Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Fourier

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Énoncé du théorème de Fourier modifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

Premier développement en série de Fourier modifier

     Le calcul des cœfficients est un complément, il n'est donc pas exigible :

     Calcul de la composante continue [3] : « » [4].

         Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier [1] étant admis, on prend la moyenne du membre de gauche « » [4], laquelle est égale à
             Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d. à la somme  infinie  des moyennes de chaque harmonique
             Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend soit « » [4] ;
             Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, or « toutes les moyennes des harmoniques de rang non nul étant nulles » [5], il reste, à droite,
             Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, or « toutes la moyenne de l'harmonique de rang zéro  c.-à-d. de la composante continue [3] et
             Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, comme cet harmonique est une constante, il reste « » C.Q.F.D. [6].

     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang non nul : « » [4].

     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang non nul : Justification : le théorème de Fourier [1] étant admis, « on multiplie les deux membres par  » et
         Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de gauche « » [4], égale à
         Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d.,
         Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme  infinie 
         Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif [7]
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang non nul : Justification : « » [4] ;
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang non nul : Justification : or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de « » [8],
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang non nul : Justification : il reste donc, à droite, « » c.-à-d. « » ou,
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang non nul : Justification : il reste donc, à droite, en linéarisant  ,
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante « » soit, « la 2nde moyenne étant nulle » [9],
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante « » C.Q.F.D. [6], [10].

     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang non nul : « » [4].

     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang non nul : Justification : le théorème de Fourier [1] étant admis, « on multiplie les deux membres par  » et
         Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de gauche « » [4], égale à
         Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d.,
         Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme  infinie 
         Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif [7]
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang non nul : Justification : « » [4] ;
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang non nul : Justification : or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de « » [11],
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang non nul : Justification : il reste donc, à droite, « » c.-à-d. « » ou,
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang non nul : Justification : il reste donc, à droite, en linéarisant  ,
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante « » soit, « la 2nde moyenne étant nulle » [9],
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante « » C.Q.F.D. [6], [12].

Deuxième développement en série de Fourier modifier

Passage du premier au second développement en série de Fourier modifier

     Les deux développements en série de Fourier [1] précédemment introduits devant être identiques   on en déduit  « »,
         Les deux développements en série de Fourier précédemment introduits devant être identiques   on en déduit  « » ;

     le but recherché dans ce paragraphe est de « déterminer   et   connaissant   et  » :

     Établissement du lien permettant d'obtenir à partir de  : partant de la somme d'harmoniques pair et impair de rang   « »,
     Établissement du lien permettant d'obtenir à partir de  : on divise   par      ,
     Établissement du lien permettant d'obtenir à partir de  : puis on définit «  par  » [13], d'où la réécriture de   selon
     Établissement du lien permettant d'obtenir à partir de  : « » soit finalement
     Établissement du lien permettant d'obtenir à partir de  : « »
     Établissement du lien permettant d'obtenir à partir de  : «   » d'où « » [14] et « 
     Établissement du lien permettant d'obtenir à partir de  : « » tel que  » [15].

Troisième développement en série de Fourier modifier

     Ce 3ème développement en série de Fourier [1] est donné à titre de complément car ne sera pas utilisé par la suite  sauf avis contraire  ;
      Ce 3ème développement en série de Fourier il présente néanmoins quelques avantages dont le principal est de donner des formules symétriques pour calculer les cœfficients  [17] :

     Calcul du cœfficient  : « » [4].

     Calcul du cœfficient  : Justification : le théorème de Fourier [1] étant admis, on multiplie le 3ème développement en série de Fourier [1] par « » et
         Calcul du cœfficient  : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de gauche « » [4], égale à
         Calcul du cœfficient  : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d.
         Calcul du cœfficient  : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la somme  infinie  des moyennes de  
     Calcul du cœfficient  : Justification : « » [4] ;
     Calcul du cœfficient   : Justification : or « les moyennes pour   fixé   sont nulles »  « moyenne  
     Calcul du cœfficient   : Justification : or « les moyennes pour   fixé   sont nulles »  « moyenne    » [18] 
        Calcul du cœfficient   : Justification : or « les moyennes pour   fixé   sont nulles » on en déduit « » [19] C.Q.F.D. [6].

