Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif

**Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif**
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)

Chapitre n^o 17
Chap. préc. :	Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Énergie potentielle et énergie mécanique
Chap. suiv. :	Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Équilibre et stabilité

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Mécanique 1 (PCSI) : Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif
Mécanique 1 (PCSI)/Approche énergétique du mouvement d'un point matériel : Mouvement conservatif », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Les notions de ce chapitre sont introduites dans le cadre de la dynamique newtonienne.

Définition d'un mouvement conservatif

Un point matériel $\;M\;$ a un « mouvement conservatif » ^[1] dans un référentiel $\;{\mathcal {R}}\;$ s'il n'est soumis qu'à des forces conservatives ou si les éventuelles forces non conservatives ^[2] ne travaillent pas ^[3].

Intégrale 1^ère « énergétique » d'un point matériel à mouvement conservatif

Une conséquence de la définition d'un point matériel à mouvement conservatif ^[1] étudié dans un référentiel galiléen et utilisée dans le théorème de la variation de l'énergie mécanique de ce point dans ce référentiel s'énonce selon :

dans un référentiel galiléen, « l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif ^[1] est conservée » ^[4], cet énoncé représente l'intégrale 1^ère « énergétique » d'un point matériel à mouvement conservatif ^[1].

En complément : la conservation de l'énergie mécanique, cas particulier du théorème d'Emmy Nœther

Rappel du théorème d'Emmy Nœther

Voir aussi le paragraphe « énoncé du théorème d'Emmy Nœther ^[5] » du chap.

7

de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».

« À toute invariance des lois de la physique selon un groupe de symétries ^[6] est nécessairement associée une quantité conservée en toutes circonstances ».

Conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel « à mouvement conservatif » dans un référentiel galiléen comme cas particulier du théorème d'Emmy Nœther

Pour tout instant d'étude d'un point matériel à mouvement conservatif ^[1] dans un référentiel galiléen, les lois de la physique appliquées à ce point doivent être « invariantes par translation de temps » ^[7] ;

d'après le théorème d'Emmy Nœther ^[5], il y a « conservation d'une grandeur $\;{\big (}$ cinétique ${\big )}\;$ du point matériel étudié dans un référentiel galiléen » traduisant, dans ce référentiel, l'« invariance des lois physiques selon le groupe des translations de temps » ^[8] et

d'après l'intégrale 1^ère énergétique du point matériel à mouvement conservatif ^[1] dans un référentiel galiléen, « cette grandeur $\;{\big (}$ cinétique ${\big )}\;$ définie dans ce référentiel est l'énergie mécanique du point ».

Nécessité d'invariance des lois physiques par translation de temps pour expliquer la conservation de l'énergie mécanique d'un point à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen sur l'« exemple d'un objet dans le champ de pesanteur terrestre uniforme »

L'invariance des lois physiques par translation de temps $\;{\big (}$ c.-à-d. l'indépendance du choix de l'origine des temps ${\big )}\;$ est nécessaire pour expliquer la conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel à mouvement conservatif ^[1] dans le champ de pesanteur terrestre uniforme en effet :

si le poids dépendait de l'instant dans la journée $\;{\big (}$ par exemple plus faible à midi qu'à minuit ${\big )}$ , en montant à midi un objet au sommet d'une tour et en l'y déposant, on lui fournirait une certaine énergie potentielle de pesanteur ^[9] s'identifiant à l'énergie mécanique de l'objet une fois déposé mais qui dépendrait de l'instant de la journée où cette ascension est envisagé ;

si le poids était supposé plus grand à minuit qu'à midi, il en serait de même de l'« énergie potentielle de pesanteur dont il dérive avec choix d'une même référence » ^[10] et par suite l'énergie mécanique de l'objet déposé au sommet de la tour à midi deviendrait spontanément plus grande à minuit, ceci mettant en défaut la conservation de l'énergie mécanique d'un objet sans action extérieure travaillant $\;\ldots$

De plus, « la chute de l'objet à minuit restituerait une énergie plus grande qu'il n'aurait fallu en fournir pour monter l'objet à midi » ^[11] d'où un gain spontané d'énergie « gratuite et inépuisable », ce qui, malheureusement, n'est pas possible $\;\ldots$

Exemples de mouvement conservatif

Liste évidemment non exhaustive.

1^er exemple : oscillateur harmonique à une dimension

Introduit au chap.

1

« oscillateur harmonique » de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Traité sur l'exemple d'un « pendule élastique horizontal non amorti (P.E.H.N.A.) », l'axe du ressort étant choisi comme axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ dirigé de l'extrémité fixe du ressort à celle reliée au point matériel $\;M\;$ et l'origine $\;O\;$ de cet axe étant la « position d'équilibre du point $\;M\;$ » ^[12] ;

le point matériel $\;M\;$ est soumis

à deux forces verticales non conservatives $\;{\big (}$ ou considérées comme telles ${\big )}\;$ le poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ de $\;M\;$ et la réaction $\;{\vec {R}}\;$ du support horizontal sur lequel $\;M\;$ repose ^[13]^, ^[14] « qui ne travaillent pas » ^[15] et
à une seule force horizontale conservative « la tension du ressort sur $\;M\;$ » $\;{\vec {T}}=-k\;\Delta l\;{\vec {u}}_{x}=-k\left[l-l_{0}\right]{\vec {u}}_{x}\;$ selon la loi de Hooke ^[16]^, ^[17] s'écrivant encore, avec le choix de l'origine $\;O\;$ de l'axe horizontal en la « position d'équilibre du point $\;M\;$ » ^[12], $\;{\vec {T}}=-k\;x\;{\vec {u}}_{x}\;$ dérivant de l'énergie potentielle élastique $\;U_{\text{élast}}(M)={\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\;$ avec référence en la position à vide ;

nous vérifions donc bien la définition d'un point matériel à mouvement conservatif ^[1].

2^ème exemple : chute libre sans vitesse initiale d’un objet supposé ponctuel dans le champ de pesanteur terrestre uniforme

Voir le paragraphe « application du théorème du mouvement du C.D.I. dans le référentiel terrestre galiléen (chute libre d'un objet lancé verticalement) » du chap.

10

de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Traité en considérant le cas particulier $\;{\vec {V}}_{0}={\vec {0}}$ , l'objet, supposé ponctuel et noté $\;M$ , a une trajectoire verticale choisie comme axe $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ orienté dans le sens $\;\uparrow$ , l'origine $\;O\;$ de cet axe étant choisie en la position initiale $\;M_{0}$ ;

le point matériel $\;M\;$ n'est soumis qu'à une seule force verticale conservative « son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ » dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)=$ $m\;g\;z\;$ avec référence en $\;z=0\;$ c.-à-d. à l'altitude de la position initiale ;

nous vérifions donc bien la définition d'un point matériel à mouvement conservatif ^[1].

3^ème exemple : pendule pesant simple à un degré de liberté

Introduit au chap.

12

de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » en particulier dans le paragraphe « bilan des forces agissant sur le P.P.S. ».

Traité en considérant les C.I. ^[18] de lancement $\;1a\;$ ^[19] du pendule pesant simple $\;{\big (}$ P.P.S. ${\big )}$ $\;{\big [}$ constitué d'une tige rigide, sans masse, de longueur $\;l$ , mobile autour de son extrémité fixe $\;O$ , l'autre extrémité étant liée à un point matériel $\;M\;$ dont on étudie le mouvement ${\big ]}\;$ à savoir

on écarte le P.P.S. ^[20] de $\;\theta _{0}\;$ de sa position d'« équilibre stable » ^[21] et
on le lâche sans « vitesse initiale » dans le référentiel d'étude,

le mouvement du point matériel $\;M\;$ est plan, la trajectoire étant circulaire de centre $\;O\;$ dans le plan vertical de lancement, la position du point $\;M\;$ dans ce plan étant repérée en polaire de pôle $\;O\;$ et d'axe polaire $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ vertical $\;\downarrow \;$ de ce plan, c.-à-d. par son abscisse angulaire $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}$ ;

le point matériel $\;M\;$ est soumis

à une force conservative « son poids $\;m\;{\vec {g}}\;$ » vertical $\;\downarrow$ , dérivant de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\left(l-z\right)\;$ ^[22] avec référence en $\;z=l\;$ c.-à-d. à la cote de la position d'« équilibre stable » ^[21] et
à une force non conservative « la tension de la tige $\;{\vec {T}}={\overline {T}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ ^[23] s'exerçant sur $\;M\;$ » « qui ne travaille pas » ^[24] ;

nous vérifions donc bien la définition d'un point matériel à mouvement conservatif ^[1].

Étude énergétique d'un point matériel à mouvement conservatif à une dimension sur l’exemple de la chute libre sans vitesse initiale, diagramme d’énergies potentielle et mécanique, présence d'un seul mur d'énergie potentielle (position de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) non bornée

Écriture de l'intégrale 1^ère énergétique d'un point matériel à mouvement de chute conservatif

Le point matériel $\;M\;$ de masse $\;m\;$ étant lâché sans vitesse initiale d'une position $\;M_{0}\;$ situé à l'altitude $\;h\;$ dans le champ de pesanteur terrestre uniforme $\;{\vec {g}}$ , on choisit pour axe vertical $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ orienté dans le sens $\;\uparrow \;$ l’axe passant par $\;M_{0}$ , l'origine de cet axe étant au niveau du sol ;

la référence de l'énergie potentielle de pesanteur étant également au niveau du sol, le point matériel $\;M$ , situé à l'altitude $\;z_{M}$ , possède, dans le référentiel terrestre supposé galiléen, l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)=m\;g\;z_{M}\;$ et l'énergie cinétique $\;K(M)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M,\,z}^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {z}}_{M}^{\,2}\;$ soit au total l'énergie mécanique

«

\;E_{m}(M)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {z}}_{M}^{\,2}+m\;g\;z_{M}\;

» ;

l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement de chute conservatif du point $\;M$ , s'écrit $\;E_{m}(M)=E_{m,\,0}\;$ avec $\;E_{m,\,0}=0+m\;g\;h=m\;g\;h\;$ soit finalement, à l'instant $\;t$ ,

«

\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {z}}_{M}^{\,2}\!(t)+m\;g\;z_{M}(t)=m\;g\;h\;

».

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre

Diagramme d'énergie potentielle $\;{\big (}$ voir ci-contre en bleu ${\big )}$ : tracé de la courbe d’énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ c.-à-d. la courbe de variation de l'énergie potentielle $\;U_{\text{pes}}\;$ en fonction du paramètre de position $\;z$ ; on note $\;P_{u}\;$ le point générique de cette courbe qui a pour abscisse $\;z\;$ et pour ordonnée $\;U_{\text{pes}}(z)=m\;g\;z$ ;

diagramme d'énergie mécanique $\;{\big (}$ voir ci-contre en rouge ${\big )}$ : tracé de la courbe d’énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ c.-à-d. la courbe de variation de l'énergie mécanique $\;E_{m}\;$ en fonction du paramètre de position $\;z$ ; on note $\;P_{m}\;$ le point générique de cette courbe qui a pour abscisse $\;z\;$ et pour ordonnée $\;E_{m}=E_{m,\,0}=m\;g\;h$ ;

lorsqu'il y a « mouvement de $\;M\;$ à partir de ses C.I. ^[18] » ^[25], les points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se déplacent simultanément sur $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ dans des limites autorisées « à déterminer » et c’est l'étude de ces déplacements possibles que l'on cherche à trouver par étude graphique.

Notion de mur d'énergie potentielle

De la définition de $\;E_{m}(M)=K(M)+U_{\text{pes}}(M)$ , nous en déduisons $\;K(M)=E_{m}(M)-U_{\text{pes}}(M)\;$ représenté par $\;{\overline {HP_{m}}}-{\overline {HP_{u}}}$ $={\overline {P_{u}P_{m}}}\;$ soit « $\;K(M)\;{\widehat {=}}\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;$ » ^[26]^, ^[27] et comme $\;K(M)\;$ est, par définition, $\;\geqslant 0$ , « le point $\;P_{m}\;$ doit être au dessus de $\;P_{u}\;$ », ce qui interdit aux points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ d’être dans les zones correspondant à $\;(\Gamma _{u})\;$ strictement au-dessus de $\;(\Gamma _{m})$ ;

on définit ainsi « un (ou des) mur(s) d’énergie potentielle » défini(s) par une valeur constante du paramètre de position séparant une zone autorisée d'une zone interdite et représentés comme sur le schéma ci-dessus ;

quand les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sont confondus sur le mur d'énergie potentielle, l'énergie cinétique associée à cette situation étant nulle, ceci correspond à une position d’arrêt $\;{\big (}$ vitesse nulle ${\big )}\;$ du point $\;M$ ;

dans le cas présent il n’y a qu'un mur d’énergie potentielle $\;z=h$ , la zone située strictement à droite de ce mur étant interdite.

Présence d'un seul mur d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement non bornée

Les C.I. ^[18] étant telles que $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sont initialement confondus en $\;P_{0}\;$ sur le mur d’énergie potentielle $\;z=h$ , la présence du mur interdisant la $\;\nearrow \;$ de $\;z$ , nous en déduisons que « $\;z\;$ reste constant ou $\;\searrow \;$ » ;

or $\;z=h\;$ qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre » ^[28], $\;z\;$ ne peut rester constant et par suite $\;\searrow \;$ strictement, les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle $\;{\big (}$ c.-à-d. vers la gauche ${\big )}\;\ldots$

ces déplacements simultanés de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ engendrant une $\;\nearrow \;$ continue de $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\;$ ^[26] se poursuivent indéfiniment hors présence d'obstacles $\;{\big (}$ la raison n'étant pas que $\;K(M)\;$ soit en $\;\nearrow \;$ continue, mais que $\;K(M)\;$ ne s'annule plus, c.-à-d. que $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ ne rencontrent pas un autre mur d'énergie potentielle ${\big )}\;$ ce qui a pour conséquence que « la trajectoire du point matériel $\;M\;$ à mouvement conservatif ^[1] est cinétiquement non bornée » ^[29] $\;{\big [}$ on dit encore d'un point matériel ayant une trajectoire $\;{\big (}$ cinétiquement ${\big )}\;$ non bornée qu'il est dans un état de diffusion ${\big ]}$ .

Remarque 1 : dans le cas présent, le point matériel $\;M\;$ cessant d'être en chute libre quand il rencontre le sol, ce dernier représente une borne d'espace effective à la trajectoire de $\;M\;$ ${\big (}$ mais cette borne d'espace étant une limite du domaine d'application de la chute libre et non une conséquence de la chute tant que celle-ci reste libre, sa présence n'est pas incompatible avec la qualification de trajectoire cinétiquement non bornée ${\big )}$ ;

Remarque 1 : dans le cas présent, quand le point matériel $\;M\;$ en chute libre rencontre le sol, ce dernier exerce sur $\;M\;$ une « force de collision ^[30] $\;{\big [}$ force proportionnelle à un pic de Dirac ^[31] d'impulsion unité centré à l'instant de collision c.-à-d. $\;\delta (t-t_{\text{collis}})\;$ ^[32] donc discontinue de 2^ème espèce ^[33] ${\big ]}\;$ permettant l'arrêt du point $\;M\;$ » ^[34].

Remarque 2 : dans le cas présent, pour une chute sans vitesse initiale, l'abscisse du mur d'énergie potentielle $\;z=h\;$ est aussi l'altitude maximale possible de l'objet lors de sa chute, cette valeur maximale étant la valeur initiale.

Cas où le point matériel est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position d'altitude quelconque

Non explicite dans le programme de physique de P.C.S.I. mais ne soulevant aucune difficulté supplémentaire par rapport à la chute libre sans vitesse initiale d'où sa présentation

\;\ldots

L'intégrale 1^ère énergétique du point matériel $\;M\;$ à chute libre conservative ^[1] reste la même qu'en absence de vitesse initiale « $\;E_{m}(M)$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {z}}_{M}^{\,2}+m\;g\;z_{M}=E_{m,\,0}\;$ » avec la même référence d'énergie potentielle mais une énergie mécanique initiale modifiée en « $\;E_{m,\,0}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{0}^{\,2}+m\;g\;h\;$ » ;

le diagramme d’énergies potentielle et mécanique est tracé ci-contre, la courbe d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})$ , en bleu, étant la même qu'en absence de vitesse initiale et celle d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})$ , en rouge, translatée vers le haut relativement à celle du diagramme sans vitesse initiale de « $\;K_{0}(M)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0,\,z}^{\,2}\;$ » ;

on détecte l'existence d'« un et un seul mur d’énergie potentielle $\;z=z_{\text{max}}\;$ » déplacé vers la droite par rapport à celui du diagramme sans vitesse initiale :

initialement les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})$ , respectivement en $\;P_{u,\,0}\;$ et $\;P_{m,\,0}\;$ tels que « $\;{\overline {P_{u,\,0}P_{m,\,0}}}\;{\widehat {=}}\;$ ^[26] $K_{0}(M)>0\;$ » se déplacent sur $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ vers la droite ^[35] $\Rightarrow$ « $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\searrow \;$ ^[26] jusqu'à ce que $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ rencontrent en $\;P_{0}\;$ le mur d'énergie potentielle $\;z=z_{\text{max}}\;$ sur lequel $\;M\;$ est au repos » mais $\;\ldots$

cette position « n'étant pas une position d'équilibre » ^[28] « $\;z\;$ ne peut rester constant et par suite $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se déplacent sur $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ vers la gauche » $\;{\big (}$ ce qui correspond à un mouvement de chute libre de $\;M\;$ dans le sens des altitudes $\;\searrow {\big )}$ $\;\ldots$
ces déplacements simultanés de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ engendrant une croissance continue de $\;K(M)\;$ se poursuivent indéfiniment ^[36], ce qu'on traduit par le fait que « $\;M\;$ a une trajectoire cinétiquement non bornée » ^[29]^, ^[37] $\;{\big [}M\;$ est donc dans un état de diffusion ${\big ]}$ ;

le mur d'énergie potentielle « $\;z=z_{\text{max}}\;$ » étant la valeur maximale de l'altitude possible du point matériel $\;M\;$ se calcule par intégrale 1^ère énergétique du mouvement de $\;M\;$ soit « $\;E_{m}(z_{\text{max}})=E_{m,\,0}\;$ » ou « $\;0+m\;g\;z_{\text{max}}$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0,\,z}^{\,2}+m\;g\;h\;$ » ^[38] soit finalement « $\;z_{\text{max}}=h+{\dfrac {V_{0,\,z}^{\,2}}{2\;g}}\;$ ».

Retour sur l'étude de la chute libre d'un point matériel dans un champ de pesanteur uniforme quand le point est lancé avec une vitesse initiale inclinée

Dans ce paragraphe, nous prolongeons l'étude faite dans le chap. $10$ « loi de la quantité de mouvement : mouvement dans le champ de pesanteur uniforme » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » par un traitement énergétique, celui-ci ne pouvant être fait qu'après l'introduction de la notion de force conservative et de celle de mouvement conservatif ^[1].

Rappel des C.I. ^[18] : l'objet de C.D.I. ^[39] $\;G\;$ est lancé d'un endroit telle que la position de son C.D.I. ^[39] soit $\;G_{0}\;$ choisi comme origine $\;O\;$ du repère cartésien avec un mouvement de translation de vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ faisant l'angle $\;\alpha _{0}\;$ avec l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ horizontal du plan vertical de lancement tel que $\;\vert \alpha _{0}\vert \;$ soit aigu, l'axe $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ étant vertical $\;\uparrow \;$ et $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ horizontal $\;\perp \;$ au plan vertical de lancement $\;(xOz)$ de façon à ce que le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Ox}}\,,\,{\overrightarrow {Oy}}\,,\,{\overrightarrow {Oz}}\right\rbrace \;$ soit direct dans l'espace physique orienté à droite ^[40]^, ^[41], les angles du plan vertical de lancement $\;(xOz)\;$ étant orientés dans le sens trigonométrique direct $\;{\big (}$ ou sens anti-horaire ${\big )}\;$ par $\;-{\vec {u}}_{y}\;$ ^[42] ;

rappel des mouvements de $\;G_{x}$ , $\;G_{y}\;$ et $\;G_{z}\;$ ^[43] : $\blacktriangleright \;$ « le mouvement du C.D.I. ^[39] se fait dans le plan vertical de lancement » d'où « $\;G_{y}\;$ immobile, confondu avec $\;O\;$ » ^[44],

rappel des mouvements de $\;\color {transparent}{G_{x}}$ , $\;\color {transparent}{G_{y}}\;$ et $\;\color {transparent}{G_{z}}\;$ : $\blacktriangleright \;$ « le mouvement de $\;G_{x}\;$ est $\;{\big (}$ rectiligne ${\big )}\;$ uniforme de vitesse $\;V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;$ » ^[44] et

          rappel des mouvements de $\;\color {transparent}{G_{x}}$ , $\;\color {transparent}{G_{y}}\;$ et $\;\color {transparent}{G_{z}}\;$ : $\blacktriangleright \;$ « le mouvement de $\;G_{z}\;$ est $\;{\big (}$ rectiligne ${\big )}\;$ uniformément varié d'accélération $\;-g\;$ et de vitesse initiale $\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})\;$ » ^[44],
          rappel des mouvements de $\;\color {transparent}{G_{x}}$ , $\;\color {transparent}{G_{y}}\;$ et $\;\color {transparent}{G_{z}}\;$ : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ le mouvement étant d'abord ascendant dans la mesure où $\;\alpha _{0}\;$ est $\;>0$ , la trajectoire de $\;G\;$ admettant alors un sommet $\;S\;$ effectivement atteint et
          rappel des mouvements de $\;\color {transparent}{G_{x}}$ , $\;\color {transparent}{G_{y}}\;$ et $\;\color {transparent}{G_{z}}\;$ : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ le vecteur vitesse de $\;G\;$ en ce sommet $\;S\;$ étant horizontal égal à $\;{\vec {V}}_{S}=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\;{\vec {u}}_{x}$ ;

la seule force appliquée, le poids de l'objet, étant conservative, « le C.D.I. ^[39] de ce dernier a un mouvement conservatif ^[1] » obéissant à l'« intégrale 1^ère énergétique $\;E_{m}(G)=E_{m,\,0}\;$ » ou
la seule force appliquée, le poids de l'objet, étant conservative, « le C.D.I. de ce dernier a un mouvement conservatif » obéissant à « $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\,\left[V_{G,\,x}^{\,2}+V_{G,\,z}^{\,2}\right]+m\;g\,z_{G}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}\;$ » ;

la seule force appliquée, le poids de l'objet, étant conservative, si $\;\alpha _{0}\;$ est $\;>0$ , on peut « déterminer l'altitude $\;z_{S}\;$ du sommet de la trajectoire du C.D.I. ^[39] par intégrale 1^ère énergétique du mouvement de ce dernier » selon « $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\,\left[V_{0}^{\,2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})\;{\cancel {+V_{S,\,z}^{\,2}}}\right]+m\;g\,z_{G}$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}\;$ » ou « $\;m\;g\,z_{G}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}\left[1-\cos ^{2}(\alpha _{0})\right]\;$ » ou encore « $\;m\;g\,z_{G}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\;$ » d'où

«

\;z_{S}={\dfrac {V_{0}^{\,2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{2\;g}}\;

» ^[45]^, ^[46].

Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple de l'oscillateur harmonique à une dimension, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, isochronisme des oscillations

Voir aussi le chap.

1

« oscillateur harmonique » de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

Rappel de l'intégrale 1^ère énergétique de l'oscillateur harmonique à une dimension constitué d'un pendule élastique horizontal non amorti (P.E.H.N.A.)

Une 1^ère introduction $\;{\big (}$ expérimentale ${\big )}\;$ a été faite au paragraphe « définition de l'énergie mécanique et sa conservation, conséquence de l'absence de forces autres que celle du ressort (dans le cas d'un pendule élastique horizontal non amorti) » du chap. $1$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

     Avec l'axe horizontal du ressort choisi comme axe $\;{\overrightarrow {x'x}}\;$ orienté de son extrémité fixe vers l'extrémité mobile où est lié le point matériel $\;M\;$ de masse $\;m$ ,
     Avec le ressort étant idéal ^[47], à spires non jointives, de raideur $\;k\;$ et de longueur à vide $\;l_{0}$ ,
     Avec l'origine $\;O\;$ de cet axe $\;{\big (}$ horizontal ${\big )}\;$ étant choisie à la position d'équilibre de $\;M\;$ ^[12],
     Avec le point $\;M\;$ est initialement écarté de $\;x_{0}\;$ de la « position d'équilibre du P.E.H.N.A. ^[48] » ^[12] et lâché sans vitesse initiale ;

     le point $\;M$ , situé à l'abscisse $\;x$ , possède une « énergie potentielle élastique égale, avec choix d'une référence à la position d'équilibre du point ^[12], à $\;U_{\text{élast}}(M)={\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\;$ ^[49] » et
     le point $\;\color {transparent}{M}$ , situé à l'abscisse $\;\color {transparent}{x}$ , possède une « énergie cinétique $\;K(M)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\;$ » soit
     le point $\;\color {transparent}{M}$ , situé à l'abscisse $\;\color {transparent}{x}$ , possède une « énergie mécanique $\;E_{m}(M)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\;$ » ;

     « le point $\;M\;$ étant à mouvement conservatif ^[1] » ${\big (}$ la seule force travaillant étant la force exercée par le ressort, laquelle est conservative ${\big )}$ ,
         « le point $\;\color {transparent}{M}\;$ étant à mouvement conservatif » l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement d'oscillations du P.E.H.N.A. ^[48] $\;M$ , s'écrit « $\;E_{m}(M)=E_{m,\,0}\;$ avec $\;E_{m,\,0}=0+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x_{0}^{2}={\dfrac {1}{2}}\;k\;x_{0}^{2}\;$ ^[50] »
               « le point $\;\color {transparent}{M}\;$ étant à mouvement conservatif » l'intégrale 1^ère énergétique du mouvement d'oscillations du P.E.H.N.A. $\;\color {transparent}{M}$ , soit finalement, à l'instant $\;t$ , « $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{\,2}\!(t)+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\!(t)={\dfrac {1}{2}}\;k\;x_{0}^{2}\;$ ».

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A.

L'étude d’un oscillateur harmonique par diagramme d'énergies potentielle et mécanique n'est pas cité dans le programme de physique de P.C.S.I. ^[51], toutefois cette étude est intéressante car elle représente un autre exemple d'état lié que celui du pendule pesant simple non amorti $\;{\big (}$ P.P.S.N.A. ${\big )}\;$ traité à la suite du P.E.H.N.A. ^[48].

Dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace les courbes

d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ en bleu ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points $\;P_{u}\;$ d'abscisse $\;x\;$ et d'ordonnée $\;U_{\text{élast}}(x)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}$ $\;{\big [}(\Gamma _{u})\;$ étant une parabole ^[52] de concavité positive, de sommet $\;(0\,,\,0)\;$ et d'axe $\;x=0{\big ]}\;$ et
d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ en rouge ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points $\;P_{m}\;$ d'abscisse $\;x\;$ et d'ordonnée $\;E_{m}(x)=E_{m,\,0}$ $={\dfrac {1}{2}}\;k\;x_{0}^{2}$ $\;{\big [}(\Gamma _{m})\;$ étant une droite $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;x\;$ d'ordonnée $\;E_{m,\,0}{\big ]}$ .

Présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée

On observe, sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre, la présence de deux murs d'énergie potentielle délimitant les domaines d'abscisses interdites tels que $\;U_{\text{élast}}\ngtr E_{m,\,0}$ ,

l'un correspondant à $\;P_{0}\;$ position commune initiale des points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ d'abscisse $\;x_{0}\;$ et
l'autre correspond à $\;{P'}_{0}\;$ position symétrique de $\;P_{0}\;$ par rapport à l'axe des énergies, d'abscisse $\;{x'}_{0}=-x_{0}$ ;

ces deux murs d'énergie potentielle interdisent les domaines $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}x<{x'}_{0}=-x_{0}\\x>x_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ pour la variation de l'abscisse du P.E.H.N.A. ^[48] $\;M\;$ c.-à-d. que ce dernier a une trajectoire cinétiquement bornée, le domaine de variation de son abscisse étant un intervalle à bornes finies à savoir $\;\left[{x'}_{0}=-x_{0}\;,\;x_{0}\right]$ $\;{\big \{}$ on dit encore du P.E.H.N.A. ^[48] ayant une trajectoire cinétiquement bornée qu'il est dans un état lié $\;{\big [}$ ce qui correspond à un déplacement possible des points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ des courbes $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ entre deux murs d'énergie potentielle ou, à un déplacement possible de ces points dans une cuvette $\;{\big (}$ ou puits ${\big )}\;$ d'énergie potentielle ${\big ]}{\big \}}$ .

Détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.E.H. « par diagramme énergétique »

La nature oscillatoire a déjà été établie dans le chap.

1

de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »
à partir de l'équation différentielle du mouvement du P.E.H.N.A. ^[48]^, ^[53].

$\;\succ \;$ Les C.I. ^[18] étant telles que $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sont initialement confondus en $\;P_{0}\;$ sur le mur d'énergie potentielle de droite $\;x=x_{0}$ , la présence du mur interdisant la $\;\nearrow \;$ de $\;x$ , nous en déduisons que « $\;x\;$ reste constant ou $\;\searrow \;$ » ;

$\;\color {transparent}{\succ }\;$ or $\;x=x_{0}\;$ qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre » ^[28], $\;x\;$ ne peut rester constant et par suite $\;\searrow \;$ strictement, les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de droite $\;{\big (}$ c.-à-d. vers la gauche ${\big )}\;\ldots$

$\;\succ \;$ ces déplacements simultanés de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ engendrant d'abord une $\;\nearrow \;$ continue de $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\;$ ^[26] jusqu'au passage de $\;P_{m}\;$ par $\;P_{\text{éq}}\;$ puis une $\;\searrow \;$ continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se rejoignent en $\;{P'}_{0}\;$ point commun du mur d'énergie potentielle de gauche $\;x={x'}_{0}=-x_{0}$ , la présence de ce mur interdisant la $\;\searrow \;$ de $\;x$ , nous en déduisons que « $\;x\;$ reste constant ou $\;\nearrow \;$ » ;

$\;\color {transparent}{\succ }\;$ or $\;x={x'}_{0}=-x_{0}\;$ qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre » ^[28], $\;x\;$ ne peut rester constant et par suite $\;\nearrow \;$ strictement, les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de gauche $\;{\big (}$ c.-à-d. vers la droite ${\big )}$ $\;\ldots$

$\;\succ \;$ ces déplacements simultanés de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ engendrant d'abord une $\;\nearrow \;$ continue de $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\;$ ^[26] jusqu'au nouveau passage de $\;P_{m}\;$ par $\;P_{\text{éq}}\;$ puis une $\;\searrow \;$ continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se rejoignent en $\;P_{0}\;$ point commun du mur d'énergie potentielle de droite $\;x=x_{0}$ , la présence de ce mur interdisant la $\;\nearrow \;$ de $\;x$ , nous en déduisons que « $\;x\;$ reste constant ou $\;\searrow \;$ », ce qui, correspondant exactement à la situation initiale, permet de déduire que ces déplacements simultanés de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se poursuivent indéfiniment $\;{\big (}$ en absence d'amortissements ${\big )}\;$ de façon identique $\;\ldots$

d'où, en conséquence, « la nature oscillatoire du mouvement du P.E.H.N.A. ^[48] ».

Détermination de la nature périodique du mouvement du P.E.H. en utilisant l'intégrale 1^ère énergétique simultanément au diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point M puis expression de la période sous forme intégrale

La nature périodique a déjà été établie simultanément à la nature oscillatoire dans le chap.

1

de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »
en résolvant l'équation différentielle du mouvement du P.E.H.N.A. ^[48]^, ^[53].

Pour déterminer la nature périodique du mouvement du P.E.H.N.A. ^[48] par utilisation simultanée de son intégrale 1^ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, il faut « montrer que la durée correspondant au n^ème aller-retour des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sur $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ de $\;P_{0}\rightarrow {P'}_{0}\rightarrow P_{0}\;$ est indépendant du numéro $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ de l'aller-retour » :

     on utilise d'abord l'« intégrale 1^ère énergétique du mouvement du P.E.H.N.A. ^[48] $\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\!(t)=E_{m,\,0}\;$ avec les mêmes C.I. ^[18] que précédemment ^[54] $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;k\;x_{0}^{2}\;$ » soit
     on utilise d'abord l'« intégrale 1^ère énergétique « $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\!(t)={\dfrac {1}{2}}\;k\;x_{0}^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\!(t)\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {x}}(t)={\dfrac {dx}{dt}}(t)=\pm {\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\!(t)\right]}}\;$ » ^[55] et par suite
     on utilise d'abord l'« intégrale 1^ère énergétique « la durée élémentaire $\;dt\;$ correspondant à une variation élémentaire $\;dx\;$ de l'abscisse $\;x\;$ de $\;M\;$ » ^[56] s'écrit « $\;dt=\pm {\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}\;$ » ^[57]^, ^[55] ;

on utilise dans un 2^ème temps le diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour faire le choix entre $\;+\;$ et $\;-\;$ suivant le sens de déplacement des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ entre les deux murs d'énergie potentielle $\;{\big \{}$ soit encore leur sens de déplacement dans la cuvette $\;{\big (}$ ou puits ${\big )}\;$ d'énergie potentielle ${\big \}}$ :

on utilise dans un 2^ème temps $\;\succ \;$ pour le n^ème aller des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{0}\;$ à $\;{P'}_{0}$ , $\;x\searrow \;$ d'où $\;dx\;$ correspondant à $\;dt>0\;$ est $\;<0\;$ $\Rightarrow$ « $\;dt=-{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\!(t)\right]}}}\;$ » ^[57], la durée totale
on utilise dans un 2^ème temps $\;\color {transparent}{\succ }\;$ du n^ème aller s'obtenant alors par intégration selon « $\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}}=\displaystyle \int _{x_{0}}^{-x_{0}}-{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}=\displaystyle \int _{-x_{0}}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}\;$ » ^[58] ;

on utilise dans un 2^ème temps $\;\succ \;$ pour le n^ème retour des mêmes points de $\;{P'}_{0}\;$ à $\;P_{0}$ , $\;x\nearrow \;$ d'où $\;dx\;$ correspondant à $\;dt>0\;$ est $\;>0\;$ $\Rightarrow$ « $\;dt={\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\!(t)\right]}}}\;$ » ^[57], la durée totale
on utilise dans un 2^ème temps $\;\color {transparent}{\succ }\;$ du n^ème retour s'obtenant aussi par intégration selon « $\;\Delta t_{{P'}_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=\displaystyle \int _{-x_{0}}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}=\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}}\;$ » ^[58] ;

     on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation du point $\;M$ , « $\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}}+\Delta t_{{P'}_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=2\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}}\;$ » soit finalement
     on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation « $\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=2\;\displaystyle \int _{-x_{0}}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}\;$ ^[58] indépendante de $\;n\;$ »
     on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation $\;{\big (}$ la fonction à intégrer ainsi que les bornes d'intégration en étant indépendantes ${\big )}$ ,
       on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation ce qui établit la nature périodique du mouvement d'oscillations du P.E.H.N.A. ^[48] $\;M$ .

La période $\;{\mathcal {T}}\;$ du mouvement d'oscillations du P.E.H.N.A. ^[48] $\;M\;$ étant la durée d'un aller-retour des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{0}\;$ à $\;P_{0}\;$ en passant par $\;{P'}_{0}$ , s'obtient par l'intégrale suivante

«

\;{\mathcal {T}}=\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,{P'}_{0}\,\rightarrow \,P_{0}}=2\;\displaystyle \int _{-x_{0}}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}=4\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}\;

» ^[58]^, ^[59].

Isochronisme des oscillations

Voir le paragraphe « définition de l'isochronisme d'un oscillateur » du chap.

12

de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Dans le cas présent du P.E.H.N.A. ^[48] qui est un oscillateur harmonique non amorti d'« équation différentielle normalisée $\;{\ddot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}\;x(t)=0\;$ où $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ est la pulsation propre de l'oscillateur », la propriété d'isochronisme est évidente car la solution, avec les C.I. précédemment introduites, s'écrit

«

\;x(t)=x_{0}\;\cos(\omega _{0}\;t)\;

» ^[53] d'« amplitude

\;x_{0}\;

» et de « période

\;{\big (}

propre

{\big )}

\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;

indépendante de l'amplitude

\;x_{0}\;

» ^[60] ;

toutefois, au regard de l'expression de la période sous forme intégrale « $\;{\mathcal {T}}=4\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}={\dfrac {4}{\omega _{0}}}\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {x_{0}^{2}-x^{2}}}}\;$ » ^[58]^, ^[61] faisant intervenir $\;x_{0}\;$ dans la borne supérieure de l'intégrale généralisée ainsi que dans la fonction à intégrer, on pourrait penser que « cette période $\;{\mathcal {T}}\;$ ^[61] dépende de l'amplitude $\;x_{0}\;$ » est la propriété la plus vraisemblable mais il n'en est rien d'après l'expression de la période $\;{\big (}$ propre ${\big )}$ $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$ dans laquelle $\;x_{0}\;$ n'apparaît pas !

Pour vérifier l'« indépendance de $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {4}{\omega _{0}}}\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {x_{0}^{2}-x^{2}}}}\;$ ^[58]^, ^[61] relativement à $\;x_{0}\;$ », on « transforme l'intégrale généralisée $\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {x_{0}^{2}-x^{2}}}}\;$ ^[58] de façon à faire disparaître $\;x_{0}\;$ de la fonction à intégrer », ce qui entraînera aussi, comme il y a isochronisme des oscillations, la disparition de $\;x_{0}\;$ des bornes d'intégration :

pour cela « on met $\;x_{0}\;$ en facteur dans le dénominateur de la fonction à intégrer » selon « $\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{x_{0}\;{\sqrt {1-\left({\dfrac {x}{x_{0}}}\right)^{\!\!2}}}}}=\displaystyle \int _{x=0}^{x=x_{0}}{\dfrac {d\!\left({\dfrac {x}{x_{0}}}\right)}{\sqrt {1-\left({\dfrac {x}{x_{0}}}\right)^{\!\!2}}}}\;$ » ^[58] soit, en posant « $\;u={\dfrac {x}{x_{0}}}\;$ », l'expression de la période sous forme intégrale utilisant la nouvelle variable « $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {4}{\omega _{0}}}\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;$ » ^[58]^, ^[61] vérifiant effectivement la propriété d'« isochronisme des oscillations » ^[62] ;

parallèlement le calcul de l'intégrale généralisée $\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;$ ^[58] peut être achevé sachant que « $\;{\dfrac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;$ admet pour primitive $\;\arcsin(u)\;$ » ^[63] ce qui implique « $\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}=\left[\arcsin(u)\right]_{0}^{1}$ $=\arcsin(1)-\arcsin(0)={\dfrac {\pi }{2}}\;$ » et par suite « $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {4}{\omega _{0}}}\;{\dfrac {\pi }{2}}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}\;$ » ^[61] C.Q.F.V. ^[64].

En complément : prolongement de l'utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel à mouvement non conservatif sur l'exemple d'un « oscillateur harmonique amorti »

Voir aussi le chap.

28

« oscillateurs amortis : circuit R L C série et oscillateur mécanique amorti par frottement visqueux » de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

La présence d'une « force de frottement fluide linéaire $\;{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(t)=-h\;{\vec {V}}_{M}(t)=-h\;{\dot {x}}(t)\;{\vec {u}}_{x}\;$ » non conservative agissant sur le point matériel $\;M\;$ d'un pendule élastique horizontal amorti $\;{\big (}$ P.E.H.A. ${\big )}\;$ et développant un travail, rend le mouvement du point matériel $\;M\;$ « non conservatif », ce qui nie l'existence d'une intégrale 1^ère énergétique pour le P.E.H.A. ^[65], « l'énergie mécanique de ce dernier $\;E_{m}(t)$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\!(t)\;$ obéissant alors au théorème de la puissance mécanique » « $\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}\!\!\left[{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}\right]\!\!(t)=\left[-h\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{M}(t)=-h\;{\dot {x}}^{2}\!(t)\;$ toujours $\;\leqslant 0\;$ » ^[66].

La courbe d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ reste la même que celle tracée dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.N.A. ^[48] c.-à-d. une parabole ^[52] de concavité positive, mais

     la cocelle d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ n’est plus une droite $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;x$ ; « pour la préciser il convient de déterminer la pente de $\;(\Gamma _{m})\;$ au point d'abscisse $\;x(t)\;$ » soit « $\;{\dfrac {dE_{m}}{dx}}={\dfrac {dE_{m}}{dt}}\;{\dfrac {dt}{dx}}=$ ${\dfrac {1}{{\dot {x}}(t)}}\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)\;$ ou finalement $\;{\dfrac {dE_{m}}{dx}}(t)=-h\;{\dot {x}}(t)\;$ » ; nous en déduisons les propriétés suivantes de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ au point générique $\;P_{m}\;$ d'abscisse $\;x(t)$ :
     la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\blacktriangleright \;$ elle est $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;x\;$ aux points $\;P_{1}^{(n)}\;$ et $\;P_{2}^{(n)}\;$ correspondant à $\;M\;$ à l'arrêt ^[67], ces points $\;P_{1}^{(n)}\;$ et $\;P_{2}^{(n)}\;$ étant respectivement les points d'intersection d'abscisse positive et négative des courbes d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})$ et d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})$ ,
     la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\blacktriangleright \;$ en tout autre point $\;P_{m}\;$ la pente de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ y est $\;\neq 0$ ,
     la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ en tout autre point $\;\color {transparent}{P_{m}}\;$ elle est « positive quand le paramètre de position $\;x\searrow \;$ » c.-à-d. « quand $\;P_{m}\;$ se déplace vers la gauche » et
     la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ en tout autre point $\;\color {transparent}{P_{m}}\;$ elle est « négative quand le paramètre de position $\;x\nearrow \;$ » c.-à-d. « quand $\;P_{m}\;$ se déplace vers la droite », enfin
     la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\blacktriangleright \;$ « la pente de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ est extrémale aux points $\;P_{m}\;$ associés aux instants où la vitesse de $\;M\;$ est de valeur absolue $\;\vert {\dot {x}}(t)\vert \;$ maximale » c.-à-d. « là où l'énergie cinétique du P.E.H.A. ^[65] $\;K_{M}(t)\;$ est maximale » $\;{\big [}$ cela correspond aussi aux instants tels que « $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}(t)\;{\widehat {=}}\;K_{M}(t)\;$ ^[26] est maximal » ^[68] ${\big ]}$ ;
     la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « suivant la valeur plus ou moins grande de $\;h\;$ » $\;{\bigg (}\!$ ou « plus ou moins grande du cœfficient d'amortissement $\;\sigma ={\dfrac {h}{2\;m\;\omega _{0}}}={\dfrac {h\;\omega _{0}}{2\;k}}={\dfrac {h}{2\;{\sqrt {k\;m}}}}\;$ » $\!{\bigg )}$ , « la valeur absolue de la pente de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ est plus ou moins grande » :

      $\succ \;$ « si $\;\sigma \;$ est relativement grand » $\;{\big (}$ plus précisément « si $\;\sigma \;$ est $\;\geqslant 1\;$ » ${\big )}$ , « la courbe $\;(\Gamma _{m})$ , partant de $\;P_{1}\;$ aboutira directement en $\;(x=0\,,\,E_{m}=0)\;$ », correspondant à un « régime apériodique ou apériodique critique de $\;M\;$ » $\;{\big \{}$ voir les diagrammes d’énergies potentielle et mécanique ci-contre, avec C.I. ^[18] $\;\left[x(0)=a\,,\right.$ $\,\left.V(0)=0\right]\;$ et cœfficients d'amortissement différents $\;{\big (}$ ou facteurs de qualité ^[69] différents ${\big )}$ $\;\sigma =2$ $\;{\big (}$ ou $\;Q=0,25{\big )}\;$ à gauche et $\;\sigma =1\;$ $\;{\big (}$ ou $\;Q=$ $0,5{\big )}\;$ à droite ${\big \}}$ ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ dans les cas ci-contre, le retour à la position d'équilibre se fait, à partir de $\;P_{1}$ , avec une énergie cinétique faible $\;{\big [}$ dans ces deux cas, « $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}(t)\;{\widehat {=}}\;K_{M}(t)\;$ ^[26] étant petit » ${\big ]}\;$ ${\big (}$ et même très faible dans le cas $\;\sigma =2\;$ à gauche ${\big )}$ ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ si l'on compare les deux diagrammes d'énergies, c'est dans le cas d'un régime apériodique critique $\;{\big (}$ à droite ${\big )}\;$ que le retour à la position d'équilibre $\;x=0\;$ est le plus rapide $\;{\big [}$ il se fait à énergie cinétique plus grande, $\;(\Gamma _{m})\;$ plus « écartée » de $\;(\Gamma _{u}){\big ]}$ ;

      $\succ \;$ « si $\;\sigma \;$ est relativement faible » $\;{\big (}$ c.-à-d. « si $\;\sigma \;$ est $\;<1\;$ » ${\big )}$ , « la courbe $\;(\Gamma _{m})$ , partant de $\;P_{1}\;$ rencontrera $\;(\Gamma _{u})\;$ en $\;P_{2}\;$ » $\;{\bigg [}x\searrow \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {x}}(t)<0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dE_{m}}{dx}}>0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;E_{m}\searrow \;$ quand $\;x\searrow {\bigg ]}\;$ puis « repartira dans l'autre sens et rencontrera $\;(\Gamma _{u})\;$ en $\;{P'}_{1}$ » $\;{\bigg [}\;x\nearrow \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {x}}(t)>0\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {dE_{m}}{dx}}<0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;E_{m}\searrow \;$ quand $\;x\nearrow {\bigg ]}\;$ etc $\ldots$ correspondant à un « régime pseudo-périodique de $\;M\;$ » $\;{\big \{}$ ci-contre diagrammes d’énergies potentielle et mécanique avec C.I. ^[18] $\;\left[x(0)=a\,,\,V(0)=0\right]\;$ et cœfficients d'amortissement différents $\;{\big (}$ ou facteurs de qualité ^[69] différents ${\big )}$ $\;\sigma =0,125\;$ ${\big (}$ ou $\;Q=4{\big )}\;$ à gauche et $\;\sigma =0,0125\;$ ${\big (}$ ou $\;Q=40{\big )}\;$ à droite ${\big \}}$ ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ dans les cas ci-contre « $\;P_{m}\;$ et $\;P_{u}\;$ partent d'un 1^er mûr d'énergie potentielle en $\;P_{1}$ , butent sur un 2^ème en $\;P_{2}$ puis un 3^ème en $\;{P'}_{\!1}$ , un 4^ème en $\;{P'}_{\!2}\;$ etc $\ldots \;$ » $\;{\big [}$ chaque couple de murs d'énergie potentielle $\;\left(P_{1}\,,\,P_{2}\right)$ , $\;\left({P'}_{\!1}\,,\,{P'}_{\!2}\right)$ , $\;\left({P''}_{\!\!1}\,,\,{P''}_{\!\!2}\right)$ $\ldots \;$ correspondant à une pseudo-oscillation de $\;M{\big ]}$ , « l'amplitude de ces pseudo oscillations $\;\searrow \;$ ^[70] » ;
      $\color {transparent}{\succ }\;$ remarque : « la durée pour aller de $\;P_{1}\;$ à $\;{P'}_{\!1}\;$ via $\;P_{2}\;$ , de $\;{P'}_{\!1}\;$ à $\;{P''}_{\!\!1}\;$ via $\;{P'}_{\!2}\;$ ou de $\;{P''}_{\!\!1}\;$ à $\;{P'''}_{\!\!\!1}\;$ via $\;{P''}_{\!\!2}\;\ldots \;$ est la même pour une même valeur de cœfficient d'amortissement $\;\sigma \;$ » car chacune correspond à une pseudo-période $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{\sqrt {1-\sigma ^{2}}}}\;$ avec $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}\;$ la période propre du P.E.H.N.A. ^[48]^, ^[71], toutefois il est impossible de le montrer par simple étude du diagramme énergétique.

Étude énergétique d'un point matériel en mouvement conservatif à une dimension sur l'exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, diagramme d'énergies potentielle et mécanique, présence de deux murs d'énergie potentielle (positions de vitesse nulle) et trajectoire (cinétiquement) bornée, mouvement périodique et expression de la période sous forme intégrale, absence d'isochronisme des oscillations

Voir aussi le chap.

12

« pendule pesant simple » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté

Le P.P.S. ^[20] $\;{\big [}$ constitué d'une tige rigide, sans masse, de longueur $\;l$ , mobile autour de son extrémité fixe $\;O$ , l'autre extrémité étant liée à un point matériel $\;M\;$ dont on étudie le mouvement ${\big ]}\;$ est à un degré de liberté si les C.I. ^[18] de lancement sont les conditions ^[19]

$\;\left(1{\mathfrak {a}}\right)\;$ à savoir « P.P.S. ^[20] écarté de $\;\theta _{0}\;$ de sa position d'équilibre stable ^[21] et lâché sans vitesse initiale » ou
$\;\left(1{\mathfrak {b}}\right)\;$ à savoir « P.P.S. ^[20] écarté de $\;\theta _{0}\;$ de sa position d'équilibre stable ^[21] et lâché avec vitesse initiale dans le plan vertical de lancement ».

Le point matériel $\;M\;$ étant lâché dans les C.I. ^[18] $\;\left(1{\mathfrak {a}}\right)$ , son mouvement est plan dans le plan vertical de lancement ^[72] ;

Schéma d'un P.P.S. ^[20] à mouvement circulaire d'axe $\;\Delta \;$ passant par $\;O\;$ avec repérage polaire de pôle $\;O\;$ ${\big (}$ et d'axe $\;\Delta {\big )}\;$ du point $\;M\;$ du P.P.S. ^[20] et représentation des deux forces s'appliquant sur $\;M$

on oriente l'axe vertical $\;{\overrightarrow {z'z}}\;$ passant par $\;O\;$ dans le sens $\;\downarrow$ , l'origine de cet axe étant le point $\;O\;$ et le sens $\;+\;$ des angles du « plan vertical de lancement » tel que l'élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}\;$ soit positive, permet de préciser l'orientation de l'« axe $\;\Delta \;$ autour duquel le P.P.S. ^[20] tourne » ^[73] selon $\;{\vec {u}}_{\Delta }$ ;

on utilise le « repérage polaire de pôle $\;O\;$ et d'axe polaire $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ pour repérer le point $\;M\;$ dans le plan de son mouvement c.-à-d le plan vertical de lancement », « ses coordonnées polaires étant $\;\left(l\,,\,\theta \right)\;$ » et « sa base polaire $\;\left({\vec {u}}_{r}\,,\,{\vec {u}}_{\theta }\right)\;$ » avec « $\;{\vec {u}}_{r}={\dfrac {\overrightarrow {OM}}{l}}\;$ » d'une part et « $\;{\vec {u}}_{\theta }={\vec {u}}_{\Delta }\wedge {\vec {u}}_{r}\;$ » ^[74]^, ^[75] d'autre part ;

le point matériel $\;M\;$ étant soumis $\blacktriangleright \;$ à son « poids $\;m\;{\vec {g}}=m\;g\;{\vec {u}}_{z}\;$ » force conservative dérivant de l'« énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}(M)=$ $m\;g\left(l-z\right)\;$ » ^[22] avec référence en $\;z=l\;$ c.-à-d. à la cote de la position d'« équilibre stable » ^[21] et
le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ étant soumis $\blacktriangleright \;$ à une force non conservative « la tension de la tige $\;{\vec {T}}={\overline {T}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ s'exerçant sur $\;M\;$ » « qui ne travaille pas » ^[24],

     le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ a un « mouvement conservatif » ^[1], caractérisé par l’intégrale 1^ère énergétique « $\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ avec $\;E_{m}(t)=K_{M}(t)+U_{\text{pes}}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;{\vec {V}}_{M}^{\,2}\!(t)+m\;g\left[l-z(t)\right]\;$ » et « $\;E_{m,\,0}={\cancel {K_{M}(0)+}}\;U_{\text{pes}}(0)\;$ d'après les C.I. ^[18] $\;\left(1{\mathfrak {a}}\right)\;$ » soit, la cote $\;z\;$ du point $\;M\;$ étant liée à son abscisse angulaire $\;\theta \;$ par $\;z=l\;\cos(\theta )\;$ et son vecteur vitesse étant tangent à sa trajectoire circulaire $\;{\vec {V}}_{M}(t)=V_{\theta }(t)\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ avec $\;V_{\theta }(t)=l\;{\dot {\theta }}(t)$ , d'où
         le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ a un « mouvement conservatif », la réécriture de l'intégrale 1^ère énergétique du point $\;M$ « $\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ » selon
         le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ a un « mouvement conservatif », « $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =m\;g\;l\left[1-\cos \!\left(\theta _{0}\right)\right]\;$ ${\big [}M\;$ lancé sous C.I. ^[18] $\;\left(1{\mathfrak {a}}\right)\;$ ^[19] ${\big ]}\;$
         le point matériel $\;\color {transparent}{M}\;$ a un « mouvement conservatif », et référence de l'énergie potentielle de pesanteur au passage par la “ position d'équilibre stable ” ^[21] ».

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les conditions initiales (C.I.) « 1a »

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. ^[76] écarté de $\;\theta _{0}\;$ de sa position d'équilibre stable ^[21] et lâché sans vitesse initiale avec précision des deux murs d'énergie potentielle ainsi que de la nature $\;{\big (}$ cinétiquement ${\big )}\;$ bornée de la trajectoire

Dans un même système d'axes, paramètre de position en abscisse et énergie en ordonnée, on trace les courbes

d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ en bleu ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points $\;P_{u}\;$ d'abscisse $\;\theta \;$ et d'ordonnée $\;U_{\text{pes}}(\theta )=$ $m\;g\;l\left[1-\cos(\theta )\right]$ $\;{\bigg [}(\Gamma _{u})\;$ étant une sinusoïde tracée sur une période de l'intervalle de variation de $\;\theta \;$ à savoir $\;\left[-\pi \,,\,+\pi \right]$ , de minimum nul pour $\;\theta =0\;$ et de maxima $\;2\;m\;g\;l\;$ pour $\;\theta =\pm \pi$ , la valeur moyenne $\;m\;g\;l\;$ étant obtenue pour $\;\theta =$ $\pm {\dfrac {\pi }{2}}{\bigg ]}\;$ et
d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ en rouge ci-contre c.-à-d. l'ensemble des points $\;P_{m}\;$ d'abscisse $\;\theta \;$ et d'ordonnée $\;E_{m}(\theta )=$ $E_{m,\,0}=m\;g\;l\left[1-\cos(\theta _{0})\right]$ $\;{\bigg [}(\Gamma _{m})\;$ étant une droite $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;\theta \;$ d'ordonnée $\;E_{m,\,0}=$ ${\dfrac {3}{2}}\;m\;g\;l\;$ l'élongation angulaire initiale étant $\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;$ avec une vitesse angulaire initiale nulle ${\bigg ]}$ .

Présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée

On observe, sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ci-contre, la présence de deux murs d'énergie potentielle délimitant les domaines d'élongations angulaires interdites tels que $\;U_{\text{pes}}\ngtr E_{m,\,0}$ ,

l'un correspondant à $\;P_{0}\;$ position commune initiale des points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta _{0}\;$ et
l'autre correspond à $\;{P'}_{0}\;$ position symétrique de $\;P_{0}\;$ par rapport à l'axe des énergies, d'abscisse angulaire $\;{\theta '}_{0}=-\theta _{0}$ ;

ces deux murs d'énergie potentielle interdisent les domaines $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}\theta \!\!&<&\!\!{\theta '}_{\!0}=-\theta _{0}\\\theta \!\!&>&\!\!\theta _{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ pour la variation de l'abscisse angulaire du point matériel $\;M\;$ ceci entraînant que $\;M\;$ a une trajectoire cinétiquement bornée, le domaine de variation de son abscisse angulaire étant un intervalle à bornes finies à savoir $\;\left[{\theta '}_{0}=-\theta _{0}\;,\;\theta _{0}\right]$ $\;{\big \{}$ le point matériel $\;M\;$ est donc dans un état lié $\;{\big [}$ ceci correspondant à un déplacement possible des points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ des courbes $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ entre les deux murs d'énergie potentielle ou, ce qui est équivalent, dans une cuvette $\;{\big (}$ ou puits ${\big )}\;$ d'énergie potentielle ${\big ]}{\big \}}$ .

Détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté « par diagramme énergétique »

     Préliminaire : La nature oscillatoire n'a pas été établie mais simplement vérifiée dans le chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »,
     Préliminaire : vérifications numérique par résolution numérique de l'équation différentielle du mouvement du P.P.S.N.A. ^[76]^, ^[77] ou
     Préliminaire : vérifications graphique par tracé de portraits de phase ^[78] correspondants ^[79],
     Préliminaire : nous nous proposons de la vérifier de nouveau graphiquement par diagramme d'énergies potentielle et mécanique $\;{\big (}$ tracé dans un paragraphe précédent ${\big )}$ .

$\;\succ \;$ Les C.I. ^[18] étant telles que $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sont initialement confondus en $\;P_{0}\;$ sur le mur d'énergie potentielle de droite $\;\theta =\theta _{0}$ , la présence du mur interdisant la $\;\nearrow \;$ de $\;\theta$ , nous en déduisons que « $\;\theta \;$ reste constant ou $\;\searrow \;$ » ;

$\;\color {transparent}{\succ }\;$ or $\;\theta =\theta _{0}\;$ qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre » ^[28], $\;\theta \;$ ne peut rester constant et par suite $\;\searrow \;$ strictement, les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de droite $\;{\big (}$ c.-à-d. vers la gauche ${\big )}\;\ldots$

$\;\succ \;$ ces déplacements simultanés engendrant d'abord une $\;\nearrow \;$ continue de $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\;$ ^[26] jusqu'au passage de $\;P_{m}\;$ par $\;P_{e}\;$ puis une $\;\searrow \;$ continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se rejoignent en $\;{P'}_{\!0}\;$ point commun du mur d'énergie potentielle de gauche $\;\theta =$ ${\theta '}_{\!0}=-\theta _{0}$ , la présence de ce mur interdisant la $\;\searrow \;$ de $\;\theta$ , nous en déduisons que « $\;\theta \;$ reste constant ou $\;\nearrow \;$ » ;

$\;\color {transparent}{\succ }\;$ or $\;\theta ={\theta '}_{\!0}=-\theta _{0}\;$ qui correspond à une position d'arrêt « n'étant pas une position d’équilibre » ^[28], $\;\theta \;$ ne peut rester constant et par suite $\;\nearrow \;$ strictement, les points génériques $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique se déplaçant en s'éloignant du mur d'énergie potentielle de gauche $\;{\big (}$ c.-à-d. vers la droite ${\big )}$ $\;\ldots$

$\;\succ \;$ ces déplacements simultanés engendrant d'abord une $\;\nearrow \;$ continue de $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\;$ ^[26] jusqu'au nouveau passage de $\;P_{m}\;$ par $\;P_{e}\;$ puis une $\;\searrow \;$ continue jusqu'à atteindre la valeur nulle lorsque $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se rejoignent en $\;P_{0}\;$ point commun du mur d'énergie potentielle de droite $\;\theta =\theta _{0}$ , la présence de ce mur interdisant la $\;\nearrow \;$ de $\;\theta$ , nous en déduisons que « $\;\theta \;$ reste constant ou $\;\searrow \;$ », ce qui, correspondant exactement à la situation initiale, permet de déduire que ces déplacements simultanés de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ se poursuivent à l'infini $\;{\big (}$ en absence d'amortissements ${\big )}\;$ de façon identique $\;\ldots$

d'où, en conséquence, la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S.N.A. ^[76].

Détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté et expression de la période sous forme intégrale

     Préliminaire : La nature périodique n'a pas été établie mais simplement vérifiée simultanément à la nature oscillatoire dans le chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »
     Préliminaire : par résolution numérique de l'équation différentielle du mouvement du P.P.S.N.A. ^[76]^, ^[77] $\;{\big (}$ par contre le tracé des portraits de phase ^[78] n'apporte aucune information ^[80] ${\big )}$ ,
     Préliminaire : nous nous proposons de l'établir en utilisant simultanément l'intégrale 1^ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique.

Pour déterminer la nature périodique du mouvement du P.P.S.N.A. ^[76] par utilisation simultanée de son intégrale 1^ère énergétique et de son diagramme d'énergies potentielle et mécanique, il faut « montrer que la durée correspondant au n^ème aller-retour des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sur $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ de $\;P_{0}\rightarrow {P'}_{\!0}\rightarrow P_{0}\;$ est indépendant du numéro $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ de l'aller-retour » :

     on utilise d'abord l'« intégrale 1^ère énergétique du mouvement du P.P.S.N.A. ^[76] $\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =E_{m,\,0}\;$ avec les mêmes C.I. ^[18] que précédemment ^[81] $\;E_{m,\,0}=$ $m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$ », « $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)=$ $\pm {\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace }}\;$ » ^[55] d'où
     on utilise d'abord l'« intégrale 1^ère énergétique « la durée élémentaire $\;dt\;$ correspondant à une variation élémentaire $\;d\theta \;$ de l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ du point $\;M\;$ » s'écrit
  on utilise d'abord l'« intégrale 1^ère énergétique « la durée élémentaire « $\;dt=\pm {\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace }}}\;$ » ^[82]^, ^[55] ;

on utilise dans un 2^ème temps le diagramme d'énergies potentielle et mécanique pour faire le choix entre $\;+\;$ et $\;-\;$ suivant le sens de déplacement des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ entre les deux murs d'énergie potentielle $\;{\big \{}$ soit encore leur sens de déplacement dans la cuvette $\;{\big (}$ ou puits ${\big )}\;$ d'énergie potentielle ${\big \}}$ :

on utilise dans un 2^ème temps $\;\succ \;$ pour le n^ème aller des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{0}\;$ à $\;{P'}_{\!0}$ , $\;\theta \searrow \;$ d'où $\;d\theta \;$ correspondant à $\;dt>0\;$ est $\;<0\;$ $\Rightarrow$ « $\;dt=-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace }}}\;$ » ^[82],
on utilise dans un 2^ème temps $\;\color {transparent}{\succ }\;$ la durée totale du n^ème aller s'obtenant alors par intégration selon « $\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{\!0}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{-\theta _{0}}-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}=\displaystyle \int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;$ ^[58] ;

on utilise dans un 2^ème temps $\;\succ \;$ pour le n^ème retour des mêmes points de $\;{P'}_{\!0}\;$ à $\;P_{0}$ , $\;\theta \nearrow \;$ d'où $\;d\theta \;$ correspondant à $\;dt>0\;$ est $\;>0\;$ $\Rightarrow$ « $\;dt={\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace }}}\;$ » ^[82],
on utilise dans un 2^ème temps $\;\color {transparent}{\succ }\;$ la durée totale du n^ème retour s'obtenant aussi par intégration selon « $\;\Delta t_{{P'}_{\!0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=\displaystyle \int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})\right\rbrace }}}=\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{\!0}}\;$ » ^[58] ;

     on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation du point $\;M$ , « $\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{\!0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{\!0}}+\Delta t_{{P'}_{\!0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=2\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{\!0}}\;$ » soit finalement
     on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation « $\;\Delta t_{P_{0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,{P'}_{\!0}\,{\overset {n}{\rightarrow }}\,P_{0}}=2\;\displaystyle \int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;$ ^[58] indépendante de $\;n\;$ »
     on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation $\;{\big (}$ la fonction à intégrer ainsi que les bornes d'intégration en étant indépendantes ${\big )}$ ,
       on déduit de ce qui précède la durée de la n^ème oscillation ce qui établit la nature périodique du mouvement d'oscillations du P.P.S.N.A. ^[76] $\;M$ .

La période $\;{\mathcal {T}}\;$ du mouvement d'oscillations du P.P.S.N.A. ^[76] $\;M\;$ étant la durée d'un aller-retour des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{0}\;$ à $\;P_{0}\;$ en passant par $\;{P'}_{\!0}$ , s'obtient par l'intégrale suivante

«

\;{\mathcal {T}}=\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,{P'}_{0}\,\rightarrow \,P_{0}}=2\;\displaystyle \int _{-\theta _{0}}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}=4\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;

» ^[58]^, ^[83] ou encore
«

\;{\mathcal {T}}=4\;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}={\mathcal {T}}_{0}\;{\dfrac {2}{\pi }}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;

» avec
«

\;{\mathcal {T}}_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;

la période des petites élongations angulaires ^[84] du P.P.S.N.A. ^[76]^, ^[85] ».

Remarque : L'intégrale généralisée $\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;$ n'est pas algébriquement calculable avec les fonctions usuelles, on utilise un logiciel de calcul $\;{\big (}$ par exemple Scilab ${\big )}\;$ ^[86] pour l'évaluer numériquement avec n'importe quelle valeur numérique de $\;\theta _{0}$ .

Absence d'isochronisme des oscillations

Voir le paragraphe « définition de l'isochronisme d'un oscillateur » du chap.

12

de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

Au regard de l'expression de la période d'oscillations du P.P.S.N.A. ^[76] écrite sous forme intégrale « $\;{\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{0}\;{\dfrac {2}{\pi }}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;$ ^[58]^, ^[87] avec $\;{\mathcal {T}}_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$ période des petites élongations angulaires ^[84]^, ^[85] du P.P.S.N.A. ^[76] » faisant intervenir $\;\theta _{0}\;$ dans la borne supérieure de l'intégrale généralisée ainsi que dans la fonction à intégrer,
Au regard de l'expression de la période d'oscillations du P.P.S.N.A. on ne peut affirmer que « cette période $\;{\mathcal {T}}\;$ dépende effectivement de l'amplitude $\;\theta _{0}\;$ » car il pourrait y avoir un effet de compensation comme cela se produit dans l'expression de la période sous forme intégrale d'un P.E.H.N.A. ^[48] $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {4}{\omega _{0}}}\;\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {x_{0}^{2}-x^{2}}}}\;$ ^[58]^, ^[61]^, ^[88] ;

pour pouvoir affirmer que « la période d'oscillation sous forme intégrale $\;{\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{0}\;{\dfrac {2}{\pi }}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}\;$ ^[58] d'un P.P.S.N.A. ^[76] dépend effectivement de l'amplitude $\;\theta _{0}\;$ », on choisit d'éliminer $\;\theta _{0}\;$ des bornes d'intégration en s'attendant à ce que $\;\theta _{0}\;$ reste dans la fonction à intégrer ^[89] et, si ceci se produit, cela démontre l'effective dépendance de la période d'oscillations avec l'amplitude $\;\theta _{0}$ ;

pour pouvoir affirmer la présence de la racine carrée de l'expression $\;\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\;$ suggère de passer en angle moitié par utilisation de « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos(\theta )=1-2\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\\\cos(\theta _{0})=1-2\;\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ » dont on déduit « $\;\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})$ $=2\left[\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\right]\;$ » d'où « $\;{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}=2\;{\sqrt {\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;$ » dans laquelle « $\;\vert \theta \vert \leqslant \theta _{0}<\pi \;$ $\Rightarrow$ $\;{\Bigg \vert }{\dfrac {\theta }{2}}{\Bigg \vert }\leqslant {\dfrac {\theta _{0}}{2}}<{\dfrac {\pi }{2}}\;$ » dont une conséquence étant « $\;{\Bigg \vert }\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right){\Bigg \vert }\leqslant \sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\;$ » permet de choisir une « nouvelle variable $\;u\;$ telle que $\;\sin(u)={\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}{\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}}\;$ » d'où « $\;{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}=2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,{\sqrt {1-\sin ^{2}(u)}}\;$ » soit encore « $\;{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}$ $=2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\vert \cos(u)\vert \;$ » avec surtout « des valeurs de bornes d'intégration pour $\;u\;$ indépendantes de $\;\theta _{0}\;$ » car à « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\theta =0&{\text{correspond}}&u=0\\\theta =\theta _{0}&&u={\dfrac {\pi }{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ », d'où, $\;u\;$ étant aigu, la réécriture de l'expression « $\;{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}=2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\cos(u)\;$ » ;

     pour pouvoir affirmer pour poursuivre le changement de variable « on différencie l'expression $\;\sin(u)={\dfrac {\sin \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}{\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}}\;$ » soit « $\;\cos(u)\;du={\dfrac {\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right){\dfrac {d\theta }{2}}}{\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)}}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;d\theta ={\dfrac {2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\cos(u)\;du}{\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}\;$ »
     pour pouvoir affirmer expression dans laquelle il faut éliminer $\;\theta \;$ au profit de $\;u\;$ dans le membre de droite soit, $\;{\dfrac {\theta }{2}}\;$ étant aigu, « $\;\cos \!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)={\sqrt {1-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}={\sqrt {1-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\sin ^{2}(u)}}\;$ » d'où
     pour pouvoir affirmer l'expression finale de $\;d\theta \;$ en fonction de $\;du$ , « $\;d\theta ={\dfrac {2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\cos(u)}{\sqrt {1-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\sin ^{2}(u)}}}\;du\;$ » ;

pour pouvoir affirmer l'intégrale généralisée à transformer se réécrit donc « $\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}=\displaystyle \int _{u=0}^{u={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {{\dfrac {2\;\sin \left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\cos(u)}{\sqrt {1-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\sin ^{2}(u)}}}\;du}{2\;\sin \!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\cos(u)}}=\displaystyle \int _{u=0}^{u={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {du}{\sqrt {1-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\sin ^{2}(u)}}}\;$ » ^[90] soit finalement l'expression de la période sous forme intégrale du P.P.S.N.A. ^[76] avec utilisation de la variable $\;u$ , « $\;{\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{0}\;{\dfrac {2}{\pi }}\;\displaystyle \int _{u=0}^{u={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {du}{\sqrt {1-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\sin ^{2}(u)}}}\;$ » avec « $\;{\mathcal {T}}_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$ la période des petites élongations angulaires ^[84] du P.P.S.N.A. ^[76]^, ^[85] », expression intégrale de $\;{\mathcal {T}}\;$ justifiant l'absence d'isochronisme des oscillations du P.P.S.N.A. ^[76] car « $\;{\mathcal {T}}\;$ dépend effectivement de $\theta _{0}\;$ » ^[91].

En complément : évaluation numérique de la période et comparaison avec l'« expression approchée de de Borda »

La formule empirique de de Borda ^[92] d'un P.P.S.N.A. ^[76] a été introduite dans le paragraphe « expression empirique dite de “de Borda” de la période d'oscillations d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté » du chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ; elle s'écrit

«

\;{\mathcal {T}}={\mathcal {T}}_{0}\left(1+{\dfrac {\theta _{m}^{\,2}}{16}}\right)\;

» dans laquelle «

\;{\mathcal {T}}_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;

est la période

\;{\big (}

propre

{\big )}\;

des petites élongations angulaires » ^[84] et
«

\;\theta _{m}\;

l'amplitude des oscillations ^[93]

\;{\big (}

a priori non petite

{\big )}\;

exprimée en

\;rad\;

»,
celle-ci devant être

\;\lesssim \;

à

\;{\dfrac {5\;\pi }{12}}\;rad=75\,{\text{°}}\;

pour donner un résultat correct à

\;1\,\%\;

près.

     Le logiciel de calcul numérique utilisé pour évaluer la période d'un P.P.S.N.A. ^[76] à partir de l'expression de cette dernière sous forme intégrale et
     Le logiciel de calcul numérique utilisé pour la comparer à l'expression empirique de « de Borda » ^[92]
     Le logiciel de calcul numérique est l'un de ceux proposés par le programme de physique de P.C.S.I. « Scilab » ^[94], le programme utilisé ^[95] ainsi que les commentaires immédiats sont donnés ci-dessous :

si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. ^[76] est $\;l=1,000\;m\;$ dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité $\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}$ , pour une élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}={\dfrac {\pi }{3}}\;rad=60\,{\text{°}}\;$ et une vitesse angulaire initiale nulle, les lignes de programme $\;{\big (}$ en noir ${\big )}$ , les réponses de Scilab $\;{\big (}$ en rouge ${\big )}\;$ et mes commentaires entre parenthèses $\;{\big (}$ en bleu ${\big )}\;$ donnent :

g = 9.81 ;

L = 1.0 ;

T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667 (période des petites élongations angulaires)

%theta1 = %pi/3 ;

function y = f(u) ; y = 2*T0/%pi/sqrt(1-(sin(%theta1/2))^2*(sin(u))^2) ; endfunction

T1 = integrate('f(u)' , 'u' , 0 , %pi/2) T1 = 2.1528747 (période par calcul d’intégrale)

Tb = T0*(1+(%theta1)^2/16) Tb = 2.1435603 (expression approchée de de Borda)

(T1-Tb)/T1 ans = 0.0043265 (soit 0,43 % d’écart entre la période et l'expression approchée de de Borda) ^[96] ;

si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. ^[76] est $\;l=1,000\;m\;$ dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité $\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}$ , pour une élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=120\,{\text{°}}\;$ et une vitesse angulaire initiale nulle, les lignes de programme $\;{\big (}$ en noir ${\big )}$ , les réponses de Scilab $\;{\big (}$ en rouge ${\big )}\;$ et mes commentaires entre parenthèses $\;{\big (}$ en bleu ${\big )}\;$ donnent :

g = 9.81 ;

L = 1.0 ;

T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667 (période des petites élongations angulaires)

%theta2 = 2*%pi/3 ;

function y = g(u) ; y = 2*T0/%pi/sqrt(1-(sin(%theta2/2))^2*(sin(u))^2) ; endfunction

T2 = integrate('g(u)' , 'u' , 0 , %pi/2) T2 = 2.7540898 (période par calcul d’intégrale)

Tb = T0*(1+(%theta2)^2/16) Tb = 2.5560413 (expression approchée de de Borda)

(T2-Tb)/T2 ans = 0.0719107 (soit 7,19 % d’écart entre la période et l'expression approchée de de Borda) ^[96] ;

si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. ^[76] est $\;l=1,000\;m\;$ dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité $\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}$ , pour une élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}={\dfrac {5\;\pi }{6}}\;rad=150\,{\text{°}}\;$ et une vitesse angulaire initiale nulle, les lignes de programme $\;{\big (}$ en noir ${\big )}$ , les réponses de Scilab $\;{\big (}$ en rouge ${\big )}\;$ et mes commentaires entre parenthèses $\;{\big (}$ en bleu ${\big )}\;$ donnent :

g = 9.81 ;

L = 1.0 ;

T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667 (période des petites élongations angulaires)

%theta3 = 5*%pi/6 ;

function y = h(u) ; y = 2*T0/%pi/sqrt(1-(sin(%theta3/2))^2*(sin(u))^2) ; endfunction

T3 = integrate('h(u)' , 'u' , 0 , %pi/2) T3 = 3.5350982 (période par calcul d’intégrale)

Tb = T0*(1+(%theta3)^2/16) Tb = 2.8654019 (expression approchée de de Borda)

(T3-Tb)/T3 ans = 0.1894420 (soit 18,94 % d’écart entre la période et l'expression approchée de de Borda) ^[96].

Retour sur les petites élongations angulaires d'un P.P.S. à un degré de liberté en termes de diagramme d'énergies potentielle et mécanique

     Nous avons établi, au paragraphe « approximation linéaire, dans le cadre des petites élongations angulaires, du mouvement d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté, analogie avec l'oscillateur harmonique, période des petites élongations angulaires » du chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »,
     Nous avons établi, que le P.P.S.N.A. ^[76] à un degré de liberté étudié dans le cas des petites élongations angulaires ^[84] est un oscillateur harmonique, cette démonstration
     Nous avons établi utilisant la « 1^ère définition d'un oscillateur harmonique à une dimension » à savoir
     Nous avons établi utilisant la « 1^ère définition « un oscillateur harmonique à une dimension est un système physique repéré par un paramètre noté $\;x\;$ obéissant à une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre $\;{\big (}$ homogène ${\big )}\;$ en $\;x(t)$ $\;{\big (}$ sans terme du 1^er ordre si l'oscillateur n’est pas amorti ${\big )}\;$ soit, sous forme normalisée, $\;{\ddot {x}}(t)+\omega _{0}^{\,2}\;x(t)=0\;$ » ^[97] ;

nous avons également vu une « 2^ème définition énergétique d’un oscillateur harmonique (équivalente à la 1^ère) » au chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » à savoir
nous avons également vu une « 2^ème définition « un oscillateur harmonique est un système physique à un degré de liberté de paramètre d'état noté $\;x\;$ plongé dans un puits d'énergie potentielle parabolique $\;{\big (}$ en absence de grandeur de dissipation, le système physique est “ conservatif ” ^[98] et l'oscillateur n'est pas amorti ${\big )}\;$ » ;

il faut donc montrer que la courbe d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ se confond avec une parabole ^[52] dans l'hypothèse des petites oscillations ^[84] ;

il faut donc montrer dans le cas des petites élongations angulaires ^[84] obtenues dans les C.I. ^[18] $\;\left(1.a\right)\;$ où le pendule a été écarté initialement de sa position d'équilibre stable ^[21] d'un petit angle $\;\theta _{0}\;$ et lâché sans vitesse initiale, les oscillations de faible amplitude $\;\vert \theta _{0}\vert \;$ correspondant à $\;\vert \theta (t)\vert \leqslant \vert \theta _{0}\vert \ll 1,\;\forall \;t$ , on peut donc effectuer un « D.L. ^[99] de $\;\cos(\theta )\;$ au voisinage de $\;0\;$ à l'ordre deux en $\;\theta \;$ » ^[100] selon « $\;\cos(\theta )\simeq 1-{\dfrac {\theta ^{\,2}}{2}}\;$ » et en déduire le D.L. ^[99] au voisinage de $\;\theta =0\;$ au même ordre deux en $\;\theta \;$ de l’énergie potentielle de pesanteur du P.P.S. ^[20] à savoir « $\;U_{\text{pes}}(\theta )=m\;g\;l\left[1-\cos(\theta )\right]\simeq$ $m\;g\;l\left[1-\left(1-{\dfrac {\theta ^{\,2}}{2}}\right)\right]\;$ » soit « $\;U_{\text{pes}}(\theta )\simeq {\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l\;\theta ^{\,2}\;$ à l'ordre deux en $\;\theta \;$ » $\Rightarrow$ la courbe d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ est, au voisinage de son minimum, localement parabolique ;

     il faut donc montrer nous vérifions donc bien $\;{\big (}$ en terme énergétique ${\big )}\;$ que le P.P.S. ^[20] à un degré de liberté dans les conditions des petites élongations angulaires ^[84] est un oscillateur harmonique,
               il faut donc montrer nous vérifions donc bien $\;\color {transparent}{\big (}$ en terme énergétique $\color {transparent}{\big )}\;$ que le P.P.S. à un degré de liberté dans les conditions des petites élongations angulaires $\;(\Gamma _{u})\;$ étant localement parabolique.
     L'étude par diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. ^[76] à un degré de liberté dans les conditions des petites élongations angulaires ^[84] est alors celle effectuée, plus haut dans ce chapitre, aux paragraphes référencés ci-dessous :

« diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.N.A. »,
« présence de deux murs d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement bornée »,
« détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.E.H.(N.A.) par diagramme énergétique »,
« détermination de la nature périodique du mouvement du P.E.H.(N.A.) en utilisant l'intégrale 1^ère énergétique simultanément au diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point M puis expression de la période sous forme intégrale » et
« isochronisme des oscillations d'un P.E.H.N.A. ».

Étude d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans des C.I. « 1b » par diagramme d'énergies potentielle et mécanique

Dans ce paragraphe on considère les C.I. ^[18] de lancement $\;1b\;$ ^[19] du P.P.S.N.A. ^[76] $\;{\big [}$ toujours constitué d'une tige rigide, sans masse, de longueur $\;l$ , mobile autour de son extrémité fixe $\;O$ , l'autre extrémité étant liée à un point matériel $\;M\;$ dont on étudie le mouvement ${\big ]}\;$ à savoir

on écarte le P.P.S. ^[20] de $\;\theta _{0}\;$ de sa position d'« équilibre stable » ^[21] et
on le lâche avec un « vecteur vitesse initiale » $\;{\vec {V}}_{0}\;$ de son point $\;M\;$ dans le « plan vertical de lancement » ^[101] du référentiel d'étude ;

le mouvement du point matériel $\;M\;$ est plan ^[72], la trajectoire étant circulaire de centre $\;O\;$ dans le « plan vertical de lancement » ^[101], la position du point $\;M\;$ dans ce plan étant repérée en polaire de pôle $\;O\;$ et d'axe polaire $\;{\overrightarrow {Oz}}\;$ vertical $\;\downarrow \;$ de ce plan ^[102], par son abscisse angulaire $\;\theta ={\widehat {\left({\overrightarrow {Oz}}\,,\,{\overrightarrow {OM}}\right)}}\;$ ^[102] et le vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\;$ correspond à une vitesse angulaire initiale $\;{\dot {\theta }}_{0}\neq 0\;$ ^[103].

En absence de force d'amortissement le mouvement du point matériel $\;M\;$ est encore « conservatif » et l'intégrale 1^ère énergétique est toujours vérifiée à savoir

«

\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;

» avec «

\;\left\lbrace {\begin{array}{c}E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \\E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\end{array}}\right\rbrace \;

» ;

le tracé du diagramme d'énergies potentielle et mécanique du point $\;M\;$ est donc le même à l'exception du positionnement de la courbe d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ par rapport à celle d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ et par suite l'existence des murs d'énergie potentielle n'est plus assurée.

Condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire

Diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. ^[76] écarté de $\;\theta _{0}\;$ de sa position d'équilibre stable ^[21] et lâché avec vecteur vitesse initiale dans le plan vertical de lancement ^[101] tel que l'énergie mécanique initiale soit $\;<\;$ au maximum de l'énergie potentielle avec précision des deux murs d'énergie potentielle et de la nature $\;{\big (}$ cinétiquement ${\big )}\;$ bornée de la trajectoire

La condition pour que le mouvement de $\;M\;$ soit « oscillatoire » est que les murs d'énergie potentielle existent ^[104], ce qui est réalisé si « l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$ est $\;<\max \limits _{\left[-\pi \,,\,+\pi \right]}U_{\text{pes}}(\theta )=U_{\text{pes}}(\pm \pi )=$ $m\;g\;l\,\left[1-\cos(\pm \pi )\right]=2\;m\;g\;l\;$ c.-à-d. strictement inférieure au maximum de l'énergie potentielle » soit finalement

«

\;E_{m,\,0}<2\;m\;g\;l\;

» ;

on peut en déduire une autre condition $\;{\big (}$ équivalente ${\big )}\;$ sur la valeur absolue de la vitesse angulaire initiale $\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert$ , en effet « $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]<2\;m\;g\;l\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}<2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace 2-\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\right\rbrace \;$ » soit finalement

«

\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert <{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;

»,
voir diagramme ci-contre avec «

\;\theta _{0}={\dfrac {\pi }{2}}\;rad=90\,{\text{°}}\;

» et «

\;{\dot {\theta }}_{0}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;

» ^[105] ;

« l’amplitude $\;\theta _{m}\;$ d'oscillation $\;{\big [}$ définie par $\;\theta _{m}=\theta (t_{m})>0\;$ et $\;{\dot {\theta }}(t_{m})=0{\big ]}\;$ se détermine par » intégrale 1^ère énergétique selon $\;E_{m}(t_{m})=$ ${\cancel {{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t_{m})}}\;+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{m})\right]=E_{m,\,0}\;$ soit finalement

«

\;\theta _{m}=\arccos \!\left[1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}\right]\;

^[106] » et, sur l'exemple ci-contre,
«

\;\theta _{m}=\arccos \!\left[1-{\dfrac {3}{2}}\right]=\arccos \!\left[-{\dfrac {1}{2}}\right]={\dfrac {2\,\pi }{3}}\;rad=120\,{\text{°}}\;

^[106] » d'où
« les deux murs d'énergie potentielle

\;\theta =\pm \theta _{m}=\pm {\dfrac {2\,\pi }{3}}\;rad=\pm 120\,{\text{°}}\;

».

