Mécanique 1 (PCSI)/Exercices/Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers
Quart de disque homogène de centre C limité par l'arc de cercle AB tournant autour de l'axe CA de son plan
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On considère le quart de disque homogène limité par le quart de cercle et les deux rayons et respectivement , avec centre du quart de cercle et le rayon de ce dernier, et appelant la masse surfacique constante du quart de disque, on se propose
- de déterminer la position du C.D.I. [1] du quart de disque en définissant son vecteur position relativement au vecteur position du point courant du quart de disque d'une part et
- d'autre part de vérifier le résultat par utilisation du 2nd théorème de Guldin [2] relatif à une portion de surface [3].
Détermination de la position du centre d'inertie du quart de disque homogène et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin
modifierAyant choisi le centre de l'arc de cercle limitant le quart de disque comme origine de vecteur position, rappeler l'expression du vecteur position du C.D.I. [1] sous la forme d'une intégrale surfacigue [4] faisant intervenir le vecteur position du point courant du quart de disque puis
évaluer cette intégrale pour déterminer la position du C.D.I. [1] .
Vérifier le résultat précédent en utilisant le 2nd théorème de Guldin [2] relatif à un portion de surface [3] dont l'énoncé est le suivant :
Le quart de disque homogène étant symétrique par rapport à l'axe issu du centre du quart de cercle et passant par le milieu de ce dernier, nous pourrions affirmer que le C.D.I. [1] du quart de disque homogène est sur l'axe de symétrie de ce dernier mais ce résultat sera démontré ci-dessous ;
nous repérons le point générique par ses coordonnées polaires relativement à l'axe polaire , l'axe étant choisi à dans le plan du quart de disque voir schéma ci-contre , a pour coordonnées polaires avec variant de à et de à ;
la définition du vecteur position du C.D.I. [1] du quart de disque homogène étant « » [6], [4], [7] avec la masse surfacique du quart de disque dans laquelle « [6], [4], étant l'aire du quart de disque, vaut » et par suite
la définition le vecteur position du C.D.I. [1] du quart de disque se réécrit selon « » [6], [4] ;
le calcul de l'intégrale surfacique ci-dessus se fait par décomposition en deux intégrales emboîtées, chacune sur un intervalle,
le calcul de l'intégrale surfacique la 1ère réalisant une intégration sur un des deux paramètres, le 2ème restant figé, et
le calcul de l'intégrale surfacique la 2ème intégrale se faisant sur le 2ème paramètre après l'avoir libéré [8], [9],
le calcul de l'intégrale surfacique l'ordre d'intégration étant en fait usuellement indifférent comme le précise le théorème de Fubini [10] ;
l'explicitation de l'intégrale surfacique ci-dessus donne [11], [4] dans laquelle les deux paramètres étant avec les bornes d'intégration sur un des paramètres indépendante de l'autre paramètre, l'intégrale surfacique ci-dessus se réécrit en produit de deux intégrales sur un segment selon « » [4],
l'explicitation de l'intégrale surfacique ci-dessus la 1ère intégrale ne présentant aucune difficulté et la 2nde se simplifiant en décomposant dans la base cartésienne soit
l'explicitation de l'intégrale surfacique ci-dessus [12] et finalement « » [13], [14] d'où
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {I}}}={\dfrac {R^{3}}{3}}\;\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}\left[\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]\,d\theta ={\dfrac {R^{3}}{3}}\,\left[\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]_{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}={\dfrac {R^{3}}{3}}\,\left[2\,\sin \!\left({\dfrac {\pi }{4}}\right)\,{\vec {u}}_{x}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ce745f44f20ff4d357d77c9bdaf88d786477e1)
sur son axe de symétrie à une distance du centre de l'arc de cercle égale à .
