Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne

**Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Chapitre n^o 15
Chap. préc. :	Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs
Chap. suiv. :	Divers repérages d'un point dans l'espace

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Intégrale définie sur un intervalle fermé

Intégrabilité d'une fonction scalaire d'une variable réelle au sens de Riemann

     La fonction scalaire $\;f\;$ de la variable réelle $\;x\;$ définie sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable sur cet intervalle fermé
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable si elle y est continue par morceaux, c.-à-d.
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'« il existe une subdivision de l'intervalle d'intégration $\;\left[a\,{,}\,b\right]$ ,
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'« $\;a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{i}<\cdots <x_{n}=b\;$ »
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'«pour laquelle « $\;f\;$ est continue sur les intervalles ouverts
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'«pour laquelle « $\;\color {transparent}{f}\;$ est continue sur $\;\left]x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right[\;\;\forall \,i\;$ » avec
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'«« $\;\lim \limits _{x\rightarrow x_{i}^{+}}\left[f(x)\right]=cste_{i}^{+}\;$ et $\;\lim \limits _{x\rightarrow x_{i+1}^{-}}\left[f(x)\right]=cste_{i+1}^{-}\;$ »,
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'«l'existence de ces deux limites permettant de « prolonger
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'«la continuité de $\;f\;$ sur $\;\left[x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right]\;\;\forall \,i\;$ »^[2].

Subdivision de l'intervalle d'intégration et définition des sommes de Riemann associées

Subdivision de l'intervalle

\left[a\,{,}\,b\right]

et choix d'une somme de Riemann associée

À partir de « la fonction scalaire

\;f\;

de la variable réelle

\;x\;

définie et intégrable sur l'intervalle fermé

\;\left[a\,{,}\,b\right]\;

», on définit
À partir de « la fonction scalaire

\;\color {transparent}{f}\;

\bullet \;

une « subdivision de

\;\left[a\,{,}\,b\right]\;

», «

\;a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{i}<\cdots <x_{n}=b\;

À partir de « la fonction scalaire

\;\color {transparent}{f}\;

\color {transparent}{\bullet }\;

une « subdivision de

\;\color {transparent}{\left[a\,{,}\,b\right]}\;

», réalisant la division en

\;n\;

parties égales » et
À partir de « la fonction scalaire

\;\color {transparent}{f}\;

\bullet \;

une « somme de Riemann^[1]

\;R_{n}=\sum \limits _{i=0}^{n-1}\left[f(c_{i})\,(x_{i+1}-x_{i})\right]\;

» avec «

\;c_{i}\;

un élément quelconque
À partir de « la fonction scalaire

\;\color {transparent}{f}\;

\color {transparent}{\bullet }\;

une « somme de Riemann

\;\color {transparent}{R_{n}=\left[f(c_{i})\,(x_{i+1}-x_{i})\right]}\;

» avec «

\;\color {transparent}{c_{i}}\;

de

\;\left[x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right]\;

» que
À partir de « la fonction scalaire

\;\color {transparent}{f}\;

\color {transparent}{\bullet }\;

nous choisirons en la « borne inférieure de l'intervalle »^[3] d'où «

\;c_{i}=a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\;

»

\Rightarrow

À partir de « la fonction scalaire

\;\color {transparent}{f}\;

\color {transparent}{\bullet }\;

la « somme de Riemann^[1] particulière définie par

\;R_{n}={\dfrac {b-a}{n}}\left[\sum \limits _{i=0}^{n-1}f\!\left(a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\right)\right]\;

» et
À partir de « la fonction scalaire

\;\color {transparent}{f}\;

\color {transparent}{\bullet }\;

la « somme de Riemann particulière interprétée comme la « somme des aires des rectangles de
À partir de « la fonction scalaire

\;\color {transparent}{f}\;

\color {transparent}{\bullet }\;

la « somme de Riemann particulière interprétée comme la « largeur commune

\;{\dfrac {b-a}{n}}\;

et de
À partir de « la fonction scalaire

\;\color {transparent}{f}\;

\color {transparent}{\bullet }\;

la « somme de Riemann particulière interprétée comme la « hauteur

\;f\!\left(a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\right)\;

».

On démontre que « la somme de Riemann^[1] choisie »^[4] admet une « limite finie » quand $\;n\rightarrow \infty$ , limite qui définit l'intégrale de Riemann^[1] de la fonction sur l'intervalle d'intégration.

Définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé

Intégrale de Riemann de

\;f\;

sur l'intervalle fermé

\;\left[a\,{,}\,b\right]\;

Ayant défini « une subdivision de l'intervalle

\;\left[a\,{,}\,b\right]\;

en

\;n\;

parties égales » puis
Ayant défini « une somme de Riemann^[1]

\;R_{n}={\dfrac {b-a}{n}}\left[\sum \limits _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\right]\;

avec

\;c_{i}\;

élément quelconque de

\;\left[x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right]\;

»,
on démontre que « toutes les sommes de Riemann^[1] admettent une même limite quand

\;n\rightarrow \infty

, limite définissant
on démontre que « toutes l'intégrale de Riemann^[1] de la fonction $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$ notée

\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;

» soit
on démontre que « toutes «

\;\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left\lbrace {\dfrac {b-a}{n}}\left[\sum \limits _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\right]_{c_{i}\,\in \,\left]x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right[}\right\rbrace =\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;

».

Interprétation géométrique de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé

     Avec « $\;c_{i}=a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\;$ », « la somme de Riemann^[1] associée peut être interprétée comme la somme des aires des rectangles de longueur de base $\;{\dfrac {b-a}{n}}\;$ et de hauteur $\;f\!\left(a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\right)\;$ » ;
     aussi, « quand $\;n\rightarrow \infty \;$ », « la somme de Riemann^[1] tendant vers l'intégrale de la fonction $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$ » et
     aussi, « quand $\;\color {transparent}{n\rightarrow \infty }\;$ », « la somme des aires des rectangles tendant vers l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, le graphe de la fonction ainsi que les droites $\;x=a\;$ et $\;x=b\;$ »,
     nous concluons à l'interprétation géométrique suivante de l'intégrale de Riemann^[1] :

À retenir

L'intégrale

\;{\big (}

de Riemann

{\big )}\;

^[1] de la fonction

\;f\;

sur l'intervalle fermé

\;\left[a\,{,}\,b\right]\;

notée

\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;

représente l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, le graphe de la fonction et les droites frontières

\;x=a\;

et

\;x=b

.

Développement de quelques méthodes de calcul

$\succ \;$ Intégrer une fonction dont on connaît une primitive exemple $\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {dx}{1+x^{2}}}\;$ ^[5] $=\left[\arctan(x)\right]_{0}^{1}=\arctan(1)-{\cancel {\arctan(0)}}={\dfrac {\pi }{4}}\;$ ou,
$\color {transparent}{\succ \;}$ Intégrer une fonction dont on devrait connaître une primitive malheureusement partiellement oubliée exemple $\;\displaystyle \int _{1}^{2}{\dfrac {dx}{x^{2}}}=\displaystyle \int _{1}^{2}x^{-2}\;dx$ : on se souvient qu'une primitive de $\;x^{n},\;n\in \mathbb {Z} \setminus \left\lbrace -1\right\rbrace \;$ est $A\;x^{n+1}\;$ ^[6] en ayant oublié la valeur de $\;A$ , pour la retrouver on dérive $\;A\;x^{n+1}\;$ ce qui donne $\;A\,(n+1)\,x^{n}\;$ à identifier à $\;x^{n}\;$ d'où $\;A={\dfrac {1}{n+1}}\;$ et par suite une primitive de $\;x^{n},\;n\in \mathbb {Z} \setminus \left\lbrace -1\right\rbrace \;$ est $\;{\dfrac {x^{n+1}}{n+1}}\;$ soit, dans le cas particulier où $\;n=-2$ , une primitive de $\;x^{-2}\;$ est $\;{\dfrac {x^{-1}}{(-1)}}\;$ ou une primitive de $\;{\dfrac {1}{x^{2}}}\;$ est $\;{\dfrac {-1}{x}}\;$ conduisant à $\;\displaystyle \int _{1}^{2}{\dfrac {dx}{x^{2}}}=\left[-{\dfrac {1}{x}}\right]_{1}^{2}=-{\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {1}{1}}={\dfrac {1}{2}}$ ;

$\succ \;$ intégrer une fonction par changement de variable exemple $\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}$ : souhaitant avoir $\;1+u^{2}\;$ au dénominateur^[7], on y met $\;a^{2}\;$ en facteur $\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}=\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}\left[1+\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!2}\right]}}=$ ${\dfrac {1}{a^{2}}}\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{1+\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!2}}}\;$ suggérant le changement de variable $\;u={\dfrac {x}{a}}\;$ ^[8] ; on fait alors apparaître la différentielle de cette nouvelle variable au numérateur $\;\displaystyle \int {\dfrac {d\!\left({\dfrac {x}{a}}\right)}{1+\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!2}}}\;$ mais on se rend compte qu'en faisant ceci on introduit une erreur ${\bigg [}$ car $\;d\!\left({\dfrac {x}{a}}\right)={\dfrac {dx}{a}}\;$ et non $\;dx{\bigg ]}$ qu'il convient de corriger par un facteur multiplicatif $\;a\;$ soit $\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}={\dfrac {1}{a^{2}}}\;a\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {d\!\left({\dfrac {x}{a}}\right)}{1+\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!2}}}\;$ ^[9] $={\dfrac {1}{a}}\left[\arctan \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\right]_{0}^{a}\;$ ^[10] donnant finalement $\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}={\dfrac {1}{a}}\left[\arctan(1)-{\cancel {\arctan(0)}}\right]={\dfrac {\pi }{4\,a}}$ ;

$\succ \;$ intégrer une fonction trigonométrique en linéarisant $\;{\big (}$ quand cela est possible ${\big )}\;$ exemple $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{2}(x)\,dx\;$ avec $\;\sin ^{2}(x)={\dfrac {1-\cos(2\,x)}{2}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{2}(x)\,dx=\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {1-\cos(2\,x)}{2}}\,dx=$ $\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {dx}{2}}-\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {\cos(2\,x)}{2}}\,dx={\dfrac {\pi }{2}}-{\dfrac {1}{2}}\,\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos(2\,x)\,{\dfrac {d(2\,x)}{2}}\;$ ^[11] ce qui donne finalement $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{2}(x)\,dx={\dfrac {\pi }{2}}-{\dfrac {1}{4}}\,{\cancel {\left[\sin(2\,x)\right]_{0}^{\pi }}}={\dfrac {\pi }{2}}$ ;

$\succ \;$ intégrer un produit de fonctions par parties $\;{\big (}$ dans le but d'aboutir à une intégrale plus simple ${\big )}\;$ exemple $\;\displaystyle \int _{0}^{1}x\,\exp(x)\,dx\;$ dans laquelle il serait souhaitable d'arriver à une intégrale du type $\;\displaystyle \int \exp(x)\,dx\;$ sachant qu'on connaît une primitive de la fonction $\;\exp(x)\;$ ^[12] et pour cela considérer la fonction à intégrer $\;x\;\exp(x)\;$ comme le produit de fonctions $\;x\;$ et $\;\exp(x)\;$ de façon à appliquer la méthode d'intégration par parties $\;{\big (}$ ou I.p.p. ${\big )}\;$ ^[13] exposée ci-dessous ;

exposé de la méthode d'intégration par parties (ou I.p.p.)

Si on doit « calculer

\;\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)\,v(x)\,dx\;

en connaissant une primitive de

\;v(x)\;

notée

\;V(x)\;

», on peut écrire «

\;\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)\,v(x)\,dx=

\left[u(x)\,V(x)\right]_{a}^{b}-\displaystyle \int _{a}^{b}u'(x)\,V(x)\,dx\;

»^[14].

