Recherche:Méthode de Sotta/Exercices/Équations de degré trois

Exercice 1-1

Résoudre l'équation :

$5x^{3}-9x^{2}-3x+9=0$.

Solution

Selon nos notations, nous avons :

$a=5,\qquad b=-9,\qquad c=-3,\qquad d=9$.

La résolvante de Sotta est :

${\begin{aligned}R(X)&=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)\\&=((-9)^{2}-3\times 5\times (-3))X^{2}+(-9\times (-3)-9\times 5\times 9)X+((-3)^{2}-3\times (-9)\times 9)\\&=126X^{2}-378X+252\\&=126(X^{2}-3X+2)\\&=126(X-2)(X-1).\end{aligned}}$

Les deux racines de R sont

$\alpha =2,\quad \beta =1$.

${\frac {b+3\alpha a}{b+3\beta a}}={\frac {-9+3\alpha a}{-9+3\beta a}}={\frac {-3+\alpha a}{-3+\beta a}}={\frac {7}{2}}$.

Les trois racines de l'équation à résoudre sont donc :

$x_{k}={\frac {\alpha -\beta \mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{7/2}}}{1-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{7/2}}}}={\frac {2{\sqrt[{3}]{2}}-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{7}}}{{\sqrt[{3}]{2}}-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{7}}}},\quad k\in \{0,1,2\}$.

 

Exercice 1-2

Résoudre l'équation :

$x^{3}-x^{2}-x-2=0$,

sans utiliser sa racine évidente.

Solution

Selon nos notations, nous avons :

$a=1,\qquad b=-1,\qquad c=-1,\qquad d=-2$.

La résolvante de Sotta est :

${\begin{aligned}R(X)&=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)\\&=((-1)^{2}-3\times 1\times (-1))X^{2}+((-1)\times (-1)-9\times 1\times (-2))X+((-1)^{2}-3\times (-1)\times (-2))\\&=4X^{2}+19X-5\\&=(X+5)(4X-1).\end{aligned}}$

Les deux racines de R sont

$\alpha =-5,\quad \beta ={\frac {1}{4}}$.

${\frac {b+3\alpha a}{b+3\beta a}}={\frac {-1+3\times -5}{-1+3\times {\frac {1}{4}}}}=4^{3}$.

Les trois racines de l'équation à résoudre sont donc :

$x_{k}={\frac {\alpha -4\beta \mathrm {j} ^{k}}{1-4\mathrm {j} ^{k}}}={\frac {-5-\mathrm {j} ^{k}}{1-4\mathrm {j} ^{k}}},\quad k\in \{0,1,2\}$,

soit $x_{0}=2,\quad x_{1}=\mathrm {j} ^{2},\quad x_{2}=\mathrm {j}$.

 

Exercice 1-3

Résoudre l'équation :

$x^{3}-6x^{2}+5x-1=0$.

Solution

Selon nos notations, nous avons :

$a=1,\qquad b=-6,\qquad c=5,\qquad d=-1$.

La résolvante de Sotta est :

${\begin{aligned}R(X)&=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)\\&=((-6)^{2}-3\times 1\times 5)X^{2}+((-6)\times 5-9\times 1\times (-1))X+(5^{2}-3\times (-6)\times (-1))\\&=21X^{2}-21X+7\\&=7(3X^{2}-3X+1)\\&=(X+5)(4X-1).\end{aligned}}$

Les deux racines de R sont

$\alpha ={\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{6}},\quad \beta ={\frac {3-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{6}}$.

${\frac {b+3\alpha a}{b+3\beta a}}={\frac {-6+{\frac {3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}{-6+{\frac {3-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}}}={\frac {9-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{9+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}$.

Les trois racines de l'équation que l’on s'était donné de résoudre sont donc :

$x_{k}={\frac {\alpha -\beta \mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{\frac {9-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{9+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}}{1-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{\frac {9-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{9+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}}}={\frac {(3+\mathrm {i} {\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{9+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-(3-\mathrm {i} {\sqrt {3}})\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{9-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}{6\left({\sqrt[{3}]{9+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{9-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}\right)}},\quad k\in \{0,1,2\}$.

Calculons une valeur approchée des trois racines trouvées. Nous obtenons :

$x_{0}\approx 5{,}049,\quad x_{2}\approx 0{,}643,\quad x_{3}\approx 0{,}308$.