Le mouvement oscillatoire du P.P.S.N.A. ^[76] lancé dans les C.I. ^[18] $\;(1.{\mathfrak {b}})\;$ est périodique ^[107] comme celui du P.P.S.N.A. ^[76] lancé dans les C.I. ^[18] $\;(1.{\mathfrak {a}})$ , de période, sous forme intégrale, égale à « $\;{\mathcal {T}}=4\;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{m}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{m})\right]}}}\;$ » ^[107] ou « $\;{\mathcal {T}}$ $={\mathcal {T}}_{0}\;{\dfrac {2}{\pi }}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{m}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {2\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{m})\right]}}}\;$ » avec « $\;{\mathcal {T}}_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$ la période des petites élongations angulaires ^[84] du P.P.S.N.A. » ^[76]^, ^[85], « $\;\theta _{m}\;$ étant l'amplitude des oscillations déterminée par $\;\theta _{m}=$ $\arccos \!\left[1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}\right]\;$ ^[106] $=\arccos \!\left[\cos(\theta _{0})-{\dfrac {l}{2\;g}}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}\right]\;$ » ^[108] ;

bien entendu il y a toujours absence d'isochronisme pour la même raison que celle exposée au paragraphe « absence d'isochronisme des oscillations $\;{\big [}$ le P.P.S. y étant lancé dans les C.I. ^[18] $\;(1.{\mathfrak {a}}){\big ]}\;$ plus haut dans ce chapitre $\;{\big [}$ il suffit pour l'étendre aux C.I. ^[18] $\;(1.{\mathfrak {b}})\;$ de remplacer $\;\theta _{0}\;$ par $\;\theta _{m}{\big ]}$ .

Condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif

La condition pour que le mouvement de $\;M\;$ soit « révolutif » ^[109] est que les murs d'énergie potentielle n'existent pas,
La condition pour que le mouvement de $\;\color {transparent}{M}\;$ soit « révolutif » ceci nécessitant que « l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$ soit $\;>\max \limits _{\left[-\pi \,,\,+\pi \right]}U_{\text{pes}}(\theta )=U_{\text{pes}}(\pm \pi )$ $=m\;g\;l\,\left[1-\cos(\pm \pi )\right]=2\;m\;g\;l\;$ c.-à-d. strictement supérieure au maximum de l'énergie potentielle » soit finalement « $\;E_{m,\,0}>2\;m\;g\;l\;$ » ;

on peut en déduire une autre condition $\;{\big (}$ équivalente ${\big )}\;$ sur la valeur absolue de la vitesse angulaire initiale $\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert$ , en effet « $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]>2\;m\;g\;l\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}>2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace 2-\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\right\rbrace \;$ » soit finalement

«

\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert >{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;

»,
voir diagramme ci-contre avec «

\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=120\,{\text{°}}\;

» et «

\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}}\;

» ^[110] ;

« si $\;{\dot {\theta }}_{0}=\left\lbrace {\begin{array}{l}+{\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}},\;\;{\dot {\theta }}(t)\;{\text{est}}\;>0\\-{\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}},\;\;{\dot {\theta }}(t)\;{\text{est}}\;<0\end{array}}\right\rbrace \;\forall \;t\;$ », les points $\;P_{m}\;$ et $\;P_{u}\;$ se déplaçant respectivement sur $\;(\Gamma _{m})\;$ et $\;(\Gamma _{u})\;$ simultanément $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{vers la droite, flèches}}\;->\\{\text{ou}}\\{\text{vers la gauche, flèches}}\;<<-\end{array}}\right\rbrace$ .

Quel que soit le sens du mouvement révolutif ^[109] du P.P.S.N.A. ^[76], son énergie cinétique est :

« minimale pour $\;\vert \theta \vert \equiv \pi \!\!\!{\pmod {2\;\pi }}\;$ » de valeur « $\;K_{\text{min}}=E_{m,\,0}-U_{\text{pes}}(\pi )=E_{m,\,0}-2\;m\;g\;l\;$ » soit « $\;K_{\text{min}}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l\;$ » dans les C.I. ^[18] du diagramme ci-contre $\;{\bigg \{}\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad\;$ et $\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}}{\bigg \}}\;$ et
« maximale pour $\;\theta \equiv 0\!\!\!{\pmod {2\;\pi }}\;$ » de valeur « $\;K_{\text{max}}=E_{m,\,0}-U_{\text{pes}}(0)=E_{m,\,0}\;$ » soit « $\;K_{\text{min}}={\dfrac {5}{2}}\;m\;g\;l\;$ » dans les mêmes C.I. ^[18] du diagramme ci-dessus $\;{\bigg \{}\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad\;$ et $\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}}{\bigg \}}$ .

Le mouvement révolutif ^[109] du P.P.S.N.A. ^[76] lancé dans les C.I. ^[18] $\;(1.{\mathfrak {b}})\;$ est périodique, la démonstration se faisant de façon analogue à celle du mouvement oscillatoire d'un P.P.S.N.A. ^[76] lancé dans les C.I. ^[18] $\;(1.{\mathfrak {a}})\;$ ^[111] $\;{\big \{}$ on établit que la durée d'un tour est indépendante du nombre de tours effectués auparavant, cette durée définissant la période de révolution du P.P.S.N.A. ^[76] sous forme intégrale ${\big \}}$ ;

Le mouvement révolutif nous supposerons « $\;{\dot {\theta }}_{0}>0\;$ ce qui engendre un mouvement révolutif ^[109] dans le sens $\;+\;$ » ^[112] :

Le mouvement révolutif nous supposerons « $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}>0}\;$ on utilise d'abord l'« intégrale 1^ère énergétique du mouvement du P.P.S.N.A. ^[76] $\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ avec les C.I. ^[18] $\;(1.b)\;$ assurant un mouvement révolutif ^[109] $\Rightarrow$ $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{\,2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$ » et l'énergie mécanique à l'instant $\;t\;$ « $\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ » d'où, « sans expliciter l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}\;$ », « $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =E_{m,\,0}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}(t)$ $={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)={\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}\;$ » ^[113] et par suite on peut exprimer « la durée élémentaire $\;dt\;$ correspondant à une variation élémentaire $\;d\theta \;$ de l'abscisse angulaire $\;\theta \;$ du point $\;M\;$ » selon « $\;dt={\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}\;$ » ^[114] ;

Le mouvement révolutif nous supposerons « $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}>0}\;$ $\succ \;$ pour le 1^er aller des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{0}\;$ à $\;P_{1}$ , $\;\theta \nearrow \;$ de $\;\theta _{0}\;$ à $\;\theta _{0}+2\;\pi \;$ d'où $\;d\theta \;$ correspondant à $\;dt>0\;$ est $\;>0\;$ et la durée totale du 1^er tour s'obtient par intégration selon « $\;\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,P_{1}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}+2\,\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos(\theta )+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}\;$ » ^[115] ;

Le mouvement révolutif nous supposerons « $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}>0}\;$ $\succ \;$ pour le n^ème aller de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{n-1}\;$ à $\;P_{n}$ , $\;\theta \nearrow \;$ de $\;\theta _{0}+2\;(n-1)\;\pi \;$ à $\;\theta _{0}+2\;n\;\pi \;$ d'où $\;d\theta \;$ correspondant à $\;dt>0\;$ est $\;>0\;$ et la durée totale du n^ème tour s'obtient par intégration selon « $\;\Delta t_{P_{n-1}\,\rightarrow \,P_{n}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}+2\,(n-1)\,\pi }^{\theta _{0}+2\,n\,\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos(\theta )+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}\;$ » ^[116] ou encore « $\;\Delta t_{P_{n-1}\,\rightarrow \,P_{n}}=\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,P_{1}}\;$ » $\;{\big (}$ la fonction à intégrer étant $\;2\,\pi$ -périodique et les bornes d'intégration différant respectivement d'un même multiple de $\;2\;\pi \;$ ^[117] ${\big )}$ ;

Le mouvement révolutif nous supposerons « $\;\color {transparent}{{\dot {\theta }}_{0}>0}\;$ « la durée d'un tour étant indépendante du nombre de tours effectués auparavant », le mouvement révolutif ^[109] du P.P.S.N.A. ^[76] est périodique.

Le mouvement révolutif La période $\;{\mathcal {T}}\;$ du mouvement révolutif ^[109] de $\;M\;$ étant la durée d'un aller des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{0}\;(\theta _{0})\;$ à $\;P_{1}\;(\theta _{0}+2\;\pi )\;$ ^[118] elle s'écrit

«

\;{\mathcal {T}}=\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,P1}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}+2\,\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos(\theta )+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}={\sqrt {\dfrac {l}{2\;g}}}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}+2\,\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-\left[1-\cos(\theta )\right]}}}\;

» ^[119]
ou encore «

\;{\mathcal {T}}={\sqrt {\dfrac {l}{4\;g}}}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}+2\,\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{2\;\pi }}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}+\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}\;

» ^[120]^, ^[121] avec
«

\;{\mathcal {T}}_{0}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;

la période des petites élongations angulaires ^[84] du P.P.S.N.A. » ^[76]^, ^[85] ou enfin,
«

\;{\mathcal {T}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{2\;\pi }}\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}\;

» quel que soit le signe de

\;{\dot {\theta }}_{0}\;

^[122]

\;{\big (}

ceci établissant la « dépendance de la période relativement à l'énergie mécanique initiale » ^[123]^, ^[124]

{\big )}

.

Remarque : L'intégrale $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}\;$ n'est pas algébriquement calculable avec les fonctions usuelles, on utilise un logiciel de calcul $\;{\big (}$ par exemple Scilab ${\big )}\;$ pour l'évaluer numériquement avec n'importe quelle valeur de l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}>2\;m\;g\;l\;$ ou de la quantité sans dimension $\;\alpha ={\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}>1\;$ permettant un mouvement révolutif ^[109] ;

Remarque : le logiciel de calcul numérique utilisé pour évaluer la période d'un P.P.S.N.A. ^[76] à partir de l'expression de cette dernière sous forme intégrale
Remarque : le logiciel de calcul numérique est l'un de ceux proposés par le programme de physique de P.C.S.I. « Scilab » ^[94], voir ci-dessous le programme utilisé ^[95] et les commentaires immédiats :

Remarque : $\succ \;$ si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. ^[76] est $\;l=1,000\;m\;$ dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité $\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}$ , pour une élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad$ $=120\,{\text{°}}\;$ et une vitesse angulaire initiale $\;{\dot {\theta }}_{0}={\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;K_{0}=m\;g\;l\;$ et $\;E_{m,\,0}={\dfrac {5}{2}}\;m\;g\;l$ , les lignes de programme $\;{\big (}$ en noir ${\big )}$ , les réponses de Scilab $\;{\big (}$ en rouge ${\big )}\;$ et mes commentaires entre parenthèses $\;{\big (}$ en bleu ${\big )}\;$ donnent :

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ g = 9.81 ;

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ L = 1.0 ;

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ m = 1 ;

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667 (période des petites élongations angulaires en s)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ %theta1 = 2*%pi/3 ;

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ K1 = m*g*L K1 = 9.81 (énergie cinétique initiale en J)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ %varpi1 = sqrt(2*K1/m/L^2) %varpi1 = 4.4294469 (vitesse angulaire initiale en rad.s^-1)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ U1 = m*g*L*(1 – cos(%theta1)) U1 = 14.715 (énergie potentielle initiale en J)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ E1 = K1 + U1 E1 = 24.525 (énergie mécanique initiale en J)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ %alpha1 = E1/(2*m*g*L) %alpha1 = 1.25 (grandeur sans dimension traduisant l'énergie mécanique initiale en proportion de celle traduisant la frontière entre mouvement révolutif et oscillatoire)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ function y = f(%theta) ; y = T0/(2*%pi)/sqrt(%alpha1-sin(%theta/2)^2) ; endfunction

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ T1 = integrate('f(%theta)' , '%theta' , 0 , %pi) T1 = 1.289174 (période en s par calcul d'intégrale) ;

Remarque : $\succ \;$ si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. ^[76] est $\;l=1,000\;m\;$ dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité $\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}$ , pour une élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad$ $=120\,{\text{°}}\;$ et une vitesse angulaire initiale $\;{\dot {\theta }}_{0}=2\;{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;K_{0}=2\;m\;g\;l\;$ et $\;E_{m,\,0}={\dfrac {7}{2}}\;m\;g\;l$ , les lignes de programme $\;{\big (}$ en noir ${\big )}$ , les réponses de Scilab $\;{\big (}$ en rouge ${\big )}\;$ et mes commentaires entre parenthèses $\;{\big (}$ en bleu ${\big )}\;$ donnent :

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ g = 9.81 ;

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ L = 1.0 ;

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ m = 1 ;

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667 (période des petites élongations angulaires en s)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ %theta2 = 2*%pi/3 ;

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ K2 = 2*m*g*L K2 = 19.62 (énergie cinétique initiale en J)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ %varpi2 = sqrt(2*K2/m/L^2) %varpi2 = 6.2641839 (vitesse angulaire initiale en rad.s^-1)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ U2 = m*g*L*(1 – cos(%theta2)) U2 = 14.715 (énergie potentielle initiale en J)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ E2 = K2 + U2 E2 = 34.335 (énergie mécanique initiale en J)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ %alpha2 = E2/(2*m*g*L) %alpha2 = 1.75 (grandeur sans dimension traduisant l'énergie mécanique initiale en proportion de celle traduisant la frontière entre mouvement révolutif et oscillatoire)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ function y = g(%theta) ; y = T0/(2*%pi)/sqrt(%alpha2-sin(%theta/2)^2) ; endfunction

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ T2 = integrate('g(%theta)' , '%theta' , 0 , %pi) T2 = 0.9267048 (période en s par calcul d'intégrale) ;

Remarque : $\succ \;$ si la longueur de la tige du P.P.S.N.A. ^[76] est $\;l=1,000\;m\;$ dans un champ de pesanteur terrestre d'intensité $\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}$ , pour une élongation angulaire initiale $\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad$ $=120\,{\text{°}}\;$ et une vitesse angulaire initiale $\;{\dot {\theta }}_{0}=\left({\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\right)^{\!+}\;$ $\Rightarrow$ $\;K_{0}=\left({\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l\right)^{\!+}\;$ et $\;E_{m,\,0}=\left(2\;m\;g\;l\right)^{+}$ , les lignes de programme $\;{\big (}$ en noir ${\big )}$ , les réponses de Scilab $\;{\big (}$ en rouge ${\big )}\;$ et mes commentaires entre parenthèses $\;{\big (}$ en bleu ${\big )}\;$ donnent :

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ g = 9.81 ;

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ L = 1.0 ;

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ m = 1 ;

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ T0 = 2*%pi*sqrt(L/g) T0 = 2.0060667 (période des petites élongations angulaires en s)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ %theta3 = 2*%pi/3 ;

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ K3 = 0.5001*m*g*L K3 = 4.905981 (énergie cinétique initiale en J)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ %varpi3 = sqrt(2*K3/m/L^2) %varpi3 = 3.1324051 (vitesse angulaire initiale en rad.s^-1)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ U3 = m*g*L*(1 – cos(%theta3)) U3 = 14.715 (énergie potentielle initiale en J)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ E3 = K3 + U3 E3 = 19.620981 (énergie mécanique initiale en J)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ %alpha3 = E3/(2*m*g*L) %alpha3 = 1.00005 (grandeur sans dimension traduisant l'énergie mécanique initiale en proportion de celle traduisant la frontière entre mouvement révolutif et oscillatoire)

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ function y = h(%theta) ; y = T0/(2*%pi)/sqrt(%alpha3-sin(%theta/2)^2) ; endfunction

Remarque : $\color {transparent}{\succ }\;$ T3 = integrate('h(%theta)' , '%theta' , 0 , %pi) T3 = 4.0471171 (période en s par calcul d'intégrale).

     Remarque : Commentaires : Plus l'énergie mécanique initiale est grande, plus la période est courte :
     Remarque : Commentaires : pour « $\;E_{m,\,0}=2,5\;m\;g\;l\;$ »,                                 « $\;{\mathcal {T}}\simeq 1,29\;s\;$ »,
     Remarque : Commentaires : pour « $\;E_{m,\,0}=3,5\;m\;g\;l>2,5\;m\;g\;l\;$ »,          « $\;{\mathcal {T}}\simeq 0,93\;s$ $<1,29\;s\;$ »,
     Remarque : Commentaires : pour « $\;E_{m,\,0}=2,001\;m\;g\;l<2,5\;m\;g\;l\;$ »,     « $\;{\mathcal {T}}\simeq 4,05\;s>1,29\;s\;$ » et enfin
     Remarque : Commentaires : quand « $\;E_{m,\,0}\rightarrow 2\;m\;g\;l\;$ »,                                 « $\;{\mathcal {T}}\rightarrow \infty \;$ ».

Condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. s'arrête en une position d'équilibre instable

La condition pour que le mouvement de $\;M\;$ s'arrête en une « position d'équilibre ^[28] instable » ^[125] $\;\theta \equiv \pi \!\!{\pmod {2\;\pi }}\;$ est que « les deux murs d'énergie potentielle coïncident avec $\;\theta =\pm \pi \;$ » c.-à-d. que « l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$ soit égale au maximum de l'énergie potentielle ^[126] $\;\max \limits _{\left[-\pi \,,\,+\pi \right]}U_{\text{pes}}(\theta )=$ $U_{\text{pes}}(\pm \pi )=m\;g\;l\,\left[1-\cos(\pm \pi )\right]=2\;m\;g\;l\;$ » soit la réécriture de la condition pour que le mouvement de $\;M\;$ s'arrête en une « position d'équilibre ^[28] instable » ^[125] « $\;E_{m,\,0}=2\;m\;g\;l\;$ » ;

détermination de la condition $\;{\big (}$ équivalente ${\big )}\;$ sur la vitesse angulaire initiale $\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert$ : « $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]=2\;m\;g\;l\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}=2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace 2-\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\right\rbrace \;$ » soit finalement

«

\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}\;

» ;
numériquement, avec «

\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=120\,{\text{°}}\;

» il faut «

\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;

» ^[127] ;

si « $\;{\dot {\theta }}_{0}=\left\lbrace {\begin{array}{c}+{\sqrt {\dfrac {g}{l}}},\;\;{\dot {\theta }}(t)\;{\text{est}}\;>0\\-{\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}},\;\;{\dot {\theta }}(t)\;{\text{est}}\;<0\end{array}}\right\rbrace \;\forall \;t\;<\;t_{\text{arrêt}}\;$ », les points $\;P_{m}\;$ et $\;P_{u}\;$ se déplacent respectivement sur $\;(\Gamma _{m})\;$ et $\;(\Gamma _{u})\;$ simultanément $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\text{vers la droite jusqu'à }}\;\theta _{\text{arrêt}}=+\pi \\{\text{ou}}\\{\text{vers la gauche jusqu'à }}\;\theta _{\text{arrêt}}=-\pi \end{array}}\right\rbrace$ .

En complément : prolongement de l'utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel à mouvement non conservatif sur l'exemple d'un « pendule pesant simple amorti (P.P.S.A.) à un degré de liberté »

     Voir aussi les paragraphes du chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » : $\succ \;$ « en complément, établissement de la nature plane du mouvement du P.P.S.A. lancé dans les C.I. 1a ou 1b »,
     Voir aussi les paragraphes du chap. $\color {transparent}{12}$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » : $\succ \;$ « en complément, mise en équation du P.P.S.A. »,
     Voir aussi les paragraphes du chap. $\color {transparent}{12}$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » : $\succ \;$ « en complément, P.P.S.A. dans le cadre des petites élongations angulaires ^[84] » et
     Voir aussi les paragraphes du chap. $\color {transparent}{12}$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » : $\succ \;$ « en complément, allure des portraits de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. 1b U 1a ».

La présence d'une force de frottement fluide linéaire « $\;{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}(t)=-h\;{\vec {V}}_{M}(t)=-h\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ » non conservative agissant sur le point matériel $\;M\;$ d'un pendule pesant simple amorti $\;{\big (}$ P.P.S.A. ${\big )}\;$ et développant un travail, rend le mouvement du point matériel $\;M\;$ « non conservatif » $\Rightarrow$ il n'existe pas d'intégrale 1^ère énergétique pour le P.P.S.A. ^[128], « l'énergie mécanique de ce dernier $\;E_{m}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ obéissant alors au théorème de la puissance mécanique » c.-à-d. « $\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}\!\!\left[{\overrightarrow {\mathcal {R}}}_{\text{flu}}\right]\!\!(t)=\left[-h\;{\vec {V}}_{M}(t)\right]\cdot {\vec {V}}_{M}(t)=-h\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ toujours $\;\leqslant 0\;$ » ^[66].

La courbe d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})\;$ reste la même que celle tracée dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. ^[76] c.-à-d. une sinusoïde, mais

     la cocelle d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})\;$ n’est plus une droite $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;\theta$ ; « pour la préciser il convient de déterminer la pente de $\;(\Gamma _{m})\;$ au point d'abscisse angulaire $\;\theta (t)\;$ » soit « $\;{\dfrac {dE_{m}}{d\theta }}=$ ${\dfrac {dE_{m}}{dt}}\;{\dfrac {dt}{d\theta }}={\dfrac {1}{{\dot {\theta }}(t)}}\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)\;$ ou finalement $\;{\dfrac {dE_{m}}{d\theta }}(t)=-h\;l^{2}\;{\dot {\theta }}(t)\;$ » ; nous en déduisons les propriétés suivantes de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ au point générique $\;P_{m}\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta (t)$ :
     la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\blacktriangleright \;$ elle est $\;\parallel \;$ à l'axe des $\;\theta \;$ aux éventuels points $\;P_{1}^{(n)}\;$ et $\;P_{2}^{(n)}\;$ correspondant à $\;M\;$ à l'arrêt ^[129], ces points $\;P_{1}^{(n)}\;$ et $\;P_{2}^{(n)}\;$ étant respectivement les éventuels points d'intersection d'abscisse positive et négative des courbes d'énergie potentielle $\;(\Gamma _{u})$ et d'énergie mécanique $\;(\Gamma _{m})$ ,
     la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\blacktriangleright \;$ en tout autre point $\;P_{m}\;$ la pente de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ y est $\;\neq 0$ ,
     la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ en tout autre point $\;\color {transparent}{P_{m}}\;$ elle est « positive quand le paramètre de position $\;\theta \searrow \;$ » c.-à-d. « quand $\;P_{m}\;$ se déplace vers la gauche » et
     la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ en tout autre point $\;\color {transparent}{P_{m}}\;$ elle est « négative quand le paramètre de position $\;\theta \nearrow \;$ » c.-à-d. « quand $\;P_{m}\;$ se déplace vers la droite », enfin
     la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\blacktriangleright \;$ « la pente de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ est extrémale aux points $\;P_{m}\;$ associés aux instants où la vitesse de $\;M\;$ est de valeur absolue $\;\vert l\;{\dot {\theta }}(t)\vert \;$ maximale » c.-à-d. « là où l'énergie cinétique du P.P.S.A. ^[128] $\;K_{M}(t)\;$ est maximale » $\;{\big [}$ cela correspond aussi aux instants tels que « $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}(t)\;{\widehat {=}}\;K_{M}(t)\;$ ^[26] est maximal » ^[130] ${\big ]}$ ;
     la courbe d'énergie mécanique $\;\color {transparent}{(\Gamma _{m})}\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « suivant la valeur plus ou moins grande de $\;h\;$ » $\;{\bigg (}\!$ ou « plus ou moins grande du cœfficient d'amortissement $\;\sigma ={\dfrac {h}{2\;m\;\omega _{0}}}={\dfrac {h}{2\;m}}\;{\sqrt {\dfrac {l}{g}}}\;$ » $\!{\bigg )}$ , « la valeur absolue de la pente de la tangente à $\;(\Gamma _{m})\;$ est plus ou moins grande » mais $\;\ldots \;$ dans les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique représentés ci-dessous, nous nous sommes systématiquement placés dans les cas de « faible amortissement » ^[131], $\;{\dfrac {h}{m}}=0,1\;s^{-1}$ , la longueur du P.P.S. étant $\;l=1,00\;m\;$ et l'intensité de la pesanteur terrestre valant $\;g=9,81\;m\cdot s^{-2}\;$ d'où une pulsation des petites oscillations ^[84] $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\simeq$ $3,13\;rad\cdot s^{-1}\;$ $\Rightarrow$ $\;\sigma ={\dfrac {h}{m}}\;{\dfrac {1}{2\;\omega _{0}}}\simeq 1,6\;10^{-2}$ :

      $\;\succ \;$ ci-contre, à gauche, le diagramme d’énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S. ^[20] $\;{\big (}$ faiblement amorti ${\big )}\;$ à un degré de liberté lancé dans les C.I. ^[18] $\;\left(1.{\mathfrak {a}}\right)\;$ $\left\lbrace \theta _{0}=-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=-120\,{\text{°}}\,,\,{\dot {\theta }}_{0}=0\right\rbrace$ $\;{\big [}$ on constate que les murs successifs d'énergie potentielle se resserrent $\Rightarrow$ l'amplitude oscillatoire $\;\searrow$ , les murs atteints étant respectivement à droite $\;P_{1}$ , $\;{P'}_{\!1}$ , $\;{P''}_{\!\!1}$ $\;\ldots \;$ et à gauche $\;P_{2}$ , $\;{P'}_{\!2}$ , $\;{P''}_{\!\!2}$ $\;\ldots \;$ $\;P_{0}\,$ étant le mur de gauche initial ${\big ]}$ ,
      $\;\succ \;$ ci-contre, à droite, la superposition de deux diagrammes d’énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S. ^[20] $\;{\big (}$ faiblement amorti ${\big )}\;$ à un degré de liberté lancé dans les C.I. ^[18] $\;\left(1.{\mathfrak {b}}\right)\;$ soit
      $\;\color {transparent}{\succ }\;$ $\blacktriangleright \;$ diagramme $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ avec P.P.S.A. ^[128] lancé dans les C.I. ^[18] $\;\left\lbrace \theta _{0}=-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=-120\,{\text{°}}\,,\right.$ $\;\left.{\dot {\theta }}_{0}=1,28\;{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\simeq 4,0\;rad\cdot s^{-1}\right\rbrace \;$ d'où « une énergie cinétique initiale $\;K_{0}({\mathfrak {1}})={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}=$
                                                                                                                              ${\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\,\left[1,28\;{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\right]^{2}\simeq 0,82\;m\;g\;l\;$ » et « une énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}({\mathfrak {1}})=K_{0}({\mathfrak {1}})+U_{\text{pes}}(\theta _{0})\simeq$
                                                                                                                              $0,82\;m\;g\;l+m\;g\;l\,\left[1-\cos \!\left(-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\right)\right]\simeq 2,32\;m\;g\;l\;$ » c.-à-d. une énergie mécanique initiale permettant au P.P.S.A. ^[128]
                                                                                                                             d'avoir un mouvement révolutif ^[109] amorti sur le 1^er tour avant de poursuivre en mouvement oscillatoire amorti autour de la
                                                                                                                             position d'équilibre stable ^[21] repéré par $\;\theta =2\;\pi \;rad\;$ ^[132],

                                                                                                                                   $\;\color {transparent}{\succ }\;$ $\blacktriangleright \;$ diagramme $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ avec P.P.S.A. ^[128] lancé dans les C.I. ^[18] $\;\left\lbrace \theta _{0}=-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=-120\,{\text{°}}\,,\,{\dot {\theta }}_{0}=1,21\;{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\simeq \right.$
                                                                                                                              $\;3,8\;rad\cdot s^{-1}{\bigg \}}\;$ d'où « une énergie cinétique initiale $\;K_{0}({\mathfrak {2}})={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\,\left[1,21\;{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\right]^{2}\simeq 0,73\;m\;g\;l\;$ » et
                                                                                                                             « une énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}({\mathfrak {2}})=K_{0}({\mathfrak {2}})+U_{\text{pes}}(\theta _{0})\simeq 0,73\;m\;g\;l+m\;g\;l\,\left[1-\cos \!\left(-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\right)\right]\simeq$
                                                                                                                              $2,23\;m\;g\;l\;$ » ce qui correspond à une énergie mécanique initiale insuffisante pour que le P.P.S.A. ^[128] ait un mouvement
                                                                                                                             éventuellement révolutif ^[109] amorti sur le 1^er tour, son mouvement étant directement oscillatoire amorti autour de la position
                                                                                                                             d'équilibre stable ^[21] repéré par $\;\theta =0\;$ ^[133] ;

$\;\color {transparent}{\succ }\;$ $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ remarque : dans le cas où le P.P.S.A. ^[128] serait lancé dans l'autre sens avec la même valeur absolue de vitesse angulaire et à partir de la même position angulaire, c.-à-d. correspondant aux C.I. ^[18] $\;\left\lbrace \theta _{0}=-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=-120\,{\text{°}}\,,\,{\dot {\theta }}_{0}=-1,21\;{\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\simeq -3,8\;rad\cdot s^{-1}\right\rbrace$ , donc avec la même valeur d'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}\simeq 2,23\;m\;g\;l\;$ que celle du diagramme $\;({\mathfrak {2}})\;$ mais dans l'autre sens, on pourrait observer l'« absence de mur d'énergie potentielle à gauche sur l'intervalle $\;\left]-\pi \,,\,0\right[\;$ » et par suite « un mouvement révolutif amorti ^[109] du P.P.S.A. ^[128] sur un 1^er tour dans le sens $\;-\;$ », suivi d'« un mouvement oscillatoire amorti autour de la position d'équilibre stable ^[21] repérée par $\;\theta =-2\;\pi \;$ » ^[134].

