Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique

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Vecteur surface élémentaire, intégrale surfacique, volume élémentaire et intégrale volumique
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Chapitre no 17
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Divers repérages d'un point dans l'espace
Chap. suiv. :Intégrales généralisées (ou impropres)
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     Dans ce chapitre nous supposons, en absence de précision, l'espace physique affine à trois dimensions « orienté à droite » orientation définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell [1] positionné en un point de l'espace,

     cette orientation à droite induisant la « définition intrinsèque du produit vectoriel de deux vecteurs et de l'espace vectoriel direction [2] de l'espace physique affine à trois dimensions » [3] telle que le trièdre est direct c.-à-d. obéissant à la règle de la main droite [4] et
     cette orientation à droite induisant le « caractère positif du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires , et de l'espace vectoriel direction [2] de l'espace physique affine à trois dimensions si le trièdre est direct c.-à-d. obéissant à la règle de la main droite [4] » [5] et
     cette orientation à droite induisant le « caractère négatif du produit mixte de trois vecteurs non coplanaires , et de l'espace vectoriel direction [2] de l'espace physique affine à trois dimensions si le trièdre est indirect c.-à-d. obéissant à la règle de la main gauche [6] » [5].

     Remarque : si l'orientation de l'espace physique affine à trois dimensions était inversée, l'espace devenant « orienté à gauche » orientation définissable par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de farces et attrapes [7] positionné en un point de l'espace,
     Remarque : le produit vectoriel de deux vecteurs serait changé en son opposé [8] de même que
     Remarque : le produit mixte de trois vecteurs serait changé en son opposé [9].

Notion de vecteur élément de surface en un point générique d'une surface

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Définition

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     Le vecteur élément de surface en un point de la surface , noté [10], est défini à partir de deux déplacements élémentaires non colinéaires du plan tangent en à la surface
          Le vecteur élément de surface en un point de la surface , noté , est défini à partir de deux déplacements élémentaires non colinéaires et selon
    Le vecteur élément de surface en un point de la surface , noté«» [11], [12].

     Remarque : une condition nécessaire C.N. pour pouvoir définir un vecteur élément de surface en un point de la surface considérée
     Remarque : une condition nécessaire C.N. est qu'il existe en ce point un plan tangent à la surface , ce qui nécessite
     Remarque : une condition nécessaire C.N. est que soit un « point régulier de la surface » si la surface est définie par une équation sous forme implicite ,
     Remarque : une condition nécessaire C.N. est que soit un « point régulier de la surface » la fonction doit être continûment dérivable en pour que soit un point régulier de
     Remarque : une condition nécessaire C.N. est que soit un « point régulier de la surface » c.-à-d. que y soit de classe  ;
     Remarque : par la suite « sera toujours un point régulier de la surface »

Propriété

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     De par la définition intrinsèque du produit vectoriel et
              De par la définition celle du vecteur surface élémentaire, est normal à la surface en [13] et on peut écrire
           De par la définition celle du vecteur surface élémentaire, «» avec  un vecteur unitaire à en ,
           De par la définition celle du vecteur surface élémentaire, «» avec  définissant l'aire élémentaire de en .

Pratique courante

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     Le plus souvent, il existe un repérage de tel que deux vecteurs de la base orthonormée directe [14] sont dans le plan tangent à en  ;
     dans ces conditions, appelant et ces deux vecteurs de la base orthonormée directe [14] ,
     dans ces conditions, les déplacements élémentaires de dans le plan tangent s'écrivant alors «» «» [15] avec «» [16].

     Si tel est le cas, la démarche pour déterminer l'aire élémentaire de en est de
     Si tel est le cas, rechercher quel vecteur de base est à en ,
     Si tel est le cas, l'aire élémentaire étant alors le produit des composantes du vecteur déplacement élémentaire sur les deux autres vecteurs de base
    Si tel est le cas, l'aire élémentaire étant alors le produit on vérifiera l'homogénéité de l'expression à une aire c.-à-d. que le produit s'exprime bien en

Expressions en paramétrage cartésien

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     Autres aires élémentaires : si la surface est plane à , « orientée par », «» avec «» [18],
     Autres aires élémentaires : si la surface est plane à , « orientée par », «» avec «» [19].

Expressions en paramétrage cylindro-polaire

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     Autre aire élémentaire : si la surface est plane contenant l'axe , « orientée par », «» avec «» [23].

