Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne

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Intégrale sur un intervalle, vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe et intégrale curviligne
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Chapitre no 15
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Théorème de Taylor-Young et développements limités d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs
Chap. suiv. :Divers repérages d'un point dans l'espace
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Intégrale définie sur un intervalle fermé

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Intégrabilité d'une fonction scalaire d'une variable réelle au sens de Riemann

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Exemple de subdivision de l'intervalle d'intégration au sens de Riemann [1]

     La fonction scalaire de la variable réelle définie sur l'intervalle fermé
     La fonction scalaire est intégrable sur cet intervalle fermé
     La fonction scalaire est intégrable si elle y est continue par morceaux, c.-à-d.
     La fonction scalaire est intégrable s'« il existe une subdivision de l'intervalle d'intégration ,
     La fonction scalaire est intégrable s'«»
     La fonction scalaire est intégrable s'«pour laquelle « est continue sur les intervalles ouverts
     La fonction scalaire est intégrable s'«pour laquelle « est continue sur» avec
     La fonction scalaire est intégrable s'«« et »,
     La fonction scalaire est intégrable s'«l'existence de ces deux limites permettant de « prolonger
     La fonction scalaire est intégrable s'«la continuité de sur » [2].


Subdivision de l'intervalle d'intégration et définition des sommes de Riemann associées

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     On démontre que « la somme de Riemann [1] choisie » [4] admet une « limite finie » quand , limite qui définit l'intégrale de Riemann [1] de la fonction sur l'intervalle d'intégration.

Définition de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé

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Interprétation géométrique de l'intégrale de Riemann d'une fonction scalaire d'une variable réelle sur un intervalle fermé

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     Avec «», « la somme de Riemann [1] associée peut être interprétée comme la somme des aires des rectangles de longueur de base et de hauteur » ;
     aussi, « quand », « la somme de Riemann [1] tendant vers l'intégrale de la fonction sur l'intervalle fermé » et
     aussi, « quand », « la somme des aires des rectangles tendant vers l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, le graphe de la fonction ainsi que les droites et »,
     nous concluons à l'interprétation géométrique suivante de l'intégrale de Riemann [1] :

Développement de quelques méthodes de calcul

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     Intégrer une fonction dont on connaît une primitive exemple [5] ou,
     Intégrer une fonction dont on devrait connaître une primitive malheureusement partiellement oubliée exemple  : on se souvient qu'une primitive de est [6] en ayant oublié la valeur de , pour la retrouver on dérive ce qui donne à identifier à d'où et par suite une primitive de est soit, dans le cas particulier où , une primitive de est ou une primitive de est conduisant à  ;

     intégrer une fonction par changement de variable exemple  : souhaitant avoir au dénominateur [7], on y met en facteur suggérant le changement de variable [8] ; on fait alors apparaître la différentielle de cette nouvelle variable au numérateur mais on se rend compte qu'en faisant ceci on introduit une erreur car et non qu'il convient de corriger par un facteur multiplicatif soit [9] [10] donnant finalement  ;

     intégrer une fonction trigonométrique en linéarisantquand cela est possible exemple avec [11] ce qui donne finalement  ;

     intégrer un produit de fonctions par partiesdans le but d'aboutir à une intégrale plus simple exemple dans laquelle il serait souhaitable d'arriver à une intégrale du type sachant qu'on connaît une primitive de la fonction [12] et pour cela considérer la fonction à intégrer comme le produit de fonctions et de façon à appliquer la méthode d'intégration par parties ou I.p.p.[13] exposée ci-dessous ;

     intégrer un produit de fonctions par partiesdans le but d'aboutir à une intégrale plus simple exemple ici on pose « » et « » [15] d'où  ;

     intégrer une fonction rationnelle [16] par décomposition en éléments simples exemple  : la fonction rationnelle de pôles [17] connus se décompose en éléments simples et c.-à-d. avec et constantes réelles à déterminer selon la méthode exposée ci-dessous sur l'exemple ;

          intégrer une fonction rationnelle par décomposition en éléments simples exemple ici on obtient «» d'où la réécriture de l'intégrale en [19] soit finalement  ;

