Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues

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     On se propose de résoudre un système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues sans et avec second membre.

Définition

Système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues

     Un système de deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles $\;x\;$ et $\;y\;$ est un système de la forme $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=a\\\gamma \,x+\delta \,y=b\end{array}}\right.$, $\;\alpha ,\;\beta ,\;\gamma \;{\text{et}}\;\delta \;$ étant des cœfficients réels, $\;a\;{\text{et}}\;b\;$ étant les seconds membres $\;{\big (}$réels${\big )}\;$.
     Si $\;a=b=0$ $\;{\big (}$c.-à-d. en absence de seconds membres${\big )}$, le système est dit homogène,
     si « au moins un des seconds membres est non nul », le système est dit hétérogène.

Résolution d'un système homogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues

     Soit à résoudre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=0\\\gamma \,x+\delta \,y=0\end{array}}\right.\;$ où $\;\alpha ,\;\beta ,\;\gamma \;{\text{et}}\;\delta \;$ sont des constantes réelles non nulles, $\;x\;$ et $\;y\;$ étant les variables réelles à déterminer :

Solution triviale

     Nous avons une 1^ère solution $\;(x=0,\;y=0)\;$ qualifiée de « triviale » ; est-elle unique ?

     Nous avons une 1^ère solution $\;\color {transparent}{(x=0,\;y=0)}\;$ qualifiée de « triviale » ; Si non, à quelle condition sur $\;\alpha ,\;\beta ,\;\gamma \;{\text{et}}\;\delta \;$ existe-t-il des solutions non triviales ?

Condition d'existence de solutions non triviales

     Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, par exemple $\;\gamma =0\;$ avec $\;\delta \neq 0$, on a nécessairement $\;y=0\;$ comme solution de la 2^ème équation, et par suite :
     Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, par exemple $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\delta \neq 0}$, $\bullet \;$si $\;\alpha \neq 0$, $\;x=0\;$ comme solution de la 1^ère équation et
     Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, par exemple $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\delta \neq 0}$, $\bullet \;$si $\;\alpha =0$, toutes valeurs de $\;x\;$ est solution de la 1^ère équation ;
     Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, en 1^ère conclusion, si un seul des cœfficients d'une équation est nul $\;{\big (}$par exemple $\;\gamma =0{\big )}\;$
     Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, en 1^ère conclusion, la condition d'existence de solutions non triviales est la nullité du cœfficient correspondant à ce cœfficient nul dans l'autre équation
     Tout d'abord si l'un des cœfficients est nul, en 1^ère conclusion, la condition d'existence de solutions non triviales est ${\big (}$sur l'exemple $\;\alpha =0{\big )}$.

     Tout d'abord Si les deux cœfficients d'une équation sont nuls, par exemple $\;\gamma =0\;$ avec $\;\delta =0$, cela supprime cette équation, il ne reste plus qu'une équation algébrique linéaire à deux inconnues,
     Tout d'abord Si les deux cœfficients d'une équation sont nuls, par exemple $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ avec $\;\color {transparent}{\delta =0}$, on conclut à l'existence de solutions non triviales de cette équation.

     Tout d'abord Si aucun cœfficient n'est nul, pour qu'il existe des solutions non triviales il faut que les deux équations soient « liées » c.-à-d.
     Tout d'abord Si aucun cœfficient n'est nul, pour qu'il existe des solutions non triviales il faut que l'une soit égale à l'autre à un facteur multiplicatif près, ce qui donne la condition $\;{\dfrac {\alpha }{\gamma }}={\dfrac {\beta }{\delta }}\;$ ou encore
     Tout d'abord Si aucun cœfficient n'est nul, pour qu'il existe des solutions non triviales il faut que l'une soit égale à l'autre à un facteur multiplicatif près, ce qui donne la condition $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta$.

À retenir

     La condition pour que le système homogène de deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues $\;x\;$ et $\;y\;$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=0\\\gamma \,x+\delta \,y=0\end{array}}\right.\;$
     La condition pour que le système homogène possède des solutions non triviales est «$\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta \;$» .

Obtention des solutions non triviales

     Nous supposons donc $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta$ : $\bullet \;$si $\;\gamma =0\;$ et $\;\delta =0$, il reste à résoudre $\;\alpha \,x+\beta \,y=0\;$ dans laquelle il y a au moins un cœfficient non nul d'où
     Nous supposons donc $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta =\gamma \;\beta }$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ et $\;\color {transparent}{\delta =0}$, il reste à résoudre $\;\color {transparent}{\alpha \,x+\beta \,y=0}\;$ si $\;\beta \neq 0\;$ les solutions non triviales sont $\;\left(x_{0},\;y_{0}=-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\,x_{0},\;\;\forall \,x_{0}\in \mathbb {R} \right)$,
     Nous supposons donc $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta =\gamma \;\beta }$ : $\bullet \;$si $\;\gamma =0\;$ et $\;\alpha =0$, il reste à résoudre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\beta \,y=0\\\delta \,y=0\end{array}}\right.\;$ dans laquelle il y a au moins un cœfficient non nul impliquant la solution triviale $\;y=0\;$ d'où
        Nous supposons donc $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta =\gamma \;\beta }$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{\gamma =0}\;$ et $\;\color {transparent}{\alpha =0}$, il reste à résoudre $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}\beta \,y=0\\\delta \,y=0\end{array}}\right.}\;$ les solutions non triviales du système $\;\left(x_{0},\;y_{0}=0,\;\;\forall \,x_{0}\in \mathbb {R} \right)$,
     Nous supposons donc $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta =\gamma \;\beta }$ : $\bullet \;$si aucun des cœfficients n'est nul, les deux équations étant liées il reste à résoudre l'une d'entre elles, par exemple
     Nous supposons donc $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta =\gamma \;\beta }$ : $\color {transparent}{\bullet }\;$si aucun des cœfficients n'est nul, les deux équations étant liées il reste à résoudre $\alpha \,x+\beta \,y=0\;$ de solutions non triviales $\;\left(x_{0},\;y_{0}=-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\,x_{0},\;\forall \,x_{0}\in \mathbb {R} \right)$.