Dans le but d'appliquer le théorème de Guldin[2] relatif à une portion de surface, en l'occurrence le quart de disque , on effectue une révolution complète de ce dernier autour de l'axe dans le but de déterminer la distance orthogonale séparant le C.D.I[1]. du quart de disque à l'axe de révolution, étant ainsi le projeté orthogonal de sur mais aussi le centre du cercle décrit par pendant la révolution complète voir schéma ci-contre ;
lors de la révolution complète de autour de l'expansion tridimensionnelle obtenue est la demi-boule supérieure de centre et de rayon ,
lors de la révolution complète de autour de l'expansion tridimensionnelle obtenue est de volume et
lors de la révolution complète de autour de la surface du quart de disque étant d'aire ,
lors de la révolution complète de autour de l'application du théorème de Guldin[2] à la portion de surface lors de cette révolution complète autour de correspondant à un angle de révolution en égal à nous conduit à « » se réécrivant « » dont on déduit l'expression de « » ;
Dans le but d'appliquer le théorème de Guldin on vérifie ainsi la position du C.D.I[1]. du quart de disque en utilisant le fait que se trouve sur l'axe de symétrie noté précédemment l'angle entre et vaut d'où « » « » et finalement
Détermination de la vitesse instantanée du C.D.I. G du quart de disque homogène limité par le quart de cercle AB de centre C et les deux rayons CA et CB respectivement perpendiculaires quand le quart de disque tourne autour de l'axe CA avec une vitesse angulaire fixée
modifier Considérant la rotation du quart de disque limité par le quart de cercle et les deux rayons respectivement et ,
Considérant la rotation du quart de disque autour de l'axe avec centre de l'arc de cercle, à la vitesse angulaire constante ,
- exprimer le vecteur vitesse du C.D.I. [1] du quart de disque en fonction, entre autres, du vecteur rotation instantanée [15] où est le vecteur unitaire orientant l'axe de rotation puis
- en déduire la vitesse instantanée [16] du C.D.I. [1] sur sa trajectoire en fonction, entre autres, de la vitesse angulaire .
Le C.D.I. [1] du quart de disque homogène limité par le quart de cercle et les deux rayons respectivement et , avec centre du quart de cercle et le rayon de ce dernier,
Le C.D.I. restant à distance constante de l'axe de rotation
Le C.D.I. décrit le cercle d'axe et de rayon avec un vecteur rotation instantanée [15] choisissant de repérer le point par le système de coordonnées cylindro-polaires d'axe appelé , la base cylindro-polaire liée à étant notée , les coordonnées cylindro-polaires de valent respectivement , et ;
![{\displaystyle \;z_{G}=\rho _{G}={\dfrac {4}{3\;\pi }}\;R{\Big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85f40ffe54d013a1b522a3e2d8bebc91370ac3b9)
on en déduit l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de en rotation autour de sous la forme
on en déduit l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de « » [17] ou
on en déduit l'expression intrinsèque du vecteur vitesse de « » [18].
![{\displaystyle \;{\vec {V}}_{G}(t)=\omega _{0}\;{\vec {u}}_{z}\wedge \left[\rho _{G}\;{\vec {u}}_{\rho }(G)+z_{G}\;{\vec {u}}_{z}\right]=\rho _{G}\;\omega _{0}\;{\vec {u}}_{\theta }(G)={\dfrac {4}{3\;\pi }}\;R\;\omega _{0}\;{\vec {u}}_{\theta }(G)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bc1ea429ef87c6ab93fda982040a1299a65ff28)
Passant en repérage de Frenet [19] de sur sa trajectoire circulaire, avec les deux 1ers vecteurs de base de Frenet [19], [20] liés à respectivement
Passant en repérage de Frenet de sur sa trajectoire circulaire, avec le vecteur unitaire tangentiel [21] et
Passant en repérage de Frenet de sur sa trajectoire circulaire, avec le vecteur unitaire normal principal [22],
Passant en repérage de Frenet de sur sa trajectoire circulaire, on en déduit l'expression de Frenet [19] du vecteur vitesse de soit « »
Passant en repérage de Frenet de sur sa trajectoire circulaire, on en déduit et, par suite, la vitesse instantanée du point [16] « ».
Centre d'inertie d'un quart de cercle homogène AρBρ de centre C et de rayon ρ puis, par utilisation de la notion de barycentre partiel, centre d'inertie d'un quart de disque homogène limité par le quart de cercle AB de centre C et de rayon R
modifier
On considère le quart de cercle , de centre , de rayon , homogène, de masse linéique constante dont on se propose
- de déterminer la position de son C.D.I. [1] en définissant son vecteur position relativement au vecteur position du point courant du quart de cercle d'une part et
- d'autre part de vérifier le résultat par utilisation du 1er théorème de Guldin [2] relatif à un arc de courbe [3].
Détermination de la position du centre d'inertie du quart de cercle et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin
modifierAyant choisi le centre de l'arc de cercle comme origine de vecteur position, rappeler l'expression du vecteur position du C.D.I. [1] sous la forme d'une intégrale curviligne [23] faisant intervenir le vecteur position du point courant du quart de cercle puis
évaluer cette intégrale pour déterminer la position du C.D.I. [1] .
