En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Loi du moment cinétique : Moments cinétiques d'un solide en rotation autour d'un axe », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan (1re suite)modifier
Schéma d'un quart de disque homogène limité par l'arc de cercle AB et par les deux rayons perpendiculaires CA et CB, C étant le centre de l'arc de cercle de rayon R
On considère le quart de disque homogène limité par le quart de cercle et les deux rayons et respectivement perpendiculaires, avec centre du quart de cercle et le rayon de ce dernier voir schéma ci-contre ;
appelant la masse surfacique constante du quart de disque, on se propose en utilisant éventuellement les résultats de l’exercice précité en préambule à savoir la position du C.D.I[1]. du quart de disque ainsi que le vecteur vitesse de dans le référentiel du laboratoire en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée de dans étant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation de déterminer le vecteur moment cinétique en du quart de disque relativement au référentiel du laboratoire .
Détermination du moment cinétique vectoriel en C du quart de disque en rotation autour de l'axe CA avec un vecteur rotation instantanée connu dans le référentiel du laboratoiremodifier
Considérant la rotation du quart de disque limité par le quart de cercle et les deux rayons respectivement perpendiculaires autour de l'axe avec centre de l'arc de cercle, à la vitesse angulaire constante dans le référentiel du laboratoire ,
exprimer, sous forme d'une intégrale surfacique[2], le vecteur moment cinétique [3] du quart de disque relativement à dans le référentiel du laboratoire en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée en posant le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation puis
évaluer cette intégrale et vérifier que le vecteur moment cinétique [3] du quart de disque relativement à dans a une composante portée par l'axe de rotation et une autre composante à ce dernier tournant dans à la même vitesse angulaire que .
Solution
Schéma de situation d'un quart de disque homogène limité par l'arc de cercle AB et par les deux rayons perpendiculaires CA et CB, C étant le centre de l'arc de cercle de rayon R, le quart de disque étant en rotation uniforme autour de l'axe CA à la vitesse angulaire ω0
Le quart de disque homogène limité par le quart de cercle et les deux rayons et respectivement étant le centre du quart de cercle et le rayon de ce dernier, est en rotation uniforme autour de l'axe de vecteur rotation instantanée on choisit de repérer le point générique de par le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe appelé par la suite, la base cylindro-polaire liée à étant notée «» et les coordonnées cylindro-polaires de «» voir ci-contre le repérage cylindro-polaire du C.D.I[1]. du quart de disque , celui du point générique s'imaginant aisément ;
le vecteur moment cinétique [3] du quart de disque relativement à dans le référentiel du laboratoire étant défini selon
«»[2] avec l'aire de la surface élémentaire entourant le point générique ,
se réécrit, dans le cas de en rotation autour de l'axe de vecteur rotation instantanée «» d'où «», selon l'intégrale surfacique «»[2] ou, par utilisation de l'une des deux formules du double produit vectoriel[4], selon «» ;
avec le repérage cylindro-polaire précédemment introduit les deux intégrales surfaciques se réécrivent selon
«»[5] soit «» avec les termes entre accolades «» d'où la réécriture de «», chaque intégrale se calculant en faisant le changement de variable «» d'où «» et «»
«»[5] soit «», la composante suivant étant égale à «» et la composante suivant «» se calcule par changement de variable «» d'où «» puis, en utilisant de nouveau la formule inverse de duplication du cosinus, «» soit finalement «»
le vecteur moment cinétique [3] du quart de disque relativement à dans le référentiel du laboratoire s'écrit «»[3] soit finalement
«» ou encore,
en introduisant la masse du quart de disque «» et réintroduisant partiellement le vecteur rotation instantanée «»,
«», la 1re composante portée par l'axe peut être réécrite «» avec «[2][8] le moment d'inertie de par rapport à l'axe » et la 2ème composante restant dans le plan de en étant à l'axe plus précisément « axipète »[9] tourne à la même vitesse angulaire que le quart de disque.
↑ 3,03,13,23,3 et 3,4 La masse surfacique utilisant la « notation » nous notons les moments cinétiques vectoriel ou scalaire « ou » et non la « notation usuelle ou » par précaution pour éviter toute confusion qui pourrait en découler.
↑ Voir le paragraphe « formules du double produit vectoriel » du chap. de la leçon « [[Outils_mathématiques_pour_la_physique_(PCSI)|Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la formule utilisée ici étant .
