Matrice/Exercices/Matrice d'une application linéaire

Matrice d'une application linéaire
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Exercices no3
Leçon : Matrice
Chapitre du cours : Matrice d'une application linéaire

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Déterminant
Exo suiv. :Changement de base
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Exercice 3-1

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Soit   un  -espace vectoriel de dimension  . Soit   une base de  . On définit, pour  , l'application linéaire   par :

 ,  ,  ,  .
  1. Donner la matrice   de   dans la base  .
  2. Calculer le déterminant de  .
  3. Déterminer les valeurs de   pour lesquelles   est inversible (c'est-à-dire bijective).

Mêmes questions pour

 ,  ,  ,  .

Exercice 3-2

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Soit   une base de   et  ,  ,  .

  1. Montrer que   est une base de  .
  2. Soit   l'endomorphisme de   qui, dans la base  , est représenté par la matrice  . Calculer la matrice de   dans la base  .

Exercice 3-3

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  1. Soit  . Montrer qu'il existe   — qu'on calculera en fonction des coefficients de   — tels que
     .
  2. En déduire que si   est une application linéaire, alors la famille   est liée.

Exercice 3-4

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Donner la matrice dans les bases   de  , et aussi dans les bases   le cas échéant, de l'application linéaire  .

  1.  ,  .
  2.  ,   est la base canonique de  ,
     .
  3.  ,   est la base canonique de  ,
     .
  4.  ,  ,   sont les bases canoniques et
     .
    Donner aussi des bases   dans lesquelles la matrice de   soit  
    et en déduire des matrices inversibles  ,   telles que  ,  .

Exercice 3-5

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Soit   un espace vectoriel de dimension 3 et   une base de  .

On considère l'application linéaire   dont la matrice dans la base   est  .

  1. Déterminer l'image par   d'un vecteur   de coordonnées   dans la base  .
  2. Écrire la matrice   de   dans la base  .
  3. Écrire la matrice   de   dans la base  .