 

Exercice 1-4

Résoudre par la méthode de Sotta les deux équations suivantes :

α) ${\frac {4x^{2}}{3}}={\frac {{\sqrt {3}}-6x}{2x-{\sqrt {27}}}}$ ;

β) $x^{3}-5x^{2}+x-1=4x{\sqrt {2}}$.

Solution

α) L'équation :

${\frac {4x^{2}}{3}}={\frac {{\sqrt {3}}-6x}{2x-{\sqrt {27}}}}$

se met sous la forme :

$8x^{3}-12x^{2}{\sqrt {3}}+18x-3{\sqrt {3}}=0$.

On a :

$a=8,\qquad b=-12{\sqrt {3}},\qquad c=18,\qquad d=-3{\sqrt {3}}$.

La résolvante de Sotta est :

${\begin{aligned}R(X)&=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)\\&=((-12{\sqrt {3}})^{2}-3\times 8\times 18)X^{2}+(-12{\sqrt {3}}\times 18-9\times 8\times (-3{\sqrt {3}}))X+(18^{2}-3(-12{\sqrt {3}})(-3{\sqrt {3}}))\\&=0X^{2}+0X+0.\end{aligned}}$

Nous en déduisons que l'équation à résoudre admet une racine triple.

Comme la somme des racines est égale à :

$-{\frac {b}{a}}=-{\frac {-12{\sqrt {3}}}{8}}={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$,

la racine triple est le tiers de cette valeur et l'on a donc :

$x_{0}=x_{1}=x_{2}={\frac {\sqrt {3}}{2}}$.

β) L'équation :

$x^{3}-5x^{2}+x-1=4x{\sqrt {2}}$

se met sous la forme :

$x^{3}-5x^{2}+(1-4{\sqrt {2}})x-1=0$.

On a :

$a=1,\qquad b=-5,\qquad c=1-4{\sqrt {2}},\qquad d=-1$.

La résolvante de Sotta est :

${\begin{aligned}R(X)&=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)\\&=((-5)^{2}-3\times 1\times (1-4{\sqrt {2}}))X^{2}+(-5\times (1-4{\sqrt {2}})-9\times 1\times (-1))X+((1-4{\sqrt {2}})^{2}-3(-5)(-1))\\&=(22+12{\sqrt {2}})X^{2}+(4+20{\sqrt {2}})X+(18-8{\sqrt {2}})\\&=2\left[(11+6{\sqrt {2}})X^{2}+(2+10{\sqrt {2}})X+(9-4{\sqrt {2}})\right].\end{aligned}}$

Le discriminant étant nul, la résolvante admet une racine double :

$-{\frac {2+10{\sqrt {2}}}{2(11+6{\sqrt {2}})}}=1-{\sqrt {2}}$

et par conséquent, l'équation à résoudre admet la même racine double.

Comme la somme des racines est égale à :

$-{\frac {b}{a}}=-{\frac {-5}{1}}=5$,

la troisième racine est donc :

$5-2(1-{\sqrt {2}})=3+2{\sqrt {2}}$.

En définitive, les trois racines de l'équation à résoudre sont :

$x_{0}=x_{1}=1-{\sqrt {2}},\quad x_{2}=3+2{\sqrt {2}}$.

 

Exercice 1-5

Sachant que (d'après Équation du troisième degré/Nombres algébriques de degré 3#Exemples de nombres algébriques de degré 3)

$\cos {\frac {5\pi }{7}}$

est racine de l'équation :

$8x^{3}-4x^{2}-4x+1=0$,

établir l’expression :

$\cos {\frac {5\pi }{7}}={\frac {(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{1-3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{1+3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}{4\left({\sqrt[{3}]{1-3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-{\sqrt[{3}]{1+3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}\right)}}$.

Solution

Selon nos notations, nous avons :

$a=8,\quad b=c=-4,\quad d=1$.

La résolvante de Sotta est :

${\begin{aligned}R(X)&=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)\\&=((-4)^{2}-3\times 8\times (-4))X^{2}+((-4)\times (-4)-9\times 8\times 1)X+((-4)^{2}-3\times (-4)\times 1)\\&=4(28X^{2}-14X+7)\\&=28(4X^{2}-2X+1).\end{aligned}}$

Les deux racines de R sont :

$\alpha ={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}},\quad \beta ={\frac {1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}$.

