En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Un bassin de profondeur «» est totalement rempli d'eau, d'indice «», l'indice de l'air étant «».
Au fond du bassin est placée une source ponctuelle émettant de la lumière dans toutes les directions.
Quel est le rayon du disque lumineux qui se forme à la surface de l'eau ?
Solution
Schéma de coupe verticale d'éclairage d'un bassin par une source ponctuelle placée au fond de ce dernier[1]
Les rayons issus de la source ponctuelle placée au fond du bassin[1] sortiront de ce dernier si l'angle d'incidence «» sur la surface libre de l'eau est inférieur à «angle limite[2]»[3],[4] ;
cela nous donne donc le rayon du disque lumineux cherché «» avec «» d'où cela nous donne donc «» et par suite cela nous donne donc «».
Déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces parallèles ; stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé
Introduction des grandeurs intermédiaires expliquant le déplacement latéral d'un rayon à la traversée d'une lame à faces
On considère une lame à faces d'épaisseur et d'indice plongée dans l'air et un rayon incident d'angle d'incidence voir schéma ci-contre ; le rayon traverse la face d'entrée et en sort, dans le plan d'incidence[6], avec un angle de réfraction tel que [7], puis rencontre la face de sortie sous un angle d'incidence égal à [8] et en sort sous l'angle de réfraction égal à [9], d'où le rayon émerge, de la lame à faces, parallèlement au rayon incident.
Remarque : On pouvait aussi démontrer par retour inverse de la lumière[10] car “ on a le même angle pour le rayon réfracté entrant dans le milieu d'indice par la face d'entrée et le rayon incident sortant du milieu d'indice par la face de sortie ”, le retour inverse de la lumière nous permet d'affirmer “ on a le même angle pour le rayon incident arrivant de l'air vers le milieu d'indice par la face d'entrée et le rayon réfracté entrant dans l'air en provenance du milieu d'indice par la face de sortie ” ; le rayon émerge donc de la lame à faces , parallèlement au rayon incident.
Le déplacement latéral est défini sur la figure ci-contre et se détermine en travaillant dans le triangle rectangle selon : avec d'où ou, avec , ;
on explicite en travaillant dans le triangle rectangle soit : ou, avec , ;
on en déduit ou, en développant , ;
on utilise alors la 2ème relation de réfraction de Snell - Descartes[11],[7] pour éliminer par et par [12], la relation explicitant se réécrivant ou encore
Stigmatisme approché d'une lame à faces et distance séparant un point objet de son point image par la lame
Un système est « stigmatique » pour un point objet s'il fournit, de ce dernier, une image ponctuelle ; Un système est « stigmatique » pour un point objet si ceci est vrai quelle que soit l'ouverture du faisceau issu du point objet , le stigmatisme est dit « rigoureux », Un système est « stigmatique » pour un point objet si ce n'est vrai que pour un pinceau de faible ouverture usuellement les conditions dites de Gauss[13],[14], le stigmatisme est dit « approché »[15].
On considère un point objet que l'on pourra supposer réel c'est-à-dire situé dans l'espace d'entrée voir schéma ci-contre à partir duquel diverge un faisceau incident de révolution autour de l'axe optique principal et d'ouverture quelconque ; le problème étant symétrique de révolution autour de , si la lame est stigmatique rigoureusement pour [15], son point image doit être sur l'axe ;
montrer qu'il n'y a pas stigmatisme rigoureux[15] en déterminant la distance séparant de l'intersection de l'axe et du rayon émergent correspondant au rayon incident issu de et d'angle d'incidence .
Solution
On considère un point objet supposé réel c'est-à-dire situé dans l'espace d'entrée à partir duquel diverge un faisceau incident de révolution autour de l'axe optique principal et d'ouverture quelconque voir schéma ci-dessus ; le problème étant symétrique de révolution autour de , si la lame est stigmatique rigoureusement pour [15], son point image doit être sur l'axe ;
on se propose de déterminer la distance séparant de l'intersection de l'axe et du rayon émergent correspondant au rayon incident issu de et d'angle d'incidence ; s'il y a stigmatisme rigoureux de la lame à faces pour [15], cette distance doit être indépendante de ;
dans le triangle rectangle [16], on remarque que ce qui, avec l'expression de trouvée précédemment, donne :
dépend de pas de stigmatisme rigoureux de la lame à faces parallèles ;
par exemple : on trouve , , , et par suite, un faisceau divergent à partir de , de rayon angulaire d'ouverture , donnera une image dont l'étalement sur est approximativement de [17].
Stigmatisme approché de la lame et distance séparant le point image du point objet associé
On considère maintenant un pinceau incident issu de ayant pour direction l'axe optique principal ; les rayons incidents de ce pinceau étant quasi-normaux c'est-à-dire que les angles d'incidence sont petits, montrer qu'il y a stigmatisme approché de la lame à faces [15] en réévaluant la distance tenant compte de [18],[19] et en constatant qu'elle ne dépend plus de il existe alors un point image unique associé au point objet et la distance entre ces deux points s'écrit simplement .
Nature de l'image : Vérifier que l'image d'un objet réel est alors virtuelle ;
Nature de l'image : discuter de la nature de l'image d'un objet virtuel ?
Nature de l'image : Où doit être situé l'objet virtuel pour que l'image soit réelle ?
Solution
Considérant maintenant que le faisceau incident issu de , de direction à la face d'entrée, est un pinceau, c'est-à-dire que le rayon angulaire d'ouverture est maintenant , on cherche le D.L[20]. à l'ordre un de étant l'infiniment petit d'ordre un, et si le D.L[20]. à l'ordre un de ne dépend pas de , cela signifiera que est indépendant de dans la mesure où ce dernier est un infiniment petit d'ordre un, donc qu'il y a stigmatisme approché de la lame à faces [15] ;
Stigmatisme approché d'une lame à faces , caractère réel ou virtuel de l'image d'un objet suivant la position et le caractère réel ou virtuel de ce dernier
Pour vérifier que l'image d'un objet réel est virtuelle, il suffit de montrer que «» avec et les intersections de l'axe optique principal respectivement avec les faces d'entrée et de sortie de la lame à faces voir figure ci-contre ;
or «», ceci nous permettant d'écrire «» prouvant que « l'image d'un objet réel est toujours virtuelle ».
Pour un objet virtuel, on a « et toujours » ;
Pour un objet virtuel, l'image d'un objet virtuel sera réelle si ce qui est équivalent à ou «» ; numériquement on obtient «» c'est-à-dire à plus de de la face d'entrée dans le sens incident de la lumière dans le verre à moins de de la face de sortie ou au-delà du verre dans l'espace de sortie ;
Pour un objet virtuel, l'image d'un objet virtuel sera virtuelle si ce qui est équivalent à ou ou, en tenant compte du caractère virtuel de l'objet, «» ; numériquement on obtient «» c'est-à-dire à moins de de la face d'entrée dans le sens incident de la lumière dans le verre à plus de de la face de sortie.
Schéma, hors échelle, d'une fibre optique courbée de rayon de courbure , soumise à un faisceau normal à la face d'entrée
Une fibre optique est constituée d'une âme en verre d'indice , de diamètre Une fibre optique est entourée d'une gaine en verre d'indice .
On courbe la fibre optique comme indiqué sur la figure ci-contre.
Déterminer littéralement, puis Déterminer numériquement, le rayon de courbure minimal Déterminer numériquement, le rayon de courbure minimal pour que le faisceau , normal à la face d'entrée de l'âme et la recouvrant entièrement, Déterminer numériquement, le rayon de courbure minimal pour que le faisceau , soit transmis intégralement par la fibre.
Solution
Une fibre optique constituée d'une âme en verre d'indice et entourée d'une gaine en verre d'indice «» est courbée dans le but de guider le faisceau , pénétrant normalement à la face d'entrée de l'âme et la recouvrant entièrement, vers la face de sortie et ceci sans aucune perte.
Pour que tous les rayons incidents à la face d'entrée de la fibre optique soient transmis intégralement par cette dernière, il suffit qu'une fois entrés sans déviation dans l'âme de la fibre, Pour que tous les rayons incidents à la face d'entrée de la fibre optique soient transmis intégralement par cette dernière, il suffit qu’ils subissent une réflexion totale sur la surface interne de la gaine, ce qui a pour effet de les renvoyer dans l'âme et donc de les maintenir guidés par la fibre de façon à ce qu'ils émergent par la face de sortie de cette dernière voir schéma ci-dessous.
Schéma, hors échelle, du cheminement interne d'un faisceau arrivant normalement à la face d'entrée d'une fibre optique courbée de rayon de courbure et émergeant par la face de sortie
Appelant «» l'angle d'incidence du rayon rencontrant la surface interne de la gaine, et «» l'angle limite de l'interface « âme - gaine », la condition de réflexion totale est
cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si «» étant le domaine de définition de dans les conditions du faisceau incident, cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si le minimum correspondant au rayon incident du plan de courbure de la fibre le plus éloigné de l'axe de courbure dans le sens de cette dernière cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si le minimum correspondantc'est-à-dire le rayon incident « inférieur » de la figure ci-dessus ;
cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si le minimum correspondantpour ce rayon est minimal et noté on a «» et
cette condition sera vérifiée pour tous les rayons si la condition de réflexion totale pour tous les rayons du faisceau incident se réécrit «».
Nous en déduisons la valeur minimale du rayon de courbure de la fibre optique «».
L'A.N[5]. nous donne, avec , et , soit «» c'est un rayon de courbure excessivement petit non atteignable pratiquement et par suite la condition pour qu'un faisceau incident , normal à la face d'entrée de la fibre, soit transmis intégralement est toujours réalisée en pratique.
Angle d'incidence d'un rayon arrivant sur la face d'entrée d'une fibre optique non courbée pour qu'il soit transmis
Schéma d'une fibre optique non courbée constituée d'une âme d'indice entourée d'une gaine d'indice , recherche de la condition pour qu'un rayon incident incliné par rapport à l'axe de la fibre soit transmis
Une fibre optique est constituée d'une âme en verre d'indice , entourée d'une gaine en verre d'indice .
Cette fibre n'est pas courbée et on considère un rayon incident d'angle d'incidence supposé positif comme indiqué sur la figure ci-contre le rayon représenté a un point d'incidence sur l'axe de la fibre mais ce point pourrait n'importe où sur la face d'entrée de cette dernière à condition que le plan d'incidence plan contenant le rayon et à la face d'entrée contienne l'axe de la fibre.
Déterminer littéralement, puis Déterminer numériquement, l'angle d'incidence maximal Déterminer numériquement, l'angle d'incidence maximal pour lequel le rayon émerge par la face de sortie de la fibre non courbée.
Solution
Une fibre optique constituée d'une âme en verre d'indice entourée d'une gaine en verre d'indice est maintenue rectiligne ; on souhaite déterminer l'angle d'incidence limite qu'un rayon incident doit avoir pour émerger par la face de sortie cet angle limite s'appelle « angle d'acceptance » ; on souhaite déterminer l'angle d'incidence limite les choix et des sens de mesure des angles voir figure ci-dessous ont été choisis pour que tous les angles y soient a priori de même signe on souhaite déterminer l'angle d'incidence limite les choix et des sens de mesure des angles voir figure ci-dessous ont été choisis pour que tous les angles y soienten l'occurrence .
Schéma du cheminement interne d'un rayon incident incliné par rapport à l'axe d'une fibre optique non courbée constituée d'une âme d'indice entourée d'une gaine d'indice , recherche de l'inclinaison maximale pour que le rayon soit intégralement transmis
Le rayon incident arrivant sur la face d'entrée de la fibre optique y subit toujours une réfractionpassage d'un milieu moins réfringent air d'indice à un plus réfringent l'âme d'indice [25] ; Le rayon incident il émerge en faisant un angle de réfraction «» lié à l'angle d'incidence «» par «»[7],[26] ;
ce rayon réfracté arrive alors sur la surface interne de la gaine avec un angle d'incidence «»[27] où il doit subir une réflexion totale de façon à revenir dans l'âme, l'angle de réflexion y valant alors «»[28] et ce rayon réfracté arrive alors sur la surface interne de la gaine avec un angle d'incidence «» où il doit pouvoir continuer en direction de la face de sortie de cette dernière ;
arrivé sur la face de sortie, il y aura toujours réfraction, l'angle d'incidence sur cette dernière valant «» et l'angle de réfraction «»[29], justification par retour inverse relativement aux rayons de la face d'entrée[10].
La condition de réflexion totale sur la surface interne de la gaine étant «»[23] avec , angle limite du dioptre « âme - gaine », défini par «»[2], elle peut se réécrire «» ;
pour évaluer, on remarque que c'est le complémentaire de «» ;
on termine en utilisant la 2ème loi de Snell - Descartes[11] appliquée à la réfraction sur la face d'entrée[7] soit «» d'où :
«» ou, en utilisant «» on en tire «» ou encore «» soit, étant ,
«».
L'A.N[5]. nous donne : soit «» l'angle d'acceptance de cette fibre optique est donc .
Section droite d'un prisme et cheminement d'un rayon incident avec précision de l'algébrisation des angles
Un prisme, d'indice et d’angle non algébrisé, est plongé dans l'air ; les rayons lumineux incidents sont contenus dans le plan de section principale du prisme[30] et leurs composantes monochromatiques sont considérées séparément.
On définit après orientation particulière de ce plan et angles « d'entrée », respectivement d'incidence et de réfraction sur la face d'entrée, algébrisés selon le sens «» défini à gauche du schéma, et angles « de sortie », respectivement d'incidence et de réfraction sur la face de sortie, algébrisés selon le sens «» défini à droite du schéma[31], la déviation comme étant l'angle orienté selon le sens «» des angles « de sortie » que fait le rayon émergent avec le rayon incident ; dans ce qui suit sauf dans la question traitant de la dispersion le rayon incident étant considéré « monochromatique », l'indice est supposé constant.
Établir les quatre formules du prisme liant les cinq angles définissant les réfractions dans le prisme.
Solution
La 1ère et 2ème formules correspondent à la 2ème loi de Snell - Descartes[11] pour la réfraction sur les faces d'entrée et de sortie[7] ; la 3ème formule se démontre en travaillant dans le triangle point d'incidence sur la face d'entrée, point d'incidence sur la face de sortie et point d'intersection des normales en et [32], et sont deux des angles intérieurs au triangle, étant le 3ème angle extérieur à ce triangle[33], on en déduit selon la propriété des angles d'un triangle : " la somme de deux des angles intérieurs à un triangle est égale au 3ème angle extérieur à ce triangle "[34],[35] ; la 4ème formule se démontre en travaillant dans le triangle point d'intersection entre le rayon émergent et le rayon incident ; étant un angle extérieur à ce triangle, les deux autres angles intérieurs sont et d'où, par propriété des angles d'un triangle[35] ou soit enfin, en utilisant la formule , .
Conditions pour que le rayon émergent de la face d'entrée rencontre la face de sortie
Vérifier qu'un rayon incident subit toujours une réfraction sur la face d'entrée quel que soit l'angle d'incidence et
déterminer la condition sur cet angle d'incidence pour que le rayon émergent de la face d'entrée rencontre la face de sortie on notera l'angle limite.
Solution
Condition de réfraction sur la face d'entrée : quand de à , de à où est l'angle limite du dioptre d'entrée[36] tel que ou encore , la réfraction sur la face d'entrée est donc toujours possible ;
condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire fait alors avec la face d'entrée[37] l'angle, compté positivement selon le sens , et, condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire fait alors avec la face d'entrée l'angle, dans la mesure où cet angle est à , il rencontre la face de sortie ; condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire fait alors avec la face d'entrée l'angle, le point existe donc si est tel que ;
condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire il existera toujours si soit ou encore «» ; condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : le rayon intermédiaire la condition d'existence de à savoir est toutefois un peu trop stricte[38]par exemple, pour un prisme d'indice , , la condition d'existence de pour tout angle d'incidence s'écrit alors condition non réalisée pour un prisme d'angle [39] ;
condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : dans la mesure où le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie pour au moins une valeur de , il est nécessaire que l'angle de réfraction sur la face d'entrée suive «» c'est-à-dire encore que l'angle d'incidence soit tel que ou encore «» par exemple pour un angle et un indice , la condition d'existence de pour la valeur nécessite que soit tel que ou «»[40] ;
condition pour que le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie : nous supposerons par la suite que existe pour la valeur de considérée c'est-à-dire que «»[41].
Étudier les conditions d’émergence du rayon incident, en particulier on montrera que :
si «», il n'y a jamais émergence,
si «», il y a émergence pour compris entre une valeur et ,
si «», il y a émergence pour compris entre une valeur et .
Solution
Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, c'est-à-dire qu'il y ait émergence : de « de à » on déduit « de à » et, dans le cas où le rayon intermédiaire rencontre la face de sortie, que « de à » par utilisation de la formule , que l'on peut réécrire « de à »[36] ;
Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, il faut que soit compris entre et où est l'angle limite du dioptre de sortie, c'est-à-dire également ici celui d'entrée d'où [36] soit encore « compris entre et »[36] ;
Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», l'intervalle de variations de résultant de celles de et Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», l'intervalle d'appartenance de pour qu'il y ait réfraction par la face de sortie Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», n'ont aucune intersection il n'y a jamais émergence par la face de sortie, Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», le rayon intermédiaire étant réfléchi sur la face de sortie ;
Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», l'intervalle de variations de résultant de celles de et Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», l'intervalle d'appartenance de pour qu'il y ait réfraction par la face de sortie Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», ont pour intersection l'intervalle correspondant à Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», l'intervalle de variation de à savoir [42] et à Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», celui de à savoir «»[42] Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», où est défini par «»[43] ; Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», il y a émergence par la face de sortie si «»[44] ; Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», si «», et Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», si «», le rayon intermédiaire est alors réfléchi sur la face de sortie, Conditions pour que le rayon intermédiaire se réfracte sur la face de sortie, or, pour qu'il y ait émergence, si «», si «», il n'y a donc pas émergence du prisme par la face de sortie.
il faut toujours avoir en tête les correspondances suivantes :
Variation de la déviation en fonction de l'angle d'incidence sur la face d'entrée pour un prisme dans lequel le rayon incident monochromatique conduit à une émergence par la face de sortie
On suppose quelconque mais dans les conditions où il y a émergence et on fait varier .
Montrer que la déviation passe par un minimum noté quand ou valeur commune notée .
Montrer que et que .
En déduire que la mesure de et de pour une couleur déterminée permet de connaître l’indice pour cette couleur ; on montrera que .
Solution
Tableau de variation derelativement à : Le rayon étant monochromatique, est constant ;
Tableau de variation derelativement à : quand l'angle d'incidence varie de à , on cherche à évaluer la variation de la déviation en fonction, entre autres, de de façon à en déduire ; Tableau de variation derelativement à : pour cela on différencie les quatre formules du prisme selon et Tableau de variation derelativement à : pour cela on exprime en fonction de par , puis Tableau de variation derelativement à : pour cela on exprime en fonction de par et enfin Tableau de variation derelativement à : pour cela on exprime en fonction de par , expression que l'on reporte dans soit :
Tableau de variation derelativement à : [45] ou [46] ou
«».
Condition d'annulation de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence : Une solution évidente est «», Condition d'annulation de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence : la formule du prisme donne alors, pour valeur commune de «»[47] et Condition d'annulation de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence : la valeur commune de notée est fournie par la formule du prisme c'est-à-dire «» ; ainsi Condition d'annulation de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence : on peut affirmer que la déviation passe par un extremum pour correspondant à [48] ;
Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? La réponse est affirmative et elle se justifie en cherchant d'autres zéros éventuels : Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? les zéros devant être solutions de [49], Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? on élimine au profit de par la formule et Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? on élimine au profit de par la formule , ce qui donne l'équation suivante Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? [50] Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? ou, à l'aide de [51], Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? soit finalement Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? «» ; Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? la solution étant exclue car , Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? la seule solution est donc bien la solution évidente trouvée précédemment soit Condition d'annulation est-ce le seul zéro de la dérivée de la déviation relativement à l'angle d'incidence ? « avec ».
Le tableau de variation de en fonction de est alors le suivant, montrant effectivement que la déviation est « minimale » pour [52] :
Graphe de la déviation, par un prisme, d'un rayon monochromatique en fonction de l'angle d'incidence de ce dernier
la valeur de la « déviation minimale est alors » alors que
celle de la « déviation maximale est obtenue pour une émergence rasantecorrespondant à une incidence d'angle ou une incidence rasantecorrespondant à une émergence d'angle soit ».
Tracé du graphe de la déviation en fonction de l'angle d'incidence : voir ci-contre.
Expression de l'indice du prisme en fonction de son angle et du minimum de déviation : de on tire Expression de l'indice du prisme en fonction de son angle et du minimum de déviation : «» de la 2ème relation et Expression de l'indice du prisme en fonction de son angle et du minimum de déviation : le report dans la 1ère réécrite conduit à Expression de l'indice du prisme en fonction de son angle et du minimum de déviation : «»[53].
Cas où d'un prisme de petit angle sous incidence quasi-normale
Donner une expression simplifiée de en fonction de et lorsque l'angle du prisme ainsi que l'angle d'incidence sur la face d'entrée sont petits.
Commenter quant à la variation de en fonction de la couleur incidente[54].
Solution
Nous supposons et ; de la formule on en déduit , Nous supposons et ; la formule de on en déduit , Nous supposons et ; la formule de on en déduit et Nous supposons et ; la formule de on en déduit d'où :
les 2èmes relations de Snell - Descartes[11] de la réfraction[7] se réécrivent «» et «»[55] et la déviation devient soit enfin, avec la formule
«».
Remarque : Si varie, varie le milieu constituant le prisme est toujours considéré comme dispersif, on constate alors que la déviation a la même variation que pour un prisme de petit angle sous incidence quasi normale[56].
Le rayon incident étant maintenant considéré dans son ensemble c'est-à-dire constitué de toutes ses composantes monochromatiques et « l'angle d'incidence sur la face d'entrée du prisme restant maintenant constant », on envisage d'étudier la variation de la déviation en fonction de la longueur d'onde dans le vide c'est-à-dire de la couleur de la composante monochromatique sachant que on envisage d'étudier la variation de la déviation en fonction de la longueur d'onde dans le vide l'indice du prisme est une fonction de la longueur d'onde dans le vide selon la formule de Cauchy[57] «» où et sont des constantes dépendant du milieu considéré, la 1ère sans dimension et la 2nde ayant la dimension du carré d'une longueur ;
établir la relation et
en déduire le sens de variation de avec la longueur d'onde dans le vide , en particulier on comparera la déviation de la composante violette à celle de la composante rouge .
Solution
Le prisme est un milieu dispersif car dépend de , plus exactement est une fonction de ;
contrairement à certains systèmes optiques pour lesquels la dispersion est un handicap comme les verres de lunette ou les pare-brise[58] de voiture[59], le prisme est d'autant meilleur que le milieu est dispersif.
Recherche du signe de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à la longueur d'onde dans le vide :
«» avec « de signe contraire à » ;
Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : on différencie les quatre formules du prisme à fixé mais variable Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : , , et varient d'où Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : , Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : on exprime alors qui est égale à en fonction de et par , puis Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : on exprime alors en fonction de par reporté dans et enfin Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : on exprime alors en fonction de par reporté dans soit :
Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : [60] avec Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : [61] d'où Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : et finalement, Calcul de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime : avec la formule du prisme «».
Signe de la dérivée de la déviation d'un rayon polychromatique d'angle d'incidence fixé relativement à l'indice du prime et conséquences : on constate que « est toujours » «» car toujours de même signe que , donc la déviation d'un rayon polychromatique par le prisme est une fonction décroissante de la longueur d'onde dans le vide fonction de et par suite
Cheminement d'un rayon incident subissant une réflexion interne dans une goutte d'eau
Un pinceau de rayons dans l’air éclaire une sphère d’eau d’indice ; les rayons pénètrent dans la sphère sous l'incidence et en ressortent après avoir subi réflexions intérieures ; l'angle algébrisé que fait un rayon émergent de la sphère par rapport au rayon incident correspondant est appelé déviation et est noté .
Étude de la variation de la déviation d'une composante monochromatique du rayon incident après p réflexions internes dans une goutte d'eau en fonction de son angle d'incidence
Montrer que la déviation de la composante monochromatique des rayons lumineux peut s’exprimer en fonction de , et angle de réfraction correspondant à l’angle d’incidence selon
Cheminement d'un rayon incident subissant une réflexion interne dans une goutte d'eau pour évaluer sa déviation suivant son angle d'incidence
Voir schéma ci-contre avec une réflexion :
1ère réfraction « on passe d'un milieu moins réfringent à un milieu plus réfringent », le rayon réfracté est plus proche de la normale que le rayon incident [25]tous deux , « le rayon tourne de avec » ;
1ère réflexion : le triangle est isocèle , l'angle d'incidence étant on en tire et l'angle de réflexion lui étant opposé[65], on en déduit , « l'angle dont tourne le rayon lors de la réflexion est alors soit » ;
chaque réflexion interne entraînant la même déviation du rayon réfléchi par rapport au rayon incident de la réflexion interne, il faudra « compter, dans la déviation totale , autant de fois qu'il y a de réflexions internes » ;
2ème réfraction « on passe d'un milieu plus réfringent à un milieu moins réfringent », le rayon réfracté est plus éloigné de la normale que le rayon incident[3] Voir le paragraphe « 2ème loi de Snell - Descartes de la réfraction (n1 > n2 exemple dioptre verre - air) » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».</ref>, l'angle d'incidence étant et le triangle isocèle, on en tire , l'angle de réfraction est alors et vaut par retour inverse de la lumière relativement à la 1ère réfraction[10] et par suite « le rayon tourne de avec ».
La déviation totale est donc, pour réflexions internes, c'est-à-dire soit encore ou, en ajoutant étant défini à près,
«».
Expression de l'angle d'incidence pour lequel la déviation est extrémale et évaluation de celle-ci
Exprimer en fonction de et , étant l’angle d'incidence pour lequel la déviation est extrémale, la valeur correspondante de cette dernière étant notée ;
calculer numériquement et pour et , la valeur de l'indice de l'eau pour cette longueur d'onde dans le vide étant