$\color {transparent}{\succ }\;$ intégrer un produit de fonctions par parties $\;\color {transparent}{\big (}$ dans le but d'aboutir à une intégrale plus simple $\color {transparent}{big)}\;$ exemple ici on pose « $\;u(x)=x\;$ $\Rightarrow$ $\;u'(x)=1\;$ » et « $\;v(x)=\exp(x)\;$ $\Rightarrow$ $\;V(x)=\exp(x)\;$ »^[15] d'où $\;\displaystyle \int _{0}^{1}x\,\exp(x)\,dx=\left[x\,\exp(x)\right]_{0}^{1}-\displaystyle \int _{0}^{1}\exp(x)\,dx=\left[x\,\exp(x)\right]_{0}^{1}-\left[\exp(x)\right]_{0}^{1}=e-e=0$ ;

$\succ \;$ intégrer une fonction rationnelle^[16] par décomposition en éléments simples exemple $\;\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x^{2}-a^{2}}}$ : la fonction rationnelle $\;{\dfrac {1}{x^{2}-a^{2}}}\;$ de pôles^[17] connus $\;\left\lbrace -a,\,+a\right\rbrace \;$ se décompose en éléments simples $\;{\dfrac {A}{x-a}}\;$ et $\;{\dfrac {B}{x+a}}\;$ c.-à-d. $\;{\dfrac {1}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {A}{x-a}}+{\dfrac {B}{x+a}}\;$ avec $\;A\;$ et $\;B\;$ constantes réelles à déterminer selon la méthode exposée ci-dessous sur l'exemple ;

façon la plus rapide pour déterminer la décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples

La façon la plus rapide pour déterminer les constantes réelles

\;A\;

et

\;B\;

de la décomposition «

\;{\dfrac {1}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {A}{x-a}}+{\dfrac {B}{x+a}}\;

» est
de multiplier les deux membres par

\;x-a\;

{\big (}

respectivement

\;x+a{\big )}\;

et d'y faire

\;x=a\;

{\big (}

respectivement

\;x=-a{\big )}\;

soit

\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {(x-a)}{x^{2}-a^{2}}}=A+{\dfrac {B\,(x-a)}{x+a}}\Leftrightarrow {\dfrac {1}{x+a}}=A+{\dfrac {B\,(x-a)}{x+a}}\quad {\text{on y fait }}x=a\Rightarrow {\dfrac {1}{2\,a}}=A+{\cancel {\left[{\dfrac {B\,(x-a)}{x+a}}\right]_{x=a}}}\\{\dfrac {(x+a)}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {A\,(x+a)}{x-a}}+B\Leftrightarrow {\dfrac {1}{x-a}}={\dfrac {A\,(x+a)}{x-a}}+B\quad {\text{on y fait }}x=-a\Rightarrow {\dfrac {-1}{2\,a}}={\cancel {\left[{\dfrac {A\,(x+a)}{x-a}}\right]_{x=-a}}}+B\end{array}}\right\rbrace \;

^[18].

$\color {transparent}{\succ }\;$ intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples exemple ici on obtient « $\;{\dfrac {1}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {1}{2\;a}}\left\lbrace {\dfrac {1}{x-a}}-{\dfrac {1}{x+a}}\right\rbrace \;$ » d'où la réécriture de l'intégrale en $\;\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x^{2}-a^{2}}}=$ ${\dfrac {1}{2\,a}}\left[\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x-a}}-\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x+a}}\right]\;$ ^[19] $={\dfrac {1}{2\,a}}\left\lbrace \left[\ln \!\left\vert x-a\right\vert -\ln \!\left\vert x+a\right\vert \right]_{2\,a}^{3\,a}\right\rbrace ={\dfrac {1}{2\,a}}\left[\ln \!\left\vert {\dfrac {x-a}{x+a}}\right\vert \right]_{2\,a}^{3\,a}\;$ soit finalement $\;\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {1}{2\,a}}\left[\ln \!\left({\dfrac {2}{4}}\right)-\ln \!\left({\dfrac {1}{3}}\right)\right]={\dfrac {1}{2\,a}}\,\ln \!\left({\dfrac {3}{2}}\right)$ ;

$\succ \;$ $\ldots$

Notion d'abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue

Distinction courbe plane - courbe gauche

Une courbe plane est une courbe contenue dans un plan ; exemples : droite, conique $\;{\big (}$ c.-à-d. ellipse dont son cas particulier le cercle, parabole, hyperbole ${\big )}\;$ et bien d'autres encore ;

une courbe gauche est une courbe qui n'est pas plane ; exemples : parmi les courbes gauches classiques il n'y a pratiquement que les hélices $\;{\big (}$ la plus connue étant l'hélice circulaire, courbe inscrite sur un cylindre de révolution telle que la tangente en chacun des points de l'hélice a une direction de même inclinaison par rapport à l'axe du cylindre ${\big )}$ , mais on peut en trouver d'autres plus sophistiquées comme une succession de trois segments non coplanaires $\ldots$

Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue

     Sur une courbe continue $\;(\Gamma )\;$ plane ou gauche, choisissant arbitrairement un sens « $\;+\;$ » et une origine $\;A\;$ de mesure des abscisses curvilignes,
     Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ plane ou gauche, on repère le point générique $\;M\;$ de $\;(\Gamma )\;$ par le nombre réel égal à la longueur algébrique parcourue dans le sens « $\;+\;$ » sur $\;(\Gamma )\;$ depuis l'origine $\;A\;$ ^[20],
     Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ plane ou gauche, on repère le point générique $\;\color {transparent}{M}\;$ de $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ par le nombre réel égal à la longueur algébrique appelé « abscisse curviligne du point $\;M\;$ et noté $\;s\;$ » ;
     « l'abscisse curviligne de $\;M\;$ sur $\;(\Gamma )\;$ est donc défini par $\;s={\overset {\curvearrowright }{AM}}\;$ », « la distance non algébrisée séparant $\;A\;$ de $\;M\;$ sur $\;(\Gamma )\;$ étant $\;\vert s\vert ={\overset {\frown }{AM}}\;$ ».

Propriétés de biunivocité entre la courbe et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes possibles

Cas d'une courbe ouverte

Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, on ne repasse jamais par un même endroit, ou
Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, on repasse au moins une fois en une ou plusieurs positions particulières avant de poursuivre^[21] ;

Définition : nous appellerons par la suite « courbe ouverte » une courbe du 1^er type, celle du 2^ème type étant qualifiée de « courbe ouverte avec points multiples »

Dans le cas d'une « courbe ouverte $\;{\big (}$ sans points multiples ${\big )}\;$ »^[22], « chaque valeur de $\;s\;$ localise une position unique de $\;M\;$ sur la courbe et réciproquement »,
Dans le cas d'une « courbe ouverte $\;\color {transparent}{\big (}$ sans points multiples $\color {transparent}{\big )}\;$ », il y a donc « biunivocité »^[23] entre la courbe $\;(\Gamma )\;$ et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes des points de $\;(\Gamma )$ .

Cas d'une courbe fermée

     Définition : Une courbe est fermée si, en suivant continûment la courbe à partir de n'importe quel endroit sans rebrousser chemin, on repasse au moins une fois par l'endroit de départ et, de façon cyclique
     Définition : Une courbe est fermée si, en suivant continûment la courbe à partir de n'importe quel endroit sans rebrousser chemin, et ordonnée, indéfiniment par toutes les positions précédentes ;
     Définition : une courbe fermée décrite sans rebrousser chemin est une succession minimale de positions constituant un « cycle »^[24], la description du point générique de la courbe fermée étant
                        Définition : une courbe fermée décrite sans rebrousser chemin est une succession minimale de positions constituant un « cycle », celle du point générique du « cycle »^[24] répétée à l'infini ;
     Définition : il peut exister une ou plusieurs positions particulières du « cycle »^[24] d'une courbe fermée en lesquelles le point générique repasse au moins une fois lors de sa description du « cycle »^[24],
           Définition : il peut exister une ou plusieurs positions particulières du « cycle » d'une courbe fermée en lesquelles le point générique repasse on parle alors de « courbe fermée avec points multiples » ;
     Définition : nous appellerons par la suite « courbe fermée » une courbe fermée sans points multiples.

Remarque : d'après la définition ci-dessus et celle du paragraphe « cas d'une courbe ouverte (définition) » plus haut dans ce chapitre, une courbe est soit « ouverte » soit « fermée ».

     Dans le cas d'une « courbe fermée $\;{\big (}$ sans points multiples ${\big )}\;$ »^[25], « chaque valeur de $\;s\;$ localise une position unique de $\;M\;$ sur la courbe » mais
           Dans le cas d'une « courbe fermée $\;\color {transparent}{\big (}$ sans points multiples $\color {transparent}{\big )}\;$ », « à chaque position de $\;M\;$ il existe une infinité de valeurs de $\;s\;$ séparées entre elles d'un multiple d'une grandeur correspondant à la
           Dans le cas d'une « courbe fermée $\;\color {transparent}{\big (}$ sans points multiples $\color {transparent}{\big )}\;$ », « à chaque position de $\;\color {transparent}{M}\;$ il existe une infinité de valeurs de $\;\color {transparent}{s}\;$ séparées entre elles d'un multiple longueur $\;{\mathcal {L}}\;$ de la courbe fermée »
           Dans le cas d'une « courbe fermée $\;\color {transparent}{\big (}$ sans points multiples $\color {transparent}{\big )}\;$ », ${\big [}$ il y a donc périodicité de la fonction $\;f\;$ qui à $\;s\;$ fait correspondre un point $\;M\;$ de la courbe, la période étant égale à $\;{\mathcal {L}}{\big ]}$ ;
           Dans le cas d'une « courbe fermée $\;\color {transparent}{\big (}$ sans points multiples $\color {transparent}{\big )}\;$ », pour retrouver une « biunivocité » entre la courbe $\;(\Gamma )\;$ et un ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes des points de $\;(\Gamma )$ ,
           Dans le cas d'une « courbe fermée $\;\color {transparent}{\big (}$ sans points multiples $\color {transparent}{\big )}\;$ », on restreint le domaine de définition de la fonction $\;f\;$ avec une détermination principale de l'abscisse curviligne $\;s_{\text{princ}}\in \left]-{\dfrac {\mathcal {L}}{2}}\,{,}\,{\dfrac {\mathcal {L}}{2}}\right]$ ,
           Dans le cas d'une « courbe fermée $\;\color {transparent}{\big (}$ sans points multiples $\color {transparent}{\big )}\;$ », on restreint le domaine de définition de la fonction $\;\color {transparent}{f}\;$ avec l'abscisse curviligne prenant les avaleurs $\;s\left\lbrace {\begin{array}{l}\equiv s_{\text{princ}}{\pmod {\mathcal {L}}}\;{\text{ou}}\\=s_{\text{princ}}+n\,{\mathcal {L}},\;n\in \mathbb {Z} \end{array}}\right\rbrace \;$ ^[26].

Vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue

Définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue

     On réalise un paramétrage géométrique de la courbe $\;(\Gamma )\;$ par abscisse curviligne, $\;M\;$ étant la position d'un point $\;{\big (}$ non « anguleux »^[27] ${\big )}\;$ d'abscisse curviligne $\;s\;$ et $\;M'\;$ sa position d'abscisse curviligne infiniment proche $\;s+ds$ ,
     le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ du point $\;M\;$ d'abscisse curviligne $\;s\;$ est défini par
     le vecteur déplacement élémentaire « $\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {OM'}}-{\overrightarrow {OM}}\;$ » soit encore « $\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {OM}}(s+ds)-{\overrightarrow {OM}}(s)\;$ » c.-à-d.
     le vecteur déplacement élémentaire « la différentielle du vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ du point $\;M\;$ »^[28] d'où une autre expression de la définition
     du vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ du point $\;M\;$ « $\;{\overrightarrow {MM'}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]\;$ » usuellement noté « $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ »^[29].

     Remarque : Pour un point $\;M\;$ anguleux de la courbe $\;(\Gamma )\;$ ^[30] on définit deux vecteurs déplacement élémentaire suivant que le déplacement
          Remarque : Pour un point $\;\color {transparent}{M}\;$ anguleux de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on définit deux vecteurs envisagé est à gauche « définissant $\;{\overrightarrow {dM^{-}}}\;$ » ou
          Remarque : Pour un point $\;\color {transparent}{M}\;$ anguleux de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on définit deux vecteurs envisagé est à droite « définissant $\;{\overrightarrow {dM^{+}}}\;$ »^[31] $\ldots$

Propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue

     Sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, $\;M\;$ étant la position d'un point quelconque $\;{\big (}$ non « anguleux »^[27] ${\big )}\;$ d'abscisse curviligne $\;s\;$ et
     Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, $\;M''\;$ la position d'un point proche de $\;M\;$ d'abscisse curviligne voisine $\;s+\delta s$ ,
      Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement »^[32] le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ du point $\;M\;$ « $\;{\overrightarrow {MM''}}\;$ »
           Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement » a pour direction la sécante $\;(MM'')$ ;
      Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, quand la variation d'abscisse curviligne $\;\delta s\;$ devient l'infiniment petit $\;ds$ , $\;M''\;$ devient $\;M'\;$ et
      Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement $\;{\overrightarrow {MM''}}\;$ » devient le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {dM}}$ ;
      Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, or la direction de la sécante $\;(MM'')\;$ tend vers la direction tangente à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ ^[33] quand $\;M''\rightarrow M\;$ ^[34], d'où
      Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, la propriété suivante pour le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ en un point $\;M\;$ non anguleux^[27] :

Propriété du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe

Le vecteur déplacement élémentaire

\;{\overrightarrow {dM}}\;

le long de la courbe continue

\;(\Gamma )\;

en un point

\;M\;

non anguleux^[27]
Le vecteur déplacement élémentaire

\;\color {transparent}{\overrightarrow {dM}}\;

est, dans la mesure où il n'est pas nul, tangent à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M$ ^[35].

Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet

     Sur une courbe continue $\;(\Gamma )\;$ orientée par le choix $\;{\big (}$ arbitraire ${\big )}\;$ d'un sens « $\;+\;$ » permettant le repérage de ses points par abscisse curviligne,
     Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ orientée par le choix $\;\color {transparent}{\big (}$ arbitraire $\color {transparent}{\big )}\;$ d'un sens « $\;\color {transparent}{+}\;$ » on définit, en tout point $\;M\;$ non anguleux^[27] de $\;(\Gamma )$ ,
     Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ orientée par le choix $\;\color {transparent}{\big (}$ arbitraire $\color {transparent}{\big )}\;$ d'un sens « $\;\color {transparent}{+}\;$ » on définit, « un vecteur unitaire $\;{\vec {\tau }}\;$ tangent à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ » orienté dans le sens « $\;+\;$ »
     Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ orientée par le choix $\;\color {transparent}{\big (}$ arbitraire $\color {transparent}{\big )}\;$ d'un sens « $\;\color {transparent}{+}\;$ » on définit, « un vecteur unitaire $\;\color {transparent}{\vec {\tau }}\;$ tangent à $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ en $\;\color {transparent}{M}\;$ » appelé « vecteur unitaire tangentiel »^[36] et
     Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ orientée par le choix $\;\color {transparent}{\big (}$ arbitraire $\color {transparent}{\big )}\;$ d'un sens « $\;\color {transparent}{+}\;$ » on définit, « constituant le « 1^er vecteur de la base locale de Frenet »^[37] ;

le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ du point $\;M\;$ ${\big (}$ non « anguleux »^[27] ${\big )}\;$ d'abscisse curviligne $\;s\;$ peut être alors défini par « $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\,{\vec {\tau }}\;$ »^[38]^,^[39].

Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue

Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace

La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace

\;{\vec {A}}(M)\;

^[40] le long de la courbe continue

\;(\Gamma )\;

La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace

\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;

est définie, en un point

\;M\;

non anguleux^[27]
La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace

\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;

est définie, par «

\;\delta {\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;

»^[41] avec
La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace

\;{\overrightarrow {dM}}\;

vecteur déplacement élémentaire le long de

\;(\Gamma )\;

à partir de

\;M\;

^[42].

     Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet^[43] : si la courbe $\;(\Gamma )\;$ est paramétrée géométriquement par $\;s\;$ l'abscisse curviligne de ses points,
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : si la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ est paramétrée géométriquement par $\;\color {transparent}{s}\;$ le vecteur déplacement élémentaire le long de $\;(\Gamma )\;$ à partir de $\;M\;$ s'écrit
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : si la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ est paramétrée géométriquement par $\;\color {transparent}{s}\;$ « $\;{\overrightarrow {dM}}=ds\,{\vec {\tau }}(s)\;$ » où « $\;{\vec {\tau }}(s)\;$ est le vecteur unitaire tangentiel de Frenet »^[43]^,^[44] et
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ se réécrivant selon
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ « $\;\delta {\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}\!\left[M(s)\right]\!\cdot \!ds\,{\vec {\tau }}(s)=\left\lbrace {\vec {A}}\!\left[M(s)\right]\!\cdot \!{\vec {\tau }}(s)\right\rbrace ds\;$ »
           Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ « $\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]}$ est une « forme différentielle de la variable $\;s\;$ »^[45],
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : celle-ci s'identifie à une « différentielle de fonction scalaire de la variable $\;s\;$ » dès lors que « $\;{\vec {A}}\!\left[M(s)\right]\!\cdot \!{\vec {\tau }}(s)\;$ est une fonction intégrable de $\;s\;$ ».

Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue

Une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue $\;(\Gamma )\;$ est une intégrale d'une fonction scalaire^[46] définie en suivant la courbe $\;(\Gamma )\;$ dans le sens « $\;+\;$ »
Une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ est une intégrale d'une fonction scalaire définie en suivant la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ d'une position $\;M_{1}\;$ à une position $\;M_{2}$ .

Il y a deux types d'intégrales curvilignes d'une fonction scalaire sur une portion de courbe continue possibles^[47] :

Les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue

Il s'agit d'ajouter des contributions élémentaires d'une fonction scalaire $\;f\;$ ou vectorielle $\;{\vec {A}}\;$ d'un point $\;M\;$ assujetti à se déplacer sur une courbe continue $\;(\Gamma )$ :

« $\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}f\!\left[M(s)\right]ds\;$ » intégrale curviligne de la fonction scalaire de l'espace $\;f(M)\;$ ^[48], usuellement appelée « densité linéique de » $\ldots \;$ ^[49],
« $\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$ » intégrale curviligne construite à partir de la circulation élémentaire de la fonction vectorielle de l'espace $\;{\vec {A}}(M)$ ,
l'intégrale curviligne ainsi définie correspondant à la « circulation du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long de $\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$ », laquelle est notée « $\;{\mathcal {C}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]\;$ »^[50].

Méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue

     Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un paramétrage de $\;M\;$ sur la courbe $\;(\Gamma )$ ;
     Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un ce dernier peut être « linéique » par abscisse curviligne $\;s\;$ ^[51] ou encore
     Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un ce dernier peut être « temporel » si on connaît le mouvement du point $\;M\;$ sur $\;(\Gamma )$ , le paramètre étant alors $\;t$ ;

     dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, $\;s_{1}\;$ et $\;s_{2}\;$ étant respectivement les abscisses curvilignes de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ sur $\;(\Gamma )$ :
     dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, $\bullet \;$ pour le 1^er type d'intégrale curviligne, on obtient « $\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}f\!\left[M(s)\right]ds=\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}f\!\left[M(s)\right]ds\;$ »^[52] et
     dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, $\bullet \;$ pour le 2^ème type d'intégrale curviligne « $\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}=\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}\left\lbrace {\vec {A}}\!\left[M(s)\right]\!\cdot \!{\vec {\tau }}(s)\right\rbrace ds\;$ ».

Exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbe

Préliminaire : Un calcul de longueur de courbe ou d'arc de courbe est une intégrale curviligne de la fonction scalaire $\;f(M)=1\;$ sur la courbe ou la portion de courbe dont on cherche la longueur^[53] ;
Préliminaire : le résultat ainsi que son établissement doit être connu sans hésitation en ce qui concerne un cercle ou un arc de cercle^[54].

À retenir

\rightsquigarrow

Longueur d'un cercle ou d'un arc de cercle

Longueur d'un arc de cercle de rayon

\;R\;

vue de son centre

\;C\;

sous l'angle

\;\alpha \;rad\;

: «

\;{\mathcal {L}}_{\text{arc de cercle}}(\alpha )=R\,\alpha \;

».
Longueur d'un cercle de rayon

\;R\;

: «

\;{\mathcal {L}}_{\text{cercle}}=2\,\pi \,R\;

»^[55].

     Établissement de la longueur d'un arc de cercle $\;({\mathcal {C}})\;$ de rayon $\;R\;$ vue de son centre $\;C\;$ sous l'angle $\;\alpha \;rad$ : on utilise le repérage polaire de pôle $\;C$ , « $\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;\alpha \;$ » et
     Établissement de la longueur d'un arc de cercle $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$ de rayon $\;\color {transparent}{R}\;$ vue de son centre $\;\color {transparent}{C}\;$ sous l'angle $\;\color {transparent}{\alpha \;rad}$ : on utilise le repérage polaire de pôle $\;\color {transparent}{C}$ , « $\;\rho \;$ restant égal à $\;R\;$ » d'où
     Établissement de la longueur d'un arc de cercle $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$ de rayon $\;\color {transparent}{R}\;$ vue de son centre $\;\color {transparent}{C}\;$ sous l'angle $\;\color {transparent}{\alpha \;rad}$ : la longueur élémentaire $\;ds\;$ d'arc associé à la variation élémentaire $\;d\theta \;$ d'angle au centre
     Établissement de la longueur d'un arc de cercle $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$ de rayon $\;\color {transparent}{R}\;$ vue de son centre $\;\color {transparent}{C}\;$ sous l'angle $\;\color {transparent}{\alpha \;rad}$ : la longueur élémentaire $\;\color {transparent}{ds}\;$ d'arc s'évalue par « $\;ds=R\;d\theta \;$ »^[56] et par suite
     Établissement de la longueur d'un arc de cercle $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$ de rayon $\;\color {transparent}{R}\;$ vue de son centre $\;\color {transparent}{C}\;$ sous l'angle $\;\color {transparent}{\alpha \;rad}$ : la longueur de l'arc de cercle $\;{\overset {\frown }{AB}}\;$ se calcule par « $\;\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,B}ds=\displaystyle \int _{0}^{\alpha }R\;d\theta =R\;\alpha \;$ ».

     Établissement de la longueur d'un cercle $\;({\mathcal {C}})\;$ de rayon $\;R$ : on utilise le même repérage polaire de pôle $\;C$ $\;{\big (}$ le centre du cercle ${\big )}$ , « $\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$ » et
     Établissement de la longueur d'un cercle $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$ de rayon $\;\color {transparent}{R}$ : on utilise le même repérage polaire de pôle $\;\color {transparent}{C}$ $\;\color {transparent}{\big (}$ le centre du cercle $\color {transparent}{\big )}$ , « $\;\rho \;$ restant égal à $\;R\;$ » d'où
     Établissement de la longueur d'un cercle $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$ de rayon $\;\color {transparent}{R}$ : la longueur élémentaire $\;ds\;$ d'arc associé à la variation élémentaire $\;d\theta \;$ d'angle au centre s'évalue par « $\;ds=R\;d\theta \;$ »^[56] et par suite
     Établissement de la longueur d'un cercle $\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$ de rayon $\;\color {transparent}{R}$ : la longueur du cercle se calcule par « $\;\displaystyle \oint _{({\mathcal {C}})}ds=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }R\;d\theta =2\;\pi \;R\;$ »^[57].

     Autres exemples : $\blacktriangleright \;$ Longueur d'un arc de la parabole $\;({\mathcal {P}})\;$ d'équation cartésienne $\;y=a\;x^{2}\;$ ${\big (}$ avec $\;a>0{\big )}\;$ entre son sommet $\;O\;$ et un point $\;M_{0}\;$ d'abscisse $\;x_{0}>0\;$ quelconque :
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ le vecteur déplacement élémentaire en $\;M\;$ quelconque le long de $\;({\mathcal {P}})\;$ étant « $\;{\overrightarrow {dM}}=\left[{\vec {u}}_{x}+2\,a\,x\,{\vec {u}}_{y}\right]dx\;$ »^[58],
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ la longueur élémentaire en ce même point $\;M\;$ se calcule par « $\;\vert ds\vert ={\Big \Vert }{\overrightarrow {dM}}{\Big \Vert }={\sqrt {1+4\;a^{2}\;x^{2}}}\;\vert dx\vert \;$ » ou,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ en orientant $\;({\mathcal {P}})\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ des $\;x$ , par « $\;ds={\sqrt {1+4\;a^{2}\;x^{2}}}\;dx\;$ » d'où
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ la longueur de l'arc de parabole $\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}\;$ égale à « $\;\displaystyle \int _{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M_{0}}ds=\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x^{2}}}\;dx\;$ » s'évalue en faisant
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ un 1^er changement de variable $\;u=2\;a\;x\;$ $\Rightarrow$ $\;dx={\dfrac {du}{2\;a}}\;$ soit « $\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {1}{2\;a}}\;\displaystyle \int _{0}^{u_{0}}{\sqrt {1+u^{2}}}\;du\;$ » avec « $\;u_{0}=2\;a\;x_{0}\;$ » puis
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ un 2^nd changement de variable $\;u=\sinh(\xi )\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c l}{\sqrt {1+u^{2}}}\!\!&=&\!\!{\sqrt {1+\sinh ^{2}(\xi )}}\!\!&=&\!\!\cosh(\xi )\\du\!\!&=&\!\!\cosh(\xi )\;d\xi \end{array}}\right\rbrace \;$ ^[59] dont nous déduisons
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ « $\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {1}{2\;a}}\;\displaystyle \int _{0}^{\xi _{0}}\cosh ^{2}(\xi )\;d\xi \;$ » avec $\;\xi _{0}=\mathrm {argsinh} (u_{0})\;$ ^[60] et, avec la relation de duplication « $\;\cosh ^{2}(\xi )={\dfrac {1+\cosh(2\;\xi )}{2}}\;$ »^[61],
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ « $\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {1}{4\;a}}\;\displaystyle \int _{0}^{\xi _{0}}d\xi +{\dfrac {1}{8\;a}}\;\displaystyle \int _{0}^{\xi _{0}}\cosh(2\;\xi )\;d(2\;\xi )\;$ » ce qui s'intègre en « $\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {\xi _{0}}{4\;a}}+{\dfrac {\sinh(2\;\xi _{0})-0}{8\;a}}\;$ »^[59] ou encore,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ avec « $\;\sinh(2\;\xi _{0})=2\;\sinh(\xi _{0})\;\cos(\xi _{0})\;$ »^[61], « $\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {\xi _{0}+\sinh(\xi _{0})\;\cos(\xi _{0})}{4\;a}}\;$ » soit enfin,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}\xi _{0}\!\!&=&\!\!\mathrm {argsinh} (u_{0})\!\!&=&\!\!\mathrm {argsinh} (2\;a\;x_{0})\\\sinh(\xi _{0})\!\!&=&\!\!u_{0}\!\!&=&\!\!2\;a\;x_{0}\\\cosh(\xi _{0})\!\!&=&\!\!{\sqrt {1+\sinh ^{2}(\xi _{0})}}\!\!&=&\!\!{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[62], « $\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {\mathrm {argsinh} (2\;a\;x_{0})+2\;a\;x_{0}\;{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}}{4\;a}}\;$ » ou
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ en remplaçant la fonction argument sinus hyperbolique par sa forme logarithmique « $\;\mathrm {argsinh} (2\;a\;x_{0})=\ln \!\left[2\;a\;x_{0}+{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}\right]\;$ »^[63]
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la parabole $\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$ « $\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {\ln \!\left[2\;a\;x_{0}+{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}\right]+2\;a\;x_{0}\;{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}}{4\;a}}\;$ »^[64].

