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Exercice 2-1

Résoudre (dans l’ensemble des nombres complexes) l'équation :

${\frac {4x^{2}+3x-2}{5}}={\frac {2-x^{4}}{4x}}$.

Solution

Le dénominateur du second membre ne doit pas être nul. Le domaine de définition de l'équation est donc :

$D=\mathbb {C} ^{*}$.

Dans l'équation, en effectuant le produit en croix, on obtient :

$4x(4x^{2}+3x-2)=5(2-x^{4})$,

ce qui, après développement et transfert dans le premier membre donne :

$5x^{4}+16x^{3}+12x^{2}-8x-10=0$.

Nous avons une équation de la forme :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

avec :

$a=5,\qquad b=16,\qquad c=12,\qquad d=-8,\qquad e=-10$.

La résolvante de Sotta est :

${\begin{aligned}R(X)&=3(3b^{2}-8ac)X^{2}+6(bc-6ad)X+(4c^{2}-9bd)\\&=864X^{2}+2592X+1728\\&=864(X^{2}+3X+2).\end{aligned}}$

Nous constatons alors que :

${\begin{aligned}\Psi &=3\left(Ae+B\left({\frac {-d}{4}}\right)+C{\frac {c}{6}}\right)\\&=3\times 864\left(e-3d/4+c/3\right)\\&=3\times 864\left(-10+6+4\right)\\&=0.\end{aligned}}$

Nous pouvons donc résoudre l'équation par la méthode de Sotta.

Les racines de R sont

$\alpha =-1\quad {\text{et}}\quad \beta =-2$.

Nous avons ensuite :

${\frac {b+4a\alpha }{b+4a\beta }}={\frac {16-4\times 5}{16-2\times 4\times 5}}={\frac {-4}{-24}}={\frac {1}{6}}$.

Les racines de l'équation à résoudre sont donc les quatre nombres complexes (non nuls) :

$x_{\omega }={\frac {\alpha -\omega \beta /{\sqrt[{4}]{6}}}{1-\omega /{\sqrt[{4}]{6}}}}={\frac {-{\sqrt[{4}]{6}}+2\omega }{{\sqrt[{4}]{6}}-\omega }},\quad \omega \in \{1,\mathrm {i} ,-1,-\mathrm {i} \}$.

 

Exercice 2-2

Montrer que la méthode de Sotta ne peut résoudre aucune équation du quatrième degré ayant une racine double et deux racines simples, ni aucune équation du quatrième degré ayant deux racines doubles.

En déduire que si une équation du quatrième degré a un discriminant nul et vérifie de plus la relation :

$c^{2}-3bd+12ae=0$

alors, elle a forcément une racine triple ou quadruple.

Solution

La méthode de Sotta, lorsqu'elle est applicable à une équation du quatrième degré, fournit toujours, d'après le cours :

• soit quatre racines distinctes,
• soit une racine quadruple,
• soit une racine triple et une simple.

Par conséquent, la méthode de Sotta ne peut résoudre aucune équation du quatrième degré ayant une racine double et deux racines simples, ni aucune équation du quatrième degré ayant deux racines doubles.

Supposons maintenant que l'équation du quatrième degré à résoudre a un discriminant nul et vérifie de plus :

$c^{2}-3bd+12ae=0$.

En utilisant la relation :

$\Delta ={\frac {4(c^{2}-3bd+12ae)^{3}-\Psi ^{2}}{27}}$,

nous en déduisons que le sottien Ψ est nul et que, par conséquent, l'équation peut être résolue par la méthode de Sotta. Comme nous venons de voir que la méthode de Sotta ne peut pas résoudre une équation ayant une ou deux racines doubles, nous en déduisons que l'équation à résoudre a une racine triple ou quadruple.

 

Exercice 2-3

En résolvant l'équation :

$x^{4}+10x^{3}+6x^{2}+10x+1=0~$

à l'aide de deux méthodes différentes, établir les relations suivantes :

$2\left({\sqrt[{4}]{7}}+{\sqrt[{4}]{3}}\right)=\left({\sqrt[{4}]{7}}-{\sqrt[{4}]{3}}\right)\left({\sqrt {21}}+5+{\sqrt {2(5{\sqrt {21}}+21)}}\right)$ ;

$2\left({\sqrt[{4}]{7}}-{\sqrt[{4}]{3}}\right)=\left({\sqrt[{4}]{7}}+{\sqrt[{4}]{3}}\right)\left({\sqrt {21}}+5-{\sqrt {2(5{\sqrt {21}}+21)}}\right)$ ;

$2\left({\sqrt[{4}]{3}}+\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{7}}\right)=\left({\sqrt[{4}]{3}}-\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{7}}\right)\left({\sqrt {21}}-5+\mathrm {i} {\sqrt {2(5{\sqrt {21}}-21)}}\right)$.