Vérifier le résultat précédent en utilisant le 1er théorème de Guldin [2] relatif à un arc de courbe [3] dont l'énoncé est le suivant :
Le quart de cercle homogène , de centre , de rayon , étant symétrique par rapport à l'axe issu du centre du quart de cercle et passant par le milieu de ce dernier, nous pourrions affirmer que le C.D.I. [1] du quart de cercle homogène est sur l'axe de symétrie de ce dernier mais ce résultat sera démontré ci-dessous ;
nous repérons le point générique par ses coordonnées polaires relativement à l'axe polaire , l'axe étant choisi à dans le plan du quart de cercle voir schéma ci-contre , a pour coordonnées polaires avec variant de à ;
la définition du vecteur position du C.D.I. [1] du quart de cercle homogène étant « » [25], [23] [26] avec la masse linéique du quart de cercle dans laquelle « [25], [23], étant la longueur du quart de cercle, vaut » et par suite
la définition le vecteur position du C.D.I. [1] du quart de cercle se réécrit selon « » [25], [23] ;
le calcul de l'intégrale curviligne [23] ci-dessus se ramène à celui d'une intégrale sur un intervalle, ici l'intégrale se faisant sur le paramètre soit « » [25] ou encore [12] et finalement « » [13], [14] d'où
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {\mathcal {I}}}=\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}\rho \;{\vec {u}}_{\rho }(\theta )\;\rho \;d\theta =\rho ^{2}\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}{\vec {u}}_{\rho }(\theta )\;d\theta =\rho ^{2}\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}\left[\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]\,d\theta =\rho ^{2}\;\left[\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]_{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}=\rho ^{2}\left[2\,\sin \!\left({\dfrac {\pi }{4}}\right)\,{\vec {u}}_{x}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5dd4a0a16e97f888d6c8a28ed9f0e3c118bb4f3)
sur son axe de symétrie à une distance du centre de l'arc de cercle égale à .
Dans le but d'appliquer le théorème de Guldin [2] relatif à une portion de courbe, en l'occurrence le quart de cercle , on effectue une rotation complète de ce dernier autour de l'axe dans le but de déterminer la distance orthogonale séparant le C.D.I. [1] du quart de cercle à l'axe de rotation, étant ainsi le projeté orthogonal de sur mais aussi le centre du cercle décrit par pendant la rotation complète voir schéma ci-contre ;
lors de la rotation complète de autour de la surface obtenue est la demi-sphère supérieure de centre et de rayon ,
lors de la rotation complète de autour de la surface obtenue est d'aire et
lors de la rotation complète de autour de le quart de cercle étant de longueur ,
lors de la rotation complète de autour de l'application du 1er théorème de Guldin [2] à la portion de courbe lors de cette rotation complète autour de correspondant à un angle de rotation en égal à nous conduit à « » se réécrivant « » dont on déduit l'expression de « » ;
Dans le but d'appliquer le théorème de Guldin on vérifie ainsi la position du C.D.I. [1] du quart de cercle utilisant le fait que se trouvant sur l'axe de symétrie noté précédemment l'angle entre et vaut d'où « » « » et finalement
Position du centre d'inertie d'un quart de disque homogène limité par un quart de cercle AB de centre C, de rayon R et par deux rayons CA et CB respectivement perpendiculaires, en considérant le quart de disque comme association de surfaces élémentaires semi-intégrées, construites à partir d'un quart de cercle AρBρ de même centre C, de rayon ρ variable et d'épaisseur dρ
modifier On se propose de retrouver le C.D.I. [1] d'un quart de disque homogène limité par le quart de cercle et les deux rayons et respectivement , avec centre du quart de cercle, le rayon de ce dernier et la masse surfacique constante du quart de disque, [27] en considérant
On se propose de retrouver le C.D.I. le quart de disque homogène comme une association de quarts de couronnes planes de même centre , de rayon et de largeur ,
On se propose de retrouver le C.D.I. le quart de disque homogène comme une association le « quart de couronne plane de rayon et de faible largeur » pouvant être modélisé par
On se propose de retrouver le C.D.I. le quart de disque homogène comme une association un « quart de cercle de rayon et de masse linéique » [28],
On se propose de retrouver le C.D.I. le quart de disque homogène comme une association cette modélisation reposant sur la détermination de la position du C.D.I. [1] du quart de cercle de rayon dans la résolution de la question « détermination de la position du centre d'inertie du quart de cercle et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin » plus haut dans cet exercice,
On se propose de retrouver le C.D.I. le quart de disque homogène comme une association cette modélisation permet de remplacer le « quart de couronne plane de rayon et de faible largeur » par son barycentre partiel affecté de la masse « » [29].
