Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes

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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes
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Éclairage d'un bassin modifier

     Un bassin de profondeur «» est totalement rempli d'eau, d'indice «», l'indice de l'air étant «».

     Au fond du bassin est placée une source ponctuelle émettant de la lumière dans toutes les directions.

     Quel est le rayon du disque lumineux qui se forme à la surface de l'eau ?

Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèles ; stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé modifier

Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèles modifier

Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces

     On considère une lame à faces d'épaisseur et d'indice plongée dans l'air d'indice et un rayon incident d'angle d'incidence voir schéma ci-contre ;

     montrer que le rayon émerge parallèlement au rayon incident et

     déterminer son déplacement latéral en fonction des données.

     A.N.[5] : Calculer numériquement pour , et .

Absence de stigmatisme rigoureux de la lame modifier

Stigmatisme approché d'une lame à faces et distance séparant un point objet de son point image par la lame

     Un système est « stigmatique » pour un point objet s'il fournit, de ce dernier, une image ponctuelle  ;
     Un système est « stigmatique » pour un point objet si ceci est vrai quelle que soit l'ouverture du faisceau issu du point objet , le stigmatisme est dit « rigoureux »,
     Un système est « stigmatique » pour un point objet si ce n'est vrai que pour un pinceau de faible ouverture usuellement les conditions dites de Gauss[13],[14], le stigmatisme est dit « approché »[15].

     On considère un point objet que l'on pourra supposer réel c'est-à-dire situé dans l'espace d'entrée voir schéma ci-contre à partir duquel diverge un faisceau incident de révolution autour de l'axe optique principal et d'ouverture quelconque ; le problème étant symétrique de révolution autour de , si la lame est stigmatique rigoureusement pour [15], son point image doit être sur l'axe  ;

     montrer qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux[15] en déterminant la distance séparant de l'intersection de l'axe et du rayon émergent correspondant au rayon incident issu de et d'angle d'incidence .

Stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé modifier

     On considère maintenant un pinceau incident issu de ayant pour direction l'axe optique principal  ; les rayons incidents de ce pinceau étant quasi-normaux c'est-à-dire que les angles d'incidence sont petits, montrer qu'il y a stigmatisme approché de la lame à faces [15] en réévaluant la distance tenant compte de [18],[19] et en constatant qu'elle ne dépend plus de il existe alors un point image unique associé au point objet et la distance entre ces deux points s'écrit simplement .

     A.N.[5] : Calculer numériquement pour et .

     Nature de l'image : Vérifier que l'image d'un objet réel est alors virtuelle ;

     Nature de l'image : discuter de la nature de l'image d'un objet virtuel ?

     Nature de l'image : Où doit être situé l'objet virtuel pour que l'image soit réelle ?

Utilisation d'une fibre optique modifier

Rayon de courbure minimal d'une fibre optique pour transmission d'un faisceau parallèle, normal à la face d'entrée et la recouvrant entièrement modifier

Schéma, hors échelle, d'une fibre optique courbée de rayon de courbure , soumise à un faisceau normal à la face d'entrée

     Une fibre optique est constituée d'une âme en verre d'indice , de diamètre
     Une fibre optique est entourée d'une gaine en verre d'indice .

     On courbe la fibre optique comme indiqué sur la figure ci-contre.

     Déterminer littéralement, puis
     Déterminer numériquement, le rayon de courbure minimal
     Déterminer numériquement, le rayon de courbure minimal pour que le faisceau , normal à la face d'entrée de l'âme et la recouvrant entièrement,
     Déterminer numériquement, le rayon de courbure minimal pour que le faisceau , soit transmis intégralement par la fibre.

Angle d'incidence d'un rayon arrivant sur la face d'entrée d'une fibre optique non courbée pour qu'il soit transmis modifier

Schéma d'une fibre optique non courbée constituée d'une âme d'indice entourée d'une gaine d'indice , recherche de la condition pour qu'un rayon incident incliné par rapport à l'axe de la fibre soit transmis

     Une fibre optique est constituée d'une âme en verre d'indice , entourée d'une gaine en verre d'indice .