Solution

Première méthode.

L'équation :

$x^{4}+10x^{3}+6x^{2}+10x+1=0$

est symétrique.

En divisant tous les termes par x², elle devient :

$x^{2}+10x+6+{\frac {10}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}=0$,

que l’on peut écrire :

$\left(x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}\right)+10\left(x+{\frac {1}{x}}\right)+6=0$.

Posons alors :

$z=x+{\frac {1}{x}}$

On a alors :

$x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=x^{2}+2x{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{2}}}-2=\left(x+{\frac {1}{x}}\right)^{2}-2=z^{2}-2$.

L'équation devient alors :

$\left(z^{2}-2\right)+10z+6=0$,

c'est-à-dire :

$z^{2}+10z+4=0$.

Les deux racines de cette équation sont :

$z_{\pm }=-5\pm {\sqrt {21}}$.

Reportons ces deux valeurs dans :

$z=x+{\frac {1}{x}}$

On obtient les deux équations :

$-5+{\sqrt {21}}=x+{\frac {1}{x}}$ ;

$-5-{\sqrt {21}}=x+{\frac {1}{x}}$.

En multipliant tous les termes par x et en les mettant dans le premier membre, on obtient :

$x^{2}+(5-{\sqrt {21}})x+1=0$ ;

$x^{2}+(5+{\sqrt {21}})x+1=0$.

Ces deux équations du second degré nous fournissent les quatre racines suivantes :

$t_{0}={\frac {{\sqrt {21}}-5+\mathrm {i} {\sqrt {2(5{\sqrt {21}}-21)}}}{2}}$ ;

$t_{1}={\overline {t_{0}}}$ ;

$t_{2}=-{\frac {{\sqrt {21}}+5-{\sqrt {2(5{\sqrt {21}}+21)}}}{2}}$ ;

$t_{3}=-{\frac {{\sqrt {21}}+5+{\sqrt {2(5{\sqrt {21}}+21)}}}{2}}$.

Deuxième méthode.

L'équation :

$x^{4}+10x^{3}+6x^{2}+10x+1=0$

est de la forme :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

avec :

$a=1,\qquad b=10,\qquad c=6,\qquad d=10,\qquad e=1$.

La résolvante de Sotta est :

${\begin{aligned}R(X)&=3(3b^{2}-8ac)X^{2}+6(bc-6ad)X+(4c^{2}-9bd)\\&=756X^{2}-756\\&=756(X^{2}-1).\end{aligned}}$

Nous constatons alors que :

${\begin{aligned}\Psi &=3\left(Ae+B\left({\frac {-d}{4}}\right)+C{\frac {c}{6}}\right)\\&=756\times 3\left(e-c/6\right)\\&=0.\end{aligned}}$

Nous pouvons donc résoudre l'équation par la méthode de Sotta.

Les racines de R sont

$\alpha =1\quad {\text{et}}\quad \beta =-1$.

Nous avons ensuite :

${\frac {b+4a\alpha }{b+4a\beta }}={\frac {10+4}{10-4}}={\frac {7}{3}}$.

Les racines de l'équation à résoudre sont alors données par :

$x_{k}={\frac {\alpha -\beta \mathrm {i} ^{k}{\sqrt[{4}]{7/3}}}{1-\mathrm {i} ^{k}{\sqrt[{4}]{7/3}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{3}}+\mathrm {i} ^{k}{\sqrt[{4}]{7}}}{{\sqrt[{4}]{3}}-\mathrm {i} ^{k}{\sqrt[{4}]{7}}}},\quad k\in \{0,1,2,3\}$.

On trouve donc finalement :

$x_{0}=-{\frac {{\sqrt[{4}]{7}}+{\sqrt[{4}]{3}}}{{\sqrt[{4}]{7}}-{\sqrt[{4}]{3}}}}$ ;

$x_{1}={\frac {{\sqrt[{4}]{3}}+\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{7}}}{{\sqrt[{4}]{3}}-\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{7}}}}$ (de partie imaginaire ${\frac {2{\sqrt[{4}]{21}}}{{\sqrt {3}}+{\sqrt {7}}}}>0$) ;

$x_{2}=-{\frac {{\sqrt[{4}]{7}}-{\sqrt[{4}]{3}}}{{\sqrt[{4}]{7}}+{\sqrt[{4}]{3}}}}$ (de valeur absolue inférieure à celle de $x_{0}$) ;

$x_{3}={\overline {x_{1}}}$.

Conclusion

L'ensemble des solutions de l'équation :

$x^{4}+10x^{3}+6x^{2}+10x+1=0$

est

$\{t_{0},t_{1},t_{2},t_{3}\}=\{x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}\}$.

Plus précisément, d'après les remarques faites sur les $x_{k}$, on a les égalités

$-{\frac {{\sqrt[{4}]{7}}+{\sqrt[{4}]{3}}}{{\sqrt[{4}]{7}}-{\sqrt[{4}]{3}}}}=x_{0}=t_{3}=-{\frac {{\sqrt {21}}+5+{\sqrt {2(5{\sqrt {21}}+21)}}}{2}}$ ;

$-{\frac {{\sqrt[{4}]{7}}-{\sqrt[{4}]{3}}}{{\sqrt[{4}]{7}}+{\sqrt[{4}]{3}}}}=x_{2}=t_{2}=-{\frac {{\sqrt {21}}+5-{\sqrt {2(5{\sqrt {21}}+21)}}}{2}}$ ;

${\frac {{\sqrt[{4}]{3}}+\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{7}}}{{\sqrt[{4}]{3}}-\mathrm {i} {\sqrt[{4}]{7}}}}=x_{1}=t_{0}={\frac {{\sqrt {21}}-5+\mathrm {i} {\sqrt {2(5{\sqrt {21}}-21)}}}{2}}$,

qui prouvent respectivement celles annoncées.

 

Exercice 2-4

Par la méthode de Sotta, retrouver (cf. exercices 5-3 et 6-3 de la leçon sur les équations de degré 4) les solutions de :

$x^{4}-(1+2{\sqrt {2}})x^{3}+3x^{2}{\sqrt {2}}-2(3-2{\sqrt {2}})x-2(2-{\sqrt {2}})=0$.

Solution

Cette équation est de la forme :

$ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$

avec :

$a=1,\qquad b=-(1+2{\sqrt {2}}),\qquad c=3{\sqrt {2}},\qquad d=-2(3-2{\sqrt {2}}),\qquad e=-2(2-{\sqrt {2}})$.

La résolvante de Sotta est :

${\begin{aligned}R(X)&=3(3b^{2}-8ac)X^{2}+6(bc-6ad)X+(4c^{2}-9bd)\\&=9\left((9-4{\sqrt {2}})X^{2}+2(8-9{\sqrt {2}})X+2(9-4{\sqrt {2}})\right)\\&=9(9-4{\sqrt {2}})\left(X^{2}-2{\sqrt {2}}X+2\right)\end{aligned}}$

Nous constatons alors que :

${\begin{aligned}\Psi &=3\left(Ae+B\left({\frac {-d}{4}}\right)+C{\frac {c}{6}}\right)\\&=27(9-4{\sqrt {2}})\left(-2(2-{\sqrt {2}})-{\sqrt {2}}(3-2{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}\right)\\&=0.\end{aligned}}$

Nous pouvons donc résoudre l'équation par la méthode de Sotta.

La résolvante a une racine double, ${\sqrt {2}}$, qui sera, d’après le cours, racine triple de l'équation à résoudre.

Pour trouver la racine simple manquante, il suffit d'écrire, par exemple, que la somme des racines est égale à l'opposé du coefficient de x³. On trouve finalement que les quatre racines de l'équation :

$x^{4}-(1+2{\sqrt {2}})x^{3}+3x^{2}{\sqrt {2}}-2(3-2{\sqrt {2}})x-2(2-{\sqrt {2}})=0$

sont :

$x_{0}=x_{1}=x_{2}={\sqrt {2}},\quad x_{3}=1-{\sqrt {2}}$.