Mécanique 2 (PCSI)/Exercices/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités

Détermination d'une loi de force d'un point matériel à mouvement à force centrale par donnée de trajectoire

     On considère le mouvement à force centrale d’un point matériel $\;M$, de masse $\;m$, dont la trajectoire est plane d’équation polaire «$\;r=a\;\cos(\theta )\;$»,

     préciser la nature de la trajectoire puis

     déterminer « la loi de force s’appliquant à $\;M\;$» $\;{\big \{}$c'est-à-dire exprimer $\;F(r)={\vec {F}}(M)\cdot {\vec {u}}_{r}\;$ en fonction de $\;r$, ainsi que des grandeurs $\;m\;$ et $\;a\;$ entre autres caractérisant le point, sa trajectoire et le mouvement sur celle-ci${\big \}}$ $\;{\big [}$penser à utiliser la « 2^ème formule de Binet $\;{\big (}$ou formule de Binet relative à l'accélération radiale${\big )}\;$» introduisant les « variables de Binet »${\big ]}$.

Solution

Schéma descriptif du mouvement du point matériel $\;M\;$ décrivant la courbe d'équation polaire «$\;r=a\;\cos(\theta )\;$»

     Pour obtenir l'équation cartésienne de la courbe dont l'équation polaire du plan $\;xOy\;$ est «$\;r=a\;\cos(\theta )\;$», il faut éliminer $\;\left(r\,,\,\theta \right)\;$ au profit de $\;\left(x\,,\,y\right)$, par exemple en « multipliant les deux membres par $\;r\;$» $\;{\big \{}$car $\;x=r\;\cos(\theta ){\big \}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;r^{2}=a\;r\;\cos(\theta )\;$» d'où la forme cartésienne implicite de l'équation cartésienne «$\;x^{2}+y^{2}=a\;x\;$» laquelle se réécrivant «$\;\left(x-{\dfrac {a}{2}}\right)^{\!2}+y^{2}=\left({\dfrac {a}{2}}\right)^{\!2}\;$» établit que la trajectoire d'équation polaire «$\;r=a\;\cos(\theta )\;$» est le cercle de centre $\;C\,\left(x_{C}={\dfrac {a}{2}}\,,\,y_{C}=0\right)\;$ et de rayon $\;{\dfrac {a}{2}}$,
cercle passant par $\;O$ $\;{\big [}$plus exactement de diamètre $\;OA$, $\;A\;$ étant le point de l'axe $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ d'abscisse $\;x_{A}=a{\big ]}$.

     La loi de force exercée sur $\;M\;$ pour que ce dernier suive la trajectoire ci-contre peut être obtenue en lui « appliquant la r.f.d.n. » simultanément à l'« utilisation de la 2^ème formule de Binet $\;{\big (}$ou formule de Binet relative à l'accélération radiale${\big )}\;$ introduisant la 1^re et 3^ème variables de Binet respectivement $\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ et $\;u''=$ ${\dfrac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}\;$ toutes deux fonctions de $\;\theta \;$» et explicitant l'accélération radiale du point «$\;a_{r}(t)={\ddot {r}}(t)-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ selon $\;a_{r}(t)=-C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$ fonction de $\;\theta$, avec $\;C\;$ la constante des aires du mouvement à force centrale du point » ;

     de «$\;r=a\;\cos(\theta )\;$» on déduit «$\;u={\dfrac {1}{a\;\cos(\theta )}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;u'={\dfrac {d\!\left[{\dfrac {1}{a\;\cos(\theta )}}\right]}{d\theta }}={\dfrac {\sin(\theta )}{a\;\cos ^{2}(\theta )}}\;$» soit, en dérivant une nouvelle fois, «$\;u''={\dfrac {d\!\left[{\dfrac {\sin(\theta )}{a\;\cos ^{2}(\theta )}}\right]}{d\theta }}$ $={\dfrac {\cos ^{3}(\theta )+2\;\cos(\theta )\;\sin ^{2}(\theta )}{a\;\cos ^{4}(\theta )}}={\dfrac {\cos ^{2}(\theta )+2\;\sin ^{2}(\theta )}{a\;\cos ^{3}(\theta )}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;u''+u={\dfrac {\cos ^{2}(\theta )+2\;\sin ^{2}(\theta )}{a\;\cos ^{3}(\theta )}}+{\dfrac {1}{a\;\cos(\theta )}}=2\;{\dfrac {\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )}{a\;\cos ^{3}(\theta )}}={\dfrac {2}{a\;\cos ^{3}(\theta )}}\;$» d'où «$\;a_{r}(t)=-C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)=$ $-{\dfrac {2\;C^{2}}{a^{3}\;\cos ^{5}(\theta )}}\;$» ou encore, en éliminant $\;\theta \;$ au profit de $\;r$, «$\;a_{r}(t)=-{\dfrac {2\;C^{2}\;a^{2}}{r^{5}}}\;$» ;