     

Notion d'abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue

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Distinction courbe plane - courbe gauche

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     Une courbe plane est une courbe contenue dans un plan ; exemples : droite, conique c.-à-d. ellipse dont son cas particulier le cercle, parabole, hyperbole et bien d'autres encore ;

     une courbe gauche est une courbe qui n'est pas plane ; exemples : parmi les courbes gauches classiques il n'y a pratiquement que les hélices la plus connue étant l'hélice circulaire, courbe inscrite sur un cylindre de révolution telle que la tangente en chacun des points de l'hélice a une direction de même inclinaison par rapport à l'axe du cylindre, mais on peut en trouver d'autres plus sophistiquées comme une succession de trois segments non coplanaires

Abscisse curviligne d'un point sur une courbe continue

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     Sur une courbe continue plane ou gauche, choisissant arbitrairement un sens «» et une origine de mesure des abscisses curvilignes,
     Sur une courbe continue plane ou gauche, on repère le point générique de par le nombre réel égal à la longueur algébrique parcourue dans le sens «» sur depuis l'origine [20],
     Sur une courbe continue plane ou gauche, on repère le point générique de par le nombre réel égal à la longueur algébrique appelé « abscisse curviligne du point et noté » ;
     « l'abscisse curviligne de sur est donc défini par », « la distance non algébrisée séparant de sur étant ».

Propriétés de biunivocité entre la courbe et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes possibles

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Cas d'une courbe ouverte

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     Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, on ne repasse jamais par un même endroit, ou
     Définition : Une courbe est ouverte si, en suivant continûment la courbe sans rebrousser chemin, on repasse au moins une fois en une ou plusieurs positions particulières avant de poursuivre [21] ;

     Définition : nous appellerons par la suite « courbe ouverte » une courbe du 1er type, celle du 2ème type étant qualifiée de « courbe ouverte avec points multiples »

     Dans le cas d'une « courbe ouvertesans points multiples» [22], « chaque valeur de localise une position unique de sur la courbe et réciproquement »,
           Dans le cas d'une « courbe ouvertesans points multiples», il y a donc « biunivocité » [23] entre la courbe et l'ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes des points de .

Cas d'une courbe fermée

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     Définition : Une courbe est fermée si, en suivant continûment la courbe à partir de n'importe quel endroit sans rebrousser chemin, on repasse au moins une fois par l'endroit de départ et, de façon cyclique
     Définition : Une courbe est fermée si, en suivant continûment la courbe à partir de n'importe quel endroit sans rebrousser chemin, et ordonnée, indéfiniment par toutes les positions précédentes ;
     Définition : une courbe fermée décrite sans rebrousser chemin est une succession minimale de positions constituant un « cycle » [24], la description du point générique de la courbe fermée étant
                        Définition : une courbe fermée décrite sans rebrousser chemin est une succession minimale de positions constituant un « cycle », celle du point générique du « cycle » [24] répétée à l'infini ;
     Définition : il peut exister une ou plusieurs positions particulières du « cycle » [24] d'une courbe fermée en lesquelles le point générique repasse au moins une fois lors de sa description du « cycle » [24],
           Définition : il peut exister une ou plusieurs positions particulières du « cycle » d'une courbe fermée en lesquelles le point générique repasse on parle alors de « courbe fermée avec points multiples » ;
     Définition : nous appellerons par la suite « courbe fermée » une courbe fermée sans points multiples.

     Remarque : d'après la définition ci-dessus et celle du paragraphe « cas d'une courbe ouverte (définition) » plus haut dans ce chapitre, une courbe est soit « ouverte » soit « fermée ».

