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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On se propose de résoudre un système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues sans et avec second membre.
Système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues
Un système de deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles
et
est un système de la forme
,
étant des cœfficients réels,
étant les seconds membres
réels
[1].
Si
c.-à-d. en absence de seconds membres
, le système est dit homogène,
si « au moins un des seconds membres est non nul », le système est dit hétérogène.
Résolution d'un système homogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues
modifier
Soit à résoudre
où
sont des constantes réelles non nulles,
et
étant les variables réelles à déterminer :
Nous avons une 1ère solution
qualifiée de « triviale » ; est-elle unique ?
Nous avons une 1ère solution
qualifiée de « triviale » ; Si non, à quelle condition sur
existe-t-il des solutions non triviales ?
Condition d'existence de solutions non triviales
modifier
Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, par exemple
avec
, on a nécessairement
comme solution de la 2ème équation, et par suite :
Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, par exemple
avec
,
si
,
comme solution de la 1ère équation et
Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, par exemple
avec
,
si
, toutes valeurs de
est solution de la 1ère équation ;
Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, en 1ère conclusion, si un seul des cœfficients d'une équation est nul
par exemple
Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, en 1ère conclusion, la condition d'existence de solutions non triviales est la nullité du cœfficient correspondant à ce cœfficient nul dans l'autre équation
Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, en 1ère conclusion, la condition d'existence de solutions non triviales est
sur l'exemple
.
Tout d'abord Si les deux cœfficients d'une équation sont nuls, par exemple
avec
, cela supprime cette équation, il ne reste plus qu'une équation algébrique linéaire à deux inconnues,
Tout d'abord Si les deux cœfficients d'une équation sont nuls, par exemple
avec
, on conclut à l'existence de solutions non triviales de cette équation.
Tout d'abord Si aucun cœfficient n'est nul, pour qu'il existe des solutions non triviales il faut que les deux équations soient « liées » c.-à-d.
Tout d'abord Si aucun cœfficient n'est nul, pour qu'il existe des solutions non triviales il faut que l'une soit égale à l'autre à un facteur multiplicatif près, ce qui donne la condition
ou encore
Tout d'abord Si aucun cœfficient n'est nul, pour qu'il existe des solutions non triviales il faut que l'une soit égale à l'autre à un facteur multiplicatif près, ce qui donne la condition
.
Obtention des solutions non triviales
modifier
Nous supposons donc
:
si
et
, il reste à résoudre
dans laquelle il y a au moins un cœfficient non nul [3] d'où
Nous supposons donc
:
si
et
, il reste à résoudre
si
les solutions non triviales sont
,
Nous supposons donc
:
si
et
, il reste à résoudre
[4] dans laquelle il y a au moins un cœfficient non nul [3] impliquant la solution triviale
d'où
Nous supposons donc
:
si
et
, il reste à résoudre
les solutions non triviales du système
,
Nous supposons donc
:
si aucun des cœfficients n'est nul, les deux équations étant liées il reste à résoudre l'une d'entre elles, par exemple
Nous supposons donc
:
si aucun des cœfficients n'est nul, les deux équations étant liées il reste à résoudre
de solutions non triviales
.
Résolution d'un système hétérogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues
modifier
Soit à résoudre le système hétérogène de deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles
et
:
,
étant des cœfficients réels,
Soit à résoudre le système hétérogène de deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles
et
:
étant les seconds membres
réels
dont l'un au moins est non nul [1] ;
Soit à résoudre le système hétérogène il y a au moins trois méthodes de résolution :
méthode par substitution [5],
Soit à résoudre le système hétérogène il y a au moins trois méthodes de résolution :
méthode par combinaison linéaire [6] et
Soit à résoudre le système hétérogène il y a au moins trois méthodes de résolution :
méthode par comparaison
graphique
[7].
Cette méthode consiste à isoler l'une des inconnues des deux équations
, puis à remplacer son expression dans l'équation qui n'a pas été utilisée par exemple :
- si
, on tire de la 1ère équation «
» que l'on reporte dans la 2ème équation «
», laquelle peut être réécrite selon «
» ou
si
, on tire de la 1ère équation «
» que l'on reporte dans la 2ème équation «
» ;
si
, on tire de la 1ère équation «
» que l'on reporte dans la 2ème équation
si
et
[8], il n'y a aucune solution réelle finie ;
si
, on tire de la 1ère équation «
» que l'on reporte dans la 2ème équation
si
et
[9], il y a une infinité de solutions
;
si
, on tire de la 1ère équation «
» que l'on reporte dans la 2ème équation
si
, il y a une solution unique
avec
ou encore
si
, on tire de la 1ère équation «
» que l'on reporte dans la 2ème équation
si
,
expression de
que l'on peut simplifier selon
si
, on tire de la 1ère équation «
» que l'on reporte dans la 2ème équation
si
,
soit finalement
si
, on tire de la 1ère équation «
» que l'on reporte dans la 2ème équation
si
, la solution unique «
» ;
- si
, la 1ère équation se réécrivant «
» et la 2ème restant «
», on est conduit à la discussion suivante :
si
,
si
et
[10], il n'y a aucune solution réelle finie ;
si
,
si
et
[11], il y a une infinité de solutions
;
si
,
si
[12], il y a une solution unique
avec
et
[13] que l'on peut simplifier selon
soit finalement
si
,
si
, il y a une solution unique«
».
Résolution par combinaison (linéaire)
modifier
Remarque préliminaire : Si au moins un des cœfficients
,
,
ou
est nul, il est alors préférable de faire une résolution par substitution,
Remarque préliminaire : Si au moins un le cœfficient nul jouant le rôle du cœfficient
dans l'exposé de la méthode du paragraphe « résolution par substitution » plus haut dans ce chapitre ;
Remarque préliminaire : pour la suite nous supposerons donc qu'aucun des cœfficients
,
,
et
n'est nul.
Cette méthode consiste à multiplier les deux membres d'une équation par un même nombre de façon à avoir le même coefficient devant
ou devant
dans chaque équation,
Cette méthode consiste à multiplier les deux membres d'une équation par un même nombre de façon à avoir le même coefficient devant
on obtient ainsi un système
équivalent, puis
Cette méthode consiste à conserver une des équations de
et
Cette méthode consiste à remplacer l'autre par l'équation obtenue en soustrayant membre à membre les deux équations de
dans le but d'éliminer
ou
et
Cette méthode consiste à avoir, pour cette dernière équation, une équation à une inconnue
ou
, que l'on sait résoudre ;
Cette méthode consiste par report de la valeur de
ou de
dans l'équation non modifiée de
, on trouve la valeur de l'autre inconnue
ou
;
Cette méthode consiste appliquée au système
on obtient :
- en conservant la 1ère équation et en remplaçant la 2ème par elle-même multipliée par
de façon à avoir le même cœfficient de
que la 1ère on obtient
ou,
en conservant la 1ère équation et en remplaçant la 2ème par elle-même multipliée par
de façon à avoir le même cœfficient de
que la 1ère on obtient
dans le but d'éliminer les fractions,
en remplaçant la 1ère équation par elle-même multipliée par
et la 2ème par elle-même multipliée par
toujours de façon à avoir le même cœfficient de
dans les deux équations on obtient
en conservant la 1ère équation et en remplaçant la 2ème par elle-même multipliée par
de façon à avoir le même cœfficient de
que la 1ère on obtient
,
- puis en conservant la 1ère équation de
ou en la remplaçant par la 1ère équation de
[14]
et
puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient
;
puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient
si
et
[8], il n'y a aucune solution réelle finie ;
puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient
si
et
[9], il y a une infinité de solutions
;
puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient
si
, il y a une solution unique
avec
[15] et
puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient
si
, il y a une solution unique
avec
ou
puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient
si
, il y a une solution unique
avec
puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient
si
, il y a une solution unique
avec
[16] soit finalement
puis en remplaçant la 2ème par la différence de ses deux équations on obtient
si
, il y a une solution unique«
».
