Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Fourier

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Énoncé du théorème de Fourier

     Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes $\;{\big (}$évoqués ici${\big )}\;$ et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\ldots$

Début d’un théorème

Théorème de Fourier (admis)

     Toute fonction périodique $\;s(t)$, de fréquence $\;f$, est développable en série de Fourier , c.-à-d. qu'elle est la somme infinie de fonctions sinusoïdales, de fréquences $\;f_{n}=n\,f,\;n\in \mathbb {N}$, appelées « harmoniques de rang $\;n\;$» , le rang $\;n=0\;$ correspondant à la composante continue et le rang $\;n=1\;$ à l'harmonique fondamental.

Fin du théorème

Premier développement en série de Fourier

1^er développement en série de Fourier (admis)

«$\;s(t)=A_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left\lbrace \left[A_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,f_{n}\,t)\right]\right\rbrace \;$» avec «$\;f_{n}=n\,f,\;\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$»,
«$\;A_{0}\;$ étant l'éventuelle composante continue »,
«$\;A_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t)\;$ et $\;B_{n}\,\sin(2\,\pi \,f_{n}\,t)\;$ les harmoniques respectivement pair et impair de rang $\;n\;$».

     Le calcul des cœfficients est un complément pour la 1^ère année, il n'est donc pas exigible :

     Calcul de la composante continue : «$\;A_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,dt\;$» .

     Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de gauche «$\;\left\langle s(t)\right\rangle \;$» , laquelle est égale à la moyenne du membre de droite, c.-à-d. à la somme $\;{\big (}$infinie${\big )}\;$ des moyennes de chaque harmonique soit

«$\;\left\langle A_{0}\right\rangle +\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left[\left\langle A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\left\langle B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \right]\;$»  ;

     Calcul de la composante continue : Justification : or « toutes les moyennes des harmoniques de rang non nul étant nulles » , il reste, à droite, la moyenne de l'harmonique de rang zéro $\;{\big (}$c.-à-d. de la composante continue${\big )}\;$ et comme cet harmonique est une constante, il reste «$\;\left\langle A_{0}\right\rangle =A_{0}\;$» C.Q.F.D. .

     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang${\underline {\;n\;}}$non nul : «$\;A_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {2}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt\;$» .

     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on multiplie les deux membres par $\;\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\;$» et on prend la moyenne du membre de gauche «$\;\left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$» , égale à la moyenne du membre de droite, c.-à-d., après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme $\;{\big (}$infinie${\big )}\;$ des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif

«$\;\left\langle A_{0}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\sum \limits _{k=1}^{\infty }\left[\left\langle A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\left\langle B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \right]\;$»  ;

     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de «$\;\left\langle A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;{\text{avec }}k=n\;$» , il reste donc, à droite, «$\;\left\langle A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;{\text{avec }}k=n\;$» c.-à-d. «$\;\left\langle A_{n}\,\cos ^{2}(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$» ou, en linéarisant $\;\cos ^{2}(2\,\pi \,n\,f\,t)={\dfrac {1+\cos(4\,\pi \,n\,f\,t)}{2}}$, la somme suivante «$\;\left\langle {\dfrac {A_{n}}{2}}\right\rangle +\left\langle {\dfrac {A_{n}}{2}}\,\cos(4\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$» soit, « la seconde moyenne étant nulle » , «$\;\left\langle {\dfrac {A_{n}}{2}}\right\rangle ={\dfrac {A_{n}}{2}}\;$» C.Q.F.D. dans la mesure où «$\;\left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {A_{n}}{2}}\;$ est équivalent à $\;A_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$».

     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang${\underline {\;n\;}}$non nul : «$\;B_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {2}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt\;$» .