     Autres exemples : $\blacktriangleright \;$ Longueur d'un arc de la spirale logarithmique $\;({\mathcal {S}}p)\;$ d'équation polaire $\;\rho =\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\;$ ${\big (}$ avec $\;k>0\;$ ^[65] ${\big )}\;$ entre $\;A\,\left(\theta _{A}=0\right)\;$ et $\;M_{0}\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta _{0}>0\;$ quelconque :
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ le vecteur déplacement élémentaire en $\;M\;$ quelconque le long de $\;({\mathcal {S}}p)\;$ s'évaluant selon « $\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }\;$ »^[66] soit,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ après différenciation et factorisation « $\;{\overrightarrow {dM}}=\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,\left[k\;{\vec {u}}_{\rho }+{\vec {u}}_{\theta }\right]\,d\theta \;$ »^[67], nous en déduisons
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ la longueur élémentaire en ce même point $\;M\;$ « $\;\vert ds\vert ={\Big \Vert }{\overrightarrow {dM}}{\Big \Vert }=\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,{\sqrt {k^{2}+1}}\;\vert d\theta \vert \;$ » ou,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ en orientant $\;({\mathcal {S}}p)\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ des $\;\theta$ , « $\;ds={\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,d\theta \;$ » d'où
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ la longueur de l'arc de spirale logarithmique $\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}\;$ égale à « $\;\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {S}}p)}{\rightarrow }}\,M_{0}}ds=\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,d\theta \;$ » valant
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ « $\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}={\dfrac {{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}}{k}}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}\exp \!\left(k\;\theta \right)\,d\left(k\;\theta \right)={\dfrac {{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}}{k}}\;\left[\exp \!\left(k\;\theta \right)\right]_{0}^{\theta _{0}}\;$ » soit finalement
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ « $\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}=\rho _{0}\;{\dfrac {\sqrt {1+k^{2}}}{k}}\;\left[\exp \!\left(k\;\theta _{0}\right)-1\right]\;$ »^[68] ;
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ la longueur d'un arc de spirale logarithmique $\;({\mathcal {S}}p)\;$ d'équation polaire $\;\rho =\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\;$ ${\big (}$ avec $\;k>0\;$ ^[65] ${\big )}\;$ entre $\;A\,\left(\theta _{A}=0\right)\;$ et $\;M_{0}\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta _{0}<0\;$ quelconque
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ s'évalue de la même façon mais en tenant compte du fait que $\;d\theta \;$ est $\;<0\;$ ce qui entraîne les modifications suivantes :
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ « $\;\vert ds\vert =\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,{\sqrt {k^{2}+1}}\;\vert d\theta \vert =-\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,{\sqrt {k^{2}+1}}\;d\theta \;$ » et par suite
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ « $\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}=\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {S}}p)}{\rightarrow }}\,M_{0}}\vert ds\vert =\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}-{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,d\theta =-{\dfrac {{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}}{k}}\;\left[\exp \!\left(k\;\theta \right)\right]_{0}^{\theta _{0}}\;$ » soit finalement
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'un arc de la spirale logarithmique $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$ « $\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}=\rho _{0}\;{\dfrac {\sqrt {1+k^{2}}}{k}}\;\left[1-\exp \!\left(k\;\theta _{0}\right)\right]\;\rightarrow \;\rho _{0}\;{\dfrac {\sqrt {1+k^{2}}}{k}}\;$ quand $\;\theta _{0}\rightarrow -\infty \;$ »^[69].

     Autres exemples : $\blacktriangleright \;$ Longueur d'une ellipse $\;({\mathcal {E}})\;$ d'équations cartésiennes paramétriques de centre $\;O$ , d'axe focal $\;x'x$ , de demi-grand axe $\;a\;$ et de demi-petit-axe $\;b\;$ « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a\;\cos(\theta )\\y=b\;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$ »^[70] :
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ le vecteur déplacement élémentaire en $\;M\;$ quelconque le long de $\;({\mathcal {E}})\;$ s'évaluant selon « $\;{\overrightarrow {dM}}=dx\,{\vec {u}}_{x}+dy\,{\vec {u}}_{y}\;$ »^[71] soit,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ après différenciation et factorisation « $\;{\overrightarrow {dM}}=\left[-a\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+b\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]\,d\theta \;$ », nous en déduisons
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ la longueur élémentaire en ce même point $\;M\;$ « $\;\vert ds\vert ={\Big \Vert }{\overrightarrow {dM}}{\Big \Vert }={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;\vert d\theta \vert \;$ » ou,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ en orientant $\;({\mathcal {E}})\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ des $\;\theta$ , « $\;ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta \;$ » soit, en faisant apparaître l'excentricité $\;e={\dfrac {c}{a}}\;$ avec
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ en orientant $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ dans le sens $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ des $\;\color {transparent}{\theta }$ , « $\;\color {transparent}{ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta }\;$ » soit, $\;c\;$ la distance séparant le centre $\;O\;$ de $\;({\mathcal {E}})\;$
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ en orientant $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ dans le sens $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ des $\;\color {transparent}{\theta }$ , « $\;\color {transparent}{ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta }\;$ » soit, $\;\color {transparent}{c}\;$ la distance séparant de l'un ou l'autre de ses foyers^[72] et
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ en orientant $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ dans le sens $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ des $\;\color {transparent}{\theta }$ , « $\;\color {transparent}{ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta }\;$ » soit, en éliminant $\;b\;$ au profit de $\;\left(a\,,\,e\right)$ par $\;a^{2}=b^{2}+c^{2}\;$ ^[72]
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ en orientant $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ dans le sens $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ des $\;\color {transparent}{\theta }$ , « $\;\color {transparent}{ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta }\;$ » soit, $\Rightarrow$ $\;b^{2}=a^{2}-c^{2}\;$ ou, avec $\;c=a\;e$ , « $\;b^{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\right)\;$ »
Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ et, en reportant l'expression de $\;b^{2}\;$ dans celle de $\;ds$ , « $\;ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+a^{2}\,\left(1-e^{2}\right)\,\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta =a\;{\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )+\left(1-e^{2}\right)\,\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta \;$ »
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ soit finalement « $\;ds=a\;{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta \;$ » d'où la longueur de l'ellipse $\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}\;$ se calculant par « $\;\displaystyle \oint _{({\mathcal {E}})}ds\;$ ^[57] $=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }a\;{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta =$

     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ $4\;a\;\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta \;$ »^[73]^,^[74] ; la longueur de l'ellipse $\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}\;$ se réécrit,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ en faisant le changement de variable « $\;u^{2}=\cos ^{2}(\theta )\;$ avec $\;u\geqslant 0\;$ » $\Rightarrow$ $\;2\;u\;du=$
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ $-2\;\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \;$ $\Rightarrow$ « $\;d\theta =-{\dfrac {u\;du}{\cos(\theta )\;\sin(\theta )}}\;$ » ou, comme $\;\theta \in \left[0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]$ ,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ $\cos(\theta )=u\;$ permet la simplification suivante « $\;d\theta =-{\dfrac {du}{\sin(\theta )}}\;$ » et enfin, avec
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ $\sin(\theta )\geqslant 0\;$ $\Rightarrow$ $\;\sin(\theta )={\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}={\sqrt {1-u^{2}}}$ , « $\;d\theta =-{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;$ »
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ d'où la longueur de l'ellipse se réécrit « $\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}=-4\;a\;\displaystyle \int _{1}^{0}{\sqrt {1-e^{2}\;u^{2}}}\;{\dfrac {du}{\sqrt {1-u^{2}}}}$
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ $=4\;a\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {\sqrt {1-e^{2}\;u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;du\;$ »^[74] $\;{\Bigg [}$ la recherche de la longueur de l'ellipse a
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ conduit à l'élaboration d'un nouveau type de fonction définie sous forme intégrale
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ l'« intégrale elliptique incomplète de 2^ème espèce notée $\;E(x\,;\,k)\;$ et définie par
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ l'« $\;E(x\,;\,k)=\displaystyle \int _{0}^{x}{\dfrac {\sqrt {1-k^{2}\;t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\;dt\;$ » ${\bigg ]}\;$ d'où « $\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}=4\;a\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {\sqrt {1-e^{2}\;u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}}\;du$
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ l'« $\;\color {transparent}{E(x\,;\,k)=\displaystyle \int _{0}^{x}{\dfrac {\sqrt {1-k^{2}\;t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\;dt}\;$ » $\color {transparent}{\bigg ]}\;$ d'où « $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}}$ $=4\;a\;E(1\,;\,e)\;$ » ;
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ voir diagramme ci-contre donnant la longueur d'une ellipse de demi-grand axe $\;a\;$
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ voir diagramme ci-contre donnant la longueur en fonction de son excentricité $\;e$ :
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ on retrouve la longueur du cercle pour $\;e=0$ , « $\;E(1\,;\,0)\;$ valant $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ » et au fur et à mesure que $\;e\;$ $\nearrow$ , « $\;E(1\,;\,e)\;\searrow \;$ ^[75] c.-à-d. que $\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}\searrow$ ,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ par exemple pour $\;e=0,5\;$ « $\;E(1\,;\,e)\simeq 1,4675\;$ $\;{\big (}$ le demi-petit axe vaut alors $\;b\simeq 0,8660\;a{\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}(e=0,5)\simeq 0,9342\times \left(2\;\pi \;a\right)\;$ » ou
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ Longueur d'une ellipse $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ par exemple pour $\;e=0,8\;$ « $\;E(1\,;\,e)\simeq 1,2763\;$ $\;{\big (}$ le demi-petit axe vaut alors $\;b\simeq 0,6000\;a{\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}(e=0,8)\simeq 0,8125\times \left(2\;\pi \;a\right)\;$ » $\ldots$