Résolution par comparaison (graphique)
modifier
Cette méthode consiste à extraire la même inconnue des deux équations en fonction de l'autre inconnue par exemple
Cette méthode elle se fait en exprimant «
en fonction de
[17] » ou «
en fonction de
[18] », puis
Cette méthode elle se fait en traçant sur un même graphique les deux représentations de «
en fonction de
» ou de «
en fonction de
» ;
Cette méthode elle se fait en traçant sur un même graphique si les deux droites sont
parallèles, il n'y a aucune solution,
Cette méthode elle se fait en traçant sur un même graphique si les deux droites sont
confondues, il y a infinité de solutions correspondant aux coordonnées du point générique de la droite commune et
Cette méthode elle se fait en traçant sur un même graphique si les deux droites sont
sécantes, il y a une solution unique correspondant aux coordonnées du point d'intersection des deux droites.
Pour la suite nous supposerons
et
ce qui permettra d'extraire des deux équations «
en fonction de
».
Pour extraire «
en fonction de
» des deux équations on multiplie les deux membres de la 1ère équation par
et
Pour extraire «
en fonction de
» des deux équations on multiplie les deux membres de la 2ème équation par
soit «
» [19], puis
Pour extraire «
en fonction de
» des deux équations on trace, dans un même repère
, la droite
d'équation
et
Pour extraire «
en fonction de
» des deux équations on trace, dans un même repère
, la droite
d'équation
:
Pour extraire «
en fonction de
» des deux équations
si
et si
, les deux droites sont parallèles et le système n'a aucune solution,
Pour extraire «
en fonction de
» des deux équations
si
et si
, les deux droites sont confondues et le système a une infinité de solutions s'écrivant
Pour extraire «
en fonction de
» des deux équations
si
et si
, les deux droites sont confondues et «
» [20] et
Pour extraire «
en fonction de
» des deux équations
si
, les deux droites sont sécantes, l'abscisse du point d'intersection obéissant à
soit
Pour extraire «
en fonction de
» des deux équations
si
, les deux droites sont sécantes
ou
d'où
Pour extraire «
en fonction de
» des deux équations
si
, les deux droites sont sécantes
dont on déduit
Pour extraire «
en fonction de
» des deux équations
si
, les deux droites sont sécantes l'ordonnée du point d'intersection
ou
Pour extraire «
en fonction de
» des deux équations
si
, les deux droites sont sécantes
soit
Pour extraire «
en fonction de
» des deux équations
si
, les deux droites sont sécantes la solution unique «
».
Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles
«
» dans lequel
Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit de façon plus compacte sous la forme matricielle [21] «
» dans laquelle
Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit
«
» [22] c.-à-d. une matrice carrée de dimension
ou taille
appelée
Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit
« matrice des cœfficients du système » [23],
Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit
«
» [24] c.-à-d. une matrice colonne de dimension
ou taille
appelée
Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit
« matrice colonne des inconnues »,
Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit
«
» [24] c.-à-d. une matrice colonne de dimension
ou taille
appelée
Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit
« matrice colonne des 2nds membres » et enfin
Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit
«
» l'opération « multiplication matricielle » [25] ;
la résolution de l'équation matricielle
nécessite de discuter suivant la valeur du déterminant de la « matrice des cœfficients du système » [23] c.-à-d.
la résolution de l'équation matricielle
nécessite de discuter suivant la valeur de «
» [26], [27].
Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est non nul
modifier
Pour «
», la « matrice des cœfficients du système » [23]
est inversible
il existe une matrice carrée notée
de même dimension
ou taille
telle que
Pour «
», la « matrice des cœfficients du système »
est inversible
son produit matriciel à droite
ou à gauche
avec la matrice donnée
[25]
Pour «
», la « matrice des cœfficients du système »
est inversible
est la matrice identité de même dimension
ou taille
[22] soit
Pour «
», la « matrice des cœfficients du système »
est inversible
«
» [28]
.
Détermination de la matrice inverse des cœfficients du système
: soit
à déterminer telle que
[29]
Détermination de la matrice inverse des cœfficients du système
:
[30], d'où «
» [32].
Résolution de l'équation matricielle
: on multiplie de part et d'autre à gauche l'équation matricielle par
et on obtient la « solution matricielle
»,
Résolution de l'équation matricielle
: en effet
[33]
soit finalement
Résolution de l'équation matricielle
: «
» compte-tenu de
.
Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues
: pour cela on développe le produit matriciel du membre de droite de la solution de l'équation matricielle associée «
» soit «
[32]
» [34] soit finalement
Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues
: la solution unique «
[35] » et
Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues
: la solution unique «
[36] »,
Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues
: ces résultats exprimés sous forme de quotient de déterminants définissant
Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues : ces résultats la « règle de Cramer » [37], [38], [39].
Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est nul
modifier
Si «
», la « matrice des cœfficients du système » [23]
n'est pas inversible
de même dimension
ou taille
que
telle que
Si «
», la « matrice des cœfficients du système »
n'est pas inversible
de même dimension
ou taille
que
telle que ou
,
Si «
», la « matrice des cœfficients du système »
n'est pas inversible ceci mettant en défaut l'unicité de la solution en cas d'existence et même
Si «
», la « matrice des cœfficients du système »
n'est pas inversible ceci mettant en défaut l'existence de cette dernière ;
en réécrivant, en termes de déterminant, la discussion exposée dans le paragraphe « résolution par comparaison (graphique) [dans le cas α δ = γ β] » plus haut dans ce chapitre, on peut affirmer :
- si
et si
[40], il n'y a aucune solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues
et
- si
et si
[41], il y a une infinité de solutions du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues
si
et si
, il y a une infinité de solutions s'écrivant, si
, selon «
» [42].
Généralisation à un système de n équations algébriques linéaires à n inconnues (avec n entier naturel supérieur ou égal à trois)
modifier
Système de n équations algébriques linéaires à n inconnues
Un système de
![{\displaystyle \;n\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adcbbe79c6832c0b68d0679803f7a668f4cc06cf)
équations algébriques linéaires aux
![{\displaystyle \;n\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adcbbe79c6832c0b68d0679803f7a668f4cc06cf)
inconnues réelles
![{\displaystyle \;\left(x_{i}\right)_{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2227b0f9fadf80d92e828dcb66d15689730e12e7)
,
![{\displaystyle \;n\;\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e925941dd3548b86e9e493ff91e84420106061a0)
est un système de la forme
,
étant les cœfficients réels du système et
les seconds membres
réels
[1]. Si
![{\displaystyle \;{\big (}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/363181ed7b77ab61b5a1c7ff5682bc4c0071ee87)
c.-à-d. en absence de seconds membres
![{\displaystyle {\big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fce761ae2e3b447058cb0fbb2ac4bdaa3b709b2b)
, le système est dit
homogène,
si «
au moins un des seconds membres est
non nul », le système est dit
hétérogène.
