Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues

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     On se propose de résoudre un système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues sans et avec second membre.

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Définition

Système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues

     Un système de deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles $\;x\;$ et $\;y\;$ est un système de la forme $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=a\\\gamma \,x+\delta \,y=b\end{array}}\right.$, $\;\alpha ,\;\beta ,\;\gamma \;{\text{et}}\;\delta \;$ étant des cœfficients réels, $\;a\;{\text{et}}\;b\;$ étant les seconds membres (réels) .
     Si $\;a=b=0$ $\;{\big (}$c.-à-d. en absence de seconds membres${\big )}$, le système est dit homogène,
     si « au moins un des seconds membres est non nul », le système est dit hétérogène.

Résolution d'un système homogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues

     Soit à résoudre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=0\\\gamma \,x+\delta \,y=0\end{array}}\right.\;$ où $\;\alpha ,\;\beta ,\;\gamma \;{\text{et}}\;\delta \;$ sont des constantes réelles non nulles, $\;x\;$ et $\;y\;$ étant les variables réelles à déterminer :

Solution triviale

     Nous avons une première solution $\;(x=0,\;y=0)\;$ qualifiée de « triviale » ;
          est-elle unique ?

          Si non, à quelle condition sur $\;\alpha ,\;\beta ,\;\gamma \;{\text{et}}\;\delta \;$ existe-t-il des solutions non triviales ?

Condition d'existence de solutions non triviales

     Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, par exemple $\;\gamma =0\;$ avec $\;\delta \neq 0$, on a nécessairement $\;y=0\;$ comme solution de la 2^ème équation, et par suite :

• si $\;\alpha \neq 0$, $\;x=0\;$ comme solution de la première équation et
• si $\;\alpha =0$, toutes valeurs de $\;x\;$ est solution de la première équation ;

          en première conclusion, si un seul des cœfficients d'une équation est nul $\;{\big (}$par exemple $\;\gamma =0{\big )}\;$ la condition d'existence de solutions non triviales est la nullité du cœfficient correspondant à ce cœfficient nul dans l'autre équation $\;{\big (}$sur l'exemple $\;\alpha =0{\big )}$.

          Si les deux cœfficients d'une équation sont nuls, par exemple $\;\gamma =0\;$ avec $\;\delta =0$, cela supprime cette équation et dans la mesure où il ne reste qu'une équation algébrique linéaire à deux inconnues, on conclut à l'existence de solutions non triviales de cette équation.

     Dans le cas où aucun cœfficient n'est nul, il faut que les deux équations soient « liées » c.-à-d. que l'une soit égale à l'autre à un facteur multiplicatif près, ce qui donne la condition $\;{\dfrac {\alpha }{\gamma }}={\dfrac {\beta }{\delta }}\;$ ou encore $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta$.

À retenir

     La condition pour que le système homogène de deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues $\;x\;$ et $\;y\;$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=0\\\gamma \,x+\delta \,y=0\end{array}}\right.\;$ possède des solutions non triviales est

$\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta \;$.

Obtention des solutions non triviales

     Nous supposons donc $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta$ :

• si $\;\gamma =0\;$ et $\;\delta =0$, il reste à résoudre $\;\alpha \,x+\beta \,y=0\;$ dans laquelle il y a au moins un cœfficient non nul d'où si $\;\beta \neq 0\;$ les solutions non triviales sont $\;\left(x_{0},\;y_{0}=-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\,x_{0},\;x_{0}\in \mathbb {R} \right)$,
• si $\;\gamma =0\;$ et $\;\alpha =0$, il reste à résoudre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\beta \,y=0\\\delta \,y=0\end{array}}\right.\;$ dans laquelle il y a au moins un cœfficient non nul impliquant la solution triviale $\;y=0\;$ d'où les solutions non triviales du système $\;\left(x_{0},\;y_{0}=0,\;x_{0}\in \mathbb {R} \right)$,
• si aucun des cœfficients n'est nul, les deux équations étant liées il ne reste à résoudre que l'une d'entre elles, par exemple $\;\alpha \,x+\beta \,y=0\;$ de solutions non triviales $\;\left(x_{0},\;y_{0}=-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\,x_{0},\;x_{0}\in \mathbb {R} \right)$.

Résolution d'un système hétérogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues

     Soit à résoudre le système hétérogène de deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles $\;x\;$ et $\;y$ : $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=a\\\gamma \,x+\delta \,y=b\end{array}}\right.$, $\;\alpha ,\;\beta ,\;\gamma \;{\text{et}}\;\delta \;$ étant des cœfficients réels, $\;a\;{\text{et}}\;b\;$ étant les seconds membres $\;{\big (}$réels${\big )}\;$ dont l'un au moins est non nul  ; il y a au moins trois méthodes de résolution :

• méthode par substitution ,
• méthode par combinaison et
• méthode par comparaison (graphique) .

