Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne

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Intégrale définie sur un intervalle fermé

Intégrabilité d'une fonction scalaire d'une variable réelle au sens de Riemann

Exemple de subdivision de l'intervalle d'intégration au sens de Riemann

     La fonction scalaire $\;f\;$ de la variable réelle $\;x\;$ définie sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable sur cet intervalle fermé
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable si elle y est continue par morceaux, c.-à-d.
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'« il existe une subdivision de l'intervalle d'intégration $\;\left[a\,{,}\,b\right]$,
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'«$\;a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{i}<\cdots <x_{n}=b\;$»
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'«pour laquelle «$\;f\;$ est continue sur les intervalles ouverts
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'«pour laquelle «$\;\color {transparent}{f}\;$ est continue sur$\;\left]x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right[\;\;\forall \,i\;$» avec
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'««$\;\lim \limits _{x\rightarrow x_{i}^{+}}\left[f(x)\right]=cste_{i}^{+}\;$ et $\;\lim \limits _{x\rightarrow x_{i+1}^{-}}\left[f(x)\right]=cste_{i+1}^{-}\;$»,
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'«l'existence de ces deux limites permettant de « prolonger
     La fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ est intégrable s'«la continuité de $\;f\;$ sur $\;\left[x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right]\;\;\forall \,i\;$».

Subdivision de l'intervalle d'intégration et définition des sommes de Riemann associées

Subdivision de l'intervalle $\left[a\,{,}\,b\right]$ et choix d'une somme de Riemann associée

     À partir de « la fonction scalaire $\;f\;$ de la variable réelle $\;x\;$ définie et intégrable sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$», on définit
     À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\bullet \;$une « subdivision de $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$», «$\;a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{i}<\cdots <x_{n}=b\;$
     À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$une « subdivision de $\;\color {transparent}{\left[a\,{,}\,b\right]}\;$», réalisant la division en $\;n\;$ parties égales » et
     À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\bullet \;$une « somme de Riemann $\;R_{n}=\sum \limits _{i=0}^{n-1}\left[f(c_{i})\,(x_{i+1}-x_{i})\right]\;$» avec «$\;c_{i}\;$ un élément quelconque
                À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$une « somme de Riemann $\;\color {transparent}{R_{n}=\left[f(c_{i})\,(x_{i+1}-x_{i})\right]}\;$» avec «$\;\color {transparent}{c_{i}}\;$ de $\;\left[x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right]\;$» que
     À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$nous choisirons en la « borne inférieure de l'intervalle » d'où «$\;c_{i}=a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\;$» $\Rightarrow$
     À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$la « somme de Riemann particulière définie par $\;R_{n}={\dfrac {b-a}{n}}\left[\sum \limits _{i=0}^{n-1}f\!\left(a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\right)\right]\;$» et
          À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$la « somme de Riemann particulière interprétée comme la « somme des aires des rectangles de
          À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$la « somme de Riemann particulière interprétée comme la « largeur commune $\;{\dfrac {b-a}{n}}\;$ et de
          À partir de « la fonction scalaire $\;\color {transparent}{f}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$la « somme de Riemann particulière interprétée comme la « hauteur $\;f\!\left(a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\right)\;$».

     On démontre que « la somme de Riemann choisie » admet une « limite finie » quand $\;n\rightarrow \infty$, limite qui définit l'intégrale de Riemann de la fonction sur l'intervalle d'intégration.

Définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé

Intégrale de Riemann de $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$

     Ayant défini « une subdivision de l'intervalle $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$ en $\;n\;$ parties égales » puis
     Ayant défini « une somme de Riemann $\;R_{n}={\dfrac {b-a}{n}}\left[\sum \limits _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\right]\;$ avec $\;c_{i}\;$ élément quelconque de $\;\left[x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right]\;$»,
     on démontre que « toutes les sommes de Riemann admettent une même limite quand $\;n\rightarrow \infty$, limite définissant
       on démontre que « toutes l'intégrale de Riemann de la fonction $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$ notée $\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$» soit
       on démontre que « toutes «$\;\lim \limits _{n\rightarrow \infty }\left\lbrace {\dfrac {b-a}{n}}\left[\sum \limits _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\right]_{c_{i}\,\in \,\left]x_{i}\,{,}\,x_{i+1}\right[}\right\rbrace =\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$».

Interprétation géométrique de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé

     Avec «$\;c_{i}=a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\;$», « la somme de Riemann associée peut être interprétée comme la somme des aires des rectangles de longueur de base $\;{\dfrac {b-a}{n}}\;$ et de hauteur $\;f\!\left(a+i\,{\dfrac {b-a}{n}}\right)\;$» ;
     aussi, « quand $\;n\rightarrow \infty \;$», « la somme de Riemann tendant vers l'intégrale de la fonction $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$» et
     aussi, « quand $\;\color {transparent}{n\rightarrow \infty }\;$», « la somme des aires des rectangles tendant vers l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, le graphe de la fonction ainsi que les droites $\;x=a\;$ et $\;x=b\;$»,
     nous concluons à l'interprétation géométrique suivante de l'intégrale de Riemann :

À retenir

     L'intégrale $\;{\big (}$de Riemann${\big )}\;$ de la fonction $\;f\;$ sur l'intervalle fermé $\;\left[a\,{,}\,b\right]\;$ notée $\;\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\;$ représente l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, le graphe de la fonction et les droites frontières$\;x=a\;$ et $\;x=b$.

Développement de quelques méthodes de calcul

     $\succ \;$Intégrer une fonction dont on connaît une primitive exemple $\;\displaystyle \int _{0}^{1}{\dfrac {dx}{1+x^{2}}}\;$ $=\left[\arctan(x)\right]_{0}^{1}=\arctan(1)-{\cancel {\arctan(0)}}={\dfrac {\pi }{4}}\;$ ou,
     $\color {transparent}{\succ \;}$Intégrer une fonction dont on devrait connaître une primitive malheureusement partiellement oubliée exemple $\;\displaystyle \int _{1}^{2}{\dfrac {dx}{x^{2}}}=\displaystyle \int _{1}^{2}x^{-2}\;dx$ : on se souvient qu'une primitive de $\;x^{n},\;n\in \mathbb {Z} \setminus \left\lbrace -1\right\rbrace \;$ est $A\;x^{n+1}\;$ en ayant oublié la valeur de $\;A$, pour la retrouver on dérive $\;A\;x^{n+1}\;$ ce qui donne $\;A\,(n+1)\,x^{n}\;$ à identifier à $\;x^{n}\;$ d'où $\;A={\dfrac {1}{n+1}}\;$ et par suite une primitive de $\;x^{n},\;n\in \mathbb {Z} \setminus \left\lbrace -1\right\rbrace \;$ est $\;{\dfrac {x^{n+1}}{n+1}}\;$ soit, dans le cas particulier où $\;n=-2$, une primitive de $\;x^{-2}\;$ est $\;{\dfrac {x^{-1}}{(-1)}}\;$ ou une primitive de $\;{\dfrac {1}{x^{2}}}\;$ est $\;{\dfrac {-1}{x}}\;$ conduisant à $\;\displaystyle \int _{1}^{2}{\dfrac {dx}{x^{2}}}=\left[-{\dfrac {1}{x}}\right]_{1}^{2}=-{\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {1}{1}}={\dfrac {1}{2}}$ ;

     $\succ \;$intégrer une fonction par changement de variable exemple $\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}$ : souhaitant avoir $\;1+u^{2}\;$ au dénominateur, on y met $\;a^{2}\;$ en facteur $\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}=\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}\left[1+\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!2}\right]}}=$ ${\dfrac {1}{a^{2}}}\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{1+\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!2}}}\;$ suggérant le changement de variable $\;u={\dfrac {x}{a}}\;$ ; on fait alors apparaître la différentielle de cette nouvelle variable au numérateur $\;\displaystyle \int {\dfrac {d\!\left({\dfrac {x}{a}}\right)}{1+\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!2}}}\;$ mais on se rend compte qu'en faisant ceci on introduit une erreur ${\bigg [}$car $\;d\!\left({\dfrac {x}{a}}\right)={\dfrac {dx}{a}}\;$ et non $\;dx{\bigg ]}$ qu'il convient de corriger par un facteur multiplicatif $\;a\;$ soit $\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}={\dfrac {1}{a^{2}}}\;a\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {d\!\left({\dfrac {x}{a}}\right)}{1+\left({\dfrac {x}{a}}\right)^{\!2}}}\;$ $={\dfrac {1}{a}}\left[\arctan \!\left({\dfrac {x}{a}}\right)\right]_{0}^{a}\;$ donnant finalement $\;\displaystyle \int _{0}^{a}{\dfrac {dx}{a^{2}+x^{2}}}={\dfrac {1}{a}}\left[\arctan(1)-{\cancel {\arctan(0)}}\right]={\dfrac {\pi }{4\,a}}$ ;

     $\succ \;$intégrer une fonction trigonométrique en linéarisant$\;{\big (}$quand cela est possible${\big )}\;$ exemple $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{2}(x)\,dx\;$ avec $\;\sin ^{2}(x)={\dfrac {1-\cos(2\,x)}{2}}\;$ $\Rightarrow$ $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{2}(x)\,dx=\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {1-\cos(2\,x)}{2}}\,dx=$ $\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {dx}{2}}-\displaystyle \int _{0}^{\pi }{\dfrac {\cos(2\,x)}{2}}\,dx={\dfrac {\pi }{2}}-{\dfrac {1}{2}}\,\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos(2\,x)\,{\dfrac {d(2\,x)}{2}}\;$ ce qui donne finalement $\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{2}(x)\,dx={\dfrac {\pi }{2}}-{\dfrac {1}{4}}\,{\cancel {\left[\sin(2\,x)\right]_{0}^{\pi }}}={\dfrac {\pi }{2}}$ ;

     $\succ \;$intégrer un produit de fonctions par parties$\;{\big (}$dans le but d'aboutir à une intégrale plus simple${\big )}\;$ exemple $\;\displaystyle \int _{0}^{1}x\,\exp(x)\,dx\;$ dans laquelle il serait souhaitable d'arriver à une intégrale du type $\;\displaystyle \int \exp(x)\,dx\;$ sachant qu'on connaît une primitive de la fonction $\;\exp(x)\;$ et pour cela considérer la fonction à intégrer $\;x\;\exp(x)\;$ comme le produit de fonctions $\;x\;$ et $\;\exp(x)\;$ de façon à appliquer la méthode d'intégration par parties $\;{\big (}$ou I.p.p.${\big )}\;$ exposée ci-dessous ;

exposé de la méthode d'intégration par parties (ou I.p.p.)

     Si on doit « calculer $\;\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)\,v(x)\,dx\;$ en connaissant une primitive de $\;v(x)\;$ notée $\;V(x)\;$», on peut écrire «$\;\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)\,v(x)\,dx=$ $\left[u(x)\,V(x)\right]_{a}^{b}-\displaystyle \int _{a}^{b}u'(x)\,V(x)\,dx\;$».

     $\color {transparent}{\succ }\;$intégrer un produit de fonctions par parties$\;\color {transparent}{\big (}$dans le but d'aboutir à une intégrale plus simple$\color {transparent}{big)}\;$ exemple ici on pose «$\;u(x)=x\;$ $\Rightarrow$ $\;u'(x)=1\;$» et «$\;v(x)=\exp(x)\;$ $\Rightarrow$ $\;V(x)=\exp(x)\;$» d'où $\;\displaystyle \int _{0}^{1}x\,\exp(x)\,dx=\left[x\,\exp(x)\right]_{0}^{1}-\displaystyle \int _{0}^{1}\exp(x)\,dx=\left[x\,\exp(x)\right]_{0}^{1}-\left[\exp(x)\right]_{0}^{1}=e-e=0$ ;

     $\succ \;$intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples exemple $\;\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x^{2}-a^{2}}}$ : la fonction rationnelle $\;{\dfrac {1}{x^{2}-a^{2}}}\;$ de pôles connus $\;\left\lbrace -a,\,+a\right\rbrace \;$ se décompose en éléments simples $\;{\dfrac {A}{x-a}}\;$ et $\;{\dfrac {B}{x+a}}\;$ c.-à-d. $\;{\dfrac {1}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {A}{x-a}}+{\dfrac {B}{x+a}}\;$ avec $\;A\;$ et $\;B\;$ constantes réelles à déterminer selon la méthode exposée ci-dessous sur l'exemple ;

façon la plus rapide pour déterminer la décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples

     La façon la plus rapide pour déterminer les constantes réelles $\;A\;$ et $\;B\;$ de la décomposition «$\;{\dfrac {1}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {A}{x-a}}+{\dfrac {B}{x+a}}\;$» est
     de multiplier les deux membres par $\;x-a\;$ ${\big (}$respectivement $\;x+a{\big )}\;$ et d'y faire $\;x=a\;$ ${\big (}$respectivement $\;x=-a{\big )}\;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {(x-a)}{x^{2}-a^{2}}}=A+{\dfrac {B\,(x-a)}{x+a}}\Leftrightarrow {\dfrac {1}{x+a}}=A+{\dfrac {B\,(x-a)}{x+a}}\quad {\text{on y fait }}x=a\Rightarrow {\dfrac {1}{2\,a}}=A+{\cancel {\left[{\dfrac {B\,(x-a)}{x+a}}\right]_{x=a}}}\\{\dfrac {(x+a)}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {A\,(x+a)}{x-a}}+B\Leftrightarrow {\dfrac {1}{x-a}}={\dfrac {A\,(x+a)}{x-a}}+B\quad {\text{on y fait }}x=-a\Rightarrow {\dfrac {-1}{2\,a}}={\cancel {\left[{\dfrac {A\,(x+a)}{x-a}}\right]_{x=-a}}}+B\end{array}}\right\rbrace \;$.

          $\color {transparent}{\succ }\;$intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples exemple ici on obtient «$\;{\dfrac {1}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {1}{2\;a}}\left\lbrace {\dfrac {1}{x-a}}-{\dfrac {1}{x+a}}\right\rbrace \;$» d'où la réécriture de l'intégrale en $\;\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x^{2}-a^{2}}}=$ ${\dfrac {1}{2\,a}}\left[\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x-a}}-\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x+a}}\right]\;$ $={\dfrac {1}{2\,a}}\left\lbrace \left[\ln \!\left\vert x-a\right\vert -\ln \!\left\vert x+a\right\vert \right]_{2\,a}^{3\,a}\right\rbrace ={\dfrac {1}{2\,a}}\left[\ln \!\left\vert {\dfrac {x-a}{x+a}}\right\vert \right]_{2\,a}^{3\,a}\;$ soit finalement $\;\displaystyle \int _{2\,a}^{3\,a}{\dfrac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\dfrac {1}{2\,a}}\left[\ln \!\left({\dfrac {2}{4}}\right)-\ln \!\left({\dfrac {1}{3}}\right)\right]={\dfrac {1}{2\,a}}\,\ln \!\left({\dfrac {3}{2}}\right)$ ;

     $\succ \;$ $\ldots$

Notion d'abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue

Distinction courbe plane - courbe gauche

     Une courbe plane est une courbe contenue dans un plan ; exemples : droite, conique $\;{\big (}$c.-à-d. ellipse dont son cas particulier le cercle, parabole, hyperbole${\big )}\;$ et bien d'autres encore ;

     une courbe gauche est une courbe qui n'est pas plane ; exemples : parmi les courbes gauches classiques il n'y a pratiquement que les hélices $\;{\big (}$la plus connue étant l'hélice circulaire, courbe inscrite sur un cylindre de révolution telle que la tangente en chacun des points de l'hélice a une direction de même inclinaison par rapport à l'axe du cylindre${\big )}$, mais on peut en trouver d'autres plus sophistiquées comme une succession de trois segments non coplanaires $\ldots$

Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue

     Sur une courbe continue $\;(\Gamma )\;$ plane ou gauche, choisissant arbitrairement un sens «$\;+\;$» et une origine $\;A\;$ de mesure des abscisses curvilignes,
     Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ plane ou gauche, on repère le point générique $\;M\;$ de $\;(\Gamma )\;$ par le nombre réel égal à la longueur algébrique parcourue dans le sens «$\;+\;$» sur $\;(\Gamma )\;$ depuis l'origine $\;A\;$,
     Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ plane ou gauche, on repère le point générique $\;\color {transparent}{M}\;$ de $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ par le nombre réel égal à la longueur algébrique appelé « abscisse curviligne du point $\;M\;$ et noté $\;s\;$» ;
     « l'abscisse curviligne de $\;M\;$ sur $\;(\Gamma )\;$ est donc défini par $\;s={\overset {\curvearrowright }{AM}}\;$», « la distance non algébrisée séparant $\;A\;$ de $\;M\;$ sur $\;(\Gamma )\;$ étant $\;\vert s\vert ={\overset {\frown }{AM}}\;$».

Propriétés de biunivocité entre la courbe et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes possibles

Cas d'une courbe ouverte

     Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, on ne repasse jamais par un même endroit, ou
     Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, on repasse au moins une fois en une ou plusieurs positions particulières avant de poursuivre ;

     Définition : nous appellerons par la suite « courbe ouverte » une courbe du 1^er type, celle du 2^ème type étant qualifiée de « courbe ouverte avec points multiples »

     Dans le cas d'une « courbe ouverte$\;{\big (}$sans points multiples${\big )}\;$», « chaque valeur de $\;s\;$ localise une position unique de $\;M\;$ sur la courbe et réciproquement »,
           Dans le cas d'une « courbe ouverte$\;\color {transparent}{\big (}$sans points multiples$\color {transparent}{\big )}\;$», il y a donc « biunivocité » entre la courbe $\;(\Gamma )\;$ et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes des points de $\;(\Gamma )$.

Cas d'une courbe fermée

     Définition : Une courbe est fermée si, en suivant continûment la courbe à partir de n'importe quel endroit sans rebrousser chemin, on repasse au moins une fois par l'endroit de départ et, de façon cyclique
     Définition : Une courbe est fermée si, en suivant continûment la courbe à partir de n'importe quel endroit sans rebrousser chemin, et ordonnée, indéfiniment par toutes les positions précédentes ;
     Définition : une courbe fermée décrite sans rebrousser chemin est une succession minimale de positions constituant un « cycle », la description du point générique de la courbe fermée étant
                        Définition : une courbe fermée décrite sans rebrousser chemin est une succession minimale de positions constituant un « cycle », celle du point générique du « cycle » répétée à l'infini ;
     Définition : il peut exister une ou plusieurs positions particulières du « cycle » d'une courbe fermée en lesquelles le point générique repasse au moins une fois lors de sa description du « cycle »,
           Définition : il peut exister une ou plusieurs positions particulières du « cycle » d'une courbe fermée en lesquelles le point générique repasse on parle alors de « courbe fermée avec points multiples » ;
     Définition : nous appellerons par la suite « courbe fermée » une courbe fermée sans points multiples.

     Remarque : d'après la définition ci-dessus et celle du paragraphe « cas d'une courbe ouverte (définition) » plus haut dans ce chapitre, une courbe est soit « ouverte » soit « fermée ».

     Dans le cas d'une « courbe fermée$\;{\big (}$sans points multiples${\big )}\;$», « chaque valeur de $\;s\;$ localise une position unique de $\;M\;$ sur la courbe » mais
           Dans le cas d'une « courbe fermée$\;\color {transparent}{\big (}$sans points multiples$\color {transparent}{\big )}\;$», « à chaque position de $\;M\;$ il existe une infinité de valeurs de $\;s\;$ séparées entre elles d'un multiple d'une grandeur correspondant à la
           Dans le cas d'une « courbe fermée$\;\color {transparent}{\big (}$sans points multiples$\color {transparent}{\big )}\;$», « à chaque position de $\;\color {transparent}{M}\;$ il existe une infinité de valeurs de $\;\color {transparent}{s}\;$ séparées entre elles d'un multiple longueur $\;{\mathcal {L}}\;$ de la courbe fermée »
           Dans le cas d'une « courbe fermée$\;\color {transparent}{\big (}$sans points multiples$\color {transparent}{\big )}\;$», ${\big [}$il y a donc périodicité de la fonction $\;f\;$ qui à $\;s\;$ fait correspondre un point $\;M\;$ de la courbe, la période étant égale à $\;{\mathcal {L}}{\big ]}$ ;
           Dans le cas d'une « courbe fermée$\;\color {transparent}{\big (}$sans points multiples$\color {transparent}{\big )}\;$», pour retrouver une « biunivocité » entre la courbe$\;(\Gamma )\;$et un ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes des points de $\;(\Gamma )$,
           Dans le cas d'une « courbe fermée$\;\color {transparent}{\big (}$sans points multiples$\color {transparent}{\big )}\;$», on restreint le domaine de définition de la fonction$\;f\;$ avec une détermination principale de l'abscisse curviligne$\;s_{\text{princ}}\in \left]-{\dfrac {\mathcal {L}}{2}}\,{,}\,{\dfrac {\mathcal {L}}{2}}\right]$,
           Dans le cas d'une « courbe fermée$\;\color {transparent}{\big (}$sans points multiples$\color {transparent}{\big )}\;$», on restreint le domaine de définition de la fonction$\;\color {transparent}{f}\;$ avec l'abscisse curviligne prenant les avaleurs $\;s\left\lbrace {\begin{array}{l}\equiv s_{\text{princ}}{\pmod {\mathcal {L}}}\;{\text{ou}}\\=s_{\text{princ}}+n\,{\mathcal {L}},\;n\in \mathbb {Z} \end{array}}\right\rbrace \;$.

Vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue

Définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue

Introduction au vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe

     On réalise un paramétrage géométrique de la courbe $\;(\Gamma )\;$ par abscisse curviligne, $\;M\;$ étant la position d'un point $\;{\big (}$non « anguleux »${\big )}\;$ d'abscisse curviligne $\;s\;$ et $\;M'\;$ sa position d'abscisse curviligne infiniment proche $\;s+ds$,
     le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ du point $\;M\;$ d'abscisse curviligne $\;s\;$ est défini par
     le vecteur déplacement élémentaire «$\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {OM'}}-{\overrightarrow {OM}}\;$» soit encore «$\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {OM}}(s+ds)-{\overrightarrow {OM}}(s)\;$» c.-à-d.
     le vecteur déplacement élémentaire « la différentielle du vecteur position $\;{\overrightarrow {OM}}\;$ du point $\;M\;$» d'où une autre expression de la définition
     du vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ du point $\;M\;$ «$\;{\overrightarrow {MM'}}=d\!\left[{\overrightarrow {OM}}\right]\;$» usuellement noté «$\;{\overrightarrow {dM}}\;$».

     Remarque : Pour un point $\;M\;$ anguleux de la courbe $\;(\Gamma )\;$ on définit deux vecteurs déplacement élémentaire suivant que le déplacement
          Remarque : Pour un point $\;\color {transparent}{M}\;$ anguleux de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on définit deux vecteurs envisagé est à gauche « définissant $\;{\overrightarrow {dM^{-}}}\;$» ou
          Remarque : Pour un point $\;\color {transparent}{M}\;$ anguleux de la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ on définit deux vecteurs envisagé est à droite « définissant $\;{\overrightarrow {dM^{+}}}\;$» $\ldots$

Propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue

     Sur la courbe $\;(\Gamma )\;$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, $\;M\;$ étant la position d'un point quelconque $\;{\big (}$non « anguleux »${\big )}\;$ d'abscisse curviligne $\;s\;$ et
     Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, $\;M''\;$ la position d'un point proche de $\;M\;$ d'abscisse curviligne voisine $\;s+\delta s$,
      Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement » le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ du point $\;M\;$ «$\;{\overrightarrow {MM''}}\;$»
           Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement » a pour direction la sécante $\;(MM'')$ ;
      Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, quand la variation d'abscisse curviligne $\;\delta s\;$ devient l'infiniment petit $\;ds$, $\;M''\;$ devient $\;M'\;$ et
      Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement $\;{\overrightarrow {MM''}}\;$» devient le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {MM'}}={\overrightarrow {dM}}$ ;
      Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, or la direction de la sécante $\;(MM'')\;$ tend vers la direction tangente à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$ quand $\;M''\rightarrow M\;$, d'où
      Sur la courbe $\color {transparent}{\;(\Gamma )\;}$ paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, la propriété suivante pour le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ en un point $\;M\;$ non anguleux :

Propriété du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe

     Le vecteur déplacement élémentaire $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ le long de la courbe continue $\;(\Gamma )\;$ en un point $\;M\;$ non anguleux
     Le vecteur déplacement élémentaire $\;\color {transparent}{\overrightarrow {dM}}\;$ est, dans la mesure où il n'est pas nul, tangent à la courbe $\;(\Gamma )\;$ en $\;M$.

Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet

     Sur une courbe continue $\;(\Gamma )\;$ orientée par le choix $\;{\big (}$arbitraire${\big )}\;$ d'un sens «$\;+\;$» permettant le repérage de ses points par abscisse curviligne,
     Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ orientée par le choix $\;\color {transparent}{\big (}$arbitraire$\color {transparent}{\big )}\;$ d'un sens «$\;\color {transparent}{+}\;$» on définit, en tout point $\;M\;$ non anguleux de $\;(\Gamma )$,
     Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ orientée par le choix $\;\color {transparent}{\big (}$arbitraire$\color {transparent}{\big )}\;$ d'un sens «$\;\color {transparent}{+}\;$» on définit, « un vecteur unitaire $\;{\vec {\tau }}\;$ tangent à $\;(\Gamma )\;$ en $\;M\;$» orienté dans le sens «$\;+\;$»
     Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ orientée par le choix $\;\color {transparent}{\big (}$arbitraire$\color {transparent}{\big )}\;$ d'un sens «$\;\color {transparent}{+}\;$» on définit, « un vecteur unitaire $\;\color {transparent}{\vec {\tau }}\;$ tangent à $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ en $\;\color {transparent}{M}\;$» appelé « vecteur unitaire tangentiel » et
     Sur une courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ orientée par le choix $\;\color {transparent}{\big (}$arbitraire$\color {transparent}{\big )}\;$ d'un sens «$\;\color {transparent}{+}\;$» on définit, « constituant le « 1^er vecteur de la base locale de Frenet » ;

     le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ du point $\;M\;$ ${\big (}$non « anguleux »${\big )}\;$ d'abscisse curviligne $\;s\;$ peut être alors défini par «$\;{\overrightarrow {dM}}=ds\,{\vec {\tau }}\;$».

Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue

Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace

     La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long de la courbe continue $\;(\Gamma )\;$
          La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ est définie, en un point $\;M\;$ non anguleux
          La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ est définie, par «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$» avec
     La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace $\;{\overrightarrow {dM}}\;$ vecteur déplacement élémentaire le long de $\;(\Gamma )\;$ à partir de $\;M\;$.

     Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : si la courbe $\;(\Gamma )\;$ est paramétrée géométriquement par $\;s\;$ l'abscisse curviligne de ses points,
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : si la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ est paramétrée géométriquement par $\;\color {transparent}{s}\;$ le vecteur déplacement élémentaire le long de $\;(\Gamma )\;$ à partir de $\;M\;$ s'écrit
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : si la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ est paramétrée géométriquement par $\;\color {transparent}{s}\;$ «$\;{\overrightarrow {dM}}=ds\,{\vec {\tau }}(s)\;$» où «$\;{\vec {\tau }}(s)\;$ est le vecteur unitaire tangentiel de Frenet » et
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long de la courbe $\;(\Gamma )\;$ se réécrivant selon
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ «$\;\delta {\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]={\vec {A}}\!\left[M(s)\right]\!\cdot \!ds\,{\vec {\tau }}(s)=\left\lbrace {\vec {A}}\!\left[M(s)\right]\!\cdot \!{\vec {\tau }}(s)\right\rbrace ds\;$»
           Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace $\;\color {transparent}{{\vec {A}}(M)}\;$ «$\;\color {transparent}{\delta {\mathcal {C}}_{(\Gamma )}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]}$ est une « forme différentielle de la variable$\;s\;$»,
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : celle-ci s'identifie à une « différentielle de fonction scalaire de la variable$\;s\;$» dès lors que «$\;{\vec {A}}\!\left[M(s)\right]\!\cdot \!{\vec {\tau }}(s)\;$ est une fonction intégrable de $\;s\;$».

Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue

     Une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue $\;(\Gamma )\;$ est une intégrale d'une fonction scalaire définie en suivant la courbe $\;(\Gamma )\;$ dans le sens «$\;+\;$»
           Une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ est une intégrale d'une fonction scalaire définie en suivant la courbe $\;\color {transparent}{(\Gamma )}\;$ d'une position $\;M_{1}\;$ à une position $\;M_{2}$.

     Il y a deux types d'intégrales curvilignes d'une fonction scalaire sur une portion de courbe continue possibles :

Les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue

     Il s'agit d'ajouter des contributions élémentaires d'une fonction scalaire $\;f\;$ ou vectorielle $\;{\vec {A}}\;$ d'un point $\;M\;$ assujetti à se déplacer sur une courbe continue $\;(\Gamma )$ :

• «$\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» intégrale curviligne de la fonction scalaire de l'espace $\;f(M)\;$, usuellement appelée « densité linéique de » $\ldots \;$,
• «$\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}\;$» intégrale curviligne construite à partir de la circulation élémentaire de la fonction vectorielle de l'espace $\;{\vec {A}}(M)$,
  l'intégrale curviligne ainsi définie correspondant à la « circulation du champ vectoriel $\;{\vec {A}}(M)\;$ le long de $\;(\Gamma )\;$ de $\;M_{1}\;$ à $\;M_{2}\;$», laquelle est notée «$\;{\mathcal {C}}_{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}\!\left[{\vec {A}}(M)\right]\;$».

Méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue

     Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un paramétrage de $\;M\;$ sur la courbe $\;(\Gamma )$ ;
     Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un ce dernier peut être « linéique » par abscisse curviligne $\;s\;$ ou encore
     Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un ce dernier peut être « temporel » si on connaît le mouvement du point $\;M\;$ sur $\;(\Gamma )$, le paramètre étant alors $\;t$ ;

     dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, $\;s_{1}\;$ et $\;s_{2}\;$ étant respectivement les abscisses curvilignes de $\;M_{1}\;$ et $\;M_{2}\;$ sur $\;(\Gamma )$ :
     dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, $\bullet \;$pour le 1^er type d'intégrale curviligne, on obtient «$\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}f\!\left[M(s)\right]ds=\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}f\!\left[M(s)\right]ds\;$» et
     dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, $\bullet \;$pour le 2^ème type d'intégrale curviligne «$\;\displaystyle \int _{M_{1}{\overset {(\Gamma )}{\rightarrow }}M_{2}}{\vec {A}}(M)\!\cdot \!{\overrightarrow {dM}}=\displaystyle \int _{s_{1}}^{s_{2}}\left\lbrace {\vec {A}}\!\left[M(s)\right]\!\cdot \!{\vec {\tau }}(s)\right\rbrace ds\;$».

Exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbe

     Préliminaire : Un calcul de longueur de courbe ou d'arc de courbe est une intégrale curviligne de la fonction scalaire $\;f(M)=1\;$ sur la courbe ou la portion de courbe dont on cherche la longueur ;
     Préliminaire : le résultat ainsi que son établissement doit être connu sans hésitation en ce qui concerne un cercle ou un arc de cercle.

À retenir $\rightsquigarrow$ Longueur d'un cercle ou d'un arc de cercle

     Longueur d'un arc de cercle de rayon $\;R\;$ vue de son centre $\;C\;$ sous l'angle $\;\alpha \;rad\;$ : «$\;{\mathcal {L}}_{\text{arc de cercle}}(\alpha )=R\,\alpha \;$».
     Longueur d'un cercle de rayon $\;R\;$ :                                                                                  «$\;{\mathcal {L}}_{\text{cercle}}=2\,\pi \,R\;$».

     Établissement de la longueur d'un arc de cercle$\;({\mathcal {C}})\;$de rayon$\;R\;$vue de son centre$\;C\;$sous l'angle$\;\alpha \;rad$ : on utilise le repérage polaire de pôle $\;C$, «$\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;\alpha \;$» et
     Établissement de la longueur d'un arc de cercle$\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$vue de son centre$\;\color {transparent}{C}\;$sous l'angle$\;\color {transparent}{\alpha \;rad}$ : on utilise le repérage polaire de pôle $\;\color {transparent}{C}$, «$\;\rho \;$ restant égal à $\;R\;$» d'où
     Établissement de la longueur d'un arc de cercle$\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$vue de son centre$\;\color {transparent}{C}\;$sous l'angle$\;\color {transparent}{\alpha \;rad}$ : la longueur élémentaire $\;ds\;$ d'arc associé à la variation élémentaire $\;d\theta \;$ d'angle au centre
     Établissement de la longueur d'un arc de cercle$\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$vue de son centre$\;\color {transparent}{C}\;$sous l'angle$\;\color {transparent}{\alpha \;rad}$ : la longueur élémentaire $\;\color {transparent}{ds}\;$ d'arc s'évalue par «$\;ds=R\;d\theta \;$» et par suite
     Établissement de la longueur d'un arc de cercle$\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$de rayon$\;\color {transparent}{R}\;$vue de son centre$\;\color {transparent}{C}\;$sous l'angle$\;\color {transparent}{\alpha \;rad}$ : la longueur de l'arc de cercle $\;{\overset {\frown }{AB}}\;$ se calcule par «$\;\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {C}})}{\rightarrow }}\,B}ds=\displaystyle \int _{0}^{\alpha }R\;d\theta =R\;\alpha \;$».

     Établissement de la longueur d'un cercle$\;({\mathcal {C}})\;$de rayon$\;R$ : on utilise le même repérage polaire de pôle $\;C$ $\;{\big (}$le centre du cercle${\big )}$, «$\;\theta \;$ variant de $\;0\;$ à $\;2\,\pi \;$» et
     Établissement de la longueur d'un cercle$\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : on utilise le même repérage polaire de pôle $\;\color {transparent}{C}$ $\;\color {transparent}{\big (}$le centre du cercle$\color {transparent}{\big )}$, «$\;\rho \;$ restant égal à $\;R\;$» d'où
     Établissement de la longueur d'un cercle$\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : la longueur élémentaire $\;ds\;$ d'arc associé à la variation élémentaire $\;d\theta \;$ d'angle au centre s'évalue par «$\;ds=R\;d\theta \;$» et par suite
     Établissement de la longueur d'un cercle$\;\color {transparent}{({\mathcal {C}})}\;$de rayon$\;\color {transparent}{R}$ : la longueur du cercle se calcule par «$\;\displaystyle \oint _{({\mathcal {C}})}ds=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }R\;d\theta =2\;\pi \;R\;$».