Généralisation des méthodes de résolution des systèmes de 2 équations algébriques linéaires à 2 inconnues aux systèmes de n équations algébriques linéaires à n inconnues avec « n > 2 »
modifier
La généralisation des méthodes de résolution « par substitution » ou « par combinaison linéaire » exposées pour un système de
équations algébriques linéaires à
inconnues est possible, sachant néanmoins que l'application est rendue d'autant plus difficile que
est grand.
Cette méthode consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des
équations, puis à remplacer son expression dans les
équations qui n'ont pas été utilisées, on aboutit ainsi à un système de
équations algébriques linéaires à
inconnues puis
on itère la méthode jusqu'à obtenir un système de
équations algébriques linéaires à
inconnues
Résolution par combinaison linéaire
modifier
Cette méthode consiste à conserver une équation dans laquelle l'apparition d'une des inconnues
par exemple
est effective
cette équation conservée étant, par exemple,
et de remplacer chaque équation
par une combinaison linéaire de
et
dans laquelle
est éliminée, on obtient ainsi
équations dans lesquelles
n'apparaît pas et une dernière équation où
figure, c.-à-d., à l'exception de la dernière équation, un système de
équations algébriques linéaires à
équations puis
on itère la méthode jusqu'à obtenir un système de
équations algébriques linéaires à
inconnues
Si les méthodes « par substitution » ou « par combinaison linéaire » ne posent aucune difficulté théorique, elles peuvent être néanmoins très laborieuses dans la pratique et il convient de ne pas faire les substitutions ou combinaisons linéaires au hasard
Le système des
équations algébriques linéaires aux
inconnues réelles
, «
» dans lequel
Le système des
équations algébriques linéaires aux
inconnues peut être réécrit de façon plus compacte sous la forme matricielle [21] «
» dans laquelle
[22] c.-à-d. une matrice carrée de dimension
ou taille
appelée « matrice des cœfficients du système » [23],
[24] c.-à-d. une matrice colonne de dimension
ou taille
appelée « matrice colonne des inconnues »,
[24] c.-à-d. une matrice colonne de dimension
ou taille
appelée « matrice colonne des 2nds membres » et
l'opération « multiplication matricielle » [25] ;
la résolution de l'équation matricielle
nécessite de discuter suivant la valeur du déterminant de la « matrice des cœfficients du système » [23], [27]
la résolution de l'équation matricielle
nécessite de discuter suivant la valeur du déterminant «
» [26].
Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est non nul
modifier
Si «
est
», la « matrice des cœfficients du système » [23]
est inversible
il existe une matrice carrée notée
de même dimension
ou
Si «
est
», la « matrice des cœfficients du système »
est inversible
taille
telle que son produit matriciel à droite
ou à gauche
avec
Si «
est
», la « matrice des cœfficients du système »
est inversible
la matrice donnée
[25] est la matrice identité de même dimension
Si «
est
», la « matrice des cœfficients du système »
est inversible ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\big \{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a816b74d3bada5f85dc2b8930c40f22a500814)
ou taille
[22] soit «
» [43]
.
Résolution de l'équation matricielle
: supposant la matrice inverse de la « matrice des cœfficients du système » [23]
déterminée c.-à-d.
connue,
Résolution de l'équation matricielle
: on multiplie de part et d'autre à gauche l'équation matricielle par
et on obtient la solution matricielle «
»,
Résolution de l'équation matricielle
: en effet
[33]
soit finalement
Résolution de l'équation matricielle
: «
» compte-tenu de
.
Détermination de la matrice inverse de la matrice des cœfficients du système
modifier
Préliminaire : cette méthode est exposée dans le paragraphe « formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », les connaissances utiles étant rappelées ci-dessous :
Rappel sur la notion de comatrice d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée
modifier
Soit la « matrice carrée
de dimension
ou taille
», nous définissons
Soit la « comatrice de
, notée
, comme la matrice de ses cofacteurs
[44] »,
Soit le « cofacteur d'indice
de la matrice
étant le scalaire
[44] » dans laquelle
Soit le « cofacteur d'indice
de la matrice
étant le scalaire
est la matrice carrée de dimension
ou taille
déduite de
en remplaçant la jème colonne
Soit le « cofacteur d'indice
de la matrice
étant le scalaire
par une colonne constituée uniquement de
à l'exception du cœfficient de la ième ligne remplacé par
Soit le « cofacteur d'indice
de la matrice
étant le scalaire
soit
et
Soit le « cofacteur d'indice
de la matrice
étant le scalaire
est la sous-matrice carrée de dimension
ou taille
déduite de
en supprimant la ième ligne et
Soit le « cofacteur d'indice
de la matrice
étant le scalaire
la jème colonne soit
,
Soit le « cofacteur d'indice
de la matrice
étant le scalaire
étant le déterminant de la sous-matrice
et définissant un « mineur de
».
Appelant « matrice complémentaire de
» la matrice transposée [45] de la comatrice [46] c.-à-d.
,
la formule de Laplace [47] de détermination de l'inverse de la matrice carrée
formule admise
s'écrit selon «
».
Explicitation de la solution du système des n équations algébriques linéaires aux n inconnues à l'aide de la règle de Cramer
modifier
Explicitation de la solution du système des n équations algébriques linéaires aux n inconnues
: pour cela on développe
explicitation de la solution du système le produit matriciel du membre de droite
soit, en explicitant la « matrice complémentaire de
» [48],
explicitation de la solution du système
explicitation de la solution du système
soit
explicitation de la solution du système
de numérateur
explicitation de la solution du système
de numérateur
somme dont il est aisé de
explicitation de la solution du système
de numérateur vérifier qu'elle peut s'écrire selon le déterminant
c.-à-d.
explicitation de la solution du système
de numérateur vérifier qu'elle peut s'écrire selon le déterminant de la matrice
dans laquelle la ième colonne est
explicitation de la solution du système
de numérateur vérifier qu'elle peut s'écrire selon remplacée par la colonne des 2nds membres,
explicitation de la solution du système
de numérateur vérifier qu'elle peut s'écrire selon le déterminant de la matrice que nous noterons
soit finalement
explicitation de la solution du système la solution unique «
», ce résultat suivant la « règle de Cramer » [37], [38].
