O\;$ et de rayon $\;\mu$, soit «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma \;$» qui se décompose en $\;\displaystyle \int _{\mu }^{R}{\dfrac {1}{\rho }}\;2\;\pi \;\rho \;d\rho \;$ ou «$\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma ^{*})}f(M)\;d\Sigma \;$» $=\displaystyle \int _{\mu }^{R}2\;\pi \;d\rho \;=$ $2\;\pi \left[R-\mu \right]\rightarrow 2\;\pi \;R\;$ quand $\;\mu \rightarrow 0\;$ ; en conclusion $\;\displaystyle \iint \limits _{(\Sigma )}{\dfrac {1}{OM}}\;d\Sigma =2\;\pi \;R\;$ donc effectivement convergente.

Intégrales volumiques généralisées

     Comme une intégrale volumique « propre » se ramène, après un choix judicieux de paramétrage, à un calcul d'intégrales « propres » emboîtées sur des segments, il est aussi aisé de prolonger les définitions données dans le premier paragraphe.

Intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension infinie

     L'intégrale volumique généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}}_{\infty })\;$ d'extension infinie $\;{\big [}$c.-à-d. telle que la surface $\;(\Sigma _{\infty })\;$ limitant $\;({\mathcal {V}}_{\infty })\;$ soit d'aire infinie${\big ]}$, notée $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty })}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$ ${\Bigg [}$ou encore $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty }){\text{ limitée par }}(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}{\Bigg ]}$, converge si l'intégrale volumique « propre » sur l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$ dont l'extension est finie $\;{\big [}$car la surface $\;(\Sigma )\;$ limitant $\;({\mathcal {V}})\;$ est d'aire finie${\big ]}$, «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$ ${\Bigg [}$ou encore $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}){\text{ limitée par }}(\Sigma )}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}{\Bigg ]}\;$» admet une limite finie quand $\;(\Sigma )\rightarrow (\Sigma _{\infty })\;$ telle que $\;({\mathcal {V}})\rightarrow ({\mathcal {V}}_{\infty })\;$ et cette limite définit $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty })}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$ ${\Bigg [}$ou encore $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty }){\text{ limitée par }}(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d\Sigma {\Bigg ]}\;$ soit

$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty })}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}=\lim \limits _{({\mathcal {V}})\,\rightarrow \,({\mathcal {V}}_{\infty })}\left[\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\right]\;$ si cette dernière existe et est finie
s'écrivant encore $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty }){\text{ limitée par }}(\Sigma _{\infty })}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}=\lim \limits _{(\Sigma )\,\rightarrow \,(\Sigma _{\infty })}\left[\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}){\text{ limitée par }}(\Sigma )}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\right]$.

     Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction à symétrie sphérique sur l'espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre $\;O\;$, la 1^ère étant divergente et la 2^ème convergente :

• 1^er exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{r^{3}}}\;$ qui est à symétrie sphérique car ne dépendant pas de $\;\theta \;$ et de $\varphi$, l'intégration se faisant sur $\;({\mathcal {V}}_{\infty })\;$ c.-à-d. l'espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a\;$ ; on réalise l'intégration volumique propre sur $\;({\mathcal {V}})\;$ c.-à-d. la boule de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel on a retiré la petite boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a$, soit «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;$» qui se décompose en $\;\displaystyle \int _{a}^{R}{\dfrac {1}{r^{3}}}\;4\;\pi \;r^{2}\;dr\;$ ou «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;$» $=\displaystyle \int _{a}^{R}4\;\pi \;{\dfrac {dr}{r}}=$ $4\;\pi \;\ln \!\left[{\dfrac {R}{a}}\right]\rightarrow \infty \;$ quand $\;R\rightarrow \infty \;$ ; en conclusion $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty })}{\dfrac {1}{OM^{3}}}\;d{\mathcal {V}}\;$ diverge ;

• 2^nd exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{4}}}={\dfrac {1}{r^{4}}}\;$ qui est à symétrie sphérique car ne dépendant pas de $\;\theta \;$ et de $\varphi$, l'intégration se faisant sur $\;({\mathcal {V}}_{\infty })\;$ c.-à-d. l'espace entier auquel on a retiré une petite boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a\;$ ; on réalise l'intégration volumique propre sur $\;({\mathcal {V}})\;$ c.-à-d. la boule de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel on a retiré la petite boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a$, soit «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;$» qui se décompose en $\;\displaystyle \int _{a}^{R}{\dfrac {1}{r^{4}}}\;4\;\pi \;r^{2}\;dr\;$ ou «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;$» $=\displaystyle \int _{a}^{R}4\;\pi \;{\dfrac {dr}{r^{2}}}\;=$ $4\;\pi \left[-{\dfrac {1}{R}}+{\dfrac {1}{a}}\right]\rightarrow {\dfrac {4\;\pi }{a}}\;$ quand $\;R\rightarrow \infty \;$ ; en conclusion $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}_{\infty })}{\dfrac {1}{OM^{4}}}\;d{\mathcal {V}}$ $={\dfrac {4\;\pi }{a}}\;$ donc effectivement convergente.

