Recherche:L'espace hypercomplexe/Topologie quantique

**Topologie quantique**
Recherche : L'espace hypercomplexe

Chapitre n^o 4
Chap. préc. :	Mobilité restreinte
Chap. suiv. :	Prisme générique

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « L'espace hypercomplexe : Topologie quantique
L'espace hypercomplexe/Topologie quantique », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Il faut accorder plus d'importance à terminer le travail qu'à en commencer du nouveau. seul le travail terminé apporte de la valeur.^[1]

Nous débuterons ce chapitre par cette citation de bon sens qui traduit une réalité fonctionnelle intelligente. Elle vient illustrer à propos, le principe de complétude qui est à la base de l'espace hypercomplexe qui exprime l'idée qu'un TOUT ne peut pas être accessible en bloc, faute de quoi, il serait complet, certes, mais non complétable, mais par fragments cs-connectés qui s'assemblent en continuité pour former le TOUT. Et c'est justement ainsi que fonctionne le monde intelligent. Paris ne s'est pas fait en un jour.

Il nous faut donc aborder l'aspect général de la mobilité à travers le développement de « chapitres » successifs qui « s'enchainent » sur l'axe sémantique, et qui forment des « boucles » de structures linéaires vers l'objectif final. Par étapes. Et donc par voie quantique. Un chapitre après l'autre. Si possible complet, structuré en paragraphes. Et donc, au besoin, complétable par intégration de précisions, d'ajouts, de compléments, de suppléments. Rien n'étant « figé ».

La géométrie hypercomplexe se doit d'être conforme avec cette image « variable ». Aucune structure n'est donc définitive. Mais pour être structurative, elle doit néanmoins acquérir une forme « solide » et « durable ». Ces caractères n'étant pas absolus. Variable, oui, mais pas trop. Juste ce qu'il faut pour acquérir l’expérience de son utilité. Et si nous pouvons « localiser » le point de départ par raisonnement analogique hypercomplexe à partir d'un TOUT intermédiaire (0 = 1 — 1), et le conforter en tant que « milieu », valeur fondamentale de la réalité [0 = ENTRE — 1 et +1 ∧ 0 = (ni —1 , ni +1)], nous ne pouvons pas localiser l'horizon de la fin ω qui apparait infini, toujours repoussé « plus loin » vers l'« Après ».

Et nous cherchons des algorithmes artificiels qui permettraient de l'identifier sur l'axe temporel. Ce qui, bien sûr, sera toujours naturellement faux à la consistance près. Il faut attendre d'y être pour clore l'épisode. Sans vouloir être brutal ou inconvenant, de telles prédictions artificielles ignorent l'effet de seuil d'un changement d'état : de la consistance vers la taille. Le soleil meurt en fin de journée, mais nait au lever du jour. Éternellement ?

Boucle linéaire

Pour aborder ce concept, nous munissons le magma topologique ( $E$ , ¬, (α , ω), ξ), (α , ←χ→ , ω), dont l'image sur (ℂ , Δ , {λ_i} , i ∈ {1 , 2 , 3 , 4}, ξ) possède la signature Σ(λ_i) = 0, d'une métrique unitaire telle que la « distance » sur les axes hypercomplexes soit 1. Toutefois, la valeur imaginaire ½ n'étant pas « mesurable », puisque non observable, nous conviendrons de considérer un 1-hypercomplexe comme un 2-hypercomplexe observable, centré sur le milieu, avec une partie AVANT et une partie APRÈS. La distance est ainsi mesurée « de part et d'autre » du milieu servant d'origine, conformément à la définition du seuil de variabilité.

Métrique fixe - métrique variable

Ce faisant, nous distinguons deux métriques différentes : la métrique fixe qui permet de mesurer la distance entre les deux horizons, de la métrique variable qui mesure la distance, de part et d'autre du mobile vers les horizons. D'une manière générale, et théoriquement, nous aurons :

d(α , ω) = d(χ , α) + d(x , ω) à mobilité constante

Ceci correspond à un « mouvement uniforme » sur l'axe selon la rapidité donnée au mobile. La métrique fixe établit une distance objective de la consistance. La métrique variable mesurera la distance subjective perçue par le mobile sur sa trajectoire. S'agissant d'une mesure orientée (du début vers la fin) nous apparenterons la métrique à un vecteur gradient.

Gradient

La métrique fixe sera appliquée au repère habituel du plan complexe (axe réel, axe imaginaire), tandis que la métrique variable sera utilisée pour « normer » le repère spatio-temporel (Δ , Δ_s) mis en évidence au chapitre précédent.

{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}

d_α = —

{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}

d_β avec ‖

{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}

‖ = 1

{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}

d_χ→α = —

{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}

d_χ→β avec ‖

{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}

‖ = 1

On peut mesurer la longueur d'un segment à partir de l'une quelconque de ses extrémités ou par addition des mesures effectuées à partir d'un « point » intermédiaire variable. Et, naturellement, nous avons « transféré » l'origine du repère complexe d'une extrémité, vers le centre mobile. Nous notons immédiatement que les origines des repères sont confondues si α = χ = ω qui correspond à un trajet 0-hypercomplexe de consistance inférieure à 1, c'est-à-dire dans le contexte correspondant au GSP défini (point géométrique ou top départ). Fenêtre de « lancement » admissible à la marge près.

Nous sommes sur une forme linéaire d'espace vectoriel, puisque la règle de fractionnement s'applique à cette unité, dès lors qu'elle est complète, et, par extension, à ses multiples. Notre espace métrique des nombres constructibles est alors un espace complet car indéfiniment fractionnable à une consistance près. Il est aussi, bien sûr compact en toutes ses parties (un trou occupe une consistance inférieure à 1, ce qui le classe en 0-hypercomplexe) .

