Signaux physiques (PCSI)/Oscillateur harmonique

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     Un « oscillateur mécanique à un degré de liberté » est un solide assimilable à un point oscillant sur une courbe fixe autour d'une position d'équilibre, la trajectoire étant rectiligne ou curviligne par exemple circulaire ; dans le cas rectiligne, la position de est repérée à la date par son abscisse , c'est ce cas que nous envisagerons dans ce chapitre ;

Oscillateur harmonique
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Chapitre no 1
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
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Chap. suiv. :Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre
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Signaux physiques (PCSI)/Oscillateur harmonique
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

     l'oscillateur est « harmonique » si le mouvement de est décrit par une fonction « sinusoïdale » du temps bien sûr, le mouvement n'est sinusoïdal que sur une durée pendant laquelle l'influence des frottements est négligeable, seul cas envisagé dans ce chapitre.

Description

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Dispositif expérimental d'enregistrement  en perspective  d'un oscillateur harmonique  en vue de face 

     On utilise :

  • un ressort idéal, c.-à-d. de masse négligeable  par rapport aux autres masses  à spires non jointives [1], parfaitement élastique  pourvu qu'on reste dans son domaine d'élasticité [2] , de longueur à vide  , de raideur  [3],
  • un objet de masse   accroché à une extrémité du ressort, l'autre extrémité de ce dernier étant fixe, le tout pouvant glisser sans frottement sur un plan horizontal et
  • éventuellement un guide rectiligne horizontal, par exemple un banc à coussin d'air  non représenté sur le schéma    à l'axe du ressort imposant au solide un mouvement rigoureusement rectiligne ;

     de façon à repérer le mouvement de l'objet, on lui a fixé un stylet qui laissera sa position horizontale sur une feuille de papier enregistreur défilant verticalement à vitesse constante ; ainsi nous aurons un axe vertical   orienté vers le haut     à l'axe des temps et un axe horizontal   orienté vers la droite   représentant l'axe des positions horizontales de l'objet en vraie grandeur [4].

Équilibre de l'oscillateur

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     Ayant écarté l'objet vers la droite et après l'avoir lâché sans vitesse initiale, on observe une oscillation horizontale ;

     le poids de l'objet étant compensé par la réaction du plan horizontal, le mouvement de l'objet ne peut être engendré que par l'action du ressort, action horizontale ; sous cette action, l'objet oscille d'où le nom d'« oscillateur » donné à l'objet relié à un ressort ;

     en pratique les oscillations sont d'amplitude de plus en plus faible à cause des frottements de l'air sur l'objet [5] et elles finissent par disparaître, l'« objet acquérant sa position d'équilibre », la longueur du ressort y étant sa longueur à vide  .

Cause de déséquilibre, loi de Hooke

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Ressort à vide et ressort étiré

     Le ressort  , de longueur à vide   et de raideur    exprimée en   exerce sur     point matériel fixé à une extrémité de     une force notée   ou plus simplement   appelée « tension du ressort » s'exerçant sur   ;

     avec   vecteur unitaire de l'axe de   orienté de   vers   soit encore  ,
     avec   vecteur unitaire de l'axe de   orienté de   vers   la tension du ressort   s'exerçant sur   c.-à-d.   s'exprime selon la « loi de Hooke » [6]


 


     avec   vecteur unitaire de l'axe de   orienté de   vers     est la longueur de   à l'instant    encore appelée longueur à charge  et
     avec   vecteur unitaire de l'axe de   orienté de   vers    l'allongement algébrique par rapport à la longueur à vide ;

     cette loi définit la raideur   du ressort comme le « cœfficient de proportionnalité permettant de passer de la valeur absolue de l'allongement du ressort par rapport à sa longueur à vide à la norme de tension de ce dernier », dans la mesure où on reste dans le domaine d'élasticité du ressort soit :

 .

Rappel de dynamique, relation fondamentale de la dynamique newtonienne (r.f.d.n.)

