En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exemple de subdivision de l'intervalle d'intégration au sens de Riemann [1]
Intégrabilité d'une fonction scalaire d'une variable réelle au sens de RiemannModifier
La fonction scalaire de la variable réelle définie sur l'intervalle fermé est intégrable sur cet intervalle fermé si elle y est continue par morceaux, c.-à-d. s'« il existe une subdivision de l'intervalle d'intégration , » pour laquelle « est continue sur les intervalles ouverts » avec « et », l'existence de ces deux limites permettant de « prolonger la continuité de sur » [2].
Subdivision de l'intervalle d'intégration et définition des sommes de Riemann associéesModifier
Subdivision de l'intervalle et choix d'une somme de Riemann associée
Soit « la fonction scalaire de la variable réelle définie et intégrable sur l'intervalle fermé », on définit alors une « subdivision de », « réalisant la division en parties égales » et une « somme de Riemann[1]» avec « un élément quelconque de » que nous choisirons en la « borne inférieure de l'intervalle » [3] d'où «», ce qui permet de définir la « somme de Riemann [1] particulière» et de l'interpréter comme la « somme des aires de tous les rectangles de largeur commune et de hauteur différenciée ».
On démontre que « la somme de Riemann [1] choisie » [4] admet une « limite finie » quand , limite qui définit l'intégrale de Riemann [1] de la fonction sur l'intervalle d'intégration.
Définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle ferméModifier
Intégrale de Riemann de sur l'intervalle fermé
Ayant défini « une subdivision de l'intervalle en parties égales » puis Ayant défini « une somme de Riemann [1] avec élément quelconque de », on démontre que « toutes les sommes de Riemann [1] admettent une même limite quand , limite définissant l'intégrale de Riemann[1]de la fonction sur l'intervalle fermé notée » soit encore
«».
Interprétation géométrique de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle ferméModifier
En choisissant «», nous avons établi que « la somme de Riemann [1] associée pouvait être interprétée comme la somme des aires des rectangles de longueur de base et de hauteur » ; aussi « quand », « la somme de Riemann [1] tendant vers l'intégrale de la fonction sur l'intervalle fermé » et « quand », « la somme des aires des rectangles tendant vers l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, le graphe de la fonction ainsi que les droites et », nous concluons à l'interprétation géométrique suivante de l'intégrale de Riemann [1] :
À retenir
L'intégrale de Riemann[1] de la fonction sur l'intervalle fermé notée représente l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, le graphe de la fonction et les droites frontières et .
Développement de quelques méthodes de calculModifier
Intégrer une fonction dont on connaît une primitive ou, Intégrer une fonction dont on devrait connaître une primitive malheureusement partiellement oubliée : on se souvient qu'une primitive de est [5] en ayant oublié la valeur de , pour la retrouver on dérive ce qui donne à identifier à d'où et par suite une primitive de est soit, dans le cas particulier où , une primitive de est ou une primitive de est conduisant à ;
intégrer une fonction par changement de variable : il serait souhaitable d'avoir au dénominateur [6], aussi y met-on en facteur suggérant le changement de variable [7] ; on fait alors apparaître la différentielle de cette nouvelle variable au numérateur mais on se rend compte qu'en faisant ceci on introduit une erreur car et non qu'il convient de corriger par un facteur multiplicatif soit [8] donnant finalement ;
intégrer une fonction trigonométrique en linéarisantquand cela est possible avec permettant de réécrire [9] ce qui donne finalement ;
intégrer un produit de fonctions par partiesdans le but d'aboutir à une intégrale plus simple dans laquelle il serait souhaitable d'arriver à une intégrale du type et pour cela il conviendrait de dériver l'autre fonction ;
exposé de la méthode d'intégration par parties (ou I.p.p.) [10]
Si on doit « calculer en connaissant une primitive de notée », on peut écrire
intégrer un produit de fonctions par partiesdans le but d'aboutir à une intégrale plus simpleappliquée ici on pose «» et «» [12] d'où ;