![{\displaystyle \;\rho \in \left[0\,,\,R\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e17819515a4018e73f55b4a0cdd1ed5aba1570b2)
Ayant choisi le centre de l'arc de cercle limitant le quart de disque comme origine de vecteur position, exprimer le vecteur position du C.D.I. [1] du quart de disque sous la forme d'une intégrale sur un intervalle faisant intervenir le vecteur position du barycentre partiel du quart de couronne plane de rayon et de faible largeur puis
Ayant choisi le centre de l'arc de cercle limitant le quart de disque comme origine de vecteur position, évaluer cette intégrale pour retrouver la position du C.D.I. [1] du quart de disque [27].
Le vecteur position du C.D.I. [1] du quart de disque considéré comme une association de surfaces élémentaires semi-intégrées [30], modélisées par
Le vecteur position du C.D.I. du quart de disque considéré comme une association des quarts de cercle de rayon variable et de masse linéique ,
Le vecteur position du C.D.I. du quart de disque peut s'obtenir en remplaçant le quart de cercle générique de rayon par son barycentre partiel affecté de sa masse « » [29],
Le vecteur position du C.D.I. du quart de disque peut s'obtenir en remplaçant le quart de cercle générique de rayon le vecteur position de étant égal à « » [31],
le vecteur position du C.D.I. [1] du quart de disque peut s'obtenir par « » ;
le calcul de l'intégrale nous conduit à « », identique au résultat précédemment trouvé [27].
![{\displaystyle \;{\overrightarrow {CG}}={\dfrac {\left[{\dfrac {\rho ^{3}}{3}}\,{\sqrt {2}}\right]_{0}^{R}}{\left[{\dfrac {\pi \;\rho ^{2}}{4}}\right]_{0}^{R}}}\;{\vec {u}}_{x}={\dfrac {R^{3}}{3}}\,{\sqrt {2}}\;{\dfrac {4}{\pi \;R^{2}}}\;{\vec {u}}_{x}={\dfrac {4\;R\;{\sqrt {2}}}{3\;\pi }}\;{\vec {u}}_{x}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63545f7fd14143f3deee95c2709c98be6bc9b59b)
Notes et références
modifier- ↑ 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 et 1,33 Centre D'Inertie.
- ↑ 2,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 et 2,09 Paul Guldin (1577 - 1643) mathématicien et astronome suisse, devenu jésuite à l'âge de ans, poussé par sa congrégation et à cause de ses compétences à commencer des études mathématiques à l'âge de ans, l'essentiel de ses travaux portent sur les barycentres et de nos jours il reste connu pour les deux théorèmes portant son nom.
- ↑ 3,0 3,1 3,2 et 3,3 Ce théorème est l'un des deux théorèmes de Guldin encore connu sous le nom de théorèmes de Pappus-Guldin car Pappus d'Alexandrie (ayant vécu au IVème après J.C.), l'un des plus importants mathématiciens de la Grèce Antique, né à Alexandrie en Égypte, qui s'est intéressé essentiellement à la géométrie, les mathématiques récréatives ainsi qu'aux polygones et polyèdres, devait vraisemblablement connaître ces théorèmes.
- ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 et 4,6 Revoir le paragraphe « notion d'intégrale surfacique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ C.-à-d. avec intérieur strict de c.-à-d. ensemble de points à l'intérieur de la portion de surface et hors courbes limitant celle-ci , la raison de cette exigence étant la nécessité qu'il n'y ait pas de recouvrement de l'expansion tridimensionnelle lors de la révolution de la portion de surface autour de l'axe de révolution.
- ↑ 6,0 6,1 et 6,2 étant l'aire de la surface élémentaire centrée en s'écrit, en repérage polaire revoir le paragraphe « expressions en paramétrage cylindro-polaire du vecteur surface élémentaire plus précisément dans le cas d'une surface plane dans le plan » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » dont on admet aisément le prolongement de la définition aux systèmes continus de matière à répartition de masse surfacique.
