Polynôme/Exercices/Arithmétique des polynômes

Arithmétique des polynômes
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Exercices no3
Leçon : Polynôme
Chapitre du cours : Arithmétique des polynômes

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Polynôme dérivé
Exo suiv. :Polynômes à coefficients entiers
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Exercice 3-1Modifier

Soit  . Montrer que   est divisible par  .

Exercice 3-2Modifier

Soient   et  .

  1. Calculer, à l'aide de l'algorithme d'Euclide,  .
  2. Donner, dans  , la décomposition de   et de   en produit de facteurs irréductibles.
  3. Calculer  .

Exercice 3-4Modifier

  1. Déterminer le PGCD et le PPCM des polynômes :
    1.   et   ;
    2.   et  .
  2. Déterminer   vérifiant  .
  1. Quel est le pgcd   des polynômes   et   ?
  2. Trouver des polynômes   tels que  .
  3. Mêmes questions avec   et  .

Exercice 3-5Modifier

Soient   et  . On suppose que le reste de la division (euclidienne) de   par   est  . Quel est le reste de la division de   par   ?

Quel est le reste de la division euclidienne de   par   ?

Quel est le reste de la division euclidienne de   par   ?

Quel est le reste de la division euclidienne de   par   ?

En utilisant la dérivation, trouver le reste de la division euclidienne de   par  .

Trouver de même le reste de la division euclidienne de   par  .

Exercice 3-6Modifier

  1. Décomposer dans   et   les polynômes  ,   et  .
  2. En déduire  ,  ,   et  .

Exercice 3-7Modifier

  1. Montrer que   est un anneau factoriel.
  2. Montrer que   est irréductible dans  .
  3. Calculer le pgcd de   et  .

Exercice 3-8Modifier

Déterminer   de degré minimal tel que   soit divisible par   et   par  .

Exercice 3-9Modifier

Soient   tels que  . Montrer que   puis, que  .

Exercice 3-10Modifier

On considère les polynômes  .

  1. Calculer, pour tout   :  .
  2. Montrer que  .
  3. Montrer que  .
  4. Montrer que   (si et) seulement si   est impair.
  5. Quelles sont les racines complexes de   ?

Exercice 3-11Modifier

Soient   et   deux entiers positifs.

  1. Déduire de la division euclidienne de   par   celle de   par  .
  2. Déduire du pgcd de   et   celui de   et  .
  3. Quel est le pgcd de   et   ?
  4. Quel est le pgcd de   et   ?
  5. Trouver deux polynômes   tels que  .

Exercice 3-12Modifier

Soit  .

  1. Montrer  .
  2. Montrer que  .
  3. Montrer que  .
  4. Calculer   pour  . Le retrouver par l'algorithme d'Euclide.

Exercice 3-13Modifier

  1. Effectuer la division euclidienne de   par  .
  2. En déduire   et  .
  3. Effectuer la division euclidienne de   par  .

Exercice 3-14Modifier

  1. Effectuer la division euclidienne de   par  .
  2. En déduire une décomposition de   en un produit de deux polynômes du second degré.
  3. Donner la décomposition en facteurs irréductibles de   dans  .

Exercice 3-15Modifier

Soit   un corps algébriquement clos. Répertorier les idéaux premiers de  .

Exercice 3-16Modifier

  1. Quels sont les facteurs irréductibles de   et de   dans  , dans  , dans   ?
  2. Soit   un entier non nul. Montrer que   est irréductible dans  .

Exercice 3-17Modifier

  1. Soient A un anneau factoriel, p un élément premier de A, et  . On suppose que l'image   de P dans (A/pA)[X] est irréductible et de même degré que P. Montrer qu'alors, P est irréductible sur le corps des fractions de A.
  2. Donner un exemple montrant que l'hypothèse sur les degrés est indispensable.
  3. Montrer que le polynôme   est irréductible sur  .

Exercice 3-18Modifier

Soient   un corps et  , de degré  . Montrer que tout polynôme   s'écrit de façon unique

  avec   de degré  .

Exercice 3-19Modifier

Soient  ,   et   tels que pour tout entier  ,  . Montrer que   est égal à   ou  .

Plus généralement, soient   des complexes non nuls distincts,   et   tels que pour tout entier  ,  . Montrer que tous les polynômes   sont nuls.

Lien externeModifier

V. Gritsenko et J.-F. Barraud, « Anneaux de polynômes I », sur exo7