Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne

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Intégrale définie sur un intervalle fermé

Exemple de subdivision de l'intervalle d'intégration au sens de Riemann

Intégrabilité d'une fonction scalaire d'une variable réelle au sens de Riemann

     La fonction scalaire $\;f\;$ de la variable réelle $\;x\;$ définie sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$ est intégrable sur cet intervalle fermé si elle y est continue par morceaux, c.-à-d. s'« il existe une subdivision de l'intervalle d'intégration $\;\left[a\,{,}\,b\right]$, $\;a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{i}<\cdots <x_{n}=b\;$» pour laquelle «$\;f\;$ est continue sur les intervalles ouverts $\;\left]x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right[\;\;\forall \,i\;$» avec «$\;\lim \limits _{x\rightarrow x_{i}^{+}}\left[f(x)\right]=cste_{i}^{+}\;$ et $\;\lim \limits _{x\rightarrow x_{i+1}^{-}}\left[f(x)\right]=cste_{i+1}^{-}\;$», l'existence de ces deux limites permettant de « prolonger la continuité de $\;f\;$ sur $\;\left[x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right]\;\;\forall \,i\;$» .

Subdivision de l'intervalle d'intégration et définition des sommes de Riemann associées

Subdivision de l'intervalle $\left[a\,{,}\,b\right]$ et choix d'une somme de Riemann associée

     Soit « la fonction scalaire $\,f\,$ de la variable réelle $\,x\,$ définie et intégrable sur l'intervalle fermé $\,\left[a\,{,}\,b\right]\;$», on définit alors
     une « subdivision de $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$», «$\;a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{i}<\cdots <x_{n}=b\;$ réalisant la division en $\;n\;$ parties égales » et
     une « somme de Riemann $\;R_{n}=\sum \limits _{i=0}^{n-1}\left[f(c_{i})\,(x_{i+1}-x_{i})\right]\;$» avec «$\;c_{i}\;$ un élément quelconque de $\;\left[x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right]\;$» que nous choisirons en la « borne inférieure de l'intervalle » d'où «$\;c_{i}=$ $a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\;$», ce qui permet de définir
     la « somme de Riemann particulière $\;R_{n}={\dfrac {b-a}{n}}\left[\sum \limits _{i=0}^{n-1}f\!\left(a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\right)\right]\;$» et de l'interpréter
     comme la « somme des aires de tous les rectangles de largeur commune $\;{\dfrac {b-a}{n}}\;$ et de hauteur différenciée $\;f\!\left(a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\right)\;$».

     On démontre que « la somme de Riemann choisie » admet une « limite finie » quand $\;n\rightarrow \infty$, limite qui définit l'intégrale de Riemann de la fonction sur l'intervalle d'intégration.

Définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé

Intégrale de Riemann de $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$

     Ayant défini « une subdivision de l'intervalle $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$ en $\;n\;$ parties égales » puis
     Ayant défini « une somme de Riemann $\;R_{n}={\dfrac {b-a}{n}}\left[\sum \limits _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\right]\;$ avec $\;c_{i}\;$ élément quelconque de $\;\left[x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right]\;$»,
     on démontre que « toutes les sommes de Riemann admettent une même limite quand $\;n\rightarrow \infty$,
     limite définissant l'intégrale de Riemann de la fonction $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$ notée $\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$» soit encore«$\;\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left\lbrace {\dfrac {b-a}{n}}\left[\sum \limits _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\right]_{c_{i}\,\in \,\left]x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right[}\right\rbrace =\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$».

Interprétation géométrique de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé

     En choisissant «$\;c_{i}=a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\;$», nous avons établi que « la somme de Riemann associée pouvait être interprétée comme la somme des aires des rectangles de longueur de base $\;{\dfrac {b-a}{n}}\;$ et de hauteur $\;f\!\left(a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\right)\;$» ; aussi
     « quand $\;n\rightarrow \infty \;$», « la somme de Riemann tendant vers l'intégrale de la fonction $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$» et
     « quand $\;\color {transparent}{n\rightarrow \infty }\;$», « la somme des aires des rectangles tendant vers l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, le graphe de la fonction ainsi que les droites $\;x=a\;$ et $\;x=b\;$»,
     nous concluons à l'interprétation géométrique suivante de l'intégrale de Riemann  :

À retenir

     L'intégrale $\;{\big (}$de Riemann${\big )}\;$ de la fonction $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$ notée $\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$ représente l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, le graphe de la fonction et les droites frontières $\;x=a\;$ et $\;x=b$.