Notes et références

↑ ^1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 ^1,10 et ^1,11 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse $\;{\big (}$ partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration ${\big )}\;$ et à la géométrie différentielle $\;{\big (}$ partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps ${\big )}$ .
↑ Mais attention $\;f\;$ n'est pas nécessairement continue en $\;x_{i}\;\;\forall \,i\;$ car $\;f(x_{i}^{+})\;$ peut être $\;\neq \;$ de $\;f(x_{i}^{-})$ .
↑ Ce n'est pas une nécessité d'où le qualificatif « particulière » donné par la suite à la somme de Riemann.
↑ Mais il en est de même de toutes les sommes de Riemann possibles.
↑ Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente (conséquence) » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Prendre une primitive si $\;n\in \mathbb {N} \;$ augmentant le degré du monôme d'une unité, ce résultat se généralisant à toute valeur de $\;\mathbb {Z} \;$ à l'exception de $\;n=-1$ , $\;{\dfrac {1}{x}}\;$ admettant $\;\ln |x|\;$ comme primitive.
↑ Car on connaît une primitive de $\;{\dfrac {1}{1+u^{2}}}\;$ qui est $\;\arctan(u)$ , voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente (conséquence) » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Il n'est pas toujours nécessaire de baptiser effectivement cette nouvelle variable $-$ même si mathématiquement c'est préférable $-$ on peut la laisser sous la forme $\;{\dfrac {x}{a}}\;$ pour gagner du temps et c'est ce qu'on va faire.
↑ N'ayant pas baptisé la nouvelle variable mais ayant laissé $\;{\dfrac {x}{a}}\;$ pour gagner du temps, les bornes restent celles de la variable $\;x\;$ et non celles de la nouvelle variable non baptisée.
↑ Il est possible de vérifier ce résultat par des considérations de dimensions ; supposons que $\;x\;$ et $\;a\;$ représentent des longueurs, il en sera de même de $\;dx\;$ et par suite $\;{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}\;$ s'exprimera en $\;m^{-1}\;$ ainsi que $\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}$ ; le résultat doit donc aussi être en $\;m^{-1}\;$ ce qui est le cas avec $\;{\dfrac {1}{a}}\,\arctan \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)$ .
↑ Noter que la présence de $\;\cos(2\,x)\;$ suggère de prendre $\;2\,x\;$ comme nouvelle variable, on en fait donc apparaître la différentielle $\;d(2\,x)=$ $2\,dx\;$ mais en faisant cela on commet une erreur relativement à $\;dx\;$ d'où la division de $\;d(2\,x)\;$ par $\;2$ .
↑ Les primitives de la fonction $\;\exp(x)\;$ étant $\;\exp(x)+cste$ .
↑ Cette méthode sera vue dans le cours de mathématiques.
↑ Cela résultant de $\;{\dfrac {d\!\left[u(x)\,V(x)\right]}{dx}}=u'(x)\,V(x)+u(x)\,V'(x)=u'(x)\,V(x)+u(x)\,v(x)\;$ dont on tire $\;u(x)\,v(x)=$ ${\dfrac {d\!\left[u(x)\,V(x)\right]}{dx}}-u'(x)\,V(x)\;$ et finalement, par intégration, la relation énoncée précédemment.
↑ On choisit la primitive la plus simple $\;\ldots$
↑ Quotient irréductible de deux polynômes exprimés à l'aide d'une variable.
↑ C.-à-d. les racines du polynôme dénominateur $\;{\big (}$ les racines du polynôme numérateur définissant les racines de la fonction rationnelle ${\big )}$ ).
↑ Ce qui rend rapide cette méthode c'est qu'elle peut se faire en calcul mental.
↑ Les primitives de $\;{\dfrac {1}{u}}\;$ étant $\;\ln \!\vert u\vert \,+cste$ .
↑ Évidemment il faudrait préciser ce qu'on entend mathématiquement par « longueur algébrique parcourue » $\ldots$ mais le but poursuivi ici se limite à donner une notion d'abscisse curviligne ;
physiquement on peut déterminer l'abscisse curviligne d'un point $\;M\;$ de $\;(\Gamma )\;$ à l'aide d'une ficelle dont on fixe une extrémité au point $\;A\;$ en lui faisant suivre la courbe points par points jusqu'au point $\;M$ , on repère alors le point $\;M\;$ sur la ficelle et on mesure la distance séparant ce repère et l'extrémité qui était fixée en $\;A\;$ après avoir tendu la ficelle, cette distance représentant la valeur absolue de l'abscisse curviligne du point $\;M$ ;
en ce qui concerne le signe de l'abscisse curviligne, suivant que le point $\;M\;$ est situé avant ou après l'origine $\;A\;$ relativement au sens « $\;+\;$ », l'abscisse curviligne de $\;M\;$ est $\;<0\;$ ou $\;>0$ .
↑ Cas peu fréquent.
↑ Exemple de courbe plane ouverte $\;{\big [}$ droite, parabole, branche d'hyperbole $\;{\big (}$ attention l'hyperbole n'est pas une courbe continue mais constituée de deux branches continues ${\big )}{\big ]}$ ,
exemple de courbe gauche ouverte $\;{\big [}$ hélice circulaire ou autres hélices ${\big ]}\;$ $\ldots$
↑ Correspondance entre deux ensembles qui relie un élément quelconque d'un ensemble ou de l'autre à un et un seul élément de l'ensemble restant.
↑ ^24,0 ^24,1 ^24,2 et ^24,3 L'appellation « cycle » est personnelle d'où les guillemets.
↑ Exemple de courbe plane fermée $\;{\big [}$ ellipse dont son cas particulier le cercle ${\big ]}$ .
↑ $\;n\;$ étant le nombre de tours algébrique entre l'abscisse curviligne et sa détermination principale.
↑ ^27,0 ^27,1 ^27,2 ^27,3 ^27,4 ^27,5 et ^27,6 En un point anguleux d'une courbe continue on définit deux tangentes ne coïncidant pas, l'une à gauche et l'autre à droite, pour un point non anguleux il n'existe donc qu'une seule tangente.
↑ On utilise « la propriété de la différentielle appliquée à un champ vectoriel d'une variable, valable dans la mesure où $\;ds\;$ est un infiniment petit » $\;{\big [}$ la définition quant à elle étant rappelée dans le paragraphe « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ Car la différentielle est en fait indépendante du choix de $\;O$ .
↑ La plupart des courbes continues n'ont pas de points anguleux.
↑ Mais pratiquement ce cas est rarement envisagé.
↑ « Petit déplacement » et non déplacement élémentaire car $\;\delta s\;$ est petit mais non infiniment petit.
↑ Définition géométrique de la tangente à une courbe $\;(\Gamma )\;$ en un point $\;M$ .
↑ Ce qui est le cas car $\;M''\;$ devient $\;M'\;$ lequel est infiniment proche de $\;M$ .
↑ En effet nous avons montré que la direction de la sécante $\;(MM'')\;$ tendait vers la direction tangente à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ mais le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ pourrait être nul en des points particuliers de celle-ci $\ldots$
↑ Ce vecteur est unique car le point $\;M\;$ est non anguleux, en un point $\;M\;$ anguleux on définirait un vecteur à gauche $\;{\vec {\tau }}^{-}\;$ et un autre à droite $\;{\vec {\tau }}^{+}\;$ $\ldots$
↑ Nous n'introduisons pour l'instant que ce vecteur, les deux autres le seront quand cela sera nécessaire, voir le paragraphe « en complément, repérage de Frenet d'un point sur une courbe » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » plus précisément les sous-paragraphes « rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et de vecteur unitaire tangentiel, 1^er vecteur de la base locale de Frenet associée » et « 2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet associée à un point de la courbe étudiée » .
Le qualificatif « local » signifie que la base dépend du point $\;M\;$ contrairement à une base cartésienne.
Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet $\;{\big [}$ Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules ${\big ]}$ .
↑ Ceci est en accord avec le fait que ces deux vecteurs sont tangents à la courbe en $\;M$ , $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ étant dans le sens de $\;{\vec {\tau }}\;$ ${\big (}$ respectivement dans le sens contraire ${\big )}$ pour $\;ds>0\;$ ${\big (}$ respectivement pour $\;ds<0{\big )}\;$ c.-à-d. pour un déplacement se faisant dans le sens « $\;+\;$ » $\;{\big (}$ respectivement dans le sens contraire ${\big )}$ ;
d'autre part en prenant la norme de cette relation on obtient $\;\left\Vert {\overrightarrow {dM}}\right\Vert =\vert ds\vert \,\left\Vert {\vec {\tau }}\right\Vert \;$ ou $\;\left\Vert {\overrightarrow {dM}}\right\Vert =\vert ds\vert \;$ ${\big (}$ le vecteur $\;{\vec {\tau }}\;$ étant unitaire ${\big )}$ signifiant que la norme du vecteur déplacement s'identifie à la valeur absolue de l'arc de courbe élémentaire ;
si on considère un déplacement petit mais non élémentaire avec $\;M''\;$ proche mais non infiniment proche de $\;M$ , $\;\left\Vert {\overrightarrow {MM''}}\right\Vert \;$ est la longueur de la corde et $\;\vert \delta s\vert \;$ la longueur de l'arc de courbe, la 1^ère étant légèrement inférieure à la 2^nde c.-à-d. $\;\left\Vert {\overrightarrow {MM''}}\right\Vert \lesssim \vert \delta s\vert$ , $\ldots \;$ quand on fait tendre $\;M''\;$ vers $\;M$ , la différence entre les deux tend vers $\;0\;$ ce que traduit $\;\left\Vert {\overrightarrow {dM}}\right\Vert =\vert ds\vert$ .
↑ Mathématiquement la relation « $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}(s)\;$ caractérisant la courbe $\;(\Gamma )\;$ définit l'équation vectorielle paramétrique de cette dernière », la définition du vecteur déplacement élémentaire en un point $\;M\;$ non anguleux peut alors se réécrire, en divisant les deux membres par $\;ds$ , « $\;{\dfrac {\overrightarrow {dM}}{ds}}={\vec {\tau }}\;$ » ou, $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ étant la différentielle de $\;{\overrightarrow {OM}}$ , « $\;{\vec {\tau }}={\dfrac {d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]}{ds}}={\dfrac {d{\vec {r}}}{ds}}(s)\;$ » ;
en fait la relation « $\;{\vec {\tau }}={\dfrac {d{\vec {r}}}{ds}}(s)\;$ » sert de définition mathématique au 1^er vecteur de la base $\;{\big (}$ locale ${\big )}\;$ de Frenet ${\big [}$ le vecteur $\;{\vec {\tau }}(s)\;$ peut donc s'obtenir en dérivant par rapport $\;s\;$ l'équation vectorielle paramétrique de la courbe $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}(s){\big ]}$ ;
Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet $\;{\big [}$ Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules ${\big ]}$ .
↑ Exemples $\;{\big (}$ liste évidemment non exhaustive ${\big )}$ : les vecteurs champ électrique $\;{\vec {E}}(M)$ , champ magnétique $\;{\vec {B}}(M)\;$ ou les vecteurs forces dépendant uniquement de l'espace $\;{\vec {F}}(M)$ .
↑ Dans le cas où la fonction vectorielle de l'espace est un vecteur force $\;{\vec {F}}(M)$ , sa circulation élémentaire le long de la courbe continue $\;(\Gamma )\;$ est appelée « travail élémentaire de la force le long de la courbe » et est notée « $\;\delta W_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\vec {F}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$ ».
↑ Dans le cas d'un point $\;M\;$ anguleux, y définissant deux vecteurs déplacements élémentaires l'un à gauche « $\;{\overrightarrow {dM^{-}}}\;$ » et l'autre à droite « $\;{\overrightarrow {dM^{+}}}\;$ », on peut définir, en correspondance, deux circulations élémentaires l'une à gauche « $\;\delta ^{-}{\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM^{-}}}\;$ » et l'autre à droite « $\;\delta ^{+}{\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM^{+}}}\;$ ».
↑ ^43,0 et ^43,1 Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet $\;{\big [}$ Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules ${\big ]}$ .
↑ Voir le paragraphe « définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet » plus haut dans ce chapitre.
↑ C.-à-d. le produit d'une fonction scalaire de l'unique variable $\;s\;$ par l'élément différentiel de cette variable $\;ds$ , cette notion de forme différentielle d'une variable étant introduite au paragraphe « définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y, z » du chap. $28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $\;{\big [}$ mais restant valable quel que soit le nombre de variables indépendantes y compris dans le cas d'une seule variable ${\big ]}$ .
Usuellement une forme différentielle de plusieurs variables indépendantes n'est pas une différentielle de fonction de ces variables indépendantes $\;{\big [}$ voir le paragraphe « distinction entre une forme différentielle et une différentielle de fonction scalaire (exposée dans le cas de deux variables indépendantes) » du chap. $28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ d'où la notation particulière utilisant le préfixe $\;\delta \;$ et non l'opérateur $\;d()$ ;
dans le cas d'une seule variable, il est rare d'utiliser la notion de forme différentielle car le plus souvent celle-ci s'avère être une différentielle de fonction scalaire de la variable $\;{\big [}$ voir le paragraphe « différentielle d'une fonction scalaire d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , il suffit pour cela que la fonction scalaire, cœfficient de l'élément différentiel de la variable dans la forme différentielle, soit intégrable $\;\ldots$
↑ Pouvant être vectorielle.
↑ Nous supposons la courbe paramétrée géométriquement par l'abscisse curviligne $\;s\;$ de ses points, mais il pourrait y avoir un autre paramétrage et même ne pas y avoir de paramétrage comme dans le cas des intégrales curvilignes du 2^ème type.
↑ On a aussi le cas $\;{\big (}$ plus rare ${\big )}\;$ de contribution élémentaire d'une fonction vectorielle $\;{\vec {A}}_{\mathit {l}}(M)\;$ donnant « $\;\delta {\vec {\mathcal {A}}}={\vec {A}}_{\mathit {l}}(M)\;ds\;$ » où « $\;{\vec {A}}_{\mathit {l}}(M)\;$ est la densité linéique du champ vectoriel $\;{\vec {\mathcal {A}}}_{(\Gamma )}\;$ » $\Leftrightarrow$ « $\;{\vec {A}}_{\mathit {l}}(M)$ $={\dfrac {\delta {\vec {\mathcal {A}}}}{ds}}\;$ », l'intégrale s'écrivant « $\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {A}}_{\mathit {l}}\!\left[M(s)\right]ds\;$ ».
↑ Par exemple si $\;f(M)={\dfrac {dm}{ds}}\;$ correspondant à une densité linéique de masse $\;{\big (}$ ou masse linéique ${\big )}\;$ exprimée en $\;kg\!\cdot \!m^{-1}$ , l'intégrale curviligne définit la masse de la portion de courbe entre les deux positions extrêmes ;
Par exemple si $\;f(M)=1\;$ sans unité, l'intégrale curviligne définit la longueur de la portion de courbe entre les deux positions extrêmes.
↑ Dans le cas où la fonction vectorielle de l'espace serait un vecteur force $\;{\vec {F}}(M)$ , l'intégrale curviligne définit « le travail de la force le long de $\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$ » noté « $\;W_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]\;$ ».
↑ À condition que l'on sache la calculer $-$ ce qui sera le cas pour les courbes les plus simples comme les droites ou les cercles.
↑ Ou, dans le cas $\;{\big (}$ plus rare ${\big )}\;$ de contribution élémentaire d'une fonction vectorielle $\;{\vec {A}}_{\mathit {l}}(M)\;$ ${\big [}$ voir la note « ⁴⁸ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;$ « $\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {A}}_{\mathit {l}}\!\left[M(s)\right]ds=\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}{\vec {A}}_{\mathit {l}}\!\left[M(s)\right]ds\;$ ».
↑ Une « longueur de portion de courbe » $\;{\big (}$ sans autre qualificatif ${\big )}\;$ est en général non algébrisée $\;{\big (}$ dans le cas contraire on l'appellera « longueur algébrisée de portion de courbe » ${\big )}$ ; la méthode de calcul d'une longueur de portion de courbe $\;{\big (}$ donc non algébrisée ${\big )}\;$ introduisant une longueur d'arc élémentaire algébrique, il est donc essentiel, pour obtenir une longueur positive, de faire varier le paramètre choisi dans le sens croissant de sa variation.
↑ Pour les autres, l'utilisation étant trop rare pour nécessiter de retenir le résultat $\;{\big (}$ quand celui-ci a été établi ${\big )}$ , seule la méthode pour l'établir $\;{\big (}$ ou tenter de l'établir ${\big )}\;$ doit être connue.
↑ La longueur du cercle étant un cas particulier de celle d'un arc de cercle avec $\;\alpha =2\,\pi$ .
↑ ^56,0 et ^56,1 En effet « $\;\vert ds\vert ={\Big \Vert }{\overrightarrow {dM}}{\Big \Vert }=\Vert R\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }\Vert =R\;\vert d\theta \vert \;$ » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ soit, en faisant correspondre le sens « $\;+\;$ » sur $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ et celui des angles du plan du cercle, « $\;ds=R\;d\theta \;$ » qui sera $\;>0\;$ si $\;\theta \,\nearrow$ .
↑ ^57,0 et ^57,1 on note l'intégrale curviligne en ajoutant un $\;O\;$ sur l'intégrale simple quand celle-ci se fait sur une courbe fermée selon « $\;\oint \;$ ».
↑ Le point générique $\;M\;$ de la parabole $\;({\mathcal {P}})\;$ ayant ses coordonnées $\;(x\,,\,y)\;$ liées par l'équation cartésienne dans le plan $\;xOy\;$ de la parabole $\;({\mathcal {P}})\;$ soit $\;y=a\;x^{2}\;$ et
le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ le long de $\;({\mathcal {P}})\;$ à partir de $\;M\;$ se définissant par $\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}\;$ se réécrit $\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+y'(x)\;dx\;{\vec {u}}_{y}=\left[{\vec {u}}_{x}+y'(x)\,{\vec {u}}_{y}\right]dx\;$ dans lequel $\;y'(x)\;$ est la dérivée par rapport à $\;x\;$ de l'équation cartésienne de la parabole soit $\;y'(x)=2\;a\;x$ .
Voir aussi le paragraphe « application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe (en représentation cartésienne) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^59,0 et ^59,1 Voir les paragraphes « sinus hyperbolique », « cosinus hyperbolique » et « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique » du chap. $27$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « fonction argument sinus hyperbolique » du chap. $27$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^61,0 et ^61,1 Voir le paragraphe « relations d'addition et de duplication (en trigonométrie hyperbolique) » du chap. $27$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique » du chap. $27$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « fonction argument sinus hyperbolique (forme logarithmique) » du chap. $27$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ On vérifie l'homogénéité du résultat, $\;2\;a\;x_{0}\;$ étant sans dimension et $\;a\;$ homogène à l'inverse d'une longueur.
↑ ^65,0 et ^65,1 « La fonction $\;f(\theta )=\exp \!\left(k\;\theta \right)\;$ ayant pour logarithme $\;\ln \!\left[f(\theta )\right]=k\;\theta \;$ » peut se réécrire, on posant « $\;k=\ln(b)\;$ $\Rightarrow$ $\;\ln \!\left[f(\theta )\right]=\theta \;\ln(b)=\ln \!\left[b^{\theta }\right]\;$ », selon « $\;f(\theta )=b^{\theta }\;$ ».
↑ Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ De cette expression de vecteur déplacement élémentaire le long de la spirale logarithmique $\;({\mathcal {S}}p)\;$ nous en déduisons l'inclinaison locale de ce dernier relativement au vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ soit « $\;\alpha =$ ${\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {OM}}\,,\,{\overrightarrow {dM}}\right\rbrace }}={\widehat {\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\color {transparent}{\Big [}\color {black},\;\left[k\;{\vec {u}}_{\rho }+{\vec {u}}_{\theta }\right]\,d\theta \right\rbrace }}\;$ » ou, $\;d\theta \;$ étant $\;>0$ , « $\;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {1}{k}}\right)=cste\;$ » ${\big [}$ voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangent : fonction arctangente » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , ceci constituant une propriété de la spirale logarithmique $\;{\bigg \{}$ pour traduire cette propriété, l'équation polaire de la spirale logarithmique est parfois écrite en fonction de l'angle $\;\alpha \;$ constant d'inclinaison de sa tangente relativement au rayon vecteur $\Rightarrow$ « $\;k={\dfrac {1}{\tan(\alpha )}}=\cot(\alpha )\;$ » soit l'équation polaire sous la forme « $\;\rho =$ $\rho _{0}\;\exp \!\left[\cot(\alpha )\;\theta \right]\;$ » ${\bigg \}}$ .
↑ Cette longueur d'arc de spirale logarithmique $\;({\mathcal {S}}p)\;$ « diverge quand $\;\theta _{0}\rightarrow +\infty \;$ ».
↑ Tenant compte de la note « ⁶⁷ » exposée plus haut dans ce chapitre faisant intervenir l'angle $\;\alpha \;$ d'inclinaison de la tangente à la spirale logarithmique $\;({\mathcal {S}}p)\;$ relativement au rayon vecteur $\;{\big [}$ la tangente restant orientée dans le sens $\;+\;$ choisie sur $\;({\mathcal {S}}p)\;$ dans le sens des $\;\theta \nearrow {\big ]}\;$ $\Rightarrow$ « $\;k=\cot(\alpha )\;$ » $\;{\Big \{}$ l'équation polaire de $\;({\mathcal {S}}p)\;$ s'écrivant alors sous la forme « $\;\rho =\rho _{0}\;\exp \!\left[\cot(\alpha )\;\theta \right]\;$ » ${\Big \}}$ , la limite de la longueur de l'arc de la spirale logarithmique $\;({\mathcal {S}}p)\;$ quand $\;\theta _{0}\rightarrow -\infty \;$ peut se réécrire « $\;\lim \limits _{\theta _{0}\,\rightarrow \,-\infty }{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}=\rho _{0}\;{\dfrac {\sqrt {1+k^{2}}}{k}}=\rho _{0}\;{\dfrac {\sqrt {1+\cot ^{2}(\alpha )}}{\cot(\alpha )}}=\rho _{0}\;{\sqrt {{\dfrac {1}{\cot ^{2}(\alpha )}}+1}}=$ $\rho _{0}\;{\sqrt {\tan ^{2}(\alpha )+1}}\;$ » ou, avec $\;1+\tan ^{2}(\alpha )={\dfrac {1}{\cos ^{2}(\alpha )}}$ , « $\;\lim \limits _{\theta _{0}\,\rightarrow \,-\infty }{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}={\dfrac {\rho _{0}}{\cos(\alpha )}}\;$ » $\Rightarrow$ la longueur de l'arc de la spirale logarithmique $\;({\mathcal {S}}p)\;$ entre le point $\;A\,\left(\theta _{A}=0\right)\;$ et le point asymptotique $\;O\;$ vers lequel $\;({\mathcal {S}}p)\;$ spirale est finie, sa longueur étant égale à « $\;{\dfrac {OA_{0}}{\cos(\alpha )}}$ ».
↑ Voir le paragraphe « conséquence : équations paramétrique d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », $\;\theta \;$ étant l'abscisse angulaire du point générique $\;M_{c}\;$ du cercle de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a\;$ dont l'ellipse $\;({\mathcal {E}})\;$ est l'image par « affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k $\;={\dfrac {b}{a}}\;$ » $\;{\big [}$ la définition de l'affinité étant exposée dans le paragraphe « affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^72,0 et ^72,1 Voir le paragraphe « principales prorpiétés d'une ellipse (à retenir) » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ En effet la fonction à intégrer est invariante par translation de $\;\pi \;$ ${\big [}$ correspondant à $\;\theta '=\theta +\pi \;$ et $\;\cos(\theta ')=-\cos(\theta ){\big ]}\;$ $\Rightarrow$ $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta =\displaystyle \int _{\pi }^{2\,\pi }{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta ')}}\;d\theta '$ ,
En effet de plus, la fonction à intégrer est invariante par symétrie relativement à $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ ${\big [}$ correspondant à $\;\theta '=\pi -\theta$ , $\;d\theta '=-d\theta \;$ et $\;\cos(\theta ')=\cos(\theta ){\big ]}\;$ $\Rightarrow$ $\;\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta =$ $-\displaystyle \int _{\pi }^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta ')}}\;d\theta '=\displaystyle \int _{\frac {\pi }{2}}^{\pi }{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta ')}}\;d\theta '$ .
↑ ^74,0 et ^74,1 Cette intégrale ne peut pas être évaluée en utilisant les fonctions usuelles $\;{\big (}$ algébriques, trigonométriques, logarithmes ou exponentielles ${\big )}$ $\;\ldots$
↑ En accord avec le fait que l'ellipse de centre $\;O$ , de demi-grand axe $\;a\;$ image du cercle de centre $\;O$ , de rayon $\;a\;$ par « affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k $\;={\dfrac {b}{a}}\;$ » $\;{\big [}$ la définition de l'affinité étant exposée dans le paragraphe « affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ est d'une part situé intégralement à l'intérieur du cercle et d'autre part d'autant plus proche de $\;x'x\;$ que $\;e\;$ est plus grand.