D'une manière générale, nous n'aurons pas de gradient inférieur à 1, sauf à définir une consistance inférieure à 1 par zoom fois n (n-fractionnement). En ce sens nous sommes exactement dans la traduction de ce qu'est la dimension fractale puisque nous ne considérons "1" que comme « objet global élémentaire » que nous pouvons n-fractionner. La réalité de ce "1" est non-mesurable, elle correspond au seuil d'équivalence d'un magma sémantique consistance-taille qui transforme un 0-hypercomplexe en 1-hypercomplexe. Par exemple, dans l'ensemble dénombrable des signes typographiques, le plus petit élément spatio-temporel est UN signe, singularisé et identifié. Il n'est habillé de son sens que lorsqu'il est complet. Ce signe est utilisé « en bloc » par une intelligence artificielle et occupe une « place ». Si on l'écrit manuellement et que cette écriture est interrompue avant terme, elle ne pourra être habillée de son sens que par supposition et ne pourra pas servir de gradient.

Constructibilité de π

On considère généralement que π est un nombre transcendant, non constructible, puisque non réalisable à la règle et au compas. Nous allons revoir cette classification à travers un continuum spatio-temporel et un objet mobile entre deux horizons. Pour cela, nous considérons l'ensemble indénombrable $F$ des formes géométriques, singularisé et identifié par une topologie métrique (un objet mobile entre deux horizons fixes et un gradient unitaire). Cet ensemble est un plasma. Nous singularisons une famille particulière d'objets par la proposition : « p : forme plane, courbe, fermée ». Cette proposition singularise et identifie une famille Γ d'objets incluse dans $F$ .

{Γ} ≡ ( $F$ , p, ξ) ⊂ ( $E$ , ¬ , ξ)

{Γ} est un plasma indénombrable car les objets qui le compose ne peuvent pas être habillés sémantiquement. Nous munissons $F$ d'une topologie métrique unitaire (α , ←χ→ , ω), ξ = ${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$ d_α = 1, qui définit une direction (DA), une mesure unitaire (1) complète qui permet de définir et d'ordonner la proximité des objets hypercomplexes. Nous pouvons alors « compléter » la proposition p par : « tous les points de la trajectoire de Γ sont équidistants d'un point fixe appelé pôle ou centre (O) ». Les objets Γ, dans le contexte $F$ peuvent être habillés :

On appelle cercle : {Γ} ≡ ( $F$ , p, d(χ , O) k-hypercomplexe , ξ) ⊂ ( $E$ , ¬ , (α , ←χ→ , ω) , ξ)

Contexte géométrique

Nous notons que le cas d(χ , O) 0-hypercomplexe de consistance inférieure à 1 indique que χ et O ne sont pas distincts, ce qui se lit « tous les points d'un cercle de rayon nul sont confondus avec le centre ». L'équivalence consistance-taille induit que « le plus petit rayon possible est 1 : d(χ , O) 1-hypercomplexe (milieu imaginaire) ». Le cercle Γ est un plasma indénombrable (non-hypercomplexifiable) s'il n'est pas muni d'une topologie métrique, c'est-à-dire si on ne peut pas singulariser, identifier et habiller une de ses parties qui soit « mesurable » dans $E$ et vérifie p.

Nous rencontrons une difficulté directionnelle menant à une incompatibilité. En effet, si la DA permet de définir le rayon k-hypercomplexe par une trajectoire mobile entre le centre et un point origine de Γ, elle ne permet pas de définir le deuxième point de Γ qui serait le point d'arrivée d'une trajectoire hypercomplexe permettant de le construire. Autrement dit,

α ∈ Γ , d(α , O) k-hypercomplexe , ω ∈ Γ , d(ω , O) k-hypercomplexe ⇒ d(α , ω) = ¬ ${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$ d_α

Contradictoirement, si c'était le cas, α , ω et O seraient sur la DA (alignés sur la ligne de champ), ce qui n'est possible que si ω est une valeur intermédiaire entre α et O, soit un rayon nul, gradient de champ inférieur à 1. Le deuxième point ω est donc « situé » hors de la ligne de champ, dans une « autre » DA, à singulariser, identifier et habiller dans $E$ .

Plan hypercomplexe

Et justement, p précise forme plane. Puisque ω n'est pas sur la DA rayon, il nous faut « définir » une autre direction à partir de α. Nous pouvons singulariser, identifier et habiller le couple (α , ω) dans une DA sémantique corde distincte de rayon. En géométrie hypercomplexe, l'ordre de choix des GSP est libre. Nous devons alors vérifier que corde et rayon sont distincts, quelque soit l'origine choisie sur Γ :

∀α ∈ Γ, ∀ω ∈ Γ, d(α ,ω) = d(ω , α) = ${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$ d_αω ≠ ${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$ d_αO

Le couple ( ${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$ d_αω , ${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$ d_αO est appelé générateur de plan hypercomplexe. On vérifie qu'il existe des valeurs intermédiaires entre les deux et qu'ils peuvent être cs-connectés par l'opérateur ¬. Nous pouvons alors « normer » ces deux gradients de telle sorte qu'ils soient tous les deux p-hypercomplexes (loi inverse de la dimension fractale). Et alors :

∀α ∈ Γ, ∀ω ∈ Γ, α, O et ω sont simultanés

Ils appartiennent « au même continuum », α étant dans l'état ¬ω = ¬O, ω dans l'état ¬α = ¬O et O dans l'état ¬α = ¬ω. Nous dirons alors que le plan $P$ hypercomplexe est uniformément consistant. Ce qui peut se comprendre comme isotrope sur deux dimensions fractales. Grâce à ce constat, nous pourrons « choisir » des directions singulières, les identifier, et éventuellement les habiller, sans modifier la nature hypercomplexe. L'ensemble indénombrable des directions du plan devient dénombrable à une consistance unitaire près.

Angle hypercomplexe

En considérant $P$ comme la grandeur continue qu'il est, nous pouvons « fixer » les gradients rayon et corde comme horizons et « envoyer » un mobile sur la trajectoire des valeurs intermédiaires. Ce mobile fait « varier » la géométrie en fonction de sa « position » mais conserve les caractères hypercomplexes de chaque DA et du plan. Mais la « nature » des trois points α, O et ω est différente (deux sont SUR le cercle, un au centre). Le troisième est déterminé par l'observation de deux. On déduit qu'il y a trois générateurs de plans hypercomplexes possibles. Nécessairement, ces trois couples sont liés par la même variable mobile.