     appliquant la projection de la r.f.d.n. sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ nous en déduisons la loi de force exercée sur $\;M\;$ «$\;F(r)={\vec {F}}(M)\cdot {\vec {u}}_{r}=m\;a_{r}=-{\dfrac {2\;m\;C^{2}\;a^{2}}{r^{5}}}\;$» c'est-à-dire une force centrale « attractive variant en $\;{\dfrac {1}{r^{5}}}\;$» de forme $\;F(r)={\dfrac {k}{r^{5}}}\;$ avec $\;k<0$
                                                                           $\;{\big (}$plus exactement $\;k=-2\;m\;C^{2}\;a^{2}{\big )}$.

     Commentaire : Savoir que la trajectoire d'un point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ à mouvement à force centrale de centre $\;O\;$ est un cercle passant par $\;O\;$ de rayon $\;a\;$ connu, permet de déterminer la forme de la loi de force à savoir «$\;F(r)={\dfrac {k}{r^{5}}}\;$ avec $\;k<0\;$» mais il s'avère que connaître la trajectoire est insuffisant pour déterminer $\;k$, en effet
     Commentaire : nous avons établi que «$\;k=-2\;m\;C^{2}\;a^{2}\;$» nécessite aussi de connaître la constante des aires $\;C\;$ laquelle vaut, dans le cas d'un mouvement circulaire lancé de $\;A\,\left(x_{A}=a\,,\,y_{A}=0\right)\;$ avec un vecteur vitesse initiale $\;{\vec {V}}_{0}\,\perp \,{\overrightarrow {OA}}\;$ de norme $\;V_{0}$, «$\;C=\pm V_{0}\;a\;$» $\Rightarrow$ «$\;k=-2\;m\;V_{0}^{2}\;a^{4}\;$» ;
     Commentaire : en conclusion si, en plus de la trajectoire, le mouvement de $\;M\;$ sur celle-ci nous est fourni par l'intermédiaire de C.I. «$\;\left\lbrace r(0)=a\,,\,{\vec {V}}_{0}\left[V_{r}(0)=0\,,\,V_{\theta }(0)=\pm V_{0}\right]\right\rbrace \;$» permettant d'évaluer la constante des aires «$\;C=\pm V_{0}\;a\;$», la loi de force est parfaitement déterminée «$\;F(r)={\dfrac {k}{r^{5}}}\;$ avec $\;k=-2\;m\;V_{0}^{2}\;a^{4}\;$».

     Remarque : Réciproquement la trajectoire d'un point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ soumis à « une seule force centrale $\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{5}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec $\;k<0\;$» $\;{\big (}$donc attractive${\big )}\;$ n'est en général pas circulaire,
     Remarque : pour que ce soit un cercle passant par le centre de force $\;O$, le point $\;M\;$ doit être « lancé d'un point $\;A\;$ distant de $\;a\;$ du centre de force $\;O\;$ avec un vecteur vitesse $\;{\vec {V}}_{0}\,\perp \,{\overrightarrow {OA}}\;$ de norme $\;V_{0}=$ ${\sqrt {\dfrac {-k}{2\;m}}}\;{\dfrac {1}{a^{2}}}\;$», dans ces C.I. la trajectoire de $\;M\;$ est le cercle de diamètre $\;OA$.

 

Détermination d'une loi de force d'un point matériel à mouvement à force centrale par donnée de variation d'énergie cinétique en fonction de la cordonnée radiale du point

     Un point matériel $\;M$, de masse $\;m$, est soumis de la part de $\;O\;$ à une force centrale telle que son énergie cinétique $\;K_{M}\;$ soit inversement proportionnelle au carré de la distance $\;r\;$ du point $\;O$ $\;{\bigg \{}$on écrira «$\;K_{M}={\dfrac {A^{2}\;m}{r^{2}}}\;$», le cœfficient de $\;{\dfrac {1}{r^{2}}}\;$ devant être $\;\propto \;$ à $\;m\;$ et $\;>0\;$ étant noté «$\;A^{2}\;m\;$» pour simplifier l'exposé avec «$\;A>0\;$ exprimé en $\;m^{2}\cdot s^{-1}\;$»${\bigg \}}$.