↑ 5,0 et 5,1 On fige et on intègre sur de à puis on intègre sur de à .
↑ L'intégration aurait été nettement plus aisée en utilisant le repérage polaire du plan de de pôle et d'axe polaire de vecteur unitaire , les coordonnées polaires de étant et d'où «».
↑ L'intégration aurait été nettement plus aisée en utilisant le repérage polaire du plan de de pôle et d'axe polaire de vecteur unitaire , les coordonnées polaires de étant et d'où «» avec le vecteur unitaire radial de la base polaire de pôle et d'axe polaire «» d'où deux composantes de l'intégrale surfacique à calculer
, l'intégrale entra accolades donnant «» d'où «» et
, l'intégrale entra accolades donnant «» d'où «».
↑ En utilisant le repérage cylindro-polaire d'axe du point générique du quart de disque , «» application de la méthode de calcul d'une intégrale surfacique : on fige et on intègre sur de à puis on intègre sur de à d'où «», cette intégrale se calculant en faisant le changement de variable «» variant de à «» et «» d'où «» donnant finalement « compte-tenu de ». L'intégration aurait été nettement plus aisée en utilisant le repérage polaire du plan de de pôle et d'axe polaire de vecteur unitaire , les coordonnées polaires de étant et d'où «» rappel de la méthode de calcul d'une intégrale surfacique dans le cas présent : on fige et on intègre sur de à puis on intègre sur de à ou, en linéarisant l'intégrale sur , «» compte-tenu de ».
↑ Même sens que centripète mais relativement à un axe et non un point « axipète » et « axifuge » sont encore hors langue française.
![{\displaystyle {\big ]}{\Big \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6eca9ba2f8b061bf30de6d809bbb72d785d366b)
![{\displaystyle {\big )}{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f58173aa89bd742cddd3b7fbde02d5a0db86dec8)
![{\displaystyle {\overrightarrow {CM}}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/310c918298dbab1b20ddd1962b6a02b3f69e5fec)
![{\displaystyle \;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},,\,t)=\sigma _{0}\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}{\overrightarrow {CM}}(t)\wedge \left[{\vec {\Omega }}\wedge {\overrightarrow {CM}}(t)\right]\,dS_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a25f924adeb0984a80d6b3e9496ac5c9859cbe61)
![{\displaystyle \;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},,\,t)=\sigma _{0}\;\left\lbrace \displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}{\overrightarrow {CM}}^{\,2}\;dS_{M}\right\rbrace \,{\vec {\Omega }}-\sigma _{0}\;\left\lbrace \displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\left[{\overrightarrow {CM}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}\right]\,{\overrightarrow {CM}}(t)\;dS_{M}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7457904bfc2e11395c5df5f42ed7eca7146f1ba5)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}{\overrightarrow {CM}}^{\,2}\;dS_{M}=\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}\left\lbrace \left[{\dfrac {z_{M}^{\,3}}{3}}+\rho _{M}^{\,2}\;z_{M}\right]_{z_{M}=0}^{z_{M}={\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}}\right\rbrace d\rho _{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aeac7dbb360d4c9167cf0e94652a009ae3e443e)
![{\displaystyle \;\left[{\dfrac {z_{M}^{\,3}}{3}}+\rho _{M}^{\,2}\;z_{M}\right]_{z_{M}=0}^{z_{M}={\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}}={\dfrac {\left({\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\right)^{\!3}}{3}}+\rho _{M}^{\,2}\;{\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}={\dfrac {\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}{3}}\,\left[R^{2}-\rho _{M}^{\,2}+3\;\rho _{M}^{\,2}\right]={\dfrac {\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}{3}}\,\left[R^{2}+2\;\rho _{M}^{\,2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8a8a534b40f7ee55521b0c78b6f93f46cd3607a)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}{\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\;d\rho _{M}=\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}R^{2}\;\cos ^{2}(\chi )\;d\chi =R^{2}\;\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {1+\cos(2\;\chi )}{2}}\;d\chi =R^{2}\,\left[{\dfrac {\chi }{2}}+{\dfrac {\sin(2\;\chi }{4}}\right]_{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}={\dfrac {\pi \;R^{2}}{4}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d534780c1b45da2525c958818223e7d4a79e88)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}{\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\;\rho _{M}^{\,2}\;d\rho _{M}=\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}R^{4}\;\cos ^{2}(\chi )\;\sin ^{2}(\chi )\;d\chi =R^{4}\;\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {\sin ^{2}(2\;\chi )}{4}}\;d\chi =R^{4}\;\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {1-\cos(4\;\chi )}{8}}\;d\chi =R^{4}\,\left[{\dfrac {\chi }{8}}+{\dfrac {\sin(4\;\chi }{16}}\right]_{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}={\dfrac {\pi \;R^{4}}{16}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b95115ac47fabc610767cdc444645151ad11b70)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\left[{\overrightarrow {CM}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}\right]\,{\overrightarrow {CM}}(t)\;dS_{M}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\omega _{0}\;z_{M}\,\left(\rho _{M}\;{\vec {u}}_{\rho }+z_{M}\;{\vec {u}}_{z}\right)\,dz_{M}\;d\rho _{M}=\omega _{0}\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}\rho _{M}\,\left[\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}={\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}}z_{M}\;dz_{M}\right]d\rho _{M}+{\vec {u}}_{z}\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}\left[\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}={\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}}z_{M}^{\,2}\;dz_{M}\right]d\rho _{M}\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6dc9cc004b19107334f90c33c15cd5021503aca)
![{\displaystyle \;{\dfrac {1}{\omega _{0}}}\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\left[{\overrightarrow {CM}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}\right]\,{\overrightarrow {CM}}(t)\;dS_{M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f82ed8f3c9660d72c6d71089a543a1d4250e1bf)
![{\displaystyle ={\vec {u}}_{\rho }\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}\rho _{M}\,\left[{\dfrac {z_{M}^{\,2}}{2}}\right]_{z_{M}=0}^{z_{M}={\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}}d\rho _{M}+{\vec {u}}_{z}\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}\left[{\dfrac {z_{M}^{\,3}}{3}}\right]_{z_{M}=0}^{z_{M}={\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}}d\rho _{M}={\vec {u}}_{\rho }\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}\rho _{M}\;{\dfrac {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}{2}}\;d\rho _{M}+{\vec {u}}_{z}\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}{\dfrac {\left({\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\,\right)^{\!3}}{3}}\;d\rho _{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48fc9a4f581d9f384db93f00244d99080448c7ca)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}\rho _{M}\,\left[{\dfrac {z_{M}^{\,2}}{2}}\right]_{z_{M}=0}^{z_{M}={\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}}d\rho _{M}={\dfrac {R^{2}}{2}}\,\left[{\dfrac {\rho _{M}^{\,2}}{2}}\right]_{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}-{\dfrac {1}{2}}\left[{\dfrac {\rho _{M}^{\,4}}{4}}\right]_{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}={\dfrac {R^{\,4}}{4}}-{\dfrac {R^{\,4}}{8}}={\dfrac {R^{\,4}}{8}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b256998783aab9b2b10425042395fc548383dc)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}{\dfrac {\left({\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\,\right)^{\!3}}{3}}\;d\rho _{M}={\dfrac {1}{3}}\,\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}R^{\,4}\;\cos ^{4}(\chi )\;d\chi ={\dfrac {R^{\,4}}{3}}\,\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {\left[1+\cos(2\;\chi )\right]^{2}}{4}}\;d\chi ={\dfrac {R^{\,4}}{12}}\,\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}\left[1+2\;\cos(2\;\chi )+\cos ^{2}(2\;\chi )\right]\,d\chi \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb3da268b6e74f6f3afe6aa636e2123ce0f94bf)
![{\displaystyle \;{\dfrac {12}{R^{\,4}}}\,\displaystyle \int _{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}=R}{\dfrac {\left({\sqrt {R^{2}-\rho _{M}^{\,2}}}\,\right)^{\!3}}{3}}\;d\rho _{M}=\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}\left[1+2\;\cos(2\;\chi )+{\dfrac {1+\cos(4\;\chi )}{2}}\right]\,d\chi ={\dfrac {1}{2}}\,\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}\left[3+4\;\cos(2\;\chi )+\cos(4\;\chi )\right]\,d\chi ={\dfrac {1}{2}}\,\left[3\;\chi +2\;\sin(2\;\chi )+{\dfrac {\sin(4\;\chi )}{4}}\right]_{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf48df885d23ea1a54324881a24fd2aba6c9d5da)
![{\displaystyle \;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\left[{\overrightarrow {CM}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}\right]\,{\overrightarrow {CM}}(t)\;dS_{M}=\omega _{0}\left[{\dfrac {R^{\,4}}{8}}\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {\pi \;R^{4}}{16}}\;{\vec {u}}_{z}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7990d7d67e222e8ac4daf4e79baf31e6b35a639c)
![{\displaystyle \;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)=\sigma _{0}\;\omega _{0}\left\lbrace {\dfrac {\pi \;R^{\,4}}{8}}\;{\vec {u}}_{z}-\left[{\dfrac {R^{\,4}}{8}}\;{\vec {u}}_{\rho }+{\dfrac {\pi \;R^{4}}{16}}\;{\vec {u}}_{z}\right]\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a156398606b7ce4aa34e0253c6717e40fa039e54)
![{\displaystyle \;{\vec {L}}_{C}({\mathcal {D}},\,t)=\sigma _{0}\;\omega _{0}\left[{\dfrac {\pi \;R^{\,4}}{16}}\;{\vec {u}}_{z}-{\dfrac {R^{\,4}}{8}}\;{\vec {u}}_{\rho }\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/020b5b1ea412ec6200b5df0ee8362b74b6e51b10)
![{\displaystyle \;{\vec {J}}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\left[{\overrightarrow {CM}}(t)\cdot {\vec {\Omega }}\right]\,{\overrightarrow {CM}}(t)\;dS_{M}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\left[\omega _{0}\;r_{M}\;\sin(\varphi _{M})\right]\,r_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\,\left[dr_{M}\;r_{M}\;d\varphi _{M}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0c3d9ffe4a12d2ca7979c3a3f540cb29bc0d31f)
![{\displaystyle \;{\vec {J}}\cdot {\vec {u}}_{\rho }=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\left[\omega _{0}\;r_{M}\;\sin(\varphi _{M})\right]\,r_{M}\;\cos(\varphi _{M})\,\left[dr_{M}\;r_{M}\;d\varphi _{M}\right]=\omega _{0}\displaystyle \int _{r_{M}=0}^{r_{M}=R}r_{M}^{\,3}\,\left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi _{M}=0}^{\varphi _{M}={\frac {\pi }{2}}}\sin(\varphi _{M})\;\cos(\varphi _{M})\;d\varphi _{M}\right\rbrace dr_{M}=\omega _{0}\displaystyle \int _{r_{M}=0}^{r_{M}=R}r_{M}^{\,3}\,\left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi _{M}=0}^{\varphi _{M}={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {\sin(2\;\varphi _{M})}{2}}\;d\varphi _{M}\right\rbrace dr_{M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78cf5047b7428b3d1d524572760cdf52e714e8a4)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{\varphi _{M}=0}^{\varphi _{M}={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {\sin(2\;\varphi _{M})}{2}}\;d\varphi _{M}=\left[{\dfrac {-\cos(2\;\varphi _{M})}{4}}\right]_{\varphi _{M}=0}^{\varphi _{M}={\frac {\pi }{2}}}={\dfrac {1}{2}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/099887e691ccba4f81d61915de0bdc0baa74aa24)
![{\displaystyle \;{\vec {J}}\cdot {\vec {u}}_{z}=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\left[\omega _{0}\;r_{M}\;\sin(\varphi _{M})\right]\,r_{M}\;\sin(\varphi _{M})\,\left[dr_{M}\;r_{M}\;d\varphi _{M}\right]=\omega _{0}\displaystyle \int _{r_{M}=0}^{r_{M}=R}r_{M}^{\,3}\,\left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi _{M}=0}^{\varphi _{M}={\frac {\pi }{2}}}\sin ^{2}(\varphi _{M})\;d\varphi _{M}\right\rbrace dr_{M}=\omega _{0}\displaystyle \int _{r_{M}=0}^{r_{M}=R}r_{M}^{\,3}\,\left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi _{M}=0}^{\varphi _{M}={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {1-\cos(2\;\varphi _{M})}{2}}\;d\varphi _{M}\right\rbrace dr_{M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a19200f7d25e72d9c25195c0d4868ce3327c0ca0)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{\varphi _{M}=0}^{\varphi _{M}={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {1-\cos(2\;\varphi _{M})}{2}}\;d\varphi _{M}=\left[{\dfrac {\varphi _{M}}{2}}-{\dfrac {\sin(2\;\varphi _{M})}{4}}\right]_{\varphi _{M}=0}^{\varphi _{M}={\frac {\pi }{2}}}={\dfrac {\pi }{4}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1941c5324410a48518bab6a6e90c87accde3e0f)
![{\displaystyle \;R{\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2090618dff083629ff3a5c5e8d4ea6d146b0458)
![{\displaystyle \;J_{Cz}({\mathcal {D}})=\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=R}\left[{\dfrac {\rho _{M}^{\,3}}{3}}\right]_{\rho _{M}=0}^{\rho _{M}={\sqrt {R^{2}-z_{M}^{\,2}}}}\;dz_{M}=\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{z_{M}=0}^{z_{M}=R}{\dfrac {\left(R^{2}-z_{M}^{\,2}\right)^{\frac {3}{2}}}{3}}\;dz_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f06a7d7169d154e34382b547ed2b253523f6d6c)
![{\displaystyle \;J_{Cz}({\mathcal {D}})=\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {R^{4}\,\cos ^{4}(\chi )}{3}}\;d\chi ={\dfrac {\sigma _{0}\;R^{4}}{3}}\;\displaystyle \int _{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}\left[{\dfrac {1+\cos(2\;\chi )}{2}}\right]^{2}\;d\chi =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf6113823df0af6c42ad174d9ce9517dd0eb2f8a)
![{\displaystyle ={\dfrac {\sigma _{0}\;R^{4}}{8}}\;{\dfrac {\pi }{2}}\;{\cancel {+\;{\dfrac {\sigma _{0}\;R^{4}}{3}}\;\left[{\dfrac {\sin(2\;\chi )}{4}}\right]_{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}}}\;{\cancel {+\;{\dfrac {\sigma _{0}\;R^{4}}{3}}\;\left[{\dfrac {\sin(4\;\chi )}{32}}\right]_{\chi =0}^{\chi ={\frac {\pi }{2}}}}}={\dfrac {\pi \;\sigma _{0}\;R^{4}}{16}}={\dfrac {m_{\mathcal {D}}\;R^{\,2}}{4}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bd19a456555e0ddd7f45075e629a1b70f562616)
![{\displaystyle \;J_{Cz}({\mathcal {D}})=\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\sigma _{0}\;\rho _{M}^{\,2}\;dS_{M}=\sigma _{0}\;\displaystyle \iint \limits _{M\,\in \,{\mathcal {D}}}\left[r_{M}^{\,2}\;\cos ^{2}(\varphi _{M})\right]\,\left[dr_{M}\;r_{M}\;d\varphi _{M}\right]=\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{r_{M}=0}^{r_{M}=R}r_{M}^{\,3}\,\left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi _{M}=0}^{\varphi _{M}={\frac {\pi }{2}}}\cos ^{2}(\varphi _{M})\;d\varphi _{M}\right\rbrace dr_{M}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3674efc40cee354dc61b39ebdbdb379013371ce9)
![{\displaystyle \;R{\bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4677888c119625f35a02a5cb35600f8b2e66cae7)
![{\displaystyle =\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{r_{M}=0}^{r_{M}=R}r_{M}^{\,3}\,\left\lbrace \displaystyle \int _{\varphi _{M}=0}^{\varphi _{M}={\frac {\pi }{2}}}{\dfrac {1+\cos(2\;\varphi _{M})}{2}}\;d\varphi _{M}\right\rbrace dr_{M}=\sigma _{0}\;\displaystyle \int _{r_{M}=0}^{r_{M}=R}r_{M}^{\,3}\;\left[{\dfrac {\varphi _{M}}{2}}+{\dfrac {\sin(2\;\varphi _{M})}{4}}\right]_{\varphi _{M}=0}^{\varphi _{M}={\frac {\pi }{2}}}\;dr_{M}=\sigma _{0}\;{\dfrac {\pi }{4}}\;\left[{\dfrac {r_{M}^{\,4}}{4}}\right]_{r_{M}=0}^{r_{M}=R}={\dfrac {\pi \;\sigma _{0}\;R^{4}}{16}}={\dfrac {m_{\mathcal {D}}\;R^{\,2}}{4}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51cc171fabed3e9b436966e89ed846080e072180)