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     On décrit le mouvement d'un objet sur un axe en précisant la variation, en fonction du temps, de :

  • son « abscisse », variation définissant sa loi horaire de position  ,
  • sa « vitesse »  c.-à-d. la dérivée temporelle 1ère de son abscisse  ou loi horaire de vitesse   et
  • son « accélération »  c.-à-d. la dérivée temporelle 2nde de l'abscisse ou dérivée temporelle 1ère de la vitesse  ou encore loi horaire d'accélération   ;

     le mouvement d'un objet ayant pour cause les forces exercées par son environnement sur lui-même, « la relation fondamentale de la dynamique newtonienne [8]  r.f.d.n.  énonce le lien existant entre la cause du mouvement et le mouvement dans un certain type de référentiel dit “ galiléen ” [9], [10] » [11] :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Mise en équation

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     Sur l'objet   repéré par son abscisse   à partir de sa position d'équilibre   sur l'axe horizontal orienté vers la droite par le vecteur unitaire  , ne s'exerce qu'une force horizontale « la tension du ressort » appliquée à  ,  ,   étant égale à l'allongement du ressort  , les autres forces  poids et réaction du plan horizontal  étant verticales et se compensant ;

     appliquant la r.f.d.n. [12] à   et la projetant sur  , on obtient :   ou

 [13] ;

     la « forme normalisée » [14] de l'équation différentielle du mouvement de l'oscillateur s'écrit « » ou,
           la « forme normalisée » en posant  , appelée « pulsation propre de l'oscillateur »  exprimée en  [15], on obtient sa « forme canonique »
           la « forme normalisée » de l'équation différentielle du mouvement de l'oscillateur s'écrit « ».

Résolution de l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique

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     L'équation différentielle du mouvement de l'oscillateur sous forme canonique étant « » est linéaire à cœfficients constants homogène du 2ème ordre en   sans terme du 1er ordre, le cœfficient   étant égal à   et donc    selon la notation du paragraphe « cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif » chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »  est de solution sinusoïdale d'où le qualificatif « harmonique » [16] donné à l'oscillateur ;

     la solution s'écrit donc « » [17] ou « », les constantes   ou   se déterminant à l'aide des C.I. [18] ;

     exemple de C.I. [18]   on écarte l'objet de sa position d'équilibre de   vers la droite et on le lâche sans vitesse initiale c.-à-d.   et   :

     détermination de la loi horaire de position à partir de  [17] :

  • la forme   et la condition initiale   d'où  ,
  • pour écrire la condition de vitesse initiale il faut d'abord exprimer la vitesse pour tout   soit   et par suite la forme   et la condition initiale   d'où  ,
  • finalement la loi horaire de position s'écrit « » et
                finalement celle de vitesse s'écrit « » ;

     remarque   détermination de la loi horaire de position à partir de  [19] :

     remarque  la forme   et la C.I. [18]   d'où  ,
     remarque  comme précédemment il faut d'abord exprimer la vitesse pour tout   soit   et par suite la forme       et la C.I. [18]     d'où   c.-à-d.   à   près,
     remarque  on choisit alors   pour que   soit   c.-à-d.   et par suite  ,
     remarque  finalement la loi horaire de position s'écrit encore « » [20] et
                 remarque  finalement celle de vitesse s'écrit encore « ».

Caractéristiques du mouvement

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     La loi horaire de position de l'oscillateur harmonique à C.I. [18] quelconques s'écrit « » [21], «   quand il est positif  est l'amplitude des oscillations »  exprimée en  , «  la phase à l'instant »  exprimée en  [22], «  la phase à l'origine des temps »  exprimée en   aussi  et «  la pulsation propre »  exprimée en  [23] ;

     la fonction « cosinus » étant « -périodique », la loi horaire de position est  -périodique où «   exprimée en   est la période propre » de l'oscillateur harmonique liée à   par

« » [24]     d'où la réécriture de la loi horaire de position selon « »  et

     la fonction « cosinus » étant « -périodique », la loi horaire de position est  -périodique où «  est la fréquence propre »  exprimée en   est égale à