     Cette fibre n'est pas courbée et on considère un rayon incident d'angle d'incidence supposé positif comme indiqué sur la figure ci-contre le rayon représenté a un point d'incidence sur l'axe de la fibre mais ce point pourrait n'importe où sur la face d'entrée de cette dernière à condition que le plan d'incidence plan contenant le rayon et à la face d'entrée contienne l'axe de la fibre.

     Déterminer littéralement, puis
     Déterminer numériquement, l'angle d'incidence maximal
     Déterminer numériquement, l'angle d'incidence maximal pour lequel le rayon émerge par la face de sortie de la fibre non courbée.

Réfraction dans un prisme, formules du prisme modifier

Section droite d'un prisme et cheminement d'un rayon incident avec précision de l'algébrisation des angles

     Un prisme, d'indice et d’angle non algébrisé , est plongé dans l'air ; les rayons lumineux incidents sont contenus dans le plan de section principale du prisme[30] et leurs composantes monochromatiques sont considérées séparément.

     On définit après orientation particulière de ce plan et angles « d'entrée », respectivement d'incidence et de réfraction sur la face d'entrée, algébrisés selon le sens «» défini à gauche du schéma, et angles « de sortie », respectivement d'incidence et de réfraction sur la face de sortie, algébrisés selon le sens «» défini à droite du schéma[31], la déviation comme étant l'angle orienté selon le sens «» des angles « de sortie » que fait le rayon émergent avec le rayon incident ; dans ce qui suit sauf dans la question traitant de la dispersion le rayon incident étant considéré « monochromatique », l'indice est supposé constant.

Les quatre formules du prisme modifier

     Établir les quatre formules du prisme liant les cinq angles définissant les réfractions dans le prisme.

Conditions pour que le rayon émergent de la face d'entrée rencontre la face de sortie modifier

     Vérifier qu'un rayon incident subit toujours une réfraction sur la face d'entrée quel que soit l'angle d'incidence et

     déterminer la condition sur cet angle d'incidence pour que le rayon émergent de la face d'entrée rencontre la face de sortie on notera l'angle limite.

Conditions d'émergence d'un rayon incident modifier

     Étudier les conditions d’émergence du rayon incident, en particulier on montrera que :

  • si «»,        il n'y a jamais émergence,
  • si «», il y a émergence pour compris entre une valeur et ,
  • si «»,          il y a émergence pour compris entre une valeur et .

Variation de la déviation en fonction de l'angle d'incidence sur la face d'entrée pour un prisme dans lequel le rayon incident monochromatique conduit à une émergence par la face de sortie modifier

     On suppose quelconque mais dans les conditions où il y a émergence et on fait varier .

     Montrer que la déviation passe par un minimum noté quand ou valeur commune notée .

     Montrer que et que .

     En déduire que la mesure de et de pour une couleur déterminée permet de connaître l’indice pour cette couleur ; on montrera que .

Cas où d'un prisme de petit angle sous incidence quasi-normale modifier

     Donner une expression simplifiée de en fonction de et lorsque l'angle du prisme ainsi que l'angle d'incidence sur la face d'entrée sont petits.

     Commenter quant à la variation de en fonction de la couleur incidente[54].

Étude de la dispersion dans le prisme modifier

     Le rayon incident étant maintenant considéré dans son ensemble c'est-à-dire constitué de toutes ses composantes monochromatiques et
     « l'angle d'incidence sur la face d'entrée du prisme restant maintenant constant »,
     on envisage d'étudier la variation de la déviation en fonction de la longueur d'onde dans le vide c'est-à-dire de la couleur de la composante monochromatique sachant que
     on envisage d'étudier la variation de la déviation en fonction de la longueur d'onde dans le vide l'indice du prisme est une fonction de la longueur d'onde dans le vide selon la formule de Cauchy[57] «» où et sont des constantes dépendant du milieu considéré, la 1ère sans dimension et la 2nde ayant la dimension du carré d'une longueur ;

     établir la relation et

     en déduire le sens de variation de avec la longueur d'onde dans le vide , en particulier on comparera la déviation de la composante violette à celle de la composante rouge .