Exemple d'un système hétérogène de 3 équations algébriques linéaires aux 3 inconnues (x, y, z) dont le déterminant de la matrice des cœfficients du système est non nul (système dit de Cramer)
modifier
Soit à résoudre le système des
équations algébriques linéaires aux
inconnues réelles «
,
»,
Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» [22] est la « matrice des cœfficients du système » [23],
Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» est la « matrice carrée de dimension
ou taille
,
Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» [24] la « matrice colonne des inconnues »,
Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» la « matrice de dimension
ou taille
,
Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» [24] la « matrice colonne des 2nds membres », Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» la « matrice de dimension
ou taille
et
Soit à résoudre ce système s'écrivant sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» l'opération « multiplication matricielle » [25] ;
on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer [37] c.-à-d. tel que
est
, en effet le calcul de
donne
on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer c.-à-d. tel que
est
, en effet le calcul de
[49], [50] ;
on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer la matrice
étant donc inversible, la solution de l'équation matricielle est unique et peut s'obtenir par «
» [51] où
on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer
est la matrice inverse de la « matrice des cœfficients du système » [23]
par utilisation de la formule de Laplace [47],
on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer «
» [52] ou encore «
» [53] d'où
on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer la solution
en développant le produit matriciel
mais
on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer cette méthode restant un peu laborieuse à cause du calcul de la matrice inverse
on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien d'un système de Cramer cette méthode restant un peu laborieuse il semble préférable d'utiliser la règle de Cramer [37]
on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien le système étant de Cramer [37], la solution de l'équation matricielle est unique et peut être obtenue par règle de Cramer [37], [54] soit
on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien le système étant de Cramer, la solution
«
[49], [50]
» [55],
on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien le système étant de Cramer, la solution
«
[49], [50]
» [56] et
on vérifie tout d'abord qu'il s'agit bien le système étant de Cramer, la solution
«
[49], [50]
» [57].
Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est nul
modifier
Si «
est
», la « matrice des cœfficients du système » [23]
n'est pas inversible
matrice carrée de même dimension
ou taille
que
Si «
est
», la « matrice des cœfficients du système »
n'est pas inversible ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\big \{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a816b74d3bada5f85dc2b8930c40f22a500814)
telle que son produit matriciel à droite
ou à gauche
avec
Si «
est
», la « matrice des cœfficients du système »
n'est pas inversible
la matrice
[25] est la matrice identité de même dimension
Si «
est
», la « matrice des cœfficients du système »
n'est pas inversible ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\big \{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a816b74d3bada5f85dc2b8930c40f22a500814)
ou taille
[22] c.-à-d. «
» ou
Si «
est
», la « matrice des cœfficients du système »
n'est pas inversible ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\big \{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a816b74d3bada5f85dc2b8930c40f22a500814)
ou taille
c.-à-d. «
»
, ceci mettant
Si «
est
», la « matrice des cœfficients du système »
n'est pas inversible
en défaut l'unicité de la solution en cas d'existence et même
Si «
est
», la « matrice des cœfficients du système »
n'est pas inversible
en défaut l'existence de cette dernière.
Généralités (admises) sur l'existence de solutions dans le cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est nul
modifier
- Si « le déterminant d'une des matrices
est non nul »
matrice
dans laquelle la jème colonne est remplacée par celle des 2nds membres
,
Si « le déterminant d'une des matrices
est non nul » il n'y a pas de solution au système des
équations algébriques linéaires aux
inconnues ;
- si « les déterminants de toutes les matrices
sont nuls »
matrice
dans laquelle la jème colonne est remplacée par celle des 2nds membres
,
si « les déterminants de toutes les matrices
sont nuls » il existe le plus souvent une infinité de solutions mais
si « les déterminants de toutes les matrices
sont nuls » dans certains cas il n'en existe aucune suivant le théorème de Rouché-Fontené [58], [59] :
si « les déterminants de toutes les matrices
sont nuls »
la « matrice des cœfficients du système » [23]
étant de rang
[60], [61],
si « les déterminants de toutes les matrices
sont nuls »
si la matrice augmentée
[62] est de rang [60] égal à celui de la matrice
[63],
si « les déterminants de toutes les matrices
sont nuls »
il y a une infinité de solutions formant un sous-espace affine de
de dimension
et
si « les déterminants de toutes les matrices
sont nuls »
la « matrice des cœfficients du système » [23]
étant de rang
[60], [61],
si « les déterminants de toutes les matrices
sont nuls »
si la matrice augmentée
[62] est de rang [60] supérieur à celui de la matrice
[63],
si « les déterminants de toutes les matrices
sont nuls »
il n'y a aucune solution [64].
Exemple d'un système hétérogène de 3 équations algébriques linéaires aux 3 inconnues (x, y, z) dont le déterminant de la matrice des cœfficients du système est nul
modifier
1er exemple : soit le système des
équations algébriques linéaires aux
inconnues réelles «
,
»,
1er exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» [22] est la « matrice des cœfficients du système » [23],
1er exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» est la « matrice carrée de dimension
ou taille
,
1er exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» [24] la « matrice colonne des inconnues »,
1er exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» la « matrice de dimension
ou taille
,
1er exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» [24] la « matrice colonne des 2nds membres »,
1er exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» la « matrice de dimension
ou taille
et
1er exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» l'opération « multiplication matricielle » [25] ;
1er exemple : on vérifie en 1er que le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » [23]
, en effet le calcul de
donne
1er exemple : on vérifie en 1er que le déterminant de la « matrice des cœfficients du système »
, en effet le calcul de
[49], [50], [65] ;
1er exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice
est nul
matrice
où la jème colonne est remplacée par celle des 2nds membres
,
1er exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice
est nul en effet
[49], [50], [66],
1er exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice
est nul en effet
[49], [50], [67] et
1er exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice
est nul en effet
[49], [50], [68] ;
1er exemple : la matrice
n'étant pas inversible, on détermine son rang
[60] soit
les colonnes
et
étant indépendantes l'une de l'autre de façon évidente et
1er exemple : la matrice
n'étant pas inversible, on détermine son rang
soit
la colonne
étant une C.L. [69] des colonnes
et
selon
;
1er exemple : la matrice augmentée
[62] s'écrivant
, on détermine son rang [60] en recherchant si la colonne
est une C.L. [69] ou non des colonnes
et
[70],
1er exemple : la matrice augmentée
s'écrivant
, on détermine son rang or la colonne
est donc C.L. [69] des colonnes
et
1er exemple : la matrice augmentée
s'écrivant
, on détermine son rang
le rang [60] de la matrice augmentée
[62] vaut
1er exemple : la matrice augmentée
s'écrivant
, on détermine son rang
le rang de la matrice augmentée
au rang
de la matrice
d'où
1er exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené [58], [59], il existe une infinité de solutions formant un sous-espace affine de l'espace affine
de
de dimension
1er exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant
le sous-espace affine
contient le point
[71] et a pour
1er exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant
direction [72] le sous-espace vectoriel
engendré par le vecteur de matrice coordonnées
1er exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant ![{\displaystyle \color {transparent}{\bigg [}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501496ed60bbed93229275149aea89bca2d98cc4)
correspondant à la colonne
de la matrice
, soit
1er exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant ![{\displaystyle \color {transparent}{\bigg [}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501496ed60bbed93229275149aea89bca2d98cc4)
et
.
2ème exemple : soit le système des
équations algébriques linéaires aux
inconnues réelles «
,
»,
2ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» [22], [73] est la « matrice des cœfficients du système » [23],
2ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» est la « matrice carrée de dimension
ou taille
,
2ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» [24] la « matrice colonne des inconnues »,
2ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» la « matrice de dimension
ou taille
,
2ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» [24], [74] la « matrice colonne des 2nds membres »,
2ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» la « matrice de dimension
ou taille
et
2ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» l'opération « multiplication matricielle » [25] ;
2ème exemple : le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » [23]
est donc
[73] ;
2ème exemple : on vérifie qu'il y a au moins un déterminant des matrices
matrice
où la jème colonne est remplacée par celle des 2nds membres
,
2ème exemple : on vérifie qu'il y a au moins un déterminant des matrices
car
[49], [50], [75],
2ème exemple : on vérifie qu'il y a au moins un déterminant des matrices
car
[49], [50], [76] et
2ème exemple : on vérifie qu'il y a au moins un déterminant des matrices
car
[49], [50], [77] ;
2ème exemple : il n'y a donc pas de solution du système [78]
;
2ème exemple : remarque : le rang
[60] de la matrice
étant
[73], on vérifie que celui de la matrice augmentée
[62]
vaut
[79],
2ème exemple : remarque : le rang
de la matrice
étant
, en effet la colonne
n'est pas une C.L. [69] des colonnes
et
[70],
pour le vérifier on impose une relation de liaison
2ème exemple : remarque : le rang
de la matrice
étant
, en effet entre les trois colonnes
[80], [81]
.