Expressions en paramétrage sphérique

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     Autre aire élémentaire : si la surface est plane contenant l'axe , « orientée par », «» avec «» [27].

Notions d'intégrale surfacique

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     Ce paragraphe prolonge la « définition des intégrales curvilignes » [28], [29], mais dans les intégrales surfaciques [30] le point générique se déplace sur une surface au lieu de se déplacer sur une courbe.

Les deux types d'intégrales surfaciques et les grandes lignes de la méthode d'évaluation

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     Dans une intégrale surfacique [30] on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction scalaire ou vectorielle d'un point assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une surface » usuellement limitée par « une courbe continue fermée » tracée sur cette surface ;
           Dans une intégrale surfacique la contribution élémentaire d'une fonction scalaire est «» [31] est l'aire élémentaire en sur [32] et
  Dans une intégrale surfacique la contributionusuellement celle d'une fonction vectorielle est «» [33] avec vecteur élément de surface en sur c.-à-d.
  Dans une intégrale surfacique la contribution usuellement celle d'une fonction vectorielle estle flux élémentaire du champ vectoriel à travers [34] ;

     les intégrales surfaciques [30] s'écrivent alors, en notant  la courbe fermée limitant la portion de surface , «» [35] ou
           les intégrales surfaciques s'écrivent alors, en notant  la courbe fermée limitant la portion de surface , «» définissant
           les intégrales surfaciques s'écrivent alors, en notant  la courbe fermée limitant la portion de surface , « le flux du champ vectoriel à travers cette portion de surface [36] ;

     après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , paramètres notés «» [37],
     après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , l'évaluation de l'intégrale surfacique [30] revient au calcul successif de deux intégrales sur un intervalle :
     après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , on fige un des paramètres par exemple et
     après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , on intègre sur l'autre entre les bornes qui dépendent en général du 1er paramètre figé ,
     après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , le résultat de cette 1ère intégration dépendant dans ce cas du paramètre figé , puis
     après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , on libère ce paramètre et
     après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , on intègre sur lui entre les bornes qui ne dépendent que des limites spatiales de la portion de surface  ;
après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , si les bornes de la 1ère intégrale sur le paramètre dépendent du paramètre figé , les deux intégrales sont dites « emboîtées »,
     après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , le calcul de la 2ème intégrale nécessitant de connaître le résultat de la 1ère [38] et
après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , si l'ordre d'intervention des paramètres conduit à une 1ère intégration n'aboutissant pas [39], la 2ème ne peut être faite mais
après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , il existe un « théorème de Fubini » [40] précisant qu'il est possible de permuter les intégrations [41],
     après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , la modification de l'ordre d'intervention des paramètres pouvant conduire à une évaluation aboutissant
     après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , on fige d'abord le paramètre et on intègre sur l'autre paramètre entre les bornes dépendant de ,
     après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , si cette 1ère intégration aboutit, on peut alors aborder la 2ème sur entre des bornes qui dépendent des limites spatiales
     après choix d'un paramétrage de sur la portion de surface , si cette 1ère intégration aboutit, on peut alors aborder la 2ème sur entre des bornes qui de la portion de surface [42].

Application de la méthode de calcul d'une intégrale surfacique sur l'exemple du calcul de l'aire de la surface comprise entre une corde et un arc de cercle

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Schéma précisant la portion de disque entre corde et arc de cercle dont on calcule l'aire

     On souhaite calculer l'aire de la surface comprise entre la corde et l'arc de cercle du disque de rayon et de centre ,
     On souhaite calculer l'aire de la surface comprise entre la corde étant à la distance du centre [43] c.-à-d.
     On souhaite calculer l'intégrale surfacique [30] «» [44] voir figure ci-contre, la surface dont on veut calculer l'aire étant en grisé :