Développement de quelques méthodes de calcul

     $\;\succ \;$Intégrer une fonction dont on connaît une primitive $\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {dx}{1+x^{2}}}=\left[\arctan(x)\right]_{0}^{1}=\arctan(1)-{\cancel {\arctan(0)}}={\dfrac {\pi }{4}}\;$ ou,
     $\color {transparent}{\;\succ \;}$Intégrer une fonction dont on devrait connaître une primitive malheureusement partiellement oubliée $\;\displaystyle \int _{1}^{2}{\dfrac {dx}{x^{2}}}=\displaystyle \int _{1}^{2}x^{-2}\;dx$ : on se souvient qu'une primitive de $\;x^{n},\;n\in \mathbb {Z} \setminus \left\lbrace -1\right\rbrace \;$ est $A\;x^{n+1}\;$ en ayant oublié la valeur de $\;A$, pour la retrouver on dérive $\;A\;x^{n+1}\;$ ce qui donne $\;A\,(n+1)\,x^{n}\;$ à identifier à $\;x^{n}\;$ d'où $\;A={\dfrac {1}{n+1}}\;$ et par suite une primitive de $\;x^{n},\;n\in \mathbb {Z} \setminus \left\lbrace -1\right\rbrace \;$ est $\;{\dfrac {x^{n+1}}{n+1}}\;$ soit, dans le cas particulier où $\;n=-2$, une primitive de $\;x^{-2}\;$ est $\;{\dfrac {x^{-1}}{(-1)}}\;$ ou une primitive de $\;{\dfrac {1}{x^{2}}}\;$ est $\;{\dfrac {-1}{x}}\;$ conduisant à $\;\displaystyle \int _{1}^{2}{\dfrac {dx}{x^{2}}}=\left[-{\dfrac {1}{x}}\right]_{1}^{2}=-{\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {1}{1}}={\dfrac {1}{2}}$ ;

     $\;\succ \;$intégrer une fonction par changement de variable $\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}$ : il serait souhaitable d'avoir $\;1+u^{2}\;$ au dénominateur , aussi y met-on $\;a^{2}\;$ en facteur $\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}=\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}\left[1+\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!2}\right]}}=$ ${\dfrac {1}{a^{2}}}\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{1+\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!2}}}\;$ suggérant le changement de variable $\;u={\dfrac {x}{a}}\;$  ; on fait alors apparaître la différentielle de cette nouvelle variable au numérateur $\;\displaystyle \int {\dfrac {d\!\left({\dfrac {x}{a}}\right)}{1+\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!2}}}\;$ mais on se rend compte qu'en faisant ceci on introduit une erreur ${\Big [}$car $\;d\!\left({\dfrac {x}{a}}\right)=$ ${\dfrac {dx}{a}}\;$ et non $\;dx{\Big ]}$ qu'il convient de corriger par un facteur multiplicatif $\;a\;$ soit $\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}={\dfrac {1}{a^{2}}}\;a\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {d\!\left({\dfrac {x}{a}}\right)}{1+\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!2}}}=$ ${\dfrac {1}{a}}\left[\arctan \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\right]_{0}^{a}\;$ donnant finalement $\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}={\dfrac {1}{a}}\left[\arctan(1)-{\cancel {\arctan(0)}}\right]={\dfrac {\pi }{4\,a}}$ ;

     $\;\succ \;$intégrer une fonction trigonométrique en linéarisant${\underline {\;(}}$quand cela est possible${\underline {)}}$ $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{2}(x)\,dx\;$ avec $\;\sin ^{2}(x)={\dfrac {1-\cos(2\,x)}{2}}\;$ permettant de réécrire $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{2}(x)\,dx=\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {1-\cos(2\,x)}{2}}\,dx=$ $\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {dx}{2}}-\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {\cos(2\,x)}{2}}\,dx={\dfrac {\pi }{2}}-{\dfrac {1}{2}}\,\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos(2\,x)\,{\dfrac {d(2\,x)}{2}}\;$ ce qui donne finalement $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{2}(x)\,dx={\dfrac {\pi }{2}}-{\dfrac {1}{4}}\,{\cancel {\left[\sin(2\,x)\right]_{0}^{\pi }}}={\dfrac {\pi }{2}}$ ;

     $\;\succ \;$intégrer un produit de fonctions par parties${\underline {\;(}}$dans le but d'aboutir à une intégrale plus simple${\underline {)}}$ $\;\displaystyle \int _{0}^{1}x\,\exp(x)\,dx\;$ dans laquelle il serait souhaitable d'arriver à une intégrale du type $\;\displaystyle \int \exp(x)\,dx\;$ et pour cela il conviendrait de dériver l'autre fonction ;

exposé de la méthode d'intégration par parties (ou I.p.p.)

     Si on doit « calculer $\;\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)\,v(x)\,dx\;$ en connaissant une primitive de $\;v(x)\;$ notée $\;V(x)\;$», on peut écrire «$\;\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)\,v(x)\,dx=$ $\left[u(x)\,V(x)\right]_{a}^{b}-\displaystyle \int _{a}^{b}u'(x)\,V(x)\,dx\;$» .

