Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Différentielle d'une fonction d'une variable

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Différentielle d'une fonction d'une variable
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Chapitre no 4
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Système de deux équations algébriques linéaires à deux inconnues
Chap. suiv. :Théorème de Fourier
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Dans ce chapitre les fonctions scalaires ou vectorielles d'une variable seront systématiquement considérées dérivables.

Élément différentiel d'une variable

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     Considérons une variable   et une petite variation de cette variable notée  [1] ;
Considérons une variable rendant cette petite variation aussi petite que possible  c.-à-d. la faisant tendre vers  , on obtient l'élément différentiel
Considérons une variable rendant cette petite variation aussi petite que possible  c.-à-d. la faisant tendre vers  , on obtient utilisé en physique et noté   ;
Considérons une variable rendant cette petite variation aussi petite que possible  c.-à-d. la faisant tendre vers  , cet élément différentiel est un infiniment petit [2].

Différentielle d'une fonction scalaire d'une variable

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     Soit la fonction scalaire   de la variable   ;

     considérons la petite variation de cette fonction   sur l'intervalle   notée  [3] et définie selon « » [4] ;

     cette petite variation peut être évaluée en utilisant l'approximation linéaire suivante «  avec  » [5].

     Remarque : On en déduit la notation différentielle de la dérivée en divisant les deux membres par l'élément différentiel   soit « » [7].

     En conclusion pour exprimer la différentielle de   pour la valeur   de la variable  , on multiplie la dérivée par l'élément différentiel .

Propriété de la différentielle d'une fonction scalaire d'une variable quand l'élément différentiel de la variable est un infiniment petit

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     Remarque préliminaire : propriété non valable si l'élément différentiel   est quelconque, ce n'est donc pas une propriété à utiliser en mathématique mais uniquement en physique.

     Exposé : La petite variation   de   sur l'intervalle   a été définie par « » et,
     Exposé : La petite variation   de   sur l'intervalle   a été définie par approximation linéaire nous avons pu écrire « » avec « » ;

     Exposé : en physique,   étant l'infiniment petit associé à   quand ce dernier tend vers  , on peut traduire ceci par « » avec « » [8] ;

     Exposé : en physique, son report dans l'approximation linéaire nous conduit alors à « » ou encore,
     Exposé : en physique, son report dans l'approximation linéaire en définissant « » qui est telle que « » et,
     Exposé : en physique, son report dans l'approximation linéaire compte-tenu de la définition de la différentielle de   pour la valeur   de la variable, « », on peut écrire
Exposé : en physique, son report dans l'approximation linéaire nous conduit alors à « » avec « » ;

     Exposé : ainsi, dans la mesure où l'élément différentiel   est un infiniment petit, la petite variation   peut être confondue avec la différentielle   quand   tend vers  ,
     Exposé : ainsi, dans la mesure où l'élément différentiel   est un infiniment petit, la différence entre les deux «  étant un infiniment petit d'ordre supérieur » ;
     Exposé : en physique nous noterons   pour traduire la confusion à un ordre supérieur près.

Quelques règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable

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     Les règles énoncées découlent des règles connues sur la dérivation de somme, produit ou quotient de fonctions d'une même variable ainsi que celle de la dérivation de la fonction constante, et
     Les règles énoncées découlent du fait que la différenciation s'obtient par dérivation suivie de la multiplication par l'élément différentiel de la variable ;
     les règles utilisables sont donc les suivantes  « »,
     les règles utilisables sont donc les suivantes  « »,
     les règles utilisables sont donc les suivantes  « »,
     les règles utilisables sont donc les suivantes  « ».

Utilisation de la différenciation pour justifier la dérivée d'une fonction composée

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     Soit à calculer la dérivée par rapport à   de la fonction composée  , pour cela on introduit les fonctions intermédiaires  « »,
     Soit à calculer la dérivée par rapport à   de la fonction composée  , pour cela on introduit les fonctions intermédiaires  « »,
     Soit à calculer la dérivée par rapport à   de la fonction composée  , pour cela on introduit les fonctions intermédiaires  « » et
     Soit à calculer la dérivée par rapport à   de la fonction composée  , pour cela on introduit les fonctions intermédiaires  « » [11]
     Soit à calculer la dérivée par rapport à   de la fonction composée  , dont on déduit la composition suivante « » ;

     on évalue alors successivement  la différentielle de   en fonction de   soit « »,
     on évalue alors successivement  la différentielle de   en fonction de   soit « »,
     on évalue alors successivement  la différentielle de   en fonction de   soit « » et
     on évalue alors successivement  la différentielle de   en fonction de   soit « » ;

     on en déduit, par reports successifs, « » c.-à-d.
     on en déduit, la formule de dérivation de la fonction composée   écrite en notation différentielle « » [12]  formule à utiliser directement  d'où :

     on en déduit « » ou, en éliminant les fonctions intermédiaires, « » soit finalement
     on en déduit « » ou, en éliminant les fonctions intermédiaires, « ».