3ème exemple : soit le système des
équations algébriques linéaires aux
inconnues réelles «
,
»,
3ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» [22] est la « matrice des cœfficients du système » [23],
3ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» est la « matrice carrée de dimension
ou taille
,
3ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» [24] la « matrice colonne des inconnues »,
3ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» la « matrice de dimension
ou taille
,
3ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» [24] la « matrice colonne des 2nds membres »,
3ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» la « matrice de dimension
ou taille
et
3ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» l'opération « multiplication matricielle » [25] ;
3ème exemple : on vérifie en 1er que le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » [23]
, en effet le calcul de
donne
3ème exemple : on vérifie en 1er que le déterminant de la « matrice des cœfficients du système »
, en effet le calcul de
[49], [50] ;
3ème exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice
est nul
matrice
où la jème colonne est remplacée par celle des 2nds membres
,
3ème exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice
est nul en effet
[49], [50],
3ème exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice
est nul en effet
[49], [50] et
3ème exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice
est nul en effet
[49], [50] ;
3ème exemple : la matrice
n'étant pas inversible, on détermine son rang
[60] soit
de façon évidente
les colonnes
et
sont des multiples de la colonne
selon
3ème exemple : la matrice
n'étant pas inversible, on détermine son rang
soit
de façon évidente
«
» et «
»
;
3ème exemple : la matrice augmentée
[62] s'écrivant
, on détermine son rang [60] en recherchant si la colonne
est multiple ou non de la colonne
[82],
3ème exemple : la matrice augmentée
s'écrivant
, on détermine son rang or la colonne
étant
à la colonne
3ème exemple : la matrice augmentée
s'écrivant
, on détermine son rang le rang [60] de la matrice augmentée
[62] vaut
3ème exemple : la matrice augmentée
s'écrivant
, on détermine son rang le rang de la matrice augmentée
au rang
de la matrice
d'où
3ème exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené [58], [59], il existe une infinité de solutions formant un sous-espace affine de l'espace affine
de
de dimension
3ème exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant
le sous-espace affine
contient le point
[83] et a pour
3ème exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant
direction [72] le sous-espace vectoriel
d'« équation
» [84]
3ème exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant ![{\displaystyle \color {transparent}{\bigg [}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501496ed60bbed93229275149aea89bca2d98cc4)
[85], [86], soit
3ème exemple : d'après le théorème de Rouché-Fontené, il existe une infinité de solutions formant ![{\displaystyle \color {transparent}{\bigg [}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501496ed60bbed93229275149aea89bca2d98cc4)
et
.
4ème exemple : soit le système des
équations algébriques linéaires aux
inconnues réelles «
,
»,
4ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» [22], [87] est la « matrice des cœfficients du système » [23],
4ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» est la « matrice carrée de dimension
ou taille
,
4ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» [24] la « matrice colonne des inconnues »,
4ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» la « matrice de dimension
ou taille
,
4ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» [24], [88] la « matrice colonne des 2nds membres »,
4ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» la « matrice de dimension
ou taille
et
4ème exemple : soit ce système s'écrit sous forme matricielle «
» dans laquelle
«
» l'opération « multiplication matricielle » [25] ;
4ème exemple : le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » [23]
est donc
[87] ;
4ème exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice
matrice
où la jème colonne est remplacée par celle des 2nds membres
,
4ème exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice
car
[49], [50],
4ème exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice
car
[49], [50]
4ème exemple : on vérifie aussi que le déterminant de chaque matrice
et
[49], [50] ;
4ème exemple : le rang
[60] de la matrice
étant
[87], on vérifie que celui de la matrice augmentée
[62]
vaut
,
4ème exemple : le rang
de la matrice
étant
, en effet la colonne
n'est pas
à la colonne
[82],
pour le vérifier on impose une relation de liaison
4ème exemple : le rang
de la matrice
étant
, en effet entre les deux colonnes
[89], [81]
;
4ème exemple : il n'y a donc pas de solution du système [90]
.
Résolution par élimination de Gauss-Jordan (ou par méthode du « pivot de Gauss »)
modifier
L'élimination de Gauss-Jordan [91], [92] peut être utilisée pour résoudre un système de
équations algébriques linéaires à
inconnues mais ne sera présentée que dans le cas où
,
L'élimination de Gauss-Jordan peut être utilisée plus exactement et pour être plus concret, dans le cas
en choisissant le système suivant «
».
Préliminaire : l'exposé se faisant à l'aide de l'interprétation matricielle nécessite d'introduire, avant de commencer, la notion de
Préliminaire : « matrice échelonnée (en lignes) » c.-à-d. toute matrice « dans laquelle le nombre de zéros précédant la 1ère valeur
d'une ligne
avec son indice
Préliminaire : « matrice échelonnée (en lignes) » c.-à-d. toute matrice « dans laquelle le nombre de zéros précédant la 1ère valeur
jusqu'à ce qu'il ne reste éventuellement plus que des zéros » ;
Préliminaire : exemple de matrice échelonnée (en lignes) : matrice triangulaire supérieure [21] mais toutes les matrices échelonnées (en lignes) ne sont pas triangulaires supérieures [21].
Exposé de la méthode d'élimination de Gauss-Jordan [91], [92]
ou méthode du pivot de Gauss [91]
sur l'exemple de résolution du système
:
Exposé de la méthode
écrire l'équation matricielle associée au système d'équations algébriques linéaires «
avec
,
et
»,
Exposé de la méthode
former la matrice augmentée
[62]
dans le but de la réduire sous forme échelonnée (en lignes),
Exposé de la méthode
chercher dans la 1ère colonne de la matrice augmentée [93] la valeur maximale des valeurs absolues des cœfficients : elle vaut
et se trouve dans la 2ème ligne
Exposé de la méthode
l'indice de ligne où se trouve la valeur absolue maximale étant
, la valeur du cœfficient dont la valeur absolue est maximale est
,
Exposé de la méthode
le cœfficient en position
définit le « pivot »,
Exposé de la méthode
si le pivot est
ce qui est le cas
on divise la ligne où il se trouve
c.-à-d. la 2ème ligne
par sa valeur
c.-à-d.
d'où une 1ère forme réduite
Exposé de la méthode
à
,
Exposé de la méthode
placer cette 2ème ligne modifiée en 1ère ligne soit
,
Exposé de la méthode
remplacer la 2ème ligne de
par une C.L. [69] de cette ligne et de 1ère ligne de
de façon à ce que le nouveau cœfficient en position
soit nul, c.-à-d.