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Th. de Taylor-Young et DL d'une fonct. d'une var. au voisin. d'une de ses valeurs

Divers repérages d'un point dans l'espace

[Riemann-1] 1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 ^1,10 et ^1,11 Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse $\;{\big (}$ partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration ${\big )}\;$ et à la géométrie différentielle $\;{\big (}$ partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps ${\big )}$ .

[2] Mais attention $\;f\;$ n'est pas nécessairement continue en $\;x_{i}\;\;\forall \,i\;$ car $\;f(x_{i}^{+})\;$ peut être $\;\neq \;$ de $\;f(x_{i}^{-})$ .

[3] Ce n'est pas une nécessité d'où le qualificatif « particulière » donné par la suite à la somme de Riemann.

[4] Mais il en est de même de toutes les sommes de Riemann possibles.

[5] Voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente (conséquence) » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[6] Prendre une primitive si $\;n\in \mathbb {N} \;$ augmentant le degré du monôme d'une unité, ce résultat se généralisant à toute valeur de $\;\mathbb {Z} \;$ à l'exception de $\;n=-1$ , $\;{\dfrac {1}{x}}\;$ admettant $\;\ln |x|\;$ comme primitive.

[7] Car on connaît une primitive de $\;{\dfrac {1}{1+u^{2}}}\;$ qui est $\;\arctan(u)$ , voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangente : fonction arctangente (conséquence) » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[8] Il n'est pas toujours nécessaire de baptiser effectivement cette nouvelle variable $-$ même si mathématiquement c'est préférable $-$ on peut la laisser sous la forme $\;{\dfrac {x}{a}}\;$ pour gagner du temps et c'est ce qu'on va faire.

[9] N'ayant pas baptisé la nouvelle variable mais ayant laissé $\;{\dfrac {x}{a}}\;$ pour gagner du temps, les bornes restent celles de la variable $\;x\;$ et non celles de la nouvelle variable non baptisée.

[10] Il est possible de vérifier ce résultat par des considérations de dimensions ; supposons que $\;x\;$ et $\;a\;$ représentent des longueurs, il en sera de même de $\;dx\;$ et par suite $\;{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}\;$ s'exprimera en $\;m^{-1}\;$ ainsi que $\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}$ ; le résultat doit donc aussi être en $\;m^{-1}\;$ ce qui est le cas avec $\;{\dfrac {1}{a}}\,\arctan \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)$ .

