Signaux physiques (PCSI)/Exercices/Optique géométrique : miroir plan

Angle entre deux miroirs plans

     Deux miroirs plans font entre eux un angle $\;\alpha$.

     Un rayon incident $\;\parallel \;$ à l'un des miroirs subit « cinq » réflexions après lesquelles son retour se fait en suivant exactement le même chemin.

     Calculer $\;\alpha$.

Solution

Schéma décrivant le cheminement d'un rayon incident dans l'espace entre deux miroirs plans formant entre eux un angle $\;\alpha \;$ quand le rayon, arrivant parallèlement à un miroir, y subit cinq réflexions et ressort en suivant exactement le même chemin qu'à l'aller

     Pour que le cinquième rayon réfléchi se superpose au cinquième rayon incident, ce dernier doit être $\;\perp \;$ au miroir où se produit la réflexion $\Rightarrow \;$ «$\;\epsilon =90\,{\text{°}}\;$» $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}$ ;

     Nous déterminons, par utilisation de la 2^ème loi de Snell - Descartes de la réflexion à chaque réflexion, les angles successifs «$\;\beta$, $\;\gamma$, $\;\delta \;$ et $\;\epsilon \;$» en fonction de «$\;\alpha \;$» pour identifier «$\;\epsilon (\alpha )\;$» à «$\;90\,{\text{°}}\;$» et en déduire la valeur de l'angle «$\;\alpha \;$».

     Lors de la 1^ère réflexion, la 2^ème loi de Snell - Descartes de réflexion $\Rightarrow$ $\;i'=-i\;$ ou, sans algébriser, $\;\vert i'\vert =\vert i\vert \;$ $\Rightarrow$ «$\;\alpha '=\alpha \;$» ;

     Lors de la 1^ère réflexion, de la valeur de $\;\alpha '\;$ on en déduit $\;\beta =\alpha '+\alpha \;$ ${\big (}$angle extérieur du triangle $\;I_{1}I_{2}S$, $\;S\;$ étant l'intersection de l'arête des deux miroirs et de la section droite de la figure${\big )}\;$ soit finalement «$\;\beta =2\,\alpha \;$» ;

     lors de la 2^ème réflexion, nous obtenons de même $\;\beta '=\beta =2\,\alpha \;$ ${\big (}\beta '\;$ non représenté correspondant à l'angle que fait $\;I_{2}I_{3}\;$ avec le miroir inférieur${\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;\gamma =\beta '+\alpha \;$ ${\big (}$angle extérieur du triangle $\;I_{2}I_{3}S{\big )}\;$ soit finalement «$\;\gamma =3\,\alpha \;$» ;

     lors de la 3^ème réflexion, nous obtenons de même $\;\gamma '=\gamma =3\,\alpha \;$ ${\big (}\gamma '\;$ non représenté correspondant à l'angle que fait $\;I_{3}I_{4}\;$ avec le miroir supérieur${\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;\delta =\gamma '+\alpha \;$ ${\big (}$angle extérieur du triangle $\;I_{3}I_{4}S{\big )}\;$ soit finalement «$\;\delta =4\,\alpha \;$» ;

     lors de la 4^ème réflexion, nous obtenons de même $\;\delta '=\delta =4\,\alpha \;$ ${\big (}\delta '\;$ non représenté correspondant à l'angle que fait $\;I_{4}I_{5}\;$ avec le miroir inférieur${\big )}\;$ $\Rightarrow$ $\;\epsilon =\delta '+\alpha \;$ ${\big (}$angle extérieur du triangle $\;I_{4}I_{5}S{\big )}\;$ soit finalement «$\;\epsilon =5\,\alpha \;$» ;

     enfin de «$\;\epsilon =90\,{\text{°}}=5\,\alpha \;$», nous déduisons $\;\alpha ={\dfrac {90\,{\text{°}}}{5\;}}\;$ soit finalement «$\;\alpha =18\,{\text{°}}\;$».