Arcs-en-ciel modifier

Cheminement d'un rayon incident subissant une réflexion interne dans une goutte d'eau

     Un pinceau de rayons dans l’air éclaire une sphère d’eau d’indice  ; les rayons pénètrent dans la sphère sous l'incidence et en ressortent après avoir subi réflexions intérieures ; l'angle algébrisé que fait un rayon émergent de la sphère par rapport au rayon incident correspondant est appelé déviation et est noté .

Étude de la variation de la déviation d'une composante monochromatique du rayon incident après p réflexions internes dans une goutte d'eau en fonction de son angle d'incidence modifier

     On considère une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide du pinceau lumineux pour laquelle l'indice de l'eau est notée .

Expression de la déviation de la composante monochromatique des rayons lumineux après p réflexions internes dans une goutte d'eau modifier

     Montrer que la déviation de la composante monochromatique des rayons lumineux peut s’exprimer en fonction de , et angle de réfraction correspondant à l’angle d’incidence selon

«»[63],[64].

Expression de l'angle d'incidence pour lequel la déviation est extrémale et évaluation de celle-ci modifier

     Exprimer en fonction de et , étant l’angle d'incidence pour lequel la déviation est extrémale, la valeur correspondante de cette dernière étant notée  ;

     calculer numériquement et pour et , la valeur de l'indice de l'eau pour cette longueur d'onde dans le vide étant .

Justification de pics de diffusion pour les pinceaux parallèles d'angle d'incidence correspondant à une déviation extrémale modifier

     Les composantes monochromatiques des rayons d'un pinceau incident ont un angle d’incidence dépendant de leur point d'impact sur la sphère étant le point d'incidence du rayon considéré dans le pinceau ;
     les rayons ayant un angle d’incidence de valeur restant au voisinage d’une valeur fixée sont déviés d’un angle différant de selon

«»[71].

     Justifier, à l’aide de ce qui précède, que ce sont les composantes monochromatiques des rayons ayant un angle d’incidence de valeur restant au voisinage de , qui fourniront des rayons émergeant parallèlement entre eux variation de nulle à l’ordre un en alors que
     Justifier, à l’aide de ce qui précède, que ce sont les composantes monochromatiques des rayons ayant un angle d’incidence de valeur restant au voisinage de , fourniront des rayons émergeant non parallèlement entre eux variation de non nulle à l’ordre un en [72].

Justification des arcs-en-ciel primaire et secondaire par dispersion de la lumière blanche émise par le Soleil à travers les gouttelettes d'eau de l'atmosphère modifier

     Le pinceau lumineux incident résulte de la lumière blanche émise par le Soleil ; comme l'eau est dispersive, son indice varie avec la longueur d’onde dans le vide , et par suite et aussi.

     On admettra que varie de à entre les extrémités violette et rouge du spectre visible.

Variation de la déviation extrémale en fonction de la couleur modifier

     Exprimer, en fonction de et , la dérivée caractérisant la variation de la déviation extrémale en fonction de la couleur[78].

Conditions d'observation d'arcs-en-ciel pour un observateur situé au sol, description des arcs-en-ciel primaire et secondaire modifier

     En pratique, on n'observe que les accumulations de lumière correspondant à et à ces dernières étant toutefois moins visibles[86] ;

     En pratique, un observateur au niveau du sol doit tourner le dos au Soleil pour voir un arc-en-ciel ; ce dernier sera observable du sol si les rayons émergents se dirigent vers la Terre c'est-à-dire
     En pratique, un observateur au niveau du sol doit tourner le dos au Soleil pour voir un arc-en-ciel ; ce dernier sera observable du sol pour un signe déterminé de ,

     En pratique, on admettra que pour voir l'arc-en-ciel primaire au niveau du sol, doit être [87] et que
     En pratique, on admettra que pour voir l'arc-en-ciel secondaire, toujours au niveau du sol, doit être [88].

