Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes

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Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes
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Éclairage d'un bassinModifier

     Un bassin de profondeur «» est totalement rempli d'eau, d'indice «», l'indice de l'air étant «».

     Au fond du bassin est placée une source ponctuelle émettant de la lumière dans toutes les directions.

     Quel est le rayon du disque lumineux qui se forme à la surface de l'eau ?

Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèles ; stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associéModifier

Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèlesModifier

Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces

     On considère une lame à faces d'épaisseur et d'indice plongée dans l'air d'indice et un rayon incident d'angle d'incidence voir schéma ci-contre ;

     montrer que le rayon émerge parallèlement au rayon incident et

     déterminer son déplacement latéral en fonction des données.

     A.N. [5] : Calculer numériquement pour , et .

Absence de stigmatisme rigoureux de la lameModifier

Stigmatisme approché d'une lame à faces et distance séparant un point objet de son point image par la lame

     Un système est « stigmatique » pour un point objet s'il fournit, de ce dernier, une image ponctuelle  ;
     Un système est « stigmatique » pour un point objet si ceci est vrai quelle que soit l'ouverture du faisceau issu du point objet , le stigmatisme est dit « rigoureux »,
     Un système est « stigmatique » pour un point objet si ce n'est vrai que pour un pinceau de faible ouverture usuellement les conditions dites de Gauss [13], [14], le stigmatisme est dit « approché » [15].

     On considère un point objet que l'on pourra supposer réel c.-à-d. situé dans l'espace d'entrée voir schéma ci-contre à partir duquel diverge un faisceau incident de révolution autour de l'axe optique principal et d'ouverture quelconque ; le problème étant symétrique de révolution autour de , si la lame est stigmatique rigoureusement pour [15], son point image doit être sur l'axe  ;

     montrer qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux [15] en déterminant la distance séparant de l'intersection de l'axe et du rayon émergent correspondant au rayon incident issu de et d'angle d'incidence .

Stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associéModifier

     On considère maintenant un pinceau incident issu de ayant pour direction l'axe optique principal  ; les rayons incidents de ce pinceau étant quasi-normaux c.-à-d. que les angles d'incidence sont petits, montrer qu'il y a stigmatisme approché de la lame à faces [15] en réévaluant la distance tenant compte de [18], [19] et en constatant qu'elle ne dépend plus de il existe alors un point image unique associé au point objet et la distance entre ces deux points s'écrit simplement .

     A.N. [5] : Calculer numériquement pour et .

     Nature de l'image : Vérifier que l'image d'un objet réel est alors virtuelle ;

     Nature de l'image : discuter de la nature de l'image d'un objet virtuel ?

     Nature de l'image : Où doit être situé l'objet virtuel pour que l'image soit réelle ?

Utilisation d'une fibre optiqueModifier

Rayon de courbure minimal d'une fibre optique pour transmission d'un faisceau parallèle, normal à la face d'entrée et la recouvrant entièrementModifier

Schéma, hors échelle, d'une fibre optique courbée de rayon de courbure , soumise à un faisceau normal à la face d'entrée

     Une fibre optique est constituée d'une âme en verre d'indice , de diamètre
     Une fibre optique est entourée d'une gaine en verre d'indice .

     On courbe la fibre optique comme indiqué sur la figure ci-contre.

     Déterminer littéralement, puis
     Déterminer numériquement, le rayon de courbure minimal
     Déterminer numériquement, le rayon de courbure minimal pour que le faisceau , normal à la face d'entrée de l'âme et la recouvrant entièrement,
     Déterminer numériquement, le rayon de courbure minimal pour que le faisceau , soit transmis intégralement par la fibre.

Angle d'incidence d'un rayon arrivant sur la face d'entrée d'une fibre optique non courbée pour qu'il soit transmisModifier

Schéma d'une fibre optique non courbée constituée d'une âme d'indice entourée d'une gaine d'indice , recherche de la condition pour qu'un rayon incident incliné par rapport à l'axe de la fibre soit transmis

     Une fibre optique est constituée d'une âme en verre d'indice , entourée d'une gaine en verre d'indice .

     Cette fibre n'est pas courbée et on considère un rayon incident d'angle d'incidence supposé positif comme indiqué sur la figure ci-contre le rayon représenté a un point d'incidence sur l'axe de la fibre mais ce point pourrait n'importe où sur la face d'entrée de cette dernière à condition que le plan d'incidence plan contenant le rayon et à la face d'entrée contienne l'axe de la fibre.

     Déterminer littéralement, puis
     Déterminer numériquement, l'angle d'incidence maximal
     Déterminer numériquement, l'angle d'incidence maximal pour lequel le rayon émerge par la face de sortie de la fibre non courbée.

