Notions sur les différentielles/Notation différentielle
Différentielle d'une fonction à une seule variable
modifierLe théorème de Taylor-Young assure qu'une fonction , dérivable fois au point , admet un développement limité d'ordre en ce point
- (avec la notation o de Landau).
On se contente souvent du développement limité d'ordre 1 :
- , c'est-à-dire
- ,
avec
- .
Pour simplifier cette écriture, on introduit la notation différentielle. Pour cela, il faut remarquer que est une toute petite variation de . On note alors la différentielle de . De même, est une toute petite variation de . On note alors la fonction différentielle de . On obtient une relation entre ces différentielles :
. |
Mais attention, ceci n'est valable que lorsque tend vers 0 : il faut toujours garder à l'esprit que et sont des grandeurs infinitésimales. |
Différentielle d'une fonction à deux variables
modifierSi la fonction dépend de deux variables, par exemple et , et en se limitant à un développement limité d'ordre 1[1] en un point en lequel les deux dérivées partielles sont continues :
- ,
avec
- .
En introduisant la notation différentielle, on peut exprimer la différentielle de parfois nommée différentielle totale pour insister sur le fait qu'elle représente l'accroissement de selon et selon :
. |
Généralisation à plusieurs variables
modifierIl est fréquent de rencontrer des grandeurs représentées par des fonctions de , , et . La différentielle de s'écrit alors :
. |
Références
modifier- ↑ « Fonctions de plusieurs variables », sur math.univ-toulouse.fr, p. 23 et 35, sous l'hypothèse supplémentaire que les deux dérivées partielles sont continues non seulement au point ,mais au voisinage de ce point. Pour une démonstration sans cette hypothèse, voir Calcul différentiel/Différentiabilité#Condition suffisante de différentiabilité d'une fonction définie sur un produit.