     Justifier, dans les conditions expérimentales optimales, l'observation des deux arcs-en-ciel ;

     décrire la disposition des couleurs qui se succèdent dans un arc-en-ciel primaire[89] et
     décrire la disposition des couleurs qui se succèdent dans un arc-en-ciel secondaire[89].

Largeur angulaire du spectre de l'arc-en-ciel primaire et de celui de l'arc-en-ciel secondaire modifier

     Calculer et les largeurs angulaires des spectres des arcs-en-ciel respectivement primaire et secondaire définies selon

«»[98].

Notes et références modifier

  1. 1,0 et 1,1 Fond non représenté sur le schéma.
  2. 2,0 2,1 et 2,2 Voir le paragraphe « angle limite d'un dioptre » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  3. 3,0 et 3,1 Voir le paragraphe « 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction (n1 > n2 exemple dioptre verre - air) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  4. Le problème étant à symétrie de révolution autour de la verticale , le rayon incident est repéré par deux angles,
    • le 1er non précisé définissant le demi-plan méridien correspondant au plan d'incidence partie de la figure située à droite de la verticale , la partie située à gauche représentant le demi-plan méridien et
    • le 2nd correspondant à l'inclinaison du rayon incident par rapport la verticale c'est-à-dire à l'angle d'incidence .
  5. 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 et 5,6 Application Numérique.
  6. Voir le paragraphe « 1ère loi de Snell - Descartes de la réfraction » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  7. 7,0 7,1 7,2 7,3 7,4 et 7,5 Voir le paragraphe « 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  8. En effet les deux faces étant , les deux angles sont égaux en tant qu'angles alternes internes.
  9. Le rayon émergent est dans le plan d'incidence d'après la 1ère loi de Snell - Descartes de la réfraction voir la note « 1 » plus haut dans cet exercice et tel que d'après la 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction voir la note « 2 » plus haut dans cet exercice ou, avec , d'où .
  10. 10,0 10,1 et 10,2 Voir le paragraphe « 3ème loi : loi du retour inverse de la lumière » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  11. 11,0 11,1 11,2 et 11,3 Willebrord Snell Van Royen ou Snellius (1580 - 1626) humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes sans que ce soit assuré.
       René Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.
  12. En effet est d'une part et d'autre part soit .
  13. Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps il fut surnommé « le prince des mathématiciens », on lui doit d'importantes contributions dans les trois domaines « mathématiques, astronomie et physique » ;
       en , Gauss, à l'âge de dix-neuf ans, caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un heptadécagone polygone régulier de côtés soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en la 1ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler en un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple ou ou encore de même que Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie ;
       dans le domaine de l'astronomie Gauss publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la méthode des moindres carrés ; auparavant, en , il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver Cérès une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter ;
       dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur ;
       certaines de ses importantes contributions n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIXème siècle, Gauss n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes.
  14. Voir le paragraphe « énoncé des conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique “ centré ” » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  15. 15,0 15,1 15,2 15,3 15,4 15,5 15,6 et 15,7 Voir le paragraphe « stigmatisme d'un système optique pour un point objet » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  16. Voir schéma de la solution de la question « déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèles » plus haut dans cet exercice.