     Autres exemples : $\blacktriangleright \;$Longueur d'un arc de la parabole$\;({\mathcal {P}})\;$d'équation cartésienne$\;y=a\;x^{2}\;$${\big (}$avec$\;a>0{\big )}\;$entre son sommet$\;O\;$et un point$\;M_{0}\;$d'abscisse$\;x_{0}>0\;$quelconque :
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$le vecteur déplacement élémentaire en $\;M\;$ quelconque le long de $\;({\mathcal {P}})\;$ étant «$\;{\overrightarrow {dM}}=\left[{\vec {u}}_{x}+2\,a\,x\,{\vec {u}}_{y}\right]dx\;$»,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$la longueur élémentaire en ce même point $\;M\;$ se calcule par «$\;\vert ds\vert ={\Big \Vert }{\overrightarrow {dM}}{\Big \Vert }={\sqrt {1+4\;a^{2}\;x^{2}}}\;\vert dx\vert \;$» ou,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$en orientant $\;({\mathcal {P}})\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ des $\;x$, par «$\;ds={\sqrt {1+4\;a^{2}\;x^{2}}}\;dx\;$» d'où
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$la longueur de l'arc de parabole $\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}\;$ égale à «$\;\displaystyle \int _{O\,{\overset {({\mathcal {P}})}{\rightarrow }}\,M_{0}}ds=\displaystyle \int _{0}^{x_{0}}{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x^{2}}}\;dx\;$» s'évalue en faisant
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$un 1^er changement de variable $\;u=2\;a\;x\;$ $\Rightarrow$ $\;dx={\dfrac {du}{2\;a}}\;$ soit «$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {1}{2\;a}}\;\displaystyle \int _{0}^{u_{0}}{\sqrt {1+u^{2}}}\;du\;$» avec «$\;u_{0}=2\;a\;x_{0}\;$» puis
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$un 2^nd changement de variable $\;u=\sinh(\xi )\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c l}{\sqrt {1+u^{2}}}\!\!&=&\!\!{\sqrt {1+\sinh ^{2}(\xi )}}\!\!&=&\!\!\cosh(\xi )\\du\!\!&=&\!\!\cosh(\xi )\;d\xi \end{array}}\right\rbrace \;$ dont nous déduisons
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$«$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {1}{2\;a}}\;\displaystyle \int _{0}^{\xi _{0}}\cosh ^{2}(\xi )\;d\xi \;$» avec $\;\xi _{0}=\mathrm {argsinh} (u_{0})\;$ et, avec la relation de duplication «$\;\cosh ^{2}(\xi )={\dfrac {1+\cosh(2\;\xi )}{2}}\;$»,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$«$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {1}{4\;a}}\;\displaystyle \int _{0}^{\xi _{0}}d\xi +{\dfrac {1}{8\;a}}\;\displaystyle \int _{0}^{\xi _{0}}\cosh(2\;\xi )\;d(2\;\xi )\;$» ce qui s'intègre en «$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {\xi _{0}}{4\;a}}+{\dfrac {\sinh(2\;\xi _{0})-0}{8\;a}}\;$» ou encore,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$avec «$\;\sinh(2\;\xi _{0})=2\;\sinh(\xi _{0})\;\cos(\xi _{0})\;$», «$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {\xi _{0}+\sinh(\xi _{0})\;\cos(\xi _{0})}{4\;a}}\;$» soit enfin,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}\xi _{0}\!\!&=&\!\!\mathrm {argsinh} (u_{0})\!\!&=&\!\!\mathrm {argsinh} (2\;a\;x_{0})\\\sinh(\xi _{0})\!\!&=&\!\!u_{0}\!\!&=&\!\!2\;a\;x_{0}\\\cosh(\xi _{0})\!\!&=&\!\!{\sqrt {1+\sinh ^{2}(\xi _{0})}}\!\!&=&\!\!{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}\end{array}}\right\rbrace \;$, «$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {\mathrm {argsinh} (2\;a\;x_{0})+2\;a\;x_{0}\;{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}}{4\;a}}\;$» ou
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$en remplaçant la fonction argument sinus hyperbolique par sa forme logarithmique «$\;\mathrm {argsinh} (2\;a\;x_{0})=\ln \!\left[2\;a\;x_{0}+{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}\right]\;$»
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la parabole$\;\color {transparent}{({\mathcal {P}})}\;$«$\;{\overset {\frown }{OM_{0}}}_{({\mathcal {P}})}={\dfrac {\ln \!\left[2\;a\;x_{0}+{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}\right]+2\;a\;x_{0}\;{\sqrt {1+4\;a^{2}\;x_{0}^{2}}}}{4\;a}}\;$».

     Autres exemples : $\blacktriangleright \;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;({\mathcal {S}}p)\;$d'équation polaire$\;\rho =\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\;$${\big (}$avec$\;k>0\;$${\big )}\;$entre$\;A\,\left(\theta _{A}=0\right)\;$et$\;M_{0}\;$d'abscisse angulaire$\;\theta _{0}>0\;$quelconque :
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$le vecteur déplacement élémentaire en $\;M\;$ quelconque le long de $\;({\mathcal {S}}p)\;$ s'évaluant selon «$\;{\overrightarrow {dM}}=d\rho \,{\vec {u}}_{\rho }+\rho \,d\theta \,{\vec {u}}_{\theta }\;$» soit,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$après différenciation et factorisation «$\;{\overrightarrow {dM}}=\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,\left[k\;{\vec {u}}_{\rho }+{\vec {u}}_{\theta }\right]\,d\theta \;$», nous en déduisons
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$la longueur élémentaire en ce même point $\;M\;$ «$\;\vert ds\vert ={\Big \Vert }{\overrightarrow {dM}}{\Big \Vert }=\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,{\sqrt {k^{2}+1}}\;\vert d\theta \vert \;$» ou,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$en orientant $\;({\mathcal {S}}p)\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ des $\;\theta$, «$\;ds={\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,d\theta \;$» d'où
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$la longueur de l'arc de spirale logarithmique $\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}\;$ égale à «$\;\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {S}}p)}{\rightarrow }}\,M_{0}}ds=\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,d\theta \;$» valant
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$«$\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}={\dfrac {{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}}{k}}\;\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}\exp \!\left(k\;\theta \right)\,d\left(k\;\theta \right)={\dfrac {{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}}{k}}\;\left[\exp \!\left(k\;\theta \right)\right]_{0}^{\theta _{0}}\;$» soit finalement
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$«$\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}=\rho _{0}\;{\dfrac {\sqrt {1+k^{2}}}{k}}\;\left[\exp \!\left(k\;\theta _{0}\right)-1\right]\;$» ;
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la longueur d'un arc de spirale logarithmique $\;({\mathcal {S}}p)\;$ d'équation polaire $\;\rho =\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\;$ ${\big (}$avec$\;k>0\;$${\big )}\;$ entre $\;A\,\left(\theta _{A}=0\right)\;$ et $\;M_{0}\;$ d'abscisse angulaire $\;\theta _{0}<0\;$ quelconque
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$s'évalue de la même façon mais en tenant compte du fait que $\;d\theta \;$ est $\;<0\;$ ce qui entraîne les modifications suivantes :
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$«$\;\vert ds\vert =\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,{\sqrt {k^{2}+1}}\;\vert d\theta \vert =-\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,{\sqrt {k^{2}+1}}\;d\theta \;$» et par suite
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$«$\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}=\displaystyle \int _{A\,{\overset {({\mathcal {S}}p)}{\rightarrow }}\,M_{0}}\vert ds\vert =\displaystyle \int _{0}^{\theta _{0}}-{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}\;\exp \!\left(k\;\theta \right)\,d\theta =-{\dfrac {{\sqrt {1+k^{2}}}\;\rho _{0}}{k}}\;\left[\exp \!\left(k\;\theta \right)\right]_{0}^{\theta _{0}}\;$» soit finalement
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'un arc de la spirale logarithmique$\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}p)}\;$«$\;{\overset {\frown }{AM_{0}}}_{({\mathcal {S}}p)}=\rho _{0}\;{\dfrac {\sqrt {1+k^{2}}}{k}}\;\left[1-\exp \!\left(k\;\theta _{0}\right)\right]\;\rightarrow \;\rho _{0}\;{\dfrac {\sqrt {1+k^{2}}}{k}}\;$ quand $\;\theta _{0}\rightarrow -\infty \;$».