- ↑ Voir le paragraphe « les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ En fait les intégrales sur un intervalle ne sont pas nécessairement emboîtées, elles le sont si au moins une des bornes d'intégration de la 1ère intégrale dépendent du 2ème paramètre figé et,
si tel n'est pas le cas, on obtient un produit de deux intégrales sur un segment, chaque intégrale réalisant une intégration sur un des deux paramètres, les bornes de l'intégrale étant indépendantes de l'autre paramètre c'est d'ailleurs le cas le plus fréquent que l'on rencontre dans le calcul d'intégrale surfacique dans le domaine de la physique . - ↑ Guido Fubini (1879 - 1943) mathématicien italien surtout connu pour ses travaux sur les intégrales.
- ↑ En effet « » Voir le paragraphe « expressions en paramétrage cylindro-polaire (aire élémentaire du plan xOy repéré en cylindro-polaire) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 12,0 et 12,1 En effet .
- ↑ 13,0 et 13,1 En effet .
- ↑ 14,0 et 14,1 Il était aussi possible d'intégrer sans décomposer le vecteur unitaire radial de la base polaire dans la base cartésienne mais en utilisant , on obtenait alors ou, avec , on obtenait .
- ↑ 15,0 et 15,1 Voir le paragraphe « définition du vecteur rotation instantanée » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ 16,0 et 16,1 On rappelle que la vitesse instantanée est la composante du vecteur vitesse sur le vecteur unitaire tangentiel de Frenet lié au point considéré.
Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre ou base de Serret-Frenet Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules . - ↑ Voir le paragraphe « expression intrinsèque du vecteur vitesse du point M sur sa trajectoire circulaire à l'instant t » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ En effet on rappelle que , voir le paragraphe « propriété des vecteurs de base d'une base orthonormée » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 19,0 19,1 et 19,2 Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre ou base de Serret-Frenet Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules .
- ↑ Voir les paragraphes « notion de 1er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue » et « 2ème et 3ème vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « notion de 1er vecteur de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe continue » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « 2ème et 3ème vecteurs de la base locale de Frenet liée au point d'une courbe plane continue » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
- ↑ 23,0 23,1 23,2 23,3 23,4 et 23,5 Revoir le paragraphe « notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ La raison de cette exigence étant la nécessité qu'il n'y ait pas de recouvrement de la surface lors de la rotation de l'arc de courbe autour de l'axe de rotation, cela n'interdit pas que passe par l'un des points extrêmes ou .
- ↑ 25,0 25,1 25,2 et 25,3 étant l'abscisse curviligne élémentaire centrée en s'identifie, en repérage polaire, à c.-à-d. à la composante orthoradiale du vecteur déplacement élémentaire revoir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « centre d'inertie d'un système (discret) fermé de points matériels » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » dont on admet aisément le prolongement de la définition aux systèmes continus de matière à répartition de masse linéique.
- ↑ 27,0 27,1 et 27,2 La position du C.D.I. ayant été établi dans la résolution de la question « détermination de la position du centre d'inertie du quart de disque homogène et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin » plus haut dans l'exercice précédent.
- ↑ étant en et en , a bien l'homogénéité d'une masse linéique c.-à-d. en .
- ↑ 29,0 et 29,1 La masse du quart de couronne plane de rayon et de faible largeur s'obtenant en multipliant la masse surfacique par l'aire de la surface à savoir la longueur du quart de cercle bordant intérieurement la couronne par la largeur de la couronne .
- ↑ Voir le paragraphe « notion de surface élémentaire semi-intégrée » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir la solution de la question « détermination de la position du centre d'inertie du quart de cercle et vérification par l'un des deux théorèmes de Guldin » plus haut dans cet exercice.
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;\left[-\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]_{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abbd1f2f4038a5b579f2a4b378a428370156e7eb)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}{\vec {u}}_{\rho }\!\left(\theta \right)\,d\theta =\displaystyle \int _{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}-{\dfrac {d{\vec {u}}_{\theta }}{d\theta }}(\theta )\,d\theta =\left[-{\vec {u}}_{\theta }(\theta )\right]_{-{\frac {\pi }{4}}}^{+{\frac {\pi }{4}}}={\vec {u}}_{\theta }\!\left(-{\dfrac {\pi }{4}}\right)-{\vec {u}}_{\theta }\!\left(+{\dfrac {\pi }{4}}\right)\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de03e2912d786f5bb0382c2c2b1030726b7d3ce0)