  17. Plus exactement .
  18. L'écriture signifie que est considéré comme un infiniment petit d'ordre un est un infiniment petit d'ordre voir le paragraphe « infiniment petits d'ordres successifs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », nous cherchons un développement de limité à l'ordre un D.L. à l'ordre un de tout ordre doit être éliminé dans une somme.
  19. dépendant d'un produit de facteurs et , le D.L. à l'ordre un de ce produit va être obtenu
    • tout d'abord en prenant le D.L. à l'ordre un de chaque facteur «»
    • puis en effectuant le développement du produit, avec élimination de l'ordre deux, d'où «» ;
       si, dans le produit de facteurs, l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un, pour obtenir le D.L. à l'ordre un de ce produit, il suffit de prendre le D.L. des autres facteurs à l'ordre zéro en effet si étant nul est donc un infiniment petit d'ordre un, prendre un D.L. à l'ordre un de nous conduit à et l'on voit apparaître un ordre deux que l'on doit éliminer car on cherche un D.L. à l'ordre un de , or ce terme d'ordre deux dans provient du terme d'ordre un dans  ;
       si, dans le produit de facteurs, l'un des facteurs est un infiniment petit d'ordre un, en conclusion il suffit de prendre un D.L. à l'ordre zéro de soit et l'on aura un D.L. à l'ordre un de soit voir le paragraphe « déterminer le D.L. à l'ordre n d'un produit de deux fonctions dont le D.L. d'une des fonctions a pour terme prépondérant un infiniment petit d'ordre p » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  20. 20,0 et 20,1 Développement limité.
  21. En effet, dans la mesure où on limite le développement à l'ordre un, tout terme d'ordre strictement à un doit être éliminé, c'est donc le cas de qui est un ordre deux.
  22. En effet étant une fonction paire, son D.L. à n'importe quel ordre ne doit contenir que des termes respectant cette parité le D.L. ne contient que des termes d'ordre pair l'ordre un de est nécessairement nul.
  23. 23,0 et 23,1 Voir le paragraphe « cône limite d'incidence pour qu'il y ait réfraction dans le cas d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  24. On a choisi le sens de mesure des angles de façon à ce qu'ils soient tous , sinon la condition aurait été «».
  25. 25,0 et 25,1 Voir le paragraphe « 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction (n1 < n2 exemple dioptre air - verre) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  26. Les angles et sont orientés selon la convention précisée sur la figure ci-dessus.
  27. L'angle «» est orienté selon la convention précisée sur la figure ci-dessus.
  28. L'angle de réflexion est orienté selon la convention précisée sur la figure ci-dessus, alors que l'angle d'incidence l'est selon la convention opposée , ceci permettant d'écrire l'égalité des deux angles au lieu d'écrire qu'ils sont opposés selon la 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion voir la note « 65 » plus bas dans cette série d'exercices.
  29. Les angles d'incidence et de réfraction sur la face de sortie, respectivement et , sont orientés selon la convention précisée sur la figure ci-dessus.
  30. On déduit, d'après la 1ère loi de Snell - Descartes de la réfraction, que le rayon émergent par la face d'entrée est aussi dans le plan de section principale du prisme et comme c'est encore le rayon incident arrivant sur la face de sortie, le rayon émergent par cette dernière est également dans le plan de section principale du prisme d'où le schéma ci-contre où tous les rayons sont dans le plan de section droite.
  31. On remarque que les deux algébrisations sont de sens opposés, ceci étant imposés pour que les formules du prisme soient les plus simples possibles.
  32. Le schéma est fait avec et dans ce cas usuellement tous les autres angles sont positifs avec le choix des sens «» précités sans toutefois que ce soit systématique.
  33. En effet les côtés de cet angle extérieur étant les normales aux faces et les faces faisant un angle entre elles, l'angle extérieur vaut également selon la propriété " deux angles à côtés respectivement sont égaux ".