[11] Noter que la présence de $\;\cos(2\,x)\;$ suggère de prendre $\;2\,x\;$ comme nouvelle variable, on en fait donc apparaître la différentielle $\;d(2\,x)=$ $2\,dx\;$ mais en faisant cela on commet une erreur relativement à $\;dx\;$ d'où la division de $\;d(2\,x)\;$ par $\;2$ .

[12] Les primitives de la fonction $\;\exp(x)\;$ étant $\;\exp(x)+cste$ .

[I.p.p.-13] Cette méthode sera vue dans le cours de mathématiques.

[14] Cela résultant de $\;{\dfrac {d\!\left[u(x)\,V(x)\right]}{dx}}=u'(x)\,V(x)+u(x)\,V'(x)=u'(x)\,V(x)+u(x)\,v(x)\;$ dont on tire $\;u(x)\,v(x)=$ ${\dfrac {d\!\left[u(x)\,V(x)\right]}{dx}}-u'(x)\,V(x)\;$ et finalement, par intégration, la relation énoncée précédemment.

[15] On choisit la primitive la plus simple $\;\ldots$

[16] Quotient irréductible de deux polynômes exprimés à l'aide d'une variable.

[17] C.-à-d. les racines du polynôme dénominateur $\;{\big (}$ les racines du polynôme numérateur définissant les racines de la fonction rationnelle ${\big )}$ ).

[18] Ce qui rend rapide cette méthode c'est qu'elle peut se faire en calcul mental.

[19] Les primitives de $\;{\dfrac {1}{u}}\;$ étant $\;\ln \!\vert u\vert \,+cste$ .

[20] Évidemment il faudrait préciser ce qu'on entend mathématiquement par « longueur algébrique parcourue » $\ldots$ mais le but poursuivi ici se limite à donner une notion d'abscisse curviligne ;
physiquement on peut déterminer l'abscisse curviligne d'un point $\;M\;$ de $\;(\Gamma )\;$ à l'aide d'une ficelle dont on fixe une extrémité au point $\;A\;$ en lui faisant suivre la courbe points par points jusqu'au point $\;M$ , on repère alors le point $\;M\;$ sur la ficelle et on mesure la distance séparant ce repère et l'extrémité qui était fixée en $\;A\;$ après avoir tendu la ficelle, cette distance représentant la valeur absolue de l'abscisse curviligne du point $\;M$ ;
en ce qui concerne le signe de l'abscisse curviligne, suivant que le point $\;M\;$ est situé avant ou après l'origine $\;A\;$ relativement au sens « $\;+\;$ », l'abscisse curviligne de $\;M\;$ est $\;<0\;$ ou $\;>0$ .

[peu_fréquent-21] Cas peu fréquent.

[exemple_de_courbes_ouvertes_sans_points_multiples-22] Exemple de courbe plane ouverte $\;{\big [}$ droite, parabole, branche d'hyperbole $\;{\big (}$ attention l'hyperbole n'est pas une courbe continue mais constituée de deux branches continues ${\big )}{\big ]}$ ,
exemple de courbe gauche ouverte $\;{\big [}$ hélice circulaire ou autres hélices ${\big ]}\;$ $\ldots$

[23] Correspondance entre deux ensembles qui relie un élément quelconque d'un ensemble ou de l'autre à un et un seul élément de l'ensemble restant.

[cycle-24] 24,0 ^24,1 ^24,2 et ^24,3 L'appellation « cycle » est personnelle d'où les guillemets.

[exemple_de_courbe_plane_fermée-25] Exemple de courbe plane fermée $\;{\big [}$ ellipse dont son cas particulier le cercle ${\big ]}$ .

[26] $\;n\;$ étant le nombre de tours algébrique entre l'abscisse curviligne et sa détermination principale.

[point_anguleux-27] 27,0 ^27,1 ^27,2 ^27,3 ^27,4 ^27,5 et ^27,6 En un point anguleux d'une courbe continue on définit deux tangentes ne coïncidant pas, l'une à gauche et l'autre à droite, pour un point non anguleux il n'existe donc qu'une seule tangente.

[28] On utilise « la propriété de la différentielle appliquée à un champ vectoriel d'une variable, valable dans la mesure où $\;ds\;$ est un infiniment petit » $\;{\big [}$ la définition quant à elle étant rappelée dans le paragraphe « définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .

[29] Car la différentielle est en fait indépendante du choix de $\;O$ .

[30] La plupart des courbes continues n'ont pas de points anguleux.

[31] Mais pratiquement ce cas est rarement envisagé.

[32] « Petit déplacement » et non déplacement élémentaire car $\;\delta s\;$ est petit mais non infiniment petit.

[33] Définition géométrique de la tangente à une courbe $\;(\Gamma )\;$ en un point $\;M$ .

[34] Ce qui est le cas car $\;M''\;$ devient $\;M'\;$ lequel est infiniment proche de $\;M$ .

[35] En effet nous avons montré que la direction de la sécante $\;(MM'')\;$ tendait vers la direction tangente à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ mais le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ pourrait être nul en des points particuliers de celle-ci $\ldots$

[36] Ce vecteur est unique car le point $\;M\;$ est non anguleux, en un point $\;M\;$ anguleux on définirait un vecteur à gauche $\;{\vec {\tau }}^{-}\;$ et un autre à droite $\;{\vec {\tau }}^{+}\;$ $\ldots$

[37] Nous n'introduisons pour l'instant que ce vecteur, les deux autres le seront quand cela sera nécessaire, voir le paragraphe « en complément, repérage de Frenet d'un point sur une courbe » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » plus précisément les sous-paragraphes « rappel, notion d'abscisse curviligne d'un point et de vecteur unitaire tangentiel, 1^er vecteur de la base locale de Frenet associée » et « 2^ème et 3^ème vecteurs de la base locale de Frenet associée à un point de la courbe étudiée » .
Le qualificatif « local » signifie que la base dépend du point $\;M\;$ contrairement à une base cartésienne.
Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet $\;{\big [}$ Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules ${\big ]}$ .

[38] Ceci est en accord avec le fait que ces deux vecteurs sont tangents à la courbe en $\;M$ , $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ étant dans le sens de $\;{\vec {\tau }}\;$ ${\big (}$ respectivement dans le sens contraire ${\big )}$ pour $\;ds>0\;$ ${\big (}$ respectivement pour $\;ds<0{\big )}\;$ c.-à-d. pour un déplacement se faisant dans le sens « $\;+\;$ » $\;{\big (}$ respectivement dans le sens contraire ${\big )}$ ;
d'autre part en prenant la norme de cette relation on obtient $\;\left\Vert {\overrightarrow {dM}}\right\Vert =\vert ds\vert \,\left\Vert {\vec {\tau }}\right\Vert \;$ ou $\;\left\Vert {\overrightarrow {dM}}\right\Vert =\vert ds\vert \;$ ${\big (}$ le vecteur $\;{\vec {\tau }}\;$ étant unitaire ${\big )}$ signifiant que la norme du vecteur déplacement s'identifie à la valeur absolue de l'arc de courbe élémentaire ;
si on considère un déplacement petit mais non élémentaire avec $\;M''\;$ proche mais non infiniment proche de $\;M$ , $\;\left\Vert {\overrightarrow {MM''}}\right\Vert \;$ est la longueur de la corde et $\;\vert \delta s\vert \;$ la longueur de l'arc de courbe, la 1^ère étant légèrement inférieure à la 2^nde c.-à-d. $\;\left\Vert {\overrightarrow {MM''}}\right\Vert \lesssim \vert \delta s\vert$ , $\ldots \;$ quand on fait tendre $\;M''\;$ vers $\;M$ , la différence entre les deux tend vers $\;0\;$ ce que traduit $\;\left\Vert {\overrightarrow {dM}}\right\Vert =\vert ds\vert$ .

[39] Mathématiquement la relation « $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}(s)\;$ caractérisant la courbe $\;(\Gamma )\;$ définit l'équation vectorielle paramétrique de cette dernière », la définition du vecteur déplacement élémentaire en un point $\;M\;$ non anguleux peut alors se réécrire, en divisant les deux membres par $\;ds$ , « $\;{\dfrac {\overrightarrow {dM}}{ds}}={\vec {\tau }}\;$ » ou, $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ étant la différentielle de $\;{\overrightarrow {OM}}$ , « $\;{\vec {\tau }}={\dfrac {d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]}{ds}}={\dfrac {d{\vec {r}}}{ds}}(s)\;$ » ;
en fait la relation « $\;{\vec {\tau }}={\dfrac {d{\vec {r}}}{ds}}(s)\;$ » sert de définition mathématique au 1^er vecteur de la base $\;{\big (}$ locale ${\big )}\;$ de Frenet ${\big [}$ le vecteur $\;{\vec {\tau }}(s)\;$ peut donc s'obtenir en dérivant par rapport $\;s\;$ l'équation vectorielle paramétrique de la courbe $\;{\overrightarrow {OM}}={\vec {r}}(s){\big ]}$ ;
Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet $\;{\big [}$ Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules ${\big ]}$ .

[40] Exemples $\;{\big (}$ liste évidemment non exhaustive ${\big )}$ : les vecteurs champ électrique $\;{\vec {E}}(M)$ , champ magnétique $\;{\vec {B}}(M)\;$ ou les vecteurs forces dépendant uniquement de l'espace $\;{\vec {F}}(M)$ .

[41] Dans le cas où la fonction vectorielle de l'espace est un vecteur force $\;{\vec {F}}(M)$ , sa circulation élémentaire le long de la courbe continue $\;(\Gamma )\;$ est appelée « travail élémentaire de la force le long de la courbe » et est notée « $\;\delta W_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]={\vec {F}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$ ».

[42] Dans le cas d'un point $\;M\;$ anguleux, y définissant deux vecteurs déplacements élémentaires l'un à gauche « $\;{\overrightarrow {dM^{-}}}\;$ » et l'autre à droite « $\;{\overrightarrow {dM^{+}}}\;$ », on peut définir, en correspondance, deux circulations élémentaires l'une à gauche « $\;\delta ^{-}{\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM^{-}}}\;$ » et l'autre à droite « $\;\delta ^{+}{\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM^{+}}}\;$ ».

[Frenet-43] 43,0 et ^43,1 Jean Frédéric Frenet (1816 - 1900) est un mathématicien, astronome et météorologue français à qui on doit six des neuf formules de géométrie différentielle associées au trièdre (ou base) de Serret-Frenet $\;{\big [}$ Joseph-Alfred Serret (1819 - 1885) mathématicien et astronome français ayant trouvé indépendamment ces formules ${\big ]}$ .

[vecteur_unitaire_tangentiel-44] Voir le paragraphe « définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet » plus haut dans ce chapitre.

[45] C.-à-d. le produit d'une fonction scalaire de l'unique variable $\;s\;$ par l'élément différentiel de cette variable $\;ds$ , cette notion de forme différentielle d'une variable étant introduite au paragraphe « définition d'une forme différentielle des variables indépendantes x, y, z » du chap. $28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $\;{\big [}$ mais restant valable quel que soit le nombre de variables indépendantes y compris dans le cas d'une seule variable ${\big ]}$ .
Usuellement une forme différentielle de plusieurs variables indépendantes n'est pas une différentielle de fonction de ces variables indépendantes $\;{\big [}$ voir le paragraphe « distinction entre une forme différentielle et une différentielle de fonction scalaire (exposée dans le cas de deux variables indépendantes) » du chap. $28$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ d'où la notation particulière utilisant le préfixe $\;\delta \;$ et non l'opérateur $\;d()$ ;
dans le cas d'une seule variable, il est rare d'utiliser la notion de forme différentielle car le plus souvent celle-ci s'avère être une différentielle de fonction scalaire de la variable $\;{\big [}$ voir le paragraphe « différentielle d'une fonction scalaire d'une variable » du chap. $4$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , il suffit pour cela que la fonction scalaire, cœfficient de l'élément différentiel de la variable dans la forme différentielle, soit intégrable $\;\ldots$

[vectorielle-46] Pouvant être vectorielle.

[47] Nous supposons la courbe paramétrée géométriquement par l'abscisse curviligne $\;s\;$ de ses points, mais il pourrait y avoir un autre paramétrage et même ne pas y avoir de paramétrage comme dans le cas des intégrales curvilignes du 2^ème type.