Détermination de la loi de force

     Déterminer « la loi de force s’appliquant à $\;M\;$» $\;{\big \{}$c'est-à-dire exprimer $\;F(r)={\vec {F}}(M)\cdot {\vec {u}}_{r}\;$ en fonction de $\;r$, et bien sûr des grandeurs $\;m\;$ et $\;A\;$ caractérisant le point et la variation de sa vitesse${\big \}}$ $\;{\big [}$penser à utiliser la « 1^re formule de Binet $\;{\big (}$ou formule de Binet relative au carré de la vitesse${\big )}\;$» puis la « 2^ème $\;{\big (}$ou formule de Binet relative à l'accélération radiale${\big )}\;$» introduisant les « variables de Binet »${\big ]}$.

Solution

     Par « utilisation de la 1^re formule de Binet $\;{\big (}$ou formule de Binet relative au carré de la vitesse${\big )}\;$ introduisant la 1^re et 2^ème variables de Binet respectivement $\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ et $\;u'=$ ${\dfrac {du}{d\theta }}\;$ toutes deux fonctions de $\;\theta \;$» à savoir «$\;V_{M}^{\,2}(t)=C^{2}\left({u'}^{2}+u^{2}\right)\;$» dans laquelle $\;C\;$ est la constante des aires du mouvement, nous pouvons expliciter la forme générale de l'énergie cinétique du point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ à mouvement à force centrale de centre de force $\;O\;$ «$\;K_{M}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{M}^{\,2}(t)={\dfrac {1}{2}}\;m\;C^{2}\left({u'}^{2}+u^{2}\right)\;$» ;

     or, pour le point matériel $\;M\;$ étudié, l'énergie cinétique variant avec $\;r\;$ selon «$\;K_{M}={\dfrac {A^{2}\;m}{r^{2}}}\;$ avec $\;A>0\;$» c'est-à-dire en « utilisant la 1^re variable de Binet $\;u={\dfrac {1}{r}}\;$» «$\;K_{M}=A^{2}\;m\;u^{2}\;$ avec $\;A>0\;$» nous obtenons «$\;A^{2}\;m\;u^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;C^{2}\left({u'}^{2}+u^{2}\right)\;$» c'est-à-dire, après simplification et normalisation, l'équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;u(\theta )\;$ «$\;{u'}^{2}=\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\,u^{2}\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$»
$\;{\Big \{}$avec la C.N. « la constante des aires $\;C\;$ vérifiant $\;\vert C\vert \leqslant A\;{\sqrt {2}}\;$»${\Big \}}$ ;      par dérivation de la relation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;{\text{:}}\;\;{u'}^{2}=\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\,u^{2}\;$ par rapport à $\;\theta \;$ nous obtenons $\;2\;u'\;u''=\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\,2\;u\;u'\;$ soit, dans la mesure où «$\;u'\;$ n'est pas identiquement nulle » $\;{\bigg \{}u'=0\;\;\forall \;\theta \;$ $\Rightarrow$ $\;u=$ $cste$ $\;{\big (}$nécessairement $\;\neq 0\;$${\big )}\;$ c'est-à-dire $\;r=cste'$ $\;{\big (}$trajectoire circulaire de centre $\;O{\big )}$, $\;u'=0\;$ dans l'équation $\;\left({\mathfrak {a}}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1=0\;$ ou $\;\vert C\vert =A\;{\sqrt {2}}{\bigg \}}$, l'équation différentielle linéaire du 2^ème ordre en $\;u(\theta )\;$ «$\;u''=\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\,u\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$»
équation incluant le cas «$\;u'=0\;\;\forall \;\theta \;$ associé à $\;\vert C\vert =A\;{\sqrt {2}}\;$».