intégrer une fonction rationnelle[13]par décomposition en éléments simples : la fonction rationnelle de pôles [14] connus se décompose en éléments simples et c.-à-d. avec et constantes réelles à déterminer ;
façon la plus rapide pour déterminer la décomposition d'une fonction rationnelle en éléments simples
La façon la plus rapide pour déterminer les constantes réelles et de la décomposition «» est de multiplier les deux membres par respectivement et d'y faire respectivement soit
intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples appliquée ici on obtient «» d'où la réécriture de l'intégrale en soit finalement ;
Notion d'abscisse curviligne d'un point sur une courbe continueModifier
Une courbe plane est une courbe contenue dans un plan ; exemples : droite, conique c.-à-d. ellipse dont son cas particulier le cercle, parabole, hyperbole et bien d'autres encore ;
une courbe gauche est une courbe qui n'est pas plane ; exemples : parmi les courbes gauches classiques il n'y a pratiquement que les hélicesla plus connue étant l'hélice circulaire, courbe inscrite sur un cylindre de révolution telle que la tangente en chacun des points de l'hélice a une direction de même inclinaison par rapport à l'axe du cylindre, mais on peut en trouver d'autres plus sophistiquées comme une succession de trois segments non coplanaires
Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continueModifier
Sur une courbe continue plane ou gauche, choisissant arbitrairement un sens «» et une origine de mesure des abscisses curvilignes, Sur une courbe continue plane ou gauche, on repère le point générique de par le nombre réel égal à la longueur algébrique parcourue dans le sens «» sur depuis l'origine [16], appelé « abscisse curviligne du point et noté » ; « l'abscisse curviligne de sur est donc défini par », « la distance non algébrisée séparant de sur étant ».
Propriétés de biunivocité entre la courbe et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes possiblesModifier
Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, on ne repasse jamais par un même endroit, ou
Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, il existe au moins un endroit particulier de cette courbe où on repasse une seule fois avant de poursuivre sans rebrousser chemin et sans y repasser cas peu fréquent ;
Définition : nous appellerons par la suite « courbe ouverte » une courbe du 1er type, celle du 2ème type étant qualifiée de « courbe ouverte avec points multiples »
Dans le cas d'une « courbe ouvertesans points multiples» [17], « chaque valeur de localise une position unique de sur la courbe et réciproquement », Dans le cas d'une « courbe ouverte sans points multiples» , il y a donc « biunivocité » [18]entre la courbe et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes possibles pour les points de .
Définition : Une courbe est fermée si, en suivant continûment la courbe à partir d'un endroit quelconque sans rebrousser chemin, on repasse nécessairement au moins une fois par l'endroit de départ avant que le suivi de la courbe sans rebrousser chemin ne se poursuive de façon répétitive ;
Définition : d'après la définition ci-dessus et celle du paragraphe « cas d'une courbe ouverte (définition) » plus haut dans ce chapitre, une courbe est soit « ouverte » soit « fermée ».
Dans le cas d'une « courbe fermée » [19], « chaque valeur de localise une position unique de sur la courbe » Dans le cas d'une « courbe fermée » , mais « à chaque position de il existe une infinité de valeurs de se déduisant entre elles d'un multiple d'une même grandeur correspondant à la longueur de la courbe fermée » il y a donc périodicité de la fonction qui à fait correspondre un point de la courbe, la période étant égale à ; Dans le cas d'une « courbe fermée » , pour retrouver une « biunivocité » entre la courbe et un ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes repérant les points de , Dans le cas d'une « courbe fermée » , il convient de restreindre le domaine de définition de la fonction en définissant une détermination principale de l'abscisse curviligne, l'abscisse curviligne étant alors , étant le nombre de tours algébrique entre l'abscisse curviligne et sa détermination principale.
Vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continueModifier
Définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continueModifier
Introduction au vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe
Si on réalise un paramétrage géométrique de la courbe par abscisse curviligne, étant la position d'un point non « anguleux » [20] d'abscisse curviligne et sa position d'abscisse curviligne infiniment proche , le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe du point d'abscisse curviligne est défini par
«» soit encore «»
c.-à-d. «la différentielle du vecteur position du point » [21] d'où une autre expression de la définition du vecteur déplacement élémentaire
Remarque : Pour un point anguleux de la courbe [23] on peut définir deux vecteurs déplacement élémentaire suivant que le déplacement envisagé est à gauche « définissant » ou à droite « définissant » [24]
Propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continueModifier
Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, étant la position d'un point quelconque non « anguleux » [20] d'abscisse curviligne et Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, la position d'un point proche de d'abscisse curviligne voisine , Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement » [25] le long de la courbe du point «» a pour direction la sécante ;
Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, quand la variation d'abscisse curviligne devient l'infiniment petit , devient et Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur petit déplacement devient le vecteur déplacement élémentaire ; Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, or la direction de la sécante tend vers la direction tangente à la courbe en [26] quand tend vers [27], Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, on en déduit donc la propriété suivante pour le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe en un point non anguleux [20] :
Propriété du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe
Le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe continue en un point non anguleux [20] est,
dans la mesure où il n'est pas nul, tangent à la courbe en [28].
Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de FrenetModifier
Sur une courbe continue orientée par le choix arbitraire d'un sens «» permettant le repérage de ses points par abscisse curviligne, on définit, en tout point non anguleux [20] de ,
« un vecteur unitaire tangent à en » orienté dans le sens «» appelé « vecteur unitaire tangentiel » [29] et constituant le « 1er vecteur de la base locale de Frenet » [30] ;
le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe du point non « anguleux » [20] d'abscisse curviligne peut être alors défini par
Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continueModifier
Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace
La circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace [33] le long de la courbe continue est définie, en un point non anguleux [20] par
«» [34] où « est le vecteur déplacement élémentaire le long de à partir de » [35].
Utilisation de la définition du vecteur déplacement élémentaire à l'aide du vecteur unitaire tangentiel de Frenet[36] : si la courbe est paramétrée géométriquement par l'abscisse curviligne de ses points, le vecteur déplacement élémentaire le long de à partir de s'écrivant «» où « est le vecteur unitaire tangentiel de Frenet » [36], Utilisation de la définition du vecteur déplacement élémentaire à l'aide du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace le long de la courbe se réécrivant selon «» est une « forme différentielle de la variable » [37], Utilisation de la définition du vecteur déplacement élémentaire à l'aide du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : celle-ci s'identifie à une « différentielle de fonction scalaire de la variable » dès lors que « est une fonction intégrable de ».
Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continueModifier
Une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue est une intégrale d'une fonction scalaire définie en suivant la courbe dans le sens «» d'une position à une position
Il y a deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue possibles [38] :
Les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continueModifier
Il s'agit d'ajouter des contributions élémentaires d'une fonction scalaire ou vectorielle d'un point assujetti à se déplacer sur une courbe continue :
«» intégrale curviligne de la fonction scalaire de l'espace [39], usuellement appelée « densité linéique de » [40],
«» intégrale curviligne construite à partir de la circulation élémentaire de la fonction vectorielle de l'espace , l'intégrale curviligne ainsi définie correspondant à la « circulation du champ vectoriel le long de de à », laquelle est notée «» [41].
Méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continueModifier
Dans les deux cas une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un paramétrage de sur la courbe ; ce dernier peut être « linéique » par abscisse curviligne [42] ou encore « temporel » dans le cas où on connaît le mouvement du point sur , le paramètre étant alors ;
dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, et étant respectivement les abscisses curvilignes de et sur :
pour le 1er type d'intégrale curviligne, on obtient «» [43] et
pour le 2ème type d'intégrale curviligne «».
Exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbeModifier
Préliminaire : Un calcul de longueur de courbe ou d'arc de courbe est une intégrale curviligne de la fonction scalaire sur la courbe ou la portion de courbe dont on cherche la longueur [44] ; le résultat ainsi que son établissement doit être connu sans hésitation en ce qui concerne un cercle ou un arc de cercle [45].
À retenir Longueur d'un cercle ou d'un arc de cercle
Longueur d'un cercle de rayon : «», Longueur d'un arc de cercle de rayon vue de son centre sous l'angle : Longueur d'un arc de cercle de rayon vue de son centre «» [46].