Résolution par substitution

     Cette méthode consiste à isoler l'une des inconnues des deux équations, puis à remplacer son expression dans l'équation qui n'a pas été utilisée par exemple :

• si $\;\alpha \neq 0$, on tire de la 1^ère équation $\;x={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y\;$ que l'on reporte dans la 2^ème équation $\;\gamma \left({\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y\right)+\delta \;y=b$, laquelle peut être réécrite selon $\;\left(\delta -\gamma \;{\dfrac {\beta }{\alpha }}\right)\;y=b-\gamma \;{\dfrac {a}{\alpha }}$ $\Leftrightarrow$ $\;\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)\;y=\alpha \;b-\gamma \;a$ ;
       $\;\succ \;$ si $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta \;$ et $\;\alpha \;b\neq \gamma \;a\;$, il n'y a aucune solution réelle finie ;
       $\;\succ \;$ si $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta \;$ et $\;\alpha \;b=\gamma \;a\;$, il y a une infinité de solutions $\;\left({\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y_{0}\;,\;y_{0}\right)\;\;\forall \;y_{0}\in \mathbb {R}$ ;
       $\;\succ \;$ si $\;\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta$, il y a une solution unique $\;\left(x_{0}\;,\;y_{0}\right)\;$ avec $\;y_{0}={\dfrac {\alpha \;b-\gamma \;a}{\alpha \;\delta -\gamma \;\beta }}\;$ et $\;x_{0}={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y_{0}={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;{\dfrac {\alpha \;b-\gamma \;a}{\alpha \;\delta -\gamma \;\beta }}\;$ que l'on peut simplifier selon $\;x_{0}={\dfrac {a\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)-\beta \left(\alpha \;b-\gamma \;a\right)}{\alpha \left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)}}=$ ${\dfrac {\delta \;a-\beta \;b}{\alpha \;\delta -\gamma \;\beta }}\;$ soit finalement $\;\left({\dfrac {\delta \;a-\beta \;b}{\alpha \;\delta -\gamma \;\beta }}\;,\;{\dfrac {\alpha \;b-\gamma \;a}{\alpha \;\delta -\gamma \;\beta }}\right)$ ;

• si $\;\alpha =0$, la 1^ère équation se réécrivant $\;\beta \;y=a\;$ et la 2^ème restant $\;\gamma \,x+\delta \,y=b$, on est conduit à la discussion suivante :
  
       $\;\succ \;$ si $\;\beta =0\;$ et $\;a\neq 0\;$, il n'y a aucune solution réelle finie ;
       $\;\succ \;$ si $\;\beta =0\;$ et $\;a=0\;$, il y a une infinité de solutions $\;\left({\dfrac {b}{\gamma }}-{\dfrac {\delta }{\gamma }}\;y_{0}\;,\;y_{0}\right)\;\;\forall \;y_{0}\in \mathbb {R}$ ;
       $\;\succ \;$ si $\;\beta \neq 0\;$, il y a une solution unique $\;\left(x_{0}\;,\;y_{0}\right)\;$ avec $\;y_{0}={\dfrac {a}{\beta }}\;$ et $\;x_{0}={\dfrac {b}{\gamma }}-{\dfrac {\delta }{\gamma }}\;y_{0}={\dfrac {b}{\gamma }}-{\dfrac {\delta }{\gamma }}\;{\dfrac {a}{\beta }}\;$ que l'on peut simplifier selon $\;x_{0}={\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta }}\;$ soit finalement $\;\left({\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta }}\;,\;{\dfrac {a}{\beta }}\right)$.

Résolution par combinaison (linéaire)

     Remarque préliminaire : Si au moins un des cœfficients $\;\alpha$, $\;\beta$, $\;\gamma \;$ ou $\;\delta \;$ est nul, il est alors préférable de faire une résolution par substitution, le cœfficient nul jouant le rôle du cœfficient $\;\alpha \;$ dans l'exposé de la méthode du paragraphe précédent ;

     Remarque préliminaire : pour la suite nous supposerons donc qu'aucun des cœfficients $\;\alpha$, $\;\beta$, $\;\gamma \;$ et $\;\delta \;$ n'est nul.

     Cette méthode consiste à multiplier les deux membres d'une équation par un même nombre de façon à avoir le même coefficient devant $\;x$ $\;{\big (}$ou devant $\;y{\big )}$ $\;-\;$ on obtient ainsi un système $\;({\mathcal {S}})\;$ équivalent $\;-\;$ puis à conserver une des équations de $\;({\mathcal {S}})\;$ et à remplacer l'autre par l'équation obtenue en soustrayant membre à membre les deux équations de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le but d'éliminer $\;x$ $\;{\big (}$ou devant $\;y{\big )}\;$ et avoir, pour cette dernière équation, une équation à une inconnue $\;y$ $\;{\big (}$ou $\;x{\big )}$, que l'on sait résoudre ;

     par report de la valeur de $\;y$ $\;{\big (}$ou de $\;x{\big )}\;$ dans l'équation non modifiée de $\;({\mathcal {S}})$, on trouve la valeur de l'autre inconnue $\;x$ $\;{\big (}$ou $\;y{\big )}$ ;

     appliquée au système $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=a\\\gamma \,x+\delta \,y=b\end{array}}\right\rbrace \;$ on obtient :