     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on multiplie les deux membres par «$\;\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\;$» et on prend la moyenne du membre de gauche «$\;\left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$» , égale à la moyenne du membre de droite, c.-à-d., après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme $\;{\big (}$infinie${\big )}\;$ des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif

«$\;\left\langle A_{0}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\sum \limits _{k=1}^{\infty }\left[\left\langle A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\left\langle B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \right]\;$»  ;

     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang$\color {transparent}{\;n\;}$non nul : Justification : or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de «$\;\left\langle B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;{\text{avec }}k=n\;$» , il reste donc, à droite, «$\;\left\langle B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;{\text{avec }}k=n\;$» c.-à-d. «$\;\left\langle B_{n}\,\sin ^{2}(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$» ou, en linéarisant $\;\sin ^{2}(2\,\pi \,n\,f\,t)={\dfrac {1-\cos(4\,\pi \,n\,f\,t)}{2}}$, la somme suivante «$\;\left\langle {\dfrac {B_{n}}{2}}\right\rangle -\left\langle {\dfrac {B_{n}}{2}}\,\cos(4\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$» soit, « la seconde moyenne étant nulle » , «$\;\left\langle {\dfrac {B_{n}}{2}}\right\rangle ={\dfrac {B_{n}}{2}}\;$» C.Q.F.D. dans la mesure où «$\;\left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {B_{n}}{2}}\;$ est équivalent à $\;B_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$».

Deuxième développement en série de Fourier

2^ème développement en série de Fourier (admis)

«$\;s(t)=C_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left[C_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t+\varphi _{n})\right]\;$» avec «$\;f_{n}=n\,f,\;\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$»,
«$\;C_{0}\;$ étant l'éventuelle composante continue »,
«$\;C_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t+\varphi _{n})\;$ l'harmonique de rang $\;n\;$».

Remarque

     L'avantage de ce 2^ème développement en série de Fourier par rapport au 1^er est qu'il permet d'obtenir directement l'« amplitude de l'harmonique de rang $\;n\;$ par $\;\vert C_{n}\vert \;$»
     alors qu'avec le 1^er il serait nécessaire de « calculer $\;{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\;$ pour obtenir l'amplitude ».

Passage du premier au second développement en série de Fourier

     Les deux développements en série de Fourier précédemment introduits devant être identiques quel que soit $\;t\;$ on en déduit :

• «$\;C_{0}=A_{0}\;$»,
• «$\;C_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{n})=A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\quad \forall \;t\;$» ;

     le but recherché dans ce paragraphe est de « déterminer $\;C_{n}\;$ et $\;\varphi _{n}\;$ connaissant $\;A_{n}\;$ et $\;B_{n}\;$» :

     Établissement du lien permettant d'obtenir${\underline {\;(C_{n}\,,\,\varphi _{n})\;}}$à partir${\underline {\;(A_{n}\,,\,B_{n})}}$ : partant de la somme d'harmoniques pair et impair de rang $\;n\;$ «$\;s_{n}(t)=A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\;$», on fait apparaître dans $\;s_{n}(t)\;$ le facteur $\;{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\;$ ce qui donne «$\;s_{n}(t)={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\left[{\dfrac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+{\dfrac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right]\;$», puis
     Établissement du lien permettant d'obtenir$\color {transparent}{\;(C_{n}\,,\,\varphi _{n})\;}$à partir$\color {transparent}{\;(A_{n}\,,\,B_{n})}$ : on définit «$\;\varphi _{n}\;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}=\cos(\varphi _{n})\\{\dfrac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}=-\sin(\varphi _{n})\end{array}}\right.\;$» , ce qui permet de réécrire la somme d'harmoniques pair et impair de rang $\;n\;$ selon «$\;s_{n}(t)={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\left[\cos(\varphi _{n})\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)-\sin(\varphi _{n})\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right]\;$» soit finalement

«$\;s_{n}(t)=C_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{n})\;$» avec
«$\;C_{n}={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\;$» et «$\;\varphi _{n}\;$ tel que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos(\varphi _{n})={\dfrac {A_{n}}{C_{n}}}\\\sin(\varphi _{n})=-{\dfrac {B_{n}}{C_{n}}}\end{array}}\right.\;$» .

Troisième développement en série de Fourier

3^ème développement en série de Fourier (admis)

«$\;s(t)=\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\;$» avec
«$\;{\underline {C'}}_{0}={C'}_{0}\;\in \mathbb {R} \;$ l'éventuelle composante continue » et
«$\;{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)+{\underline {C'}}_{(-p)}\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t),\;\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ l'harmonique de rang $\;p\;(>0)\;$» .