Exposé de la méthode
remplacer la 2ème ligne de
par «
»
,
Exposé de la méthode
remplacer la 3ème ligne de
par une C.L. [69] de cette ligne et de 1ère ligne de
de façon à ce que le nouveau cœfficient en position
soit nul, c.-à-d.
Exposé de la méthode
remplacer la 3ème ligne de
par «
»
,
Exposé de la méthode
réitérer l'algorithme sur
:
Exposé de la méthode
chercher dans la 2ème colonne de
la valeur maximale des valeurs absolues des cœfficients des lignes
et
, elle vaut
et se trouve dans la 2ème ligne,
Exposé de la méthode
l'indice de ligne où se trouve la valeur absolue maximale est
, la valeur du cœfficient dont la valeur absolue est maximale est
,
Exposé de la méthode
le cœfficient en position
définissant le nouveau « pivot »,
Exposé de la méthode
si le nouveau pivot est
ce qui est le cas
on divise la ligne où il se trouve
c.-à-d. la 2ème ligne
par sa valeur
c.-à-d.
d'où une 5ème forme réduite
Exposé de la méthode ![{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b7f05ac2213b00c79f06dd2de6aea1d5dbf9cd)
,
Exposé de la méthode
si cette ligne modifiée de
n'est pas la 2ème
ce qui n'est pas le cas
la mettre en 2ème ligne,
Exposé de la méthode
remplacer la 3ème ligne de
par une C.L. [69] de cette ligne et de 2ème ligne de
de façon à ce que le nouveau cœfficient en position
soit nul, c.-à-d.
Exposé de la méthode
remplacer la 3ème ligne de
par «
»
,
Exposé de la méthode
remplacer la 1ère ligne de
par une C.L. [69] de cette ligne et de 2ème ligne de
de façon à ce que le nouveau cœfficient en position
soit nul, c.-à-d.
Exposé de la méthode
remplacer la 1ère ligne de
par «
»
,
Exposé de la méthode
réitérer l'algorithme sur
:
Exposé de la méthode
dans la 3ème colonne de
la valeur absolue du cœfficient de la ligne
vaut
valeur évidemment maximale
,
Exposé de la méthode
l'indice de ligne
où se trouve la valeur absolue maximale
est
, la valeur du cœfficient
dont la valeur absolue est maximale
est
,
Exposé de la méthode
le cœfficient en position
définissant le nouveau « pivot »,
Exposé de la méthode
si le nouveau pivot est
ce qui est le cas
on divise la ligne où il se trouve
c.-à-d. la 3ème ligne
par sa valeur
c.-à-d.
d'où une 8ème forme réduite
Exposé de la méthode ![{\displaystyle \color {transparent}{\bullet }\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b7f05ac2213b00c79f06dd2de6aea1d5dbf9cd)
,
Exposé de la méthode
remplacer la 1ère ligne de
par une C.L. [69] de cette ligne et de 3ème ligne de
de façon à ce que le nouveau cœfficient en position
soit nul, c.-à-d.
Exposé de la méthode
remplacer la 1ère ligne de
par «
»
,
Exposé de la méthode
remplacer la 2ème ligne de
par une C.L. [69] de cette ligne et de 3ème ligne de
de façon à ce que le nouveau cœfficient en position
soit nul, c.-à-d.
Exposé de la méthode
remplacer la 2ème ligne de
par «
»
,
Exposé de la méthode
le retour au système d'équations algébriques linéaires nous donne la solution unique «
».
- ↑ 1,0 1,1 et 1,2 Encore appelés « excitations » en physique.
- ↑ On remarque que tous les cas envisagés sont contenus dans cette relation, en effet si
, on doit avoir
ou
.
- ↑ 3,0 et 3,1 La nullité de tous les cœfficients étant exclue car cela rendrait inutile le système d'équations.
- ↑ C.-à-d. un système ne contenant plus la variable
laquelle peut donc prendre n'importe quelle valeur réelle.
- ↑ C'est la 1ère qui vient à l'esprit mais qui n'est pas nécessairement la plus rapide.
- ↑ Un peu plus élaborée et donc un peu plus rapide.
- ↑ C'est celle qui est la plus concrète mais aussi la plus longue.
- ↑ 8,0 et 8,1 Nous remarquons que
soit, en multipliant la 1ère équation par
et en maintenant la 2ème équation inchangée, les mêmes premiers membres mais des deuxièmes membres différents d'où l'absence de solutions.
- ↑ 9,0 et 9,1 Nous remarquons que
établissant que la 2ème équation est identique à la 1ère à un facteur multiplicatif près d'où une infinité de solutions.
- ↑ C'est aussi la condition
et
avec
et
;
toutefois cette condition ne peut être considérée dans la pratique
la 1ère équation s'écrivant
avec
que si les cœfficients
ou
et
sont paramétrés
avec un ou deux paramètres
, la valeur nulle de l'un et de l'autre étant obtenue pour une valeur particulière de ce ou de ces paramètres.
- ↑ C'est aussi la condition
et
avec
et
;
toutefois cette condition ne peut être considérée dans la pratique
la 1ère équation s'écrivant
avec
que si les cœfficients
ou
et
ou
et
le 2ème membre de la 1ère équation
sont paramétrés
avec un, deux ou trois paramètres
, leurs valeurs nulles étant obtenues pour une valeur particulière de ce ou de ces paramètres.
- ↑ C'est aussi la condition
avec
et
.
- ↑ Nous supposons
car si
et
étaient tous deux nuls le système ne serait plus à deux inconnues mais à une seule
.
- ↑ Qui est la 1ère équation de
divisée par
, la multiplication par
de la 1ère équation initiale simultanément à la multiplication par
de la 2ème équation initiale n'ayant été faites que pour obtenir les mêmes cœfficients de
dans les deux équations de
dans le but d'éliminer
en les soustrayant.
- ↑ Évidemment la même solution que
trouvée dans le paragraphe « résolution par substitution » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Évidemment la même solution que
trouvée dans le paragraphe « résolution par substitution » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Ce qui suppose que
et
sont tous deux
.
- ↑ Ce qui suppose que
et
sont tous deux
.
- ↑ De plus on a transposé de membre dans les deux équations le terme dépendant de
.
- ↑ Qui pourrait encore être écrite selon
.
- ↑ 21,0 21,1 21,2 et 21,3 Voir le paragraphe « introduction des matrices en mathématiques » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ 22,00 22,01 22,02 22,03 22,04 22,05 22,06 22,07 22,08 et 22,09 Voir le paragraphe « structure de l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ 23,00 23,01 23,02 23,03 23,04 23,05 23,06 23,07 23,08 23,09 23,10 23,11 23,12 23,13 23,14 23,15 23,16 23,17 23,18 23,19 et 23,20 Ou plus simplement « matrice du système ».
- ↑ 24,00 24,01 24,02 24,03 24,04 24,05 24,06 24,07 24,08 24,09 24,10 24,11 24,12 et 24,13 Voir le paragraphe « interprétation linéaire d'une matrice colonne de dimension (ou taille) m, matrice coordonnée d'un m-uplet dans une base de Rm » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ 25,00 25,01 25,02 25,03 25,04 25,05 25,06 25,07 25,08 et 25,09 Voir le paragraphe « définition et exemple de multiplication matricielle à droite (ou à gauche) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ 26,0 et 26,1 Voir le paragraphe « notion de déterminant d'une matrice carrée » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ 27,0 et 27,1 Plus exactement de son caractère nul ou non nul.