« »     d'où la réécriture de la loi horaire de position « »  ;
 
Superposition des diagrammes horaires de position et de vitesse d'un oscillateur harmonique

     nous représentons ci-contre le diagramme horaire de position de l'oscillateur harmonique dans les C.I. [18] exposées précédemment correspondant à « » [25] ; nous y trouvons aussi le diagramme horaire de vitesse de l'oscillateur harmonique dans les mêmes C.I. [18] correspondant à «   » ou, « » [26] en utilisant     ;

     compte-tenu des deux expressions horaires   nous dirons que   est en « quadrature avance » sur   » [27], cela se manifestant par le fait que le diagramme horaire de vitesse passe par un maximum un quart de période avant le diagramme horaire de position, ou qu'il passe par un minimum un quart de période avant le diagramme horaire de position, ou qu'il coupe l'axe des temps en croissant un quart de période avant le diagramme horaire de position  

Énergie cinétique, conséquence de l'existence d'un mouvement

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     Dès lors qu'un objet a un mouvement dans un référentiel donné, il possède un certain type d'énergie dite « cinétique » [28] et
      Dès lors qu'un objet a un mouvement dans un référentiel donné, il possède un certain cette énergie est d'autant plus grande que sa vitesse l'est [29] mais aussi que sa masse l'est [29] ;
     Dès lors qu'un objet de masse   et de vitesse   dans le référentiel d'étude possède l'énergie cinétique  [30] ;

     appliqué au mouvement de l'oscillateur harmonique dans les C.I. [18] exposées précédemment        [31] que l'on peut transformer en linéarisant « sinus carré » en utilisant la 3ème forme de   c.-à-d. « »    

d'où « »
dont l'évolution est « sinusoïdale de période  [32] autour de sa valeur moyenne égale à  » [33] ;

     nous représentons, dans le paragraphe « énergie potentielle élastique, conséquence de l'action d'un ressort » ci-après, le diagramme horaire d'énergie cinétique de l'oscillateur harmonique dans les C.I. [18] exposées précédemment  courbe en noir .

Énergie potentielle élastique, conséquence de l'action d'un ressort

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     Dès lors qu'un ressort est étiré ou comprimé, l'objet qui lui est relié possède un certain type d'énergie « potentielle » [34] dite « élastique » et
      Dès lors qu'un ressort est étiré ou comprimé, l'objet qui lui est relié possède un certain cette énergie est d'autant plus grande que l'allongement ou la compression du ressort l'est [35] mais aussi que la raideur de ce dernier l'est [35] ;
     Dès lors qu’un ressort de raideur   » et d'allongement  algébrique    relativement à la longueur à vide communique à l'objet l'énergie potentielle élastique  [36] ;

 
Superposition des diagrammes horaires des énergies cinétique et potentielle élastique d'un oscillateur harmonique

     appliqué au mouvement de l'oscillateur harmonique dans les C.I. [18] exposées précédemment où     est aussi l'allongement relativement à la longueur à vide, on en déduit une 1ère expression de   que l'on peut transformer en linéarisant « cosinus carré » selon la 2ème forme de   c.-à-d. «   »       d'où

« »
dont l'évolution est « sinusoïdale de période  [37] autour
de sa moyenne égale à  » [33] ;

     nous représentons, ci-contre, le diagramme horaire d'énergie potentielle élastique de l'oscillateur harmonique dans les C.I. [18] exposées précédemment  courbe en rouge .