     $\;\color {transparent}{\succ }\;$intégrer un produit de fonctions par parties$\color {transparent}{\;(}$dans le but d'aboutir à une intégrale plus simple$\color {transparent}{)\;}$ appliquée ici on pose «$\;u(x)=x\;$ $\Rightarrow$ $\;u'(x)=1\;$» et «$\;v(x)=\exp(x)\;$ $\Rightarrow$ $\;V(x)=\exp(x)\;$» d'où $\;\displaystyle \int _{0}^{1}x\,\exp(x)\,dx=\left[x\,\exp(x)\right]_{0}^{1}-\displaystyle \int _{0}^{1}\exp(x)\,dx=\left[x\,\exp(x)\right]_{0}^{1}-\left[\exp(x)\right]_{0}^{1}=e-e=0$ ;

     $\;\succ \;$intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples $\;\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x^{2}-a^{2}}}$ : la fonction rationnelle $\;{\dfrac {1}{x^{2}-a^{2}}}\;$ de pôles connus $\;\left\lbrace -a,\,+a\right\rbrace \;$ se décompose en éléments simples $\;{\dfrac {A}{x-a}}\;$ et $\;{\dfrac {B}{x+a}}\;$ c.-à-d. $\;{\dfrac {1}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {A}{x-a}}+{\dfrac {B}{x+a}}\;$ avec $\;A\;$ et $\;B\;$ constantes réelles à déterminer ;

façon la plus rapide pour déterminer la décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples

     La façon la plus rapide pour déterminer les constantes réelles $\;A\;$ et $\;B\;$ de la décomposition «$\;{\dfrac {1}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {A}{x-a}}+{\dfrac {B}{x+a}}\;$» est
     de multiplier les deux membres par $\;x-a\;$ ${\big (}$respectivement $\;x+a{\big )}\;$ et d'y faire $\;x=a\;$ ${\big (}$respectivement $\;x=-a{\big )}\;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {(x-a)}{x^{2}-a^{2}}}=A+{\dfrac {B\,(x-a)}{x+a}}\Leftrightarrow {\dfrac {1}{x+a}}=A+{\dfrac {B\,(x-a)}{x+a}}\quad {\text{on y fait }}x=a\Rightarrow {\dfrac {1}{2\,a}}=A+{\cancel {\left[{\dfrac {B\,(x-a)}{x+a}}\right]_{x=a}}}\\{\dfrac {(x+a)}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {A\,(x+a)}{x-a}}+B\Leftrightarrow {\dfrac {1}{x-a}}={\dfrac {A\,(x+a)}{x-a}}+B\quad {\text{on y fait }}x=-a\Rightarrow {\dfrac {-1}{2\,a}}={\cancel {\left[{\dfrac {A\,(x+a)}{x-a}}\right]_{x=-a}}}+B\end{array}}\right.\;$.

          $\;\color {transparent}{\succ }\;$intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples appliquée ici on obtient «$\;{\dfrac {1}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {1}{2\;a}}\left\lbrace {\dfrac {1}{x-a}}-{\dfrac {1}{x+a}}\right\rbrace \;$» d'où la réécriture de l'intégrale en $\;\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x^{2}-a^{2}}}=$ ${\dfrac {1}{2\,a}}\left[\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x-a}}-\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x+a}}\right]={\dfrac {1}{2\,a}}\left\lbrace \left[\ln \!\left\vert x-a\right\vert -\ln \!\left\vert x+a\right\vert \right]_{2\,a}^{3\,a}\right\rbrace ={\dfrac {1}{2\,a}}\left[\ln \!\left\vert {\dfrac {x-a}{x+a}}\right\vert \right]_{2\,a}^{3\,a}\;$ soit finalement $\;\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {1}{2\,a}}\left[\ln \!\left({\dfrac {2}{4}}\right)-\ln \!\left({\dfrac {1}{3}}\right)\right]={\dfrac {1}{2\,a}}\,\ln \!\left({\dfrac {3}{2}}\right)$ ;

     $\;\succ \;$ $\ldots$

Notion d'abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue

Distinction courbe plane - courbe gauche

     Une courbe plane est une courbe contenue dans un plan ; exemples : droite, conique $\;{\big (}$c.-à-d. ellipse dont son cas particulier le cercle, parabole, hyperbole${\big )}\;$ et bien d'autres encore ;

     une courbe gauche est une courbe qui n'est pas plane ; exemples : parmi les courbes gauches classiques il n'y a pratiquement que les hélices $\;{\big (}$la plus connue étant l'hélice circulaire, courbe inscrite sur un cylindre de révolution telle que la tangente en chacun des points de l'hélice a une direction de même inclinaison par rapport à l'axe du cylindre${\big )}$, mais on peut en trouver d'autres plus sophistiquées comme une succession de trois segments non coplanaires $\ldots$

Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue

     Sur une courbe continue $\;(\Gamma )\;$ plane ou gauche, choisissant arbitrairement un sens «$\;+\;$» et une origine $\;A\;$ de mesure des abscisses curvilignes,
     Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ plane ou gauche, on repère le point générique $\;M\;$ de $\;(\Gamma )\;$ par le nombre réel égal à la longueur algébrique parcourue dans le sens «$\;+\;$» sur $\;(\Gamma )\;$ depuis l'origine $\;A\;$, appelé « abscisse curviligne du point $\;M\;$ et noté $\;s\;$» ;
     « l'abscisse curviligne de $\;M\;$ sur $\;(\Gamma )\;$ est donc défini par $\;s={\overset {\curvearrowright }{AM}}\;$», « la distance non algébrisée séparant $\;A\;$ de $\;M\;$ sur $\;(\Gamma )\;$ étant $\;\vert s\vert ={\overset {\frown }{AM}}\;$».