Passage du second au troisième développement en série de Fourier modifier

     Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier [1] devant être identiques      « »,
         Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques      « » ou,
         Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques      « avec la formule d'Euler [20] relative au cosinus [21], « 
         Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques      «  » soit,
         Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques      « par identification des cœfficients de  , « » et
         Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques      « par identification des cœfficients de  , « » soit
         Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques      « finalement, avec  , « » et, avec  
         Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques      « finalement, avec  , « »   « »
         Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques      « les cœfficients   et   étant conjugués l'un de l'autre, il suffit de calculer pour .

Passage du premier au troisième développement en série de Fourier modifier

     Autre façon [22] de déterminer les cœfficients du 3ème développement en série de Fourier [1] en utilisant la méthode de calcul de ceux du 1er développement c.-à-d.
               Autre façon de déterminer les cœfficients du 3ème développement en série de Fourier en utilisant  « » [4], [17],
               Autre façon de déterminer les cœfficients du 3ème développement en série de Fourier en utilisant  « » [4], [17] et
               Autre façon de déterminer les cœfficients du 3ème développement en série de Fourier en utilisant  « » [4], [17] ;

     les 1er et 3ème développements en série de Fourier [1] devant être identiques     « » ou,
          les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques     « en utilisant dans le 1er développement les « formules d'Euler [20] » [21],
          les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques     « » [23] et
          les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques     « en identifiant les cœfficients de   dans les deux développements
          les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques     «  si  , « »   « » [4],
          les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques     «  si  , « [4]
            les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques     «  si  , «   » [4] et
          les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques     «  si  , « [4]
            les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques     «  si  , «   [4]
            les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques     «  si  , «   » [4], [24].

Théorème de Parseval modifier

Théorème de Parseval utilisant le 3ème développement en série de Fourier modifier

     Considérant le 3ème développement en série de Fourier [1] de la fonction périodique   de fréquence  , « » dans lequel
          Considérant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction périodique   de fréquence  , « »
          Considérant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction périodique   de fréquence  , est appelé cœfficient de Fourier complexe [1] de   pour  , et
          Considérant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction périodique   de fréquence  , formant la série suivante « » [25], Parseval [26] a eu l'intuition
          Considérant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction périodique   de fréquence  , de la « convergence de cette série   vers  ».

Début d’un théorème
Fin du théorème

Quelques éléments de démonstration de l'égalité de Parseval utilisant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique modifier

     On utilise la définition du carré de la moyenne quadratique de la fonction   en utilisant son 3ème développement en série de Fourier [1] soit

«   » ;

     pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de carrés de type « » et
     pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de termes « rectangles   avec   mais  »
     pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de dont on évalue l'intégrale de chaque terme selon :

  • les intégrales des 1ers termes c.-à-d. de « »  « »   « » ou
    les intégrales des 1ers termes c.-à-d. de « »  « »   « » [28] et
  • les intégrales des 2èmes termes c.-à-d. de «  avec  »  « »   « » [29] ou
    les intégrales des 2èmes termes c.-à-d. de «  avec  »  « »   « 
    les intégrales des 2èmes termes c.-à-d. de «  avec  »  « »   «  » [30] ;

     finalement « » d'où, sous forme plus compacte

l'égalité de Parseval [26] « ».

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 2ème développement en série de Fourier modifier

     Soit le 2ème développement en série de Fourier [1] de la fonction périodique   de fréquence  , « » dans lequel
         Soit le 2ème développement en série de Fourier de la fonction périodique   la composante continue [3] s'évalue par « » [4] et
         Soit le 2ème développement en série de Fourier de la fonction périodique   l'amplitude de l'harmonique de rang   par « » [4],
     souhaitant réécrire l'égalité de Parseval [26] en utilisant ce 2ème développement en série de Fourier [1], il suffit de « transformer   en fonction des nouveaux cœfficients   et  » soit « » [31] ou encore «   ».

Début d’un théorème
Fin du théorème

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 1er développement en série de Fourier modifier

     Soit le 1er développement en série de Fourier [1] de la fonction périodique   de fréquence   « » dans lequel
         Soit le 1er développement en série de Fourier de la fonction périodique   la composante continue [3] s'évalue par « » [4], [33],
         Soit le 1er développement en série de Fourier de la fonction périodique   l'amplitude de l'harmonique pair de rang   par « » [4], [34] et
         Soit le 1er développement en série de Fourier de la fonction périodique   l'amplitude de l'harmonique impair de rang   par « » [4], [34],
     souhaitant réécrire l'égalité de Parseval [26] en utilisant ce 1er développement en série de Fourier [1], il suffit de « transformer   en fonction des nouveaux cœfficients  ,   et  » soit «   » [35] ou encore « ».