[48] On a aussi le cas $\;{\big (}$ plus rare ${\big )}\;$ de contribution élémentaire d'une fonction vectorielle $\;{\vec {A}}_{\mathit {l}}(M)\;$ donnant « $\;\delta {\vec {\mathcal {A}}}={\vec {A}}_{\mathit {l}}(M)\;ds\;$ » où « $\;{\vec {A}}_{\mathit {l}}(M)\;$ est la densité linéique du champ vectoriel $\;{\vec {\mathcal {A}}}_{(\Gamma )}\;$ » $\Leftrightarrow$ « $\;{\vec {A}}_{\mathit {l}}(M)$ $={\dfrac {\delta {\vec {\mathcal {A}}}}{ds}}\;$ », l'intégrale s'écrivant « $\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {A}}_{\mathit {l}}\!\left[M(s)\right]ds\;$ ».

[49] Par exemple si $\;f(M)={\dfrac {dm}{ds}}\;$ correspondant à une densité linéique de masse $\;{\big (}$ ou masse linéique ${\big )}\;$ exprimée en $\;kg\!\cdot \!m^{-1}$ , l'intégrale curviligne définit la masse de la portion de courbe entre les deux positions extrêmes ;
Par exemple si $\;f(M)=1\;$ sans unité, l'intégrale curviligne définit la longueur de la portion de courbe entre les deux positions extrêmes.

[50] Dans le cas où la fonction vectorielle de l'espace serait un vecteur force $\;{\vec {F}}(M)$ , l'intégrale curviligne définit « le travail de la force le long de $\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$ » noté « $\;W_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {F}}(M)\right]\;$ ».

[51] À condition que l'on sache la calculer $-$ ce qui sera le cas pour les courbes les plus simples comme les droites ou les cercles.

[52] Ou, dans le cas $\;{\big (}$ plus rare ${\big )}\;$ de contribution élémentaire d'une fonction vectorielle $\;{\vec {A}}_{\mathit {l}}(M)\;$ ${\big [}$ voir la note « ⁴⁸ » plus haut dans ce chapitre ${\big ]}\;$ « $\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {A}}_{\mathit {l}}\!\left[M(s)\right]ds=\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}{\vec {A}}_{\mathit {l}}\!\left[M(s)\right]ds\;$ ».

[53] Une « longueur de portion de courbe » $\;{\big (}$ sans autre qualificatif ${\big )}\;$ est en général non algébrisée $\;{\big (}$ dans le cas contraire on l'appellera « longueur algébrisée de portion de courbe » ${\big )}$ ; la méthode de calcul d'une longueur de portion de courbe $\;{\big (}$ donc non algébrisée ${\big )}\;$ introduisant une longueur d'arc élémentaire algébrique, il est donc essentiel, pour obtenir une longueur positive, de faire varier le paramètre choisi dans le sens croissant de sa variation.

[54] Pour les autres, l'utilisation étant trop rare pour nécessiter de retenir le résultat $\;{\big (}$ quand celui-ci a été établi ${\big )}$ , seule la méthode pour l'établir $\;{\big (}$ ou tenter de l'établir ${\big )}\;$ doit être connue.

[55] La longueur du cercle étant un cas particulier de celle d'un arc de cercle avec $\;\alpha =2\,\pi$ .

[ds_d'un_cercle-56] 56,0 et ^56,1 En effet « $\;\vert ds\vert ={\Big \Vert }{\overrightarrow {dM}}{\Big \Vert }=\Vert R\;d\theta \;{\vec {u}}_{\theta }\Vert =R\;\vert d\theta \vert \;$ » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ soit, en faisant correspondre le sens « $\;+\;$ » sur $\;\left({\mathcal {C}}\right)\;$ et celui des angles du plan du cercle, « $\;ds=R\;d\theta \;$ » qui sera $\;>0\;$ si $\;\theta \,\nearrow$ .

[intégrale_curviligne_sur_une_courbe_fermée-57] 57,0 et ^57,1 on note l'intégrale curviligne en ajoutant un $\;O\;$ sur l'intégrale simple quand celle-ci se fait sur une courbe fermée selon « $\;\oint \;$ ».

[58] Le point générique $\;M\;$ de la parabole $\;({\mathcal {P}})\;$ ayant ses coordonnées $\;(x\,,\,y)\;$ liées par l'équation cartésienne dans le plan $\;xOy\;$ de la parabole $\;({\mathcal {P}})\;$ soit $\;y=a\;x^{2}\;$ et
le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ le long de $\;({\mathcal {P}})\;$ à partir de $\;M\;$ se définissant par $\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+dy\;{\vec {u}}_{y}\;$ se réécrit $\;{\overrightarrow {dM}}=dx\;{\vec {u}}_{x}+y'(x)\;dx\;{\vec {u}}_{y}=\left[{\vec {u}}_{x}+y'(x)\,{\vec {u}}_{y}\right]dx\;$ dans lequel $\;y'(x)\;$ est la dérivée par rapport à $\;x\;$ de l'équation cartésienne de la parabole soit $\;y'(x)=2\;a\;x$ .
Voir aussi le paragraphe « application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe (en représentation cartésienne) » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[fonctions_hyperboliques_directes-59] 59,0 et ^59,1 Voir les paragraphes « sinus hyperbolique », « cosinus hyperbolique » et « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique » du chap. $27$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[fonctions_hyperboliques_inverses-60] Voir le paragraphe « fonction argument sinus hyperbolique » du chap. $27$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[relation_de_duplication_en_trigonométrie_hyperbolique-61] 61,0 et ^61,1 Voir le paragraphe « relations d'addition et de duplication (en trigonométrie hyperbolique) » du chap. $27$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[lien_entre_cosinus_et_sinus_hyperboliques-62] Voir le paragraphe « liens entre cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique » du chap. $27$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[forme_logarithmique_de_argument_sinus_hyperbolique-63] Voir le paragraphe « fonction argument sinus hyperbolique (forme logarithmique) » du chap. $27$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[64] On vérifie l'homogénéité du résultat, $\;2\;a\;x_{0}\;$ étant sans dimension et $\;a\;$ homogène à l'inverse d'une longueur.

[justification_du_nom_spirale_logarithmique-65] 65,0 et ^65,1 « La fonction $\;f(\theta )=\exp \!\left(k\;\theta \right)\;$ ayant pour logarithme $\;\ln \!\left[f(\theta )\right]=k\;\theta \;$ » peut se réécrire, on posant « $\;k=\ln(b)\;$ $\Rightarrow$ $\;\ln \!\left[f(\theta )\right]=\theta \;\ln(b)=\ln \!\left[b^{\theta }\right]\;$ », selon « $\;f(\theta )=b^{\theta }\;$ ».

[vecteur_déplacement_élémentaire_en_cylindro-polaire-66] Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cylindro-polaire » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[67] De cette expression de vecteur déplacement élémentaire le long de la spirale logarithmique $\;({\mathcal {S}}p)\;$ nous en déduisons l'inclinaison locale de ce dernier relativement au vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ soit « $\;\alpha =$ ${\widehat {\left\lbrace {\overrightarrow {OM}}\,,\,{\overrightarrow {dM}}\right\rbrace }}={\widehat {\left\lbrace {\vec {u}}_{\rho }\color {transparent}{\Big [}\color {black},\;\left[k\;{\vec {u}}_{\rho }+{\vec {u}}_{\theta }\right]\,d\theta \right\rbrace }}\;$ » ou, $\;d\theta \;$ étant $\;>0$ , « $\;\alpha =\arctan \!\left({\dfrac {1}{k}}\right)=cste\;$ » ${\big [}$ voir le paragraphe « fonction inverse de la fonction tangent : fonction arctangente » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , ceci constituant une propriété de la spirale logarithmique $\;{\bigg \{}$ pour traduire cette propriété, l'équation polaire de la spirale logarithmique est parfois écrite en fonction de l'angle $\;\alpha \;$ constant d'inclinaison de sa tangente relativement au rayon vecteur $\Rightarrow$ « $\;k={\dfrac {1}{\tan(\alpha )}}=\cot(\alpha )\;$ » soit l'équation polaire sous la forme « $\;\rho =$ $\rho _{0}\;\exp \!\left[\cot(\alpha )\;\theta \right]\;$ » ${\bigg \}}$ .

[68] Cette longueur d'arc de spirale logarithmique $\;({\mathcal {S}}p)\;$ « diverge quand $\;\theta _{0}\rightarrow +\infty \;$ ».

[69] Tenant compte de la note « ⁶⁷ » exposée plus haut dans ce chapitre faisant intervenir l'angle $\;\alpha \;$ d'inclinaison de la tangente à la spirale logarithmique $\;({\mathcal {S}}p)\;$ relativement au rayon vecteur $\;{\big [}$ la tangente restant orientée dans le sens $\;+\;$ choisie sur $\;({\mathcal {S}}p)\;$ dans le sens des $\;\theta \nearrow {\big ]}\;$ $\Rightarrow$ « $\;k=\cot(\alpha )\;$ » $\;{\Big \{}$ l'équation polaire de $\;({\mathcal {S}}p)\;$ s'écrivant alors sous la forme « $\;\rho =\rho _{0}\;\exp \!\left[\cot(\alpha )\;\theta \right]\;$ » ${\Big \}}$ , la limite de la longueur de l'arc de la spirale logarithmique $\;({\mathcal {S}}p)\;$ quand $\;\theta _{0}\rightarrow -\infty \;$ peut se réécrire « $\;\lim \limits _{\theta _{0}\,\rightarrow \,-\infty }{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}=\rho _{0}\;{\dfrac {\sqrt {1+k^{2}}}{k}}=\rho _{0}\;{\dfrac {\sqrt {1+\cot ^{2}(\alpha )}}{\cot(\alpha )}}=\rho _{0}\;{\sqrt {{\dfrac {1}{\cot ^{2}(\alpha )}}+1}}=$ $\rho _{0}\;{\sqrt {\tan ^{2}(\alpha )+1}}\;$ » ou, avec $\;1+\tan ^{2}(\alpha )={\dfrac {1}{\cos ^{2}(\alpha )}}$ , « $\;\lim \limits _{\theta _{0}\,\rightarrow \,-\infty }{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}={\dfrac {\rho _{0}}{\cos(\alpha )}}\;$ » $\Rightarrow$ la longueur de l'arc de la spirale logarithmique $\;({\mathcal {S}}p)\;$ entre le point $\;A\,\left(\theta _{A}=0\right)\;$ et le point asymptotique $\;O\;$ vers lequel $\;({\mathcal {S}}p)\;$ spirale est finie, sa longueur étant égale à « $\;{\dfrac {OA_{0}}{\cos(\alpha )}}$ ».

[70] Voir le paragraphe « conséquence : équations paramétrique d'une ellipse de centre O, d'axes Ox et Oy » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », $\;\theta \;$ étant l'abscisse angulaire du point générique $\;M_{c}\;$ du cercle de centre $\;O\;$ et de rayon $\;a\;$ dont l'ellipse $\;({\mathcal {E}})\;$ est l'image par « affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k $\;={\dfrac {b}{a}}\;$ » $\;{\big [}$ la définition de l'affinité étant exposée dans le paragraphe « affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .

[vecteur_déplacement_élémentaire_en_cartésien-71] Voir le paragraphe « expression du vecteur déplacement élémentaire d'un point en repérage cartésien » du chap. $16$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[propriétés_d'une_ellipse-72] 72,0 et ^72,1 Voir le paragraphe « principales prorpiétés d'une ellipse (à retenir) » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[73] En effet la fonction à intégrer est invariante par translation de $\;\pi \;$ ${\big [}$ correspondant à $\;\theta '=\theta +\pi \;$ et $\;\cos(\theta ')=-\cos(\theta ){\big ]}\;$ $\Rightarrow$ $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta =\displaystyle \int _{\pi }^{2\,\pi }{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta ')}}\;d\theta '$ ,
En effet de plus, la fonction à intégrer est invariante par symétrie relativement à $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ ${\big [}$ correspondant à $\;\theta '=\pi -\theta$ , $\;d\theta '=-d\theta \;$ et $\;\cos(\theta ')=\cos(\theta ){\big ]}\;$ $\Rightarrow$ $\;\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta =$ $-\displaystyle \int _{\pi }^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta ')}}\;d\theta '=\displaystyle \int _{\frac {\pi }{2}}^{\pi }{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta ')}}\;d\theta '$ .

[non_évaluables_avec_les_fonctions_usuelles-74] 74,0 et ^74,1 Cette intégrale ne peut pas être évaluée en utilisant les fonctions usuelles $\;{\big (}$ algébriques, trigonométriques, logarithmes ou exponentielles ${\big )}$ $\;\ldots$

[75] En accord avec le fait que l'ellipse de centre $\;O$ , de demi-grand axe $\;a\;$ image du cercle de centre $\;O$ , de rayon $\;a\;$ par « affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k $\;={\dfrac {b}{a}}\;$ » $\;{\big [}$ la définition de l'affinité étant exposée dans le paragraphe « affinité d'axe x'x, de direction y'y et de rapport k » du chap. $11$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ est d'une part situé intégralement à l'intérieur du cercle et d'autre part d'autant plus proche de $\;x'x\;$ que $\;e\;$ est plus grand.

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