Propriétés de biunivocité entre la courbe et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes possibles

Cas d'une courbe ouverte

     Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, on ne repasse jamais par un même endroit, ou

     Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, il existe au moins un endroit particulier de cette courbe où on repasse une seule fois avant de poursuivre sans rebrousser chemin et sans y repasser $\;{\big (}$cas peu fréquent${\big )}$ ;

     Définition : nous appellerons par la suite « courbe ouverte » une courbe du 1^er type, celle du 2^ème type étant qualifiée de « courbe ouverte avec points multiples »

     Dans le cas d'une « courbe ouverte $\;{\big (}$sans points multiples${\big )}\;$» , « chaque valeur de $\;s\;$ localise une position unique de $\;M\;$ sur la courbe et réciproquement »,
          Dans le cas d'une « courbe ouverte $\;\color {transparent}{\big (}$sans points multiples$\color {transparent}{\big )}\;$» , il y a donc « biunivocité » entre la courbe $\;(\Gamma )\;$ et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes possibles pour les points de $\;(\Gamma )$.

Cas d'une courbe fermée

     Définition : Une courbe est fermée si, en suivant continûment la courbe à partir d'un endroit quelconque sans rebrousser chemin, on repasse nécessairement au moins une fois par l'endroit de départ avant que le suivi de la courbe sans rebrousser chemin ne se poursuive de façon répétitive ;

     Définition : d'après la définition ci-dessus et celle du paragraphe « cas d'une courbe ouverte (définition) » plus haut dans ce chapitre, une courbe est soit « ouverte » soit « fermée ».

     Dans le cas d'une « courbe fermée » , « chaque valeur de $\;s\;$ localise une position unique de $\;M\;$ sur la courbe »
          Dans le cas d'une « courbe fermée » , mais « à chaque position de $\;M\;$ il existe une infinité de valeurs de $\;s\;$ se déduisant entre elles d'un multiple d'une même grandeur correspondant à la longueur $\;{\mathcal {L}}\;$ de la courbe fermée » ${\big [}$il y a donc périodicité de la fonction $\;f\;$ qui à $\;s\;$ fait correspondre un point $\;M\;$ de la courbe, la période étant égale à $\;{\mathcal {L}}{\big ]}$ ;
          Dans le cas d'une « courbe fermée » , pour retrouver une « biunivocité » entre la courbe $\;(\Gamma )\;$ et un ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes repérant les points de $\;(\Gamma )$,
          Dans le cas d'une « courbe fermée » , il convient de restreindre le domaine de définition de la fonction $\;f\;$ en définissant une détermination principale de l'abscisse curviligne $\;s_{\text{princ}}\in \left]-{\dfrac {\mathcal {L}}{2}}\,{,}\,{\dfrac {\mathcal {L}}{2}}\right]$, l'abscisse curviligne étant alors $\;s\left\lbrace {\begin{array}{l}\equiv s_{\text{princ}}\!\!{\pmod {\mathcal {L}}}\;{\text{ou}}\\=s_{\text{princ}}+n\,{\mathcal {L}},\;n\in \mathbb {Z} \end{array}}\right.$, $\;n\;$ étant le nombre de tours algébrique entre l'abscisse curviligne et sa détermination principale.

Vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue

Définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue

Introduction au vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe

     Si on réalise un paramétrage géométrique de la courbe $\;(\Gamma )\;$ par abscisse curviligne, $\;M\;$ étant la position d'un point $\;{\big (}$non « anguleux » ${\big )}\;$ d'abscisse curviligne $\;s\;$ et $\;M'\;$ sa position d'abscisse curviligne infiniment proche $\;s+ds$,
     le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ du point $\;M\;$ d'abscisse curviligne $\;s\;$ est défini par

«$\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {OM'}}-{\overrightarrow {OM}}\;$» soit encore «$\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {OM}}(s+ds)-{\overrightarrow {OM}}(s)\;$»

     c.-à-d. «la différentielle du vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ du point $\;M\;$» d'où une autre expression de la définition du vecteur déplacement élémentaire

«$\;{\overrightarrow {MM'}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]\;$» usuellement noté «$\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {dM}}\;$» .