     Dans le cas d'une « courbe ferméesans points multiples» [25], « chaque valeur de localise une position unique de sur la courbe » mais
           Dans le cas d'une « courbe ferméesans points multiples», « à chaque position de il existe une infinité de valeurs de séparées entre elles d'un multiple d'une grandeur correspondant à la
           Dans le cas d'une « courbe ferméesans points multiples», « à chaque position de il existe une infinité de valeurs de séparées entre elles d'un multiple longueur de la courbe fermée »
           Dans le cas d'une « courbe ferméesans points multiples», il y a donc périodicité de la fonction qui à fait correspondre un point de la courbe, la période étant égale à  ;
           Dans le cas d'une « courbe ferméesans points multiples», pour retrouver une « biunivocité » entre la courbeet un ensemble des valeurs d'abscisses curvilignes des points de ,
           Dans le cas d'une « courbe ferméesans points multiples», on restreint le domaine de définition de la fonction avec une détermination principale de l'abscisse curviligne,
           Dans le cas d'une « courbe ferméesans points multiples», on restreint le domaine de définition de la fonction avec l'abscisse curviligne prenant les avaleurs [26].

Vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue

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Définition intrinsèque du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue

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Introduction au vecteur déplacement élémentaire d'un point le long d'une courbe

     On réalise un paramétrage géométrique de la courbe par abscisse curviligne, étant la position d'un point non « anguleux » [27] d'abscisse curviligne et sa position d'abscisse curviligne infiniment proche ,
     le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe du point d'abscisse curviligne est défini par
     le vecteur déplacement élémentaire «» soit encore «» c.-à-d.
     le vecteur déplacement élémentaire « la différentielle du vecteur position du point » [28] d'où une autre expression de la définition
     du vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe du point «» usuellement noté «» [29].

     Remarque : Pour un point anguleux de la courbe [30] on définit deux vecteurs déplacement élémentaire suivant que le déplacement
          Remarque : Pour un point anguleux de la courbe on définit deux vecteurs envisagé est à gauche « définissant » ou
          Remarque : Pour un point anguleux de la courbe on définit deux vecteurs envisagé est à droite « définissant » [31]

Propriété géométrique du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue

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     Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, étant la position d'un point quelconque non « anguleux » [27] d'abscisse curviligne et
     Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, la position d'un point proche de d'abscisse curviligne voisine ,
      Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement » [32] le long de la courbe du point «»
           Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement » a pour direction la sécante  ;
      Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, quand la variation d'abscisse curviligne devient l'infiniment petit , devient et
      Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, le vecteur « petit déplacement » devient le vecteur déplacement élémentaire  ;
      Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, or la direction de la sécante tend vers la direction tangente à la courbe en [33] quand [34], d'où
      Sur la courbe paramétrée géométriquement par abscisse curviligne, la propriété suivante pour le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe en un point non anguleux [27] :

Définition du vecteur déplacement élémentaire le long d'une courbe continue à l'aide de la base locale de Frenet

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     Sur une courbe continue orientée par le choix arbitraire d'un sens «» permettant le repérage de ses points par abscisse curviligne,
     Sur une courbe continue orientée par le choix arbitraire d'un sens «» on définit, en tout point non anguleux [27] de ,
     Sur une courbe continue orientée par le choix arbitraire d'un sens «» on définit, « un vecteur unitaire tangent à en » orienté dans le sens «»
     Sur une courbe continue orientée par le choix arbitraire d'un sens «» on définit, « un vecteur unitaire tangent à en » appelé « vecteur unitaire tangentiel » [36] et
     Sur une courbe continue orientée par le choix arbitraire d'un sens «» on définit, « constituant le « 1er vecteur de la base locale de Frenet » [37] ;

     le vecteur déplacement élémentaire le long de la courbe du point non « anguleux » [27] d'abscisse curviligne peut être alors défini par «» [38], [39].