Début d’un théorème
Fin du théorème

Notes et références modifier

  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 et 1,18 Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes  évoqués ici  et leur application au problème de la propagation de la chaleur  
  2. Le substantif « harmonique » est « masculin ».
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 et 3,7 Au sens permanent.
  4. 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 4,11 4,12 4,13 4,14 4,15 4,16 4,17 4,18 4,19 4,20 4,21 4,22 4,23 4,24 4,25 4,26 4,27 4,28 4,29 et 4,30 « » définit la valeur moyenne de la fonction  -périodique  , « valeur moyenne notée  ».
  5. Un harmonique de rang   de fréquence   étant de période   et admettant comme primitive un harmonique de même rang  à une constante additive près  mais de parité différente  à un facteur multiplicatif près , la prise de cette primitive sur   donne effectivement zéro, la primitive étant  -périodique.
  6. 6,0 6,1 6,2 et 6,3 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  7. 7,0 et 7,1 Ne pas confondre la variable fixée   du facteur multiplicatif avec la variable muette de l'harmonique, rebaptisée  .
  8. En effet, si  , on linéarise   et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence   et   c.-à-d. de période   et   donnant chacune une valeur moyenne nulle sur   ;
       si  , on linéarise   et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence   et   c.-à-d. de période   et   donnant chacune une valeur moyenne nulle sur   ;
       si  , on linéarise   et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence   c.-à-d. de période   donnant une valeur moyenne nulle sur  .
  9. 9,0 et 9,1 En effet on prend la moyenne sur   d'une fonction sinusoïdale de fréquence   donc de période  .
  10. Dans la mesure où «  est équivalent à  ».
  11. En effet, si  , on linéarise   et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence   et   c.-à-d. de période   et   donnant chacune une valeur moyenne nulle sur   ;
       si  , on linéarise   et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence   c.-à-d. de période   donnant une valeur moyenne nulle sur   ;
       si  , on linéarise   et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence   et   c.-à-d. de période   et   donnant chacune une valeur moyenne nulle sur  .
  12. Dans la mesure où «  est équivalent à  ».
  13. Ceci est possible car     il existe un angle tel que   et   sont respectivement cosinus et sinus de cet angle ; d'autre part le but étant d'utiliser   on introduit le signe « » dans  .
  14.   étant   représente directement l'amplitude de l'harmonique de rang  .
  15. Si   et si  , dans ces deux cas on peut écrire      on verra dans le paragraphe sur la « fonction arctangente » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qu'un angle ne peut se mettre sous la forme d'un   que s'il est strictement compris entre   et   ;
       si   et on peut écrire   ;
       si   et on peut écrire  .
  16. Cet harmonique formé à partir de fonctions complexes du temps est au final une fonction réelle du temps  
  17. 17,0 17,1 17,2 et 17,3 Il est toutefois rappelé que le calcul des cœfficients est donné à titre de complément car non exigible cette année.
  18. La fonction à prendre entre   et   étant  -périodique  
  19. La moyenne d'une constante étant la constante elle-même.
  20. 20,0 et 20,1 Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal}} et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
  21. 21,0 et 21,1 La formule d'Euler étant   on en tire les formules d'Euler relatives au cosinus ou au sinus respectivement   et    .
  22. Moins immédiate.
  23. En effet « 
       En effet «  ».
  24. Cette dernière expression sachant que « ».
  25. C.-à-d. la somme de tous les carrés de modules des cœfficients de Fourier complexes de   correspondant à un harmonique de rang  .
  26. 26,0 26,1 26,2 et 26,3 Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755 – 1836) mathématicien français à qui on doit essentiellement le « théorème de Parseval  ou égalité de Parseval » dont il eut l'intuition sans le démontrer  il estimait que c'était une évidence .
  27. On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique    c.-à-d. la moyenne du carré de la fonction  utilisant le carré des modules des cœfficients de Fourier complexes de  .
  28. La fonction   étant  -périodique, elle prend les mêmes valeurs pour   et  .
  29. On rappelle que   se calculant par   voir le paragraphe « 3ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre et   étant une fonction réelle, le conjugué de   c.-à-d.