On appelle angle hypercomplexe θ la variable différentielle entre deux directions du plan hypercomplexe

Et nous poserons :

Dans un plan hypercomplexe normé, l'angle formé par chacun des trois couples générateurs est le même

On singularise, identifie et habille une valeur intermédiaire milieu : bissectrice. L'ensemble indénombrable des angles du plan devient dénombrable à une consistance près qui dépend de la consistance des gradients rayon et corde. Ces gradients étant de 1, le plus petit angle observable du plan hypercomplexe normé « vaut » 60° (triangle équilatéral).

Construction

Nous pouvons donc « tracer » à la règle et au compas un triangle équilatéral, « choisir » un centre, et sans modifier la norme du plan (ouverture du compas) définir la trajectoire du mobile entre les deux autres sommets avec le compas. Le nombre nécessaire pour obtenir π est 3-hypercomplexe.

Dans un plan hypercomplexe normé, π est constructible

Rotationnel

La proposition p précise encore : « courbe fermée ». Pour traduire ceci, nous devons définir une considération contradictoire plane fermée/ouverte compatible avec la considération linéaire avant/après de telle sorte que, tant que Γ n'est pas complet, le plan $P$ soit (ni-ouvert ; ni-fermé). Nous singularisons, identifions et habillons une partie quelconque du cercle non complet par arc et nous disons que le nombre d'arcs d'un cercle est dénombrable dès lors que nous avons défini une consistance minimale. La trajectoire décrivant π est hypercomplexe (constructibilité).

Nous remarquons, qu'au départ de α, nous ne pouvons atteindre ω que si un mobile se déplaçant sur la corde rejoint un mobile se déplaçant sur l'arc au même instant. Ce qui signifie que arc et corde sont complets lorsque ω est défini (consistance = 1). Il y a donc une équivalence spatio-temporelle entre la trajectoire linéaire (corde) et la trajectoire circulaire plane (arc). Nous appellerons rotationnel ( ${\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\$ d_α) la mesure unitaire de la trajectoire sur l'arc. Et nous posons :

(α , ←χ→ , ω) ∈ Γ : ${\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\$ d_α = ${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$ d_α

Si n est le nombre d'arcs nécessaires pour aboutir à la complétion du cercle, n est aussi le nombre de cordes correspondant et n est aussi le nombre d'angles nécessaires (spin) du mobile pour faire un tour complet. Les deux milieux (½ tour) doivent donc naturellement se trouver à la même position sur l'axe spatio-temporel Δ. Le seuil de variabilité étant fixé à ce milieu, nous avons une équivalence cercle-droite entre λ₁ et λ₃.

Équivalence cercle-droite

La plus petite forme géométrique fermée dans $P$ normé est un 3-hypercomplexe (un triangle équilatéral) équivalent à arc de « longueur » π. C'est une structure hypercomplexe composée de 3 x 1-hypercomplexe (3 côtés). Le point d'arrivée est confondu avec le point de départ, et chaque sommet marque un changement d'orientation, de telle sorte que la description du tracé N'EST PAS régulière : v = 0 en chaque sommet. La « continuité » est due au fait que nous devons insérer un 0-hypercomplexe de consistance inférieure à 1 au changement « brusque » de direction.

ABC : d(A , A) = ${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$ d_AB + 0-hyp_<1 + ${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$ d_BC + 0-hyp_<1 + ${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$ d_CA + 0-hyp_<1

Le trajet du mobile se décrit sur Δ entre —3 et +3.

Nous remarquons que la trajectoire angulaire est également 3-hypercomplexe (3 changements de direction) pour effectuer une boucle, ce qui correspond à 3 x 60° = 180°.

La trajectoire mobile sur Γ est 1-hypercomplexe (pas de sommets), fractionnable en 6 arcs par des 0-hyp de consistance nulle :

Γ : d(A , A) = 6 x ${\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\$ d_AB + 6 x 0-hyp₀

Le trajet du mobile se décrit sur Δ entre —6 et +6. Nous en déduisons :

${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$ d_AB + 0-hyp_<1 = 2 x ${\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\$ d_AB

Dans $P$ normé, la trajectoire d'une boucle complète est équivalente à 6 fois la norme linéaire

Nous observons alors que l'état quantique final est géométriquement identique (2 x 180° = 360°) avec A et A confondus. La distance temporelle est identique pour la mobilité considéré. L'invariance quantique dépend donc de :

0-hyp_<1 = ${\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\$ d_AB = ${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$ d_AB

Ce qui se lit : « Le changement de direction au sommet du triangle est une rotation de 60° sur place. »

La description dans (ℂ , Δ , {λ_i}) est identique à un facteur fractal près, ce qui permet « d'élargir » la notion linéaire de dimension fractale à un plan.

Section de Poincaré

Si nous avons pu « quantifier » le nombre de « segments » d'une droite et rendre ainsi dénombrable un ensemble qui ne l'était pas, grâce à l'équivalence consistance-taille, et donc définir le plus petit élément topologique linéaire, nous pouvons maintenant définir le plus petit élément topologique plan. De plus, nous aurons la forme géométrique spatiale permettant de le « paver » dans l'unité de temps correspondante. Chaque partie du plan sera alors un « multiple » de l'unité topologique qui la rendra dénombrable et permettra de définir la mobilité d'un objet plan comme nombre d'éléments plans ou nombre de boucles.