Circulation élémentaire d'un champ vectoriel de l'espace le long d'une courbe continue

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     Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet [43] : si la courbe est paramétrée géométriquement par l'abscisse curviligne de ses points,
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : si la courbe est paramétrée géométriquement par le vecteur déplacement élémentaire le long de à partir de s'écrit
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : si la courbe est paramétrée géométriquement par «» où « est le vecteur unitaire tangentiel de Frenet » [43], [44] et
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace le long de la courbe se réécrivant selon
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace «»
           Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : la circulation élémentaire du champ vectoriel de l'espace « est une « forme différentielle de la variable» [45],
          Utilisation du vecteur unitaire tangentiel de Frenet : celle-ci s'identifie à une « différentielle de fonction scalaire de la variable» dès lors que « est une fonction intégrable de ».

Notion d'intégrale curviligne sur une portion de courbe continue

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     Une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue est une intégrale d'une fonction scalaire [46] définie en suivant la courbe dans le sens «»
           Une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue est une intégrale d'une fonction scalaire définie en suivant la courbe d'une position à une position .

     Il y a deux types d'intégrales curvilignes d'une fonction scalaire sur une portion de courbe continue possibles [47] :

Les deux types d'intégrales curvilignes sur une portion de courbe continue

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     Il s'agit d'ajouter des contributions élémentaires d'une fonction scalaire ou vectorielle d'un point assujetti à se déplacer sur une courbe continue  :

  • «» intégrale curviligne de la fonction scalaire de l'espace [48], usuellement appelée « densité linéique de » [49],
  • «» intégrale curviligne construite à partir de la circulation élémentaire de la fonction vectorielle de l'espace ,
    l'intégrale curviligne ainsi définie correspondant à la « circulation du champ vectoriel le long de de à », laquelle est notée «» [50].

Méthode de calcul d'une intégrale curviligne sur une portion de courbe continue

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     Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un paramétrage de sur la courbe  ;
     Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un ce dernier peut être « linéique » par abscisse curviligne [51] ou encore
     Une intégrale curviligne devient une « intégrale sur un segment » après choix d'un ce dernier peut être « temporel » si on connaît le mouvement du point sur , le paramètre étant alors  ;

     dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, et étant respectivement les abscisses curvilignes de et sur  :
     dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, pour le 1er type d'intégrale curviligne, on obtient «» [52] et
     dans le cas d'un paramétrage par abscisse curviligne, pour le 2ème type d'intégrale curviligne «».

Exemples de longueur de courbe ou d'arc de courbe

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     Préliminaire : Un calcul de longueur de courbe ou d'arc de courbe est une intégrale curviligne de la fonction scalaire sur la courbe ou la portion de courbe dont on cherche la longueur [53] ;
     Préliminaire : le résultat ainsi que son établissement doit être connu sans hésitation en ce qui concerne un cercle ou un arc de cercle [54].

     Établissement de la longueur d'un arc de cerclede rayonvue de son centresous l'angle : on utilise le repérage polaire de pôle , « variant de à » et
     Établissement de la longueur d'un arc de cerclede rayonvue de son centresous l'angle : on utilise le repérage polaire de pôle , « restant égal à » d'où
     Établissement de la longueur d'un arc de cerclede rayonvue de son centresous l'angle : la longueur élémentaire d'arc associé à la variation élémentaire d'angle au centre
     Établissement de la longueur d'un arc de cerclede rayonvue de son centresous l'angle : la longueur élémentaire d'arc s'évalue par «» [56] et par suite
     Établissement de la longueur d'un arc de cerclede rayonvue de son centresous l'angle : la longueur de l'arc de cercle se calcule par «».

     Établissement de la longueur d'un cerclede rayon : on utilise le même repérage polaire de pôle le centre du cercle, « variant de à » et
     Établissement de la longueur d'un cerclede rayon : on utilise le même repérage polaire de pôle le centre du cercle, « restant égal à » d'où
     Établissement de la longueur d'un cerclede rayon : la longueur élémentaire d'arc associé à la variation élémentaire d'angle au centre s'évalue par «» [56] et par suite
     Établissement de la longueur d'un cerclede rayon : la longueur du cercle se calcule par «» [57].