     Commentaires : En physique il est fréquent que l'on ait une fonction composée de deux fonctions, dans ce cas retenir la formule de dérivation de la fonction « » sous la forme
     Commentaires : En physique il est fréquent que l'on ait une fonction composée de deux fonctions, dans ce cas retenir la formule de dérivation de la fonction « ».

Différentielle logarithmique d'une fonction scalaire d'une variable

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     Pour une « fonction scalaire   dérivable en tout   de son domaine   de dérivabilité telle que   pour toute valeur  » [13], on définit
       Pour la « fonction dérivée logarithmique de   en  » [13] notée  [14] selon « » [13], [15]
            Pour la « fonction dérivée logarithmique de   en  »  c'est aussi la « dérivée de la fonction composée  » .

     Remarque : De même que pour la dérivée logarithmique de la fonction scalaire   il n'y a pas de notation réglementée pour la différentielle logarithmique de cette même fonction  ,
     Remarque : De même que pour la dérivée logarithmique de la fonction scalaire   toutefois on trouve parfois la notation « » soit « » [18].

Différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable

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Définition d'une fonction vectorielle d'une variable

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Définition intrinsèque de la dérivée d'une fonction vectorielle d'une variable

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     La fonction vectorielle est dite dérivable en   si   existe, sa valeur définissant   soit « » [20] ;

     la fonction est dite dérivable sur un domaine de dérivabilité si   existe pour toutes les valeurs du domaine.

Définition intrinsèque de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable

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     Soit la fonction vectorielle   de la variable   ;

     considérons la petite variation de cette fonction   sur l'intervalle   notée  [21] et définie selon « » ;

     cette petite variation peut être évaluée en utilisant l'approximation linéaire suivante «  avec  » [22].

     Remarque : On en déduit la notation différentielle de la dérivée en divisant les deux membres par l'élément différentiel   soit « » [24].

     En conclusion pour exprimer la différentielle de   pour la valeur   de la variable  , on multiplie la dérivée par l'élément différentiel .

Explicitation d'une fonction vectorielle d'une variable par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle

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     Considérant la fonction vectorielle   de la variable réelle  , de domaine de définition   et
     choisissant une base « fixe » [25] de l'espace physique  [26], base appelée « cartésienne » [27] et notée   ;

     décomposant   sur la base cartésienne selon « »   il est possible de définir la fonction vectorielle à l'aide de trois [28] fonctions scalaires .

Définition de la dérivée et de la différentielle d'une fonction vectorielle par choix d'une base dans l'espace physique incluant l'espace image de la fonction vectorielle

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     La base choisie étant indépendante de la variable  , on peut dériver  ou différencier  la relation   et on obtient :

  • « » c.-à-d. que la dérivée de la fonction vectorielle a pour composantes la dérivée de ses composantes,
  • « » c.-à-d. que la différentielle de la fonction vectorielle a pour composantes la différentielle de ses composantes.

Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable

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     Ces règles prolongent celles énoncées au paragraphe « quelques règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable » plus haut dans ce chapitre,
              elles peuvent être justifiées par la décomposition des fonctions vectorielles dans la base cartésienne   en leurs composantes scalaires sur lesquelles les règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable s'appliquent ;
     ces règles sont donc les suivantes  « »,
     ces règles sont donc les suivantes  « »,
     ces règles sont donc les suivantes  « »,
     ces règles sont donc les suivantes  « »,
     ces règles sont donc les suivantes  « » [29].

Quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction scalaire formée à partir de fonctions vectorielles d'une variable

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     Ces règles prolongent celles énoncées au paragraphe « quelques règles de calcul de différentielle d'une fonction scalaire d'une variable » plus haut dans ce chapitre,
              elles utilisent aussi les « quelques règles de calcul de la différentielle d'une fonction vectorielle d'une variable » du paragraphe ci-dessus et se justifient en combinant les deux ;
     ces règles sont donc les suivantes  « » [30],
     ces règles sont donc les suivantes  « » [31] soit
     ces règles sont donc les suivantes  en utilisant la distributivité de la multiplication scalaire relativement à l'addition vectorielle [32]
     ces règles sont donc les suivantes  « » [33].