     Autres exemples : $\blacktriangleright \;$Longueur d'une ellipse$\;({\mathcal {E}})\;$d'équations cartésiennes paramétriques de centre$\;O$, d'axe focal$\;x'x$, de demi-grand axe$\;a\;$et de demi-petit-axe$\;b\;$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}x=a\;\cos(\theta )\\y=b\;\sin(\theta )\end{array}}\right\rbrace \;$» :
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$le vecteur déplacement élémentaire en $\;M\;$ quelconque le long de $\;({\mathcal {E}})\;$ s'évaluant selon «$\;{\overrightarrow {dM}}=dx\,{\vec {u}}_{x}+dy\,{\vec {u}}_{y}\;$» soit,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$après différenciation et factorisation «$\;{\overrightarrow {dM}}=\left[-a\;\sin(\theta )\;{\vec {u}}_{x}+b\;\cos(\theta )\;{\vec {u}}_{y}\right]\,d\theta \;$», nous en déduisons
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$la longueur élémentaire en ce même point $\;M\;$ «$\;\vert ds\vert ={\Big \Vert }{\overrightarrow {dM}}{\Big \Vert }={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;\vert d\theta \vert \;$» ou,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$en orientant $\;({\mathcal {E}})\;$ dans le sens $\;\nearrow \;$ des $\;\theta$, «$\;ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta \;$» soit, en faisant apparaître l'excentricité $\;e={\dfrac {c}{a}}\;$ avec
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$en orientant $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ dans le sens $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ des $\;\color {transparent}{\theta }$, «$\;\color {transparent}{ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta }\;$» soit, $\;c\;$ la distance séparant le centre $\;O\;$ de $\;({\mathcal {E}})\;$
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$en orientant $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ dans le sens $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ des $\;\color {transparent}{\theta }$, «$\;\color {transparent}{ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta }\;$» soit, $\;\color {transparent}{c}\;$ la distance séparant de l'un ou l'autre de ses foyers et
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$en orientant $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ dans le sens $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ des $\;\color {transparent}{\theta }$, «$\;\color {transparent}{ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta }\;$» soit, en éliminant $\;b\;$ au profit de $\;\left(a\,,\,e\right)$ par $\;a^{2}=b^{2}+c^{2}\;$
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$en orientant $\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$ dans le sens $\;\color {transparent}{\nearrow }\;$ des $\;\color {transparent}{\theta }$, «$\;\color {transparent}{ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+b^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta }\;$» soit, $\Rightarrow$ $\;b^{2}=a^{2}-c^{2}\;$ ou, avec $\;c=a\;e$, «$\;b^{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\right)\;$»
Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$et, en reportant l'expression de $\;b^{2}\;$ dans celle de $\;ds$, «$\;ds={\sqrt {a^{2}\;\sin ^{2}(\theta )+a^{2}\,\left(1-e^{2}\right)\,\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta =a\;{\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )+\left(1-e^{2}\right)\,\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta \;$»
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$soit finalement «$\;ds=a\;{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta \;$» d'où la longueur de l'ellipse $\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}\;$ se calculant par «$\;\displaystyle \oint _{({\mathcal {E}})}ds\;$ $=\displaystyle \int _{0}^{2\,\pi }a\;{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta =$

diagramme représentant la longueur d'une ellipse de demi-grand-axe $\;a\;$ en fonction de son excentricité $\;e$, $\;{\bigg [}$c'est aussi, au facteur multiplicatif $\;4\;a\;$ près, la représentation de la valeur pour $\;x=1\;$ de l'« intégrale elliptique incomplète de 2^ème espèce «$\;E(x\,;\,e)=$ $\displaystyle \int _{0}^{x}{\dfrac {\sqrt {1-e^{2}\;t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\;dt\;$» en fonction de module elliptique $\;e{\bigg ]}$

     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$$4\;a\;\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-e^{2}\;\cos ^{2}(\theta )}}\;d\theta \;$» ; la longueur de l'ellipse $\;{\mathcal {L}}_{({\mathcal {E}})}\;$ se réécrit,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$en faisant le changement de variable «$\;u^{2}=\cos ^{2}(\theta )\;$ avec $\;u\geqslant 0\;$» $\Rightarrow$ $\;2\;u\;du=$
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$$-2\;\cos(\theta )\;\sin(\theta )\;d\theta \;$ $\Rightarrow$ «$\;d\theta =-{\dfrac {u\;du}{\cos(\theta )\;\sin(\theta )}}\;$» ou, comme $\;\theta \in \left[0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right]$,
     Autres exemples : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Longueur d'une ellipse$\;\color {transparent}{({\mathcal {E}})}\;$$\cos(\theta )=u\;$ permet la simplification suivante «$d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$