     La loi de force exercée sur le point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ à mouvement à force centrale de centre de force $\;O\;$ pour que ce dernier ait une énergie cinétique variant avec $\;r\;$ selon «$\;K_{M}={\dfrac {A^{2}\;m}{r^{2}}}\;$ avec $\;A>0\;$» peut être obtenue en lui « appliquant la r.f.d.n. » simultanément à l'« utilisation de la 2^ème formule de Binet $\;{\big (}$ou formule de Binet relative à l'accélération radiale${\big )}\;$ explicitant l'accélération radiale «$\;a_{r}(t)={\ddot {r}}(t)-r(t)\;{\dot {\theta }}^{2}\!(t)\;$ selon $\;a_{r}(t)=-C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$ fonction de $\;\theta \;$» soit, avec l'« équation $\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;{\text{:}}\;\;u''=\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\,u\;$ $\Rightarrow$ $\;u''+u={\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}\;u\;$» et par suite «$\;a_{r}(t)=-2\;A^{2}\;u^{3}\;$» ;

     appliquant la projection de la r.f.d.n. sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ nous en déduisons la loi de force exercée sur $\;M\;$ «$\;F(r)={\vec {F}}(M)\cdot {\vec {u}}_{r}=m\;a_{r}=-{\dfrac {2\;m\;A^{2}}{r^{3}}}\;$» c'est-à-dire une force centrale « attractive variant en $\;{\dfrac {1}{r^{3}}}\;$» de forme $\;F(r)={\dfrac {k}{r^{3}}}\;$ avec $\;k<0$
$\;{\bigg (}$plus exactement $\;k=-2\;m\;A^{2}$, l'énergie cinétique se réécrivant «$\;K_{M}={\dfrac {-k}{2\;r^{2}}}\;$»${\bigg )}$.

     Remarques : Nous avons établi que l'énergie cinétique du point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ à mouvement à force centrale de centre de force $\;O\;$ de la forme «$\;K_{M}={\dfrac {A^{2}\;m}{r^{2}}}\;$ avec $\;A>0\;$» nécessite que « la constante des aires $\;C\;$ vérifie $\;\vert C\vert \leqslant A\;{\sqrt {2}}\;$» et la « loi de force est alors $\;F(r)=-{\dfrac {2\;m\;A^{2}}{r^{3}}}\;$» $\;{\bigg \{}$ou «$\;K_{M}={\dfrac {-k}{2\;r^{2}}}\;$ avec $\;k<0\;$» nécessite que « la constante des aires $\;C\;$ vérifie $\;\vert C\vert \leqslant {\dfrac {-k}{m\;{\sqrt {2}}}}\;$», la « loi de force étant alors $\;F(r)={\dfrac {k}{r^{3}}}\;$ avec $\;k<0\;$»${\bigg \}}$, à défaut l'énergie cinétique ne peut pas varier en $\;{\dfrac {1}{r^{2}}}\;$ même pour un mouvement à force centrale attractive de « loi de force $\;F(r)={\dfrac {k}{r^{3}}}\;$ avec $\;k<0\;$» $\;\ldots$

     Remarques : La justification de la nécessité que « la constante des aires $\;C\;$ vérifie $\;\vert C\vert \leqslant A\;{\sqrt {2}}\;$» tient au fait que la partie d'énergie cinétique du point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ à mouvement à force centrale correspondant au mouvement orthoradial de $\;M\;$ c'est-à-dire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\theta }^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;r^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}\;$» $\;{\bigg \{}$en effet la « loi des aires $\;r^{2}\;{\dot {\theta }}=C\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dot {\theta }}={\dfrac {C}{r^{2}}}\;$ soit $\;r^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}=r^{2}\,\left({\dfrac {C}{r^{2}}}\right)^{\!2}={\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}{\bigg \}}\;$ doit nécessairement être inférieure ou égale à l'énergie cinétique totale «$\;K_{M}={\dfrac {A^{2}\;m}{r^{2}}}\;$» c'est-à-dire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;C^{2}\leqslant m\;A^{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;\vert C\vert \leqslant A\;{\sqrt {2}}\;$» $\;\ldots$

 

Détermination de la trajectoire

     Déduire, de la loi de force précédemment déterminée, l’équation polaire de la trajectoire du point $\;M$ $\;{\big \{}$donner son allure et préciser sa nature${\big \}}$.