• en conservant la 1^ère équation et en remplaçant la 2^ème par elle-même multipliée par $\;{\dfrac {\alpha }{\gamma }}\;$ de façon à avoir le même cœfficient de $\;x\;$ que la 1^ère on obtient $\;({\mathcal {S}})\;\left\lbrace {\begin{array}{r}\alpha \;x\!\!\!&+&\!\!\!\beta \;y\!\!\!&=&\!\!\!a\\\alpha \;x\!\!\!&+&\!\!\!{\dfrac {\alpha }{\gamma }}\;\delta \;y\!\!\!&=&\!\!\!{\dfrac {\alpha }{\gamma }}\;b\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore,dans le but d'éliminer les fractions,
  en remplaçant la 1^ère équation par elle-même multipliée par $\;\gamma \;$ et la 2^ème par elle-même multipliée par $\;\alpha \;$ toujours de façon à avoir le même cœfficient de $\;x\;$ dans les deux équations soit $\;({\mathcal {S}})\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\gamma \;\alpha \,x+\gamma \;\beta \,y=\gamma \;a\\\alpha \;\gamma \,x+\alpha \;\delta \,y=\alpha \;b\end{array}}\right\rbrace$,
• puis en conservant la 1^ère équation de $\;({\mathcal {S}})\;$ ou en la remplaçant par la 1^ère équation initiale et en remplaçant la 2^ème équation de $\;({\mathcal {S}})\;$ par la différence de ses deux équations soit $\;({\mathcal {S}})\;\Leftrightarrow \;$ $\left\lbrace {\begin{array}{r}\alpha \;x\!\!\!&+&\!\!\!\beta \;y\!\!\!&=&\!\!\!a\\&&\!\!\!\left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)\;y\!\!\!&=&\!\!\!\left(\gamma \;a-\alpha \;b\right)\end{array}}\right\rbrace$ ;
       $\;\succ \;$ si $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta \;$ et $\;\alpha \;b\neq \gamma \;a\;$, il n'y a aucune solution réelle finie ;
       $\;\succ \;$ si $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta \;$ et $\;\alpha \;b=\gamma \;a\;$, il y a une infinité de solutions $\;\left({\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y_{0}\;,\;y_{0}\right)\;\;\forall \;y_{0}\in \mathbb {R}$ ;
       $\;\succ \;$ si $\;\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta$, il y a une solution unique $\;\left(x_{0}\;,\;y_{0}\right)\;$ avec $\;y_{0}={\dfrac {\gamma \;a-\alpha \;b}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;$ et $\;x_{0}={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y_{0}={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;{\dfrac {\gamma \;a-\alpha \;b}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;$ que l'on peut simplifier selon $\;x_{0}={\dfrac {a\left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)-\beta \left(\gamma \;a-\alpha \;b\right)}{\alpha \left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)}}$ $={\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;$ soit finalement $\;\left({\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;,\;{\dfrac {\gamma \;a-\alpha \;b}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\right)$.

Résolution par comparaison (graphique)

     Cette méthode consiste à extraire la même inconnue des deux équations en fonction de l'autre inconnue par exemple elle se fait en exprimant «$\;y\;$ en fonction de $\;x\;$ » ou «$\;x\;$ en fonction de $\;y\;$ », puis en traçant sur un même graphique les deux représentations de «$\;y\;$ en fonction de $\;x\;$» ou de «$\;x\;$ en fonction de $\;y\;$» ; suivant que les deux droites sont :

• parallèles, il n'y a aucune solution,
• confondues, il y a infinité de solutions correspondant aux coordonnées du point générique de la droite commune et
• sécantes, il y a une solution unique correspondant aux coordonnées du point d'intersection des deux droites.

     Pour la suite nous supposerons $\;\beta \neq 0\;$ et $\;\delta \neq 0\;$ ce qui permettra d'extraire des deux équations «$\;y\;$ en fonction de $\;x\;$».

     Pour extraire «$\;y\;$ en fonction de $\;x\;$» des deux équations on multiplie les deux membres de la 1^ère équation par $\;{\dfrac {1}{\beta }}\;$ et les deux membres de la 2^ème équation par $\;{\dfrac {1}{\delta }}\;$ soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}y={\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x\\y={\dfrac {b}{\delta }}-{\dfrac {\gamma }{\delta }}\;x\end{array}}\right\rbrace \;$, puis on trace, dans un même repère $\;xOy$, la droite $\;(\Delta _{1})\;$ d'équation $\;y={\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x\;$ et la droite $\;(\Delta _{2})\;$ d'équation $\;y={\dfrac {b}{\delta }}-{\dfrac {\gamma }{\delta }}\;x$ :