     Ce 3^ème développement en série de Fourier est donné à titre de complément car ne sera pas utilisé par la suite ; il présente néanmoins quelques avantages dont le principal est de donner des formules symétriques pour calculer les cœfficients $\;{\underline {C'}}_{p}\;\;p\in \mathbb {Z} \;$ :

     Calcul du cœfficient $\;{\underline {C'}}_{p}\;p\in \mathbb {Z}$ : «$\;{\underline {C'}}_{p}=\left\langle s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\,dt\;$» .

     Calcul du cœfficient $\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on multiplie le 3^ème développement en série de Fourier par «$\;\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\;$» et on prend la moyenne du membre de gauche «$\;\left\langle s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \;$» , égale à la moyenne du membre de droite, c.-à-d. la somme $\;{\big (}$infinie${\big )}\;$ des moyennes de $\;{\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]\;$

«$\;\left\langle s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle =\left\langle {\underline {C'}}_{p}\right\rangle +\sum \limits _{p'\,\neq \,p}^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left\langle {\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]\right\rangle \;$»  ;

     Calcul du cœfficient $\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : or « chaque moyenne pour $\;p'\;$ fixé $\;\neq p\;$ étant nulle » $\;{\Bigg \{}$la moyenne étant «$\;\left\langle {\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]dt=$ ${\dfrac {{\underline {C'}}_{p'}}{T}}{\cancel {\left[{\dfrac {\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]}{i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f}}\right]_{0}^{T}}}=0\;$» ${\Bigg \}}\;$ on en déduit «$\;\left\langle s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle =\left\langle {\underline {C'}}_{p}\right\rangle ={\underline {C'}}_{p}\;$» C.Q.F.D. .

Passage du second au troisième développement en série de Fourier

     Ces deux développements en série de Fourier précédemment introduits devant être identiques quel que soit $\;t\;$ on en déduit :

• «$\;{C'}_{0}=C_{0}\;(=A_{0})\;$»,
• «$\;{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)+{\underline {C'}}_{(-p)}\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)=C_{p}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\quad \forall \;t\;$» ou, avec la formule d'Euler relative au cosinus ,
  «$\;{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)+{\underline {C'}}_{(-p)}\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)=$ ${\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p}\right)\right]+{\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp \!\left[-i\left(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p}\right)\right]\quad \forall \;t\;$» soit,
  par identification des cœfficients de $\;\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\;$ ainsi que ceux de $\;\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)$, «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {C'}}_{p}={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp(i\,\varphi _{p})\\{\underline {C'}}_{(-p)}={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp(-i\,\varphi _{p})\end{array}}\right\rbrace \,p\in \mathbb {N} ^{*}\;$» ou
  par identification des cœfficients de $\color {transparent}{\;\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\;}$ ainsi que ceux de $\color {transparent}{\;\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)}$, $\succ$ si $\;p\in \mathbb {N} ^{*}$, $\qquad \qquad \qquad \;\,{\underline {C'}}_{p}={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp(i\,\varphi _{p})\;$ et
  par identification des cœfficients de $\color {transparent}{\;\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\;}$ ainsi que ceux de $\color {transparent}{\;\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)}$, $\succ$ si $\;p'=-p\;{\text{avec }}p\in \mathbb {N} ^{*}$, $\;{\underline {C'}}_{p'}={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp(-i\,\varphi _{p})=\left[{\underline {C'}}_{p}\right]^{*}\;$.

Passage du premier au troisième développement en série de Fourier

     Nous verrons une autre façon $\;{\big (}$moins immédiate${\big )}\;$ de déterminer les cœfficients du 3^ème développement en série de Fourier en utilisant la méthode de calcul de ceux du 1^er développement à savoir :

«$\;A_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle \;$», «$\;A_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$» et «$\;B_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$»  ;

     ces deux développements en série de Fourier précédemment introduits devant être identiques quel que soit $\;t\;$ on en déduit :

     «$\;s(t)=A_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left\lbrace \left[A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right]\right\rbrace =\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\;$» ou, en utilisant dans le 1^er développement les « formules d'Euler  » ,
     «$\;s(t)=A_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left\lbrace \left[A_{n}\,{\dfrac {\exp(i\,2\,\pi \,n\,f\,t)+\exp(-i\,2\,\pi \,n\,f\,t)}{2}}+B_{n}\,{\dfrac {\exp(i\,2\,\pi \,n\,f\,t)-\exp(-i\,2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,i}}\right]\right\rbrace =$ $A_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left\lbrace {\dfrac {A_{n}\,-i\,B_{n}}{2}}\,\exp(i\,2\,\pi \,n\,f\,t)+{\dfrac {A_{n}\,+i\,B_{n}}{2}}\,\exp(-i\,2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rbrace \;$» et
     en identifiant les cœfficients de $\;\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t),\;p\in \mathbb {Z} \;$ dans les deux développements :