- ↑ Ou
mais attention la commutativité de la multiplication matricielle entre deux matrices carrées quelconques de même dimension
ou taille
est a priori fausse.
- ↑ Nous obtenons un système de quatre équations linéaires aux quatre inconnues indépendantes
.
- ↑ Nous résolvons le système de quatre équations linéaires aux quatre inconnues indépendantes
par combinaisons linéaires, voir le paragraphe « résolution par combinaison linéaire » plus bas dans ce chapitre.
- ↑ 32,0 et 32,1 En effet
avec «
», ce résultat peut être considéré comme la définition du déterminant d'une matrice carrée de dimension
ou taille
.
- ↑ 33,0 et 33,1 Voir l'associativité de la multiplication matricielle dans le paragraphe « particularité de la multiplication matricielle définie sur l'ensemble des matrices carrées de dimension (ou taille) fixée » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ En effet «
» et «
», chacun de ces résultats peut être considéré comme la définition du déterminant d'une matrice carrée de dimension
ou taille
.
- ↑ S'écrivant encore
.
- ↑ S'écrivant encore
.
- ↑ 37,0 37,1 37,2 37,3 37,4 et 37,5 Gabriel Cramer (1704 - 1752) mathématicien suisse ayant apporté des contributions dans le domaine de l'algèbre et de la géométrie en particulier par son traité sur les courbes algébriques mais de nos jours il reste essentiellement connu pour la règle portant son nom utilisable dans la résolution d'un système algébrique de Cramer
c.-à-d. un système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues et dont le déterminant de la matrice des cœfficients est non nul
.
- ↑ 38,0 et 38,1 La règle de Cramer est énoncée par Gabriel Cramer sans utiliser la notion de déterminant de matrice qui n'était pas encore connue.
- ↑ La solution de la 1ère inconnue
est le quotient de deux déterminants, le déterminant du dénominateur étant celui de la matrice des cœfficients
et celui du numérateur étant le déterminant de la matrice des cœfficients
dans laquelle la 1ère colonne est remplacée par la colonne de la matrice colonne des 2nds membres
et
la solution de la 2ème inconnue
est le quotient de deux déterminants, le déterminant du dénominateur étant celui de la matrice des cœfficients
et celui du numérateur étant le déterminant de la matrice des cœfficients
dans laquelle la 2ème colonne est remplacée par la colonne de la matrice colonne des 2nds membres
.
- ↑ Comme
, on peut en déduire que
si
et par suite
s'écrivant
si
, on en déduit
c.-à-d.
.
- ↑ Comme
, on peut en déduire que
si
et par suite
s'écrivant
si
, on en déduit
c.-à-d.
.
- ↑ Qui pourrait encore être écrite, si
, selon «
».
- ↑ Ou
mais attention la commutativité de la multiplication matricielle entre deux matrices carrées quelconques de même dimension
ou taille
est a priori fausse.
- ↑ 44,0 et 44,1 Voir le paragraphe « notion de comatrice d'une matrice carrée » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « transposition de matrices » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « rappel sur la notion de comatrice d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 47,0 et 47,1 Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la théorie des probabilités ; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'attraction capillaire
expliquant ce qui se passe dans les tubes capillaires ou dans les bulles d'air d'un liquide
ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de Newton sur la vitesse du son sous-estime cette dernière.
- ↑ Voir le paragraphe « explicitation de la formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée (matrice complémentaire) » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 49,00 49,01 49,02 49,03 49,04 49,05 49,06 49,07 49,08 49,09 49,10 49,11 49,12 49,13 49,14 49,15 49,16 et 49,17 Voir le paragraphe « formule de Laplace pour évaluer le déterminant d'une matrice carrée » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ 50,00 50,01 50,02 50,03 50,04 50,05 50,06 50,07 50,08 50,09 50,10 50,11 50,12 50,13 50,14 50,15 50,16 et 50,17 Évaluation faite par formule de Laplace
voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre
avec développement suivant la 1ère colonne.
- ↑ Apparente simplicité mais il reste à calculer
- ↑ La comatrice de
étant
, les cofacteurs de la 1ère, 2ème et 3ème colonne de la comatrice s'obtenant par
- le cofacteur d'indice
de la matrice
étant
,
- le cofacteur d'indice
de la matrice
étant
,
- le cofacteur d'indice
de la matrice
étant
,
- le cofacteur d'indice
de la matrice
étant
,
- le cofacteur d'indice
de la matrice
étant
,
- le cofacteur d'indice
de la matrice
étant
,
- le cofacteur d'indice
de la matrice
étant
,
- le cofacteur d'indice
de la matrice
étant
et
- le cofacteur d'indice
de la matrice
étant
;
on en déduit la matrice complémentaire de
c.-à-d. la matrice transposée de la comatrice de
soit
.
- ↑ Voir également le 1er exemple du paragraphe « application de la formule de Laplace pour déterminer l'inverse d'une matrice dans le cas d'une matrice de dimension (ou taille) 3 » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « explicitation de la solution du système des n équations algébriques linéaires aux n inconnues à l'aide de la règle de Cramer » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ L'évaluation de
faite par formule de Laplace
voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre
avec développement suivant la 2ème ou 3ème colonne
ou encore suivant la 1ère ou 2ème ligne
aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
L'évaluation de
suivant la 2ème colonne :
,
L'évaluation de
suivant la 3ème colonne :
,
L'évaluation de
suivant la 1ère ligne :
et
L'évaluation de
suivant la 2ème ligne :
.
- ↑ L'évaluation de
faite par formule de Laplace
voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre
avec développement suivant la 3ème colonne
ou encore suivant la 1ère ligne
aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
L'évaluation de
suivant la 3ème colonne :
et
L'évaluation de
suivant la 1ère ligne :
.
- ↑ L'évaluation de
faite par formule de Laplace
voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre
avec développement suivant la 2ème colonne
ou encore suivant la 2ème ligne
aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
L'évaluation de
suivant la 2ème colonne :
et
L'évaluation de
suivant la 2ème ligne :
.
- ↑ 58,0 58,1 et 58,2 Eugène Rouché (1832 - 1910) mathématicien français ayant laissé son empreinte en analyse complexe, raison pour laquelle son nom fut donné à un théorème, mais connu également pour l'établissement du théorème de Rouché-Fontené en
de façon indépendante et simultanée à Georges Fontené
portant sur les conditions de résolubilité d'un système de
équations algébriques linéaires à
inconnues.
- ↑ 59,0 59,1 et 59,2 Georges Fontené (1848 - 1922) mathématicien français dont les travaux portèrent sur la géométrie pure et analytique, son nom restant essentiellement attaché au théorème de Rouché-Fontené établi en
de façon indépendante et simultanée à Eugène Rouché
portant sur les conditions de résolubilité d'un système de
équations algébriques linéaires à
inconnues.
- ↑ 60,00 60,01 60,02 60,03 60,04 60,05 60,06 60,07 60,08 60,09 60,10 et 60,11 Par exemple le nombre maximal de vecteurs colonnes
ou lignes
linéairement indépendants ou la dimension du sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs colonnes
ou lignes
- ↑ 61,0 et 61,1 Le déterminant de la matrice des cœfficients du système étant nul, ses vecteurs colonnes sont nécessairement liés et le rang de la matrice
est
à
.