Intégrales volumiques généralisées sur une expansion tridimensionnelle d'extension finie d'une fonction divergeant sur la surface limitant l'expansion tridimensionnelle ou en un point de cette dernière

     L'intégrale volumique généralisée d'une fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$ dont l'extension est finie avec $\;f(M)\;$ non définie en tout point de la surface $\;(\Sigma )\;$ limitant cette dernière, intégrale volumique généralisée notée $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}$, est définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale volumique propre «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$» calculée sur l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}}^{*})\;$ définie comme l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$ à laquelle on a retiré un voisinage de la surface $\;(\Sigma )\;$, limite quand $\;({\mathcal {V}}^{*})\,\rightarrow \,({\mathcal {V}})\;$ ${\big [}$ou quand le voisinage de la sphère $\;(\Sigma )\;$ limitant $\;{\mathcal {V}}\;$ tend vers $\;\emptyset {\big ]}\;$ soit

$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}=\lim \limits _{({\mathcal {V}}^{*})\,\rightarrow \,({\mathcal {V}})}\left[\displaystyle \iint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\right]\;$ si cette dernière existe et est finie  ;

     on peut définir une autre intégrale volumique généralisée de la fonction $\;f(M)\;$ continue par morceaux sur une expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}})\;$ d'extension finie avec $\;f(M)\;$ non définie en un point $\;B\;$, intégrale volumique généralisée notée $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$ et définie, comme la limite, dans la mesure où cette dernière existe et est finie, de l'intégrale volumique propre «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\;$» calculée sur l'expansion tridimensionnelle $\;({\mathcal {V}}^{*})\;$ s'identifiant à $\;({\mathcal {V}})\;$ à laquelle on a retiré un voisinage du point $\;B\;$, limite quand $\;({\mathcal {V}}^{*})\,\rightarrow \,({\mathcal {V}})\;$ ${\big [}$ou quand le voisinage du point $\;B\;$ tend vers $\;\emptyset {\big ]}\;$ soit

$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}=\lim \limits _{({\mathcal {V}}^{*})\,\rightarrow \,({\mathcal {V}})}\left[\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f\!\left[M\right]d{\mathcal {V}}\right]\;$ si cette dernière existe et est finie .

     Exemples : Ci-dessous la recherche de la convergence ou divergence de deux intégrales volumiques généralisées d'une fonction à symétrie sphérique sur la boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R$, la 1^ère étant divergente et la 2^ème convergente :

• 1^er exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{3}}}={\dfrac {1}{r^{3}}}\;$ qui est à symétrie sphérique car ne dépendant pas de $\;\theta \;$ et de $\;\varphi$, l'intégration se faisant sur $\;({\mathcal {V}})\;$ c.-à-d. la boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R$ ; on réalise l'intégration volumique propre sur $\;({\mathcal {V}}^{*})\;$ c.-à-d. la boule de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel on a retiré la boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;\mu$, soit «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;$» qui se décompose en $\;\displaystyle \int _{\mu }^{R}{\dfrac {1}{r^{3}}}\;4\;\pi \;r^{2}\;dr\;$ ou «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;$» $=\displaystyle \int _{\mu }^{R}4\;\pi \;{\dfrac {dr}{r}}=$ $4\;\pi \;\ln \!\left[{\dfrac {R}{\mu }}\right]\rightarrow \infty \;$ quand $\;\mu \rightarrow 0\;$ ; en conclusion $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}{\dfrac {1}{OM^{3}}}\;d{\mathcal {V}}\;$ diverge ;

• 2^nd exemple : $\;f(M)={\dfrac {1}{OM^{2}}}={\dfrac {1}{r^{2}}}\;$ qui est à symétrie sphérique car ne dépendant pas de $\;\theta \;$ et de $\;\varphi$, l'intégration se faisant sur $\;({\mathcal {V}})\;$ c.-à-d. la boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;R$ ; on réalise l'intégration volumique propre sur $\;({\mathcal {V}}^{*})\;$ c.-à-d. la boule de centre $\;O\;$ de rayon $\;R\;$ auquel on a retiré la boule de centre $\;O\;$ et de rayon $\;\mu$, soit «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;$» qui se décompose en $\;\displaystyle \int _{\mu }^{R}{\dfrac {1}{r^{2}}}\;4\;\pi \;r^{2}\;dr\;$ ou «$\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}}^{*})}f(M)\;d{\mathcal {V}}\;$» $=\displaystyle \int _{\mu }^{R}4\;\pi \;dr=$ $4\;\pi \left[R-\mu \right]\rightarrow 4\;\pi \;R\;$ quand $\;\mu \rightarrow 0\;$ ; en conclusion $\;\displaystyle \iiint \limits _{({\mathcal {V}})}{\dfrac {1}{OM^{2}}}\;d{\mathcal {V}}=4\;\pi \;R\;$ diverge donc effectivement convergente.