  • choix du « paramétrage de la surface » [45] : repérage polaire de pôle , centre du cercle, l'axe polaire étant porté par la médiatrice de la corde,
          choix du « paramétrage de la surface » : repérage polaire de pôle , centre du cercle, l'axe polaire étant orienté de la corde vers l'arc, d'où
          choix du « paramétrage de la surface » : «» [46] et «»,
  • figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : on fige et on intègre sur de à [47],
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : étant l'angle polaire du point d'intersection de la corde et
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : étant l'angle polaire du point d'intersection du cercle de rayon soit
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : [48], [49] puis
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : on intègre sur de à  d'où la succession d'intégrales emboîtées «» ;
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : la 1ère intégration sur ne présente aucune difficulté [48]
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : d'où la réécriture de l'intégrale surfacique [30] suivant «»,
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : le calcul de cette dernière intégrale ne pouvant aboutir simplement au niveau exposé [50]
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : on fait un nouvel essai en changeant l'ordre d'intégration ;
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : on fige et on intègre sur de à ,
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : étant la distance séparant du point de la corde d'angle polaire voir schéma ci-dessus soit
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : [51] puis
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : on intègre sur de à  d'où la succession d'intégrales emboîtées «» ;
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : la 1ère intégration sur se résout aisément d'où
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : la réécriture de l'intégrale surfacique [30] suivant «»
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : le calcul ne posant a priori aucun problème à ceux qui savent qu'une primitive de est d'où
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : avec
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : se déterminant dans le triangle rectangle est l'extrémité supérieure de la corde et
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : se déterminant dans le triangle rectangle le projeté orthogonal de sur cette dernière soit
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : [48] et [52] soit finalement
    figer un paramètre et intégrer sur l'autre puis intégrer sur le 1er paramètre figé : «» [53].

Exemples d'aire de surface classique

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     Préliminaire : Un calcul d'aire de surface est une intégrale surfacique [30] de la fonction scalaire sur la portion de surface dont on cherche l'aire [54] ;
     Préliminaire : les résultats ainsi que l'établissement de ces derniers doivent être connus sans hésitation [55].

     Établissement de l'aire d'un disque de rayon : on utilise le repérage polaire avec suivant «» [46], « variant de à » et « de à »
          Établissement de l'aire d'un disque de rayon : on utilise le repérage polaire avec suivant «», « variant de à » et les intégrales sont indépendantes,
     Établissement de l'aire d'un disque de rayon : l'aire est donc le produit de deux intégrales sur un intervalle C.Q.F.D. [58].

Présentation de l'affinité d'axe , de direction et de rapport [59] transformant le cercle de centre et de rayon en ellipse de même centre , de grand axe et de petit axe

     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : on utilise le repérage paramétrique d'une ellipse [60] voir schéma ci-contre, de paramètre
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : , abscisse angulaire de , point générique du cercle de centre
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : dont l'image par affinité d'axe , de direction et de rapport [59] est l'ellipse étudiée,
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : cette abscisse angulaire « variant de à » et
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : la coordonnée radiale « du point générique du disque de à » ;
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : les coordonnées de , point générique de l'ellipse étant, quant à elles,
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : les coordonnées de , avec « variant de à »,
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : le point générique de l'intérieur de l'ellipse à figé figé étant
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : d'ordonnée avec « variant de à », l'aire élémentaire de la surface intérieure
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : à l'ellipse s'écrit alors «» [61]
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : «
     Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : « » [62] ou      Établissement de l'aire intérieure d'une ellipse de demi-axeset : «» [63] soit «» C.Q.F.D. [58].

     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution [21] de rayonet de hauteur : on utilise le repérage cylindro-polaire avec suivant «» [64],
          Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayonet de hauteur : « variant de à » et « de à » les intégrales sont indépendantes,
          Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayonet de hauteur : l'aire est donc égale au produit de deux intégrales sur un intervalle
          Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayonet de hauteur : «
          Établissement de l'aire de la surface latérale d'un tuyau cylindrique de révolution de rayonet de hauteur : « » C.Q.F.D. [58].

     Établissement de l'aire d'une sphère [24] de rayon : on utilise le repérage sphérique avec suivant «» [65], « variant de à » et « de à »
           Établissement de l'aire d'une sphère de rayon : les intégrales sont indépendantes, l'aire est donc égale au produit de deux intégrales sur un intervalle
           Établissement de l'aire d'une sphère de rayon : « » C.Q.F.D. [58].

     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : on utilise le repérage sphérique de pôle « le sommet du cône » et
     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : on utilise le repérage sphérique d'axe « l'axe de révolution du cône
     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : on utilise le repérage sphérique d'axe « orienté du sommet vers la base » [66] avec
     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : suivant «» [67], « variant de à » et
           Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : suivant «», « de à » [68]
     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : les intégrales sont indépendantes, l'aire est donc égale au produit de deux intégrales
     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : les intégrales sont indépendantes, l'aire est donc égale au produit sur un intervalle
     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : «
     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : «
     Établissement de l'aire de la surface latérale d'un cône de révolution de hauteuret de demi-angle au sommet : « » [69].