- ↑ 62,0 62,1 62,2 62,3 62,4 62,5 62,6 62,7 et 62,8 On ajoute, en dernière colonne, la colonne des 2nds membres à la matrice des cœfficients du système, on obtient ainsi une matrice de dimension
ou taille
.
- ↑ 63,0 et 63,1 Si on ajoute une colonne à une matrice de rang
, soit la colonne correspond à un vecteur combinaison linéaire des
vecteurs libres du reste des colonnes et dans ce cas le rang de la matrice augmentée est égal à
c.-à-d. le rang de la matrice d'origine,
Si on ajoute une colonne à une matrice de rang r soit la colonne correspond à un vecteur linéairement non lié aux
vecteurs libres du reste des colonnes et dans ce cas le rang de la matrice augmentée est égal à
c.-à-d. au rang de la matrice d'origine augmenté de un.
- ↑ En effet il n'y a que
inconnues indépendantes mais
équations linéaires indépendantes d'où nécessairement une dernière équation conduisant à une incohérence
- ↑ L'évaluation de
faite par formule de Laplace
voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre
avec développement suivant la 2ème colonne
ou suivant la 2ème ligne
aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
L'évaluation de
suivant la 2ème colonne :
,
L'évaluation de
suivant la 2ème ligne :
.
- ↑ L'évaluation de
faite par formule de Laplace
voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre
avec développement suivant la 2ème ou 3ème colonne
ou encore suivant la 1ère ou 2ème ligne
aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
L'évaluation de
suivant la 2ème colonne :
,
L'évaluation de
suivant la 3ème colonne :
,
L'évaluation de
suivant la 1ère ligne :
,
L'évaluation de
suivant la 2ème ligne :
.
- ↑ L'évaluation de
faite par formule de Laplace
voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre
avec développement suivant la 2ème colonne
ou suivant la 2ème ligne
aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
L'évaluation de
suivant la 2ème colonne :
,
L'évaluation de
suivant la 2ème ligne :
.
- ↑ L'évaluation de
faite par formule de Laplace
voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre
avec développement suivant la 2ème colonne
ou suivant la 2ème ligne
aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
L'évaluation de
suivant la 2ème colonne :
,
L'évaluation de
suivant la 2ème ligne :
.
- ↑ 69,00 69,01 69,02 69,03 69,04 69,05 69,06 69,07 69,08 et 69,09 Combinaison Linéaire.
- ↑ 70,0 et 70,1 La colonne
n'étant pas à prendre en compte puisqu'elle est une combinaison linéaire des
et
- ↑ Ces coordonnées devant vérifier le système des
équations algébriques linéaires aux
inconnues réelles
,
, on élimine
en lui imposant la valeur nulle, la valeur de
se déterminant par l'équation
et celle de
par l'équation
.
- ↑ 72,0 et 72,1 On appelle « direction d'un espace affine » l'espace vectoriel qui lui est associé.
- ↑ 73,0 73,1 et 73,2 Inchangée par rapport au 1er exemple de ce paragraphe.
- ↑ Seule modification par rapport au 1er exemple de ce paragraphe.
- ↑ L'évaluation de
faite par formule de Laplace
voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre
avec développement suivant la 2ème ou 3ème colonne
ou encore suivant la 1ère ou 2ème ligne
aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
L'évaluation de
suivant la 2ème colonne :
,
L'évaluation de
suivant la 3ème colonne :
,
L'évaluation de
suivant la 1ère ligne :
,
L'évaluation de
suivant la 2ème ligne :
.
- ↑ L'évaluation de
faite par formule de Laplace
voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre
avec développement suivant la 3ème colonne
ou suivant la 1ère ligne
aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
L'évaluation de
suivant la 3ème colonne :
,
L'évaluation de
suivant la 1ère ligne :
.
- ↑ L'évaluation de
faite par formule de Laplace
voir la note « 49 » plus haut dans ce chapitre
avec développement suivant la 2ème colonne
ou suivant la 2ème ligne
aurait été préférable à cause de la présence d'un zéro soit,
L'évaluation de
suivant la 2ème colonne :
,
L'évaluation de
suivant la 2ème ligne :
.
- ↑ Voir le paragraphe « généralités (admises) sur l'existence de solutions dans le cas où le déterminant de la matrice des cœfficients du système est nul » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Ainsi dans le cas où il y a au moins un déterminant des matrices
, le rang de la matrice augmentée
est aussi
à celui de la matrice
comme dans le cas où tous les déterminants des matrices
sont nuls
, ceci correspondant à l'absence de solution du système.
- ↑ Ceci résultant de la non nullité du déterminant de
induisant l'existence d'une solution unique qui ne peut être rien d'autre que la solution triviale.
- ↑ 81,0 et 81,1 Ce qui caractérise une famille libre de vecteurs
- ↑ 82,0 et 82,1 Les colonnes
et
n'étant pas à prendre en compte puisqu'elles sont chacune un multiple de la colonne
- ↑ Ces coordonnées devant vérifier le système des
équations algébriques linéaires aux
inconnues réelles
,
, on élimine
et
en leur imposant la valeur nulle, la valeur de
se déterminant par l'équation
.
- ↑ Il s'agit donc du plan vectoriel défini comme « ensemble des vecteurs représentés par la matrice colonne “
”
au vecteur normal de ce plan représenté par la matrice ligne “
” correspondant à la 1ère ligne de la matrice des cœfficients du système
», l'équation du plan vectoriel traduisant l'égalité matricielle
.
- ↑ Le vecteur
normal au plan vectoriel
correspond à la transposée
au sens matriciel
de la 1ère ligne de la matrice des cœfficients du système
soit «
».
- ↑ On peut choisir deux vecteurs
engendrant le plan vectoriel
en écrivant que ces vecteurs doivent être
au vecteur normal
du plan soit
et
.
- ↑ 87,0 87,1 et 87,2 Inchangée par rapport au 3ème exemple de ce paragraphe.
- ↑ Seule modification par rapport au 3ème exemple de ce paragraphe.
- ↑ Pour cela on résout le système des
équations linéaires aux
inconnues
qui n'admet pour solution que la solution triviale
.
- ↑ Voir le paragraphe « généralités (admises) sur l'existence de solutions dans le cas où le déterminant de la matrice des cœfficients du système est nul » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 91,0 91,1 et 91,2 Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps
il fut surnommé « le prince des mathématiciens »
, on lui doit d'importantes contributions dans principalement trois domaines dont certaines n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIXème siècle, Gauss n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes :
- en
, à l'âge de dix-neuf ans, il caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un heptadécagone
polygone régulier de
côtés
soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en
la 1ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler en
un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple
ou
ou encore
de même que
,
- dans le domaine de l'astronomie il publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la méthode des moindres carrés ; auparavant, en
, il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver Cérès
une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter
et
- dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme ;
Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie ;
James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
- ↑ 92,0 et 92,1 Wilhelm Jordan (1842 - 1899) géodésien allemand ayant étudié les reliefs de l'Allemagne et de l'Afrique, il publia en
, d'après les travaux de Gauss, la méthode d'élimination de Gauss-Jordan.
- ↑ C'est aussi la 1ère colonne de la matrice des cœfficients du système.