${\frac {b+3\alpha a}{b+3\beta a}}={\frac {-4+6(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}})}{-4+6(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}})}}={\frac {1+3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{1-3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}$.

Les trois racines de l'équation que l’on s'était donné de résoudre sont donc :

$x_{k}={\frac {\alpha {\sqrt[{3}]{1-3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}\beta {\sqrt[{3}]{1+3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}{{\sqrt[{3}]{1-3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{1+3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}}={\frac {(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{1-3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{1+3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}{4\left({\sqrt[{3}]{1-3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{1+3\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}\right)}},\quad k\in \{-1,0,1\}$.

$x_{k}={\frac {\sin {\frac {\theta +(k-1)\pi }{3}}}{2\sin {\frac {\theta +k\pi }{3}}}}$ avec $\theta =\arctan(3{\sqrt {3}})\in \left]0,\pi /2\right[$

donc

$x_{1},x_{-1}>0$ et $x_{0}<0$. Par conséquent, c'est $x_{0}$ qui vaut cos(5π/7). On a donc bien la formule annoncée.

 

De même, sachant que $\cos {\frac {\pi }{9}}$ est racine de

$8x^{3}-6x-1=0$,

démontrer que

$\cos {\frac {\pi }{9}}={\frac {(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}{-4\left({\sqrt[{3}]{1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-{\sqrt[{3}]{1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}\right)}}$.

Solution

Selon nos notations, nous avons :

$a=8,\quad b=0,\quad c=-6,\quad d=-1$.

La résolvante de Sotta est :

${\begin{aligned}R(X)&=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)\\&=(-3\times 8\times (-6))X^{2}+(-9\times 8\times (-1))X+(-6)^{2}\\&=36(4X^{2}+2X+1).\end{aligned}}$

Les deux racines de R sont :

$\alpha ={\frac {-1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}},\quad \beta ={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{4}}$.

${\frac {b+3\alpha a}{b+3\beta a}}={\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}$.

Les trois racines de l'équation que l’on s'était donné de résoudre sont donc :

$x_{k}={\frac {\alpha {\sqrt[{3}]{1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}\beta {\sqrt[{3}]{1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}{{\sqrt[{3}]{1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}}={\frac {(1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}(1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}}{-4\left({\sqrt[{3}]{1-\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}-\mathrm {j} ^{k}{\sqrt[{3}]{1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}\right)}},\quad k\in \{-1,0,1\}$.

$x_{k}={\frac {\sin {\frac {(2-3k)\pi }{9}}}{2\sin {\frac {(1+3k)\pi }{9}}}}$

donc

$x_{1},x_{-1}<0$ et $x_{0}>0$. Par conséquent, c'est $x_{0}$ qui vaut cos(π/9). On a donc bien la formule annoncée.

On aurait d'ailleurs pu l'obtenir directement en remarquant d'emblée que

$\cos {\frac {\pi }{9}}={\frac {\sin {\frac {2\pi }{9}}}{2\sin {\frac {\pi }{9}}}}={\frac {\sin \left({\frac {\pi }{3}}-{\frac {\pi }{9}}\right)}{2\sin {\frac {\pi }{9}}}}$.

 

Exercice 1-6

Résoudre l'équation :

$x^{3}-3kx^{2}+(3k^{2}-m^{2})x+km^{2}-k^{3}=0$,

$k$ et $m$ étant deux paramètres.

Solution

Nous avons une équation de la forme :

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

avec :

$a=1,\qquad b=-3k,\qquad c=3k^{2}-m^{2},\qquad d=km^{2}-k^{3}$.

La résolvante de Sotta est :

${\begin{aligned}R(X)&=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)\\&=3m^{2}X^{2}-6km^{2}X+3k^{2}m^{2}+m^{4}.\end{aligned}}$

Les racines de R sont :

$\alpha ={\frac {3k+\mathrm {i} m{\sqrt {3}}}{3}},\quad \beta ={\frac {3k-\mathrm {i} m{\sqrt {3}}}{3}}$.

${\frac {b+3\alpha a}{b+3\beta a}}={\frac {-3k+3k+\mathrm {i} m{\sqrt {3}}}{-3k+3k-\mathrm {i} m{\sqrt {3}}}}=-1$.