• $\succ$ si $\;p=0$, «$\;{\underline {C'}}_{0}=A_{0}\;$»                                                                                                                                                                              soit «$\;{\underline {C'}}_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle \;$» ,
• $\succ$ si $\;p\in \mathbb {N} ^{*}$, «$\;{\underline {C'}}_{p}={\dfrac {A_{p}-i\,B_{p}}{2}}=\left\langle s(t)\left[\cos(2\,\pi \,p\,f\,t)-i\,\sin(2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\right\rangle \;$»                                                                                    soit «$\;{\underline {C'}}_{p}=\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \;$» et
• $\succ$ si $\;p\in \mathbb {Z} ^{(-,\,*)}$, «$\;{\underline {C'}}_{p}={\underline {C'}}_{(-\vert p\vert )}={\dfrac {A_{(\vert p\vert )}+i\,B_{(\vert p\vert )}}{2}}=\left\langle s(t)\left[\cos(2\,\pi \,\vert p\vert \,f\,t)+i\,\sin(2\,\pi \,\vert p\vert \,f\,t)\right]\right\rangle =\left\langle s(t)\exp(i\,2\,\pi \,\vert p\vert \,f\,t)\right\rangle \;$» soit «$\;{\underline {C'}}_{p}=\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \;$» sachant que «$\;\vert p\vert =$ $-p\;{\text{pour}}\;p\in \mathbb {Z} ^{(-,\,*)}\;$».

Théorème de Parseval

     Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755 – 1836) mathématicien français à qui on doit essentiellement le « théorème de Parseval $\;{\big (}$ou égalité de Parseval${\big )}\;$» dont il eut l'intuition sans le démontrer $\;{\big (}$il estimait que c'était une évidence${\big )}$.

Théorème de Parseval utilisant le 3^ème développement en série de Fourier

     Considérant le 3^ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;s(t)\;$ de fréquence $\;f$, «$\;s(t)=\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\;$» dans lequel «$\;{\underline {C'}}_{p}=\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle =$ ${\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\,dt\;$» est appelé cœfficient de Fourier complexe de $\;s\;$ pour $\;p\,\in \mathbb {Z}$, et

     formant la série suivante «$\;{c'}_{n}(s)=\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-n\,{\text{à}}\,+n}\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;$» , Parseval a eu l'intuition de la « convergence de cette série $\;{c'}_{n}(s)\;$ vers $\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle \;$».

Début d’un théorème

Énoncé du théorème de Parseval

     La série formée de la somme de tous les carrés de modules des cœfficients de Fourier complexes de $\;s\;$ correspondant à un harmonique de rang $\;\leqslant n\;$ soit «$\;{c'}_{n}(s)=\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-n\,{\text{à}}\,+n}\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;$» avec «$\;{\underline {C'}}_{p}=$ $\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \;$», converge, quand $\;n\rightarrow \infty$, vers «$\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle \;$» soit mathématiquement,

«$\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle =\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;$» .

Fin du théorème

Quelques éléments de démonstration de l'égalité de Parseval utilisant le 3^ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique

     On utilise la définition du carré de la moyenne quadratique de la fonction $\;s(t)\;$ en utilisant son 3^ème développement en série de Fourier soit

«$\;\left\langle s^{2}(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}s^{2}(t)\,dt=$ ${\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace \sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\right\rbrace ^{\!2}\,dt\;$» ;

     pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de carrés de type «$\;{\underline {C'}}_{p}^{2}\,\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)\;$» et
     pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de termes « rectangles $\;{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\,\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]\;$ avec $\;(p\,,\,q)\in \mathbb {Z} ^{2}\;$ mais $\;q\neq p\;$»
     pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de dont on évalue l'intégrale de chaque terme selon :

