Notions sur les différentielles/Dérivées d'une fonction

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Dérivées d'une fonction
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Chapitre no 1
Leçon : Notions sur les différentielles
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 Dérivée d’une fonction à une variable

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Définition

La dérivée en un point d’une fonction à une seule variable est définie, lorsqu'elle existe, par la formule suivante :
 .

Il s'agit de la limite quand   tend vers 0 du taux d'accroissement de  .

Notations

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En physique, on note couramment les dérivées sous la forme d'un rapport de différentielles (cf. chapitre no 2) :

  •   si la grandeur représentée par la fonction   ne dépend que d'une dimension spatiale.
  •   ou parfois   si la grandeur représentée par la fonction   ne dépend que du temps.

Dérivée logarithmique

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Définition

On appelle la dérivée logarithmique d’une fonction à valeurs non nulles la dérivée du logarithme népérien de sa valeur absolue.

Autrement dit, la dérivée logarithmique de la fonction f est la dérivée de la fonction g définie par  . Or comme on sait que la dérivée du logarithme népérien est la fonction inverse, on a :  

Dérivée partielle d'une fonction à plusieurs variables

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Lorsqu'une fonction dépend de plusieurs variables, couramment  ,  ,  , et   en physique, il faut distinguer les dérivées selon ces différentes variables.

 

Définition

La dérivée de la fonction   par rapport à la variable   est définie par :
 .

De même les dérivées par rapport aux autres variables s'écrivent :

 ,
 ,
 

De telles dérivées sont appelées dérivées partielles. On peut de nouveau dériver ces dérivées par rapport à  ,  ,  , ou  , ce qui nous donne les dérivées partielles secondes :

 ,  , etc.