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Toute fonction périodique, de fréquence , est développable en série de Fourier[1], c.-à-d. qu'elle est la somme infinie de fonctions sinusoïdales, de fréquences , appelées « harmoniques de rang » [2], le rang correspondant à la composante continue [3] et le rang à l'harmonique fondamental.
Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier [1] étant admis, on prend la moyenne du membre de gauche «» [4], laquelle est égale à Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d. à la somme infinie des moyennes de chaque harmonique Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend soit «» [4] ; Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, or « toutes les moyennes des harmoniques de rang non nul étant nulles » [5], il reste, à droite, Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, or « toutes la moyenne de l'harmonique de rang zéro c.-à-d. de la composante continue[3] et Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, comme cet harmonique est une constante, il reste «» C.Q.F.D. [6].
Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rangnon nul : «» [4].
Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rangnon nul : Justification : le théorème de Fourier [1] étant admis, « on multiplie les deux membres par » et Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rangnon nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de gauche «» [4], égale à Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rangnon nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d., Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rangnon nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme infinie Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rangnon nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif [7] Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rangnon nul : Justification : «» [4] ; Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rangnon nul : Justification : or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de «» [8], Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rangnon nul : Justification : il reste donc, à droite, «» c.-à-d. «» ou, Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rangnon nul : Justification : il reste donc, à droite, en linéarisant , Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rangnon nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante «» soit, « la 2nde moyenne étant nulle » [9], Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rangnon nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante «» C.Q.F.D. [6],[10].
Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rangnon nul : «» [4].
Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rangnon nul : Justification : le théorème de Fourier [1] étant admis, « on multiplie les deux membres par » et Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rangnon nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de gauche «» [4], égale à Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rangnon nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d., Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rangnon nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme infinie Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rangnon nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif [7] Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rangnon nul : Justification : «» [4] ; Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rangnon nul : Justification : or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de «» [11], Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rangnon nul : Justification : il reste donc, à droite, «» c.-à-d. «» ou, Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rangnon nul : Justification : il reste donc, à droite, en linéarisant , Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rangnon nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante «» soit, « la 2nde moyenne étant nulle » [9], Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rangnon nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante «» C.Q.F.D. [6],[12].
«» avec «», « étant l'éventuelle composante continue » [3], « l'harmonique de rang ».
Remarque
L'avantage de ce 2ème développement en série de Fourier [1] par rapport au 1er est qu'il permet d'obtenir directement l'« amplitude de l'harmonique de rang par » alors qu'avec le 1er il serait nécessaire de « calculer pour obtenir l'amplitude ».
Passage du premier au second développement en série de Fourier
Les deux développements en série de Fourier [1] précédemment introduits devant être identiques on en déduit «», Les deux développements en série de Fourier précédemment introduits devant être identiques on en déduit «» ;
le but recherché dans ce paragraphe est de « déterminer et connaissant et » :
Établissement du lien permettant d'obtenirà partir de : partant de la somme d'harmoniques pair et impair de rang «», Établissement du lien permettant d'obtenirà partir de : on divise par , Établissement du lien permettant d'obtenirà partir de : puis on définit « par » [13], d'où la réécriture de selon Établissement du lien permettant d'obtenirà partir de : «» soit finalement Établissement du lien permettant d'obtenirà partir de : «» Établissement du lien permettant d'obtenirà partir de : «» d'où «» [14] et « Établissement du lien permettant d'obtenirà partir de : «» tel que » [15].
«» avec « l'éventuelle composante continue » [3] et « l'harmonique de rang » [16].
Ce 3ème développement en série de Fourier [1] est donné à titre de complément car ne sera pas utilisé par la suite sauf avis contraire ; Ce 3ème développement en série de Fourier il présente néanmoins quelques avantages dont le principal est de donner des formules symétriques pour calculer les cœfficients [17] :
Calcul du cœfficient : Justification : le théorème de Fourier [1] étant admis, on multiplie le 3ème développement en série de Fourier [1] par «» et Calcul du cœfficient : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de gauche «» [4], égale à Calcul du cœfficient : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d. Calcul du cœfficient : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la somme infinie des moyennes de Calcul du cœfficient : Justification : «» [4] ; Calcul du cœfficient : Justification : or « les moyennes pour fixé sont nulles » « moyenne Calcul du cœfficient : Justification : or « les moyennes pour fixé sont nulles » « moyenne » [18] Calcul du cœfficient : Justification : or « les moyennes pour fixé sont nulles » on en déduit «» [19] C.Q.F.D. [6].
Passage du second au troisième développement en série de Fourier
Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier [1] devant être identiques «», Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques «» ou, Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques « avec la formule d'Euler [20] relative au cosinus [21], « Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques « » soit, Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques « par identification des cœfficients de , «» et Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques « par identification des cœfficients de , «» soit Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques « finalement, avec , «» et, avec Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques « finalement, avec , «» «» Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques « les cœfficients et étant conjugués l'un de l'autre, il suffit de calculerpour.
Passage du premier au troisième développement en série de Fourier
Autre façon [22] de déterminer les cœfficients du 3ème développement en série de Fourier [1] en utilisant la méthode de calcul de ceux du 1er développement c.-à-d. Autre façon de déterminer les cœfficients du 3ème développement en série de Fourier en utilisant «» [4],[17], Autre façon de déterminer les cœfficients du 3ème développement en série de Fourier en utilisant «» [4],[17] et Autre façon de déterminer les cœfficients du 3ème développement en série de Fourier en utilisant «» [4],[17] ;
les 1er et 3ème développements en série de Fourier [1] devant être identiques «» ou, les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques « en utilisant dans le 1er développement les « formules d'Euler [20] » [21], les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques «» [23] et les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques « en identifiant les cœfficients de dans les deux développements les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques « si , «» «» [4], les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques « si , «[4] les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques « si , «» [4] et les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques « si , «[4] les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques « si , «[4] les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques « si , «» [4],[24].