     Remarque : Pour un point $\;M\;$ anguleux de la courbe $\;(\Gamma )\;$ on peut définir deux vecteurs déplacement élémentaire suivant que le déplacement envisagé est à gauche « définissant $\;{\overrightarrow {dM^{-}}}\;$» ou à droite « définissant $\;{\overrightarrow {dM^{+}}}\;$» $\ldots$

Propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue

     Sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, $\;M\;$ étant la position d'un point quelconque $\;{\big (}$non « anguleux » ${\big )}\;$ d'abscisse curviligne $\;s\;$ et
     Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, $\;M''\;$ la position d'un point proche de $\;M\;$ d'abscisse curviligne voisine $\;s+\delta s$,
     Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement » le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ du point $\;M\;$ «$\;{\overrightarrow {MM''}}\;$» a pour direction la sécante $\;(MM'')$ ;
     Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, quand la variation d'abscisse curviligne $\;\delta s\;$ devient l'infiniment petit $\;ds$, $\;M''\;$ devient $\;M'\;$ et
     Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur petit déplacement $\;{\overrightarrow {MM''}}\;$ devient le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {dM}}$ ;
     Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, or la direction de la sécante $\;(MM'')\;$ tend vers la direction tangente à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ quand $\;M''\;$ tend vers $\;M\;$,
     Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, on en déduit donc la propriété suivante pour le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ en un point $\;M\;$ non anguleux  :

Propriété du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe

     Le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ le long de la courbe continue $\;(\Gamma )\;$ en un point $\;M\;$ non anguleux est, dans la mesure où il n'est pas nul, tangent à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M$ .

Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet

     Sur une courbe continue $\;(\Gamma )\;$ orientée par le choix $\;{\big (}$arbitraire${\big )}\;$ d'un sens «$\;+\;$» permettant le repérage de ses points par abscisse curviligne, on définit, en tout point $\;M\;$ non anguleux de $\;(\Gamma )$,

« un vecteur unitaire $\;{\vec {\tau }}\;$ tangent à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$» orienté dans le sens «$\;+\;$» appelé « vecteur unitaire tangentiel » et
constituant le « 1^er vecteur de la base locale de Frenet »  ;

     le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ du point $\;M\;$ ${\big (}$non « anguleux » ${\big )}\;$ d'abscisse curviligne $\;s\;$ peut être alors défini par

«$\;{\overrightarrow {dM}}=ds\,{\vec {\tau }}\;$» .

Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue

Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace

     La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long de la courbe continue $\;(\Gamma )\;$ est définie, en un point $\;M\;$ non anguleux par «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$»
où «$\;{\overrightarrow {dM}}\;$ est le vecteur déplacement élémentaire le long de $\;(\Gamma )\;$ à partir de $\;M\;$» .

     Utilisation de la définition du vecteur déplacement élémentaire à l'aide du vecteur unitaire tangentiel de Frenet  : si la courbe $\;(\Gamma )\;$ est paramétrée géométriquement par l'abscisse curviligne $\;s\;$ de ses points, le vecteur déplacement élémentaire le long de $\;(\Gamma )\;$ à partir de $\;M\;$ s'écrivant «$\;{\overrightarrow {dM}}=ds\,{\vec {\tau }}(s)\;$» où «$\;{\vec {\tau }}(s)\;$ est le vecteur unitaire tangentiel de Frenet » ,
           Utilisation de la définition du vecteur déplacement élémentaire à l'aide du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ se réécrivant selon «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}\!\left[M(s)\right]\!\cdot \!ds\,{\vec {\tau }}(s)=\left\lbrace {\vec {A}}\!\left[M(s)\right]\!\cdot \!{\vec {\tau }}(s)\right\rbrace ds\;$» est une « forme différentielle de la variable $\;s$ » ,
           Utilisation de la définition du vecteur déplacement élémentaire à l'aide du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : celle-ci s'identifie à une « différentielle de fonction scalaire de la variable $\;s$ » dès lors que «$\;{\vec {A}}\!\left[M(s)\right]\!\cdot \!{\vec {\tau }}(s)\;$ est une fonction intégrable de $\;s\;$».

Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue

     Une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue $\;(\Gamma )\;$ est une intégrale d'une fonction scalaire définie en suivant la courbe $\;(\Gamma )\;$ dans le sens «$\;+\;$» d'une position $\;M_{1}\;$ à une position $\;M_{2}\;$ $\ldots$

     Il y a deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue possibles  :

Les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue

     Il s'agit d'ajouter des contributions élémentaires d'une fonction scalaire $\;f\;$ ou vectorielle $\;{\vec {A}}\;$ d'un point $\;M\;$ assujetti à se déplacer sur une courbe continue $\;(\Gamma )$ :

• «$\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» intégrale curviligne de la fonction scalaire de l'espace $\;f(M)\;$, usuellement appelée « densité linéique de » $\ldots \;$,
• «$\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$» intégrale curviligne construite à partir de la circulation élémentaire de la fonction vectorielle de l'espace $\;{\vec {A}}(M)$, l'intégrale curviligne ainsi définie correspondant à la « circulation du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long de $\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$», laquelle est notée «$\;{\mathcal {C}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]\;$» .

Méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue

     Dans les deux cas une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un paramétrage de $\;M\;$ sur la courbe $\;(\Gamma )$ ; ce dernier peut être « linéique » par abscisse curviligne $\;s\;$ ou encore « temporel » dans le cas où on connaît le mouvement du point $\;M\;$ sur $\;(\Gamma )$, le paramètre étant alors $\;t$ ;

     dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, $\;s_{1}\;$ et $\;s_{2}\;$ étant respectivement les abscisses curvilignes de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ sur $\;(\Gamma )$ :

• pour le 1^er type d'intégrale curviligne, on obtient «$\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}f\!\left[M(s)\right]ds=\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» et
• pour le 2^ème type d'intégrale curviligne «$\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}=\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}\left\lbrace {\vec {A}}\!\left[M(s)\right]\!\cdot \!{\vec {\tau }}(s)\right\rbrace ds\;$».

Exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbe

     Préliminaire : Un calcul de longueur de courbe ou d'arc de courbe est une intégrale curviligne de la fonction scalaire $\;f(M)=1\;$ sur la courbe ou la portion de courbe dont on cherche la longueur  ; le résultat ainsi que son établissement doit être connu sans hésitation en ce qui concerne un cercle ou un arc de cercle .

À retenir $\rightsquigarrow$ Longueur d'un cercle ou d'un arc de cercle

     Longueur d'un cercle de rayon $\;R\;$ :                                              «$\;{\mathcal {L}}_{\text{cercle}}=2\,\pi \,R\;$»,
     Longueur d'un arc de cercle de rayon $\;R\;$ vue de son centre $\;C\;$ sous l'angle $\;\alpha \;rad\;$ :
     Longueur d'un arc de cercle de rayon $\;\color {transparent}{R}\;$ vue de son centre $\;\color {transparent}{C}\;$ «$\;{\mathcal {L}}_{\text{arc de cercle}}(\alpha )=R\,\alpha \;$» .

     Établissement de la longueur d'un cercle${\underline {\;({\mathcal {C}})\;}}$de rayon${\underline {\;R}}$ : on utilise le repérage polaire de pôle $\;C$ $\;{\big (}$le centre du cercle${\big )}$, «$\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$» et «$\;\rho \;$ restant égal à $\;R\;$» $\Rightarrow$ «$\;ds=R\;d\theta \;$» d'où
     Établissement de la longueur d'un cercle$\color {transparent}{\;({\mathcal {C}})\;}$de rayon$\color {transparent}{\;R}$ : la longueur du cercle égale à «$\;\displaystyle \oint _{({\mathcal {C}})}ds=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }R\;d\theta =2\;\pi \;R\;$» .

     Établissement de la longueur d'un arc de cercle${\underline {\;({\mathcal {C}})\;}}$de rayon${\underline {\;R\;}}$vue de son centre${\underline {\;C\;}}$sous l'angle${\underline {\;\alpha \;rad}}$ : on utilise le même repérage polaire de pôle $\;C$, «$\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;\alpha \;$» et «$\;\rho \;$ restant égal à $\;R\;$» $\Rightarrow$ «$\;ds=R\;d\theta \;$» d'où la longueur de l'arc de cercle $\;{\overset {\frown }{AB}}\;$ égale à «$\;\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,B}ds=\displaystyle \int _{0}^{\alpha }R\;d\theta =R\;\alpha \;$»