Solution

     Appliquant la r.f.d.n. au point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ soumis à la « seule force centrale attractive $\;{\vec {F}}(M)=F(r)\;{\vec {u}}_{r}=-{\dfrac {2\;m\;A^{2}}{r^{3}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, «$\;{\vec {F}}(M)=m\;{\vec {a}}_{M}(t)\;$», puis
     projetant cette relation sur $\;{\vec {u}}_{r}\;$ avec introduction de la « 1^re variable de Binet $\;u={\dfrac {1}{r}}\;$ fonction de $\;\theta \;$» simultanément à l'utilisation de la « 2^ème formule de Binet $\;{\big (}$ou formule de Binet relative à l'accélération radiale${\big )}\;$» faisant intervenir la « 3^ème variable de Binet $\;u''={\dfrac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}\;$ également fonction de $\;\theta \;$» ainsi que la « constante des aires $\;C\;$ du mouvement de $\;M\;$» soit «$\;a_{r}(t)=-C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$», nous obtenons «$\;-2\;m\;A^{2}\;u^{3}=$ $-m\;C^{2}\;u^{2}\left(u''+u\right)\;$» soit, après simplification évidente, «$\;{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}\;u=u''+u\;$» $\Rightarrow$ l'équation différentielle linéaire du 2^ème ordre en $\;u(\theta )\;$ déjà trouvée dans la solution de la question précédente «$\;u''=\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\,u\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}\right)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;u''-\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\,u=0\;\;{\text{:}}\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$»,
avec $\;\vert C\vert \leqslant A\;{\sqrt {2}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\geqslant 0\;$».

     L'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;u(\theta )\;$ sans terme du 1^er ordre homogène $\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$ nécessitant la résolution de l'équation caractéristique «$\;s^{2}-\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)=0\;$» dans laquelle «$\;{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\geqslant 0\;$», deux cas sont à envisager :

