Résultant/Définition et premières propriétés

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Dans toute cette leçon, $K$ est un corps commutatif.

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Résultant de deux polynômes

Définition

• Le résultant $\operatorname {Res} (P,Q)$ de deux polynômes non nuls scindés sur $K$,

  $P=a\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i}),\;Q=b\prod _{j=1}^{m}(X-y_{j})$

  (avec $x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{m}\in K$ et $a,b\in K^{*}$)

  est défini par :

  $\operatorname {Res} (P,Q)=a^{m}b^{n}\prod _{i,j}(x_{i}-y_{j})$.

• Le résultant de deux polynômes non nuls quelconques à coefficients dans $K$ est, par définition,

  leur résultant en tant que polynômes à coefficients dans une extension $L$ de $K$ sur laquelle ces deux polynômes sont scindés

  (par exemple $L=$ la clôture algébrique de $K$, qui pour $K=\mathbb {R}$ est égale à $\mathbb {C}$).

Les notations de cette définition sont reprises dans la suite de ce chapitre.

Conséquences immédiates

Propriété 1

$\operatorname {Res} (Q,P)=(-1)^{mn}\operatorname {Res} (P,Q)$.

Propriété 2

$\operatorname {Res} (P,Q)=a^{m}\prod _{i=1}^{n}Q(x_{i})$.

Début de l'exemple

Exemple : n ≤ 1

Si $Q(X)=b_{m}X^{m}+b_{m-1}X^{m-1}+\dots +b_{1}X+b_{0}$ avec $b_{m}\neq 0$, alors

• $\operatorname {Res} (a,Q)=a^{m}$ ;
• $\operatorname {Res} (\alpha X+\beta ,Q)=b_{0}\alpha ^{m}-b_{1}\alpha ^{m-1}\beta +b_{2}\alpha ^{m-2}\beta ^{2}-\dots +(-1)^{m}b_{m}\beta ^{m}$ si $\alpha \neq 0$,
  • en particulier, $\operatorname {Res} (\alpha X+\beta ,\gamma X+\delta )=\alpha \delta -\beta \gamma$ si $\alpha ,\gamma \neq 0$

Démonstration

D'après la propriété 2 :

1. si $P(X)=a$ (polynôme constant non nul donc sans racine), alors

   $\operatorname {Res} (P,Q)=a^{m}$ car par définition, le produit vide est égal à $1$ ;

2. si $P(X)=\alpha X+\beta$ avec $\alpha \neq 0$ alors

   $\operatorname {Res} (P,Q)=\alpha ^{m}Q\left(-{\frac {\beta }{\alpha }}\right)=\alpha ^{m}\left(b_{m}\left(-{\frac {\beta }{\alpha }}\right)^{m}+b_{m-1}\left(-{\frac {\beta }{\alpha }}\right)^{m-1}+\dots +b_{1}\left(-{\frac {\beta }{\alpha }}\right)+b_{0}\right)$.

 

Fin de l'exemple

Début de l'exemple

Exemple : n = 2 et m ≤ 3

Faites ces exercices : Exercice 2-2 de la leçon sur les équations de degré 3.

Si $P=pX^{2}+qX+r{\text{ avec }}p\neq 0$ et $Q=b_{3}X^{3}+b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}$ alors, en posant $m=\deg Q$ :

${\begin{aligned}\operatorname {Res} (P,Q)&=&b_{3}p^{m-3}\left[b_{3}r^{3}-b_{2}r^{2}q+b_{1}(rq^{2}-2r^{2}p)+b_{0}(3rqp-q^{3})\right]\\&&+b_{2}p^{m-2}\left[b_{2}r^{2}-b_{1}rq+b_{0}(q^{2}-2rp)\right]\\&&+b_{1}p^{m-1}\left[b_{1}r-b_{0}q\right]\\&&+p^{m}b_{0}^{2}.\end{aligned}}$

Remarque : pour $Q=\alpha X+\beta$, on retrouve (avec des notations différentes) un cas particulier de l'exemple précédent :

${\begin{aligned}\operatorname {Res} (\alpha X+\beta ,pX^{2}+qX+r)&=(-1)^{2m}\operatorname {Res} (pX^{2}+qX+r,\alpha X+\beta )\\&=\alpha p^{m-1}\left[\alpha r-\beta q\right]+p^{m}\beta ^{2}\\&={\begin{cases}{\text{si }}\alpha =0{\text{ et }}\beta \neq 0&:&\beta ^{2}\\{\text{si }}\alpha \neq 0&:&r\alpha ^{2}-q\alpha \beta +p\beta ^{2}.\end{cases}}\end{aligned}}$

Fin de l'exemple

Remarques

1. D'après les propriétés 1 et 2, $\operatorname {Res} (P,Q)=(-1)^{mn}b^{n}\prod _{j=1}^{m}P(y_{j})$.
2. D'après la propriété 2, $\operatorname {Res} (P,Q_{1}Q_{2})=\operatorname {Res} (P,Q_{1})\operatorname {Res} (P,Q_{2})$.
3. $\operatorname {Res} (P(X+\lambda ),Q(X+\lambda ))=\operatorname {Res} (P(X),Q(X))$, pour tout $\lambda \in K$.
4. $\operatorname {Res} (P,Q)=0$ si et seulement si $P$ et $Q$ ont une racine commune (dans $L$), c'est-à-dire s'ils ne sont pas premiers entre eux.