Réfraction dans un prisme, formules du prismeModifier

Section droite d'un prisme et cheminement d'un rayon incident avec précision de l'algébrisation des angles

     Un prisme, d'indice et d’angle non algébrisé , est plongé dans l'air ; les rayons lumineux incidents sont contenus dans le plan de section principale du prisme [30] et leurs composantes monochromatiques sont considérées séparément.

     On définit après orientation particulière de ce plan et angles « d'entrée », respectivement d'incidence et de réfraction sur la face d'entrée, algébrisés selon le sens «» défini à gauche du schéma, et angles « de sortie », respectivement d'incidence et de réfraction sur la face de sortie, algébrisés selon le sens «» défini à droite du schéma [31], la déviation comme étant l'angle orienté selon le sens «» des angles « de sortie » que fait le rayon émergent avec le rayon incident ; dans ce qui suit sauf dans la question traitant de la dispersion le rayon incident étant considéré « monochromatique », l'indice est supposé constant.

Les quatre formules du prismeModifier

     Établir les quatre formules du prisme liant les cinq angles définissant les réfractions dans le prisme.

Conditions pour que le rayon émergent de la face d'entrée rencontre la face de sortieModifier

     Vérifier qu'un rayon incident subit toujours une réfraction sur la face d'entrée quel que soit l'angle d'incidence et

     déterminer la condition sur cet angle d'incidence pour que le rayon émergent de la face d'entrée rencontre la face de sortie on notera l'angle limite.

Conditions d'émergence d'un rayon incidentModifier

     Étudier les conditions d’émergence du rayon incident, en particulier on montrera que :

  • si «»,        il n'y a jamais émergence,
  • si «», il y a émergence pour compris entre une valeur et ,
  • si «»,          il y a émergence pour compris entre une valeur et .

Variation de la déviation en fonction de l'angle d'incidence sur la face d'entrée pour un prisme dans lequel le rayon incident monochromatique conduit à une émergence par la face de sortieModifier

     On suppose quelconque mais dans les conditions où il y a émergence et on fait varier .

     Montrer que la déviation passe par un minimum noté quand ou valeur commune notée .

     Montrer que et que .

     En déduire que la mesure de et de pour une couleur déterminée permet de connaître l’indice pour cette couleur ; on montrera que .

Cas où d'un prisme de petit angle sous incidence quasi-normaleModifier

     Donner une expression simplifiée de en fonction de et lorsque l'angle du prisme ainsi que l'angle d'incidence sur la face d'entrée sont petits.

     Commenter quant à la variation de en fonction de la couleur incidente [54].

Étude de la dispersion dans le prismeModifier

     Le rayon incident étant maintenant considéré dans son ensemble c.-à-d. constitué de toutes ses composantes monochromatiques et
     « l'angle d'incidence sur la face d'entrée du prisme restant maintenant constant »,
     on envisage d'étudier la variation de la déviation en fonction de la longueur d'onde dans le vide c.-à-d. de la couleur de la composante monochromatique sachant que
     on envisage d'étudier la variation de la déviation en fonction de la longueur d'onde dans le vide l'indice du prisme est une fonction de la longueur d'onde dans le vide selon la formule de Cauchy [57] «» où et sont des constantes dépendant du milieu considéré, la 1ère sans dimension et la 2nde ayant la dimension du carré d'une longueur ;

     établir la relation et

     en déduire le sens de variation de avec la longueur d'onde dans le vide , en particulier on comparera la déviation de la composante violette à celle de la composante rouge .

Arcs-en-cielModifier

Cheminement d'un rayon incident subissant une réflexion interne dans une goutte d'eau

     Un pinceau de rayons dans l’air éclaire une sphère d’eau d’indice  ; les rayons pénètrent dans la sphère sous l'incidence et en ressortent après avoir subi réflexions intérieures ; l'angle algébrisé que fait un rayon émergent de la sphère par rapport au rayon incident correspondant est appelé déviation et est noté .

Étude de la variation de la déviation d'une composante monochromatique du rayon incident après p réflexions internes dans une goutte d'eau en fonction de son angle d'incidenceModifier

     On considère une composante monochromatique de longueur d'onde dans le vide du pinceau lumineux pour laquelle l'indice de l'eau est notée .

Expression de la déviation de la composante monochromatique des rayons lumineux après p réflexions internes dans une goutte d'eauModifier

     Montrer que la déviation de la composante monochromatique des rayons lumineux peut s’exprimer en fonction de , et angle de réfraction correspondant à l’angle d’incidence selon

«» [63], [64].

Expression de l'angle d'incidence pour lequel la déviation est extrémale et évaluation de celle-ciModifier

     Exprimer en fonction de et , étant l’angle d'incidence pour lequel la déviation est extrémale, la valeur correspondante de cette dernière étant notée  ;

     calculer numériquement et pour et , la valeur de l'indice de l'eau pour cette longueur d'onde dans le vide étant .