Exemple de calcul de flux de champ vectoriel

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Introduction à la notion de flux d'un champ vectoriel à travers une portion de surface

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     Nous introduirons cette notion sur l'exemple du « champ vectoriel de Poynting » [70], [71] associé au transport de la puissance lumineuse solaire ;
     l'« onde lumineuse émise par le soleil » [72] est de nature vectorielle c'est une onde électromagnétique «» définie en chaque point de l'espace et à chaque instant ,
           l'« onde lumineuse émise par le soleil » est de nature vectorielle c'est une onde électromagnétique «» constituée d'une multitude de composantes monochromatiques,
            l'« onde lumineuse émise par le soleil » est de nature vectorielle elle se propage dans le vide à la célérité de façon isotrope [73] ;
     à une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide se propageant dans la direction , on associe un vecteur d'onde «»,
     à une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide se propageant dans la direction , la direction de correspondant à la définition du rayon lumineux en optique géométrique et
     à une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide se propageant dans la direction , la direction de étant au champ électromagnétique [74] ;
     à une composante monochromatique la puissance lumineuse transportée est caractérisée par « le vecteur de Poynting » [71] défini à partir des composantes vectorielles électrique et magnétique de l'onde
           à une composante monochromatique la puissance lumineuse transportée est caractérisée par « le vecteur de Poynting » défini selon «» [75], lequel est colinéaire à [74], c.-à-d.
           à une composante monochromatique la puissance lumineuse transportée est caractérisée par « le vecteur de Poynting » porté par le rayon lumineux de l'optique géométrique ;
     à une composante monochromatique la norme du vecteur de Poynting [71] d'une composante monochromatique solaire représente la puissance lumineuse transportée par unité d'aire de section droite et
     à une composante monochromatique la « définition de la puissance reçue par une surface » nécessite de tenir compte « de la norme du vecteur de Poynting [71] de cette composante » mais aussi
     à une composante monochromatique la « définition de la puissance reçue par une surface » nécessite de tenir compte « de l'orientation du vecteur de Poynting [71] relativement à la surface » [76], d'où
     à une composante monochromatique la définition de la puissance instantanée reçue par la surface comme le « flux du vecteur de Poynting [71] à travers cette surface orientée » [36]
     à une composante monochromatique la définition de la puissance instantanée reçue par la surface comme le «» [77].

Calcul du flux du champ vectoriel axial et uniforme à travers une calotte sphérique de rayon et de demi-angle d'ouverture fixés

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     On souhaite calculer le flux du champ vectoriel à travers « une calotte sphérique » [36] de demi-angle d'ouverture d'une sphère [24] de centre et de rayon [78] ;

     compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle et d'axe » s'impose, le point de la calotte sphérique étant de coordonnées sphériques
     compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle et d'axe » s'impose, le point de la calotte sphérique étant de avec « variant de à » et « de à »,
     compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle et d'axe » s'impose, le vecteur élément de surface au point étant «» [65] et
     compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle et d'axe » s'impose, le champ vectoriel ayant pour composantes sphériques dans la base locale de ,
   compte-tenu de la surface considérée, le repérage « sphérique de pôle et d'axe » s'impose, le champ vectoriel «» ;

     le flux du champ vectoriel à travers [36] étant défini par «» se réécrit
          le flux du champ vectoriel à travers étant défini par «» [79] soit encore,
          le flux du champ vectoriel à travers étant défini par «» [80], cette intégrale se calculant, entre autres, par linéarisation [81] selon
          le flux du champ vectoriel à travers étant défini par «» soit finalement
          le flux du champ vectoriel à travers étant défini par «» à l'aide de formule trigonométrique de duplication.

Notion de surface élémentaire semi-intégrée

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     Cette notion de surface élémentaire « semi-intégrée » [82] peut être utilisée quand la fonction à intégrer de dépend pas d'un paramètre, exemples :