Base linéaire

Nous avons posé la base logique d'une structure hypercomplexe, dimension fractale linéaire d'une direction axiomatique (ligne de champ sémantique) comme élément hypercomplexe possédant une consistance et une taille NON DIMENSIONNÉES jusqu'alors. Il nous faut maintenant distinguer un hypercomplexe linéaire d'un hypercomplexe planaire. Le générateur d'une ligne, du générateur d'un plan. Sur une ligne, le mobile se déplace entre deux horizons « ponctuels » avec une mobilité telle que distance = temps (continuum). Nous écrirons désormais un hypercomplexe linéaire : L_hyp_ξ, ξ ∈ {0 , <1 , 1) (pour l'instant). Un générateur de ligne s'écrira donc :

$L$ = { ${\overrightarrow {0}}$ —L_hyp₁} = { ${\overrightarrow {1}}$ —L_hyp₀}

Cet ensemble étant ordonné dans un espace-temps, nous avons posé un gradient (directionnel) que nous représentons par une flèche, étant bien entendu que la direction est fixée par l'identification de deux points distincts sur la trajectoire indifféremment du choix du point origine et du point fin (double sens). Ainsi, ${\overrightarrow {0}}$ indique qu'il s'agit d'un point classique sur une ligne euclidienne et ${\overrightarrow {1}}$ indique une ligne orientée et normée, munie d'une base vectorielle, d’un seuil de variabilité (ξ = ½) et d'un saut quantique (pour ξ = 1). Ainsi, nous lirons :

${\overrightarrow {n}}$ : n x ${\overrightarrow {1}}$ ⇔ n x 1

L'identification d'un point A sur la ligne se fera donc de manière différenciée par ${\overrightarrow {0}}$ si nous le voulons « isolé » et par ${\overrightarrow {1}}$ si nous voulons représenter le vecteur et l'intégrer à une structure (segment).

Tout objet singularisé extrait de la ligne, est identifiable, quantifiable et habillable par une topologie linéaire quantique

Elle possède donc une image sur (ℂ , Δ , {λi}). Par exemple, une demi-droite sera représentée par un couple (point isolé , vecteur de norme n). On vérifie que TOUS les points sont sémantiquement différenciables dans l'espace et le temps et que la ligne est bien une grandeur continue.

Base planaire

Sur un modèle équivalent, nous définirons un point du plan qui sera la plus petite surface fermée NON-LINEAIRE permettant de paver le plan et projetable sur (ℂ , Δ , {λi}). Il nous faudra alors vérifier que $L$ est un objet singularisable du plan, et a fortiori, qu'un point linéaire est un objet singularisable du point planaire. Le principe de complétion impose que cet objet soit complet(ement fermé) pour être considéré comme tel (consistance planaire = 1).

Ordinairement, pour mettre un point, nous faisons une espèce de tâche sur un support. Cette action « couvre » une surface minimale dans un temps minimal, voire instantanée. La forme géométrique dépend de celle du stylet utilisé et permet de singulariser une zone sémantique, de l'identifier et de l'habiller. Cet objet planaire est bien projetable sur (ℂ , Δ , {λi}), de consistance minimale, et considéré comme 1-hypercomplexe isolé. Il possède donc un « milieu » imaginaire O (centre), à partir duquel nous pouvons « tracer » une ligne dans la direction axiomatique de l'intérieur vers l'extérieur. Cette ligne est un magma caractérisé par :

∀A ∈ $L$ : d(A , ←χ→ , O) = n x ${\overrightarrow {1}}$ —L_hyp₀ = ${\overrightarrow {n}}$ —L_hyp₁ avec d(A , O) = n

Le plus proche voisin sur la ligne est à distance ξ = 1. Le plus petit segment de ligne est de consistance 1 pour A et O distincts. Nous pouvons définir la valeur logique :

∀A ∈ $L$ , A ≠ O, d(A , O) = 1 : A est extérieur, O est intérieur
χ = entre A et O, χ = ni-A , ni-O ⇒ χ = ni-intérieur , ni-extérieur ∨ χ = soit-intérieur , soit-extérieur

L'ensemble des lignes du plan tracées à partir de O étant indénombrable, nous considérons le tronçon de la première ligne tracée ci-dessus comme un GSP du plan de gradient 1. Pour transformer cet ensemble en magma dénombrable, il nous faut un autre tronçon, distinct du premier. Le plus proche voisin sera distinct par la consistance angulaire θ = 1. Soit donc $L'$ cette seconde ligne.

∃A' ∈ $L'$ , A' ≠ O, d(A' , O) = 1 : (A , ←θ→ , A') = ${\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\$ ξ = ${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}$ ξ = 1

Nous prenons comme base planaire, l'un quelconque des couples parmi (A , O) , (A' , O) et (A , A'), normant $P$ , et nous déduisons :

${\overrightarrow {\operatorname {rot} }}\$ ξ = 1 ⇒ θ = π/3
[(A , ←χ→ , O) , ←θ→ (A' , ←χ→ , O)] = ${\overrightarrow {1}}$ —C_hyp₀ ou 1-hypercomplexe circulaire

Il existe donc des valeurs intermédiaires entre 0 et π/3 (un milieu imaginaire ou réel). Cet « intervalle » est alors n-fractionnable et tous les rayons variables tels que la consistance angulaire soit inférieure à 1 ont un intermédiaire χ sur la frontière entre l'extérieur et l'intérieur. Par conséquent :

Il n'existe aucun rayon issu de O ne traversant pas la frontière

Pavé élémentaire

Le triangle équilatéral de côté 1 est un pavé élémentaire du plan hypercomplexe normé. Il est n-fractionnable en lui-même et couvre toute partie extraite par la règle proportionnelle. La « couverture » complète du plan est donc n-hypercomplexe (réalisée par n objets élémentaires). La « surface » est couverte en n fois le temps nécessaire pour « boucler » un triangle élémentaire, c'est-à-dire en 6 fois π/3 (par équivalence). La mobilité qui exprime l'équivalence entre la surface couverte et le temps pour la couvrir dépend de la rapidité.

Le couple de deux côtés parmi les trois est une base normée du plan hypercomplexe et détermine un point origine (épicentre) qui est un GSP définissant l'origine du temps. Chaque sommet est alors un point originel dès lors qu'il est singularisé, identifié et habillé comme tel.

Plan vectoriel

On définit un plan vectoriel par une « direction » rejoignant deux points quelconques par la combinaison :

A → B : ${\overrightarrow {n}}$ —L_hyp_ξ ° ${\overrightarrow {p}}$ —C_hyp_ξ

On vérifie rapidement que le plus proche voisin d'un point quelconque est le deuxième sommet dans la direction et le sens de rotation choisi et que la trajectoire correspond à la mobilité.

On vérifie également qu'il existe des « points fixes » pour des 0-hypercomplexes de consistance inférieure à 1. Et qu'une direction linéaire est définie par des ${\overrightarrow {6}}$ —C_hyp_ξ.