Définition de l'énergie mécanique et sa conservation, conséquence de l'absence de forces autres que celle du ressort

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     L'oscillateur harmonique dans n'importe quelles C.I. [18] possède de l'énergie cinétique due à son mouvement dans le référentiel d'étude et
           L'oscillateur harmonique dans n'importe quelles C.I. possède de l'énergie potentielle élastique due à sa liaison avec un ressort,
        L'oscillateur harmonique dans n'importe quelles C.I. il possède donc au total l'énergie dite « mécanique » [38] « » ;

     utilisant les expressions de   et de   en fonction de  , obtenues pour les C.I. [18] exposées plus haut, nous obtenons «   » soit, après simplification évidente

« » c.-à-d. que
l'énergie mécanique reste constante et égale à l'énergie mécanique initiale
« » ;

     nous vérifions, sur cet exemple, que l'énergie mécanique initialement créée est conservée en absence de frottements [39].

     Nous pourrons appliquer la conservation de l'énergie mécanique dès lors que les forces autres que la tension du ressort  c.-à-d. le poids et la réaction du plan horizontal  n'ont aucune action sur le mouvement  donc aucune action de freinage entre autres  et l'utilisation de la conservation de l'énergie mécanique peut remplacer l'application de la r.f.d.n. [12] ;

     nous obtenons alors « » c.-à-d. une équation différentielle non linéaire du 1er ordre en  , encore appelée « intégrale 1ère du mouvement » dans la mesure où elle pourrait être obtenue par une 1ère intégration de l'équation différentielle du 2ème ordre [40].

     On peut se servir de la conservation de l'énergie mécanique pour trouver la vitesse de   connaissant sa position  ou pour trouver sa position connaissant sa vitesse  et ceci sans aucune information sur l'instant d'observation.

Retrouver l'équation différentielle du mouvement à partir de la conservation de l'énergie mécanique

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     On retrouve l'équation différentielle du mouvement en   à partir de l'intégrale 1ère du mouvement associée à la conservation de l'énergie mécanique «   », pour cela on dérive cette dernière relativement au temps  [41], en utilisant    [42]   « » que l'on réécrit encore selon « » ;
     au final on obtient : « » [43] ou, en mettant   en facteur après simplification évidente, « » ;

     on en déduit l'équation différentielle du mouvement cherchée « » car la nullité de l'autre facteur c.-à-d.   correspondant à l'absence de mouvement est à rejeter.