• les intégrales des 1^ers termes à savoir «$\;{\underline {C'}}_{p}^{2}\,\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)\;$» se distinguent suivant que
  $\;\succ$ $\;p=0\;$ donnant «$\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{0}^{2}\;dt={\underline {C'}}_{0}^{2}\;T\;$» ou
  $\;\succ$ $\;p\neq 0\;$ donnant «$\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{p}^{2}\,\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)\;dt={\underline {C'}}_{p}^{2}\left[{\dfrac {\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)}{i\,4\,\pi \,p\,f}}\right]_{0}^{T}=0\;$» et
• les intégrales des 2^èmes termes à savoir «$\;{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\,\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]\;$ avec $\;(p\,,\,q)\in \mathbb {Z} ^{2}\;$ mais $\;q\neq p\;$» se distinguent suivant que
  $\;\succ$ $\;q=-p\;$ donnant «$\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{-p}\;dt=\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\;T\;$» ou
  $\;\succ$ $\;q\neq -p\;$ donnant «$\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\,\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]\;dt={\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\left[{\dfrac {\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]}{i\,2\,\pi \,(p+q)\,f}}\right]_{0}^{T}=0\;$»  ;

     finalement «$\;\left\langle s^{2}(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace \sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\right\rbrace ^{\!2}\,dt\;{\stackrel {\ldots }{=}}\;{\underline {C'}}_{0}^{2}+\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} ^{*}}^{-\infty \,{\text{à}}\,-1\,{\text{et}}\,1\,{\text{à}}\,+\infty }\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;$» d'où, sous forme plus compacte

l'égalité de Parseval «$\;\left\langle s^{2}(t)\right\rangle =\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\;$».

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 2^ème développement en série de Fourier

     Soit le 2^ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;s(t)\;$ de fréquence $\;f$, «$\;s(t)=C_{0}+\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[C_{p}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\right]\;$» dans lequel la composante continue et l'amplitude de l'harmonique de rang $\;p\;$ sont respectivement «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}C_{0}={C'}_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle \;{\text{et}}\\C_{p}=2\,\vert {\underline {C'}}_{p}\vert =2\;\left\vert \left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \right\vert \end{array}}\right.\;$», dans le but de réécrire l'égalité de Parseval dans ce nouveau contexte et pour cela il suffit de « transformer $\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;$ en fonction des nouveaux cœfficients $\;C_{0}\;$ et $\;C_{p}\;$» soit «$\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=C_{0}^{2}+2\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=C_{0}^{2}+2\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[\left({\dfrac {C_{p}}{2}}\right)^{\!\!2}\right]\;$» ou encore «$\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=$ $C_{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }C_{p}^{2}\right]\;$».

Début d’un théorème

Autre égalité de Parseval

«$\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle =C_{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }C_{p}^{2}\right]\;$» .

Fin du théorème

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 1^er développement en série de Fourier

     Soit le 1^er développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;s(t)\;$ de fréquence $\;f\;$ «$\;s(t)=A_{0}+\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[A_{p}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t)+B_{p}\,\sin(2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\;$» dans lequel la composante continue et les amplitudes de l'harmonique pair et impair de rang $\;p\;$ sont respectivement «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{0}={C'}_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle ,\\A_{p}=2\,\Re \left[{\underline {C'}}_{p}\right]=2\,\Re \left[\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \right]\\B_{p}=-2\,\Im \left[{\underline {C'}}_{(-p)}\right]=2\,\Im \left[\left\langle s(t)\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \right]\end{array}}\right.\;$» , dans le but de réécrire l'égalité de Parseval dans ce nouveau contexte et pour cela il suffit de « transformer $\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;$ en fonction des nouveaux cœfficients $\;A_{0}$, $\;A_{p}\;$ et $\;B_{p}\;$» ce qui se réécrit selon «$\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=A_{0}^{2}+2\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=$ $A_{0}^{2}+2\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\dfrac {A_{p}^{2}}{4}}+{\dfrac {B_{p}^{2}}{4}}\right]\;$» ou encore «$\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=A_{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }(A_{p}^{2}+B_{p}^{2})\right]\;$».

Début d’un théorème

Dernière égalité de Parseval

«$\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle =A_{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }(A_{p}^{2}+B_{p}^{2})\right]\;$» .

Fin du théorème