Notions sur les différentielles/Notation différentielle

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Notation différentielle
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Chapitre no 2
Leçon : Notions sur les différentielles
Chap. préc. :Dérivées d'une fonction
Chap. suiv. :Différentielle totale
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Différentielle d'une fonction à une seule variable

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Le théorème de Taylor-Young assure qu'une fonction  , dérivable   fois au point  , admet un développement limité d'ordre   en ce point

  (avec la notation o de Landau).

On se contente souvent du développement limité d'ordre 1 :

 , c'est-à-dire
 ,

avec

 .

Pour simplifier cette écriture, on introduit la notation différentielle. Pour cela, il faut remarquer que   est une toute petite variation de  . On note alors   la différentielle de  . De même,   est une toute petite variation de  . On note alors   la fonction différentielle de  . On obtient une relation entre ces différentielles :


 .


  Mais attention, ceci n'est valable que lorsque   tend vers 0 : il faut toujours garder à l'esprit que   et   sont des grandeurs infinitésimales.

Différentielle d'une fonction à deux variables

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Si la fonction   dépend de deux variables, par exemple   et  , et en se limitant à un développement limité d'ordre 1[1] en un point   en lequel les deux dérivées partielles sont continues :

 ,

avec

 .

En introduisant la notation différentielle, on peut exprimer la différentielle de   parfois nommée différentielle totale pour insister sur le fait qu'elle représente l'accroissement de   selon   et selon   :


 .


Généralisation à plusieurs variables

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Il est fréquent de rencontrer des grandeurs représentées par des fonctions de  ,  ,   et  . La différentielle de   s'écrit alors :

 .


Références

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  1. « Fonctions de plusieurs variables », sur math.univ-toulouse.fr, p. 23 et 35, sous l'hypothèse supplémentaire que les deux dérivées partielles sont continues non seulement au point  ,mais au voisinage de ce point. Pour une démonstration sans cette hypothèse, voir Calcul différentiel/Différentiabilité#Condition suffisante de différentiabilité d'une fonction définie sur un produit.