Triature du cercle

Soit $P$ un plan géométrique classique (plasma indénombrable), muni de l'opérateur sémantique ¬ et d'une consistance minimale ξ. Il devient un magma permettant de singulariser des objets plans. Tout « point » du plan hypercomplexe apparait comme une forme géométrique fermée dont « l'aire » est au plus égale à la consistance. L'équivalence consistance-taille définit la limite à partir de laquelle le point observé est soit considéré comme isolé, soit considéré comme élément d'une structure hypercomplexe. La plus petite étant désignée comme 1-hyp.

La mobilité plane définit l'équivalence entre la couverture de surface et le temps mis pour la couvrir. Le fractionnement de [0 , 1] considère la complétion surfacique entre 0 et 1. Nous considérons bien ici que, dans le cas d'un point isolé occupant une certaine surface inférieure à la consistance, il est impossible de déterminer un « milieu » (un centre). Ce « milieu » (ce centre) ne sera logiquement accessible, de façon imaginaire, que lorsque ce point ne sera plus isolé, mais fera partie d'une structure basique élémentaire atteignant la taille 1-hyp. Nous affecterons la valeur 0 à l'aire d'un 0-hyp et la valeur 1 à l'aire d'un 1-hyp, qui sera la plus petite aire d'une surface fermée atteignant la consistance 1.

L'équivalence aire couverte et temps donne :

${\overrightarrow {6}}$ —C_hyp₁ = $A$ _{pavé élémentaire}

Ce qui se lit :« L'aire d'un triangle équilatéral de côté 1 est équivalente à celle d'un cercle de rayon 1 ». Il parait naturel de dire que, à taille 1, les centres sont « confondus » et qu'à consistance inférieure à 1, ils le restent, ce qui pourrait se vérifier par n-fractionnement (zoom fois n).

Nous avons donc (au moins) un « point » intérieur topologique imaginaire commun entre le pavé imaginaire 1-hyp et un cercle unitaire, qui permet de distinguer tous les autres points du plan qui seront alors soit-extérieurs, soit (ni-intérieurs ; ni-extérieurs) (ou soit l'un ; soit l'autre). On vérifie que les 3 sommets virtuels du triangle qui définissent la base planaire sont soit-intérieurs, soit non-intérieurs.

Bords et antibords

La modalité hypercomplexe prévoit que l'on peut « construire » un pavé élémentaire à partir de l'un quelconque des sommets, puisque l'horizon est de le compléter par un mobile. La trajectoire peut emprunter indifféremment le sens α vers ω ou ω vers α (il y a deux sens dans une direction axiomatique). Dans le cas d'une boucle linéaire, nous avons une superposition spatiale des horizons début et fin (forme planaire fermée) décalée dans le temps. Nous n'avons pas α = ¬ ¬α à proprement parler, mais α = ¬ ¬α à ξ près (un saut quantique à chaque « tour » complet).

Selon le théorème de Poincaré, nous pouvons « partir » indifféremment d'un côté ou de l'autre. Nous pouvons donc définir le bord (resp. antibord ou cobord) d'un pavé élémentaire par une chaine (resp. antichaine ou cochaine) hypercomplexe, sans modifier le résultat. Or, nous avons un « milieu » imaginaire entre les deux horizons qui est à la fois entre et ni-l'un ; ni-l'autre mais élément du bord (resp. antibord ou cobord). Soit, en tout, 3 sommets réels et 3 milieux imaginaires. En d'autres termes, le « centre » imaginaire du pavé n'étant pas sur un bord (resp. cobord), il existe une « séparation » (frontière) logique entre la « zone » contenant ce centre (dite intérieure) et celle ne le contenant pas (dite extérieure). Nous avons donc, en tout, 6 départs possibles et 3 DA :

Si M est le milieu de AB et O le centre : M → A, M → B et M → O

La dualité linéaire est définie par deux sens opposés. La dualité planaire sera définie par deux sens de rotation opposés.

Nous posons donc que le bouclage est complet si la somme des rotations atteint 2π (sens conservé). Le « milieu » π correspond à un demi-tour qui conserve la DA, mais en change le sens :

Si M est le milieu de AB : angle(M → A, M → B) = π = ${\overrightarrow {3}}$ —C_hyp_ξ

On pose une direction intermédiaire médiane joignant M et O :

M → O : angle(M → A, M → O) = π/2 = ${\overrightarrow {3/2}}$ —C_hyp_ξ

On vérifie l'équivalence hypercomplexe sur la boucle linéaire. On identifie une direction singulière vers le centre à partir de n'importe quel point de départ par une rotation imaginaire ${\overrightarrow {1/2}}$ —C_hyp_ξ.

Nous ouvrons une cs-connexion entre le plan hypercomplexe et le plan classique en définissant une « convergence » directionnelle à partir de chacun des sommets ou de chacun des milieux imaginaires des côtés du pavé vers le centre O. Et nous décrirons le bord (resp. l'antibord) à partir d'une position intermédiaire, dite neutre = (ni d'un sens ; ni de l'autre) ou (soit d'un sens ; soit de l'autre) commençant par une rotation imaginaire. Les directions neutre sont alors identifiables et habillables.

Sectionnement linéaire

La projection du mobile décrivant les bords (resp. antibords) sur Δ marque les « positions » pour lesquelles ce mobile se retrouve dans une position identique après un tour complet. La « durée » et la « longueur » posent la mobilité qui s'exprime indifféremment sur une base linéaire ou circulaire (angulaire dans le plan).

La règle du n-fractionnement (zoom fois n) hypercomplexe permet de définir l'état des valeurs intermédiaires dès lors qu'elles sont singularisées et identifiées. L'ensemble des rotations est devenu dénombrable et repérable sur Δ.

Nous poserons que le « centre » d'un plan hypercomplexe est un 0-pavé_<1 (triangle équilatéral de côté inférieur à 1) et qu'il est imaginaire (indissociable des sommets). On peut avoir une image de cette réalité en considérant un 2-pavé _<1 (triangle équilatéral de côté 2 ayant un milieu réel).

Sectionnement : temps et espace

Si chaque chose, chaque personne a son temps, c'est donc que chaque collectif a son temps, et que chaque organisation a forcément le sien.^[2]

Grâce à la projection sur l'axe Δ qui traduit la mobilité (équivalence distance-durée) d'un mobile dans un continuum, nous pouvons « identifier » la réalité réelle (!) de la réalité virtuelle. Temps et espace sont nécessairement liés dans la trajectoire du mobile entre deux horizons. Mais justement, quels sont ces horizons si l'on ignore le point de départ et la DA ? La seule chose que nous connaissions, est la base vectorielle du plan hypercomplexe et la nature topologique du point d'application au « centre » d'un triangle équilatéral de côté 0, déterminant la consistance (« l'aire »).

Sans bouclage de la linéarité, nous pourrions penser que le point de raccordement est, en fait, une superposition locale de l'espace (un point fixe). Ce qui, bien sûr est absurde, puisque il s'agit d'un « recouvrement » de deux états « séparés » dans le temps. Cette séparation se traduit sur la section Δ du plan hypercomplexe par une « abscisse ». Cela revient à « graduer » l'axe spatio-temporel Δ et à repérer les passages successifs d'un mobile. La règle du n-fractionnement unitaire (zoom fois n) permet la localisation intermédiaire :

∀x ∈ Δ, ∃n : n < x < n + 1 ∧ d(n , x) + d(x , n + 1) = 1

La graduation sur l'axe Δ est donc en « nombre de boucles ». Elle se projette respectivement en distance parcourue sur l'axe réel et en durée du parcours sur l'axe imaginaire. Nous remarquons alors que Δ est une position intermédiaire angulaire entre les deux axes qui sont alors cs-connectables par la considération duale ralenti-accéléré.

Repérage en coordonnées polaires

Si on appelle événement les positions successives des bouclages sur Δ, on peut les « repérer » par une position singulière du plan complexe, intersection de Δ et du cercle unité :

λ₁ = exp(iπ/4) = cos π/4 + i sin π/4

On vérifie que l'on a bien l'équivalence distance = durée, et que Σ(λ_i) = 0. Et l'on pose :

'

∀x ∈ Δ, x est un événement : ∃n : x = n exp(iπ/4 + 2nπ)

Zonage du plan

π étant constructible, il est hypercomplexifiable, d'une part. D'autre part, nous avons un angle minimum permettant d'identifier un changement de direction dans le plan. Nous pouvons par conséquent définir un isomorphisme entre angle et fractionnement de π. Ce faisant, nous transformons un ensemble indénombrable de directions en ensemble dénombrable permettant de singulariser, d'identifier et d'habiller chaque direction par une fraction de π.

Le zonage du plan peut alors se faire par la fonction de partition munie du seuil de variabilité :

Soit A un point quelconque du plan, il existe une direction $D$ à partir d'un point origine O telle que, [OD] appartienne au secteur angulaire [p π/n ; (p + 1) π/n], dont le seuil de variabilité est la bissectrice

On vérifie que deux zones quelconques sont bien singularisées par l'opérateur ¬ ; que l'on peut définir un mobile entre les deux ; qu'il existe une « frontière » entre elles qui soit (ni-l'une ; ni-l-autre) mais aussi (soit-l'une ; soit l'autre). Et par conséquent, qu'il existe des valeurs intermédiaires et un fractionnement possible. Nous avons alors, deux secteurs adjacents (les plus proches), une consistance contextuelle et un milieu imaginaire ou réel.

Le cercle unitaire complexe est alors 8-fractionnable. Nous identifions 8 directions distinctes qui seront les frontières de secteurs propres, dont le bord Δ (direction dans le sens du temps), l'antibord Δ (direction opposée au sens du temps), le bord Δ_s (projection subjective vers l'avant), l'antibord Δ_s (projection subjective vers l'arrière) et les directions axiales séparant les quadrants.

Tout objet d'un ensemble dénombrable peut alors être projeté sur le plan complexe zoné.

Si nous « numérotons » ces zones dans un sens ou dans l'autre (par une numérotation ou une antinumérotation) qui est le principe hypercomplexe, nous pouvons « classer » ces projections. Par exemple, la zone 1 définit les objets dits spatiaux dont la mobilité est inférieure à 1 (par exemple plus lourds) ; la zone 2 définit les objets dits temporels dont la mobilité est supérieure à 1 (par exemple plus légers) ; etc ...

Classification des objets isolés

Il faut rappeler ici, que la direction axiomatique (DA) est définie par deux objets liés par une cs-connexion. Rapportée au « plan » cette définition postulée singularise, identifie et habille une direction particulière, appelée trajectoire d'un mobile. Nous pouvons maintenant distinguer une trajectoire « linéaire droite » d'une trajectoire « linéaire courbe », puisque nous avons défini un « support » la contenant (le plan hypercomplexe).

$D$ ⊂ $P$ ⇔ ∀A ∈ $D$ : A ∈ $P$

C'est, bien sûr une trivialité du plan classique. Mais, en géométrie hypercomplexe, cela indique que TOUS les points intermédiaires entre les deux horizons, qui sont donc sur la DA, sont également des points singuliers (ou singularisables) du plan. Cela signifie que la rectitude linéaire n'est pas admise dans l'absolu, elle ne peut l'être que localement selon que le rotationnel est un multiple de π ou de 2π.

La géométrie euclidienne est donc parfaitement applicable dans le seul pavé élémentaire. Mais ne l'est plus sur une « surface » n-hypercomplexe qu'à la condition que les valeurs intermédiaires soient « alignées » entre deux sommets horizons. Ce que nous exprimerons par :

Soit [AB] une trajectoire n-hypercomplexe définie par {M_i} : [AM_i] et [M_iB] ont même direction à la consistance angulaire près

A bien réfléchir, il s'agit bien là de la définition ordinaire locale de la continuité, applicable aux valeurs intermédiaires réelles ou imaginaires d'une grandeur continue de taille quelconque. Cette remarque est très importante car elle permet de « prolonger » une trajectoire au-delà des horizons et prépare ainsi la théorisation de la mobilité générale.

Soit C ∈ $P$ , C ¬∈ {M_i}, C APRES B (resp. C AVANT A) : C ∈ DA ⇔ [BC] et [M_iB] ont même direction à la consistance angulaire près

Même direction, c'est-à-dire même gradient et même rotationnel à ξ près. Et donc même zone. Espace courbe ou espace linéaire n'a de sens que si nous avons la possibilité de changer de zone ou non. Or, la loi inverse implique que tout n-fractionnement réduit par n la consistance. La dimension fractale d'une DA est une droite pour tous horizons — n , + n. Par extension, la base planaire reste représentée par un couple de vecteurs indépendamment de leur taille. D'où :

le plan hypercomplexe est apparenté à un plan euclidien vectoriel, pavé, muni de DA rectilignes entre les horizons — n et + n, projetable sur (ℂ , Δ , {λi}) zoné.

Cette description est celle d'une grandeur continue qui se rapproche sensiblement de celle donnée par la théorie de l'inflation, résout le le problème de l'horizon et celui de la platitude.

Conclusion formelle

Soit $E$ un ensemble indénombrable quelconque. On rend cet ensemble intelligent en lui appliquant l'opérateur logique contradictoire ¬ et en posant une marge d'erreur ou d'appréciation ξ. Cet ensemble existe si il contient UN objet élémentaire observable de consistance ξ = 1, donc complet (un début, une fin, et un milieu imaginaire). Cet objet est alors un ensemble dénombrable (card = 1) contenu dans $E$ . Il est alors de taille 1 (1-hypercomplexe) évoluant continûment depuis l'état originel 0 jusqu'à l'état complet 1. Cette évolution est descriptible par les états intermédiaires (il en existe au moins un : le milieu).

Ainsi de taille 1, l'objet est un GSP isolé (non structuratif), habillé par α. L'ensemble $E$ a alors un « sens » c'est-à-dire qu'il existe, à partir de α des directions axiomatiques indénombrables. Nous avons postulé l'existence d’au moins un deuxième objet ω dans $E$ , cs-connectable, c'est-à-dire vérifiant α = ¬ω et ω = ¬α. Le couple de GSP obtenu est un générateur de plan hypercomplexe par identification de la DA (l'ensemble directionnel devient dénombrable grâce à la consistance angulaire). Nous avons une base vectorielle spatiale et un décalage temporel.

L'image de ce plan hypercomplexe est observable sur (ℂ , Δ , {λ_i}), λ_i = exp i(π/4 + kπ/2) qui induit une boucle par implication de l'anneau ℤ/4ℤ dans la structuration hypercomplexe. Nous avons donc proposé que tout hypercomplexe puisse être décomposable sur [—2 , ←0→ , +2] qui sera un TOUT fractionnable en 4, que le milieu soit réel ou imaginaire. Y compris un 1-hypercomplexe (linéaire ou circulaire) qui sera décomposable sur [—2, ←—1→ , ←0→ , ←+1→ , +2] tout en étant non-fractionnable

Centre hypercomplexe

On définit dans $P$ muni de son pavé élémentaire de consistance-taille 1 ABC (donc d'un repère vectoriel linéaire et circulaire normé) un centre O d'expansion ou de remplissage tel que :

∀M décrivant ABC : OM = cste ∧ ∃M' : p(MM') ∈ Δ, O est entre M et M', O ≠ M, O ≠ M'

On vérifie que cette définition s'applique pour le 0-pavé et le 1-pavé, et qu'elle satisfait l'équivalence pavé-cercle. Alors elle l'est également pour tout n-fractionnement et zoom fois n. Une « image » de ce centre est obtenue par considération du 2-pavé qui possède un 1-pavé central contenant le centre topologique. À la consistance près, on pourra identifier ce centre hypercomplexe ainsi singularisé et l'habiller indifféremment de centre du cercle circonscrit, centre du cercle inscrit, centre de gravité, ou orthocentre. D'une manière générale, nous le confondrons avec le centre du cercle d'Euler.

Directions hypercomplexes

La sentence II exposant l'opposition partout-nulle part entre le centre et la circonférence de la sphère de l'être, la définition « Deus est opposita ut mediatio entis » (Dieu est les opposés être et non-être en tant que milieu de ce qui est) se réfère aussi à la définition du centre de la sphère donnée par Aristote.^[3]

Nous considérons maintenant ( $P$ , ABC, O, ξ=1, m=1), complet, dans lequel O est à la fois partout et nulle part à l'intérieur du cercle, mais localisé au centre, tel que défini supra. L'ensemble des directions dans $P$ devient dénombrable, à partir de l'origine choisie parmi sept « points » (3 sommets A,B,C, 3 milieux D,E,F et un centre O). Le cardinal correspondant est 6, dont 3 convergent au centre et les 3 autres décrivent le contour (resp. l'anticontour).

Couplées, ces directions forment des bases génériques $B$ hypercomplexes du plan. Elles seront de la forme :

B

∈ {

{\overrightarrow {1/2}}

—C_hyp_ξ ,

{\overrightarrow {1}}

—C_hyp_ξ ,

{\overrightarrow {3/2}}

—C_hyp_ξ ,

{\overrightarrow {2}}

—C_hyp_ξ}

Fermeture du plan

Une partie du plan hypercomplexe est dite fermée ssi elle vérifie les deux conditions :
1- sa projection linéaire est observable sur Δ (la trajectoire spatio-temporelle est complète)
2- la suite algébrique des rotationnels est un multiple de 6 (équivalente à une boucle).

La démonstration utilise le cinquième postulat d'Euclide et vérifie l'espace de Banach. On vérifie d'abord que le plan hypercomplexe est ponctuellement fermé, à la consistance près.

Remarque : Il n'y a pas de partie absolument fermée, à cause de la consistance. Sauf la zone délimitée par un 0-pavé de consistance nulle. En effet, la fin ω de la boucle vérifie ω = ¬α. En conséquence, l'intervalle [α , ¬α] n'est pas de consistance nulle, ni de consistance 1 (en quel cas il serait 1-hypercomplexe). Il est donc de consistance inférieure à 1 et complétable par zoom fois n (valeurs intermédiaires). Autrement dit :

Toute partie fermée du plan hypercomplexe comporte un trou de taille nulle et de consistance inférieure à 1

Il est naturel de penser que ce trou, n'étant pas hypercomplexe, n'a pas de milieu à proprement parler. Les bords NE SONT PAS cs-connectables. La trajectoire correspondante ne fait donc pas partie du plan hypercomplexe et intervient SUR UN AUTRE PLAN, dit « supérieur ». Comment définir ce « plan » qui fait que « le serpent se morde la queue » ?

Ligne de champ

À la fermeture de la boucle, la superposition n'est QUE spatiale. Elle N'est PAS temporelle. Ceci se traduit, non pas par un « cercle », mais plutôt par un « cycle ». Les projections respectives sur Δ sont donc bien « décalées ». Le saut quantique intervient à la fin du cycle lorsque le mobile « atteint » l'état ω = α. Nous appellerons cette situation particulière point de recouvrement S.

S (α , ←χ→ , α') : α' ≠ α ∧ α' ≠ ω ∧ d(α , α') = 1 ⇒ S ¬∈ $P$

La direction OS est ainsi HORS DU plan hypercomplexe et forme avec celui-ci un écart angulaire de consistance 1. Contradictoirement, si cet écart était de consistance inférieure à 1, OS appartiendrait au plan. Si on désigne par S' la projection de S sur le plan (S' = α ∨ ω), on appelle ligne de champ la direction définie par SS'. Nous noterons que la « position » de S sur Δ est à la « distance » 1 et correspond à l'abscisse de sa projection, matérialisant ainsi la distinction de S et S'. Nous noterons également que le transfert est instantané.

Et, puisque S s'obtient de S' par un mobile décrivant le bord de la trajectoire, nous dirons que S' s'obtient de S par un antimobile décrivant l'antibord, et nous aurons S' = ¬S. Le couple (S , S') est donc ainsi cs-connectable. Il existe une trajectoire continue entre S et S' et donc des valeurs intermédiaires qui seront définies par les projections de χ sur Δ :

∀χ, α < χ < ω, ∃ χ' ∈ Δ, S < χ' < S' ⇔ (S , ←χ'→, S') = ${\overrightarrow {1}}$ —L_hyp_ξ

On appelle épaisseur du plan hypercomplexe la distance SS' et nous pourrons définir la « hauteur » de S' en fonction du nombre de cycles d'un mobile spatio-temporel telle qu'elle apparait en abscisse sur Δ. Nous obtenons ainsi un volume hypercomplexe à partir d'une partie fermée du plan hypercomplexe et d'une ligne de champ tracée par un mobile circulant sur le bord (resp. l'antibord). La forme géométrique du volume basique apparait comme un prisme triangulaire droit. Nous l'étudierons complètement au chapitre suivant.

Applications pratiques

L’œil d'Horus

Pour les amateurs de « mystère », de métaphysique ou d'ésotérisme, je propose un déchiffrement du symbole maçonnique incluant L’œil d'Horus dans les représentations les plus « élevées » et les plus explicites, particulièrement celles dédiées aux illuminati.

Quadrature du cercle hypercomplexe

Un carré est une forme géométrique fermée, au même titre que le cercle ou le triangle ou tout autre polygone. Cela signifie que l'on peut décrire le bord (resp. l'antibord) par un mobile depuis l'horizon origine jusqu'à l'horizon fin. La projection sur Δ est λ₁ dans les deux cas. La trajectoire circulaire est décrite par des C_hyp élémentaires. La trajectoire quadratique est un enchainement de L-hyp et de C-hyp. Il existe un carré élémentaire ayant un centre commun à l'intérieur donnant une équivalence d'aire.

Pour conclure, il suffit de « modifier » la mobilité du mobile décrivant le bord (resp. l'antibord) pour faire coïncider la fin de la boucle carrée avec la fin de la boucle circulaire. Le remplissage planaire s'effectue à partir du centre commun selon la suite n². On déduit le reste par fractionnement.

Homologie et antihomologie du triangle équilatéral

Description hypercomplexe d'un mobile décrivant le n-triangle équilatéral dans le sens direct et le sens inverse des aiguilles d'une montre à mobilité régulière (sans modification de la rapidité). Étude de la « localisation » du « centre » et relation avec la consistance.

Le carré SATOR : épisode 2

1- Remarquer la configuration en « damier », distinguant consonnes et voyelles.

2- Vérifier le caractère hypercomplexe de « boucle linéaire » (lecture à double sens et dans toutes les orientations de l'ensemble complet et de ses fragments).

3- Identifier les sommets du triangle équilatéral rotationnel et vérifier l'homologie et l'antihomologie.

4- Au passage, remarquer et identifier la forme symbolique des deux triangles « opposés » (étoile de David).

5- Remarquer et identifier les directions remarquables du plan complexe muni du couple Δ , Δ_s.

6- Vérifier les symétries géométriques autour des 4 axes par des cs-connexions.

Avec un peu d'imagination, on peut alors « déduire » qu'il s'agit d'une forme sémantique intelligente à caractère initiatique de la nature hypercomplexe. Il est même possible de percevoir le « sens » contenu dans cette forme à une erreur approximative près, qui soit en rapport de ce décryptage. Nous aurons alors un « groupe d'initiés » capable d’œuvrer sur le plan hypercomplexe (réunion d'objets cs-connectés).

Nous pourrons ensuite, dans l'épisode suivant, travailler plus particulièrement sur le « centre » hypercomplexe et « animer » l'ensemble des constituants.

L'espace hypercomplexe

Mobilité restreinte

Prisme générique

↑ Thomas Thiry, Marc Lainez, Les pratiques de l'équipe agile, chez Deboeck supérieur, 2019
↑ Francine Laurin, La gestion du changement : entre temps et pouvoir, aux éditions JFD, 2015, page 119}}
↑ Françoise Hudry, Le livre des XXIV philosophes : résurgence d'un texte du IVe siècle, chez Vrin, 2009, page 62}}

[1] Thomas Thiry, Marc Lainez, Les pratiques de l'équipe agile, chez Deboeck supérieur, 2019

[2] Francine Laurin, La gestion du changement : entre temps et pouvoir, aux éditions JFD, 2015, page 119}}

[3] Françoise Hudry, Le livre des XXIV philosophes : résurgence d'un texte du IVe siècle, chez Vrin, 2009, page 62}}

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