  34. En effet sachant que la somme des trois angles intérieurs à un triangle est égale à soit ou en transposant l'un des angles intérieurs dans le membre de droite , étant l'angle extérieur associé à l'angle intérieur .
  35. 35,0 et 35,1 La somme de deux des angles intérieurs à un triangle est égale au 3ème angle extérieur à ce triangle.
  36. 36,0 36,1 36,2 et 36,3 Comme les espaces d'entrée et de sortie sont les mêmes, c'est-à-dire l'air, l'angle limite du dioptre d'entrée est égal à celui du dioptre de sortie d'où une notation simplifiée .
  37. Plus exactement le rayon intermédiaire fait avec la trace de la face d'entrée sur la section principale.
  38. En effet il suffira que existe quand la réfraction sur la face de sortie est possible, le fait que existe dans le cas où il doit y avoir ensuite réflexion totale sur la face de sortie ne nous intéresse pas.
  39. Ce qui signifie que pour certains angles d'incidence dans le cas où , le rayon intermédiaire ne rencontrera pas la face de sortie
  40. Ce qui est beaucoup moins strict que la condition de réfraction sur la face de sortie que l'on détermine par la suite à savoir avec voir la solution de la question « conditions d'émergence d'un rayon incident » plus loin dans cet exercice ce qui donne numériquement ou  ;
       ainsi pour les valeurs de tel que , n'existe pas et il n'y aura évidemment pas émergence par la face de sortie puisque celle-ci ne sera pas atteinte,
       alors que pour tel que , existe mais le rayon intermédiaire subira une réflexion totale sur la face de sortie comme nous le verrons par la suite voir la solution de la question « conditions d'émergence d'un rayon incident » plus loin dans cet exercice, ce qui ne nous intéresse pas.
  41. En effet si n'existe pas il ne peut y avoir émergence par la face de sortie.
  42. 42,0 et 42,1 Quand , correspondant à une incidence rasante et quand , correspondant à une émergence rasante , obtenu pour un angle d'incidence .
  43. Pour , est et pour , est .
  44. Quand , le rayon émerge en réfraction rasante , correspondant à et à , la définition de suivant alors la 1ère formule du prisme.
  45. , l'émergence rasante correspondant à et non à .
  46. car varie entre et .
  47. On constate que l'annulation de pour et fait jouer un rôle symétrique aux grandeurs d'entrée et de sortie ; retenant la symétrisation entre entrée et sortie du prisme lors de cette annulation, il est alors aisé de déterminer la valeur commune de par se réécrivant  ;
       si on applique la loi du retour inverse de la lumière, cette valeur commune correspond encore à l'annulation de de la fonction déviation exprimée en fonction de , l'expression de s'obtenant en permutant et , et , soit .
  48. Un extremum est soit un maximum c'est-à-dire correspondant à pour en étant puis pour en étant , soit un minimum c'est-à-dire correspondant à pour en étant puis pour en étant , soit une valeur stationnaire de définie par l'annulation de avec une monotonie inchangée de part et d'autre c'est-à-dire correspondant à pour en étant puis, après l'annulation de sa dérivée, pour en étant , ce dernier cas étant bien souvent omis en physique car nettement plus rare.
  49. En effet d'une part et d'autre part on regroupe les angles de sortie dans un membre et les angles d'entrée dans l'autre.
  50. On utilise car d'une part puis on y reporte d'autre part ; on fait de même pour au profit de .
  51. Ainsi que .
  52. Pour cela il faut déterminer le signe de de part et d'autre de  ; en utilisant la continuité de , si on détermine le signe de pour une valeur du domaine , ce sera le signe pour toutes les valeurs du domaine, de même pour le domaine  ; on détermine alors d'où pour tout et étant au dénominateur précédé d'un signe «» d'où pour tout .
  53. Relation fondamentale utilisée en goniométrie du prisme.
  54. On rappelle que l'indice est une fonction de la longueur d'onde dans le vide .
  55. Dans le cas des petits angles les formules et deviennent les relations de Kepler ; en effet, historiquement Kepler a trouvé ces formules mais sans supposer que les angles étaient petits, c'était donc faux mais le nom est resté ;