Notes et références

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  1. De façon à ce que le ressort puisse aussi se comprimer sans obstacle.
  2. Son allongement ou sa compression sous une action extérieure doit être tel qu'il reprenne sa longueur initiale   dite à vide   quand l'action extérieure cesse.
  3. La raideur d'un ressort étant définie dans le paragraphe « cause de déséquilibre, loi de Hooke » plus loin dans ce chapitre.
  4. Dans le schéma ci-dessus il y a volontairement une erreur de perspective de façon à le rendre plus lisible, en fait l'axe horizontal du ressort est   aux axes des rouleaux entraînant le papier enregistreur, tous ces axes devant donc être   au plan de front, le stylet, quant à lui, lui étant  , c'est ce que sous-entend la courbe tracée sur la feuille d'enregistrement ;
       en fait la partie du schéma constituée du ressort ne doit pas être vue comme faisant partie de la perspective mais comme une vue « projetée sur un axe horizontal », ceci constituant une erreur « volontaire » de perspective que l'on aurait pu éviter en inclinant l'axe du ressort parallèlement aux axes des rouleaux engendrant le défilement du papier enregistreur  
  5. Il y a aussi les frottements de glissement de l'objet sur le plan horizontal ; pour les rendre les plus faibles possibles   en effet leur présence peut entraîner une position d'équilibre différente de celle précisée dans ce paragraphe   on peut faire glisser l'objet sur de l'huile ou   comme c'est suggéré dans le mode opératoire du paragraphe « description » plus haut dans ce chapitre   sur un coussin d'air.
  6. Robert Hooke (1635 - 1703) est l'un des plus grands scientifiques expérimentaux anglais du XVIIème siècle ayant contribué à l'avancement des sciences et techniques dans pratiquement tous les domaines.
  7. Il n'y a pas de notation privilégiée pour une compression.
  8. Construit à partir du nom de Newton ;
       Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
  9. 9,0 et 9,1 Construit à partir du nom de Galilée ;
       Galileo Galilei (1564 - 1642) mathématicien, géomètre, physicien et astronome italien  plus exactement pour l'époque florentin , à qui on doit en   l'amélioration de la longue vue inventée par l'opticien hollandais Hans Lippershey (1570 - 1619) en lunette d'observation des objets célestes sans inversion de l'image par ajout d'une lentille divergente ; dès   en observant les phases de Vénus, il est convaincu que le géocentrisme ne permet pas une explication simple de cette observation contrairement à l'héliocentrisme  théorie physique dont l'essor est essentiellement dû à Nicolas Copernic (1473 - 1543) chanoine, médecin et astronome polonais  et défend cette thèse en poursuivant ses observations jusqu'en   où il fût déclaré suspect d'hérésie par l'Inquisition romaine et dût adjurer ; il a aussi posé les bases de la mécanique en étudiant l'équilibre et le mouvement des corps solides  en particulier leur chute, leur translation rectiligne et leur inertie  ainsi que la généralisation des mesures de temps  en particulier par l'étude de l'isochronisme du pendule .
  10. 10,0 et 10,1 Voir le paragraphe « référentiels galiléens » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  11. Voir le paragraphe « autre forme de la relation fondamentale spécifique à la dynamique newtonienne, la “ r.f.d.n. ” (forme la plus usitée de la relation fondamentale de la dynamique newtonienne) » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  12. 12,0 et 12,1 Relation Fondamentale de la Dynamique Newtonienne.
  13. C.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre homogène sans terme du 1er ordre.
  14. Définie avec le cœfficient de la dérivée de plus haut ordre égal à   et s'obtenant   quand ce n'est pas le cas   en divisant les deux membres par le cœfficient de la dérivée de plus haut ordre.
  15. On dit alors que l'on fait une « réduction canonique du problème » ; faire une réduction canonique c'est éliminer les grandeurs spécifiques au problème pour les remplacer par des grandeurs qui vont caractériser le type de problème ; par exemple si on multiplie la raideur   par   et que l'on fait de même pour la masse  , on aura la même pulsation propre donc le même mouvement ; un autre intérêt de faire une réduction canonique d'un problème est que l'on peut trouver un problème équivalent dans un autre domaine de la mécanique ou plus généralement de la physique.
  16. Harmonique étant synonyme de sinusoïdal.
  17. 17,0 et 17,1 Choix à privilégier si l'abscisse ou la vitesse est nulle à l'instant initial
  18. 18,00 18,01 18,02 18,03 18,04 18,05 18,06 18,07 18,08 18,09 18,10 18,11 et 18,12 Condition(s) Initiale(s).
  19. D'après ce qui a été dit précédemment ce choix est maladroit, mais il n'est pas interdit.
  20. Le choix de   implique     ne représente donc pas l'amplitude des oscillations  et la loi horaire de position s'écrit « » que l'on transforme en «   » compte-tenu de  .
  21. Usuellement on note   le cœfficient de   au lieu de  .
  22. Rappel de la définition du « radian »  unité mathématique et non physique   ne doit pas être considérée pour vérifier l'homogénéité des formules  : mesure d'un angle au centre telle que la longueur de l'arc qu'il délimite sur un cercle est égale au rayon du cercle ou   avec   si  .