• si $\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}={\dfrac {\gamma }{\delta }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\alpha \;\delta =\beta \;\gamma \;$ et si $\;{\dfrac {a}{\beta }}\neq {\dfrac {b}{\delta }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;a\;\delta \neq b\;\beta$, les deux droites sont parallèles et le système n'a aucune solution,
• si $\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}={\dfrac {\gamma }{\delta }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\alpha \;\delta =\beta \;\gamma \;$ et si $\;{\dfrac {a}{\beta }}={\dfrac {b}{\delta }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;a\;\delta =b\;\beta$, les deux droites sont confondues et le système a une infinité de solutions s'écrivant selon $\;\left({\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x_{0}\;,\;x_{0}\right)\;\;\forall \;x_{0}\in \mathbb {R} \;$ et
• si $\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}\neq {\dfrac {\gamma }{\delta }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\alpha \;\delta \neq \beta \;\gamma$, les deux droites sont sécantes, l'abscisse du point d'intersection obéissant à $\;{\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x={\dfrac {b}{\delta }}-{\dfrac {\gamma }{\delta }}\;x\;$ soit encore $\;\left({\dfrac {\gamma }{\delta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)x={\dfrac {b}{\delta }}-{\dfrac {a}{\beta }}\;$ ou $\;\left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)x=b\;\beta -a\;\delta \;$ d'où $\;x={\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;$ et l'ordonnée du point d'intersection s'écrit $\;y={\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x$ $={\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;{\dfrac {b\;\beta -a\;\delta }{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}={\dfrac {a\left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)-\alpha \left(b\;\beta -a\;\delta \right)}{\beta \left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)}}={\dfrac {\gamma \;a-\alpha \;b}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;$ soit la solution unique $\;\left({\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;,\;{\dfrac {\gamma \;a-\alpha \;b}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\right)$.

Interprétation matricielle

     Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles $\;\left(x\,,\,y\right)$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \;x+\beta \;y=a\;\;({\mathfrak {1}})\\\gamma \;x+\delta \;y=b\;\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right.\;$» dans lequel $\;\left(\alpha \,,\,\beta \,,\,\gamma \,,\,\delta \,,\,a\,,\,b\right)\,\in \,\mathbb {R} ^{6}\;$ peut être réécrit de façon plus compacte sous la forme matricielle suivante $\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]\;$ dans laquelle

• $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{array}}\right]\in M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ c.-à-d. une matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;2\;$ appelée « matrice des cœfficients du système » ,
• $\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;(2,\,1)\;$ appelée « matrice colonne des inconnues »,
• $\;\left[E\right]=\left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;(2,\,1)\;$ appelée « matrice colonne des 2^nds membres » et enfin
• $\;\times \;$ l'opération « multiplication matricielle »  ;

     la résolution de l'équation matricielle $\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]\;$ nécessite de discuter suivant la valeur du déterminant de la « matrice des cœfficients du système » $\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \;$.

Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est non nul

     Si $\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \;$ est $\;\neq 0$, la « matrice des cœfficients du système » $\;\left[A\right]\;$ est inversible c.-à-d. qu'il existe une matrice carrée notée $\;\left[A\right]^{-1}\;$ de même dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}\;$ telle que son produit matriciel à droite $\;{\big (}$ou à gauche${\big )}\;$ avec la matrice donnée $\;\left[A\right]\;$ est la matrice identité de même dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left[I_{2}\right]\;$ soit $\;\left[A\right]^{-1}\times \left[A\right]=\left[I_{2}\right]\;$.

     Détermination de la matrice inverse des cœfficients du système $\;\left[A\right]^{-1}$ : soit $\;\left[A\right]^{-1}=\left[{\begin{array}{c}\alpha '&\beta '\\\gamma '&\delta '\end{array}}\right]\;$ à déterminer telle que $\;\left[{\begin{array}{c}\alpha '&\beta '\\\gamma '&\delta '\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{array}}\right]=$ $\left[{\begin{array}{c}1&0\\0&1\end{array}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha '\;\alpha +\beta '\;\gamma =1\;\;({\mathfrak {1}})\\\alpha '\;\beta +\beta '\;\delta =0\;\;({\mathfrak {2}})\\\gamma '\;\alpha +\delta '\;\gamma =0\;\;({\mathfrak {3}})\\\gamma '\;\beta +\delta '\;\delta =1\;\;({\mathfrak {4}})\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)\alpha '\!\!\!&=&\!\!\!\delta \;\;\;[\delta \;({\mathfrak {1}})-\gamma \;({\mathfrak {2}})]\\\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)\beta '\!\!\!&=&\!\!\!-\beta \;\;\;[\alpha \;({\mathfrak {2}})-\beta \;({\mathfrak {1}})]\\\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)\gamma '\!\!\!&=&\!\!\!-\gamma \;\;\;[\delta \;({\mathfrak {3}})-\gamma \;({\mathfrak {4}})]\\\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)\delta '\!\!\!&=&\!\!\!\alpha \;\;\;[\alpha \;({\mathfrak {4}})-\beta \;({\mathfrak {3}})]\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;\left[A\right]^{-1}={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;\left[{\begin{array}{c}\delta &-\beta \\-\gamma &\alpha \end{array}}\right]$.

     Résolution de l'équation matricielle $\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]$ : on multiplie de part et d'autre à gauche l'équation matricielle par $\;\left[A\right]^{-1}\;$ et on obtient

la solution matricielle $\;\left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]$,

     Résolution de l'équation matricielle en effet $\;\left[A\right]^{-1}\times \left\lbrace \left[A\right]\times \left[X\right]\right\rbrace =\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace \left[A\right]^{-1}\times \left[A\right]\right\rbrace \times \left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left[I_{2}\right]\times \left[X\right]$ $=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]$ soit finalement le résultat compte-tenu de $\;\left[I_{2}\right]\times \left[X\right]=\left[X\right]$.
     Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \;x+\beta \;y=a\;\;({\mathfrak {1}})\\\gamma \;x+\delta \;y=b\;\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right.$ : pour cela on développe le produit matriciel du membre de droite $\;\left[X\right]=$ $\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;\left[{\begin{array}{c}\delta &-\beta \\-\gamma &\alpha \end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]\;$ soit $\;\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;\left[{\begin{array}{c}\delta \;a-\beta \;b\\\alpha \;b-\gamma \;a\end{array}}\right]\;$ soit finalement

la solution unique $\;x={\dfrac {\begin{array}{|c c|}\;a&\beta \;\\\;b&\delta \;\end{array}}{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}}\;$ et $\;y={\dfrac {\begin{array}{|c c|}\;\alpha &a\;\\\;\gamma &b\;\end{array}}{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}}$ ;
ces résultats suivent la « règle de Cramer » .

Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est nul

     Si $\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta =0$, la « matrice des cœfficients du système » $\;\left[A\right]\;$ n'est pas inversible $\;{\Big \{}\not \exists \,\left[B\right]\;$ de même dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}\;$ que $\;\left[A\right]\;$ telle que $\;{\cancel {\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[I_{2}\right]}}\;$ ou $\;{\cancel {\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[I_{2}\right]}}{\Big \}}$, ceci mettant en défaut l'unicité de la solution en cas d'existence et même l'existence de cette dernière ;

     en réécrivant, en terme de déterminant, la discussion exposée dans le paragraphe « résolution par comparaison (graphique) [dans le cas α δ = γ β] » plus haut dans ce chapitre, on peut affirmer :

• si $\;{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}=0\;$ et si $\;{\begin{array}{|c c|}\;a&\beta \;\\\;b&\delta \;\end{array}}\neq 0\;$, il n'y a aucune solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ et
• si $\;{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}=0\;$ et si $\;{\begin{array}{|c c|}\;a&\beta \;\\\;b&\delta \;\end{array}}=0\;$, il y a une infinité de solutions du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ s'écrivant, si $\;\beta \neq 0$, selon $\;\left(x_{0}\;,\;y_{0}={\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x_{0}\right)\;\;\forall \;x_{0}\in \mathbb {R} \;$.

Généralisation à un système de n équations algébriques linéaires à n inconnues (avec n entier naturel supérieur ou égal à trois)

Définition

Système de n équations algébriques linéaires à n inconnues

     Un système de $\;n\;$ équations algébriques linéaires aux $\;n\;$ inconnues réelles $\;\left(x_{i}\right)_{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}$, $\;n\;\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$ est un système de la forme $\left\lbrace {\begin{matrix}a_{1,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{1,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{1,\,n}\;x_{n}=d_{1}\\\vdots \\a_{i,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{i,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{i,\,n}\;x_{n}=d_{i}\\\vdots \\a_{n,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{n,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{n,\,n}\;x_{n}=d_{n}\end{matrix}}\right.$, $\;\left\lbrace a_{i,\,j}\right\rbrace _{\begin{array}{|c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant n\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant n\end{array}}\;$ étant les cœfficients réels du système, $\;\left\lbrace d_{i}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant n}\;$ les seconds membres $\;{\big (}$réels${\big )}\;$.
     Si $\;d_{i}=0\;\;\forall \;i$ $\;{\big (}$c.-à-d. en absence de seconds membres${\big )}$, le système est dit homogène,
     si « au moins un des seconds membres est non nul », le système est dit hétérogène.

Généralisation des méthodes de résolution des systèmes de 2 équations algébriques linéaires à 2 inconnues aux systèmes de n équations algébriques linéaires à n inconnues avec « n > 2 »

     La généralisation des méthodes de résolution « par substitution » ou « par combinaison linéaire » exposées pour un système de $\;2\;$ équations algébriques linéaires à $\;2\;$ inconnues est possible, sachant néanmoins que l'application est rendue d'autant plus difficile que $\;n\;$ est grand.

Résolution par substitution

     Cette méthode consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des $\;n\;$ équations, puis à remplacer son expression dans les $\;(n-1)\;$ équations qui n'ont pas été utilisées, on aboutit ainsi à un système de $\;(n-1)\;$ équations algébriques linéaires à $\;(n-1)\;$ inconnues puis

     on itère la méthode jusqu'à obtenir un système de $\;2\;$ équations algébriques linéaires à $\;2\;$ inconnues $\;\ldots$

Résolution par combinaison linéaire

     Cette méthode consiste à conserver une équation dans laquelle l'apparition d'une des inconnues $\;{\big (}$par exemple $\;x_{n}{\big )}\;$ est effective $\;{\big [}$cette équation conservée étant, par exemple, $({\mathfrak {n}}){\big ]}\;$ et de remplacer chaque équation $\;({\mathfrak {j}}),\;j\neq n\;$ par une combinaison linéaire de $\;({\mathfrak {j}}),\;j\neq n\;$ et $\;({\mathfrak {n}})\;$ dans laquelle $\;x_{n}\;$ est éliminée, on obtient ainsi $\;(n-1)\;$ équations dans lesquelles $\;x_{n}\;$ n'apparaît pas et une dernière équation où $\;x_{n}\;$ figure, c.-à-d., à l'exception de la dernière équation, un système de $\;(n-1)\;$ équations algébriques linéaires à $\;(n-1)\;$ équations puis

     on itère la méthode jusqu'à obtenir un système de $\;2\;$ équations algébriques linéaires à $\;2\;$ inconnues $\;\ldots$

