Outils mathématiques utilisés en mécanique quantique/Espaces hilbertiens

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Introduction

La mécanique quantique utilise dans son formalisme moderne des vecteurs agissant dans des espaces complexes, appelés espaces hilbertiens. Nous rappelons dans ce chapitre de quoi il s'agit.

Définitions

Espace préhilbertien

On appelle espace préhilbertien un espace vectoriel sur le corps des réels ou des complexes, muni d'un produit scalaire.

Ce produit scalaire est, on le rappelle, une forme sesquilinéaire définie positive non dégénérée — si la sesquilinéarité est indifférente pour des espaces préhilbertiens réels, il faut pour les espaces complexes que le produit scalaire vérifie :

$\forall (a,b)\in E^{2}\quad \langle a,b\rangle =\langle b,a\rangle ^{*}$

où $\left(E,\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right)$ est un espace préhilbertien, et où l'étoile note le conjugué complexe d'une quantité.

Espace hilbertien

On appelle espace hilbertien un espace préhilbertien complet $E$, c'est-à-dire dans lequel les suites de Cauchy convergent pour la norme associée au produit scalaire dans $E$.

Bases de Hilbert

La notion de « base orthonormée » peut être étendue aux espaces hilbertiens de dimension infinie, prenant la définition suivante :

Base hilbertienne

On appelle base hilbertienne de l'espace hilbertien $\left(E,\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle \right)$ une famille de vecteurs $B=\left(b_{i}\right)_{i\in I}$ telle que :

• $\forall (i,j)\in I^{2},\quad \langle b_{i},b_{j}\rangle =\delta _{i,j}$
• $\forall x\in E,\exists \left(\lambda _{i}\right)_{i\in I}\quad \sum _{i=0}^{\infty }\lambda _{i}b_{i}=x$

Avec $\delta _{i,j}$ le delta de Kronecker. La première relation implique la liberté de $B$, la seconde utilise la convergence au sens de la norme induite par le produit scalaire.

Dans le cas où ces conditions sont vérifiées, la famille $\left(\lambda _{i}\right)_{i\in I}$ est unique pour tout vecteur $x$, elle constitue les « coordonnées » de $x$.

Tout espace hilbertien de dimension finie admet une telle « base ».

Remarquons cependant qu'au sens usuel (de l'algèbre linéaire), si $E$ est de dimension infinie alors $B$ n'est pas génératrice (donc n'est pas une base) de $E$ et la plupart des vecteurs de $E$ n'ont donc pas de coordonnées dans $B$.

Intérêt en mécanique quantique

Les espaces hilbertiens permettent une formulation élégante de la mécanique quantique, qui demeure à ce jour la plus utilisée. En effet, l'état d'un système physique sera décrit par un vecteur d'un espace hilbertien. Les observables, qui sont, pour résumer à outrance, les quantités « mesurables », apparaissent comme des opérateurs linéaires. Enfin, le processus de la mesure se fait par projections orthogonales.