Résolution d'un système hétérogène de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues

     Soit à résoudre le système hétérogène de deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles $\;x\;$ et $\;y$ : $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=a\\\gamma \,x+\delta \,y=b\end{array}}\right.$, $\;\alpha ,\;\beta ,\;\gamma \;{\text{et}}\;\delta \;$ étant des cœfficients réels,
     Soit à résoudre le système hétérogène de deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles $\;\color {transparent}{x}\;$ et $\;\color {transparent}{y}$ : $\;a\;{\text{et}}\;b\;$ étant les seconds membres $\;{\big (}$réels${\big )}\;$ dont l'un au moins est non nul  ;
     Soit à résoudre le système hétérogène il y a au moins trois méthodes de résolution : $\bullet \;$méthode par substitution ,
     Soit à résoudre le système hétérogène il y a au moins trois méthodes de résolution : $\bullet \;$méthode par combinaison linéaire et
     Soit à résoudre le système hétérogène il y a au moins trois méthodes de résolution : $\bullet \;$méthode par comparaison $\;{\big (}$graphique${\big )}\;$.

Résolution par substitution

     Cette méthode consiste à isoler l'une des inconnues des deux équations $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=a\\\gamma \,x+\delta \,y=b\end{array}}\right\rbrace$, puis à remplacer son expression dans l'équation qui n'a pas été utilisée par exemple :

• si $\;\alpha \neq 0$, on tire de la 1^ère équation «$\;x={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y\;$» que l'on reporte dans la 2^ème équation «$\;\gamma \left({\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y\right)+\delta \;y=b\;$», laquelle peut être réécrite selon «$\;\left(\delta -\gamma \;{\dfrac {\beta }{\alpha }}\right)\;y=b-\gamma \;{\dfrac {a}{\alpha }}$» ou
  si $\;\color {transparent}{\alpha \neq 0}$, on tire de la 1^ère équation «$\;\color {transparent}{x={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y}\;$» que l'on reporte dans la 2^ème équation «$\;\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)\;y=\alpha \;b-\gamma \;a\;$» ;
  si $\;\color {transparent}{\alpha \neq 0}$, on tire de la 1^ère équation «$\;\color {transparent}{x={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y}\;$» que l'on reporte dans la 2^ème équation $\succ \;$si $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta \;$ et $\;\alpha \;b\neq \gamma \;a\;$, il n'y a aucune solution réelle finie ;
  si $\;\color {transparent}{\alpha \neq 0}$, on tire de la 1^ère équation «$\;\color {transparent}{x={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y}\;$» que l'on reporte dans la 2^ème équation $\succ \;$si $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta \;$ et $\;\alpha \;b=\gamma \;a\;$, il y a une infinité de solutions$\;\left({\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y_{0}\;,\;y_{0}\right)\;\;\forall \;y_{0}\in \mathbb {R}$ ;
  si $\;\color {transparent}{\alpha \neq 0}$, on tire de la 1^ère équation «$\;\color {transparent}{x={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y}\;$» que l'on reporte dans la 2^ème équation $\succ \;$si $\;\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta$, il y a une solution unique$\;\left(x_{0}\;,\;y_{0}\right)\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}y_{0}={\dfrac {\alpha \;b-\gamma \;a}{\alpha \;\delta -\gamma \;\beta }}\\x_{0}={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore
  si $\;\color {transparent}{\alpha \neq 0}$, on tire de la 1^ère équation «$\;\color {transparent}{x={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y}\;$» que l'on reporte dans la 2^ème équation $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta }$, $\left\lbrace {\begin{array}{c}y_{0}={\dfrac {\alpha \;b-\gamma \;a}{\alpha \;\delta -\gamma \;\beta }}\\x_{0}={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;{\dfrac {\alpha \;b-\gamma \;a}{\alpha \;\delta -\gamma \;\beta }}\end{array}}\right\rbrace \;$ expression de $\;x_{0}\;$ que l'on peut simplifier selon
  si $\;\color {transparent}{\alpha \neq 0}$, on tire de la 1^ère équation «$\;\color {transparent}{x={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y}\;$» que l'on reporte dans la 2^ème équation $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta }$, $\;x_{0}={\dfrac {a\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)-\beta \left(\alpha \;b-\gamma \;a\right)}{\alpha \left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)}}={\dfrac {\delta \;a-\beta \;b}{\alpha \;\delta -\gamma \;\beta }}\;$ soit finalement
  si $\;\color {transparent}{\alpha \neq 0}$, on tire de la 1^ère équation «$\;\color {transparent}{x={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y}\;$» que l'on reporte dans la 2^ème équation $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta }$, la solution unique «$\;\left({\dfrac {\delta \;a-\beta \;b}{\alpha \;\delta -\gamma \;\beta }}\;,\;{\dfrac {\alpha \;b-\gamma \;a}{\alpha \;\delta -\gamma \;\beta }}\right)\;$» ;
• si $\;\alpha =0$, la 1^ère équation se réécrivant «$\;\beta \;y=a\;$» et la 2^ème restant «$\;\gamma \,x+\delta \,y=b;$», on est conduit à la discussion suivante :
  si $\;\color {transparent}{\alpha =0}$, $\succ \;$si $\;\beta =0\;$ et $\;a\neq 0\;$, il n'y a aucune solution réelle finie ;
  si $\;\color {transparent}{\alpha =0}$, $\succ \;$si $\;\beta =0\;$ et $\;a=0\;$, il y a une infinité de solutions$\;\left({\dfrac {b}{\gamma }}-{\dfrac {\delta }{\gamma }}\;y_{0}\;,\;y_{0}\right)\;\;\forall \;y_{0}\in \mathbb {R}$ ;
  si $\;\color {transparent}{\alpha =0}$, $\succ \;$si $\;\beta \neq 0\;$, il y a une solution unique$\;\left(x_{0}\;,\;y_{0}\right)\;$ avec $\;y_{0}={\dfrac {a}{\beta }}\;$ et $\;x_{0}={\dfrac {b}{\gamma }}-{\dfrac {\delta }{\gamma }}\;y_{0}={\dfrac {b}{\gamma }}-{\dfrac {\delta }{\gamma }}\;{\dfrac {a}{\beta }}\;$ que l'on peut simplifier selon $\;x_{0}={\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta }}\;$ soit finalement
       si $\;\color {transparent}{\alpha =0}$, $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\beta \neq 0}\;$, il y a une solution unique«$\;\left(x_{0}={\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta }}\;,\;y_{0}={\dfrac {a}{\beta }}\right)\;$».

Résolution par combinaison (linéaire)

     Remarque préliminaire : Si au moins un des cœfficients $\;\alpha$, $\;\beta$, $\;\gamma \;$ ou $\;\delta \;$ est nul, il est alors préférable de faire une résolution par substitution,
       Remarque préliminaire : Si au moins un le cœfficient nul jouant le rôle du cœfficient $\;\alpha \;$ dans l'exposé de la méthode du paragraphe « résolution par substitution » plus haut dans ce chapitre ;
     Remarque préliminaire : pour la suite nous supposerons donc qu'aucun des cœfficients $\;\alpha$, $\;\beta$, $\;\gamma \;$ et $\;\delta \;$ n'est nul.

     Cette méthode consiste à multiplier les deux membres d'une équation par un même nombre de façon à avoir le même coefficient devant $\;x\;$ ${\big (}$ou devant $\;y{\big )}\;$ dans chaque équation,
     Cette méthode consiste à multiplier les deux membres d'une équation par un même nombre de façon à avoir le même coefficient devant $\;\color {transparent}{x}\;$ on obtient ainsi un système $\;({\mathcal {S}})\;$ équivalent, puis
     Cette méthode consiste à conserver une des équations de $\;({\mathcal {S}})\;$ et
     Cette méthode consiste à remplacer l'autre par l'équation obtenue en soustrayant membre à membre les deux équations de $\;({\mathcal {S}})\;$ dans le but d'éliminer $\;x\;$ ${\big (}$ou $\;y{\big )}\;$ et
     Cette méthode consiste à avoir, pour cette dernière équation, une équation à une inconnue $\;y$ $\;{\big (}$ou $\;x{\big )}$, que l'on sait résoudre ;
     Cette méthode consiste par report de la valeur de $\;y$ $\;{\big (}$ou de $\;x{\big )}\;$ dans l'équation non modifiée de $\;({\mathcal {S}})$, on trouve la valeur de l'autre inconnue $\;x$ $\;{\big (}$ou $\;y{\big )}$ ;
     Cette méthode consiste appliquée au système $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \,x+\beta \,y=a\\\gamma \,x+\delta \,y=b\end{array}}\right\rbrace \;$ on obtient :

• en conservant la 1^ère équation et en remplaçant la 2^ème par elle-même multipliée par $\;{\dfrac {\alpha }{\gamma }}\;$ de façon à avoir le même cœfficient de $\;x\;$ que la 1^ère on obtient $\;({\mathcal {S}})\;\left\lbrace {\begin{array}{r}\alpha \;x\!\!\!&+&\!\!\!\beta \;y\!\!\!&=&\!\!\!a\\\alpha \;x\!\!\!&+&\!\!\!{\dfrac {\alpha }{\gamma }}\;\delta \;y\!\!\!&=&\!\!\!{\dfrac {\alpha }{\gamma }}\;b\end{array}}\right\rbrace \;$ ou,
    en conservant la 1^ère équation et en remplaçant la 2^ème par elle-même multipliée par $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ de façon à avoir le même cœfficient de $\;\color {transparent}{x}\;$ que la 1^ère on obtient $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}})}\;$ dans le but d'éliminer les fractions,
  en remplaçant la 1^ère équation par elle-même multipliée par $\;\gamma \;$ et la 2^ème par elle-même multipliée par $\;\alpha \;$ toujours de façon à avoir le même cœfficient de $\;x\;$ dans les deux équations on obtient
    en conservant la 1^ère équation et en remplaçant la 2^ème par elle-même multipliée par $\;\color {transparent}{\alpha }\;$ de façon à avoir le même cœfficient de $\;\color {transparent}{x}\;$ que la 1^ère on obtient $\;({\mathcal {S}}')\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\gamma \;\alpha \,x+\gamma \;\beta \,y=\gamma \;a\\\alpha \;\gamma \,x+\alpha \;\delta \,y=\alpha \;b\end{array}}\right\rbrace$,
• puis en conservant la 1^ère équation de $\;({\mathcal {S}}')\;$ ${\big [}$ou en la remplaçant par la 1^ère équation de $\;({\mathcal {S}})\;$${\big ]}\;$ et
  puis en remplaçant la 2^ème par la différence de ses deux équations on obtient $\;({\mathcal {S}}')\;\Leftrightarrow \;$ $\left\lbrace {\begin{array}{r}\alpha \;x\!\!\!&+&\!\!\!\beta \;y\!\!\!&=&\!\!\!a\\&&\!\!\!\left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)\;y\!\!\!&=&\!\!\!\left(\gamma \;a-\alpha \;b\right)\end{array}}\right\rbrace$ ;
  puis en remplaçant la 2^ème par la différence de ses deux équations on obtient $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}')}\;$ $\succ \;$si $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta \;$ et $\;\alpha \;b\neq \gamma \;a\;$, il n'y a aucune solution réelle finie ;
  puis en remplaçant la 2^ème par la différence de ses deux équations on obtient $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}')}\;$ $\succ \;$si $\;\alpha \;\delta =\gamma \;\beta \;$ et $\;\alpha \;b=\gamma \;a\;$, il y a une infinité de solutions$\;\left({\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y_{0}\;,\;y_{0}\right)\;\;\forall \;y_{0}\in \mathbb {R}$ ;
  puis en remplaçant la 2^ème par la différence de ses deux équations on obtient $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}')}\;$ $\succ \;$si $\;\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta$, il y a une solution unique$\;\left(x_{0}\;,\;y_{0}\right)\;$ avec $\;y_{0}={\dfrac {\gamma \;a-\alpha \;b}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;$ et
  puis en remplaçant la 2^ème par la différence de ses deux équations on obtient $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}')}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta }$, il y a une solution unique$\;\color {transparent}{\left(x_{0}\;,\;y_{0}\right)}\;$ avec $\;x_{0}={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;y_{0}={\dfrac {a}{\alpha }}-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;{\dfrac {\gamma \;a-\alpha \;b}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;$ ou
  puis en remplaçant la 2^ème par la différence de ses deux équations on obtient $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}')}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta }$, il y a une solution unique$\;\color {transparent}{\left(x_{0}\;,\;y_{0}\right)}\;$ avec $\;\color {transparent}{x_{0}}\;$ $={\dfrac {a\left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)-\beta \left(\gamma \;a-\alpha \;b\right)}{\alpha \left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)}}$
  puis en remplaçant la 2^ème par la différence de ses deux équations on obtient $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}')}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta }$, il y a une solution unique$\;\color {transparent}{\left(x_{0}\;,\;y_{0}\right)}\;$ avec $\;\color {transparent}{x_{0}}\;$ $={\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;$ soit finalement
  puis en remplaçant la 2^ème par la différence de ses deux équations on obtient $\;\color {transparent}{({\mathcal {S}}')}\;$ $\color {transparent}{\succ }\;$si $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \gamma \;\beta }$, il y a une solution unique«$\;\left(x_{0}={\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;,\;y_{0}={\dfrac {\gamma \;a-\alpha \;b}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\right)\;$».

Résolution par comparaison (graphique)

     Cette méthode consiste à extraire la même inconnue des deux équations en fonction de l'autre inconnue par exemple
     Cette méthode elle se fait en exprimant «$\;y\;$ en fonction de $\;x\;$ » ou «$\;x\;$ en fonction de $\;y\;$ », puis
     Cette méthode elle se fait en traçant sur un même graphique les deux représentations de «$\;y\;$ en fonction de $\;x\;$» ou de «$\;x\;$ en fonction de $\;y\;$» ;
     Cette méthode elle se fait en traçant sur un même graphique si les deux droites sont $\bullet \;$parallèles, il n'y a aucune solution,
     Cette méthode elle se fait en traçant sur un même graphique si les deux droites sont $\bullet \;$confondues, il y a infinité de solutions correspondant aux coordonnées du point générique de la droite commune et
     Cette méthode elle se fait en traçant sur un même graphique si les deux droites sont $\bullet \;$sécantes, il y a une solution unique correspondant aux coordonnées du point d'intersection des deux droites.

     Pour la suite nous supposerons $\;\beta \neq 0\;$ et $\;\delta \neq 0\;$ ce qui permettra d'extraire des deux équations «$\;y\;$ en fonction de $\;x\;$».

     Pour extraire «$\;y\;$ en fonction de $\;x\;$» des deux équations on multiplie les deux membres de la 1^ère équation par $\;{\dfrac {1}{\beta }}\;$ et
     Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations on multiplie les deux membres de la 2^ème équation par $\;{\dfrac {1}{\delta }}\;$ soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}y={\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x\\y={\dfrac {b}{\delta }}-{\dfrac {\gamma }{\delta }}\;x\end{array}}\right\rbrace \;$» , puis
     Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations on trace, dans un même repère $\;xOy$, la droite $\;(\Delta _{1})\;$ d'équation $\;y={\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x\;$ et
     Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations on trace, dans un même repère $\;\color {transparent}{xOy}$, la droite $\;(\Delta _{2})\;$ d'équation $\;y={\dfrac {b}{\delta }}-{\dfrac {\gamma }{\delta }}\;x$ :
     Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\bullet \;$si $\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}={\dfrac {\gamma }{\delta }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\alpha \;\delta =\beta \;\gamma \;$ et si $\;{\dfrac {a}{\beta }}\neq {\dfrac {b}{\delta }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;a\;\delta \neq b\;\beta$, les deux droites sont parallèles et le système n'a aucune solution,
     Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\bullet \;$si $\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}={\dfrac {\gamma }{\delta }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\alpha \;\delta =\beta \;\gamma \;$ et si $\;{\dfrac {a}{\beta }}={\dfrac {b}{\delta }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;a\;\delta =b\;\beta$, les deux droites sont confondues et le système a une infinité de solutions s'écrivant
     Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{{\dfrac {\alpha }{\beta }}={\dfrac {\gamma }{\delta }}}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta =\beta \;\gamma }\;$ et si $\;\color {transparent}{{\dfrac {a}{\beta }}={\dfrac {b}{\delta }}}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;\color {transparent}{a\;\delta =b\;\beta }$, les deux droites sont confondues et «$\;\left(x_{0}\;,\;{\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x_{0}\right)\;\;\forall \;x_{0}\in \mathbb {R} \;$» et
     Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\bullet \;$si $\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}\neq {\dfrac {\gamma }{\delta }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\alpha \;\delta \neq \beta \;\gamma$, les deux droites sont sécantes, l'abscisse du point d'intersection obéissant à $\;{\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x={\dfrac {b}{\delta }}-{\dfrac {\gamma }{\delta }}\;x\;$ soit
     Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{{\dfrac {\alpha }{\beta }}\neq {\dfrac {\gamma }{\delta }}}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \beta \;\gamma }$, les deux droites sont sécantes $\left({\dfrac {\gamma }{\delta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)x_{0}={\dfrac {b}{\delta }}-{\dfrac {a}{\beta }}\;$ ou $\;\left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)x_{0}=b\;\beta -a\;\delta \;$ d'où
     Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{{\dfrac {\alpha }{\beta }}\neq {\dfrac {\gamma }{\delta }}}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \beta \;\gamma }$, les deux droites sont sécantes $x_{0}={\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;$ dont on déduit
     Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{{\dfrac {\alpha }{\beta }}\neq {\dfrac {\gamma }{\delta }}}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \beta \;\gamma }$, les deux droites sont sécantes l'ordonnée du point d'intersection $\;y_{0}={\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x_{0}={\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;{\dfrac {b\;\beta -a\;\delta }{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}$ ou
     Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{{\dfrac {\alpha }{\beta }}\neq {\dfrac {\gamma }{\delta }}}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \beta \;\gamma }$, les deux droites sont sécantes $y_{0}={\dfrac {a\left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)-\alpha \left(b\;\beta -a\;\delta \right)}{\beta \left(\gamma \;\beta -\alpha \;\delta \right)}}={\dfrac {\gamma \;a-\alpha \;b}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;$ soit
     Pour extraire «$\;\color {transparent}{y}\;$ en fonction de $\;\color {transparent}{x}\;$» des deux équations $\color {transparent}{\bullet }\;$si $\;\color {transparent}{{\dfrac {\alpha }{\beta }}\neq {\dfrac {\gamma }{\delta }}}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;\color {transparent}{\alpha \;\delta \neq \beta \;\gamma }$, les deux droites sont sécantes la solution unique «$\;\left(x_{0}={\dfrac {\beta \;b-\delta \;a}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\;,\;y_{0}={\dfrac {\gamma \;a-\alpha \;b}{\gamma \;\beta -\alpha \;\delta }}\right)\;$».

Interprétation matricielle

     Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues réelles $\;\left(x\,,\,y\right)$ «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \;x+\beta \;y=a\;\;({\mathfrak {1}})\\\gamma \;x+\delta \;y=b\;\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right.\;$» dans lequel $\;\left(\alpha \,,\,\beta \,,\,\gamma \,,\,\delta \,,\,a\,,\,b\right)\,\in \,\mathbb {R} ^{6}\;$
     Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit de façon plus compacte sous la forme matricielle «$\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]\;$» dans laquelle
     Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit $\bullet \;$«$\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{array}}\right]\in M_{2}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d. une matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;2\;$ appelée
                                                                              Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit $\color {transparent}{\bullet }\;$« matrice des cœfficients du système » ,
     Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit $\bullet \;$«$\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;(2,\,1)\;$ appelée
                                                                          Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit $\color {transparent}{\bullet }\;$« matrice colonne des inconnues »,
     Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit $\bullet \;$«$\;\left[E\right]=\left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]\in M_{2,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$» c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;(2,\,1)\;$ appelée
                                                                         Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit $\color {transparent}{\bullet }\;$« matrice colonne des 2^nds membres » et enfin
     Le système hétérogène des deux équations algébriques linéaires se réécrit $\bullet \;$«$\;\times \;$» l'opération « multiplication matricielle »  ;

     la résolution de l'équation matricielle $\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]\;$ nécessite de discuter suivant la valeur du déterminant de la « matrice des cœfficients du système » c.-à-d.
     la résolution de l'équation matricielle $\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}\;$ nécessite de discuter suivant la valeur de «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \;$» .

Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est non nul

     Pour «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \neq 0\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\left[A\right]\;$ est inversible $\;{\big \{}$il existe une matrice carrée notée $\;\left[A\right]^{-1}\;$ de même dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}\;$ telle que
                               Pour «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est inversible $\;\color {transparent}{\big \{}$son produit matriciel à droite $\;{\big (}$ou à gauche${\big )}\;$ avec la matrice donnée $\;\left[A\right]\;$
                               Pour «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est inversible $\;\color {transparent}{\big \{}$est la matrice identité de même dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left[I_{2}\right]\;$ soit
                               Pour «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est inversible $\;\color {transparent}{\big \{}$«$\;\left[A\right]^{-1}\times \left[A\right]=\left[I_{2}\right]\;$» ${\big \}}$.

     Détermination de la matrice inverse des cœfficients du système$\;\left[A\right]^{-1}$ : soit $\;\left[A\right]^{-1}=\left[{\begin{array}{c}\alpha '&\beta '\\\gamma '&\delta '\end{array}}\right]\;$ à déterminer telle que $\;\left[{\begin{array}{c}\alpha '&\beta '\\\gamma '&\delta '\end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{array}}\right]=$ $\left[{\begin{array}{c}1&0\\0&1\end{array}}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha '\;\alpha +\beta '\;\gamma =1\;{\text{:}}\;({\mathfrak {1}})\\\alpha '\;\beta +\beta '\;\delta =0\;{\text{:}}\;({\mathfrak {2}})\\\gamma '\;\alpha +\delta '\;\gamma =0\;{\text{:}}\;({\mathfrak {3}})\\\gamma '\;\beta +\delta '\;\delta =1\;{\text{:}}\;({\mathfrak {4}})\end{array}}\right\rbrace \;$
     Détermination de la matrice inverse des cœfficients du système$\;\color {transparent}{\left[A\right]^{-1}}$ : $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c c c}\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)\alpha '\!\!\!&=&\!\!\!\delta \!\!&{\text{:}}&\!\![\delta \;({\mathfrak {1}})-\gamma \;({\mathfrak {2}})]\\\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)\beta '\!\!\!&=&\!\!\!-\beta \!\!&{\text{:}}&\!\![\alpha \;({\mathfrak {2}})-\beta \;({\mathfrak {1}})]\\\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)\gamma '\!\!\!&=&\!\!\!-\gamma \!\!&{\text{:}}&\!\![\delta \;({\mathfrak {3}})-\gamma \;({\mathfrak {4}})]\\\left(\alpha \;\delta -\gamma \;\beta \right)\delta '\!\!\!&=&\!\!\!\alpha \!\!&{\text{:}}&\!\![\alpha \;({\mathfrak {4}})-\beta \;({\mathfrak {3}})]\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où «$\;\left[A\right]^{-1}={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;\left[{\begin{array}{c}\delta &-\beta \\-\gamma &\alpha \end{array}}\right]\;$» .

     Résolution de l'équation matricielle$\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]$ : on multiplie de part et d'autre à gauche l'équation matricielle par $\;\left[A\right]^{-1}\;$ et on obtient la « solution matricielle $\;\left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$»,
    Résolution de l'équation matricielle $\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}$ : en effet $\;\left[A\right]^{-1}\times \left\lbrace \left[A\right]\times \left[X\right]\right\rbrace =\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace \left[A\right]^{-1}\times \left[A\right]\right\rbrace \times \left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left[I_{2}\right]\times \left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]$ soit finalement
     Résolution de l'équation matricielle $\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}$ : «$\;\left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$» compte-tenu de $\;\left[I_{2}\right]\times \left[X\right]=\left[X\right]$.

     Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \;x+\beta \;y=a\;\;({\mathfrak {1}})\\\gamma \;x+\delta \;y=b\;\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right.$ : pour cela on développe le produit matriciel du membre de droite de la solution de l'équation matricielle associée «$\;\left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;\left[{\begin{array}{c}\delta &-\beta \\-\gamma &\alpha \end{array}}\right]\times \left[{\begin{array}{c}a\\b\end{array}}\right]\;$» soit «$\;\left[{\begin{array}{c}x\\y\end{array}}\right]={\dfrac {1}{\alpha \;\delta -\beta \;\gamma }}\;\left[{\begin{array}{c}\delta \;a-\beta \;b\\\alpha \;b-\gamma \;a\end{array}}\right]\;$ $={\dfrac {1}{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}}\;\left[{\begin{array}{c}{\begin{array}{|c c|}\;a&\beta \;\\\;b&\delta \;\end{array}}\\{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &a\;\\\;\gamma &b\;\end{array}}\end{array}}\right]\;$» soit finalement
     Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \;x+\beta \;y=a\;\;({\mathfrak {1}})\\\gamma \;x+\delta \;y=b\;\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right.}$ : la solution unique «$\;x_{0}={\dfrac {\begin{array}{|c c|}\;a&\beta \;\\\;b&\delta \;\end{array}}{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}}={\dfrac {a\;\delta -b\;\beta }{\alpha \;\delta -\beta \;\gamma }}\;$ » et
     Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \;x+\beta \;y=a\;\;({\mathfrak {1}})\\\gamma \;x+\delta \;y=b\;\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right.}$ : la solution unique «$\;y_{0}={\dfrac {\begin{array}{|c c|}\;\alpha &a\;\\\;\gamma &b\;\end{array}}{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}}={\dfrac {\alpha \;b-\gamma \;a}{\alpha \;\delta -\beta \;\gamma }}\;$ »,
     Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues$\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{c}\alpha \;x+\beta \;y=a\;\;({\mathfrak {1}})\\\gamma \;x+\delta \;y=b\;\;({\mathfrak {2}})\end{array}}\right.}$ : ces résultats exprimés sous forme de quotient de déterminants définissant
                                            Explicitation de la solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues : ces résultats la « règle de Cramer » .

Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est nul

     Si «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta =0\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\left[A\right]\;$ n'est pas inversible $\;{\Big \{}\,\not \exists \,\left[B\right]\;$ de même dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}\;$ que $\;\left[A\right]\;$ telle que $\;{\cancel {\left[B\right]\times \left[A\right]=\left[I_{2}\right]}}\;$
                         Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta =0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ n'est pas inversible $\;\color {transparent}{{\Big \{}\,\not \exists \,\left[B\right]}\;$ de même dimension $\;\color {transparent}{\big (}$ou taille$\color {transparent}{\big )}\;$ que $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ telle que ou $\;{\cancel {\left[A\right]\times \left[B\right]=\left[I_{2}\right]}}{\Big \}}$,
                                   Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta =0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ n'est pas inversible ceci mettant en défaut l'unicité de la solution en cas d'existence et même
                                   Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)=\alpha \;\delta -\gamma \;\beta =0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ n'est pas inversible ceci mettant en défaut l'existence de cette dernière ;

     en réécrivant, en termes de déterminant, la discussion exposée dans le paragraphe « résolution par comparaison (graphique) [dans le cas α δ = γ β] » plus haut dans ce chapitre, on peut affirmer :

• si $\;{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}=0\;$ et si $\;{\begin{array}{|c c|}\;a&\beta \;\\\;b&\delta \;\end{array}}\neq 0\;$, il n'y a aucune solution du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues $\;\left(x\,,\,y\right)\;$ et
• si $\;{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}=0\;$ et si $\;{\begin{array}{|c c|}\;a&\beta \;\\\;b&\delta \;\end{array}}=0\;$, il y a une infinité de solutions du système des deux équations algébriques linéaires aux deux inconnues $\;\left(x\,,\,y\right)\;$
       si $\;\color {transparent}{{\begin{array}{|c c|}\;\alpha &\beta \;\\\;\gamma &\delta \;\end{array}}=0}\;$ et si $\;\color {transparent}{{\begin{array}{|c c|}\;a&\beta \;\\\;b&\delta \;\end{array}}=0}\;$, il y a une infinité de solutions s'écrivant, si $\;\beta \neq 0$, selon «$\;\left(x_{0}\;,\;y_{0}={\dfrac {a}{\beta }}-{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;x_{0}\right)\;\;\forall \;x_{0}\in \mathbb {R} \;$» .

Généralisation à un système de n équations algébriques linéaires à n inconnues (avec n entier naturel supérieur ou égal à trois)

Définition

Système de n équations algébriques linéaires à n inconnues

     Un système de $\;n\;$ équations algébriques linéaires aux $\;n\;$ inconnues réelles $\;\left(x_{i}\right)_{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}$, $\;n\;\in \mathbb {N} ^{*}\backslash \left\lbrace 1\right\rbrace \;$ est un système de la forme $\left\lbrace {\begin{matrix}a_{1,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{1,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{1,\,n}\;x_{n}=d_{1}\\\vdots \\a_{i,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{i,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{i,\,n}\;x_{n}=d_{i}\\\vdots \\a_{n,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{n,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{n,\,n}\;x_{n}=d_{n}\end{matrix}}\right.$,
$\;\left\lbrace a_{i,\,j}\right\rbrace _{\begin{array}{|c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant n\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant n\end{array}}\;$ étant les cœfficients réels du système et $\;\left\lbrace d_{i}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant n}\;$ les seconds membres $\;{\big (}$réels${\big )}\;$.
     Si $\;d_{i}=0\;\;\forall \;i$ $\;{\big (}$c.-à-d. en absence de seconds membres${\big )}$, le système est dit homogène,
     si « au moins un des seconds membres est non nul », le système est dit hétérogène.

Généralisation des méthodes de résolution des systèmes de 2 équations algébriques linéaires à 2 inconnues aux systèmes de n équations algébriques linéaires à n inconnues avec « n > 2 »

     La généralisation des méthodes de résolution « par substitution » ou « par combinaison linéaire » exposées pour un système de $\;2\;$ équations algébriques linéaires à $\;2\;$ inconnues est possible, sachant néanmoins que l'application est rendue d'autant plus difficile que $\;n\;$ est grand.

Résolution par substitution

     Cette méthode consiste à isoler l'une des inconnues dans l'une des $\;n\;$ équations, puis à remplacer son expression dans les $\;(n-1)\;$ équations qui n'ont pas été utilisées, on aboutit ainsi à un système de $\;(n-1)\;$ équations algébriques linéaires à $\;(n-1)\;$ inconnues puis

     on itère la méthode jusqu'à obtenir un système de $\;2\;$ équations algébriques linéaires à $\;2\;$ inconnues $\;\ldots$

Résolution par combinaison linéaire

     Cette méthode consiste à conserver une équation dans laquelle l'apparition d'une des inconnues $\;{\big (}$par exemple $\;x_{n}{\big )}\;$ est effective $\;{\big [}$cette équation conservée étant, par exemple, $({\mathfrak {n}}){\big ]}\;$ et de remplacer chaque équation $\;({\mathfrak {j}}),\;j\neq n\;$ par une combinaison linéaire de $\;({\mathfrak {j}}),\;j\neq n\;$ et $\;({\mathfrak {n}})\;$ dans laquelle $\;x_{n}\;$ est éliminée, on obtient ainsi $\;(n-1)\;$ équations dans lesquelles $\;x_{n}\;$ n'apparaît pas et une dernière équation où $\;x_{n}\;$ figure, c.-à-d., à l'exception de la dernière équation, un système de $\;(n-1)\;$ équations algébriques linéaires à $\;(n-1)\;$ équations puis

     on itère la méthode jusqu'à obtenir un système de $\;2\;$ équations algébriques linéaires à $\;2\;$ inconnues $\;\ldots$

Commentaires

     Si les méthodes « par substitution » ou « par combinaison linéaire » ne posent aucune difficulté théorique, elles peuvent être néanmoins très laborieuses dans la pratique et il convient de ne pas faire les substitutions ou combinaisons linéaires au hasard $\;\ldots$

Interprétation matricielle

     Le système des $\;n\;$ équations algébriques linéaires aux $\;n\;$ inconnues réelles $\;\left(x_{i}\right)_{i\,\in \,\left[\left[1\,,\,n\right]\right]}$, «$\left\lbrace {\begin{matrix}a_{1,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{1,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{1,\,n}\;x_{n}=d_{1}\\\vdots \\a_{i,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{i,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{i,\,n}\;x_{n}=d_{i}\\\vdots \\a_{n,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{n,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{n,\,n}\;x_{n}=d_{n}\end{matrix}}\right\rbrace \;$» dans lequel $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\left\lbrace a_{i,\,j}\right\rbrace _{\begin{array}{|c}1\,\leqslant \,i\,\leqslant n\\1\,\leqslant \,j\,\leqslant n\end{array}}\;\in \left(\mathbb {R} \right)^{n^{2}}\\\left\lbrace d_{i}\right\rbrace _{1\,\leqslant \,i\,\leqslant n}\;\in \mathbb {R} ^{n}\end{array}}\right\rbrace \;$
     Le système des $\;\color {transparent}{n}\;$ équations algébriques linéaires aux $\;\color {transparent}{n}\;$ inconnues peut être réécrit de façon plus compacte sous la forme matricielle «$\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]\;$» dans laquelle

• $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}&\cdots &a_{1,\,j}&\cdots &a_{1,\,n}\\&&\vdots &&\\a_{i,\,1}&\cdots &a_{i,\,j}&\cdots &a_{i,\,n}\\&&\vdots &&\\a_{n,\,1}&\cdots &a_{n,\,j}&\cdots &a_{n,\,n}\end{array}}\right]\in M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ c.-à-d. une matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ appelée « matrice des cœfficients du système » ,
• $\;\left[X\right]=\left[{\begin{array}{c}x_{1}\\\vdots \\x_{i}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\right]\in M_{n,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;(n,\,1)\;$ appelée « matrice colonne des inconnues »,
• $\;\left[E\right]=\left[{\begin{array}{c}d_{1}\\\vdots \\d_{i}\\\vdots \\d_{n}\end{array}}\right]\in M_{n,1}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ c.-à-d. une matrice colonne de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;(n,\,1)\;$ appelée « matrice colonne des 2^nds membres » et
• $\;\times \;$ l'opération « multiplication matricielle »  ;

     la résolution de l'équation matricielle $\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]\;$ nécessite de discuter suivant la valeur du déterminant de la « matrice des cœfficients du système »
     la résolution de l'équation matricielle $\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}\;$ nécessite de discuter suivant la valeur du déterminant «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}&\cdots &a_{1,\,j}&\cdots &a_{1,\,n}\;\\&&\vdots &&\\\;a_{i,\,1}&\cdots &a_{i,\,j}&\cdots &a_{i,\,n}\;\\&&\vdots &&\\\;a_{n,\,1}&\cdots &a_{n,\,j}&\cdots &a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$» .

Cas où le déterminant de la « matrice des cœfficients du système » est non nul

     Si «$\;\mathrm {det} \!\left(A\right)={\begin{array}{|c c c c c|}\;a_{1,\,1}&\cdots &a_{1,\,j}&\cdots &a_{1,\,n}\;\\&&\vdots &&\\\;a_{i,\,1}&\cdots &a_{i,\,j}&\cdots &a_{i,\,n}\;\\&&\vdots &&\\\;a_{n,\,1}&\cdots &a_{n,\,j}&\cdots &a_{n,\,n}\;\end{array}}\;$ est $\;\neq 0\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\left[A\right]\;$ est inversible $\;{\big \{}$il existe une matrice carrée notée $\;\left[A\right]^{-1}\;$ de même dimension $\;{\big (}$ou
                                                                       Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est inversible $\;\color {transparent}{\big \{}$taille${\big )}\;$ telle que son produit matriciel à droite $\;{\big (}$ou à gauche${\big )}\;$ avec
                                                                       Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est inversible $\;\color {transparent}{\big \{}$la matrice donnée $\;\left[A\right]\;$ est la matrice identité de même dimension
                                                                      Si «$\;\color {transparent}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}\;$ est $\;\color {transparent}{\neq 0}\;$», la « matrice des cœfficients du système » $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ est inversible $\;\color {transparent}{\big \{}$${\big (}$ou taille${\big )}$ $\;\left[I_{n}\right]\;$ soit «$\;\left[A\right]^{-1}\times \left[A\right]=\left[I_{n}\right]\;$» ${\big \}}$.

     Résolution de l'équation matricielle$\;\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]$ : supposant la matrice inverse de la « matrice des cœfficients du système » $\;\left[A\right]\;$ déterminée c.-à-d. $\;\left[A\right]^{-1}\;$ connue,
     Résolution de l'équation matricielle$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}$ : on multiplie de part et d'autre à gauche l'équation matricielle par $\;\left[A\right]^{-1}\;$ et on obtient la solution matricielle «$\;\left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$»,
     Résolution de l'équation matricielle$\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}$ : en effet $\;\left[A\right]^{-1}\times \left\lbrace \left[A\right]\times \left[X\right]\right\rbrace =\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left\lbrace \left[A\right]^{-1}\times \left[A\right]\right\rbrace \times \left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left[I_{n}\right]\times \left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]$ soit finalement
    Résolution de l'équation matricielle $\;\color {transparent}{\left[A\right]\times \left[X\right]=\left[E\right]}$ : «$\;\left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]\;$» compte-tenu de $\;\left[I_{n}\right]\times \left[X\right]=\left[X\right]$.

Détermination de la matrice inverse de la matrice des cœfficients du système

     Préliminaire : cette méthode est exposée dans le paragraphe « formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée » du chap.$2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique - bis (PCSI) », les connaissances utiles étant rappelées ci-dessous :

Rappel sur la notion de comatrice d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée

     Soit la « matrice carrée $\;\left[A\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\;\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$», nous définissons
     Soit la « comatrice de $\;\left[A\right]$, notée $\;\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace$, comme la matrice de ses cofacteurs $\;\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace =\left[{\begin{array}{c}\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,j}\!\!&\cdots \!\!&\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{n,\,n}\end{array}}\right]\!\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ »,
     Soit le « cofacteur d'indice$\;_{i,\,j}\;$ de la matrice $\;\left[A\right]\;$ étant le scalaire $\;\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}:=\mathrm {det} \!\left({A'}_{i,\,j}\right)=$ $(-1)^{i+j}\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$ » dans laquelle
     Soit le « cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ étant le scalaire $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}}$ $\succ$ $\;\left[{A'}_{i,\,j}\right]\;$ est la matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n\;$ déduite de $\;\left[A\right]\;$ en remplaçant la j^ème colonne
     Soit le « cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ étant le scalaire $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}}$ $\color {transparent}{\succ }$ par une colonne constituée uniquement de $\;0\;$ à l'exception du cœfficient de la i^ème ligne remplacé par $\;1\;$
     Soit le « cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ étant le scalaire $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}}$ $\color {transparent}{\succ }$ soit $\;\left[{A'}_{i,\,j}\right]=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{1,\,j}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\a_{i,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{i,\,j}}}\rightsquigarrow 1\!\!&\cdots \!\!&a_{i,\,n}\\\!\!&\!\!&{\cancel {\vdots }}\rightsquigarrow 0\!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&{\cancel {a_{n,\,j}}}\rightsquigarrow 0\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]\!\in \;M_{n}\!\left(\mathbb {R} \right)\;$ et
     Soit le « cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ étant le scalaire $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}}$ $\succ$ $\;\left[A_{i,\,j}\right]\;$ est la sous-matrice carrée de dimension $\;{\big (}$ou taille${\big )}$ $\;n-1\;$ déduite de $\;\left[A\right]\;$ en supprimant la i^ème ligne et
     Soit le « cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ étant le scalaire $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}}$ $\color {transparent}{\succ }$ la j^ème colonne soit $\;\left[A_{i,\,j}\right]$ $=\left[{\begin{array}{c}a_{1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,j-1}\!\!&a_{1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{i-1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,j-1}\!\!&a_{i-1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i-1,\,n}\\a_{i+1,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,j-1}\!\!&a_{i+1,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{i+1,\,n}\\\!\!&\!\!&\vdots \!\!&\vdots \!\!&\!\!&\\a_{n,\,1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,j-1}\!\!&a_{n,\,j+1}\!\!&\cdots \!\!&a_{n,\,n}\end{array}}\right]$ $\;\in \;M_{n-1}\!\left(\mathbb {R} \right)$,
     Soit le « cofacteur d'indice $\;\color {transparent}{_{i,\,j}}\;$ de la matrice $\;\color {transparent}{\left[A\right]}\;$ étant le scalaire $\;\color {transparent}{\left(\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \right)_{i,\,j}}$ $\succ$ $\;\mathrm {det} \!\left(A_{i,\,j}\right)\;$ étant le déterminant de la sous-matrice $\;\left[A_{i,\,j}\right]\;$ et définissant un « mineur de $\;\left[A\right]\;$».

Explicitation de la formule de Laplace de détermination de l'inverse d'une matrice carrée de dimension (ou taille) fixée

     Appelant « matrice complémentaire de $\;\left[A\right]\;$» la matrice transposée de la comatrice c.-à-d. $\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace$,
     la formule de Laplace de détermination de l'inverse de la matrice carrée $\;\left[A\right]$ $\;{\big (}$formule admise${\big )}\;$ s'écrit selon «$\;\left[A\right]^{-1}={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \;$».

Explicitation de la solution du système des n équations algébriques linéaires aux n inconnues à l'aide de la règle de Cramer

     Explicitation de la solution du système des n équations algébriques linéaires aux n inconnues$\;\left\lbrace {\begin{matrix}a_{1,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{1,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{1,\,n}\;x_{n}=d_{1}\\\vdots \\a_{i,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{i,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{i,\,n}\;x_{n}=d_{i}\\\vdots \\a_{n,\,1}\;x_{1}+\cdots +a_{n,\,j}\;x_{j}+\cdots +a_{n,\,n}\;x_{n}=d_{n}\end{matrix}}\right.$ : pour cela on développe
     explicitation de la solution du système le produit matriciel du membre de droite $\;\left[X\right]=\left[A\right]^{-1}\times \left[E\right]={\dfrac {1}{\mathrm {det} \!\left(A\right)}}\;^{t\!}\mathrm {com} \left\lbrace \left[A\right]\right\rbrace \times \left[{\begin{array}{c}d_{1}\\\vdots \\d_{i}\\\vdots \\d_{n}\end{array}}\right]\;$ soit, en explicitant la « matrice complémentaire de $\;\left[A\right]\;$» ,
     explicitation de la solution du système