Commentaires

     Si les méthodes « par substitution » ou « par combinaison linéaire » ne posent aucune difficulté théorique, elles peuvent être néanmoins très laborieuses dans la pratique et il convient de ne pas faire les substitutions ou combinaisons linéaires au hasard $\;\ldots$

Interprétation matricielle

     Le système des $\;n\;$ équations algébriques linéaires aux $\;n\;$ inconnues réelles $\;\left(x_{i}\right)_{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}$, «$\left\lbrace {\begin{matrix}a_{1,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{1,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{1,\,n}\;x_{n}=d_{1}\\\vdots \\a_{i,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{i,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{i,\,n}\;x_{n}=d_{i}\\\vdots \\a_{n,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{n,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{n,\,n}\;x_{n}=d_{n}\end{matrix}}\right.$» dans lequel $\;\left\lbrace a_{i,\,j}\right\rbrace _{\begin{array}{|c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant n\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant n\end{array}}\;\in \left(\mathbb {R} \right)^{n^{2}}\;$ et $\;\left\lbrace d_{i}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant n}\;\in \mathbb {R} ^{n}\;$ peut être réécrit de façon plus compacte sous la forme matricielle suivante

$\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]\;$ dans laquelle

• $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}&\cdots &a_{1,\,j}&\cdots &a_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\a_{i,\,1}&\cdots &a_{i,\,j}&\cdots &a_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\a_{n,\,1}&\cdots &a_{n,\,j}&\cdots &a_{n,\,n}\end{array}}\right]\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ c.-à-d. une matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ appelée « matrice des cœfficients du système » ,
• $\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\\vdots \\x_{i}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right]\in M_{n,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;(n,\,1)\;$ appelée « matrice colonne des inconnues »,
• $\;\left[E\right]=\left[{\begin{array}{c}d_{1}\\\vdots \\d_{i}\\\vdots \\d_{n}\end{array}}\right]\in M_{n,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;(n,\,1)\;$ appelée « matrice colonne des 2^nds membres » et
• $\;\times \;$ l'opération « multiplication matricielle »  ;

     la résolution de l'équation matricielle $\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]\;$ nécessite de discuter suivant la valeur du déterminant de la « matrice des cœfficients du système » $\;\mathrm {det} \!\left(A\right)=$ ${\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}&\cdots &a_{1,\,j}&\cdots &a_{1,\,n}\;\\&&\vdots &&\\\;a_{i,\,1}&\cdots &a_{i,\,j}&\cdots &a_{i,\,n}\;\\&&\vdots &&\\\;a_{n,\,1}&\cdots &a_{n,\,j}&\cdots &a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$.

Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est non nul

     Si $\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}&\cdots &a_{1,\,j}&\cdots &a_{1,\,n}\;\\&&\vdots &&\\\;a_{i,\,1}&\cdots &a_{i,\,j}&\cdots &a_{i,\,n}\;\\&&\vdots &&\\\;a_{n,\,1}&\cdots &a_{n,\,j}&\cdots &a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$ est $\;\neq 0$, la « matrice des cœfficients du système » $\;\left[A\right]\;$ est inversible c.-à-d. qu'il existe une matrice carrée notée $\;\left[A\right]^{-1}\;$ de même dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}\;$ telle que son produit matriciel à droite $\;{\big (}$ou à gauche${\big )}\;$ avec la matrice donnée $\;\left[A\right]\;$ est la matrice identité de même dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left[I_{n}\right]\;$ soit $\;\left[A\right]^{-1}\times \left[A\right]=\left[I_{n}\right]\;$.

     Résolution de l'équation matricielle $\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]$ : supposant la matrice inverse de la « matrice des cœfficients du système » $\;\left[A\right]\;$ déterminée c.-à-d. $\;\left[A\right]^{-1}\;$ connue, on multiplie de part et d'autre à gauche l'équation matricielle par $\;\left[A\right]^{-1}\;$ et on obtient

la solution matricielle $\;\left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]$,

       Résolution de l'équation matricielle en effet $\;\left[A\right]^{-1}\times \left\lbrace \left[A\right]\times \left[X\right]\right\rbrace =\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace \left[A\right]^{-1}\times \left[A\right]\right\rbrace \times \left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left[I_{2}\right]\times \left[X\right]$ $=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]$ soit finalement le résultat compte-tenu de $\;\left[I_{2}\right]\times \left[X\right]=\left[X\right]$.