La remarque 4 est la raison d'être de la notion de résultant.

Propriétés supplémentaires

Corollaire 1

Le résultant de deux polynômes non nuls à coefficients dans $K$ appartient à $K$. Plus précisément :

$\operatorname {Res} \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X_{i},\sum _{j=0}^{m}b_{j}X_{j}\right)\in \mathbb {Z} [a_{0},\dots ,a_{n},b_{0},\dots ,b_{m}]$.

Démonstration

D'après la propriété 2, $\operatorname {Res} (P,Q)=a^{m}T(\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n})$, où les $\sigma _{i}$ sont les polynômes symétriques élémentaires en les racines de $P$ et où $T$ est un polynôme en n indéterminées à coefficients dans l'anneau $\mathbb {Z} [b_{0},\dots ,b_{m-1},b_{m}]$. De plus, par construction, $T$ est de degré total inférieur ou égal à m donc le facteur $a^{m}$ vient compenser les puissances de $a$ qui apparaissent au dénominateur dans $T(\sigma _{1},\dots ,\sigma _{n})=T\left(-{\frac {a_{n-1}}{a}},{\frac {-a_{n-2}}{a}},\dots ,{\frac {(-1)^{n}a_{0}}{a}}\right)$.

 

Nous redémontrerons ce corollaire 1 plus explicitement au chapitre 3.

Le corollaire suivant, joint à la propriété 1, est très utile pour calculer un résultant par un algorithme analogue à celui d'Euclide.

Corollaire 2

Si $Q=AP+B$ et $\deg B=k\in \mathbb {N}$ alors $\operatorname {Res} (P,Q)=a^{m-k}\operatorname {Res} (P,B)$.

Démonstration

D'après la propriété 2, $\operatorname {Res} (P,Q)=a^{m}\prod _{i=1}^{n}(AP+B)(x_{i})=a^{m-k}a^{k}\prod _{i=1}^{n}B(x_{i})=a^{m-k}\operatorname {Res} (P,B)$.

 

Début de l'exemple

Exemple : nouveau calcul du cas n = 2 et m ≤ 3

Le corollaire 2 permet, si n = 2 et m ≤ 3, de retrouver la formule de l'exemple précédent

Démonstration

Soient :

• $P=pX^{2}+qX+r{\text{ avec }}p\neq 0$ ;
• $Q=b_{3}X^{3}+b_{2}X^{2}+b_{1}X+b_{0}$ ;
• $m=\deg Q$.

La division euclidienne de $Q$ par $P$ s'écrit $Q=AP+\alpha X+\beta$ avec

$\alpha ={\frac {b_{3}(q^{2}-rp)-b_{2}pq+b_{1}p^{2}}{p^{2}}}\quad {\text{et}}\quad \beta ={\frac {b_{3}qr-b_{2}pr-b_{0}p^{2}}{p^{2}}}$.

On déduit alors du corollaire 2, de la propriété 1, et du premier exemple ci-dessus (cas n ≤ 1) :

• si $\alpha \neq 0$,

  ${\begin{aligned}\operatorname {Res} (P,Q)&=p^{m-1}\operatorname {Res} (P,\alpha X+\beta )\\&=p^{m-1}(-1)^{2\times 1}\operatorname {Res} (\alpha X+\beta ,P)\\&=p^{m-1}\left(r\alpha ^{2}-q\alpha \beta +p\beta ^{2}\right)\\&=p^{m-1}\alpha (r\alpha -q\beta )+p^{m}\beta ^{2}\\&=p^{m-4}\left([b_{3}(q^{2}-rp)-b_{2}pq+b_{1}p^{2}][-b_{3}r^{2}+b_{1}pr-b_{0}pq]+[b_{3}qr-b_{2}pr-b_{0}p^{2}]^{2}\right)\\\end{aligned}}$

  et l'on trouve bien, en développant, l'expression calculée dans l'exemple précédent ;

• si $\alpha =0$ et $\beta \neq 0$,

  ${\begin{aligned}\operatorname {Res} (P,Q)&=p^{m-0}\operatorname {Res} (P,\beta )\\&=p^{m}(-1)^{2\times 0}\operatorname {Res} (\beta ,P)\\&=p^{m}\beta ^{2}\end{aligned}}$

  or l'expression calculée dans l'exemple précédent est, on l'a vu, égale à $p^{m-1}\left(r\alpha ^{2}-q\alpha \beta +p\beta ^{2}\right)$, donc ici à $p^{m}\beta ^{2}$ ;

• si $\alpha =\beta =0$, $P\mid Q$ donc $\operatorname {Res} (P,Q)=0$, or l'expression calculée dans l'exemple précédent est égale à $p^{m-1}\left(r\alpha ^{2}-q\alpha \beta +p\beta ^{2}\right)$, donc ici à $0$.

 

Fin de l'exemple