Considérant le 3ème développement en série de Fourier [1] de la fonction périodique de fréquence , «» dans lequel Considérant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction périodique de fréquence , «» Considérant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction périodique de fréquence , est appelé cœfficient de Fourier complexe[1] de pour , et Considérant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction périodique de fréquence , formant la série suivante «» [25], Parseval [26] a eu l'intuition Considérant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction périodique de fréquence , de la « convergence de cette série vers ».
Début d’un théorème
Énoncé du théorème de Parseval
La série « somme des carrés de modules des cœfficients de Fourier complexes de correspondant à un harmonique de rang » La série «» avec «» [4], La série «» converge, quand , vers «» [4] soit mathématiquement,
On utilise la définition du carré de la moyenne quadratique de la fonction en utilisant son 3ème développement en série de Fourier [1] soit
«» ;
pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de carrés de type «» et pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de termes « rectangles avec mais » pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de dont on évalue l'intégrale de chaque terme selon :
les intégrales des 1ers termes c.-à-d. de «» «» «» ou les intégrales des 1ers termes c.-à-d. de «» «» «» [28] et
les intégrales des 2èmes termes c.-à-d. de « avec » «» «» [29] ou les intégrales des 2èmes termes c.-à-d. de « avec » «» « les intégrales des 2èmes termes c.-à-d. de « avec » «» « » [30] ;
Soit le 2ème développement en série de Fourier [1] de la fonction périodique de fréquence , «» dans lequel Soit le 2ème développement en série de Fourier de la fonction périodique la composante continue [3] s'évalue par «» [4] et Soit le 2ème développement en série de Fourier de la fonction périodique l'amplitude de l'harmonique de rang par «» [4], souhaitant réécrire l'égalité de Parseval [26] en utilisant ce 2ème développement en série de Fourier [1], il suffit de « transformer en fonction des nouveaux cœfficients et » soit «» [31] ou encore «».
Soit le 1er développement en série de Fourier [1] de la fonction périodique de fréquence «» dans lequel Soit le 1er développement en série de Fourier de la fonction périodique la composante continue [3] s'évalue par «» [4],[33], Soit le 1er développement en série de Fourier de la fonction périodique l'amplitude de l'harmonique pair de rang par «» [4],[34] et Soit le 1er développement en série de Fourier de la fonction périodique l'amplitude de l'harmonique impair de rang par «» [4],[34], souhaitant réécrire l'égalité de Parseval [26] en utilisant ce 1er développement en série de Fourier [1], il suffit de « transformer en fonction des nouveaux cœfficients , et » soit «» [35] ou encore «».
↑ Un harmonique de rang de fréquence étant de période et admettant comme primitive un harmonique de même rang à une constante additive près mais de parité différente à un facteur multiplicatif près, la prise de cette primitive sur donne effectivement zéro, la primitive étant -périodique.
↑ 7,0 et 7,1 Ne pas confondre la variable fixée du facteur multiplicatif avec la variable muette de l'harmonique, rebaptisée .
↑ En effet, si , on linéarise et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence et c.-à-d. de période et donnant chacune une valeur moyenne nulle sur ; si , on linéarise et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence et c.-à-d. de période et donnant chacune une valeur moyenne nulle sur ; si , on linéarise et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence c.-à-d. de période donnant une valeur moyenne nulle sur .
↑ 9,0 et 9,1 En effet on prend la moyenne sur d'une fonction sinusoïdale de fréquence donc de période .
↑ En effet, si , on linéarise et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence et c.-à-d. de période et donnant chacune une valeur moyenne nulle sur ; si , on linéarise et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence c.-à-d. de période donnant une valeur moyenne nulle sur ; si , on linéarise et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence et c.-à-d. de période et donnant chacune une valeur moyenne nulle sur .
↑ Ceci est possible car il existe un angle tel que et sont respectivement cosinus et sinus de cet angle ; d'autre part le but étant d'utiliser on introduit le signe «» dans .
↑ étant représente directement l'amplitude de l'harmonique de rang .
↑ Si et si , dans ces deux cas on peut écrire on verra dans le paragraphe sur la « fonction arctangente » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qu'un angle ne peut se mettre sous la forme d'un que s'il est strictement compris entre et ; si et on peut écrire ; si et on peut écrire .
↑ Cet harmonique formé à partir de fonctions complexes du temps est au final une fonction réelle du temps
↑ 17,017,117,2 et 17,3 Il est toutefois rappelé que le calcul des cœfficients est donné à titre de complément car non exigible cette année.
↑ La fonction à prendre entre et étant -périodique
↑ La moyenne d'une constante étant la constante elle-même.
↑ 20,0 et 20,1Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal}} et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
↑ 21,0 et 21,1 La formule d'Euler étant on en tire les formules d'Euler relatives au cosinus ou au sinus respectivement et .
↑ C.-à-d. la somme de tous les carrés de modules des cœfficients de Fourier complexes de correspondant à un harmonique de rang .
↑ 26,026,126,2 et 26,3Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755 – 1836) mathématicien français à qui on doit essentiellement le « théorème de Parseval ou égalité de Parseval» dont il eut l'intuition sans le démontrer il estimait que c'était une évidence.
↑ On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique c.-à-d. la moyenne du c