Probabilités sur les ensembles finis/Calcul des probabilités

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Approche fréquentielle

• Si l'on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois,

  et si la fréquence d'un événement tend vers une limite,

  on la définit intuitivement comme probabilité de l'événement.

• Par exemple, pour 6000 lancers de dé équilibré, on obtiendra certainement environ 1000 fois le résultat 1.

  La probabilité de l'événement élémentaire {1} sera donc :

  ${\frac {1000}{6000}}={\frac {1}{6}}$.

Probabilités sur un ensemble fini

Définition

On probabilise un univers fini $\Omega$ en attribuant à chaque éventualité

un nombre positif de telle manière que :

• Ce nombre soit compris entre 0 et 1 (comme une fréquence).
• La somme de ces nombres soit 1 (comme la somme des fréquences).

Début de l'exemple

Exemple

Dans un lancer de dé équilibré, tous les numéros ont la même probabilité d'apparaitre, les probabilités $p_{i}$ sont alors toutes égales à ${\frac {1}{6}}$. Mais dans un lancer de dé pipé (déséquilibré), les probabilités $p_{i}$ d'apparition des numéros ne sont pas toutes égales.

Fin de l'exemple

Probabilité d'un événement non élémentaire

Définition

La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.

$p(A)=\sum _{\omega _{i}\in A}p_{i}$

Début de l'exemple

Exemple

Lors du lancer d'un dé équilibré à six faces, calculer la probabilité d'obtenir un résultat inférieur ou égal à 2.

Solution

Notons A cet événement.

$p(A)=p(1)+p(2)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {2}{6}}={\frac {1}{3}}$.

 

Fin de l'exemple

Probabilités des événements particuliers

• La probabilité de l'univers est 1 : $p(\Omega )=1$.
• La probabilité de l'événement impossible est 0 : $p(\varnothing )=0$.

Probabilité de l'événement contraire

Propriété

$p({\overline {A}})=1-p(A)$.

Début de l'exemple

Exemple

Dans un lancer de dé équilibré, notons A l'événement « obtenir un 6 ».

Alors ${\overline {A}}$ est l'événement : « obtenir un résultat autre que 6 ». Sa probabilité est donc :

$p({\overline {A}})=1-p(A)=1-{\frac {1}{6}}={\frac {5}{6}}$.

Fin de l'exemple

Probabilité de l'union de deux événements incompatibles

Propriété

Si A et B sont deux événements incompatibles (d'intersection vide), alors

$p(A\cup B)=p(A)+p(B)$.

Début de l'exemple

Exemple

Dans un lancer de dé équilibré, les deux événements :

• A : « obtenir 6 » et
• B : « obtenir un résultat inférieur ou égal à 2 »

sont incompatibles, puisqu’ils ne peuvent pas être réalisés en même temps.

On a donc :

$p(A\cup B)=p(A)+p(B)={\frac {1}{6}}+{\frac {2}{6}}={\frac {1}{2}}$.

Fin de l'exemple

Probabilité de l'union de deux événements quelconques

Propriété

Dans ce cas, les événements appartenant à l'intersection ont été comptés deux fois, d'où la formule :

$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$.

Début de l'exemple

Exemple

Dans un lancer de dé équilibré, si l'on note :

• A l'événement « obtenir un multiple de 3 » et
• B l'événement « obtenir un résultat strictement supérieur à 3 »,

on a :

$p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)={\frac {2}{6}}+{\frac {3}{6}}-{\frac {1}{6}}={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}$.

Fin de l'exemple

Situation d'équiprobabilité

Définition

Il y a équiprobabilité dans une expérience aléatoire quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité (équiprobables).

Début de l'exemple

Exemple

Le lancer de dé équilibré montre une situation d'équiprobabilité, alors que le lancer de dé pipé montre au contraire une situation où tous les numéros n'ont pas la même probabilité d'apparition.

Fin de l'exemple

Début d’un théorème

Théorème

Dans une situation d'équiprobabilité, soient :

• A un événement composé de n événements élémentaires ;
• N le nombre de résultats possibles (univers).

Alors,

$p(A)={\frac {n}{N}}$.

Fin du théorème

Début de l'exemple

Exemple

Dans le cas d'un lancer de dé équilibré à six faces, calculer la probabilité d'obtenir un résultat pair.

Solution

Ici, l'univers Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Le nombre de résultats possibles, $N$, vaut donc 6.

A = {2, 4, 6}. Le nombre d'événements élémentaires de A, $n$, vaut donc 3.

Donc, d’après la formule $p(A)={\frac {n}{N}}$ :

$p(A)={\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}$.

 

Fin de l'exemple

La situation d'équiprobabilité est la seule qui permet de déterminer les probabilités des événements élémentaires à partir de rien.

Elle a une grande importance dans la pratique et on essaie toujours de s'y ramener.

Faites ces exercices : Exercices/Somme de deux dés.