       Johannes Kepler (1571 - 1630) ou Johannes Keppler astronome allemand, surtout connu pour avoir étudié l'hypothèse héliocentrique de Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais et avoir découvert que les planètes suivent une trajectoire elliptique autour du Soleil c'est lors de l'étude de l'orbite de Mars qu'il voit la nécessité de se pencher sur l'optique à cause de la réfraction atmosphérique.
  56. Ce résultat est généralisé dans le cas d'un prisme d'angle quelconque et d'incidence quelconque dans la question suivante.
  57. Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857), mathématicien français à qui on doit, entre autres, dans le domaine de l'analyse, des critères de convergence des suites et une règle de convergence des séries entières et dans celui de l'optique, des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.
  58. Pour rappel « pare-brise » est invariable.
  59. Le défaut engendré par la nature dispersive non souhaitée du milieu est appelé « aberrations chromatiques ».
  60. L'éventuelle émergence rasante correspondant à en restant .
  61. .
  62. Le violet est toujours le plus dévié et le rouge le moins dévié.
  63. On rappelle que est orienté et défini à près.
  64. Pour établir cette relation on pourra rechercher de quel angle algébrique le rayon tourne lors d'une réfraction ou d'une réflexion
  65. Voir le paragraphe « 2ème loi de Snell - Descartes de la réflexion » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
  66. Comme on passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent, .
  67. On rappelle que .
  68. Ces solutions existent car d'une part est en effet, est alors que et
       Ces solutions existent car d'autre part est en effet, étant .
  69. 69,0 69,1 69,2 et 69,3 Exprimant en on remplace par .
  70. 70,0 et 70,1 Pour la 1ère valeur on rappelle que est plus grand que d'où la positivité de la dérivée.
  71. En effet, si « est l'écart supposé petit relativement à », le caractère « petit » de permet de confondre ce dernier avec la différentielle et par suite,
       la variation correspondante de également petite relativement à «» peut être confondue avec la différentielle de c'est-à-dire « » d'où «» s'identifiant au D.L. à l’ordre un en de au voisinage de voir le paragraphe « développement limité à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  72. 72,0 et 72,1 Cela se traduit physiquement par des « pics de diffusion » c'est-à-dire des accumulations d’énergie lumineuse dans la direction d'un extremum de déviation les rayons émergeant dans cette direction sont donc nettement plus visibles que ceux émergeant dans toute autre direction et à la limite, on ne voit qu'eux.
  73. 73,0 73,1 et 73,2 Au sens courant d'« éparpillement des directions » et non au sens physique du terme phénomène dépendant de la longueur d'onde.
  74. La dispersion au sens courant du terme obtenue avec deux réflexions internes serait aussi prononcée que celle obtenue avec une seule réflexion interne.
  75. Cela signifie que l'écart entre et est au moins d'ordre deux en , voir le paragraphe « énoncé du théorème de Taylor - Young » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »,
       Cela signifie que le 1er terme non nul autre que celui d'ordre zéro du D.L. de la fonction au voisinage de est au moins d'ordre deux soit « à l'ordre deux en ».
       Brook Taylor (1685 - 1731) est un mathématicien anglais à qui on doit essentiellement le théorème connu sous le nom de Taylor établi en et qui possède plusieurs variantes dont celle de Taylor-Young.
       William Henry Young (1863 - 1942) est un mathématicien anglais ayant travaillé dans de nombreux domaines dont les séries de Fourier et le calcul différentiel, il apporta aussi une contribution au théorème de Taylor, ce qui donna le théorème ou formule de Taylor-Young.
  76. La dispersion au sens courant du terme étant nulle à l'ordre un en .
  77. La dispersion au sens courant du terme étant non nulle à l'ordre un en .