Détermination de la matrice inverse de la matrice des cœfficients du système

     Préliminaire : cette méthode est exposée dans le paragraphe « formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée » du chap.$2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », les connaissances utiles étant rappelées ci-dessous :

Rappel sur la notion de comatrice d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée

     Soit la matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n$, nous avons défini la comatrice de $\;\left[A\right]$, notée $\;\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace$, comme la matrice de ses cofacteurs $\;\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,n}\end{array}}\right]\!\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$, le cofacteur d'indice $\;_{i,\,j}\;$ de la matrice $\;\left[A\right]\;$ étant le scalaire $\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)=$ $(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$ dans laquelle
     $\;\succ$ $\;\left[{A'}_{i,\,j}\right]\;$ est la matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ déduite de $\;\left[A\right]\;$ en remplaçant la j^ème colonne par une colonne constituée uniquement de $\;0\;$ à l'exception du cœfficient de la i^ème ligne remplacé par $\;1\;$ soit $\;\left[{A'}_{i,\,j}\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{1,\,j}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{i,\,j}}}\rightsquigarrow 1\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{n,\,j}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\!\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ et
     $\;\succ$ $\;\left[A_{i,\,j}\right]\;$ est la sous-matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n-1\;$ déduite de $\;\left[A\right]\;$ en supprimant la i^ème ligne et la j^ème colonne soit $\;\left[A_{i,\,j}\right]$ $=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j-1}\!\!&a_{1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i-1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,j-1}\!\!&a_{i-1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,n}\\a_{i+1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,j-1}\!\!&a_{i+1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j-1}\!\!&a_{n,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]$ $\;\in \;M_{n-1}\!\left(\mathbb {R} \right)$, $\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$ définissant un mineur de $\;\left[A\right]$.

Explicitation de la formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée

     Appelant « matrice complémentaire de $\;\left[A\right]\;$» la matrice transposée de la comatrice c.-à-d. $\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace$, la formule de Laplace de détermination de l'inverse de la matrice carrée $\;\left[A\right]$ $\;{\big (}$formule admise${\big )}\;$ s'écrit selon

$\;\left[A\right]^{-1}={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace$.

Explicitation de la solution du système des n équations algébriques linéaires aux n inconnues à l'aide de la règle de Cramer

     Explicitation de la solution du système des n équations algébriques linéaires aux n inconnues $\left\lbrace {\begin{matrix}a_{1,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{1,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{1,\,n}\;x_{n}=d_{1}\\\vdots \\a_{i,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{i,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{i,\,n}\;x_{n}=d_{i}\\\vdots \\a_{n,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{n,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{n,\,n}\;x_{n}=d_{n}\end{matrix}}\right.$ : pour cela on développe le produit matriciel du membre de droite $\;\left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \times \left[{\begin{array}{c}d_{1}\\\vdots \\d_{i}\\\vdots \\d_{n}\end{array}}\right]\;$ soit, en explicitant la matrice complémentaire de $\;\left[A\right]$, $\;\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\\vdots \\x_{i}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right]={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;\left[{\begin{array}{c}\alpha _{1,\,1}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\alpha _{1,\,j}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\alpha _{1,\,n}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,1}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\alpha _{i,\,1}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,i}\!\!&\cdots \!\!&\alpha _{i,\,j}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,i}\!\!&\cdots \!\!&\alpha _{i,\,n}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,i}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\alpha _{n,\,1}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,n}\!\!&\cdots \!\!&\alpha _{n,\,j}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,n}\!\!&\cdots \!\!&\alpha _{n,\,n}=\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,n}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}d_{1}\\\vdots \\d_{i}\\\vdots \\d_{n}\end{array}}\right]\;$ $={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;\left[{\begin{array}{c}\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\alpha _{1,\,j}\;d_{j}\\\vdots \\\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\alpha _{i,\,j}\;d_{j}\\\vdots \\\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\alpha _{n,\,j}\;d_{j}\end{array}}\right]={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;\left[{\begin{array}{c}\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,1}\;d_{j}\\\vdots \\\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,i}\;d_{j}\\\vdots \\\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,n}\;d_{j}\end{array}}\right]\;$ soit $\;x_{i}={\dfrac {\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,i}\;d_{j}}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;$ dans laquelle le numérateur $\;\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{j,\,i}\;d_{j}=\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\mathrm {det} \!\left({A'}_{j,\,i}\right)\,d_{j}=\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{1,\,i}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\\;a_{j,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{j,\,i}}}\rightsquigarrow 1\!\!&\cdots \!\!&a_{j,\,n}\;\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{n,\,i}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;\;d_{j}=\sum \limits _{j\,=\,1\,..\,n}\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{1,\,i}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\\;a_{j,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{j,\,i}}}\rightsquigarrow d_{j}\!\!&\cdots \!\!&a_{j,\,n}\;\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{n,\,i}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$ somme dont il est aisé de vérifier qu'elle peut s'écrire selon le déterminant $\;{\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{1,\,i}}}\rightsquigarrow d_{1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{j,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{j,\,i}}}\rightsquigarrow d_{j}\!\!&\cdots \!\!&a_{j,\,n}\;\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\;a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{n,\,i}}}\rightsquigarrow d_{n}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$ c.-à-d. le déterminant de la matrice $\;\left[A\right]\;$ dans laquelle la i^ème colonne est remplacée par la colonne des 2^nds membres, matrice que nous noterons $\;\left[A_{,\,i\,\leftarrow \,d}\right]\;$ soit finalement

la solution unique $\;x_{i}={\dfrac {\mathrm {det} \!\left(A_{,\,i\,\leftarrow \,d}\right)}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;\;\forall \;i\;\left[\left[1\,,\,n\right]\right]$ ;
ces résultats suivent la « règle de Cramer » .

Exemple d'un système hétérogène de 3 équations algébriques linéaires aux 3 inconnues (x, y, z) dont le déterminant de la matrice des cœfficients du système est non nul (système dit de Cramer)

     Soit le système des $\;3\;$ équations algébriques linéaires aux $\;3\;$ inconnues réelles $\;\left(x\,,\,y\,,\,z\right)$, $\;\left\lbrace {\begin{matrix}3\;x\!\!&+\;y\!\!&\!\!&=\;2\\-5\;x\!\!&\!\!&+\;z\!\!&=\;4\\\;\;x\!\!&+\;y\!\!&+\;z\!\!&=\;6\end{matrix}}\right.$, ce système s'écrit sous forme matricielle $\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]\;$ dans laquelle

• $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}3&1&0\\-5&0&1\\1&1&1\end{array}}\right]\in M_{3}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ est la « matrice des cœfficients du système » , matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;3$,
• $\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ la « matrice colonne des inconnues », matrice de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;(3,\,1)$,
• $\;\left[E\right]=\left[{\begin{array}{c}2\\4\\6\end{array}}\right]\in M_{3,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ la « matrice colonne des 2^nds membres », matrice de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;(3,\,1)\;$ et
• $\;\times \;$ l'opération « multiplication matricielle »  ;

     on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer c.-à-d. tel que $\;\mathrm {det} \!\left(A\right)\;$ est $\;\neq 0$, en effet le calcul de $\;\mathrm {det} \!\left[A\right]=\;{\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&1\!\!&0\;\\\;-5\!\!&0\!\!&1\;\\\;1\!\!&1\!\!&1\;\end{array}}\;$ donne $\;\mathrm {det} \!\left[A\right]=3\times (-1)-(-5)\times 1+1\times 1=3\neq 0$ ;

     la matrice $\;\left[A\right]\;$ étant donc inversible, la solution de l'équation matricielle est unique et peut s'obtenir par

$\;\left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]$ $\;{\Big \{}$apparente simplicité mais il reste à calculer $\;\left[A\right]^{-1}\;\ldots {\Big \}}\;$ dans laquelle

     $\;\left[A\right]^{-1}\;$ est la matrice inverse de la « matrice des cœfficients du système » $\;\left[A\right]$ $\;{\Bigg \{}$par utilisation de formule de Laplace nous obtenons $\;\left[A\right]^{-1}$ $=\left[{\begin{array}{c}-{\dfrac {1}{3}}\!\!&-{\dfrac {1}{3}}\!\!&+{\dfrac {1}{3}}\\+2\!\!&+1\!\!&-1\\-{\dfrac {5}{3}}\!\!&-{\dfrac {2}{3}}\!\!&+{\dfrac {5}{3}}\end{array}}\right]\;$ d'où la solution $\;\left[{\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right]\;$ en développant le produit matriciel $\;\left[{\begin{array}{c}-{\dfrac {1}{3}}\!\!&-{\dfrac {1}{3}}\!\!&+{\dfrac {1}{3}}\\+2\!\!&+1\!\!&-1\\-{\dfrac {5}{3}}\!\!&-{\dfrac {2}{3}}\!\!&+{\dfrac {5}{3}}\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}2\\4\\6\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c}-{\dfrac {2}{3}}-{\dfrac {4}{3}}+{\dfrac {6}{3}}=0\\4+4-6=2\\-{\dfrac {10}{3}}-{\dfrac {8}{3}}+{\dfrac {30}{3}}=4\end{array}}\right]{\Bigg \}}$ mais cette méthode restant un peu laborieuse à cause du calcul de la matrice inverse $\;\left[A\right]^{-1}\;$ il semble préférable d'utiliser la règle de Cramer $\;\ldots$

     le système étant de Cramer , la solution de l'équation matricielle est unique et peut être obtenue par règle de Cramer soit :

• $\;x={\dfrac {\mathrm {det} \!\left(A_{,\,1\,\leftarrow \,d}\right)}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}={\dfrac {1}{3}}\;{\begin{array}{|c c c|}\;2\!\!&1\!\!&0\;\\\;4\!\!&0\!\!&1\;\\\;6\!\!&1\!\!&1\;\end{array}}\;={\dfrac {2\times (-1)-4\times 1+6\times 1}{3}}=0$,
• $\;y={\dfrac {\mathrm {det} \!\left(A_{,\,2\,\leftarrow \,d}\right)}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}={\dfrac {1}{3}}\;{\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&2\!\!&0\;\\\;-5\!\!&4\!\!&1\;\\\;1\!\!&6\!\!&1\;\end{array}}\;={\dfrac {3\times (4-6)-(-5)\times 2+1\times 2}{3}}=2\;$ et
• $\;z={\dfrac {\mathrm {det} \!\left(A_{,\,3\,\leftarrow \,d}\right)}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}={\dfrac {1}{3}}\;{\begin{array}{|c c c|}\;3\!\!&1\!\!&2\;\\\;-5\!\!&0\!\!&4\;\\\;1\!\!&1\!\!&6\;\end{array}}\;={\dfrac {3\times (-4)-(-5)\times (6-2)+1\times 4}{3}}=4$.

Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est nul

     Si ${\displaystyle \;\ma$