Notes et références

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  1. Une variation a priori non petite de la variable sera notée  .
  2. En fait, il s'agit de l'élément différentiel utilisé en physique ; en mathématique,   représente n'importe quelle variation de la variable   qui peut en particulier être aussi petite que possible, mais ce n'est qu'un cas particulier de l'« élément différentiel mathématique », cas particulier systématiquement utilisé en physique, aussi un physicien définit   par abus   l'élément différentiel comme un infiniment petit.
  3. Par abus on notera aussi   sans rappeler la borne inférieure de l'intervalle de définition.
  4. À partir de la représentation graphique   de la fonction   dans le plan  ,   et   étant respectivement les points   et  ,   est l'augmentation d'ordonnée du point de   pour l'augmentation d'abscisse  .
  5. Ceci n'est rien d'autre que la définition de la dérivée écrite différemment, en effet divisons l'approximation linéaire de   par  , on obtient   avec     ce qui donne effectivement   ;
       partant de la représentation graphique   de la fonction   dans le plan  ,   et   étant respectivement les points   et   et
       introduisant la tangente à la courbe   en   d'équation  , le point   de la tangente à   d'abscisse   ayant pour ordonnée  ,
       introduisant la tangente à la courbe   en   d'équation  ,   est l'augmentation d'ordonnée de   par rapport à celle de   et
       introduisant la tangente à la courbe   en   d'équation  ,   représente  .
  6. On rappelle que l'élément différentiel   représente en mathématique n'importe quelle variation mais en physique c'est toujours un infiniment petit ;
       il serait plus précis d'écrire   mais on ne le fait jamais.
  7. Dans le cas de la notation différentielle de la dérivée, on rappelle la valeur de la variable selon   ;
       partant de la différentielle de la fonction pour la valeur   notée exceptionnellement  , la division par   conduirait à la notation différentielle de la dérivée selon  , ce qui n'est toutefois pas la notation habituellement utilisée.
  8. Cette dernière condition impliquant que le terme   tende vers   plus rapidement que   et par suite permettant de confondre   et   à un infiniment petit d'ordre supérieur près.
  9. En effet nous avons vu que   à un infiniment petit d'ordre supérieur près et
       En effet nous avons vu que   à un infiniment petit d'ordre supérieur près d'où
       En effet nous avons vu que   à un infiniment petit d'ordre supérieur près.
  10. Et cette définition est valable pour tout   même si ce dernier n'est pas un infiniment petit  toutefois on l'utilise en physique en tant qu'infiniment petit .
  11. Pour simplifier on adopte la même notation   pour la fonction simple   et pour la fonction composée    .
  12. Obtenue en divisant les deux membres de   par  .
  13. 13,0 13,1 et 13,2 Et si   s'annule pour des valeurs de   il convient de « restreindre   au plus grand   tel que  ».
  14. 14,0 et 14,1 Notation personnelle car il n'y a aucune réglementation pour noter cette fonction.
  15. Voir le paragraphe « notion de dérivée logarithmique d'une fonction » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  16. Le domaine de dérivabilité logarithmique de   « » est le domaine de dérivabilité de   « » auquel « on retire toutes les valeurs de   annulant  ».
  17. On rappelle que l'élément différentiel   représente en mathématique n'importe quelle variation mais en physique c'est toujours un infiniment petit ;
       il serait plus précis d'écrire   mais on ne le fait jamais.
  18. On rappelle que l'élément différentiel   représente en mathématique n'importe quelle variation mais en physique c'est toujours un infiniment petit ;
       il serait plus précis d'écrire     mais on ne le fait jamais.
  19. Deux ou trois dimensions suivant que    l'image de   est inclus dans un plan ou dans tout l'espace physique à trois dimensions ; de plus l'espace physique est euclidien c.-à-d. que c'est un espace  -vectoriel et qu'on y définit un produit scalaire, par conséquent que l'on peut mesurer les distances entre points  par la norme du vecteur associé  et les angles entre deux bipoints  par utilisation du produit scalaire des deux vecteurs associés .
  20. La définition est dite « intrinsèque » car elle ne dépend pas du choix d'une base de l'espace image.
  21. Par abus on notera aussi   sans rappeler la borne inférieure de l'intervalle de définition.
  22. Ceci n'est rien d'autre que la définition de la dérivée écrite différemment, en effet divisons l'approximation linéaire de   par  , on obtient   avec   ce qui donne effectivement  .
  23. On rappelle que l'élément différentiel   représente en mathématique n'importe quelle variation mais en physique c'est toujours un infiniment petit ;
       il serait plus précis d'écrire   mais on ne le fait jamais.
  24. Dans le cas de la notation différentielle de la dérivée, on rappelle la valeur de la variable selon   ;
       partant de la différentielle de la fonction pour la valeur   notée exceptionnellement  , la division par   conduirait à la notation différentielle de la dérivée selon  , ce qui n'est toutefois pas la notation habituellement utilisée.
  25. C.-à-d. indépendante de la variable.
  26. L'espace physique   étant à deux ou trois dimensions suivant que   est inclus dans un plan ou dans tout l'espace physique à trois dimensions, la base choisie contiendra deux ou trois vecteurs indépendants ; nous supposerons par la suite que l'espace physique   est à trois dimensions.
  27. Voir aussi le paragraphe « repérage cartésien » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  28. Ou deux.
  29. Voir les définitions équivalentes du « produit vectoriel de deux vecteurs » au chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  30. Voir les définitions équivalentes du « produit scalaire de deux vecteurs » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  31. Voir les définitions équivalentes du « produit mixte de trois vecteurs » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  32. Voir le paragraphe « autres propriétés (de la multiplication scalaire) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  33. La règle de différenciation consiste à affecter à chaque facteur pris séparément et à tour de rôle l'opération différenciation, les autres facteurs étant inchangés et gardant leur place, puis à ajouter les trois contributions.