Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne

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Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne
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Chapitre no 15
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs
Chap. suiv. :Divers repérages d'un point dans l'espace
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Intégrale définie sur un intervalle ferméModifier

 
Exemple de subdivision de l'intervalle d'intégration au sens de Riemann [1]

Intégrabilité d'une fonction scalaire d'une variable réelle au sens de RiemannModifier

     La fonction scalaire   de la variable réelle   définie sur l'intervalle fermé   est intégrable sur cet intervalle fermé si elle y est continue par morceaux, c.-à-d. s'« il existe une subdivision de l'intervalle d'intégration  ,  » pour laquelle «  est continue sur les intervalles ouverts  » avec «  et  », l'existence de ces deux limites permettant de « prolonger la continuité de   sur  » [2].

Subdivision de l'intervalle d'intégration et définition des sommes de Riemann associéesModifier

     On démontre que « la somme de Riemann [1] choisie » [4] admet une « limite finie » quand  , limite qui définit l'intégrale de Riemann [1] de la fonction sur l'intervalle d'intégration.

Définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle ferméModifier

Interprétation géométrique de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle ferméModifier

     En choisissant « », nous avons établi que « la somme de Riemann [1] associée pouvait être interprétée comme la somme des aires des rectangles de longueur de base   et de hauteur  » ; aussi
     « quand  », « la somme de Riemann [1] tendant vers l'intégrale de la fonction   sur l'intervalle fermé  » et
     « quand  », « la somme des aires des rectangles tendant vers l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, le graphe de la fonction ainsi que les droites   et  »,
     nous concluons à l'interprétation géométrique suivante de l'intégrale de Riemann [1] :

Développement de quelques méthodes de calculModifier

      Intégrer une fonction dont on connaît une primitive   ou,
      Intégrer une fonction dont on devrait connaître une primitive malheureusement partiellement oubliée   : on se souvient qu'une primitive de   est  [5] en ayant oublié la valeur de  , pour la retrouver on dérive   ce qui donne   à identifier à   d'où   et par suite une primitive de   est   soit, dans le cas particulier où  , une primitive de   est   ou une primitive de   est   conduisant à   ;

      intégrer une fonction par changement de variable   : il serait souhaitable d'avoir   au dénominateur [6], aussi y met-on   en facteur     suggérant le changement de variable   [7] ; on fait alors apparaître la différentielle de cette nouvelle variable au numérateur   mais on se rend compte qu'en faisant ceci on introduit une erreur  car     et non   qu'il convient de corriger par un facteur multiplicatif   soit     [8] donnant finalement   ;

      intégrer une fonction trigonométrique en linéarisant quand cela est possible    avec   permettant de réécrire    [9] ce qui donne finalement   ;

      intégrer un produit de fonctions par parties dans le but d'aboutir à une intégrale plus simple    dans laquelle il serait souhaitable d'arriver à une intégrale du type   et pour cela il conviendrait de dériver l'autre fonction ;

      intégrer un produit de fonctions par parties dans le but d'aboutir à une intégrale plus simple  appliquée ici on pose «     » et «     » [12] d'où   ;

      intégrer une fonction rationnelle [13] par décomposition en éléments simples   : la fonction rationnelle   de pôles [14] connus   se décompose en éléments simples   et   c.-à-d.   avec   et   constantes réelles à déterminer ;

           intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples appliquée ici on obtient « » d'où la réécriture de l'intégrale en     soit finalement   ;

        

Notion d'abscisse curviligne d'un point sur une courbe continueModifier

Distinction courbe plane - courbe gaucheModifier

     Une courbe plane est une courbe contenue dans un plan ; exemples : droite, conique  c.-à-d. ellipse dont son cas particulier le cercle, parabole, hyperbole  et bien d'autres encore ;

     une courbe gauche est une courbe qui n'est pas plane ; exemples : parmi les courbes gauches classiques il n'y a pratiquement que les hélices  la plus connue étant l'hélice circulaire, courbe inscrite sur un cylindre de révolution telle que la tangente en chacun des points de l'hélice a une direction de même inclinaison par rapport à l'axe du cylindre , mais on peut en trouver d'autres plus sophistiquées comme une succession de trois segments non coplanaires  

Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continueModifier

     Sur une courbe continue   plane ou gauche, choisissant arbitrairement un sens « » et une origine   de mesure des abscisses curvilignes,
     Sur une courbe continue   plane ou gauche, on repère le point générique   de   par le nombre réel égal à la longueur algébrique parcourue dans le sens « » sur   depuis l'origine  [16], appelé « abscisse curviligne du point   et noté  » ;
     « l'abscisse curviligne de   sur   est donc défini par  », « la distance non algébrisée séparant   de   sur   étant  ».

Propriétés de biunivocité entre la courbe et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes possiblesModifier

Cas d'une courbe ouverteModifier

     Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, on ne repasse jamais par un même endroit, ou

     Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, il existe au moins un endroit particulier de cette courbe où on repasse une seule fois avant de poursuivre sans rebrousser chemin et sans y repasser  cas peu fréquent  ;

     Définition : nous appellerons par la suite « courbe ouverte » une courbe du 1er type, celle du 2ème type étant qualifiée de « courbe ouverte avec points multiples »

     Dans le cas d'une « courbe ouverte  sans points multiples » [17], « chaque valeur de   localise une position unique de   sur la courbe et réciproquement »,
          Dans le cas d'une « courbe ouverte  sans points multiples » , il y a donc « biunivocité » [18] entre la courbe   et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes possibles pour les points de  .

Cas d'une courbe ferméeModifier

     Définition : Une courbe est fermée si, en suivant continûment la courbe à partir d'un endroit quelconque sans rebrousser chemin, on repasse nécessairement au moins une fois par l'endroit de départ avant que le suivi de la courbe sans rebrousser chemin ne se poursuive de façon répétitive ;

     Définition : d'après la définition ci-dessus et celle du paragraphe « cas d'une courbe ouverte (définition) » plus haut dans ce chapitre, une courbe est soit « ouverte » soit « fermée ».

     Dans le cas d'une « courbe fermée » [19], « chaque valeur de   localise une position unique de   sur la courbe »
          Dans le cas d'une « courbe fermée » , mais « à chaque position de   il existe une infinité de valeurs de   se déduisant entre elles d'un multiple d'une même grandeur correspondant à la longueur   de la courbe fermée »  il y a donc périodicité de la fonction   qui à   fait correspondre un point   de la courbe, la période étant égale à   ;
          Dans le cas d'une « courbe fermée » , pour retrouver une « biunivocité » entre la courbe   et un ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes repérant les points de  ,
          Dans le cas d'une « courbe fermée » , il convient de restreindre le domaine de définition de la fonction   en définissant une détermination principale de l'abscisse curviligne  , l'abscisse curviligne étant alors  ,   étant le nombre de tours algébrique entre l'abscisse curviligne et sa détermination principale.

Vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continueModifier

Définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continueModifier

 
Introduction au vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe

     Si on réalise un paramétrage géométrique de la courbe   par abscisse curviligne,   étant la position d'un point  non « anguleux » [20]  d'abscisse curviligne   et   sa position d'abscisse curviligne infiniment proche  ,
     le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe   du point   d'abscisse curviligne   est défini par

« » soit encore « »

     c.-à-d. «la différentielle du vecteur position   du point  » [21] d'où une autre expression de la définition du vecteur déplacement élémentaire

« » usuellement noté « » [22].

     Remarque : Pour un point   anguleux de la courbe  [23] on peut définir deux vecteurs déplacement élémentaire suivant que le déplacement envisagé est à gauche « définissant  » ou à droite « définissant  » [24]  

Propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continueModifier

     Sur la courbe   paramétrée géométriquement par abscisse curviligne,   étant la position d'un point quelconque  non « anguleux » [20]  d'abscisse curviligne   et
     Sur la courbe   paramétrée géométriquement par abscisse curviligne,   la position d'un point proche de   d'abscisse curviligne voisine  ,
     Sur la courbe   paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement » [25] le long de la courbe   du point   « » a pour direction la sécante   ;
     Sur la courbe   paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, quand la variation d'abscisse curviligne   devient l'infiniment petit  ,   devient   et
     Sur la courbe   paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur petit déplacement   devient le vecteur déplacement élémentaire   ;
     Sur la courbe   paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, or la direction de la sécante   tend vers la direction tangente à la courbe   en  [26] quand   tend vers  [27],
     Sur la courbe   paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, on en déduit donc la propriété suivante pour le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe   en un point   non anguleux [20] :

Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de FrenetModifier

     Sur une courbe continue   orientée par le choix  arbitraire  d'un sens « » permettant le repérage de ses points par abscisse curviligne, on définit, en tout point   non anguleux [20] de  ,

« un vecteur unitaire   tangent à   en  » orienté dans le sens « » appelé « vecteur unitaire tangentiel » [29] et
constituant le « 1er vecteur de la base locale de Frenet » [30] ;

     le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe   du point    non « anguleux » [20]  d'abscisse curviligne   peut être alors défini par

« » [31], [32].

Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continueModifier

     Utilisation de la définition du vecteur déplacement élémentaire à l'aide du vecteur unitaire tangentiel de Frenet [36] : si la courbe   est paramétrée géométriquement par l'abscisse curviligne   de ses points, le vecteur déplacement élémentaire le long de   à partir de   s'écrivant « » où «  est le vecteur unitaire tangentiel de Frenet » [36],
           Utilisation de la définition du vecteur déplacement élémentaire à l'aide du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace   le long de la courbe   se réécrivant selon « » est une « forme différentielle de la variable   » [37],
           Utilisation de la définition du vecteur déplacement élémentaire à l'aide du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : celle-ci s'identifie à une « différentielle de fonction scalaire de la variable   » dès lors que «  est une fonction intégrable de  ».

Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continueModifier

     Une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue   est une intégrale d'une fonction scalaire définie en suivant la courbe   dans le sens « » d'une position   à une position    

     Il y a deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue possibles [38] :

Les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continueModifier

     Il s'agit d'ajouter des contributions élémentaires d'une fonction scalaire   ou vectorielle   d'un point   assujetti à se déplacer sur une courbe continue   :

  • « » intégrale curviligne de la fonction scalaire de l'espace  [39], usuellement appelée « densité linéique de »  [40],
  • « » intégrale curviligne construite à partir de la circulation élémentaire de la fonction vectorielle de l'espace  , l'intégrale curviligne ainsi définie correspondant à la « circulation du champ vectoriel   le long de   de   à  », laquelle est notée « » [41].

Méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continueModifier

     Dans les deux cas une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un paramétrage de   sur la courbe   ; ce dernier peut être « linéique » par abscisse curviligne  [42] ou encore « temporel » dans le cas où on connaît le mouvement du point   sur  , le paramètre étant alors   ;

     dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne,   et   étant respectivement les abscisses curvilignes de   et   sur   :

  • pour le 1er type d'intégrale curviligne, on obtient « » [43] et
  • pour le 2ème type d'intégrale curviligne « ».

Exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbeModifier

     Préliminaire : Un calcul de longueur de courbe ou d'arc de courbe est une intégrale curviligne de la fonction scalaire   sur la courbe ou la portion de courbe dont on cherche la longueur [44] ; le résultat ainsi que son établissement doit être connu sans hésitation en ce qui concerne un cercle ou un arc de cercle [45].

     Établissement de la longueur d'un cercle de rayon  : on utilise le repérage polaire de pôle    le centre du cercle , «  variant de   à  » et «  restant égal à  »   « » [47] d'où
     Établissement de la longueur d'un cercle de rayon  : la longueur du cercle égale à « » [48].

     Établissement de la longueur d'un arc de cercle de rayon vue de son centre sous l'angle  : on utilise le même repérage polaire de pôle  , «  variant de   à  » et «  restant égal à  »   « » [47] d'où la longueur de l'arc de cercle   égale à « »

     Autres exemples :   Longueur d'un arc de la parabole   d'équation cartésienne   avec   entre son sommet   et un point   d'abscisse   quelconque :
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de la parabole   le vecteur déplacement élémentaire en   quelconque le long de   étant « »  voir paragraphe « application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe (en représentation cartésienne) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »  nous en déduisons
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de la parabole   la longueur élémentaire en ce même point   « » ou,
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de la parabole   en orientant   dans le sens   des  , « » d'où
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de la parabole   la longueur de l'arc de parabole   égale à « » s'évalue en faisant
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de la parabole   un 1er changement de variable       soit « » avec « » puis
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de la parabole   un 2nd changement de variable      [49] dont nous déduisons «   » avec  [50] et, en utilisant
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de la parabole   la relation de duplication « » [51], « » ce qui s'intègre en « » [49] ou encore, avec « » [51], « » soit enfin,
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de la parabole   avec  [52], « » ou
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de la parabole   en remplaçant la fonction argument sinus hyperbolique par sa forme logarithmique « » [53]
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de la parabole   « » [54].

     Autres exemples :   Longueur d'un arc de spirale logarithmique   d'équation polaire   avec  [55] entre   et   d'abscisse angulaire   quelconque :
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de spirale logarithmique   le vecteur déplacement élémentaire en   quelconque le long de   s'évaluant selon « » [56] soit, après différenciation et factorisation « » [57], nous en déduisons
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de spirale logarithmique   la longueur élémentaire en ce même point   « » ou,
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de spirale logarithmique   en orientant   dans le sens   des  , « » d'où
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de spirale logarithmique   la longueur de l'arc de spirale logarithmique   égale à « » valant
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de spirale logarithmique   « » soit finalement
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de spirale logarithmique   « » [58] ;
     Autres exemples :   la longueur d'un arc de spirale logarithmique   d'équation polaire   avec   entre   et   d'abscisse angulaire   quelconque s'évalue de la même façon mais en tenant compte du fait que   est   ce qui entraîne les modifications suivantes :
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de spirale logarithmique   « »,
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de spirale logarithmique   « » soit finalement
     Autres exemples :   Longueur d'un arc de spirale logarithmique   «  quand  » [59].

     Autres exemples :   Longueur d'une ellipse   d'équations cartésiennes paramétriques de centre  , d'axe focal  , de demi-grand axe   et de demi-petit-axe   « » [60] :
     Autres exemples :   Longueur d'une ellipse   le vecteur déplacement élémentaire en   quelconque le long de   s'évaluant selon « » [61] soit, après différenciation et factorisation « », nous en déduisons
     Autres exemples :   Longueur d'une ellipse   la longueur élémentaire en ce même point   « » ou,
     Autres exemples :   Longueur d'une ellipse   en orientant   dans le sens   des  , « » soit,
     Autres exemples :   Longueur d'une ellipse   en faisant apparaître l'excentricité   et en éliminant   au profit de  , sachant que «  avec   la distance séparant le centre   de   de l'un ou l'autre de ses foyers » et « » [62]     ou, avec  , « » et
     Autres exemples :   Longueur d'une ellipse   en reportant l'expression de   dans celle de  , « » soit finalement « » d'où

 
diagramme représentant la longueur d'une ellipse de demi-grand-axe   en fonction de son excentricité  ,  c'est aussi, au facteur multiplicatif   près, la représentation de la valeur pour   de l'« intégrale elliptique incomplète de 2ème espèce «   » en fonction de module elliptique  

     Autres exemples :   Longueur d'une ellipse   la longueur de l'ellipse   égale à «   » [63], [64] s'écrit encore
     Autres exemples :   Longueur d'une ellipse   en faisant le changement de variable «  avec  »         « » ou, comme  ,   permet la simplification suivante «   » et enfin, avec      , l'explicitation finale « » d'où
     Autres exemples :   Longueur d'une ellipse   la réécriture de la longueur de l'ellipse «   » [64]  la recherche de la longueur de l'ellipse a conduit à l'élaboration d'un nouveau type de fonction définie sous forme intégrale l'« intégrale elliptique incomplète de 2ème espèce  »  d'où
     Autres exemples :   Longueur d'une ellipse   «