1^er additif : « trouver l'équation différentielle du 2^ème ordre d'un P.P.S. à partir de considérations énergétiques »

Si le P.P.S. ^[20] est « non amorti » ^[135], il suffit, pour déterminer son équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ à partir de son « intégrale 1^ère énergétique $\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ » dans laquelle « $\;E_{m}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ est l'énergie mécanique à l'instant $\;t\;$ » et « $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$ l'énergie mécanique initiale dépendant des C.I. ^[18] $\;1{\mathfrak {a}}\cup 1{\mathfrak {b}}\;$ ^[19] »,

Si le P.P.S. est « non amorti », il suffit, $\succ \;$ de « dériver cette intégrale 1^ère énergétique par rapport à $\;t\;$ » avec « $\;{\dfrac {dE_{m,\,0}}{dt}}=0\;$ » et « $\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;2\;{\dot {\theta }}(t)\;{\ddot {\theta }}(t)+m\;g\;l\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\,{\dot {\theta }}\!(t)=$ $\left\lbrace l\;{\ddot {\theta }}(t)+g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,m\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;$ » d'où « $\;\left\lbrace l\;{\ddot {\theta }}(t)+g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,m\;l\;{\dot {\theta }}(t)=0\;$ » puis

Si le P.P.S. est « non amorti », il suffit, $\succ \;$ de « simplifier par $\;m\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;$ » ^[136] d’où « $\;l\;{\ddot {\theta }}(t)+g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$ » et finalement la forme normalisée de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)$
Si le P.P.S. est « non amorti », il suffit, $\color {transparent}{\succ }\;$ de « simplifier par $\;\color {transparent}{m\;l\;{\dot {\theta }}(t)}\;$ » d’où « $\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$ ».

En complément : si le P.P.S. ^[20] est « amorti » ^[137], il faut, pour déterminer son équation différentielle du 2^ème ordre en $\;\theta (t)\;$ à partir de considérations énergétiques,

En complément : si le P.P.S. est « amorti », il faut, $\blacktriangleright \;$ « expliciter le théorème de la puissance mécanique $\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)={\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)\right]\;$ » dans lequel « $\;{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)=-h\;{\vec {V}}_{M}(t)=-h\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;{\vec {u}}_{\theta }(t)\;$ est la résistance à l'avancement de $\;M\;$ dans le fluide entourant le P.P.S. ^[20], la puissance instantanée de cette dernière s'écrivant $\;{\mathcal {P}}\!\left[{\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)\right]={\overrightarrow {{\mathcal {R}}_{\text{flu}}}}(t)\cdot {\vec {V}}_{M}(t)\;{\overset {\ldots }{=}}\;$ $-h\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ » et « la puissance mécanique du P.P.S.A. ^[128] restant la même que celle du P.P.S.N.A. ^[76] soit $\;{\dfrac {dE_{m}}{dt}}(t)=\left\lbrace l\;{\ddot {\theta }}(t)+g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,m\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;$ » d'où « $\;\left\lbrace m\;l\;{\ddot {\theta }}(t)+m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \,l\;{\dot {\theta }}(t)=\left\lbrace -h\;l\;{\dot {\theta }}(t)\right\rbrace \,l\;{\dot {\theta }}(t)\;$ » puis

En complément : si le P.P.S. est « amorti », il faut, $\blacktriangleright \;$ « simplifier par $\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;$ » ^[136] $\Rightarrow$ « $\;m\;l\;{\ddot {\theta }}(t)+m\;g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=-h\;l\;{\dot {\theta }}(t)\;$ » d'où l'équation différentielle normalisée du 2^ème ordre en $\;\theta (t)$
En complément : si le P.P.S. est « amorti », il faut, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « simplifier par $\;\color {transparent}{l\;{\dot {\theta }}(t)}\;$ » $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\;{\ddot {\theta }}(t)+{\dfrac {h}{m}}\;{\dot {\theta }}(t)+{\dfrac {g}{l}}\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$ ».

2^ème additif : « dans le cas où le P.P.S. est constitué d'un fil idéal se substituant à la tige rigide, valider la condition de tension du fil »

Schéma d'un P.P.S.N.A. ^[76] à un degré de liberté lancé dans les C.I. ^[18] $\;1{\mathfrak {a}}\cup 1{\mathfrak {b}}\;$ ^[19], le point $\;M\;$ du P.P.S.N.A. ^[76] à fil idéal ^[138] supposé tendu ayant un mouvement circulaire d'axe $\;\Delta \;$ passant par $\;O\;$ avec repérage polaire de pôle $\;O\;$ ${\big (}$ et d'axe $\;\Delta {\big )}\;$ de $\;M\;$ et représentation des deux forces s'appliquant sur lui

Tout ce qui a été traité auparavant dans ce chapitre ou le chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » concernant un P.P.S.N.A. ^[76] à un degré de liberté reste applicable à condition de vérifier que le fil idéal ^[138] remplaçant la tige rigide sans masse est effectivement tendu ;

le vecteur force « tension du fil » ^[139] exercé sur $\;M\;$ s'écrivant $\;{\vec {T}}={\overline {T}}\;{\vec {u}}_{r}$ , « le fil idéal ^[138] sera tendu si la mesure algébrique $\;{\overline {T}}\;$ de la composante radiale de $\;{\vec {T}}\;$ est $\;<0\;$ » $\;{\big [}$ si tel est le cas la tension du fil $\;{\big (}$ c.-à-d. la norme du vecteur « tension du fil » ^[139] ${\big )}\;$ $\Vert {\vec {T}}\Vert =-{\overline {T}}\;$ et est usuellement notée $\;T{\big ]}$ ;

on obtient $\;{\overline {T}}(t)\;$ par projection, sur $\;{\vec {u}}_{r}$ , de la r.f.d.n. ^[140] appliquée à $\;M\;$ dans le référentiel terrestre $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ supposé galiléen « $\;{\vec {T}}(t)+m\;{\vec {g}}=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ » avec $\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$ le vecteur accélération de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{\text{terr}}\;$ soit « $\;{\overline {T}}(t)+m\;g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]=m\;a_{M,\,r}(t)\;$ », « $\;a_{M,\,r}(t)\;$ étant l'accélération radiale de $\;M\;$ en mouvement circulaire de centre $\;O\;$ et de rayon $\;l\;$ égale à $\;a_{M,\,r}(t)=-l\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ » ^[141] dont on tire « $\;{\overline {T}}(t)=-m\,\left\lbrace l\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ » ;

on exprime alors $\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ en fonction de $\;\theta (t)\;$ et de l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}\;$ par l'intégrale 1^ère énergétique $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace$ $=E_{m,\,0}\;$ $\Rightarrow$ « $\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)={\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;l^{2}}}-{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ » que l'on reporte dans l'expression de $\;{\overline {T}}(t)\;$ obtenue précédemment par utilisation de la r.f.d.n. ^[140] soit « $\;{\overline {T}}(t)=$ $-m\,\left\lbrace {\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;l}}-2\;g\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace +g\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ » et finalement, après simplification et regroupement des termes

«

\;{\overline {T}}(t)=-m\;g\,\left\lbrace {\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;

» ;

« le fil reste tendu dans tout le mouvement si $\;{\overline {T}}(\theta )\;$ ^[142] est $\;<0\;\;\forall \;\theta \;$ », ce qui est réalisé « si le maximum de $\;{\overline {T}}(\theta )\;$ est $\;<0\;$ » mais, pour poursuivre, il convient d'introduire le domaine de variation de $\;\theta$ , ce qui nécessite de distinguer la nature révolutive ou oscillatoire hypothétique du P.P.S.N.A. ^[76] suivant $\;E_{m,\,0}$ :

     « le fil reste tendu $\blacktriangleright \;$ « si $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;>\;$ à $\;2\;m\;g\;l\;$ ^[143] le mouvement du P.P.S.N.A. ^[76], dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant révolutif ^[109] », le domaine de variation de $\;\theta \;$ est « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left[\theta _{0}\,,\,+\infty \right[\;{\text{pour }}{\dot {\theta }}_{0}>0\\\left]-\infty \,,\,\theta _{0}\right]\;{\text{pour }}{\dot {\theta }}_{0}<0\end{array}}\right\rbrace \;$ » mais la fonction $\;{\overline {T}}(\theta )=-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\theta )\right]\;$ ^[142] étant $\;2\;\pi$ -périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de $\;{\overline {T}}(\theta )\;$ ^[142] soit,
            « le fil reste tendu $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « si $\;\color {transparent}{E_{m,\,0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>}\;$ à $\;\color {transparent}{2\;m\;g\;l}\;$ $\succ \;$ avec $\;{\dot {\theta }}_{0}>0$ , le fil reste tendu pour un mouvement hypothétique révolutif ^[109] si « $\;\max \limits _{\left[\theta _{0}\,,\,\theta _{0}+\pi \right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;$ ou $\;\max \limits _{\left[0\,,\,+\pi \right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;$ » ^[144] et,
            « le fil reste tendu $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « si $\;\color {transparent}{E_{m,\,0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>}\;$ à $\;\color {transparent}{2\;m\;g\;l}\;$ $\succ \;$ avec $\;{\dot {\theta }}_{0}<0$ , le fil reste tendu pour un mouvement hypothétique révolutif si        « $\;\max \limits _{\left[\theta _{0}-\pi \,,\,\theta _{0}\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;$ ou $\;\max \limits _{\left[-\pi \,,\,0\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;$ » ^[144],
            « le fil reste tendu $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « si $\;\color {transparent}{E_{m,\,0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>}\;$ à $\;\color {transparent}{2\;m\;g\;l}\;$ soit, la fonction $\;{\overline {T}}(\theta )\;$ ^[142] étant paire, une même condition indépendante du signe de $\;{\dot {\theta }}_{0}$ , « $\;\max \limits _{\left[0\,,\,+\pi \right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;$ » ^[144] ;

« le fil reste tendu $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « si $\;\color {transparent}{E_{m,\,0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>}\;$ à $\;\color {transparent}{2\;m\;g\;l}\;$ « $\;{\overline {T}}(\theta )=-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\theta )\right]\;$ ^[142] étant une fonction $\;\nearrow \;$ sur $\;\left[0\,,\,+\pi \right]\;$ », la condition « $\;\max \limits _{\left[0\,,\,+\pi \right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;$ » ^[144] se réécrit « $\;\max \limits _{\left[0\,,\,+\pi \right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace ={\overline {T}}(+\pi )<0\;$ ou encore $\;-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\pi )\right]<0\;$ » soit $\;{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-5>0\;$ d'où
« le fil reste tendu $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « si $\;\color {transparent}{E_{m,\,0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>}\;$ à $\;\color {transparent}{2\;m\;g\;l}\;$ la condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. ^[76] à fil idéal ^[138] soit révolutif sans que le fil ne se détende : « $\;E_{m,\,0}>{\dfrac {5}{2}}\;m\;g\;l\;$ » ;

« le fil reste tendu $\blacktriangleright \;$ « si $\;E_{m,\,0}\;$ est $\;<\;$ à $\;2\;m\;g\;l\;$ le mouvement du P.P.S.N.A. ^[76], dans l'hypothèse où le fil resterait toujours tendu, étant oscillatoire », le domaine de variation de $\;\theta \;$ est « $\;\left[-\theta _{m}\,,\,+\theta _{m}\right[\;$ avec $\;\theta _{m}=\arccos \!\left[1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}\right]\;$ ^[106] » ^[145] mais la fonction $\;{\overline {T}}(\theta )=-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\theta )\right]\;$ ^[142] étant $\;2\;\pi$ -périodique et paire, la recherche de son maximum peut être restreinte à un intervalle à partir duquel on obtient toutes les valeurs possibles de $\;{\overline {T}}(\theta )\;$ ^[142], à savoir « $\;\left[0\,,\,\theta _{m}\right]\;$ » ^[146],
« le fil reste tendu $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « si $\;\color {transparent}{E_{m,\,0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<}\;$ à $\;\color {transparent}{2\;m\;g\;l}\;$ la condition de fil tendu pour un mouvement hypothétique oscillatoire se réécrit alors « $\;\max \limits _{\left[0\,,\,\theta _{m}\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;$ » ^[146] ;

« le fil reste tendu $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « si $\;\color {transparent}{E_{m,\,0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<}\;$ à $\;\color {transparent}{2\;m\;g\;l}\;$ « $\;{\overline {T}}(\theta )=-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\theta )\right]\;$ ^[142] étant une fonction $\;\nearrow \;$ sur $\;\left[0\,,\,\theta _{m}\right]\;$ », la condition « $\;\max \limits _{\left[0\,,\,\theta _{m}\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace <0\;$ » ^[146] se réécrit « $\;\max \limits _{\left[0\,,\,\theta _{m}\right]}\left\lbrace {\overline {T}}(\theta )\right\rbrace ={\overline {T}}(\theta _{m})<0\;$ ou encore $\;-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\theta _{m})\right]<0\;$ » soit, avec $\;\cos(\theta _{m})=1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}$ , « $\;{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\left[1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}\right]>0\;$ » d'où
« le fil reste tendu $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « si $\;\color {transparent}{E_{m,\,0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<}\;$ à $\;\color {transparent}{2\;m\;g\;l}\;$ la condition pour que le mouvement du P.P.S.N.A. ^[76] à fil idéal ^[138] soit oscillatoire sans que le fil ne se détende : « $\;E_{m,\,0}<m\;g\;l\;$ ».

En conclusion, la nature du mouvement d'un P.P.S.N.A. ^[76] à fil idéal ^[138] lancé dans les C.I. ^[18] $\;1{\mathfrak {a}}\cup 1{\mathfrak {b}}\;$ ^[19] dépend de la valeur de son énergie mécanique initiale
En conclusion, la nature du mouvement d'un P.P.S.N.A. à fil idéal lancé dans les C.I. $\;\color {transparent}{1{\mathfrak {a}}\cup 1{\mathfrak {b}}}\;$ dépend de la valeur de « $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$ » et

En conclusion, $\succ \;$ pour « $\;E_{m,\,0}<m\;g\;l\;$ », le mouvement est oscillatoire d'amplitude aiguë, celle-ci étant déterminée par « $\;\theta _{m}=\arccos \!\left[1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}\right]\;$ ^[106] » ^[145], « $\;\theta _{m}\in \left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ »,

En conclusion, $\succ \;$ pour « $\;E_{m,\,0}\in \left[m\;g\;l\,,\,2\;m\;g\;l\right[\;$ », le mouvement débute de façon oscillatoire jusqu'à ce que le fil se détende, pour l'abscisse angulaire $\;\theta _{\text{détente}}\;$ telle que $\;{\overline {T}}(\theta _{\text{détente}})=0\;$ $\Rightarrow$ $\;-m\;g\,\left[{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-2+3\;\cos(\theta _{\text{détente}})\right]=0\;$ soit « $\;\theta _{\text{détente}}=\arccos \!\left[{\dfrac {2}{3}}-{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\;l}}\right]\;$ ^[106] » ^[147], variant de « $\;\theta _{\text{détente}}={\dfrac {\pi }{2}}\;$ pour $\;E_{m,\,0}=m\;g\;l\;$ » à « $\;\theta _{\text{détente}}\rightarrow \left\lbrace \arccos \!\left[-{\dfrac {2}{3}}\right]\right\rbrace ^{-}\;$ ^[106] $\simeq$ $\left(131,8\,{\text{°}}\right)^{-}\;$ pour $\;E_{m,\,0}\rightarrow \left(2\;m\;g\;l\right)^{-}\;$ »,

En conclusion $\;\succ \;$ pour « $\;E_{m,\,0}=2\;m\;g\;l\;$ », il n'y a pas de position d'équilibre instable ^[125], le mouvement débutant de façon oscillatoire jusqu'à ce que le fil se détende, c.-à-d. pour l'abscisse angulaire « $\;\theta _{\text{détente}}$ $=\arccos \!\left[-{\dfrac {2}{3}}\right]\;$ ^[106] $\simeq 131,8\,{\text{°}}\;$ » ^[147],

En conclusion $\;\succ \;$ pour « $\;E_{m,\,0}\in \left]2\;m\;g\;l\,,\,{\dfrac {5}{2}}\;m\;g\;l\right]\;$ », le mouvement débute de façon révolutif ^[109] jusqu'à ce que le fil se détende, c.-à-d. pour l'abscisse angulaire $\;\theta _{\text{détente}}\;$ telle que $\;{\overline {T}}(\theta _{\text{détente}})$ $=0\;$ ${\overset {\ldots }{\Rightarrow }}$ « $\;\theta _{\text{détente}}$ $=\arccos \!\left[{\dfrac {2}{3}}-{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\;l}}\right]\;$ ^[106] » ^[147], variant de « $\;\theta _{\text{détente}}\rightarrow \left\lbrace \arccos \!\left[-{\dfrac {2}{3}}\right]\right\rbrace ^{+}\;$ ^[106] $\simeq$ $\left(131,8\,{\text{°}}\right)^{+}\;$ pour $\;E_{m,\,0}\rightarrow \left(2\;m\;g\;l\right)^{+}\;$ » à « $\;\theta _{\text{détente}}=\pi \;$ pour $\;E_{m,\,0}=$ ${\dfrac {5}{2}}\;m\;g\;l\;$ » et

En conclusion $\;\succ \;$ pour « $\;E_{m,\,0}>{\dfrac {5}{2}}\;m\;g\;l\;$ », le mouvement est révolutif ^[109].

Explication qualitative du lien entre « profil d'énergie potentielle » et portrait de phase d'un point matériel à mouvement conservatif

Généralités

À partir du « profil d'énergie potentielle » ^[148] et
À partir de l'intégrale 1^ère énergétique du point matériel $\;M\;$ à « mouvement conservatif » ^[1]^, ^[149] matérialisé par le diagramme d'énergies potentielle et mécanique, on peut en déduire

l'expression de l'énergie cinétique en fonction du paramètre de position, puis, de cette dernière
la valeur absolue de la vitesse en fonction du même paramètre de position,
le signe de la vitesse pour un sens de variation du paramètre de position à partir d'une valeur de ce dernier d'après « la connaissance du sens de déplacement du point générique $\;P_{u}\;$ de $\;(\Gamma _{u})\;$ » obtenu sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique ^[150]^, ^[151] et enfin,
la vitesse en fonction du paramètre de position et de son sens de variation, cette connaissance permettant de tracer le portrait de phase ^[78] associé au profil d'énergie potentielle ^[148] du point matériel $\;M\;$ à « mouvement conservatif » ^[1].

Exemple de la chute libre d'un point matériel sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme

Nous allons donc utiliser le « diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre sans vitesse initiale dans un champ de pesanteur uniforme » ^[152] rappelé ci-contre à gauche
Nous allons pour en déduire le « portrait de phase » ^[78]^, ^[153] associé $\;{\big (}$ ci-contre à droite ${\big )}$ ;

on établit, à partir de l'intégrale 1^ère énergétique du point matériel $\;M\;$ en chute libre sans vitesse initiale à partir de l'altitude $\;h$ , l'« équation du portrait de phase ^[78] $\;{\dot {z}}$ $=-{\sqrt {2\;g\,\left(h-z\right)}}\;$ » ^[154] c.-à-d. une demi-parabole ^[155] ayant pour axe, l'axe des $\;z\;$ et de concavité tournée vers la gauche, ainsi que
On établit, la « pente du portrait de phase ^[78] $\;{\dfrac {d{\dot {z}}}{dz}}(z)={\sqrt {\dfrac {g}{2\,\left(h-z\right)}}}\;$ » ^[156], fonction $\;>0$ , « de valeur $\;\infty \;$ pour $\;z_{0}=h\;$ », « $\;\searrow \;$ si $\;z\searrow \;$ ».

     En complément, nous utilisons le « diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre dans le cas où ce dernier est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position quelconque dans un champ de pesanteur uniforme » ^[157] rappelé ci-contre à gauche
     En complément, nous utilisons pour en déduire le « portrait de phase » ^[78]^, ^[153] associé $\;{\big (}$ ci-contre à droite ${\big )}$ ;
     En complément, on établit, à partir de l'intégrale 1^ère énergétique du point matériel $\;M\;$ en chute libre avec une vitesse initiale verticale $\;\uparrow \;$ $\;V_{0}\;$ à partir de l'altitude $\;h$ , l'« équation du portrait de phase ^[78] $\;\vert {\dot {z}}\vert$ $={\sqrt {V_{0}^{2}+2\;g\,\left(h-z\right)}}\;$ » ^[158] c.-à-d. une portion de parabole ^[155] ayant pour axe, l'axe des $\;z$ , de concavité tournée vers la gauche avec $\;{\dot {z}}\leqslant V_{0}$ ,
     En complément, on détermine aussi la « pente du
                                                                                                                           portrait de phase ^[78] de valeur absolue $\;{\bigg \vert }{\dfrac {d{\dot {z}}}{dz}}(z){\bigg \vert }={\dfrac {g}{\sqrt {V_{0}^{2}+2\;g\,\left(h-z\right)}}}\;$ » ^[159],
                                                                                                                           la pente étant $\succ \;$ « une fonction $\;<0\;$ et $\;\searrow \;$ quand $\;z\nearrow \;$ de $\;h\;$ jusqu'à $\;z_{\text{max}}\;$ où sa valeur absolue devient $\;\infty \;$ » puis
                                                                                                                           la pente étant $\succ \;$ « une fonction $\;>0\;$ et $\;\searrow \;$ quand $\;z\searrow \;$ à partir de $\;z_{\text{max}}\;$ ».

Remarque : dans les deux exemples présentés ci-dessus, le diagramme d'énergies potentielle et mécanique est celui d'un point matériel $\;M\;$ dans un « état de diffusion » $\;{\big [}$ présence d'un seul mur d'énergie potentielle ${\big ]}\;$ et le portrait de phase ^[78] est une « courbe ouverte » $\;{\big [}$ possibilité cinétique que le paramètre de position $\;z\;$ tende vers l'infini ${\big ]}\;$ avec le point générique du portrait de phase ^[78] « tournant dans le sens horaire » $\;{\big [}$ portrait de phase ^[78] $\;\perp \;$ à l'axe des $\;z\;$ avec $\;z\nearrow \;$ dans la zone $\;{\dot {z}}>0\;$ et $\;z\searrow \;$ dans la zone $\;{\dot {z}}<0{\big ]}$ .

Exemple de l'oscillateur harmonique à une dimension « P.E.H. »

L'étude d'un oscillateur harmonique par diagramme d'énergies potentielle et mécanique n'étant pas cité dans le programme de physique de P.C.S.I. ^[51], il en est de même du lien entre le profil d'énergie potentielle ^[148] d'un oscillateur harmonique et son portrait de phase ^[78], toutefois l'exposé de cette relation est intéressant car il présente un exemple de corrélation entre un « état lié » de diagramme d'énergies potentielle et mécanique et le « sens d'évolution du point générique du portrait de phase ^[78] correspondant ainsi que la fermeture de ce dernier » autre que celui du P.P.S.N.A. ^[76] traité dans le paragraphe « exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté, P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a) » plus loin dans ce chapitre.

Nous allons donc utiliser le « diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A. » ^[160] rappelé ci-contre à gauche

Portrait de phase ^[78] d'un P.E.H.N.A. ^[48] écarté de $\;x_{0}\;$ de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale tracé à l'aide du diagramme d'énergies potentielle et mécanique de ce même corps avec les mêmes C.I. ^[18]

Nous allons pour en déduire le « portrait de phase » ^[78]^, ^[161] associé $\;{\big (}$ ci-contre à droite ${\big )}$ ;

on établit, à partir de l'intégrale 1^ère énergétique du point matériel $\;M\;$ du P.E.H.N.A. ^[48] écarté de $\;x_{0}\;$ de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale, l'« équation implicite du portrait de phase ^[78] $\;{\dfrac {{\dot {x}}^{2}}{\omega _{0}^{2}\;x_{0}^{2}}}+{\dfrac {x^{2}}{x_{0}^{2}}}=$ $1\;$ » ^[162] définissant une ellipse ^[163] dont les axes sont l'axe des $\;x\;$ et des $\;{\dot {x}}\;$ et dont le centre est le point d'intersection des axes $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ c.-à-d. le point représentatif de l'équilibre de $\;M\;$ dans le diagramme de phase ^[164] ;

commentaire : quand $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique sont en $\;P_{0}\;$ c.-à-d. sur le mur d’énergie potentielle initiale, ils ne peuvent se déplacer que vers la gauche,

commentaire : parallèlement $\;Q\;$ du portrait de phase ^[78] est en $\;Q_{0}\;$ c.-à-d. la position extrême du portrait de phase ^[78] sur l'axe des $\;x\;$ sur la droite et $\;x\;$ ne peut que $\;\searrow$ , ce qui nécessite $\;{\dot {x}}<0\;$ d'où le déplacement de $\;Q\;$ sur le portrait de phase ^[78] à partir de $\;Q_{0}\;$ dans le sens horaire ^[165] $\;\ldots$

Conclusion : La présence de deux murs d'énergie potentielle dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.N.A. ^[48] se traduisant par « le P.E.H.N.A. ^[48] est dans un état lié » se concrétise, dans son portrait de phase ^[78], par la fermeture et la description dans le sens horaire de ce dernier.

Remarque : Bien que le programme de physique de PCSI stipule de présenter le lien entre profil d'énergie potentielle ^[148] et portrait de phase ^[78] d'un point matériel à mouvement conservatif ^[1] et qu'un P.E.H.A. ^[65] correspond à un point matériel à mouvement non conservatif, nous allons néanmoins le faire pour ce dernier dans le cas faiblement amorti plus précisément avec un cœfficient d'amortissement $\;\sigma =0,125\;$ ;

Portrait de phase ^[78] d'un P.E.H.A. ^[65] écarté de $\;a\;$ de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale correspondant à un mouvement pseudo-périodique relativement amorti

Remarque : le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.E.H.A. ^[65] introduit plus haut dans ce chapitre ^[166] est rappelé, dans le cas où $\;\sigma =0,125$ , ci-contre à gauche et

Remarque : le portrait de phase ^[78] d'un P.E.H.A. ^[65] évoqué dans le paragraphe « portraits de phase en élongation (ou en vitesse) du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement » ^[167] du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » est tracé avec le même cœfficient d'amortissement $\;\sigma =0,125\;$ et les mêmes C.I. ^[18], ci-contre à droite :

Remarque : vous êtes invités à vérifier le lien entre le diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.A. ^[65] ci-contre à gauche et le portrait de phase ^[78] du même P.E.H.A. ^[65] ci-contre à droite, en particulier préciser la correspondance entre les points $\;P_{1}^{(n)}\;$ et $\;P_{2}^{(n)}\;$ d'une part et $\;Q_{1}^{(n)}\;$ et $\;Q_{2}^{(n)}\;$ d'autre part $\;\ldots$

Exemple du pendule pesant simple à un degré de liberté « P.P.S. lancé dans les C.I. (1b U 1a) »

Nous allons d'abord utiliser le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. ^[76] en mouvement révolutif ^[109]^, ^[168] $\;{\bigg [}$ lancé sous C.I. ^[18] « $\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad$ $=120\,{\text{°}}\;$ », « $\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}}\simeq$ $\pm 4,4\;rad\cdot s^{-1}\;$ » ^[169] ${\bigg ]}\;$ rappelé ci-contre à gauche ainsi que
Nous allons d'abord utiliser le « diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. ^[76] à un degré de liberté dans les C.I. $\;1.a\;$ conduisant à un mouvement oscillatoire » ^[170] $\;{\bigg [}$ lancé sous C.I. ^[18] « $\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad$ $=120\,{\text{°}}\;$ » et « $\;{\dot {\theta }}_{0}$ $=0\;$ » ^[169] ${\bigg ]}\;$ rappelé ci-contre à droite

Nous allons d'abord utiliser pour en déduire les « portraits de phase » ^[78]^, ^[171] associés $\;{\big (}$ ci-dessous à droite ${\big )}$ ;
on a établi, l'« équation du portrait de phase d'un P.P.S. à un degré de liberté lancé dans les C.I. 1b U 1a » dans le chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ^[172] et on a obtenu « $\;{\dot {\theta }}^{2}=$ ${\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]\;$ » ^[173],

on notera que l'absence de mur d'énergie potentielle sur les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. ^[76] en mouvement révolutif ^[109] $\;{\big (}$ ci-dessus à gauche ${\big )}\;$ se traduit par l'ouverture des portraits de phase ^[78] de ce dernier $\;{\big (}$ en vert ci-contre ${\big )}$ , chaque courbe étant situé d'un même côté de l'axe des élongations angulaires se développant sur la droite pour un portrait situé au-dessus et sur la gauche pour un portrait situé au-dessous, de plus les diagrammes et les portraits de phase ^[78] sont tous deux $\;2\;\pi$ -périodiques et

on notera que la présence de deux murs d'énergie potentielle sur le diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. ^[76] en mouvement oscillatoire $\;{\big (}$ ci-dessus à droite ${\big )}\;$ se traduit par la fermeture du portrait de phase ^[78] de ce dernier $\;{\big (}$ en magenta ci-contre ${\big )}$ , la courbe étant décrite dans le sens horaire $\;{\big [}$ de plus cette courbe admet pour axes, l'axe des $\;\theta \;$ et des $\;{\dot {\theta }}\;$ et pour centre le point d'intersection des axes $\;\left(0\,,\,0\right)\;$ c.-à-d. un point représentatif de l'équilibre stable ^[21] de $\;M\;$ dans le diagramme de phase ^[164] ${\big ]}$ .

Pour terminer il reste à lier les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. ^[76] $\;{\big (}$ ci-contre à gauche ${\big )}\;$
Pour terminer il reste à lier avec les portraits de phase ^[78] associés quand l'énergie mécanique initiale du pendule est $\;E_{m,\,0}=2\;m\;g\;l$ $\;{\bigg [}$ portraits de phase ^[78] dont l'un, celui du P.P.S.N.A. ^[76] lancé dans les C.I. ^[18] « $\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad$ $=120\,{\text{°}}\;$ » et « $\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {\dfrac {g}{l}}}$ $\simeq$ $\pm 3,1\;rad\cdot s^{-1}\;$ » ^[169], s'arrêtant dans une position d'équilibre instable ^[125] $\pm \pi$ , est représenté en vert ci-dessous à droite ^[174] ${\bigg ]}$ ;

     « si $\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$ pour $\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;$ », l'arrêt du P.P.S.N.A. ^[76] se fait en la position d'équilibre instable ^[125] repérée par $\;\theta =\pm \pi \;$ mais pratiquement cet arrêt n'est pas définitif car
     il suffit d'une très faible perturbation extérieure pour que le pendule quitte cet équilibre instable ^[125], par exemple
      $\;\succ \;$ « à partir de la position repérée par $\;\theta =+\pi \;$ », « les points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique peuvent poursuivre sur la droite jusqu'à une autre position d'équilibre instable ^[125] repérée par $\;\theta =3\;\pi \;$ » $\Rightarrow$ « le point $\;Q\;$ du portrait de phase ^[78] poursuit au-dessus de l'axe des $\;\theta \;$ jusqu'à la position repérée par $\;\theta =$ $3\;\pi \;$ », autre position d'équilibre instable ^[125] ou,
      $\;\succ \;$ « à partir de la position repérée par $\;\theta =+\pi \;$ », « les points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique peuvent poursuivre sur la gauche jusqu'à une autre position d'équilibre instable ^[125] repérée par $\;\theta =-\pi \;$ » $\Rightarrow$ « le point $\;Q\;$ du portrait de phase ^[78] poursuit au-dessous de l'axe des $\;\theta \;$ jusqu'à la position repérée par $\;\theta =-\pi \;$ », autre position d'équilibre instable ^[125] ;
      $\;\succ \;$ « à partir de la position repérée par $\;\theta =-\pi \;$ », « les points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique peuvent poursuivre sur la droite jusqu'à une autre position d'équilibre instable ^[125] repérée par $\;\theta =+\pi \;$ » $\Rightarrow$ « le point $\;Q\;$ du portrait de phase ^[78] poursuit au-dessus de l'axe des $\;\theta \;$ jusqu'à la position repérée par $\;\theta =+\pi \;$ », autre position d'équilibre instable ^[125] ou,
      $\;\succ \;$ « à partir de la position repérée par $\;\theta =-\pi \;$ », « les points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique peuvent poursuivre sur la gauche jusqu'à une autre position d'équilibre instable ^[125] repérée par $\;\theta =-3\;\pi$ \;» $\Rightarrow$ « le point $\;Q\;$ du portrait de phase ^[78] poursuit au-dessous de l'axe des $\;\theta \;$ jusqu'à la position repérée par $\;\theta =-3\;\pi \;$ », autre position d'équilibre instable ^[125].

Tracé de deux portraits de phase ^[78] d'un P.P.S.A. ^[128] lancé d'une même position initiale mais avec une vitesse angulaire différente telle que l'un ait un mouvement oscillatoire amorti et l'autre un mouvement révolutif ^[109] amorti avant d'être oscillatoire amorti

Remarque : À la lumière de ce qui vient d'être exposé on trouvera aisément le lien entre
Remarque : $\;\succ \;$ les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.A. ^[128]^, ^[169] faiblement amorti introduits au paragraphe intitulé « en complément : prolongement de l'utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel à mouvement non conservatif sur l'exemple d'un P.P.S.A. à un degré de liberté » plus haut dans ce chapitre $\;{\big (}$ et rappelés ci-contre à gauche ${\big )}\;$ et

Remarque : $\;\succ \;$ les portraits de phase ^[78] du P.P.S.A. ^[128]^, ^[169] lancé dans les mêmes C.I. ^[18] avec le même cœfficient d'amortissement dont les tracés ont été fournis au paragraphe intitulé « en complément, allure des portraits de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. 1b U 1a » du chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » $\;{\big (}$ et rappelés ci-contre à droite ${\big )}$ $\;\ldots$

Notes et références

↑ ^1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 ^1,10 ^1,11 ^1,12 ^1,13 ^1,14 ^1,15 ^1,16 ^1,17 et ^1,18 Voir aussi le paragraphe « point matériel à mouvement conservatif » du chap. $16$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Ou conservatives dont on n'introduit pas l'énergie potentielle dont chacune dérive.
↑ Il faut préciser le référentiel d'étude car le travail des forces, donc des éventuelles forces non conservatives, en dépend.
↑ La conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel « à mouvement conservatif » est une propriété nécessitant que le référentiel soit galiléen alors que la définition de l'énergie mécanique est valable dans n'importe quel référentiel $\;{\big (}$ même si, dans la pratique, il ne viendrait à l'idée de personne d'introduire cette notion dans un référentiel non galiléen car cela n'aurait aucun intérêt ${\big )}$ .
↑ ^5,0 et ^5,1 Emmy Nœther (1882 – 1935) mathématicienne allemande, spécialiste d'algèbre abstraite et de physique théorique à qui on doit, dans le domaine algébrique, de nombreuses contributions fondamentales comme celles sur la théorie des algèbres et, dans le domaine physique, le théorème portant son nom, théorème démontré en $\;1915\;$ et publié en $\;1918\;$ dont l'importance est considérée comme aussi grande que celle de la théorie de la relativité ;
Albert Einstein (1879 - 1955) $\;{\big [}$ physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique ${\big ]}\;$ disait qu'elle était « le génie mathématique créatif le plus considérable produit depuis que les femmes ont eu accès aux études supérieures ».
↑
L'ensemble de symétries envisagées $\;{\big (}$ $\;{\big (}$ « translations d'espace », « rotations », « translations de temps » étant les trois principales symétries de la mécanique ${\big )}\;$ ${\big )}\;$ devant constituer un « groupe » au sens mathématique du terme à savoir : ne pas être vide avec définition d'une loi de composition interne
- associative,
- possédant un élément neutre $\;e\;$ et
- telle qu'elle associe un élément symétrique $\;x^{-1}\;$ à tout élément $\;x$ .
↑ On suppose que le temps est homogène $\;{\big (}$ c.-à-d. que les propriétés du temps sont indépendantes de l'instant considéré ${\big )}$ , si aucune action non conservative s'exerçant sur le point matériel ne travaille dans un référentiel galiléen, les lois de la physique s'appliquant à ce point matériel « à mouvement conservatif » dans ce référentiel ne découlent que des propriétés du temps et, ce dernier étant supposé homogène, les lois de la physique appliquées doivent être les mêmes si on fait une translation de l'évènement dans le temps : on traduit cela en disant que
« les lois de la physique s'appliquant à un point matériel à mouvement conservatif dans un référentiel galiléen sont invariantes par translation de temps ».
↑
L'ensemble des translations de temps de déplacement temporel $\;\tau \;$ $\;\tau \;$ constitue effectivement un groupe avec la loi de composition « addition des déplacements temporels translatant » $\;{\big (}$ $\;{\big (}$ si on compose deux déplacements temporels, le 1^er de valeur $\;\tau _{1}\;$ $\;\tau _{1}\;$ et le 2^nd de valeur $\;\tau _{2}$ $\;\tau _{2}$ , on obtient un déplacement temporel de valeur $\;\tau _{1}+\tau _{2}{\big )}\;$ $\;\tau _{1}+\tau _{2}{\big )}\;$
- associative,
- d'élément neutre « la translation de déplacement temporel nul » et
- associant « la translation de déplacement temporel $\;-\tau \;$ » à « celle de déplacement temporel $\;\tau \;$ » comme translation « symétrique ».
↑ Jusqu'à présent nous n'avons considéré le caractère conservatif d'une force que si elle ne dépendait pas explicitement du temps, en considérant le poids dépendant de l'instant de la journée nous ne sommes plus dans ce cadre dans lequel nous avons défini l'énergie potentielle de pesanteur dont dérive le poids ;
pour pouvoir néanmoins considérer le cas d'un poids dépendant de l'instant de la journée, il nous faut figer le temps et maintenir toutes les définitions dans ce nouveau cadre, ainsi,
dans le cas où l'intensité de la pesanteur terrestre uniforme dépendrait du temps selon $\;g(t)$ , l'énergie potentielle de pesanteur de l'objet considéré s'écrirait $\;m\;g(t)\;z\;$ avec choix d'un axe vertical $\;\uparrow \;$ et de la référence de l'énergie potentielle de pesanteur au niveau $\;z=0$ .
↑ Il suffit d'écrire la définition de l'énergie potentielle de pesanteur par rapport au poids pour s'en convaincre.
↑ En effet l'énergie restituée serait la différence d'énergie potentielle de pesanteur définie à minuit entre le sommet et la base de la tour alors que l'énergie dépensée à midi aurait été la différence d'énergie potentielle de pesanteur définie à midi entre les mêmes endroits, l'énergie restituée serait donc effectivement plus grande que l'énergie dépensée.
↑ ^12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 et ^12,4 Soit encore la position à vide.
↑ En absence de frottement solide $\;{\vec {R}}\;$ étant $\;\perp \;$ au support horizontal est effectivement verticale.
↑ Ces deux forces verticales ne pouvant agir sur $\;M\;$ en mouvement horizontal se compensent, c'est la raison pour laquelle nous n'avons pas introduit ces deux forces dans le chap. $1$ « oscillateur harmonique » de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ La 2^ème étant effectivement non conservative et la 1^ère conservative mais comme cette dernière ne travaille pas il est inutile d'utiliser son caractère conservatif.
↑ Voir le paragraphe « cause de déséquilibre, loi de Hooke » du chap. $1$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Robert Hooke (1635 - 1703) est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVII^ème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.
↑ ^18,00 ^18,01 ^18,02 ^18,03 ^18,04 ^18,05 ^18,06 ^18,07 ^18,08 ^18,09 ^18,10 ^18,11 ^18,12 ^18,13 ^18,14 ^18,15 ^18,16 ^18,17 ^18,18 ^18,19 ^18,20 ^18,21 ^18,22 ^18,23 ^18,24 ^18,25 ^18,26 ^18,27 ^18,28 ^18,29 ^18,30 ^18,31 ^18,32 ^18,33 ^18,34 ^18,35 ^18,36 ^18,37 ^18,38 ^18,39 et ^18,40 Conditions Initiales.
↑ ^19,0 ^19,1 ^19,2 ^19,3 ^19,4 ^19,5 et ^19,6 Voir le paragraphe « C.I. de lancement 1a ou 1b induisant un mouvement du P.P.S. à un degré de liberté » du chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^20,00 ^20,01 ^20,02 ^20,03 ^20,04 ^20,05 ^20,06 ^20,07 ^20,08 ^20,09 ^20,10 ^20,11 ^20,12 ^20,13 ^20,14 ^20,15 ^20,16 ^20,17 ^20,18 et ^20,19 Pendule Pesant Simple.
↑ ^21,00 ^21,01 ^21,02 ^21,03 ^21,04 ^21,05 ^21,06 ^21,07 ^21,08 ^21,09 ^21,10 ^21,11 ^21,12 ^21,13 ^21,14 ^21,15 ^21,16 ^21,17 ^21,18 ^21,19 ^21,20 ^21,21 et ^21,22 C.-à-d. $\;M\;$ sur la verticale passant par $\;O\;$ et au-dessous de ce dernier $\;{\big [}$ résultat intuitif mais qui sera établi aux paragraphes « définition des positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté » et « stabilité et instabilité des équilibres en termes de force sur l'exemple du P.P.S. à un degré de liberté » du chap. $18$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ ^22,0 et ^22,1 L'axe vertical étant $\;\downarrow \;$ l'énergie potentielle de pesanteur s'écrit $\;U_{\text{pes}}(M)=-m\;g\;z+cste$ .
↑ $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant le 1^er vecteur de base polaire liée à $\;M\;$ plus précisément le vecteur unitaire radial $\;{\big [}$ voir le paragraphe « coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », $\;{\vec {u}}_{\rho }\;$ étant noté ici $\;{\vec {u}}_{r}{\big ]}$ .
↑ ^24,0 et ^24,1 En effet le travail élémentaire s'écrit $\;\delta W({\vec {T}})={\vec {T}}\cdot {\overrightarrow {dM}}\;$ avec $\;{\overrightarrow {dM}}=l\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }$ $\;{\big \{}{\vec {u}}_{\theta }\;$ le 2^ème vecteur de base polaire liée à $\;M\;$ plus précisément le vecteur unitaire orthoradial $\;{\big [}$ voir le paragraphe « coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}{\big \}}\;$ et $\;{\vec {T}}={\overline {T}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ d'où $\;\delta W({\vec {T}})=0$ .
↑ $\;z\;$ dépend alors du temps $\;t\;$ mais, souhaitant tirer des informations du diagramme d'énergies potentielle et mécanique nous supposerons ne rien connaître de cette dépendance.
↑ ^26,00 ^26,01 ^26,02 ^26,03 ^26,04 ^26,05 ^26,06 ^26,07 ^26,08 ^26,09 et ^26,10 La signification de $\;{\widehat {=}}\;$ étant « est représenté par $\;{\big (}$ ou représente ${\big )}\;$ » $\;{\big (}$ l'échelle de représentation devant être précisée si une utilisation quantitative est faite, ici ce serait une échelle d'énergie identique à celle utilisée pour les ordonnées du diagramme énergétique ${\big )}$ .
↑ Ceci étant indépendant du diagramme d’énergies potentielle et mécanique tracé.
↑ ^28,0 ^28,1 ^28,2 ^28,3 ^28,4 ^28,5 ^28,6 et ^28,7 Les positions d'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté soumis à force motrice conservative étant telles qu'elles correspondent à une énergie potentielle stationnaire relativement à la variation de leur variable de position $\;{\big (}$ c.-à-d. à dérivée nulle par rapport à cette variable ${\big )}\;$ voir le paragraphe « généralisation de la définition de positions d'équilibre d'un P.P.S. à partir de son diagramme d'énergie potentielle à celle de positions d'équilibre d'un point matériel à un degré de liberté, démonstration à partir de la 1^ère définition » du chap. $18$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^29,0 et ^29,1 Pour que la trajectoire soit cinétiquement non bornée, il faut et il suffit qu'il y ait un et un seul mur d'énergie potentielle dans le diagramme d'énergies potentielle et mécanique.
↑ Voir le paragraphe « modélisation d'une force de collision et conséquence sur son impulsion élémentaire » du chap. $15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $\;1933\;$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
   Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $\;{\big (}$ connu sous le nom de mécanique ondulatoire ${\big )}$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $\;1933\;$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $\;1935\;$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
   Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
   Werner Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, a obtenu le prix Nobel de physique en $\;1932\;$ pour la création d'une forme de mécanique quantique $\;{\big (}$ connue sous le nom de mécanique matricielle ${\big )}$ , dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène $\;{\big (}$ le dihydrogène existe sous deux formes allotropiques « ortho » où les spins sont parallèles et « para » où ils sont antiparallèles, le dihydrogène ortho étant présent à $\;75\;\%\;$ à température élevée et sa proportion diminuant quand sa température diminue ${\big )}$ .
↑ Voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Revoir la définition dans le paragraphe « discontinuité de 2^ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Pour déterminer le lien entre la force de collision que le sol exerce sur le point matériel $\;M\;$ et l'énergie cinétique que ce dernier avait acquise à la fin de sa chute libre, on peut appliquer la théorème de la variation d'énergie mécanique sur la durée élémentaire entourant l'instant de collision $\;{\big [}$ voir le paragraphe « énoncé du théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel sur une durée élémentaire dans un champ de force(s) conservatives(s) » du chap. $16$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big ]}$ ;
   à l'instant $\;t_{\text{collis}}^{\,-}\;$ l'énergie mécanique vaut « $\;E_{m,\,M}(t_{\text{collis}}^{\,-})=K_{M}(t_{\text{collis}}^{\,-})\;{\cancel {+U_{{\text{pes}},\,M}(t_{\text{collis}}^{\,-})}}=E_{m,\,M}(0)=m\;g\;h\;$ » et
   à l'instant $\;t_{\text{collis}}^{\,+}$ , l'énergie potentielle de pesanteur étant continue par continuité de la position de $\;M$ , son énergie mécanique vaut « $\;E_{m,\,M}(t_{\text{collis}}^{\,+})=K_{M}(t_{\text{collis}}^{\,+})\;{\cancel {+U_{{\text{pes}},\,M}(t_{\text{collis}}^{\,+})}}=0\;$ » car $\;K_{M}(t_{\text{collis}}^{\,+})=0$ , l'objet étant à l'arrêt ;
   le théorème de la variation d'énergie mécanique à $\;M\;$ sur $\;\left[t_{\text{collis}}^{\,-}\,,\,t_{\text{collis}}^{\,+}\right]\;$ conduit à « $\;\delta W({\vec {F}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}})=E_{m,\,M}(t_{\text{collis}}^{\,+})-E_{m,\,M}(t_{\text{collis}}^{\,-})\;$ » soit « $\displaystyle \int _{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}}{\mathcal {P}}\!\left[{\vec {F}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}}\right](t')\;dt'=$ $0-m\;g\;h\;$ » ou « $\displaystyle \int _{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}}\left[{\vec {F}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}}\right](t')\cdot {\vec {V}}_{M}(t')\;dt'=-m\;g\;h\;$ » d'où,
   avec la modélisation de la force de collision par un pic de Dirac d'impulsion $\;{\vec {I}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}}\;$ centré sur l'instant de collision $\;{\big [}$ voir le paragraphe « modélisation d'une force de collision et conséquence sur son impulsion élémentaire » du chap. $15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big ]}$ , « $\;\left[{\vec {F}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}}\right](t')={\vec {I}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}}\;\delta (t'-t_{\text{collis}})$ » $\;{\Bigg \{}$ on vérifie la valeur de l'impulsion $\;{\big (}$ élémentaire ${\big )}\;$ de la force de collision définie sur $\;\left[t_{\text{collis}}^{\,-}\,,\,t_{\text{collis}}^{\,+}\right]$ , « $\;\displaystyle \int _{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}}\left[{\vec {F}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}}\right](t')\;dt'=\displaystyle \int _{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}}{\vec {I}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}}\;\delta (t'-t_{\text{collis}})\;dt'={\vec {I}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}}\;\displaystyle \int _{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}}\delta (t'-t_{\text{collis}})\;dt'={\vec {I}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}}\;$ », $\;\delta (t)\;$ étant le pic de Dirac d'impulsion unité vérifiant $\;\displaystyle \int _{0^{\,-}}^{0^{\,+}}\delta (t)\;dt=1{\Bigg \}}$ $\;{\big [}$ l'impulsion étant qualifiée d'élémentaire $\;{\big (}$ bien que de norme finie ${\big )}\;$ car la durée $\;\delta t=t_{\text{collis}}^{\,+}-t_{\text{collis}}^{\,-}\;$ est élémentaire ${\big ]}$ , d'où « $\;\delta W({\vec {F}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}})$ $=\displaystyle \int _{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}}{\vec {I}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}}\;\delta (t'-t_{\text{collis}})\cdot {\vec {V}}_{M}(t')\;dt'\;$ » ou, avec « $\;{\vec {I}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}}=I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}\;{\vec {u}}_{z}\;$ » et « $\;{\vec {V}}_{M}(t')=V_{M,\,z}(t')\;{\vec {u}}_{z}\;$ » dans lesquelles « $\;I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}\;$ est une constante $\;>0\;$ » et « $\;V_{M,\,z}(t')<0$ $\;\nearrow \;$ quasi-instantanément jusqu'à $\;0\;$ » $\;{\big [}$ en fait on modélise cette variation finie et quasi instantanée par une discontinuité de 1^ère espèce, voir le paragraphe « discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , soit « $\;\delta W({\vec {F}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}})$ $=I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}\;\displaystyle \int _{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}}V_{M,\,z}(t')\;\delta (t'-t_{\text{collis}})\;dt'\;$ » d'où la relation suivante par application du théorème de la variation d'énergie mécanique « $\;I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}\;\displaystyle \int _{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}}V_{M,\,z}(t')\;\delta (t'-t_{\text{collis}})\;dt'=-m\;g\;h\;\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ » ;    pour vérifier cette relation « on évalue $\;V_{M,\,z}(t')\;$ pour $\;t'\in \left[t_{\text{collis}}^{\,-}\,,\,t_{\text{collis}}^{\,+}\right]\;$ par intégration de la r.f.d.n. $\;{\big (}$ Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne ${\big )}\;$ appliquée à $\;M\;$ », à savoir « $\;m\;{\vec {g}}+{\vec {F}}_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}}}(t')$ $=m\;{\dfrac {d{\vec {V}}_{M}}{dt'}}(t')\;$ » ou, en projetant sur $\;{\vec {u}}_{z}$ , « $\;-m\;g+I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}\;\delta (t'-t_{\text{collis}})=m\;{\dfrac {dV_{M,\,z}}{dt'}}(t')\;$ » ce qui s'intègre $\;{\big (}$ au sens des distributions ${\big )}\;$ entre $\;t_{\text{collis}}^{\,-}\;$ et $\;t'$ , $\;{\big [}\delta (t)\;$ étant la dérivée temporelle $\;{\big (}$ au sens des distributions ${\big )}\;$ de l'échelon unité $\;Y(t)\;$ voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , selon « $\;-m\;g\left(t'-t_{\text{collis}}^{\,-}\right)+I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}\;\left[Y(t''-t_{\text{collis}})\right]_{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t'}$ $=m\,\left[V_{M,\,z}(t')-V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-})\right]\;$ » soit, en négligeant le 1^er terme du 1^er membre qui est un infiniment petit de même ordre que la durée de la collision et avec $\;Y(t'-t_{\text{collis}})=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;\;{\text{pour }}t'>t_{\text{collis}}\\0\;\;{\text{pour }}t'<t_{\text{collis}}\end{array}}\right\rbrace$ , on en déduit « $\;V_{M,\,z}(t')=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l r}V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-})+{\dfrac {I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}}{m}}\;&{\text{pour }}t'>t_{\text{collis}}\\V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-})\;&{\text{pour }}t'<t_{\text{collis}}\end{array}}\right\rbrace \;$ discontinue de 1^ère espèce », toutefois l'absence de définition de $\;V_{M,\,z}(t')\;$ pour $\;t_{\text{collis}}\;$ pose un problème pour l'« évaluation de $\;\displaystyle \int _{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}}V_{M,\,z}(t')\;\delta (t'-t_{\text{collis}})\;dt'\;$ », le résultat attendu si $\;V_{M,\,z}(t_{\text{collis}})\;$ était défini étant « $\;V_{M,\,z}(t_{\text{collis}})\;\displaystyle \int _{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}}\delta (t'-t_{\text{collis}})\;dt'=V_{M,\,z}(t_{\text{collis}})\;$ » ;
   pour vérifier cette relation « on évalue $\;\color {transparent}{V_{M,\,z}(t')}\;$ pour $\;\color {transparent}{t'\in \left[t_{\text{collis}}^{\,-}\,,\,t_{\text{collis}}^{\,+}\right]}\;$ pour résoudre ce problème « on prolonge la définition de $\;V_{M,\,z}(t')\;$ pour $\;t'=t_{\text{collis}}\;$ selon $\;V_{M,\,z}(t_{\text{collis}})=$ ${\dfrac {V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-})+V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,+})}{2}}=V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-})+{\dfrac {I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}}{2\;m}}\;$ » d'où « $\;\displaystyle \int _{t_{\text{collis}}^{\,-}}^{t_{\text{collis}}^{\,+}}V_{M,\,z}(t')\;\delta (t'-t_{\text{collis}})\;dt'$ $=V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-})+{\dfrac {I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}}{2\;m}}=-{\sqrt {2\;g\;h}}+{\dfrac {I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}}{2\;m}}\;$ » $\;{\bigg [}$ en effet la conservation de l'énergie mécanique entre les instants $\;0\;$ et $\;t_{\text{collis}}^{\,-}\;$ donne « $\;E_{m,\,M}(t_{\text{collis}}^{\,-})=E_{m,\,M}(0)\;$ » ou « $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M,\,z}^{\,2}\!(t_{\text{collis}}^{\,-})+0=m\;g\;h\;$ » d'où « $\;V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-})=$ $-{\sqrt {2\;g\;h}}\;$ » car $\;<0{\bigg ]}$ ;
   finalement la réécriture de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ conduit à « $\;I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}\;\left[-{\sqrt {2\;g\;h}}+{\dfrac {I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}}{2\;m}}\right]=-m\;g\;h\;$ » ou, « $\;{\dfrac {I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}^{\,2}}{m^{2}}}-2\;{\sqrt {2\;g\;h}}\;{\dfrac {I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}}{m}}+2\;g\;h=0\;$ », soit encore « $\;\left({\dfrac {I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}}{m}}-{\sqrt {2\;g\;h}}\right)^{\!2}=0\;$ » d'où « $\;I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}=m\;{\sqrt {2\;g\;h}}\;$ en accord avec le résultat que l'on obtiendrait par théorème de l'impulsion sur une durée élémentaire » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « application (du théorème de l'impulsion) en présence d'une force de collision et conséquence » du chap. $15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » donné en complément ${\big ]}\;$ ce qui donnerait « $\;I_{{\text{collis}},\,M\,\leftarrow \,{\text{sol}},\,z}=m\,\left[V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,+})-V_{M,\,z}(t_{\text{collis}}^{\,-})\right]=m\,\left[0-\left(-{\sqrt {2\;g\;h}}\right)\right]=m\;{\sqrt {2\;g\;h}}\;$ ».
↑ En effet $\;V_{0,\,z}\;$ étant $\;>0\;$ l'altitude $\;z_{M}\nearrow \;$ initialement.
↑ On rappelle que la raison de la poursuite sans limite dans le temps, du déplacement $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sur $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m})\;$ n'est pas que $\;K(M)\;$ soit en croissance continue, mais que $\;K(M)\;$ ne s'annule plus, c.-à-d. que $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ ne rencontrent pas un autre mur d'énergie potentielle.
↑ On peut évidemment remarquer que la trajectoire cinétiquement non bornée du point matériel $\;M\;$ lors de sa chute libre avec vitesse initiale verticale $\;\uparrow \;$ est mécaniquement bornée par la présence physique du sol : voir le paragraphe « présence d'un seul mur d'énergie potentielle : trajectoire du point matériel cinétiquement non bornée (remarque 1) » plus haut dans le chapitre.
↑ Sur le mur d'énergie potentielle l'énergie cinétique du point matériel $\;M\;$ y étant nulle.
↑ ^39,0 ^39,1 ^39,2 ^39,3 et ^39,4 Centre D'Inertie.
↑ Voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « conditions de lancement du système fermé (indéformable) de points matériels et choix du repère cartésien associé au référentiel terrestre supposé galiléen » du chap. $10$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Respectivement projeté du C.D.I. sur les axes $\;{\overrightarrow {Ox}}$ , $\;{\overrightarrow {Oy}}\;$ et $\;{\overrightarrow {Oz}}$ .
↑ ^44,0 ^44,1 et ^44,2 Voir le paragraphe « lois horaires de vitesse du C.D.I. du système fermé (indéformable) de points matériels » du chap. $10$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ On peut s'étonner de la condition $\;\alpha _{0}>0\;$ pour la détermination de l'altitude maximale atteinte puisque son expression ne dépend pas du signe de $\;\alpha _{0}\;$ mais
si la valeur de $\;z_{S}\;$ est la même pour $\;\alpha _{0}\;$ et $\;-\alpha _{0}$ , l'instant où $\;G\;$ passe par le sommet de la trajectoire n'est postérieur à l'instant de lancement que si $\;\alpha _{0}\;$ est $\;>0\;$ en effet
le sommet se caractérise par $\;V_{G,\,z}(t_{S})=0\;$ soit $\;-g\;t_{S}+V_{0}\;\sin(\alpha _{0})=0\;$ d'où $\;t_{S}={\dfrac {V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}{g}}\;$ qui n'est $\;>0\;$ que si $\;\alpha _{0}\;$ est $\;>0$ $\;\ldots$
↑ Ce qui est, de loin, la méthode la plus rapide pour déterminer l'altitude maximale atteinte $\;\ldots$
↑ C.-à-d. sans masse et parfaitement élastique.
↑ ^48,00 ^48,01 ^48,02 ^48,03 ^48,04 ^48,05 ^48,06 ^48,07 ^48,08 ^48,09 ^48,10 ^48,11 ^48,12 ^48,13 ^48,14 ^48,15 ^48,16 ^48,17 ^48,18 ^48,19 et ^48,20 Pendule Élastique Horizontal Non Amorti.
↑ L'allongement total $\;l-l_{0}\;$ s'écrivant encore, compte-tenu de « $\;l_{\text{éq}}=l_{0}\;$ et de $\;l=l_{\text{éq}}+x\;$ », selon « $\;l-l_{0}=x\;$ » d'où la réécriture de l'expression de l'« énergie potentielle élastique définie par $\;U_{\text{élast}}(M)={\dfrac {1}{2}}\;k\,\left(l-l_{0}\right)^{2}\;$ ».
↑ On rappelle que l'abscisse est toujours continue $\;{\big (}$ condition pour que la vitesse ne soit jamais infinie ${\big )}\;$ d'où $\;x(0^{+})=x(0^{-})=x_{0}\;$ et
On rappelle qu'en absence de forces de collision, la vitesse est continue $\;{\dot {x}}(0^{+})={\dot {x}}(0^{-})=0$ .
↑ ^51,0 et ^51,1 La raison probable de son absence étant qu'on peut traiter entièrement l'oscillateur harmonique par r.f.d.n. $\;{\big (}$ Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne ${\big )}\;$ et intégrale 1^ère énergétique sans que l'utilité du diagramme d'énergies potentielle et mécanique ne se fasse sentir.
↑ ^52,0 ^52,1 et ^52,2 Voir le paragraphe « équation cartésienne (d'une parabole de sommet O et d'axe Oy) » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'axe ici étant $\;Ox$ .
↑ ^53,0 ^53,1 et ^53,2 L'équation différentielle $\;m\;{\ddot {x}}(t)+k\;x(t)=0\;$ étant celle d'un oscillateur harmonique non amorti dont la loi horaire de position est une fonction sinusoïdale du temps de pulsation propre $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ voir le paragraphe « résolution de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique » du chap. $1$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Mais tout ce qui suit est indépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale $\;\ldots$
↑ ^55,0 ^55,1 ^55,2 et ^55,3 Le choix entre $\;+\;$ et $\;-\;$ dépend du sens de variation de la variable de position $\;{\big [}$ ou, ce qui revient au même, du sens de déplacement de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ sur $\;(\Gamma _{u})\;$ et $\;(\Gamma _{m}){\big ]}$ .
↑ $\;x\;$ étant encore l'allongement du ressort ou élongation du P.E.H.N.A..
↑ ^57,0 ^57,1 et ^57,2 Cette expression n'étant définie que si $\;\vert x\vert \neq x_{0}$ , dans le cas où $\;\vert x\vert \;$ est égale à $\;x_{0}\;$ la nullité du dénominateur nécessite un numérateur également nul pour assurer une forme indéterminée permettant une valeur de $\;dt\;$ non infinie, $\;dx=0\;$ correspondant alors à un état stationnaire de $\;x$ $\;{\big (}$ plus précisément l'une ou l'autre des bornes de l'intervalle de variation de $\;x\;$ pour laquelle la vitesse est effectivement nulle ${\big )}$ , la levée de la forme indéterminée $\;{\dfrac {dx}{\sqrt {x_{0}^{2}-x^{2}}}}\;$ conduisant à une valeur infiniment petite $\;\propto \;$ à $\;dt$ .
↑ ^58,00 ^58,01 ^58,02 ^58,03 ^58,04 ^58,05 ^58,06 ^58,07 ^58,08 ^58,09 ^58,10 ^58,11 ^58,12 ^58,13 ^58,14 ^58,15 et ^58,16 Voir le paragraphe « intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle fermé à l'exception d'au moins une des bornes pour laquelle la fonction diverge » du chap. $18$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ La fonction à intégrer étant paire on a $\;\displaystyle \int _{-x_{0}}^{0}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}=\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\dfrac {dx}{\sqrt {{\dfrac {k}{m}}\,\left[x_{0}^{2}-x^{2}\right]}}}$ .
↑ Ce résultat étant indépendant des C.I., par exemple si celle-ci sont « $\;x(0)=x_{0}\;$ et $\;{\dot {x}}(0)=V_{0}\;$ », l'« amplitude $\;X_{m}\;$ atteinte à $\;t\equiv t_{m}\!\!{\pmod {{\mathcal {T}}_{0}}}\;$ peut se déterminer par intégrale 1^ère énergétique $\;E_{m}(t_{m})={\dfrac {1}{2}}\;k\;X_{m}^{\,2}=E_{m,\,0}\;$ avec $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x_{0}^{\,2}\;$ » d'où l'« amplitude $\;X_{m}=$ ${\sqrt {\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{k}}}\;$ ou encore $\;X_{m}={\sqrt {{\dfrac {m}{k}}\;V_{0}^{\,2}+x_{0}^{\,2}}}={\sqrt {{\dfrac {V_{0}^{\,2}}{\omega _{0}^{\,2}}}+x_{0}^{\,2}}}\;$ », la « période $\;{\big (}$ propre ${\big )}\;$ quant à elle gardant la même valeur $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$ reste donc indépendante de $\;X_{m}\;$ ».
↑ ^61,0 ^61,1 ^61,2 ^61,3 ^61,4 et ^61,5 Qui est aussi la période propre « $\;{\mathcal {T}}_{0}={\dfrac {2\;\pi }{\omega _{0}}}=2\;\pi \;{\sqrt {\dfrac {m}{k}}}\;$ ».
↑ L'amplitude $\;x_{0}\;$ n'intervenant ni dans la fonction à intégrer, ni dans les bornes d'intégration.
↑ Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction sinus : fonction arcsinus » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Ce Qu'il Fallait Vérifier $\;{\big (}$ usuellement on écrit C.Q.F.D. à savoir Ce Qu'il Fallait Démontrer ${\big )}$ .
↑ ^65,00 ^65,01 ^65,02 ^65,03 ^65,04 ^65,05 ^65,06 ^65,07 ^65,08 ^65,09 ^65,10 ^65,11 et ^65,12 Pendule Élastique Horizontal Amorti.
↑ ^66,0 et ^66,1 La puissance développée par la force de frottement fluide linéaire étant nulle lors du passage du point $\;M\;$ par ses positions d'arrêt.
↑ En effet la vitesse de $\;M\;$ y est nulle d'où $\;{\dfrac {dE_{m}}{dx}}(t_{\text{arrêt}})=-h\;{\dot {x}}(t_{\text{arrêt}})=0$ .
↑ Ce n'est a priori pas au passage par la position d'équilibre $\;{\big [}$ on le vérifie aisément sur les « portraits de phase en élongation du P.E.V.A. suivant le cœfficient_d'amortissement » du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », le fait que le pendule élastique amorti soit vertical au lieu d'horizontal dans le chapitre précité ne changeant rien à cette observation ${\big ]}$ ;
on peut vérifier que les instants à énergie cinétique maximale sont approximativement confondus avec ceux de passage par la position d'équilibre si le cœfficient d'amortissement $\;\sigma \;$ défini par $\;{\dfrac {h}{m}}=$ $2\;\sigma \;\omega _{0}\;$ avec $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ pulsation propre du P.E.H.A., est tel que $\;\sigma \ll 1\;$ c.-à-d. dans le cas où le mouvement du P.E.H.A. est pseudo-périodique très faiblement amorti $\;{\big [}$ les portraits de phase en élongation d'un tel P.E.H.A. spiralent autour du point $\;(x=0\,,\,v=0)\;$ caractéristique de l'équilibre du P.E.H.A. mais en se fermant quasiment sur eux-mêmes sous forme de quasi-ellipses dont les axes sont les axes du repère ${\big ]}$ .
↑ ^69,0 et ^69,1 On rappelle le lien entre facteur de qualité $\;Q\;$ et cœfficient d'amortissement $\;\sigma$ , à savoir « $\;Q={\dfrac {1}{2\;\sigma }}\;$ ».
↑ En accord avec à un resserrement progressif des murs d'énergie potentielle.
↑ Voir le paragraphe « tracé du diagramme temporel de la variation de u_C(t) dans le cas d'une réponse transitoire pseudo-périodique (analogue électromécanique du diagramme temporel de l'élongation d'un P.E.H.A. en réponse pseudo-périodique) » du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^72,0 et ^72,1 Voir le paragraphe « démonstration de la nature plane du mouvement de M dans les C.I. de lancement 1a (ou 1b) » chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Axe horizontal passant par $\;O\;$ et $\;\perp \;$ au plan vertical de lancement $\;{\big (}$ qui est aussi le plan du mouvement du point $\;M{\big )}$ .
↑ La base cartésienne du repère associé au référentiel terrestre orienté à droite $\;{\big [}$ voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteurs (pour la signification d'espace orienté à droite) » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ et supposé galiléen étant choisie directe $\;{\big [}$ voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du même chap. $7$ de la même leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ étant donc tangent à la trajectoire circulaire de $\;M\;$ dans le sens $\;+\;$ des angles du « plan vertical de lancement ».
↑ ^76,00 ^76,01 ^76,02 ^76,03 ^76,04 ^76,05 ^76,06 ^76,07 ^76,08 ^76,09 ^76,10 ^76,11 ^76,12 ^76,13 ^76,14 ^76,15 ^76,16 ^76,17 ^76,18 ^76,19 ^76,20 ^76,21 ^76,22 ^76,23 ^76,24 ^76,25 ^76,26 ^76,27 ^76,28 ^76,29 ^76,30 ^76,31 ^76,32 ^76,33 ^76,34 ^76,35 ^76,36 ^76,37 ^76,38 ^76,39 ^76,40 ^76,41 ^76,42 ^76,43 ^76,44 ^76,45 ^76,46 ^76,47 ^76,48 ^76,49 ^76,50 ^76,51 ^76,52 ^76,53 ^76,54 ^76,55 ^76,56 ^76,57 ^76,58 ^76,59 ^76,60 ^76,61 ^76,62 ^76,63 et ^76,64 Pendule Pesant Simple Non Amorti.
↑ ^77,0 et ^77,1 L'équation différentielle $\;l\;{\ddot {\theta }}(t)+g\;\sin \!\left[\theta (t)\right]=0\;$ n'admettant pas de solution analytique $\;{\big (}$ voir le paragraphe « absence de solution analytique de l'équation différentielle du P.P. » du chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big )}$ , nous n'avons pas pu, pour l'instant, vérifier la nature oscillatoire du P.P.S. autrement que par résolution numérique $\;{\big (}$ voir le paragraphe « résolution numérique de l'équation différentielle du P.P.S. dans les C.I. 1a avec tracé du diagramme horaire de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant » du même chap. $12$ de la même leçon ${\big )}$ .
↑ ^78,00 ^78,01 ^78,02 ^78,03 ^78,04 ^78,05 ^78,06 ^78,07 ^78,08 ^78,09 ^78,10 ^78,11 ^78,12 ^78,13 ^78,14 ^78,15 ^78,16 ^78,17 ^78,18 ^78,19 ^78,20 ^78,21 ^78,22 ^78,23 ^78,24 ^78,25 ^78,26 ^78,27 ^78,28 ^78,29 ^78,30 ^78,31 ^78,32 ^78,33 ^78,34 ^78,35 ^78,36 ^78,37 ^78,38 ^78,39 ^78,40 ^78,41 ^78,42 et ^78,43 Voir le paragraphe « définition du portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté » du chap. $22$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « résolution numérique de l'équation différentielle du P.P.S. dans les C.I. 1a avec tracé des diagrammes horaires de position, de vitesse et du portrait de phase correspondant » du chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) .
↑ En effet la notion de temps n'apparaissant pas explicitement dans le tracé d'un portrait de phase, un 2^ème tour peut être effectué en une durée différente de celle d'un 1^er tour $\;\ldots$
Voir le paragraphe « définition du portrait de phase d'un système dynamique classique à un degré de liberté » du chap. $22$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Mais tout ce qui suit est indépendant de la valeur de l'énergie mécanique initiale $\;\ldots \;$ pourvu que celle-ci reste $\;<\;$ à $\;2\;m\;g\;l\;$ la valeur maximale de l'énergie potentielle de pesanteur.
↑ ^82,0 ^82,1 et ^82,2 Cette expression n'étant définie que si $\;\vert \theta \vert \neq \theta _{0}$ , dans le cas où $\;\vert \theta \vert \;$ est égale à $\;\theta _{0}\;$ la nullité du dénominateur nécessite un numérateur également nul pour assurer une forme indéterminée permettant une valeur de $\;dt\;$ non infinie, $\;d\theta =0\;$ correspondant alors à un état stationnaire de $\;\theta$ $\;{\big (}$ plus précisément l'une ou l'autre des bornes de l'intervalle de variation de $\;\theta \;$ pour laquelle la vitesse est effectivement nulle ${\big )}$ , la levée de la forme indéterminée $\;{\dfrac {d\theta }{\sqrt {\cos \!\left[\theta (t)\right]-\cos(\theta _{0})}}}\;$ conduisant à une valeur infiniment petite proportionnelle à $\;dt$ .
↑ La fonction à intégrer étant paire on a $\;\displaystyle \int _{-\theta _{0}}^{0}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}=\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\,\left[\cos(\theta )-\cos(\theta _{0})\right]}}}$ .
↑ ^84,00 ^84,01 ^84,02 ^84,03 ^84,04 ^84,05 ^84,06 ^84,07 ^84,08 ^84,09 ^84,10 ^84,11 et ^84,12 C'est en fait la valeur absolue des élongations angulaires qui est considérée petite $\;\vert \theta (t)\vert \ll 1$ .
↑ ^85,0 ^85,1 ^85,2 ^85,3 et ^85,4 Voir le paragraphe « période des petites élongations angulaires du P.P.S.(N.A.) » du chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « en complément : évaluation numérique de la période et comparaison avec l'expression approchée de de Borda » plus loin dans le chapitre.
↑ Voir le paragraphe « détermination de la nature périodique du P.P.S. à un degré de liberté et expression de la période sous forme intégrale » plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « isochronisme des oscillations (d'un P.E.H.N.A.) » plus haut dans ce chapitre.
↑ On aurait aussi pu choisir d'éliminer $\;\theta _{0}\;$ de la fonction à intégrer en s'attendant à ce que $\;\theta _{0}\;$ reste présent dans les bornes d'intégration.
↑ Ce changement de variable a transformé une intégrale généralisée $\;{\big (}$ ou impropre ${\big )}\;$ en une intégrale propre, la fonction à intégrer, à savoir $\;{\dfrac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\!\!\left({\dfrac {\theta _{0}}{2}}\right)\,\sin ^{2}(u)}}}$ , étant maintenant définie pour toute valeur du domaine de variation de $\;u\;$ à savoir $\;\left[0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]$ .
↑ La fonction à intégrer en dépendant mais les bornes en étant indépendantes.
↑ ^92,0 et ^92,1 En hommage à Jean-Charles de Borda (1733 – 1799) mathématicien, physicien, politologue et navigateur français ; ce dernier, membre de l’Académie des Sciences à partir de $\;1756$ , a travaillé essentiellement comme ingénieur du génie maritime, il a été chargé, par l’Académie des Sciences, en collaboration avec Charles-Augustin Coulomb $\;{\big [}$ (1736 - 1806) officier, ingénieur et physicien français à qui on doit la formulation précise des lois de frottement « solide » ainsi que l'invention du pendule de torsion qui lui permet de formuler la loi d'attraction des corps électrisés ${\big ]}$ , d’étudier la longueur du pendule battant la seconde $\;{\big [}$ pour cette occasion Étienne Lenoir (1744 - 1832), ingénieur du roi, a fabriqué un pendule formé d'une sphère de platine d'un diamètre de $\;36\;mm$ , de masse $\;526\;g$ , et accrochée à un fil de fer de $\;12\;pieds\;$ de long $\;{\big (}$ un pied de l’époque valait $\;324,839\,mm{\big )}$ , la période d'oscillations était de $\;2\,s{\big ]}\;$ puis, entre $\;1792\;$ et $\;1799$ , avec deux astronomes français Pierre Méchain (1744 - 1804) et Jean-Baptiste Delambre (1749 - 1822) $\;{\big (}$ également membres de l’Académie des Sciences ${\big )}\;$ il est chargé, par cette dernière, de déterminer la longueur de l’arc de méridien de Dunkerque à Barcelone.
↑ Égale à $\;\theta _{0}\;$ pour un P.P.S. lancé dans les C.I. $\;1a$ .
↑ ^94,0 et ^94,1 La version utilisée étant Scilab $\;5.41$ , Scilab étant un logiciel libre de calcul numérique multi‐plate‐forme.
↑ ^95,0 et ^95,1 Vous pourrez trouver les explications dans l'aide du logiciel $\;\ldots$
↑ ^96,0 ^96,1 et ^96,2 On vérifie effectivement que l'expression empirique de de Borda n'est pas applicable pour des amplitudes trop grandes $\;{\big (}$ moins de $\;1\,\%\;$ nécessitant une amplitude inférieure à $\;75\,{\text{°}}{\big )}$ .
↑ Voir le paragraphe « définition non énergétique d'un oscillateur harmonique » du chap. $28$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ S'il s'agit d'un point matériel, celui-ci est « à mouvement conservatif » ;
s'il s’agit d'un système de points matériels, les forces extérieures et intérieures doivent être toutes conservatives ou s'il y a des forces non conservatives elles ne doivent pas travailler $\;{\big (}$ il s’agit donc nécessairement d'un solide ${\big )}\;$ et dans ce cas on parle de « système conservatif » ;
s'il s'agit d'un système non mécanique $\;{\big (}$ comme un $\;L\;C\;$ série court-circuité, $\;C\;$ étant initialement chargé ${\big )}$ , il ne doit pas y avoir d'éléments dissipatifs comme les conducteurs ohmiques, le système étant encore qualifié de « conservatif ».
↑ ^99,0 et ^99,1 Développement Limité.
↑ Voir le paragraphe « D.L. à l'ordre deux de quelques fonctions usuelles au voisinage de zéro » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^101,0 ^101,1 ^101,2 ^101,3 ^101,4 ^101,5 ^101,6 et ^101,7 C.-à-d. le plan vertical contenant $\;{\overrightarrow {OM_{0}}}$ .
↑ ^102,0 et ^102,1 Voir figure du paragraphe « écriture de l'intégrale 1^ère énergétique du pendule pesant simple (P.P.S.) à un degré de liberté » plus haut dans ce chapitre.
↑ Le lien entre vecteur vitesse initiale et vitesse angulaire initiale étant $\;{\vec {V}}_{0}=l\;{\dot {\theta }}_{0}\;{\vec {u}}_{\theta }(0)$ , voir le paragraphe « composantes polaires du vecteur vitesse de M (en mouvement circulaire de centre O) » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ La justification, à partir du diagramme d'énergies mécanique et potentielle du P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;(1.b)$ , de sa nature oscillatoire est la même que celle donnée au paragraphe « détermination de la nature oscillatoire du mouvement du P.P.S. à un degré de liberté par diagramme énergétique » plus haut dans ce chapitre avec un P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;(1.a)\;$ à l'exception du début :
pour $\;{\dot {\theta }}_{0}>0$ , déplacements simultanés de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ vers la droite $\;{\big (}$ flèche rouge $\;->\;$ sur le diagramme ${\big )}\;$ engendrant une $\;\searrow \;$ continue de $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\;$ jusqu'à $\;P_{0}\;$ point commun du mur d'énergie potentielle de droite $\;\theta =\theta _{m}\;$ où $\;{\dot {\theta }}=0$ , la présence de ce mur interdisant la $\;\nearrow \;$ de $\;\theta$ , nous en déduisons que « $\;\theta \;$ reste constant ou $\;\searrow \;$ » mais $\;\theta =\theta _{m}\;$ n'étant pas une position d'équilibre, $\;\theta \searrow \;$ $\Rightarrow$ déplacements simultanés de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ vers la gauche, la suite étant la même que celle du « paragraphe précité » ;
pour $\;{\dot {\theta }}_{0}<0$ , déplacements simultanés de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ vers la gauche $\;{\big (}$ flèche rouge $\;<<-\;$ sur le diagramme ${\big )}\;$ engendrant d'abord une $\;\nearrow \;$ continue de $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\;$ jusqu'au passage de $\;P_{m}\;$ par $\;P_{e}\;$ où $\;\vert {\dot {\theta }}\vert \;$ est maximale puis une $\;\searrow \;$ continue de $\;{\overline {P_{u}P_{m}}}\;{\widehat {=}}\;K(M)\;$ jusqu'à $\;P_{1}\;$ point commun du mur d'énergie potentielle de gauche $\;\theta =-\theta _{m}\;$ où $\;{\dot {\theta }}=0$ , la présence de ce mur interdisant la $\;\searrow \;$ de $\;\theta$ , nous en déduisons que « $\;\theta \;$ reste constant ou $\;\nearrow \;$ » mais $\;\theta =-\theta _{m}\;$ n'étant pas une position d'équilibre, $\;\theta \nearrow \;$ $\Rightarrow$ déplacements simultanés de $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ vers la droite, la suite étant la même que celle du « paragraphe précité ».
↑ Effectivement tel que « $\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert <{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}={\sqrt {\dfrac {2\;g}{l}}}\;$ », l'énergie cinétique initiale valant alors « $\;K_{0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l\;$ » et l'énergie mécanique initiale « $\;E_{m,\,0}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]={\dfrac {3}{2}}\;m\;g\;l\;$ » effectivement « $\;<\;$ à $\;2\;m\;g\;l\;$ ».
↑ ^106,00 ^106,01 ^106,02 ^106,03 ^106,04 ^106,05 ^106,06 ^106,07 ^106,08 et ^106,09 Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction cosinus : fonction arccosinus » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^107,0 et ^107,1 Voir le paragraphe « détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et expression de la période sous forme intégrale » plus haut dans ce chapitre, le seul changement nécessaire lors du passage des C.I. $\;(1.{\mathfrak {a}})\;$ aux C.I. $\;(1.{\mathfrak {b}})\;$ est le remplacement de l'amplitude notée $\;\theta _{0}\;$ pour les C.I. $\;(1.{\mathfrak {a}})\;$ par l'amplitude notée $\;\theta _{m}\;$ pour les C.I. $\;(1.{\mathfrak {b}})\;$ ${\big [}\theta _{0}\;$ y étant l'élongation angulaire initiale ${\big ]}$ .
↑ En effet $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}={\dfrac {l}{2\;g}}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$ $\Rightarrow$ $\;1-{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}=\cos(\theta _{0})-{\dfrac {l}{2\;g}}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}$ .
↑ ^109,00 ^109,01 ^109,02 ^109,03 ^109,04 ^109,05 ^109,06 ^109,07 ^109,08 ^109,09 ^109,10 ^109,11 ^109,12 ^109,13 ^109,14 ^109,15 ^109,16 ^109,17 ^109,18 ^109,19 et ^109,20 C.-à-d. que le mouvement de rotation se fait toujours dans le même sens que celui impulsé initialement sans possibilité d'arrêt ;
quand le paramètre de position d'un point $\;M\;$ peut tendre vers l'infini on dit que ce point est dans un « état de diffusion », toutefois ceci est usuellement réservé au paramètre de position linéaire $\;{\big (}$ nécessitant la possibilité d'une distance infinie entre $\;M\;$ et un point fixe ${\big )}$ ;
ici le paramètre de position angulaire pouvant tendre effectivement vers l'infini, on pourrait dire que le P.P.S.N.A. est dans un « état de diffusion $\;{\big (}$ rotatoire ${\big )}\;$ » $\;{\big [}$ sous-entendant que le paramètre de position $\;{\big (}$ angulaire ${\big )}$ $\;\theta \;$ peut tendre vers l'infini sans que $\;M\;$ ne s'éloigne à l'infini du point fixe $\;O{\big ]}$ , mais ce vocabulaire n'est pas d'usage $\;\ldots \;$ On parle simplement de mouvement « révolutif ».
↑ Effectivement tel que « $\;\vert {\dot {\theta }}_{0}\vert >{\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos(\theta _{0})\right]}}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$ », l'énergie cinétique initiale valant alors « $\;K_{0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{\,2}=m\;g\;l\;$ » et l'énergie mécanique initiale « $\;E_{m,\,0}=$ $m\;g\;l+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]={\dfrac {5}{2}}\;m\;g\;l\;$ » effectivement « $\;>\;$ à $\;2\;m\;g\;l\;$ ».
↑ Voir le paragraphe « détermination de la nature périodique du mouvement du P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté et expression de la période sous forme intégrale » plus haut dans ce chapitre, toutefois avec les changements nécessaires traduisant le passage des C.I. $\;(1.{\mathfrak {a}})\;$ aux C.I. $\;(1.{\mathfrak {b}})\;$ avec mouvement révolutif.
↑ Mais la démarche serait identique avec $\;{\dot {\theta }}_{0}<0\;$ engendrant un mouvement révolutif dans le sens $\;-\;\ldots$
↑ Avec $\;{\dot {\theta }}_{0}<0\;$ on aurait $\;{\dot {\theta }}(t)={\dfrac {d\theta }{dt}}(t)=-{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}$ .
↑ Avec $\;{\dot {\theta }}_{0}<0\;$ on aurait donc $\;dt=-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos \!\left[\theta (t)\right]+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}$ .
↑ Avec $\;{\dot {\theta }}_{0}<0\;$ la durée totale du 1^er tour s'écrirait $\;\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,P_{1}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}-2\,\pi }-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos(\theta )+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}$ .
↑ Avec $\;{\dot {\theta }}_{0}<0\;$ la durée totale du n^ème tour s'écrirait $\;\Delta t_{P_{n-1}\,\rightarrow \,P_{n}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}-2\,(n-1)\,\pi }^{\theta _{0}-2\,n\,\pi }-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos(\theta )+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}$ .
↑ Ceci restant valable pour $\;{\dot {\theta }}_{0}<0$ .
↑ Pour $\;{\dot {\theta }}_{0}<0$ , la période $\;{\mathcal {T}}\;$ du mouvement révolutif de $\;M\;$ est la durée d'un aller des points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ de $\;P_{0}\;(\theta _{0})\;$ à $\;P_{1}\;(\theta _{0}-2\;\pi )$ .
↑ Pour $\;{\dot {\theta }}_{0}<0$ , la période $\;{\mathcal {T}}=\Delta t_{P_{0}\,\rightarrow \,P1}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}-2\,\pi }-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {2\;g}{l}}\left\lbrace \cos(\theta )+\left[{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-1\right]\right\rbrace }}}\;$ se réécrit encore suivant l'expression intégrale $\;{\mathcal {T}}={\sqrt {\dfrac {l}{2\;g}}}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}-2\,\pi }-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{m\;g\;l}}-\left[1-\cos(\theta )\right]}}}$ .
↑ En effet la fonction à intégrer dépendant de $\;{\dfrac {\theta }{2}}\;$ est $\;\pi$ -périodique on a $\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}+\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}+\pi }^{\theta _{0}+2\,\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}$ .
↑ Pour $\;{\dot {\theta }}_{0}<0$ , la période se réécrit $\;{\mathcal {T}}={\sqrt {\dfrac {l}{4\;g}}}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}-2\,\pi }-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{2\;\pi }}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}-\pi }-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}\;$ car la fonction à intégrer dépendant de $\;{\dfrac {\theta }{2}}\;$ est $\;\pi$ -périodique $\Rightarrow$ $\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}-\pi }-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}-\pi }^{\theta _{0}-2\,\pi }-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}$ .
↑ En effet pour $\;{\dot {\theta }}_{0}>0$ , $\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}+\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}+\displaystyle \int _{\pi }^{\theta _{0}+\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}\;$ mais la fonction à intégrer étant $\;\pi$ -périodique on peut retirer une même période $\;\pi \;$ aux bornes d'intégration sans modifier le résultat de l'intégrale d'où $\;\displaystyle \int _{\pi }^{\theta _{0}+\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}=\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}$ $\;{\big [}$ en effet l'aire sous la fonction à intégrer entre $\;\pi \;$ et $\;\theta _{0}+\pi \;$ est la même que celle entre $\;0\;$ et $\;\theta _{0}{\big ]}\;$ et par suite $\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}+\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}=\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}+\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}=$ $\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}$ ;
En effet pour $\;{\dot {\theta }}_{0}<0$ , $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{2\;\pi }}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}-\pi }-{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{2\;\pi }}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}-\pi }^{\theta _{0}}{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}\;$ ou, en ajoutant simultanément une même période $\;\pi \;$ de la fonction à intégrer aux deux bornes de l'intégration, $\;{\mathcal {T}}={\dfrac {{\mathcal {T}}_{0}}{2\;\pi }}\;\displaystyle \int _{\theta _{0}}^{\theta _{0}+\pi }{\dfrac {d\theta }{\sqrt {{\dfrac {E_{m,\,0}}{2\;m\;g\;l}}-\sin ^{2}\!\left({\dfrac {\theta }{2}}\right)}}}\;$ et par suite, en faisant le même traitement que celui fait pour $\;{\dot {\theta }}_{0}>0$ , la même simplification de l'expression finale.
↑ En effet la fonction à intégrer en dépend alors que les bornes d'intégration n'en dépendent pas.
↑ Cela pourrait être traduit par une « absence d'isochronisme des révolutions » dans le cadre d'un mouvement révolutif d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté, la signification ne serait alors pas que la période dépend de l'amplitude des oscillations mais qu'elle dépend de l'énergie mécanique initialement fournie $\;{\big (}$ toutefois l'expression « absence d'isochronisme des révolutions » n'est pas employée ${\big )}$ .
↑ ^125,00 ^125,01 ^125,02 ^125,03 ^125,04 ^125,05 ^125,06 ^125,07 ^125,08 ^125,09 ^125,10 ^125,11 ^125,12 ^125,13 ^125,14 et ^125,15 C.-à-d. $\;M\;$ sur la verticale passant par $\;O\;$ et au-dessus de ce dernier $\;{\big [}$ résultat intuitif mais qui sera établi aux paragraphes « définition des positions d'équilibre du P.P.S. à un degré de liberté » et « stabilité et instabilité des équilibres en termes de force sur l'exemple du P.P.S. à un degré de liberté » du chap. $18$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ Voir le paragraphe « définition de la stabilité (ou de l'instabilité) d'un équilibre de point matériel à un degré de liberté en termes de profil d'énergie potentielle » du chap. $18$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », l'équilibre étant stable s'il s'agit d'un minimum d'énergie potentielle et instable pour un maximum.
↑ En effet $\;{\dot {\theta }}_{0}=\pm {\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1+\cos \!\left({\dfrac {2\;\pi }{3}}\right)\right]}}=\pm {\sqrt {2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left(1+{\dfrac {-1}{2}}\right)}}=\pm {\sqrt {\dfrac {g}{l}}}$ , l'énergie cinétique initiale valant alors « $\;K_{0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l\;$ » et l'énergie mécanique initiale « $\;E_{m,\,0}$ $={\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l+m\;g\;l\,\left[1-\cos \!\left({\dfrac {2\;\pi }{3}}\right)\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l+m\;g\;l\,\left[1-{\dfrac {-1}{2}}\right]={\dfrac {1}{2}}\;m\;g\;l+{\dfrac {3}{2}}\;m\;g\;l=2\;m\;g\;l\;$ ».
↑ ^128,00 ^128,01 ^128,02 ^128,03 ^128,04 ^128,05 ^128,06 ^128,07 ^128,08 ^128,09 ^128,10 ^128,11 et ^128,12 Pendule Pesant Simple Amorti.
↑ En effet la vitesse angulaire de $\;M\;$ y est nulle d'où $\;{\dfrac {dE_{m}}{d\theta }}(t_{\text{arrêt}})=-h\;l^{2}\;{\dot {\theta }}(t_{\text{arrêt}})=0$ .
↑ Ce n'est a priori pas au passage par une position d'équilibre stable repérée par $\;\theta \equiv 0\!\!{\pmod {2\;\pi }}$ $\;{\big [}$ on aurait pu le vérifier sur les « portraits de phase d'un P.P.S.A. lancé dans les C.I. 1b U 1a » du chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » si certains d'entre eux avaient été tracés avec un cœfficient d'amortissement $\;\sigma \;$ défini par $\;{\dfrac {h}{m}}=2\;\sigma \;\omega _{0}\;$ avec $\;\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {g}{l}}}\;$ pulsation propre des petites oscillations du P.P.S.A., plus grand ${\big ]}$ ;
par contre on peut vérifier que les instants à énergie cinétique maximale sont approximativement confondus avec ceux de passage par la position d'équilibre stable car les tracés correspondent à un cœfficient d'amortissement $\;\sigma \ll 1\;$ c.-à-d. dans le cas où le mouvement du P.P.S.A. est très faiblement amorti $\;{\big [}$ les portraits de phase en élongation d'un tel P.P.S.A. finissent par spiraler autour d'un point $\;\left\lbrace \theta \equiv 0\!\!{\pmod {2\;\pi }}\,,\,{\dot {\theta }}=0\right\rbrace \;$ caractéristique d'un équilibre stable du P.P.S.A. mais en se fermant quasiment sur eux-mêmes sous forme de quasi-ellipses dont les axes sont les axes du repère ${\big ]}$ .
↑ Car ce sont les cas qui sont observés en pratique, par exemple un P.P.S.A. dans l'air.
↑ « Les points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ ne rencontrent pas de mur d'énergie potentielle sur l'intervalle $\;\left[-\pi \,,\,+\pi \right]$ , le P.P.S.A. ayant encore de l'énergie cinétique au 1^er passage par la position d'équilibre instable repérée par $\;\theta =+\pi \;$ d'où un mouvement révolutif amorti sur un 1^er tour » mais ensuite « ils rencontrent un mur d'énergie potentielle de droite $\;\theta _{3}\in \left]+2\;\pi \,,\,+3\,\pi \right[\;$ puis un mur d'énergie potentielle de gauche $\;\theta _{4}\in \left]+\pi \,,\,+2\,\pi \right[\;$ » et ainsi de suite, « les murs d'énergie potentielle successifs étant de plus en plus resserrés $\Rightarrow$ la $\;\searrow \;$ de l'amplitude des oscillations autour de la position d'équilibre stable repérée par $\;\theta =+2\pi \;$ ».
↑ « Les points $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ rencontrent un mur d'énergie potentielle à droite sur l'intervalle $\;\left]0\,,\,+\pi \right[\;$ ${\Big \{}$ bien que l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}({\mathfrak {2}})\simeq 2,23\;m\;g\;l\;$ soit $\;>\;$ à $\;2\;m\;g\;l\;$ ${\big (}$ l'énergie mécanique limite au-dessus de laquelle un P.P.S.N.A. a un mouvement révolutif ${\big )}$ , la $\;\searrow \;$ de l'énergie mécanique du P.P.S.A. fait qu'elle n'est plus assez grande pour permettre un 1^er passage par la position d'équilibre instable repérée par $\;\theta =+\pi \;$ d'où l'existence d'un 1^er mur d'énergie potentielle sur l'intervalle $\;\left]0\,,\,+\pi \right[$ , par contre, sur l'exemple du diagramme $\;({\mathfrak {1}})$ , l'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}({\mathfrak {1}})\simeq 2,32\;m\;g\;l\;$ plus grande que celle du diagramme $\;({\mathfrak {2}})$ , avait permis au P.P.S.A. de garder un peu d'énergie cinétique pour un 1^er passage par la position d'équilibre instable repérée par $\;\theta =+\pi \;$ d'où un mouvement révolutif amorti sur un 1^er tour ${\Big \}}$ , puis
« Les points $\;\color {transparent}{P_{u}}\;$ et $\;\color {transparent}{P_{m}}\;$ rencontrent un mur d'énergie potentielle à gauche sur l'intervalle $\;\left]-\pi \,,\,0\right[\;$ » et ainsi de suite,
« Les points $\;\color {transparent}{P_{u}}\;$ et $\;\color {transparent}{P_{m}}\;$ rencontrent« les murs d'énergie potentielle successifs étant de plus en plus resserrés $\Rightarrow$ la $\;\searrow \;$ de l'amplitude des oscillations autour de la position d'équilibre stable repérée par $\;\theta =0\;$ ».
↑ La raison de ce comportement différent alors que l'énergie mécanique initiale est la même étant que l'écart angulaire entre la position initiale $\;\theta _{0}=$ $-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;$ et la 1^ère position d'équilibre instable repérée par $\;\theta =-\pi \;$ n'est que de $\;{\dfrac {\pi }{3}}\;$ alors que celui qui existait dans le diagramme $\;({\mathfrak {2}})\;$ entre la même position initiale $\;\theta _{0}=-{\dfrac {2\;\pi }{3}}\;$ et la 1^ère position d'équilibre instable repérée par $\;\theta =+\pi \;$ était de $\;{\dfrac {5\;\pi }{3}}\;$ c.-à-d. cinq fois plus grand autorisant une perte d'énergie mécanique cinq fois plus grande dans le cas du P.P.S.A. du diagramme $\;({\mathfrak {2}})\;$ d'où un comportement différent.
↑ Rappelons que c'est nécessaire pour que le point matériel $\;M\;$ du P.P.S. soit « à mouvement conservatif », de plus c'est le seul cas de P.P.S. explicité dans le programme de physique de P.C.S.I. $\;\ldots$
↑ ^136,0 et ^136,1 D'une part cette expression ne peut pas être identiquement nulle avec une C.I. $\;1{\mathfrak {b}}\;$ et
d'autre part si la C.I. est du type $\;1{\mathfrak {a}}\;$ elle ne peut non plus être identiquement nulle car $\;\theta _{0}\;$ étant $\;\neq 0\;$ ne repère pas une position d'équilibre $\;{\big (}$ ce qui serait indispensable pour avoir $\;{\dot {\theta }}(t)=0,\;\;\forall \;t{\big )}$ .
↑ Rappelons que le point matériel $\;M\;$ du P.P.S.A. est « à mouvement non conservatif », il n'y a donc pas d'intégrale 1^ère énergétique $\;\ldots$
↑ ^138,0 ^138,1 ^138,2 ^138,3 ^138,4 et ^138,5 C.-à-d. inextensible et sans masse.
↑ ^139,0 et ^139,1 Il s'agit d'un abus car la tension d'un fil est la norme de la force que le fil exerce $\;\ldots$
↑ ^140,0 et ^140,1 Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
↑ Voir le paragraphe « composantes polaires du vecteur accélération de M (en mouvement circulaire de centre O) » du chap. $4$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ ^142,0 ^142,1 ^142,2 ^142,3 ^142,4 ^142,5 ^142,6 et ^142,7 Il s'agit d'un abus d'écriture usuel en physique $\;{\big (}$ mais non toléré en mathématiques ${\big )}\;$ consistant à confondre la fonction avec la valeur de la fonction, $\;{\overline {T}}(t)\;$ étant la valeur de la fonction $\;f\;$ composante radiale du vecteur tension du fil de la variable $\;\theta \;$ composée avec la fonction $\;g\;$ loi horaire de position angulaire du P.P.S. de la variable $\;t\;$ est identifié, en physique, à $\;{\overline {T}}(\theta )\;$ mais cette même valeur serait notée en mathématiques $\;f\!\left[g(t)\right]\;$ ou $\;f(\theta )\;$ faisant la distinction entre la fonction $\;f\circ g\;$ de la variable $\;t\;$ et $\;f\;$ de la variable $\;\theta$ ;
cet abus est très utile en physique car il permet de limiter fortement le nombre de grandeurs introduites.
↑ Nous sommes nécessairement dans les C.I. de type $\;1{\mathfrak {b}}\;$ c.-à-d. que $\;{\dot {\theta }}_{0}\;$ est $\;\neq 0$ .
↑ ^144,0 ^144,1 ^144,2 et ^144,3 Car toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant l'intervalle de définition de $\;{\overline {T}}(\theta )\;$ à $\;\left[0\,,\,+\pi \right]\;$ ou $\;\left[-\pi \,,\,0\right]$ .
↑ ^145,0 et ^145,1 Voir le paragraphe « condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit oscillatoire » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^146,0 ^146,1 et ^146,2 La fonction $\;{\overline {T}}(\theta )\;$ étant paire, toutes les valeurs possibles sont aussi trouvées en restreignant son intervalle de définition à $\;\left[0\,,\,\theta _{m}\right]\;$ ou $\;\left[-\theta _{m}\,,\,0\right]$ .
↑ ^147,0 ^147,1 et ^147,2 Une fois le fil détendu, le mouvement de $\;M\;$ est un mouvement de chute dans le champ de pesanteur terrestre uniforme de vecteur vitesse initiale égal à celui atteint pour $\;\theta _{\text{détente}}\;$ ${\big (}$ en effet les forces appliquées étant continues, les vecteurs accélération, vitesse et position de $\;M\;$ le sont ${\big )}\;$ c.-à-d. « faisant l'angle $\;\theta _{\text{détente}}\;$ avec l'horizontale » et « de norme égale à $\;l\;\vert {\dot {\theta }}_{\text{détente}}\vert \;$ » défini à l'aide de l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.S.N.A. « $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{\text{détente}}^{\,2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{\text{détente}})\right]=E_{m,\,0}\;$ » ou, avec « $\;\theta _{\text{détente}}=\arccos \!\left[{\dfrac {2}{3}}-{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\;l}}\right]\;$ », l'équation suivante $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{\text{détente}}^{\,2}+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\left[{\dfrac {2}{3}}-{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{3\;m\;g\;l}}\right]\right\rbrace =E_{m,\,0}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{\text{détente}}^{\,2}=E_{m,\,0}-{\dfrac {m\;g\;l}{3}}-{\dfrac {2\;E_{m,\,0}}{3}}={\dfrac {E_{m,\,0}-m\;g\;l}{3}}\;$ d'où « $\;l\;\vert {\dot {\theta }}_{\text{détente}}\vert ={\sqrt {\dfrac {2\,\left(E_{m,\,0}-m\;g\;l\right)}{3\;m}}}\;$ » ; cette phase de chute libre de $\;M\;$ s'achève lorsque le fil se retend, c.-à-d. quand la distance entre $\;M\;$ et $\;O\;$ reprend la valeur $\;l$ $\;{\big \{}$ à l'instant où le fil se retend, il y a, de façon évidente, discontinuité de 1^ère espèce du vecteur vitesse $\;{\big [}$ voir le paragraphe « discontinuité de 1^ère espèce d'une fonction scalaire d'une variable en une valeur de cette dernière » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ engendrée par une discontinuité de 2^ème espèce du vecteur tension du fil $\;{\big [}$ voir le paragraphe « discontinuité de 2^ème espèce du pic de Dirac de tension d'impulsion E » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ dont l'impulsion est liée au saut de vecteur vitesse par le théorème de l'impulsion sous forme élémentaire en présence d'un vecteur force discontinu de 2^ème espèce $\;{\big [}$ voir le paragraphe « application en présence d'une force de collision et conséquence » du chap. $15$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » ${\big ]}{\big \}}$ ;
   dans le cas $\;E_{m,\,0}=m\;g\;l$ , la norme de la vitesse de $\;M\;$ à l'instant de détente du fil est égale à $\;l\;\vert {\dot {\theta }}_{\text{détente}}\vert =0$ , ceci entraînant la poursuite du mouvement d'oscillations du P.P.S.N.A. sans phase intermédiaire de chute libre ;
   dans le cas $\;E_{m,\,0}=2\;m\;g\;l$ , la norme de la vitesse de $\;M\;$ à l'instant de détente du fil est égale à $\;l\;\vert {\dot {\theta }}_{\text{détente}}\vert ={\sqrt {\dfrac {2\;g\;l}{3}}}$ , d'où une phase de chute libre de $\;M\;$ jusqu'à ce que le fil se retende ;
   dans le cas $\;E_{m,\,0}={\dfrac {5}{2}}\;m\;g\;l$ , la norme de la vitesse de $\;M\;$ à l'instant de détente du fil est égale à $\;l\;\vert {\dot {\theta }}_{\text{détente}}\vert ={\sqrt {g\;l}}$ , ceci entraînant la poursuite du mouvement révolutif du P.P.S.N.A. sans phase intermédiaire de chute libre.
↑ ^148,0 ^148,1 ^148,2 et ^148,3 Autre nom du diagramme d'énergie potentielle c.-à-d. de la courbe de l'énergie potentielle en fonction du paramètre de position.
↑ Tout ce qui suit est réservé aux points $\;M\;$ à « mouvement conservatif », on néglige donc tout frottement.
↑ Sur les diagrammes d'énergies potentielle et mécanique de point matériel dans un état lié, la connaissance de la valeur du paramètre de position ne suffit pas pour en déduire le signe de la vitesse, ce dernier dépendant du sens de variation du paramètre de position autour de cette valeur $\;{\big (}$ par exemple le passage par la position d'équilibre d'un oscillateur harmonique correspond alternativement à une vitesse positive puis négative ${\big )}$ .
↑ En effet on connaît la vitesse initiale s'il y en a une, donc le sens de déplacement de $\;P_{u}\;$ sur $\;(\Gamma _{u})\;$ correspondant à cet instant et ce sens est conservé $\;{\big (}$ donc le signe de la vitesse aussi ${\big )}\;$ tant que la vitesse ne s'annule pas ; si cette dernière s'annule c'est que $\;P_{u}\;$ rencontre un mur d'énergie potentielle et par suite le sens de déplacement de $\;P_{u}\;$ est inversé $\;{\big (}$ donc le signe de la vitesse aussi ${\big )}$ ;
s'il n’y a pas de vitesse initiale, $\;P_{u}\;$ est sur un mur d'énergie potentielle et le sens de déplacement ultérieur de $\;P_{u}\;$ sur $\;(\Gamma _{u})\;$ est connu $\;{\big (}$ donc le signe ultérieur de la vitesse aussi ${\big )}$ .
↑ Voir le paragraphe « diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel en chute libre » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^153,0 et ^153,1 Lequel n'a pas été déterminé directement au chap. $10$ traitant du « mouvement d'un point matériel dans le champ de pesanteur uniforme » de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
↑ En effet l'intégrale 1^ère énergétique s'écrit $\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ avec $\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {z}}^{2}\!(t)+m\;g\;z(t)\;$ et $\;E_{m,\,0}=m\;g\;h\;$ d'où $\;{\dot {z}}^{2}\!(t)=$ $2\;g\,\left[h-z(t)\right]\;$ et par suite l'équation du portrait de phase compte-tenu du caractère négatif de la vitesse.
↑ ^155,0 et ^155,1 Voir le paragraphe « équation cartésienne (d'une parabole de sommet O et d'axe Oy) » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », l'axe ici étant $\;Oz$ .
↑ Obtenue en dérivant l'équation du portrait de phase $\;{\dot {z}}=-{\sqrt {2\;g\,\left(h-z\right)}}\;$ par rapport à $\;z$ .
↑ Voir le paragraphe « cas où le point matériel est lancé vers le haut avec une vitesse initiale verticale à partir d'une position d'altitude quelconque » plus haut dans ce chapitre.
↑ En effet l'intégrale 1^ère énergétique s'écrit $\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ avec $\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {z}}^{2}\!(t)+m\;g\;z(t)\;$ et $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{2}+m\;g\;h\;$ d'où $\;{\dot {z}}^{2}\!(t)=$ $V_{0}^{2}+2\;g\,\left[h-z(t)\right]\;$ et par suite l'équation du portrait de phase $\;{\dot {z}}=+{\sqrt {V_{0}^{2}+2\;g\,\left(h-z\right)}}\;$ dans la phase de montée de $\;M\;$ et son équation $\;{\dot {z}}=-{\sqrt {V_{0}^{2}+2\;g\,\left(h-z\right)}}\;$ dans la phase de descente du point matériel.
↑ Obtenue en dérivant l'équation du portrait de phase $\;{\dot {z}}=\pm {\sqrt {V_{0}^{2}+2\;g\,\left(h-z\right)}}\;$ par rapport à $\;z\;$ ${\big (}$ avec $\;+\;$ dans la phase montante de $\;M\;$ et $\;-\;$ dans sa phase $\;\downarrow {\big )}$ , ce qui donne $\;{\dfrac {d{\dot {z}}}{dz}}(z)=$ $\mp {\dfrac {g}{\sqrt {V_{0}^{2}+2\;g\,\left(h-z\right)}}}$ .
↑ Voir le paragraphe « diagramme d'énergies potentielle et mécanique du P.E.H.N.A. » plus haut dans ce chapitre.
↑ Lequel n'a pas été déterminé directement au chap. $1$ traitant de l'« oscillateur harmonique (non amorti) à une dimension » de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » mais simplement évoqué dans le chap. $28$ de la même leçon traitant des « circuits R L C série et oscillateurs mécaniques amortis par frottement visqueux » et où on peut y voir, obtenus expérimentalement, les « portraits de phase en élongation (ou en vitesse) du P.E.V.A. suivant le cœfficient d'amortissement ${\big (}$ en particulier celui d'un pendule très faiblement amorti avec $\;\sigma =0,0125\;$ permettant d'induire le cas d'un pendule non amorti ${\big )}\;$ » ${\big [}$ le fait que le pendule soit vertical et non horizontal n'ayant aucune importance sur la forme des portraits de phase ${\big ]}$ .
↑ En effet l'intégrale 1^ère énergétique s'écrit $\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ avec $\;E_{m}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+{\dfrac {1}{2}}\;k\;x^{2}\!(t)\;$ et $\;E_{m,\,0}={\dfrac {1}{2}}\;k\;x_{0}^{2}\;$ dont on déduit aisément $\;m\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+k\;x^{2}\!(t)=k\;x_{0}^{2}\;$ ou $\;{\dfrac {m}{k\;x_{0}^{2}}}\;{\dot {x}}^{2}\!(t)+{\dfrac {x^{2}\!(t)}{x_{0}^{2}}}=1\;$ soit encore $\;{\dfrac {{\dot {x}}^{2}}{\left({\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;x_{0}\right)^{\!2}}}+{\dfrac {x^{2}}{x_{0}^{2}}}=1\;$ d'où l'équation implicite du portrait de phase en reconnaissant dans $\;{\sqrt {\dfrac {k}{m}}}\;$ la pulsation propre $\;\omega _{0}\;$ du P.E.H..
↑ Voir le paragraphe « équation cartésienne d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^164,0 et ^164,1 Repère dans lequel est tracé un portrait de phase.
↑ On peut dupliquer le commentaire pour $\;P_{u}\;$ et $\;P_{m}\;$ du diagramme d'énergies potentielle et mécanique en $\;{P'}_{0}\;$ c.-à-d. sur le 2^ème mur d’énergie potentielle, ces deux points ne peuvent se déplacer que vers la droite,
On peut dupliquer le commentaire parallèlement $\;Q\;$ du portrait de phase est en $\;{Q'}_{0}\;$ c.-à-d. la position extrême du portrait de phase sur l'axe des $\;x\;$ sur la gauche (non représenté) et $\;x\;$ ne peut que $\;\nearrow$ , ce qui nécessite $\;{\dot {x}}>0\;$ d'où le déplacement de $\;Q\;$ sur le portrait de phase à partir de $\;{Q'}_{0}\;$ dans le sens horaire $\;\ldots$
↑ Voir le paragraphe « en complément : prolongement de l'utilisation du diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un point matériel à mouvement non conservatif sur l'exemple d'un oscillateur harmonique amorti » plus haut dans ce chapitre.
↑ La forme des portraits de phase est la même que le pendule élastique amorti soit vertical ou horizontal dans la mesure où on repère le point $\;M\;$ par rapport à sa position d'équilibre.
↑ Voir le paragraphe « condition(s) pour que le mouvement du P.P.S.N.A. soit révolutif » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^169,0 ^169,1 ^169,2 ^169,3 et ^169,4 Avec $\;l=1,00\;m\;$ et $\;g\simeq 9,81\;m\cdot s^{-2}$ .
↑ Voir le paragraphe « diagramme d'énergies potentielle et mécanique d'un P.P.S.N.A. à un degré de liberté dans les C.I. 1a » plus haut dans ce chapitre.
↑ Ces exemples numériques avec vitesse angulaire initiale n'ont pas été présentés au chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » dans le paragraphe « tracé des portraits de phase dans le cas général d'oscillations ou de mouvement révolutif d'un P.P.S.(N.A.) lancé dans les C.I. 1b U 1a » mais les exemples qu'on y trouve fournissent des portraits de phase de même allure $\;\ldots$
↑ Voir auparavant le paragraphe intégrale 1^ère du mouvement d'un P.P.S.(N.A.) à un degré de liberté du chap. $12$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) », cette intégrale 1^ère trouvée en intégrant une fois la r.f.d.n. $\;{\big (}$ Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne ${\big )}\;$ projetée sur $\;{\vec {u}}_{\theta }\;$ s'identifie à l'intégrale 1^ère énergétique introduite dans le présent chapitre.
↑ Cette équation implicite peut aussi se retrouver par utilisation de l'intégrale 1^ère énergétique du P.P.S. $\;E_{m}(t)=E_{m,\,0}\;$ dans laquelle $\;E_{m}(t)=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+m\;g\;l\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace \;$ et $\;E_{m,\,0}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;m\;l^{2}\;{\dot {\theta }}_{0}^{2}+m\;g\;l\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$ dont on déduit $\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)+2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left\lbrace 1-\cos \!\left[\theta (t)\right]\right\rbrace =$ ${\dot {\theta }}_{0}^{2}+2\;{\dfrac {g}{l}}\,\left[1-\cos(\theta _{0})\right]\;$ d'où l'équation implicite du portrait de phase du P.P.S.N.A..
↑ Pour comparer on y a aussi reproduit, en magenta, le portrait de phase du P.P.S.N.A. lancé dans les C.I. $\;\theta _{0}={\dfrac {2\;\pi }{3}}\;rad=120\,{\text{°}}\;$ et $\;{\dot {\theta }}_{0}=0$ , d'énergie mécanique initiale $\;E_{m,\,0}={\dfrac {3}{2}}\;m\;g\;l\;$ correspondant à un mouvement oscillatoire.