Établissement de la longueur d'un cerclede rayon : on utilise le repérage polaire de pôle le centre du cercle, « variant de à » et « restant égal à » «» [47] d'où Établissement de la longueur d'un cerclede rayon : la longueur du cercle égale à «» [48].
Établissement de la longueur d'un arc de cerclede rayonvue de son centresous l'angle : on utilise le même repérage polaire de pôle , « variant de à » et « restant égal à » «» [47] d'où la longueur de l'arc de cercle égale à «»
Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole d'équation cartésienne avec entre son sommet et un point d'abscisse quelconque : Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole le vecteur déplacement élémentaire en quelconque le long de étant «» voir paragraphe « application au vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe (en représentation cartésienne) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » nous en déduisons Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole la longueur élémentaire en ce même point «» ou, Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole en orientant dans le sens des , «» d'où Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole la longueur de l'arc de parabole égale à «» s'évalue en faisant Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole un 1er changement de variable soit «» avec «» puis Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole un 2nd changement de variable [49] dont nous déduisons «» avec [50] et, en utilisant Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole la relation de duplication «» [51], «» ce qui s'intègre en «» [49] ou encore, avec «» [51], «» soit enfin, Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole avec [52], «» ou Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole en remplaçant la fonction argument sinus hyperbolique par sa forme logarithmique «» [53] Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole «» [54].
Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique d'équation polaire avec [55] entre et d'abscisse angulaire quelconque : Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique le vecteur déplacement élémentaire en quelconque le long de s'évaluant selon «» [56] soit, après différenciation et factorisation «» [57], nous en déduisons Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique la longueur élémentaire en ce même point «» ou, Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique en orientant dans le sens des , «» d'où Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique la longueur de l'arc de spirale logarithmique égale à «» valant Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique «» soit finalement Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique «» [58] ; Autres exemples : la longueur d'un arc de spirale logarithmique d'équation polaire avec entre et d'abscisse angulaire quelconque s'évalue de la même façon mais en tenant compte du fait que est ce qui entraîne les modifications suivantes : Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique «», Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique «» soit finalement Autres exemples : Longueur d'un arc de spirale logarithmique « quand » [59].
Autres exemples : Longueur d'une ellipse d'équations cartésiennes paramétriques de centre , d'axe focal , de demi-grand axe et de demi-petit-axe «» [60] : Autres exemples : Longueur d'une ellipse le vecteur déplacement élémentaire en quelconque le long de s'évaluant selon «» [61] soit, après différenciation et factorisation «», nous en déduisons Autres exemples : Longueur d'une ellipse la longueur élémentaire en ce même point «» ou, Autres exemples : Longueur d'une ellipse en orientant dans le sens des , «» soit, Autres exemples : Longueur d'une ellipse en faisant apparaître l'excentricité et en éliminant au profit de , sachant que « avec la distance séparant le centre de de l'un ou l'autre de ses foyers » et «» [62] ou, avec , «» et Autres exemples : Longueur d'une ellipse en reportant l'expression de dans celle de , «» soit finalement «» d'où
diagramme représentant la longueur d'une ellipse de demi-grand-axe en fonction de son excentricité , c'est aussi, au facteur multiplicatif près, la représentation de la valeur pour de l'« intégrale elliptique incomplète de 2ème espèce «» en fonction de module elliptique
Autres exemples : Longueur d'une ellipse la longueur de l'ellipse égale à «» [63],[64] s'écrit encore Autres exemples : Longueur d'une ellipse en faisant le changement de variable « avec » «» ou, comme , permet la simplification suivante «» et enfin, avec , l'explicitation finale «» d'où Autres exemples : Longueur d'une ellipse la réécriture de la longueur de l'ellipse «» [64]la recherche de la longueur de l'ellipse a conduit à l'élaboration d'un nouveau type de fonction définie sous forme intégrale l'« intégrale elliptique incomplète de 2ème espèce» d'où Autres exemples : Longueur d'une ellipse «