  • quand la fonction à intégrer sur une sphère [24] de rayon ne dépend pas de la longitude mais dépend de la colatitude , on peut envisager une « couronne élémentaire de sphère comprise entre les deux parallèles de colatitudes infiniment prochesetcomme surface élémentaire semi intégrée », d'aire «» [83] résultant de l'intégration sur de à de l'aire élémentaire [84] ;
    l'intégrale surfacique «» [85], [86] peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «» ou encore
                  l'intégrale surfacique «» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «» [87] ;
  • quand la fonction à intégrer sur la surface latérale d'un cône de révolution de sommet , d'axe et de demi-angle au sommet ne dépend pas de la longitudemais dépend du rayon polaire, on peut envisager une « couronne élémentaire de cône comprise entre les deux rayons polaires infiniment prochesetcomme surface élémentaire semi intégrée », d'aire « » [88] résultant de l'intégration sur de à de l'aire élémentaire [84] ;
    l'intégrale surfacique «» [89] peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «» ou encore
          l'intégrale surfacique «» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «» [90] ;
  • quand la fonction à intégrer sur un tuyau cylindrique de révolution [21] d'axe , de rayon et de hauteur ne dépend pas de l'abscisse angulairemais dépend de la cote, on peut envisager un « tuyau cylindrique de révolution [21] élémentaire compris entre les deux cotes infiniment prochesetcomme surface élémentaire semi intégrée », d'aire « » [91] résultant de l'intégration sur de à de l'aire élémentaire [92] ;
    l'intégrale surfacique «» [93] peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «» ou encore
          l'intégrale surfacique «» peut alors s'écrire directement en utilisant la surface élémentaire semi-intégrée «» [94].

Notion d'élément de volume en un point générique d'une expansion tridimensionnelle (ou volume)

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Définition

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     L'élément de volume en un point de l'« expansion tridimensionnelle » [95] , noté [96], est défini à partir de trois déplacements élémentaires non coplanaires en ,
               L'élément de volume en un point de l'« expansion tridimensionnelle » , noté , est défini à partir de trois déplacements élémentaires non coplanaires , et selon
         L'élément de volume en un point de l'« expansion tridimensionnelle » , noté «» [97], [98], [12].

Propriété

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     Le produit mixte étant invariant par permutation circulaire, il en est de même de l'élément de volume  .

Pratique courante

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     Soient une base orthonormée « directe » [14] de l'expansion tridimensionnelle [95] et les déplacements élémentaires de construits le long de chaque ,
                Soient une base orthonormée « directe » de l'expansion tridimensionnelle et les déplacements élémentaires de «»,
                Soient une base orthonormée « directe » de l'expansion tridimensionnelle on en déduit l'élément de volume en «» soit,
                Soient une base orthonormée « directe » de l'expansion tridimensionnelle avec «» [99],            «».

Expression en paramétrage cartésien

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Expression en paramétrage cylindro-polaire

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Expression en paramétrage sphérique

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Notions d'intégrale volumique

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     Ce paragraphe prolonge la « définition des intégrales curvilignes » [28], [29] et « celle des intégrales surfaciques » [30], [103], le point générique se déplace dans une expansion tridimensionnelle [95] au lieu de se déplacer sur une surface ou une courbe.

Les deux types d'intégrales volumiques

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     Dans une intégrale volumique on ajoute des contributions élémentaires d'une fonction scalaire ou vectorielle d'un point assujetti à se déplacer sur une « portion continue d'une expansion tridimensionnelle » [95] usuellement limitée par « une surface continue fermée » ;
     Dans une intégrale volumique la contribution élémentaire d'une fonction scalaire est «» où est le volume élémentaire en de et
  Dans une intégrale volumique la contribution élément celle d'une fonction vectorielle de densité volumique est «» avec le volume élémentaire en de  et
  Dans une intégrale volumique la contribution élément celle d'une fonction vectorielle de densité volumique effectivement la densité volumique du champ vectoriel car  ;

     les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant  la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle [95], «» ou
           les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant  la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle , «» champ vectoriel de
           les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant  la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle , « cette portion d'expansion tridimensionnelle [95] ou
           les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant  la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle , «» avec
           les intégrales volumiques s'écrivent alors, en notant  la surface fermée limitant la portion d'expansion tridimensionnelle , « la densité volumique du champ vectoriel  ;

     après choix d'un paramétrage de dans la portion d'expansion tridimensionnelle [95], paramètres notés [104],
           après choix d'un paramétrage de dans la portion d'expansion tridimensionnelle l'évaluation de l'intégrale volumique revient au calcul successif de trois intégrales sur un intervalle,
           après choix d'un paramétrage de dans la portion d'expansion tridimensionnelle méthode identique à celle de calcul d'une intégrale surfacique [30] rappelée au paragraphe suivant.

Présentation de la méthode de calcul d'une intégrale volumique

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Méthode se ramenant au calcul de trois intégrales sur un intervalle

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     Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle [95] par , et , on procède comme suit on fige deux des paramètres par exemple et et
          Ayant paramétré l'expansion tridimensionnelle par