• «$\;{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\vert C\vert =A\;{\sqrt {2}}\;$», telle que l'équation caractéristique a une racine double $\;s=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;u(\theta )=A+B\;\theta \;$», $\;A\;$ et $\;B\;$ se déterminant à l'aide des C.A.L. s'identifiant aux C.I. si l'abscisse angulaire initiale de $\;M\;$ est choisie nulle c'est-à-dire «$\;\theta (t=0)=0\;$», les C.I. concernant $\;r(t)\;$ étant «$\;\left\lbrace r(0)=r_{0}\,,\,{\dot {r}}(0)=0\right\rbrace \;$» $\;{\bigg \{}$en effet la partie d'énergie cinétique de $\;M\;$ correspondant à son mouvement orthoradial c'est-à-dire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\theta }^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;r^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}\;$» étant égale à l'énergie cinétique totale de $\;M\;$ c'est-à-dire «$\;K_{M}={\dfrac {A^{2}\;m}{r^{2}}}\;$» car $\;\vert C\vert =A\;{\sqrt {2}}$, nous en déduisons que la partie d'énergie cinétique de $\;M\;$ correspondant à son mouvement radial c'est-à-dire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{r}^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dot {r}}^{2}\;$» est identiquement nulle d'où $\;{\dot {r}}(t)=0\;\;\forall \;t$ $\;{\big [}$dont une conséquence étant $\;r(t)=cste\;\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ la nature circulaire de la trajectoire de $\;M{\big ]}\;$ et en particulier «$\;{\dot {r}}(t=0)=0\;$»${\bigg \}}\;$ $\Rightarrow$ les C.A.L. pour $\;u(\theta )\;$ sont «$\;\left\lbrace u(\theta =0)={\dfrac {1}{r_{0}}}\,,\,u'(\theta =0)=-{\dfrac {V_{r}(t=0)}{C}}=0\right\rbrace \;$» d'où, avec $\;u'(\theta )=B$, la 2^ème C.A.L. $\;u'(\theta =0)=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;B=0\;$» permettant de réécrire «$\;u(\theta )=A\;$» soit, avec la 1^re C.A.L. $\;u(\theta =0)={\dfrac {1}{r_{0}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;A={\dfrac {1}{r_{0}}}\;$» et par suite «$\;u(\theta )={\dfrac {1}{r_{0}}}\;\;\forall \;\theta \;$» soit finalement «$\;r={\dfrac {1}{u(\theta )}}=r_{0}\;\;\forall \;\theta \;$» équation du « cercle de centre $\;O\;$ et de rayon $\;r_{0}\;$» ;
• «$\;{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1>0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\vert C\vert <A\;{\sqrt {2}}\;$», telle que l'équation caractéristique a deux racines simples opposées $\;s_{(\pm )}=\pm {\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;u(\theta )=A_{(+)}\;\exp \!\left[s_{(+)}\;\theta \right]+A_{(-)}\;\exp \!\left[s_{(-)}\;\theta \right]\;$», $\;A_{(+)}\;$ et $\;A_{(-)}\;$ se déterminant à l'aide des C.A.L. s'identifiant aux C.I. si l'abscisse angulaire initiale de $\;M\;$ est choisie nulle c'est-à-dire «$\;\theta (t=0)=0\;$», les C.I. concernant $\;r(t)\;$ étant «$\;\left\lbrace r(0)=r_{0}\,,\,{\dot {r}}(0)=V_{0}\;\cos(\alpha _{0})\right\rbrace \;$» $\;{\bigg \{}$avec «$\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\overrightarrow {OM_{0}}}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\,\in \,\left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\,\cup \,\left]{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,\pi \right[\;$ pour $\;C>0\;$» ou «$\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\overrightarrow {OM_{0}}}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\,\in \,\left]-\pi \,,\,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\,\cup \,\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[\;$ pour $\;C<0\;$» et «$\;V_{0}=\Vert {\vec {V}}_{0}\Vert ={\dfrac {A\;{\sqrt {2}}}{r_{0}}}\;$» $\;{\bigg [}$en effet «$\;K_{M}(0)={\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{0}^{\,2}$ $={\dfrac {A^{2}\;m}{r_{0}^{\,2}}}\;$»${\bigg ]}{\bigg \}}\;$ $\Rightarrow$ les C.A.L. pour $\;u(\theta )\;$ sont «$\;\left\lbrace u(\theta =0)={\dfrac {1}{r_{0}}}\,,\,u'(\theta =0)=-{\dfrac {V_{r}(t=0)}{C}}=-{\dfrac {V_{0}\;\cos(\alpha _{0}))}{r_{0}\;V_{0}\;\sin(\alpha _{0})}}=-{\dfrac {\cot(\alpha _{0})}{r_{0}}}\right\rbrace \;$» dans lesquelles «$\;\cot(\alpha _{0})=\pm {\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\;$» $\;{\bigg \{}$en effet la partie d'énergie cinétique de $\;M\;$ correspondant à son mouvement orthoradial c'est-à-dire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{\theta }^{\,2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;r^{2}\;{\dot {\theta }}^{2}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}\;$» alors que l'énergie cinétique totale de $\;M\;$ vaut «$\;K_{M}={\dfrac {A^{2}\;m}{r^{2}}}\;$», nous en déduisons la partie d'énergie cinétique de $\;M\;$ correspondant à son mouvement radial c'est-à-dire «$\;{\dfrac {1}{2}}\;m\;V_{r}^{\,2}={\dfrac {A^{2}\;m}{r^{2}}}-{\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}={\dfrac {1}{2}}\;m\;{\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}\,\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;V_{r}^{\,2}={\dfrac {C^{2}}{r^{2}}}\,\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\;$» soit, pour l'instant $\;t=0$, «$\;V_{r}^{\,2}(0)={\dfrac {C^{2}}{r_{0}^{2}}}\,\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\;$ s'identifiant à $\;V_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})\;$» $\Rightarrow$ «$\;V_{0}^{2}\;r_{0}^{2}\;\cos ^{2}(\alpha _{0})=C^{2}\,\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\;$» ou, avec «$\;C^{2}=V_{0}^{2}\;r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\;$» «$\;\cos ^{2}(\alpha _{0})=\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\left({\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\right)\;$» et finalement «$\;\cot ^{2}(\alpha _{0})={\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1\;$»${\bigg \}}$, d'où la réécriture des C.A.L. pour $\;u(\theta )\;$ «$\;\left\lbrace u(\theta =0)={\dfrac {1}{r_{0}}}\,,\,u'(\theta =0)=\mp {\dfrac {1}{r_{0}}}\;{\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\right\rbrace \;$» $\;{\bigg \{}$«$\;-\;$ si $\;C\;$ est $\;>0\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ ou si $\;C\;$ est $\;<0\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]-\pi \,,\,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$», «$\;+\;$ si $\;C\;$ est $\;>0\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right[\;$ ou si $\;C\;$ est $\;<0\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[\;$»${\bigg \}}$,
  $\;\succ \;$la 1^re C.A.L. «$\;u(\theta =0)={\dfrac {1}{r_{0}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;A_{(+)}+A_{(-)}={\dfrac {1}{r_{0}}}\;$» et
  $\;\succ \;$la 2^ème C.A.L. «$\;u'(\theta =0)=\mp {\dfrac {1}{r_{0}}}\;{\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\;$» avec «$\;u'(\theta )=A_{(+)}\;s_{(+)}\;\exp \!\left[s_{(+)}\;\theta \right]+A_{(-)}\;s_{(-)}\;\exp \!\left[s_{(-)}\;\theta \right]={\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\,\left\lbrace A_{(+)}\;\exp \!\left[s_{(+)}\;\theta \right]-A_{(-)}\;\exp \!\left[s_{(-)}\;\theta \right]\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;A_{(+)}-A_{(-)}$ $=\mp {\dfrac {1}{r_{0}}}\;$» d'où
  $\;\succ \;$dans l'hypothèse «$\;C>0\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]0\,,\,+{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ ou $\;C<0\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]-\pi \,,\,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$» le système $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{(+)}+A_{(-)}={\dfrac {1}{r_{0}}}\\A_{(+)}-A_{(-)}=-{\dfrac {1}{r_{0}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ayant pour solution $\;\left\lbrace A_{(+)}=0\,,\,A_{(-)}={\dfrac {1}{r_{0}}}\right\rbrace$, la solution de l'équation $\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$ dans ce cas s'écrit «$\;u(\theta )={\dfrac {1}{r_{0}}}\;\exp \!\left[-\left({\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\right)\,\theta \right]\;$» soit l'équation polaire de la trajectoire «$\;r(\theta )=r_{0}\;\exp \!\left[\left({\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\right)\,\theta \right]\;$» ou «$\;r(\theta )=r_{0}\;\exp \left[\cot(\alpha _{0})\;\theta \right]\;$ avec $\;\theta \;\nearrow \;$ à partir de $\;0\;$» $\;{\big (}$voir exemple de tracé ci-dessous à gauche${\big )}$,
  $\;\succ \;$dans l'hypothèse «$\;C>0\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]+{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,+\pi \right[\;$ ou $\;C<0\;$ et $\;\alpha _{0}\,\in \,\left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[\;$» le système $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{(+)}+A_{(-)}={\dfrac {1}{r_{0}}}\\A_{(+)}-A_{(-)}=+{\dfrac {1}{r_{0}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ayant pour solution $\;\left\lbrace A_{(+)}={\dfrac {1}{r_{0}}}\,,\,A_{(-)}=0\right\rbrace$, la solution de l'équation $\;\left({\mathfrak {b}}'\right)\;$ dans ce cas s'écrit «$\;u(\theta )={\dfrac {1}{r_{0}}}\;\exp \!\left[\left({\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\right)\,\theta \right]\;$» soit l'équation polaire de la trajectoire «$\;r(\theta )=r_{0}\;\exp \!\left[-\left({\sqrt {{\dfrac {2\;A^{2}}{C^{2}}}-1}}\right)\,\theta \right]\;$» ou «$\;r(\theta )=r_{0}\;\exp \left[\cot(\alpha _{0})\;\theta \right]\;$ avec $\;\theta \;\searrow \;$ à partir de $\;0\;$» $\;{\big (}$voir exemple de tracé ci-dessous à droite${\big )}$.

Tracé de la trajectoire d'un point $\;M\;$ à mouvement à force centrale attractive en $\;{\dfrac {1}{r^{3}}}\;$ dans le sens anti-horaire s'éloignant lentement de $\;O\;$

Tracé de la trajectoire d'un point $\;M\;$ à mouvement à force centrale attractive en $\;{\dfrac {1}{r^{3}}}\;$ dans le sens anti-horaire se rapprochant lentement de $\;O\;$

     En fonction de $\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\overrightarrow {OM_{0}}}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$ la trajectoire du point matériel $\;M\,\left(m\right)\;$ ayant pour équation polaire «$\;r(\theta )=r_{0}\;\exp \left[\cot(\alpha _{0})\;\theta \right]\;$»

     est une spirale logarithmique avec

• $\;\cot(\alpha _{0})\simeq 0,158\;$ à gauche faisant $\;\nearrow \;$ lentement $\;r\;$ dans le sens des $\;\theta \nearrow \;$ ou
• $\;\cot(\alpha _{0})\simeq -0,158\;$ à droite faisant $\;\searrow \;$ lentement $\;r\;$ dans le sens des $\;\theta \nearrow$.