Matrice/Exercices/Matrice d'une application linéaire
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Exercice 3-1Modifier
Soit un -espace vectoriel de dimension . Soit une base de . On définit, pour , l'application linéaire par :
- , , , .
- Donner la matrice de dans la base .
- Calculer le déterminant de .
- Déterminer les valeurs de pour lesquelles est inversible (c.-à-d. bijective).
Solution
- .
- Par , .
Puis, par et , . - est inversible si et seulement si , c.-à-d. .
Mêmes questions pour
- , , , .
Solution
est le résultat obtenu en appliquant à . Elle a donc même déterminant et les conclusions sont les mêmes pour que pour .
Exercice 3-2Modifier
Soit une base de et , , .
- Montrer que est une base de .
- Soit l'endomorphisme de qui, dans la base , est représenté par la matrice . Calculer la matrice de dans la base .
Solution
- .
- Inutile de calculer l'inverse de la matrice de passage et d'appliquer la formule de changement de base :
on trouve directement , et donc la matrice de dans la base est .
Exercice 3-3Modifier
- Soit . Montrer qu'il existe — qu'on calculera en fonction des coefficients de — tels que
- .
- En déduire que si est une application linéaire, alors la famille est liée.
Solution
- Si , la condition se traduit par : Une solution est : .
- Il suffit d'appliquer ce qui précède à la matrice de dans n'importe quelle base de .
Remarque : cette propriété est le cas particulier le plus simple du théorème de Cayley-Hamilton.
Exercice 3-4Modifier
Donner la matrice dans les bases de , et aussi dans les bases le cas échéant, de l'application linéaire .
- , .
- , est la base canonique de ,
. - , est la base canonique de ,
. - , , sont les bases canoniques et
.
Donner aussi des bases dans lesquelles la matrice de soit
et en déduire des matrices inversibles , telles que , .
Solution
- .
- , .
- , .
- , , , , .
Exercice 3-5Modifier
Soit un espace vectoriel de dimension 3 et une base de .
On considère l'application linéaire dont la matrice dans la base est .
- Déterminer l'image par d'un vecteur de coordonnées dans la base .
- Écrire la matrice de dans la base .
- Écrire la matrice de dans la base .
Solution
- Les coordonnées de dans la base sont .
- , et donc .
- ,
et
donc- .