  78. En effet l'indice de l'eau étant une fonction monotone plus précisément de la longueur d'onde dans le vide, il y a une relation biunivoque entre les valeurs d'indice et celles de longueur d'onde dans le vide d'où, une couleur peut aussi être caractérisée par une valeur d'indice de l'eau.
  79. On rappelle que .
  80. L'argument de la racine carrée du dénominateur du 1er facteur du 2ème terme de la partie entre accolades se simplifiant à l'aide du remplacement de par selon .
  81. Le terme entre crochets du 2ème terme de la partie entre accolades se simplifiant, après factorisation par selon .
  82. On rappelle que .
  83. En effet d'où, après réduction au même dénominateur de l'argument de la racine carrée, ce dernier se réécrit
  84. La dernière simplification résultant de .
  85. Le signe «» pour et le signe «» pour .
  86. Les accumulations correspondant à étant d’intensité trop faible pour être observables.
  87. Pour , les rayons émergents s'éloignant de la Terre fourniront un arc-en-ciel visible de l'espace.
  88. Pour , l'arc-en-ciel secondaire sera visible de l'espace.
  89. 89,0 et 89,1 On représentera les arcs-en-ciel vus de l'observateur.
  90. 90,0 90,1 90,2 et 90,3 Voir la solution de la question « variation de la déviation extrémale en fonction de la couleur » plus haut dans cet exercice.
  91. Sur les deux schémas, ont été représentés les rayons incidents situés dans le plan vertical de l'observateur contenant le Soleil ce dernier est donc situé dans le dos de l'observateur et par suite les rayons émergents correspondants se trouvent également dans ce plan.
  92. En effet tout rayon émergent situé sur une génératrice du cône fera l'angle avec la direction incidente, l'ajout de résultant du fait que le rayon se dirige vers le sommet du cône.
  93. 93,0 et 93,1 De plus toute la partie du cône de révolution de cette couleur se trouvant au-dessous du plan horizontal passant par l'œil n'existe pas si ce dernier est au niveau du sol car elle ne peut correspondre à aucun nuage, ces derniers ayant la propriété d'être en altitude et non en profondeur !
  94. 94,0 94,1 94,2 94,3 94,4 94,5 94,6 et 94,7 Voir la solution de la question « expression de l'angle d'incidence pour lequel la déviation est extrémale et évaluation de celle-ci » plus haut dans cet exercice.
  95. 95,0 et 95,1 En fait l'expression définissant pour une seule réflexion interne est «» voir la solution de la question « expression de l'angle d'incidence pour lequel la déviation est extrémale et évaluation de celle-ci » plus haut dans cet exercice, elle dépend donc de la couleur mais très faiblement, pour simplifier nous ne tenons pas compte de cette faible variation.
  96. La disposition des couleurs de l'arc-en-ciel secondaire est donc inversée relativement à celle de l'arc-en-ciel primaire.
  97. 97,0 et 97,1 En fait l'expression définissant pour deux réflexions internes est «» voir la solution de la question « expression de l'angle d'incidence pour lequel la déviation est extrémale et évaluation de celle-ci » plus haut dans cet exercice, elle dépend donc de la couleur mais très faiblement, pour simplifier nous ne tenons pas compte de cette faible variation.
  98. La justification de ce calcul provient encore du fait que est petit et peut être confondu avec la différentielle c'est-à-dire « » d'où «» s'identifiant au D.L. à l’ordre un en de au voisinage de voir le paragraphe « développement limité à l'ordre un d'une fonction d'une variable au voisinage d'une de ses valeurs » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  99. Le calcul effectué dans la solution de la question « conditions d'observation d'arcs-en-ciel pour un observateur situé au sol, description des arcs-en-ciel primaire et secondaire » plus haut dans cet exercice donnait «», l'écart entre ce résultat et celui trouvé dans ce paragraphe , de l'ordre de , étant négligeable.
  100. Le calcul effectué dans la solution de la question « conditions d'observation d'arcs-en-ciel pour un observateur situé au sol, description des arcs-en-ciel primaire et secondaire » plus haut dans cet exercice donnait «», l'écart entre ce résultat et celui trouvé dans ce paragraphe , de l'ordre de , étant négligeable.