Opérations sur les fonctions/Produit et quotient

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Produits de fonctions

Définition

Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies respectivement sur les ensembles ${\mathcal {D}}u$ et ${\mathcal {D}}v$.

• La fonction $\ uv$ est la fonction définie par $\ (uv)(x)=u(x)\times v(x)$ sur l’ensemble ${\mathcal {D}}u\cap {\mathcal {D}}v$, c'est-à-dire l’ensemble des valeurs communes à ${\mathcal {D}}u~$ et à ${\mathcal {D}}v~$.

Exemple

• $f(x)=5x-2$

$(-3f)(x)=-3f(x)$

$=-3(5x-2)$

$=-15x+6$

Sens de variation de ku

Soient les fonctions suivantes :

• $f_{1}(x)=x^{2}$
• $f_{2}(x)=2x^{2}$
• $f_{3}(x)=3x^{2}$
• $f_{4}(x)={\frac {1}{2}}x^{2}$

Début d’un théorème

Théorème

• si $k>0$, u et ku ont le même sens de variation.
• si $k<0$, u et ku ont des sens de variations contraires.

Fin du théorème

Début de l'exemple

Exemple

$f(x)=5x+1-{\frac {3}{x}}$

Déterminer le sens de variation de $f$.

$f=u-3v$

avec

$u(x)=5x+1$

$v(x)={\frac {1}{x}}$

u, fonction affine avec a = 5 est croissante sur $]0;+\infty [$

v, fonction inverse est décroissante sur $]0;+\infty [$ donc -3v est croissante sur $]0;+\infty [$

or $f=u+(-3v)$

donc f est la somme de deux fonctions croissante sur $]0;+\infty [$, donc f est croissante sur $]0;+\infty [$

Fin de l'exemple

Quotients de fonctions

Définition

Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies respectivement sur les ensembles ${\mathcal {D}}u$ et ${\mathcal {D}}v$.

• La fonction $\ {u \over v}$ est la fonction définie par $\ \left({u \over v}\right)(x)={u(x) \over v(x)}$ sur l’ensemble ${\mathcal {D}}u\cap {\mathcal {D}}v$ privé de tout $\ x$ tel que $\ v(x)=0$, c'est-à-dire l’ensemble des valeurs communes à ${\mathcal {D}}u$ et à ${\mathcal {D}}v$ avec $\ v(x)\neq 0$.