     Autres exemples : Longueur d'un arc de la paraboled'équation cartésienneavecentre son sommetet un pointd'abscissequelconque :
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabolele vecteur déplacement élémentaire en quelconque le long de étant «» [58],
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabolela longueur élémentaire en ce même point se calcule par «» ou,
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la paraboleen orientant dans le sens des , par «» d'où
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabolela longueur de l'arc de parabole égale à «» s'évalue en faisant
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la paraboleun 1er changement de variable soit «» avec «» puis
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la paraboleun 2nd changement de variable [59] dont nous déduisons
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole«» avec [60] et, avec la relation de duplication «» [61],
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole«» ce qui s'intègre en «» [59] ou encore,
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la paraboleavec «» [61], «» soit enfin,
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la paraboleavec [62], «» ou
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la paraboleen remplaçant la fonction argument sinus hyperbolique par sa forme logarithmique «» [63]
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la parabole«» [64].

     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmiqued'équation polaireavec[65]entreetd'abscisse angulairequelconque :
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmiquele vecteur déplacement élémentaire en quelconque le long de s'évaluant selon «» [66] soit,
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmiqueaprès différenciation et factorisation «» [67], nous en déduisons
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmiquela longueur élémentaire en ce même point «» ou,
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmiqueen orientant dans le sens des , «» d'où
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmiquela longueur de l'arc de spirale logarithmique égale à «» valant
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmique«» soit finalement
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmique«» [68] ;
     Autres exemples : la longueur d'un arc de spirale logarithmique d'équation polaire avec[65] entre et d'abscisse angulaire quelconque
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmiques'évalue de la même façon mais en tenant compte du fait que est ce qui entraîne les modifications suivantes :
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmique«» et par suite
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmique«» soit finalement
     Autres exemples : Longueur d'un arc de la spirale logarithmique« quand » [69].

     Autres exemples : Longueur d'une ellipsed'équations cartésiennes paramétriques de centre, d'axe focal, de demi-grand axeet de demi-petit-axe «» [70] :
     Autres exemples : Longueur d'une ellipsele vecteur déplacement élémentaire en quelconque le long de s'évaluant selon «» [71] soit,
     Autres exemples : Longueur d'une ellipseaprès différenciation et factorisation «», nous en déduisons
     Autres exemples : Longueur d'une ellipsela longueur élémentaire en ce même point «» ou,
     Autres exemples : Longueur d'une ellipseen orientant dans le sens des , «» soit, en faisant apparaître l'excentricité avec
     Autres exemples : Longueur d'une ellipseen orientant dans le sens des , «» soit, la distance séparant le centre de
     Autres exemples : Longueur d'une ellipseen orientant dans le sens des , «» soit, la distance séparant de l'un ou l'autre de ses foyers [72] et
     Autres exemples : Longueur d'une ellipseen orientant dans le sens des , «» soit, en éliminant au profit de par [72]
     Autres exemples : Longueur d'une ellipseen orientant dans le sens des , «» soit, ou, avec , «»
Autres exemples : Longueur d'une ellipseet, en reportant l'expression de dans celle de , «»
     Autres exemples : Longueur d'une ellipsesoit finalement «» d'où la longueur de l'ellipse se calculant par «[57]

diagramme représentant la longueur d'une ellipse de demi-grand-axe en fonction de son excentricité , c'est aussi, au facteur multiplicatif près, la représentation de la valeur pour de l'« intégrale elliptique incomplète de 2ème espèce « » en fonction de module elliptique

     Autres exemples : Longueur d'une ellipse» [73], [74] ; la longueur de l'ellipse se réécrit,
     Autres exemples : Longueur d'une ellipseen faisant le changement de variable « avec »
     Autres exemples : Longueur d'une ellipse «» ou, comme ,
     Autres exemples : Longueur d'une ellipse permet la simplification suivante «» et enfin, avec
     Autres exemples : Longueur d'une ellipse