  23. Nous avons posé   en précisant que son unité   déduite de l'équation différentielle   est   c'est aussi   en accord avec le fait que le   ne pouvait être trouvé par des considérations d'homogénéité de l'équation différentielle.
  24. En effet, quand   augmente de  ,   augmente de   d'où  .
  25. C'est aussi ce qu'on observerait sur l'enregistrement du dispositif expérimental du début de chapitre aux amortissements près   en effet les frottements, mêmes réduits au minimum, sont inévitables   ceci se manifeste par un très léger amortissement exponentiel dans la mesure où les frottements fluides prédominent.
  26. On remarque que, pour dériver par rapport au temps, une grandeur sinusoïdale du temps   il suffit de multiplier l'amplitude par   et ajouter   à la phase à l'origine soit  .
  27. Si   et  , on dit que   est en quadrature avance sur   si    ,   étant par conséquent en quadrature retard sur  .
  28. L'énergie cinétique sera notée  , on peut encore trouver    ou, plus rarement,   mais ici ce serait très mal venu,   représentant déjà la projection de la tension du ressort sur  , toutefois je privilégierai la notation  .
  29. 29,0 et 29,1 L'énergie cinétique varie de façon quadratique avec la vitesse  c.-à-d. proportionnellement au carré de la vitesse  et linéairement avec la masse.
  30. Cette expression a été introduite au cours du secondaire et sera revue au paragraphe « définition de l'énergie cinétique d'un point matériel dans le référentiel d'étude à partir des grandeurs d'inertie et cinématique du point » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  31. Cette dernière forme étant obtenue en utilisant  .
  32. La pulsation d'oscillation de   étant double de cette de  , la période est donc la moitié.
  33. 33,0 et 33,1 La valeur moyenne d'une grandeur   est notée   ou simplement  , sa définition sera vue en note « 4 » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       ici il suffit de savoir que sur un intervalle d'une période de  , soit  , à chaque valeur de  , on peut associer une valeur unique de   telle que    en effet   d'où la valeur moyenne d'un cosinus sur un intervalle d'une période est nulle soit   ou, avec  ,   et
       ici il suffit de savoir que la valeur moyenne d'une constante est la constante soit  .
  34. L'énergie potentielle sera notée  , on peut encore trouver  , toutefois je privilégierai la notation  .
  35. 35,0 et 35,1 L'énergie potentielle élastique varie de façon quadratique avec l'allongement algébrique  c.-à-d. proportionnellement au carré de l'allongement algébrique  et linéairement avec la raideur.
  36. Cette expression sera établie sous une forme plus générale au paragraphe « énergie potentielle élastique d'un point matériel » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  37. La pulsation d'oscillation de   étant double de cette de  , la période est donc la moitié.
  38. Voir le paragraphe « définition de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».
  39. Nous démontrerons dans le paragraphe « 1ère justification du signe “ - ” dans la définition de l'énergie potentielle du mouvement d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) par réécriture du théorème de l'énergie cinétique » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » à partir de l'application de la r.f.d.n.
       Nous démontrerons le « théorème de la variation de l'énergie mécanique d'un point matériel dans un champ de force(s) conservative(s) » énoncé dans le même chap.  de la même leçon « Mécanique 1 (PCSI) »  la notion de force conservative  ou non  étant vue dans les paragraphes « 1ère définition d'une force conservative » et « exemples de forces non conservatives » de ce chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »  et son cas particulier,
       Nous démontrerons la « conservation de l'énergie mécanique d'un point matériel “ à mouvement conservatif ” » énoncée dans le chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » mais
       Nous démontrerons pour l'instant nous nous contentons d'une simple vérification.
  40. Ce n'est pas parce que l'équation différentielle trouvée par conservation de l'énergie mécanique est d'ordre un qu'elle est plus simple à intégrer que celle du mouvement trouvée par application de la r.f.d.n. qui est d'ordre deux ; ce qui compte pour la simplicité de l'intégration est le caractère linéaire de l'équation différentielle et dans ce cas c'est indéniablement l'équation différentielle du mouvement d'ordre deux qui est la plus simple.
  41. La dérivation d'une équation différentielle du 1er ordre augmentant l'ordre de l'équation différentielle d'une unité, nous obtiendrons effectivement une équation différentielle du 2ème ordre.
  42. On adopte ici la notation « différentielle » pour écrire la dérivée, ce qui permet de retenir plus facilement la formule de dérivation d'une fonction composée ; pour dériver la fonction composée   par rapport à la variable  , on dérive la fonction   relativement à la variable intermédiaire   et on multiplie par la dérivée de la fonction   relativement à la variable  .
  43. La dérivée de la constante   par rapport au temps   étant nulle.