 

Détermination de la taille d'un miroir plan pour s'y voir entièrement

     Quelle taille minimale doit avoir un miroir plan vertical pour qu'un homme de $\;1,80\,m$, en position également verticale, puisse s'y voir entièrement ?

     Quelle taille minimale doit avoir un miroir plan vertical On précisera, dans l'hypothèse où le miroir a la taille minimale, à quelle hauteur il faut le placer si on suppose que les yeux de l'homme, ayant les pieds sur le sol, sont à $\;16\,cm\;$ au-dessous du sommet de sa tête ;

     avec cette disposition de miroir, que voit un enfant de $\;1,20\,m$, ayant également les pieds sur le sol et dont les yeux sont situés à $\;14\,cm\;$ du sommet de sa tête ?

Solution

Schéma de positionnement d'un miroir plan étendu verticalement de $\;B_{0}\;$ à $\;H_{0}\;$ pour qu'un homme $\;BL$, face au mur, s'y voit intégralement, son œil étant positionné en $\;O$

     Remarque préliminaire : nous ne considérons que les dimensions verticales de l'homme et du miroir,
     Remarque préliminaire : le schéma ci-contre étant fait dans le plan vertical passant par l'œil noté $\;O$.

     L'individu $\;BL$ $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}\;$ étant positionné verticalement en reposant sur le sol $\;{\big (}B\;$ niveau des pieds, $\;L\;$ de la tête, de cotes respectives $\;z_{B}\;$ et $\;z_{L}{\big )}\;$ à la distance $\;d\;$ du miroir plan $\;B_{0}H_{0}$ $\;{\big (}B_{0}\;$ et $\;H_{0}\;$ respectivement niveaux bas et haut du miroir de cotes $\;z_{B_{0}}\;$ et $\;z_{H_{0}}{\big )}$, on cherche le « minimum de $\;z_{H_{0}}-z_{B_{0}}\;$» pour que l'individu voit entièrement son image $\;B_{i}L_{i}$, son œil $\;O\;$ étant situé à la cote $\;z_{O}$ ;

     l'image$\;B_{i}L_{i}\;$étant le symétrique de l'objet$\;BL\;$relativement au miroir plan$\;B_{0}H_{0}\;$ est située à la distance $\;d\;$ derrière le miroir et
     l'image$\;\color {transparent}{B_{i}L_{i}}\;$sera vue de l'individu s'il existe des rayons émergeant de$\;B_{i}L_{i}\;$aboutissant à l'œil$\;O\;$ c'est-à-dire
     l'image$\;\color {transparent}{B_{i}L_{i}}\;$sera vue de l'individu si les éventuels points d'incidence$\;I\;$ et $\;J\;$ correspondant aux rayons émergents $\;B_{i}O\;$ et $\;L_{i}O\;$
     l'image$\;\color {transparent}{B_{i}L_{i}}\;$sera vue de l'individu si les éventuels points d'incidence sont effectivement sur le miroir plan ;

     il en sera ainsi si «$\;z_{J}={\dfrac {z_{O}+z_{L_{i}}}{2}}={\dfrac {z_{O}+z_{L}}{2}}\leqslant z_{H_{0}}\;$» et
     il en sera ainsi si «$\;z_{I}={\dfrac {z_{O}+z_{B_{i}}}{2}}={\dfrac {z_{O}+z_{B}}{2}}\geqslant z_{B_{0}}\;$» ;

     on en déduit que : «$\;z_{H_{0}}-z_{B_{0}}\geqslant {\dfrac {z_{O}+z_{L}}{2}}-{\dfrac {z_{O}+z_{B}}{2}}\;$» ou encore «$\;z_{H_{0}}-z_{B_{0}}\geqslant {\dfrac {z_{L}+z_{B}}{2}}={\dfrac {1,80\,m}{2}}\;$» soit «$\;\left[z_{H_{0}}-z_{B_{0}}\right]_{\text{min}}=0,90\,m\;$».

     On remarque que la taille minimale du miroir ne dépend pas de la distance$\;d\;$séparant l'individu de ce dernier, par contre
      On remarque cette taille minimale n'est pas une condition suffisante pour que l'individu se voit entièrement dans le miroir,
      On remarque cette taille minimale n'est pas une condition suffisante il faut encore que ce dernier soit bien positionné sur le mur ;

      On remarque cette taille minimale n'est pas une condition suffisante si l'œil est situé à $\;16\,cm\;$ du sommet de la tête $\;{\big (}z_{O}=1,64\,m{\big )}$, on trouve «$\;z_{B_{0}}\leqslant {\dfrac {z_{O}+z_{B}}{2}}=0,82\,m\;$» et
      On remarque cette taille minimale n'est pas une condition suffisante si l'œil est situé à $\;\color {transparent}{16\,cm}\;$ du sommet de la tête $\;\color {transparent}{{\big (}z_{O}=1,64\,m{\big )}}$, on trouve «$\;z_{H_{0}}\geqslant {\dfrac {z_{O}+z_{L}}{2}}=1,72\,m\;$» ;

Schéma de positionnement d'un miroir plan étendu verticalement de $\;B_{0}\;$ à $\;H_{0}\;$ pour qu'un homme $\;BL$, face au mur, s'y voit intégralement ;
ce qu'observe un enfant $\;BL_{\text{enf}}$ dans ce miroir, l'œil étant positionné en $\;O_{\text{enf}}$

     en supposant que le miroir soit situé entre «$\;0,82\,m\;$ et $\;1,72\,m\;$», un enfant de$\;1,20\,m\;$de haut reposant verticalement sur le sol $\;{\big (}$voir schéma ci-contre${\big )}\;$
     en supposant que le miroir soit situé entre «$\;\color {transparent}{0,82\,m}\;$ et $\;\color {transparent}{1,72\,m}\;$», un enfant dont les yeux sont situés à $\;14\,cm\;$ du sommet de la tête $\;{\big (}z_{O_{\text{enf}}}=1,06\,m{\big )}\;$
     en supposant que le miroir soit situé entre «$\;\color {transparent}{0,82\,m}\;$ et $\;\color {transparent}{1,72\,m}\;$», un enfant voit son visage car «$\;{\dfrac {z_{O_{\text{enf}}}+z_{L_{\text{enf}}}}{2}}=1,13\,m\in \left[0,82\,m,\;1,72\,m\right]\;$» mais
     en supposant que le miroir soit situé entre «$\;\color {transparent}{0,82\,m}\;$ et $\;\color {transparent}{1,72\,m}\;$», un enfant ne voit pas le bas de son anatomie car «$\;{\dfrac {z_{O_{\text{enf}}}+z_{B}}{2}}=0,53\,m<0,82\,m\;$» ;

     en supposant que le miroir soit situé entre «$\;\color {transparent}{0,82\,m}\;$ et $\;\color {transparent}{1,72\,m}\;$», les parties de son corps que l'enfant peut voir par l'intermédiaire du miroir plan sont
     en supposant que le miroir soit situé entre «$\;\color {transparent}{0,82\,m}\;$ et $\;\color {transparent}{1,72\,m}\;$», les parties de son corps celles à une cote $\;z\;$ telle que «$\;{\dfrac {z_{O_{\text{enf}}}+z}{2}}\geqslant 0,82\,m\;$» ou
     en supposant que le miroir soit situé entre «$\;\color {transparent}{0,82\,m}\;$ et $\;\color {transparent}{1,72\,m}\;$», les parties de son corps celles à une cote «$\;z\geqslant 2\times 0,82\,m-1,06\,m\;$» soit
     en supposant que le miroir soit situé entre «$\;\color {transparent}{0,82\,m}\;$ et $\;\color {transparent}{1,72\,m}\;$», les parties de son corps celles à une cote «$\;z\geqslant 0,58\,m\;$», c'est-à-dire à peu près ce qui est
     en supposant que le miroir soit situé entre «$\;\color {transparent}{0,82\,m}\;$ et $\;\color {transparent}{1,72\,m}\;$», les parties de son corps celles à une cote «$\;\color {transparent}{z\geqslant 0,58\,m}\;$», au-dessus du nombril.