     Autres exemples : $\succ \;$ Longueur d'un arc de la parabole $\;({\mathcal {P}})\;$ d'équation cartésienne $\;y=a\;x^{2}\;$ avec $\;a>0\;$ entre son sommet $\;O\;$ et un point $\;M_{0}\;$ d'abscisse $\;x_{0}>0\;$ quelconque :
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ le vecteur déplacement élémentaire en $\;M\;$ quelconque le long de $\;({\mathcal {P}})\;$ étant «$\;{\overrightarrow {dM}}=\left[{\vec {u}}_{x}+2\,a\,x\,{\vec {u}}_{y}\right]dx\;$» $\;{\big [}$voir paragraphe « application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe (en représentation cartésienne) » du chap.$16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »${\big ]}\;$ nous en déduisons
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ la longueur élémentaire en ce même point $\;M\;$ «$\;\vert ds\vert ={\Big \Vert }{\overrightarrow {dM}}{\Big \Vert }={\sqrt {1+4\;a^{2}\;x^{2}}}\;\vert dx\vert \;$» ou,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ en orientant $\;({\mathcal {P}})\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ des $\;x$, «$\;ds={\sqrt {1+4\;a^{2}\;x^{2}}}\;dx\;$» d'où
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ la longueur de l'arc de parabole $\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}\;$ égale à «$\;\displaystyle \int _{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M_{0}}ds=\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x^{2}}}\;dx\;$» s'évalue en faisant
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ un 1^er changement de variable $\;u=2\;a\;x\;$ $\Rightarrow$ $\;dx={\dfrac {du}{2\;a}}\;$ soit «$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {1}{2\;a}}\;\displaystyle \int _{0}^{u_{0}}{\sqrt {1+u^{2}}}\;du\;$» avec «$\;u_{0}=2\;a\;x_{0}\;$» puis
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ un 2^nd changement de variable $\;u=\sinh(\xi )\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c l}{\sqrt {1+u^{2}}}\!\!&=&\!\!{\sqrt {1+\sinh ^{2}(\xi )}}\!\!&=&\!\!\cosh(\xi )\\du\!\!&=&\!\!\cosh(\xi )\;d\xi \end{array}}\right\rbrace \;$ dont nous déduisons «$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}=$ ${\dfrac {1}{2\;a}}\;\displaystyle \int _{0}^{\xi _{0}}\cosh ^{2}(\xi )\;d\xi \;$» avec $\;\xi _{0}=\mathrm {argsinh} (u_{0})\;$ et, en utilisant
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ la relation de duplication «$\;\cosh ^{2}(\xi )={\dfrac {1+\cosh(2\;\xi )}{2}}\;$» , «$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {1}{4\;a}}\;\displaystyle \int _{0}^{\xi _{0}}d\xi +{\dfrac {1}{8\;a}}\;\displaystyle \int _{0}^{\xi _{0}}\cosh(2\;\xi )\;d(2\;\xi )\;$» ce qui s'intègre en «$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {\xi _{0}}{4\;a}}+{\dfrac {\sinh(2\;\xi _{0})-0}{8\;a}}\;$» ou encore, avec «$\;\sinh(2\;\xi _{0})=2\;\sinh(\xi _{0})\;\cos(\xi _{0})\;$» , «$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {\xi _{0}+\sinh(\xi _{0})\;\cos(\xi _{0})}{4\;a}}\;$» soit enfin,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}\xi _{0}\!\!&=&\!\!\mathrm {argsinh} (u_{0})\!\!&=&\!\!\mathrm {argsinh} (2\;a\;x_{0})\\\sinh(\xi _{0})\!\!&=&\!\!u_{0}\!\!&=&\!\!2\;a\;x_{0}\\\cosh(\xi _{0})\!\!&=&\!\!{\sqrt {1+\sinh ^{2}(\xi _{0})}}\!\!&=&\!\!{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$, «$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {\mathrm {argsinh} (2\;a\;x_{0})+2\;a\;x_{0}\;{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}}{4\;a}}\;$» ou
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ en remplaçant la fonction argument sinus hyperbolique par sa forme logarithmique «$\;\mathrm {argsinh} (2\;a\;x_{0})=\ln \!\left[2\;a\;x_{0}+{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}\right]\;$»
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ «$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {\ln \!\left[2\;a\;x_{0}+{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}\right]+2\;a\;x_{0}\;{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}}{4\;a}}\;$» .

     Autres exemples : $\succ \;$ Longueur d'un arc de spirale logarithmique $\;({\mathcal {S}}p)\;$ d'équation polaire $\;\rho =\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\;$ avec $\;k>0\;$ entre $\;A\,\left(\theta _{A}=0\right)\;$ et $\;M_{0}\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta _{0}>0\;$ quelconque :
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ le vecteur déplacement élémentaire en $\;M\;$ quelconque le long de $\;({\mathcal {S}}p)\;$ s'évaluant selon «$\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }\;$» soit, après différenciation et factorisation «$\;{\overrightarrow {dM}}=\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,\left[k\;{\vec {u}}_{\rho }+{\vec {u}}_{\theta }\right]\,d\theta \;$» , nous en déduisons
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ la longueur élémentaire en ce même point $\;M\;$ «$\;\vert ds\vert ={\Big \Vert }{\overrightarrow {dM}}{\Big \Vert }=\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,{\sqrt {k^{2}+1}}\;\vert d\theta \vert \;$» ou,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ en orientant $\;({\mathcal {S}}p)\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ des $\;\theta$, «$\;ds={\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,d\theta \;$» d'où
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ la longueur de l'arc de spirale logarithmique $\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}\;$ égale à «$\;\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {S}}p)}{\rightarrow }}\,M_{0}}ds=\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,d\theta \;$» valant
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ «$\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}={\dfrac {{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}}{k}}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}\exp \!\left(k\;\theta \right)\,d\left(k\;\theta \right)={\dfrac {{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}}{k}}\;\left[\exp \!\left(k\;\theta \right)\right]_{0}^{\theta _{0}}\;$» soit finalement
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ «$\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}=\rho _{0}\;{\dfrac {\sqrt {1+k^{2}}}{k}}\;\left[\exp \!\left(k\;\theta _{0}\right)-1\right]\;$»  ;
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ la longueur d'un arc de spirale logarithmique $\;({\mathcal {S}}p)\;$ d'équation polaire $\;\rho =\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\;$ avec $\;k>0\;$ entre $\;A\,\left(\theta _{A}=0\right)\;$ et $\;M_{0}\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta _{0}<0\;$ quelconque s'évalue de la même façon mais en tenant compte du fait que $\;d\theta \;$ est $\;<0\;$ ce qui entraîne les modifications suivantes :
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ «$\;\vert ds\vert =\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,{\sqrt {k^{2}+1}}\;\vert d\theta \vert =-\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,{\sqrt {k^{2}+1}}\;d\theta \;$»,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ «$\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}=\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {S}}p)}{\rightarrow }}\,M_{0}}\vert ds\vert =\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}-{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,d\theta =-{\dfrac {{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}}{k}}\;\left[\exp \!\left(k\;\theta \right)\right]_{0}^{\theta _{0}}\;$» soit finalement
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'un arc de spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ «$\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}=\rho _{0}\;{\dfrac {\sqrt {1+k^{2}}}{k}}\;\left[1-\exp \!\left(k\;\theta _{0}\right)\right]\;\rightarrow \;\rho _{0}\;{\dfrac {\sqrt {1+k^{2}}}{k}}\;$ quand $\;\theta _{0}\rightarrow -\infty \;$» .