Les racines de l'équation à résoudre sont donc :

$x_{k}={\frac {\alpha +\beta \mathrm {j} ^{k}}{1+\mathrm {j} ^{k}}}={\frac {3k+\mathrm {i} m{\sqrt {3}}+\mathrm {j} ^{k}(3k-\mathrm {i} m{\sqrt {3}})}{3(1+\mathrm {j} ^{k})}},\quad k\in \{0,1,2\}$,

soit :

$x_{0}=k,\quad x_{1}=k-m,\quad x_{2}=k+m$.

Remarque

Cet exercice suscite quelques commentaires.

D'abord, il était franchement ridicule d'appliquer la méthode de Sotta pour résoudre cette équation, puisqu'il saute aux yeux d'emblée qu'elle se met sous la forme :

$(x-k)^{3}=m^{2}(x-k)$.

Ensuite, nous avons pu trouver une expression simple des racines notamment parce que

${\frac {b+3\alpha a}{b+3\beta a}}$

est le cube d'un rationnel.

Notre exercice montre qu'une condition suffisante (mais non nécessaire) pour qu’il en soit ainsi est que l'une des trois racines de l'équation à résoudre soit la moyenne arithmétique des deux autres. Cette dernière condition est clairement invariante par translation de la variable, donc il est vain d'espérer l'obtenir par un tel changement de variable. D'ailleurs (voir exercice 2-6 de Équation du troisième degré) cette condition est équivalente à l'annulation de la quantité

$2b^{3}+27a^{2}d-9abc$,

qui est elle-même invariante par translation de la variable.

 

Exercice 1-7

Montrer que les trois nombres

${\frac {\tan {\frac {\pi }{9}}}{\sqrt {3}}},\qquad {\frac {\tan {\frac {4\pi }{9}}}{\sqrt {3}}},\qquad {\frac {\tan {\frac {7\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}$

sont les racines de

$X^{3}-3X^{2}-X+{\frac {1}{3}}$,

et en déduire qu'ils sont irrationnels.

Solution

Utilisons la méthode de Sotta pour résoudre l'équation :

$x^{3}-3x^{2}-x+{\frac {1}{3}}=0$.

On a :

$a=1,\quad b=-3,\quad c=-1,\quad d={\frac {1}{3}}$.

La résolvante de Sotta est donc :

$R(X)=(b^{2}-3ac)X^{2}+(bc-9ad)X+(c^{2}-3bd)=12X^{2}+4$,

qui a pour racines :

$\alpha ={\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {3}}},\quad \beta =-{\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {3}}}$.

On calcule ensuite :

${\frac {b+3a\alpha }{b+3a\beta }}={\frac {-1+\alpha }{-1+\beta }}={\frac {-{\sqrt {3}}+\mathrm {i} }{-{\sqrt {3}}-\mathrm {i} }}={\frac {1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}}={\frac {2\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \pi /3}}{2\mathrm {e} ^{2\mathrm {i} \pi /3}}}=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi /3}$.

Les racines de l'équation à résoudre sont donc, pour $k\in \{-1,0,1\}$ :

$x_{k}={\frac {\alpha -\beta \mathrm {j} ^{k}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi /9}}{1-\mathrm {j} ^{k}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \pi /9}}}={\frac {\mathrm {i} }{\sqrt {3}}}{\frac {1+\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (2k\pi /3-\pi /9)}}{1-\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (2k\pi /3-\pi /9)}}}=-{\frac {\cot(k\pi /3-\pi /18)}{\sqrt {3}}}={\frac {\tan(k\pi /3-5\pi /9)}{\sqrt {3}}}={\frac {\tan(k\pi /3+4\pi /9)}{\sqrt {3}}}$

c'est-à-dire :

$x_{-1}={\frac {\tan {\frac {\pi }{9}}}{\sqrt {3}}},\qquad x_{0}={\frac {\tan {\frac {4\pi }{9}}}{\sqrt {3}}},\qquad x_{1}={\frac {\tan {\frac {7\pi }{9}}}{\sqrt {3}}}$.

Par ailleurs, le polynôme

$3X^{3}-9X^{2}-3X+1$

n'a pas de racine rationnelle, car $\pm 1$, $\pm 1/3$ ne sont pas racines.

Pour une solution bien plus simple, voir l'exercice 8-4 de la leçon sur l'équation du troisième degré.