     Autres exemples : $\succ \;$ Longueur d'une ellipse $\;({\mathcal {E}})\;$ d'équations cartésiennes paramétriques de centre $\;O$, d'axe focal $\;x'x$, de demi-grand axe $\;a\;$ et de demi-petit-axe $\;b\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a\;\cos(\theta )\\y=b\;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$»  :
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ le vecteur déplacement élémentaire en $\;M\;$ quelconque le long de $\;({\mathcal {E}})\;$ s'évaluant selon «$\;{\overrightarrow {dM}}=dx\,{\vec {u}}_{x}+dy\,{\vec {u}}_{y}\;$» soit, après différenciation et factorisation «$\;{\overrightarrow {dM}}=\left[-a\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+b\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]\,d\theta \;$», nous en déduisons
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ la longueur élémentaire en ce même point $\;M\;$ «$\;\vert ds\vert ={\Big \Vert }{\overrightarrow {dM}}{\Big \Vert }={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;\vert d\theta \vert \;$» ou,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ en orientant $\;({\mathcal {E}})\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ des $\;\theta$, «$\;ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta \;$» soit,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ en faisant apparaître l'excentricité $\;e\;$ et en éliminant $\;b\;$ au profit de $\;\left(a\,,\,e\right)$, sachant que «$\;e={\dfrac {c}{a}}\;$ avec $\;c\;$ la distance séparant le centre $\;O\;$ de $\;({\mathcal {E}})\;$ de l'un ou l'autre de ses foyers » et «$\;a^{2}=b^{2}+c^{2}\;$» $\Rightarrow$ $\;b^{2}=a^{2}-c^{2}\;$ ou, avec $\;c=a\;e$, «$\;b^{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\right)\;$» et
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ en reportant l'expression de $\;b^{2}\;$ dans celle de $\;ds$, «$\;ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+a^{2}\,\left(1-e^{2}\right)\,\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta =a\;{\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )+\left(1-e^{2}\right)\,\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta \;$» soit finalement «$\;ds=a\;{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta \;$» d'où

diagramme représentant la longueur d'une ellipse de demi-grand-axe $\;a\;$ en fonction de son excentricité $\;e$, $\;{\bigg [}$c'est aussi, au facteur multiplicatif $\;4\;a\;$ près, la représentation de la valeur pour $\;x=1\;$ de l'« intégrale elliptique incomplète de 2^ème espèce «$\;E(x\,;\,e)=$ $\displaystyle \int _{0}^{x}{\dfrac {\sqrt {1-e^{2}\;t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\;dt\;$» en fonction de module elliptique $\;e{\bigg ]}$

     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ la longueur de l'ellipse $\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}\;$ égale à «$\;\displaystyle \oint _{({\mathcal {E}})}ds=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }a\;{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta =$ $4\;a\;\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta \;$» s'écrit encore
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ en faisant le changement de variable «$\;u^{2}=\cos ^{2}(\theta )\;$ avec $\;u\geqslant 0\;$» $\Rightarrow$ $\;2\;u\;du=$ $-2\;\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \;$ $\Rightarrow$ «$\;d\theta =-{\dfrac {u\;du}{\cos(\theta )\;\sin(\theta )}}\;$» ou, comme $\;\theta \in \left[0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]$, $\;\cos(\theta )=u\;$ permet la simplification suivante «$\;d\theta =$ $-{\dfrac {du}{\sin(\theta )}}\;$» et enfin, avec $\;\sin(\theta )\geqslant 0\;$ $\Rightarrow$ $\;\sin(\theta )={\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}={\sqrt {1-u^{2}}}$, l'explicitation finale «$\;d\theta =-{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;$» d'où
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ la réécriture de la longueur de l'ellipse «$\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}=-4\;a\;\displaystyle \int _{1}^{0}{\sqrt {1-e^{2}\;u^{2}}}\;{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}$ $=4\;a\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {\sqrt {1-e^{2}\;u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;du\;$» $\;{\Bigg [}$la recherche de la longueur de l'ellipse a conduit à l'élaboration d'un nouveau type de fonction définie sous forme intégrale l'« intégrale elliptique incomplète de 2^ème espèce $\;E(x\,;\,k)=\displaystyle \int _{0}^{x}{\dfrac {\sqrt {1-k^{2}\;t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\;dt\;$»${\bigg ]}\;$ d'où
     Autres exemples : $\color {transparent}{\succ \;}$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ «