Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre

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Signal mécanique transversal ou longitudinal, célérité de propagation

Déplacement d'un ébranlement le long d'une corde sur une petite durée

Déplacement d'une compression ponctuelle le long d'un ressort sur une petite durée

     Un signal mécanique est, a priori, une perturbation de courte durée se propageant dans un milieu matériel élastique en provoquant des déformations $\;{\big (}$ou ébranlements${\big )}\;$ du milieu à son passage mais sans déplacement global de matière ;

     on distingue :

• les signaux transversaux : ce sont des déformations orthogonales à la direction de propagation $\;{\big \{}$comme la déformation d'une corde $\;{\big (}$ci-contre à gauche${\big )}$, une vague à la surface de l'eau $-$ exemple observable sur une cuve à ondes $\;\ldots {\big \}}$ ;
• les signaux longitudinaux : ce sont des déformations parallèles à la direction de propagation $\;{\big \{}$comme l'ensemble « compression et élongation » d'un ressort $\;{\big (}$ci-dessous à droite${\big )}$ $\;\ldots {\big \}}$.

     On définit la célérité de propagation du signal mécanique notée $\;c\;$ comme la vitesse $\;{\big (}$non algébrisée${\big )}\;$ de déplacement de la déformation mécanique c.-à-d. «$\;c={\Bigg |}{\dfrac {\Delta x}{\Delta t}}{\Bigg |}\;$» .

Grandeurs vibrantes en acoustique, célérité de la propagation

     Un signal acoustique est un signal mécanique dans un milieu matériel élastique fluide  ou solide, correspondant à une variation locale de pression ;
     ce signal est nécessairement longitudinal dans un fluide , mais longitudinal ou transversal dans un solide .

Notion de pression en mécanique

     Quand on exerce une force $\;{\vec {F}}\;$ sur un objet répartie sur une surface $\;S\;$ de l'objet, on peut décomposer cette force en une composante normale $\;F_{n}\,{\vec {n}}\;$ et une composante tangentielle $\;F_{\tau }\,{\vec {\tau }}\;$, seule la composante normale « appuie » sur l'objet, la composante tangentielle ayant tendance à déplacer l'objet tangentiellement ;

     la « composante normale $\;F_{n}\,{\vec {n}}\;$ est appelée force pressante » $\;{\big (}$cette dernière est effectivement pressante si $\;F_{n}\;$ est $\;>0{\big )}\;$ et
     on définit la « pression exercée par la force pressante sur l'objet par la relation $\;p={\dfrac {F_{n}}{S}}\;$ exprimée en $\;Pa\;$» $\;{\big (}1\,Pa=1\,N\!\cdot \!m^{-2}{\big )}\;$.

Les deux principales grandeurs vibrantes en acoustique

     Dans le cas d'un liquide « normal » ou un gaz, le signal acoustique est longitudinal, exemple :

          Dans le cas d'un liquide « normal » ou un gaz, un signal acoustique dans l'air où on observe la propagation par « compression ou dilatation » de « couches » d'air, la grandeur acoustique étant :

          Dans le cas d'un liquide « normal » ou un gaz, un signal acoustique dans l'air $\succ \;$l'« élongation $\;\xi \;$ de la couche d'air » c.-à-d. son déplacement par rapport à sa position au repos $\;{\big (}$voir ci-dessous
          Dans le cas d'un liquide « normal » ou un gaz, un signal acoustique dans l'air $\color {transparent}{\succ }\;$à gauche${\big )}\;$ ou, ce qui est une conséquence de la compression ou dilatation,
          Dans le cas d'un liquide « normal » ou un gaz, un signal acoustique dans l'air $\succ \;$la pression acoustique $\;p\;$ ${\big (}$ou pression relative voir le diagramme temporelle ci-dessous à droite${\big )}\;$ «$\;p=P-P_{0}\;$», $\;P_{0}\;$ étant la pression au repos et $\;P\;$ la pression instantanée, avec $\;p>0\;$ pour une compression et $\;p<0\;$ pour une dilatation.

• 
  Propagation du déplacement d'un piston à l'extrémité d'un tuyau rempli d'air
• 
  Propagation d'une surpression créée à l'extrémité d'un tuyau rempli d'air

     Dans le cas d'un solide ou d'un liquide « très visqueux » le signal peut être :

• longitudinal $\;{\big (}$onde $\;L{\big )}$, exemple d'un signal acoustique $\;L\;$ dans l'acier à $\;1\,\%\;$ de carbone où on observe une succession de dilatations et compressions longitudinales $\;{\big \{}$les grandeurs acoustiques possibles étant les mêmes que celles d'un signal acoustique dans un liquide « normal » ou dans un gaz${\big \}}$ $\;{\big (}$voir ci-dessous à gauche${\big )}\;$ ou,
• transversal $\;{\big (}$onde $\;T{\big )}$, exemple d'un signal acoustique $\;T\;$ dans le même acier où on voit une succession de cisaillements transversaux $\;{\big (}$voir ci-dessous à droite${\big )}$,
  transversal $\;\color {transparent}{\big (}$onde $\;\color {transparent}{T{\big )}}$, les grandeurs acoustiques possibles étant alors :
  transversal $\;\color {transparent}{\big (}$onde $\;\color {transparent}{T{\big )}}$, les grandeurs acoustiques $\succ \;$le « déplacement latéral$\;\zeta \;$des atomes » c.-à-d. leur déplacement transversal relativement à leur position au repos $\;{\big (}$ce déplacement est le même pour tous les atomes d'une même surface transversale, mais il diffère d'une surface transversale à une autre${\big )}\;$ ou
  transversal $\;\color {transparent}{\big (}$onde $\;\color {transparent}{T{\big )}}$, les grandeurs acoustiques $\succ \;$la « contrainte de cisaillement $\;\tau _{\perp }\;$ du matériau » définie par «$\;\tau _{\perp }={\dfrac {F_{\perp }}{S}}\;$» où $\;F_{\perp }\;$ est la composante de force créant le déplacement latéral des atomes d'une surface transversale et $\;S\;$ l'aire de la surface sur laquelle s'exerce cette force.

• 
  Succession de dilatations et compressions à un instant $\;t\;$ dans un solide
• 
  Onde de cisaillement observée à un instant $\;t\;$ dans un solide

Célérité de propagation d'un signal acoustique

     La « célérité de propagation du signal acoustique » notée «$\;c\;$» est encore la « vitesse$\;{\big (}$non algébrisée${\big )}\;$de déplacement de la grandeur acoustique »,
La «célérité de propagation du signal acoustique» elle dépend de la masse volumique du milieu mais aussi de son élasticité ;
     La « célérité de propagation du signal acoustique » «$\;c\;$ est d'autant plus grande que la masse volumique et l'élasticité du milieu de propagation sont petites » ;
     La « célérité de propagation du signal acoustique » «$\;\color {transparent}{c}\;$ comme la masse volumique d'un gaz est plus petite que celle d'un liquide laquelle est de même ordre de grandeur que celle d'un solide
     La « célérité de propagation du signal acoustique » «$\;\color {transparent}{c}\;$ alors que l'élasticité d'un gaz est plus grande que celle d'un liquide laquelle est plus grande que celle d'un solide,
     La « célérité de propagation du signal acoustique » on en déduit que :

• la célérité de propagation d'une onde acoustique longitudinale dans un solide est plus grande que celle d'une onde acoustique de même nature dans un liquide « normal » $\;{\big (}$dans les conditions usuelles de température et de pression, elle vaut dans l'acier à $\;1\,\%\;$ de carbone $\;c_{\,{\text{long, acier}}}\simeq$ $5900\,m\!\cdot \!s^{-1}\;$ et dans l'eau $\;c_{\,{\text{eau}}}\simeq 1500\,m\!\cdot \!s^{-1}{\big )}$,
• la célérité de propagation d'une onde acoustique dans un gaz $\;{\big (}$donc longitudinale${\big )}\;$ est plus petite que celle d'une onde acoustique de même nature dans un liquide « normal » $\;{\big (}$dans les conditions usuelles de température et de pression, elle vaut dans l'eau $\;c_{\,{\text{eau}}}\simeq 1500\,m\!\cdot \!s^{-1}\;$ et dans l'air $\;c_{\,{\text{air}}}\simeq 340\,m\!\cdot \!s^{-1}{\big )}$.

     Dans les solides $\;{\big (}$ou les liquides « très visqueux » ${\big )}\;$ la célérité d'un signal acoustique longitudinal est toujours plus grande que celle d'un signal acoustique transversal $\;{\big (}$dans les conditions usuelles de température et de pression elles valent dans l'acier à $\;1\,\%\;$ de carbone $\;c_{\,{\text{long, acier}}}\simeq$ $5900\,m\!\cdot \!s^{-1}\;$ pour les ondes $\;L\;$ et $\;c_{\,{\text{transv, acier}}}\simeq 3200\,m\!\cdot \!s^{-1}\;$ pour les ondes $\;T{\big )}$.

Grandeurs vibrantes en électricité, célérité de la propagation

     Un « signal électrique » est la « variation$\;{\big (}$de courte durée${\big )}\;$d'une grandeur électrique dans un milieu matériel conducteur de l'électricité » .

Notion d'intensité de courant et de tension

     Commentaire préliminaire : Ces notions seront vues plus en détail dans les paragraphes « notion de courant électrique et définition de l'intensité du courant en un point du circuit filiforme » et « potentiel d'un point d'un circuit électrique, choix de la référence de potentiel, définition de la tension entre deux points d'un circuit » du chap.$21$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », seuls les éléments indispensables à la compréhension du paragraphe intitulé « grandeurs vibrantes en électricité, célérité de la propagation » sont introduits.

Notion de conducteur, isolant, semi-conducteur

     Pour qu'un milieu soit conducteur il faut qu'il possède des éléments chargés mobiles que l'on appelle « porteurs de charge mobiles » .

     Un milieu sera plus ou moins bon conducteur s'il y a suffisamment de porteurs de charge mobiles :

• électrons de conduction pour un métal ,
• ions pour un électrolyte ,
• électrons de conduction $\;{\big (}$ou porteurs $\;n{\big )}\;$ et « trous » $\;{\big (}$ou porteurs $\;p{\big )}\;$ pour un semi-conducteur intrinsèque ,
• porteurs $\;n\;$ pour un semi-conducteur extrinsèque dopé $\;N\;$ et
• porteurs $\;p\;$ pour un semi-conducteur extrinsèque dopé $\;P\;$.

Évaluation de la densité volumique particulaire des porteurs de charge mobiles dans quelques conducteurs typiques

• Exemple du cuivre : il s'agit d'un conducteur métallique, les porteurs de charge mobiles sont donc les « électrons de conduction » ; en moyenne un électron de valence $\;{\big (}$le moins lié dans l'atome de cuivre${\big )}\;$ étant libéré par atome de cuivre, on en déduit $\;N_{V,\,m}({\text{élect de conduc}})=$ $N_{V}({\text{atomes de Cu}})$ ;
  Exemple du cuivre : $\succ \;$données : densité du cuivre $\;d=8,95={\dfrac {\mu _{\text{Cu}}}{\mu _{\text{eau}}}}\;$ d'où sa masse volumique $\;\mu _{\text{Cu}}=8950\,kg\!\cdot \!m^{-3}$, masse molaire atomique du cuivre $M_{\text{Cu}}=63,5\,g\!\cdot \!mol^{-1}\;$ et constante d'Avogadro $\;{\mathcal {N}}=6,02\,10^{23}\,mol^{-1}$ ;
  Exemple du cuivre : $\color {transparent}{\succ }\;$ on trouve $\;N_{V,\,m}\simeq N_{V}({\text{atomes de Cu}})={\mathcal {N}}\,{\dfrac {\mu _{\text{Cu}}}{M_{\text{Cu}}}}=6,02\,10^{23}\times {\dfrac {8950}{63,5\,10^{-3}}}\;$ soit finalement «$\;N_{V,\,m}\simeq 8,5\,10^{28}\,m^{-3}\;$».
• Exemple de solution aqueuse de chlorure de sodium : il s'agit d'un conducteur électrolytique, les porteurs de charge mobiles sont donc des « ions positifs $\;{\big (}$ou cations${\big )}\;$ et négatifs $\;{\big (}$ou anions${\big )}\;$» ; le chlorure de sodium est un cristal ionique totalement dissocié dans l'eau selon «$\;NaCl_{s}{\overset {\text{eau}}{\longrightarrow }}Na_{\text{aq}}^{+}+Cl_{\text{aq}}^{-}\;$», les porteurs de charge mobile sont « les cations sodium hydratés $\;Na_{\text{aq}}^{+}\;$» et « les anions chlorure hydratés $\;Cl_{\text{aq}}^{-}\;$», en même quantité $\;{\big (}$assurant l'électroneutralité de la solution${\big )}$ ;
  Exemple de solution aqueuse de chlorure de sodium : $\succ \;$on considère une eau salée de concentration volumique molaire $\;c=0,1\,mol\!\cdot \!L^{-1}=10^{2}\,mol\!\cdot \!m^{-3}$, on peut facilement évaluer $\;N_{V,\,m}(Na_{\text{aq}}^{+})$ $=N_{V,\,m}(Cl_{\text{aq}}^{-})\;$ à partir de $\;c\;$ et de $\;{\mathcal {N}}\;$ selon «$\;N_{V,\,m}(Na_{\text{aq}}^{+})=N_{V,\,m}(Cl_{\text{aq}}^{-})={\mathcal {N}}\,c\;$»,
  Exemple de solution aqueuse de chlorure de sodium : $\color {transparent}{\succ }\;$on trouve alors $\;N_{V,\,m}(Na_{\text{aq}}^{+})=N_{V,\,m}(Cl_{\text{aq}}^{-})=$ $6,0\,10^{23}\times 10^{2}\;$ en $\;m^{-3}\;$ soit «$\;N_{V,\,m}(Na_{\text{aq}}^{+})=N_{V,\,m}(Cl_{\text{aq}}^{-})\simeq 6,0\,10^{25}\,m^{-3}\;$».
• Exemple de l'eau : elle est très légèrement ionisée selon «$\;2\,H_{2}O\;{\overset {\text{eau}}{\rightleftarrows }}\;H_{3}O_{\text{aq}}^{+}+HO_{\text{aq}}^{-}\;$», les porteurs de charge mobiles sont « les cations oxonium hydratés $\;H_{3}O_{\text{aq}}^{+}\;$» et « les anions hydroxydes hydratés $\;HO_{\text{aq}}^{-}\;$», en même quantité dans l'eau pure $\;{\big (}$assurant l'électroneutralité de cette dernière${\big )}$ ;
  Exemple de l'eau : $\succ \;$la densité volumique pour chaque porteur étant la même $\;N_{V,\,m}(H_{3}O_{\text{aq}}^{+})=N_{V,\,m}(HO_{\text{aq}}^{-})$, elle se détermine à partir de la valeur du $\;pH\;$ de l'eau pure à $\;25\,{\text{°C}}$, «$\;pH=7,0\;$» d'où « une concentration volumique molaire en oxonium $\;\left[H_{3}O_{\text{aq}}^{+}\right]=10^{-7}\,mol\!\cdot \!L^{-1}\;$» et « une densité volumique molaire du même ion $\;n_{V,\,m}(H_{3}O_{\text{aq}}^{+})=10^{-4}\,mol\!\cdot \!m^{-3}\;$»  ;
  Exemple de l'eau : $\color {transparent}{\succ }\;$en multipliant par $\;{\mathcal {N}}$, on obtient la densité volumique particulaire commune des deux ions $\;N_{V,\,m}(HO_{\text{aq}}^{-})=$ $N_{V,\,m}(H_{3}O_{\text{aq}}^{+})=n_{V,\,m}(H_{3}O_{\text{aq}}^{+})\;{\mathcal {N}}\simeq 10^{-4}\times 6,0\,10^{23}\;$ soit finalement «$\;N_{V,\,m}(H_{3}O_{\text{aq}}^{+})=N_{V,\,m}(HO_{\text{aq}}^{-})\simeq 6,0\,10^{19}\,m^{-3}\;$» $\;{\big (}$d'où le qualificatif de « mauvais conducteur »${\big )}$.

Modélisation filiforme d'un conducteur, sens conventionnel du courant

     Quand une dimension $-$ longitudinale $-$ est très grande par rapport aux deux autres transversales, on modélise le conducteur par une portion dite « filiforme » correspondant à l'absence de dimensions transversales ;
     le sens du courant est, par définition, le sens de déplacement d'ensemble des porteurs de charge positive $\;{\big (}$et le sens contraire du déplacement d'ensemble des porteurs de charge négative${\big )}\;$.

Définition de l'intensité algébrique du courant

     Pour algébriser l'intensité du courant, on définit $\;{\big (}$arbitrairement${\big )}\;$ un sens $\;+\;$ de mesure de l'intensité du courant :

     l'intensité $\;{\big (}$algébrique${\big )}\;$ «$\;i\;$» du courant traversant le circuit filiforme en un point $\;M\;$ est « la charge traversant le point $\;M\;$ dans le sens $\;+\;$ par unité de temps » c.-à-d. par $\;s\;$ ou,

     l'intensité $\;\color {transparent}{\big (}$algébrique$\color {transparent}{\big )}\;$ «$\;\color {transparent}{i}\;$» du courant si la charge $\;\delta q\;$ traverse $\;M\;$ dans le sens $\;+\;$ pendant $\;\delta t$, «$\;i=\lim \limits _{\delta t\rightarrow 0}{\dfrac {\delta q}{\delta t}}\;$» ou,
     l'intensité $\;\color {transparent}{\big (}$algébrique$\color {transparent}{\big )}\;$ «$\;\color {transparent}{i}\;$» du courant en notant $\;dt\;$ l'infiniment petit représentant $\;\delta t\rightarrow 0\;$ et $\;dq\;$ l'infiniment petit correspondant à $\;\delta q\rightarrow 0\;$,
     l'intensité $\;\color {transparent}{\big (}$algébrique$\color {transparent}{\big )}\;$ «$\;\color {transparent}{i}\;$» du courant si la charge $\;\color {transparent}{\delta q}\;$ traverse $\;\color {transparent}{M}\;$ dans le sens $\;\color {transparent}{+}\;$ pendant $\;\color {transparent}{\delta t}$, «$\;i={\dfrac {dq}{dt}}\;$ s'exprimant en $\;A\;$», ${\big (}1\,A=1\,C\!\cdot \!s^{-1}{\big )}$ ;

     on représente le courant sur un circuit filiforme par une flèche sur les fils de connexion dans le sens $\;+\;$ de mesure de l'intensité algébrique et on indique celle-ci à côté de la flèche.

Nécessité d'imposer une tension aux bornes d'un récepteur pour qu'il soit traversé par un courant

     Pour qu'il y ait circulation de courant dans la partie réceptrice d'un circuit filiforme, il faut que les porteurs soient soumis à une force motrice qui est d'origine électrique ; pour cela

     Pour qu'il y ait circulation de courant dans la partie réceptrice le récepteur est relié à un générateur qui impose en tout point du récepteur un champ électrique $\;{\vec {E}}(M)$, et par suite
     Pour qu'il y ait circulation de courant dans la partie réceptrice un porteur de charge $\;q_{p}\;$ y subit une force électrique $\;{\vec {F}}_{\text{élect}}=q_{p}\,{\vec {E}}\;$ le mettant en mouvement dans le sens du courant si $\;q_{p}>0\;$ et
     Pour qu'il y ait circulation de courant dans la partie réceptrice un porteur de charge $\;\color {transparent}{q_{p}}\;$ y subit une force électrique $\;\color {transparent}{{\vec {F}}_{\text{élect}}=q_{p}\,{\vec {E}}}\;$ le mettant en mouvement dans le sens contraire si $\;q_{p}<0$ ;
     Pour qu'il y ait circulation de courant dans la partie réceptrice on en déduit que le courant dans un récepteur est toujours dans le sens du champ électrique $\;{\vec {E}}\;$ ;

     le porteur de charge $\;q_{p}\;$ dans le champ électrique $\;{\vec {E}}\;$ possède de l'énergie potentielle électrique $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}\;$ tout comme un objet ponctuel de masse $\;m\;$ dans le champ de pesanteur uniforme $\;{\vec {g}}\;$ possède de l'énergie potentielle de pesanteur $\;U_{\text{pes}}$ ;

     le porteur de charge $\;\color {transparent}{q_{p}}\;$ dans le champ électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ dans l'hypothèse où $\;q_{p}\;$ est $\;>0\;$, son énergie potentielle électrique $\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}\searrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {E}}\;$ comme l'énergie potentielle de pesanteur de l'objet ponctuel $\;U_{\text{pes}}\searrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {g}}\;$ ${\big \{}{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}\;$ est $\;\propto \;$ à $\;q_{p}\;$ comme $\;U_{\text{pes}}\;$ est $\;\propto \;$ à $\;m$, l'autre facteur ne dépendant que de la position dans le champ${\big \}}$ ;

     le porteur de charge $\;\color {transparent}{q_{p}}\;$ dans le champ électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ on définit l'énergie potentielle électrique du porteur de charge $\;q_{p}>0\;$ dans le champ électrique $\;{\vec {E}}(M)\;$ selon «$\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}=$ $q_{p}\,V(M)\;$» où «$\;V(M)\;$ représente le potentiel électrique en $\;M\;$ exprimé en $\;V\;$» par analogie avec l'énergie potentielle de pesanteur d'un objet ponctuel de masse $\;m\;$ dans le champ de pesanteur $\;{\vec {g}}\;$ «$\;U_{\text{pes}}=$ $m\,g\,z\;$» où «$\;z\;$ est l'altitude de l'objet par rapport au sol » $\;{\big \{}$le potentiel électrique en $\;M\;$ étant l'analogue de la grandeur $\;g\;z\;$ que l'on pourrait baptiser « potentiel de pesanteur en $\;M\;$» ${\big \}}$,

     le porteur de charge $\;\color {transparent}{q_{p}}\;$ dans le champ électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ l'expression «$\;{\mathcal {E}}_{p,\,{\text{élec}}}=q_{p}\,V(M)\;$ avec $\;V(M)\;$ potentiel électrique en $\;M\;$ en $\;V\;$» reste « applicable à un porteur de charge $\;q_{p}<0\;$»  ;

     le porteur de charge $\;\color {transparent}{q_{p}}\;$ dans le champ électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ le « potentiel électrique $\;V(M)\;$ en $\;M\;$ a la propriété de $\;\searrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {E}}\;$» $\;{\big \{}$comme le « potentiel de pesanteur en $\;M\;$ $\;g\;z\;$» a la propriété de $\;\searrow \;$ dans le sens de $\;{\vec {g}}\;$»${\big \}}$ ;

     le porteur de charge $\;\color {transparent}{q_{p}}\;$ dans le champ électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ une énergie potentielle nécessitant de préciser sa référence , il en est de même du potentiel électrique qui n'est donc défini qu'à une constante additive près, on choisit donc l'endroit où le potentiel est considéré comme nul et cet endroit définit la « masse » du circuit  $\;{\big \{}$analogue de l'origine des altitudes pour le « potentiel de pesanteur » ${\big \}}$ ;

     le porteur de charge $\;\color {transparent}{q_{p}}\;$ dans le champ électrique $\;\color {transparent}{\vec {E}}\;$ on peut donc affirmer que le courant dans un récepteur est toujours dans le sens décroissant des potentiels.

     De même que l'on définit une dénivellation dans un champ de pesanteur comme une différence d'altitudes,
     De même que l'on définit une tension dans un champ électrique comme une différence de potentiels ou d.d.p., plus précisément
        De même que l'on définit la tension $\;u_{AB}=V(A)-V(B)\;$ représentée sur le schéma d'un circuit par une flèche à côté du circuit allant de $\;B\;$ vers $\;A$, sa valeur notée à côté de la flèche ;

     si le courant dans un récepteur circule de $\;A\;$ vers $\;B$, les potentiels des extrémités sont donc tels que $\;V(A)>V(B)\;$ $\Rightarrow$ la tension $\;u_{AB}\;$ est $\;>0$,
     si le courant dans un récepteur circule de $\;\color {transparent}{A}\;$ vers $\;\color {transparent}{B}$, la tension $\;u_{AB}\;$ étant représentée par une flèche à côté du circuit allant de $\;B\;$ vers $\;A\;$ et le courant par une flèche sur le circuit allant de $\;A\;$ vers $\;B$, nous en déduisons que

« la flèche tension aux bornes d'un récepteur est toujours de sens contraire à la flèche courant circulant dans le récepteur »
pourvu que les flèches tension et courant définissent des tensions et des intensités toutes deux positives.

Tension aux bornes d'un générateur et sens du courant dans ce dernier

     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, joue le rôle du « tire-fesses » pour des skieurs ou de « pompe » pour l'eau qui doit monter aux étages,
     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, l'énergie potentielle électrique des porteurs de charge mobiles arrivant par la borne «$\;-\;$» d'un générateur de tension permanente ou
     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, l'énergie potentielle électrique des porteurs de charge mobiles arrivant par la borne noire d'un générateur de fonctions
     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, l'énergie potentielle électrique des porteurs de charge mobiles doit croître pour que ces porteurs atteignent l'autre borne $\;{\big \{}$à savoir la borne «$\;+\;$» d'un générateur de tension permanente ou la borne rouge d'un générateur de fonctions ${\big \}}$,
     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, la croissance de l'énergie potentielle électrique des porteurs de charge mobiles lors de la traversée d'un générateur dans le sens du courant que ce dernier délivre correspond à « une force électrique s'exerçant sur un porteur$\;{\vec {F}}_{\text{élect}}=q_{p}\,{\vec {E}}\;$résistive » tout comme la composante résistive du poids du skieur le long de la pente quand ce dernier remonte en « tire-fesses » ou comme le poids résistif de l'eau quand celle-ci est montée aux étages à l'aide d'une pompe ;

     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, pour que ceci soit possible il faut donc que les porteurs de charge mobiles lors de la traversée d'un générateur dans le sens du courant que ce dernier délivre subissent une force motrice, cette dernière ayant une origine qui dépend de la nature du générateur $\;{\big (}$« origine électrochimique » pour une pile avec introduction de « phénomènes d'oxydo-réduction » ou « origine électromécanique » pour un alternateur avec introduction de « phénomènes d'induction »${\big )}\;$ peut être écrite en fonction d'un « champ dit électromoteur » noté «$\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}(M)\;$» indépendant du porteur, «$\;{\vec {F}}_{\text{électromot}}=q_{p}\,{\vec {E}}_{\text{électromot}}\;$»  ; cette force due au champ électromoteur étant la cause de la mise en mouvement des porteurs de charge mobiles dans le générateur est dans le sens du courant si$\;q_{p}\;$est$\;>0\;$ ${\big (}$et dans le sens contraire si $\;q_{p}\;$ est $\;<0{\big )}\;$ d'où la conclusion sur le sens du champ électromoteur dans le générateur et celui du courant délivré par ce dernier ;

     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, le courant délivré par un générateur est toujours $\;{\big (}$à l'intérieur de ce dernier${\big )}\;$ dans le sens du champ électromoteur $\;{\vec {E}}_{\text{électromot}}\;$ c.-à-d.
     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, le courant délivré par un générateur est toujours $\;\color {transparent}{\big (}$à l'intérieur de ce dernier$\color {transparent}{\big )}\;$ dans le sens contraire du champ électrique $\;{\vec {E}}$ ;

     le lien entre champ électrique et potentiel restant le même que dans un récepteur à savoir « le champ électrique est dans le sens des potentiels $\;\searrow \;$», nous en déduisons que
     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, le courant délivré par un générateur est toujours $\;{\big (}$à l'intérieur de ce dernier${\big )}\;$ dans le sens croissant des potentiels.

     Définissant toujours une tension $\;u_{AB}\;$ comme la différence de potentiels $\;V_{A}-V_{B}\;$ et la représentant par une flèche à côté du générateur allant de $\;B\;$ vers $\;A$, la valeur de la tension notée à côté de la flèche, nous pouvons affirmer que

la flèche tension aux bornes d'un générateur est toujours de même sens que la flèche courant circulant dans ce dernier
$\;{\big (}$pourvu que les flèches tension et courant définissent des tensions et des intensités toutes deux positives ${\big )}$.

Les deux principales grandeurs vibrantes en électricité

     Nous savons déjà qu'un signal électrique est la variation $\;{\big (}$de courte durée${\big )}\;$ d'une grandeur électrique qui peut être une tension ou une intensité de courant :

     exemple : dans un câble coaxial, on crée un signal électrique de grandeur vibrante « tension » ou « intensité de courant » à une extrémité $\;S\;$ du câble $\;{\big (}$reliée à un générateur${\big )}\;$ pour l'envoyer à l'autre extrémité $\;R\;$ ${\big (}$reliée à un récepteur${\big )}$, dans la section $\;M\;$ du câble on retrouve les grandeurs vibrantes « tension » ou « intensité de courant » ;

     exemple : le signal associé à la grandeur vibrante « tension » $\;u_{MT}=V(M)-V(T)\;$ est transversal et
          exemple : celui associé à la grandeur vibrante « intensité du courant » $\;i_{S\rightarrow R}(M)\;$ est longitudinal .

Célérité de propagation d'un signal électrique

     La « célérité de propagation du signal électrique, notée $\;c\;$», est la « vitesse $\;{\big (}$non algébrisée${\big )}\;$ de déplacement de la grandeur électrique », elle dépend de la nature du diélectrique  séparant les deux conducteurs de la ligne, « sa valeur maximale est $\;c\simeq 300\,000\;km\!\cdot \!s^{-1}\;$» .

     Remarque : Parmi les différentes vitesses intervenant dans un signal électrique se propageant le long d'un câble coaxial, il convient de distinguer :
     Remarque : $\;\succ \;$« la célérité de la propagation » correspondant à la rapidité de transmission de l'information de valeur maximale $\;300\,000\;km\!\cdot \!s^{-1}$, de
     Remarque : $\;\succ \;$« la vitesse d'agitation thermique des porteurs de charge mobiles » d'ordre de grandeur $\;100\,m\!\cdot \!s^{-1}\;$ à température ordinaire pour des électrons de conduction et de
     Remarque : $\;\succ \;$« la vitesse moyenne de ces porteurs de charge mobiles correspondant à une intensité donnée », vitesse qui dépend de la valeur de l'intensité mais qui reste, pour des intensités usuelles, inférieure à $\;1\,mm\!\cdot \!s^{-1}$.

Grandeurs vibrantes en électromagnétisme, célérité de la propagation

     Un signal électromagnétique est la variation$\;{\big (}$de courte durée${\big )}\;$d'un champ électromagnétique .

Notion de champ électromagnétique

     Un ensemble de charges ponctuelles $\;{\big (}$im${\big )}$mobiles crée, en son voisinage, un « champ électrique » $\;{\vec {E}}(M)\;$ et
Un ensemble si les charges ponctuelles de l'ensemble sont mobiles, ce dernier crée, en son voisinage, en plus du champ électrique $\;{\vec {E}}(M)$, un « champ magnétique » $\;{\vec {B}}(M)\;$.

     Remarque : dans le cas où des charges ponctuelles sont immobiles dans un 1^er référentiel d'étude, ces dernières créent un champ électrique sans champ magnétique mais si on considère un 2^ème référentiel d'étude en mouvement par rapport au 1^er, les charges ponctuelles y devenant mobiles créent un champ magnétique en plus d'un champ électrique ;
     Remarque : suivant le référentiel d'étude considéré, un ensemble de charges ponctuelles est source d'un couple de champs électrique et magnétique $\;{\big (}$avec, pour certains référentiels, un des deux champs nul${\big )}$, ce couple définissant un « champ électromagnétique » $\;\left\lbrace {\vec {E}}(M)\,{\text{;}}\,{\vec {B}}(M)\right\rbrace \;$.

Milieu de propagation et grandeur vibrante

     Un signal électromagnétique n'a pas besoin de milieu matériel pour se propager, il traverse, par exemple, l'espace « vide » entre une galaxie lointaine et la Terre
     Un signal électromagnétique n'a pas besoin de milieu matériel pour se propage, il traverse, sous la forme d'un signal optique visible ou invisible,
     Un signal électromagnétique n'a pas besoin de milieu matériel pour se propage, il traverse, sous la forme d'un signal hertzien $\;{\big (}$ou radio${\big )}$,
     Un signal électromagnétique n'a pas besoin de milieu matériel pour se propage, il traverse, sous la forme de rayons $\;X\;$ ou de rayons $\;\gamma$ ;

          Un signal électromagnétique n'a pas besoin de milieu matériel, toutefois il peut traverser un milieu matériel, par exemple il peut être « guidé le long d'un câble de transmission constitué de deux conducteurs » $\;{\big (}$dans ce cas le signal électromagnétique est la cause du signal électrique introduit au paragraphe « les deux principales grandeurs vibrantes en électricité » plus haut dans ce chapitre${\big )}$ ;
          Un signal électromagnétique n'a pas besoin de milieu matériel, toutefois il peut traverser un milieu matériel, autre exemple un signal optique $\;{\big (}$cas particulier de signal électromagnétique${\big )}\;$ peut traverser des milieux matériels comme l'air, l'eau ou le verre, ces milieux sont alors qualifiés de « transparents » $\;{\big (}$les milieux ne permettant pas aux signaux optiques de traverser étant qualifiés d'« opaques »${\big )}$ ;

     la grandeur vibrante est le « champ électromagnétique » constitué de ses deux composantes vectorielles « électrique et magnétique » ;

     « dans le vide le signal électromagnétique est nécessairement transversal  » mais
     « dans la matière, à la composante transversale peut s'y ajouter une composante longitudinale ».

Célérité de propagation d'un signal électromagnétique

     La « célérité de propagation du signal électromagnétique » est la « vitesse$\;{\big (}$non algébrisée${\big )}\;$de déplacement du champ électromagnétique »,
     La « célérité de propagation du signal électromagnétique » dans le vide, elle est notée $\;c\;$ et vaut «$\;c\simeq 300\,000\;km\!\cdot \!s^{-1}\;$» et
     La « célérité de propagation du signal électromagnétique » dans un milieu matériel, elle est notée $\;v\;$ en vérifiant toujours «$\;v<c\simeq 300\,000\;km\!\cdot \!s^{-1}\;$» $\;{\big (}$la valeur de $\;v\;$ dépendant de la nature du milieu traversé${\big )}$.

Limitation de l'étude aux grandeurs vibrantes périodiques

     Pour la suite nous envisageons une grandeur vibrante « source »  «$\;T-{\text{périodique}}\;$», de fréquence $\;f={\dfrac {1}{T}}\;$,
   Pour la suite nous envisageons cette grandeur vibrante définit le « signal physique » transporté par l'« onde » , il est donc «$\;T-{\text{périodique}}\;$» a priori « non sinusoïdal $\;{\big (}$ou non harmonique${\big )}\;$».

Exemple de signal périodique sinusoïdal

L'onde correspondant au signal physique transporté est également dite « périodique sinusoïdale ».

     Si on note «$\;s(t)\;$ le signal $\;T-{\text{périodique}}\;$ source » , celui-ci est sinusoïdal s'il s'écrit sous la forme

«$\;s(t)=A\,\cos(2\,\pi \,f\,t+\varphi )=A\,\cos \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {t}{T}}+\varphi \right)=A\,\cos(\omega \,t+\varphi )\;$»

où «$\;\omega =2\,\pi \,f={\dfrac {2\,\pi }{T}}\;$» est la « pulsation du signal source » sinusoïdal, $\;A\;$ étant l'« amplitude » et $\;\varphi \;$ la « phase à l'origine des temps $\;{\big (}$ou initiale${\big )}\;$», $\;\omega \,t+\varphi \;$ étant la « phase à l'instant $\;t;$».

Analyse spectrale d'un signal périodique

     Faire l'analyse spectrale d'un « signal » périodique de fréquence $\;f$, c'est réaliser son développement en série de Fourier  ;
  Faire l'analyse spectrale à tout « signal » périodique $\;s(t)\;$ on associe l'éventuelle composante continue $\;C_{0}\;$ et les couples $\;\left\lbrace C_{n},\,\varphi _{n}\right\rbrace \;$ d'amplitude et de phase initiale de l'harmonique de rang $\;n$.

Représentation fréquentielle d'un signal périodique

     La « représentation fréquentielle d'un signal périodique $\;s(t)\;$ de fréquence $\;f\;$» est l'ensemble «$\;C_{0},\,\left\lbrace C_{n},\,\varphi _{n}\right\rbrace _{(n\in \mathbb {N} ^{*})}\;$» de l'éventuelle « composante continue » et des couples « amplitude, phase initiale » de tous les harmoniques du signal.

Spectre d'amplitudes (de la représentation fréquentielle) d'un signal périodique

     Le « spectre d'amplitudes d'un signal périodique $\;s(t)\;$ de fréquence $\;f\;$» est le graphe des valeurs «$\;\vert C_{0}\vert ,\,\left\lbrace C_{n}\right\rbrace _{(n\in \mathbb {N} ^{*})}\;$» de la valeur absolue de l'éventuelle composante continue et de l'amplitude des harmoniques du signal en fonction de la fréquence «$\;f_{n}=$ $n\,f\;$» $\;{\big \{}$il s'agit bien sûr d'un « spectre de raies »${\big \}}$.

Remarque

     On pourrait également tracer le « spectre de phases d'un signal périodique $\;s(t)\;$ de fréquence $\;f\;$» défini comme le graphe des valeurs «$\;\varphi _{0},\,\left\lbrace \varphi _{n}\right\rbrace _{(n\in \mathbb {N} ^{*})}\;$» en fonction de la fréquence «$\;f_{n}=n\,f\;$» $\;{\big (}$mais usuellement cela n'est pas fait car n'ayant que peu d'intérêt${\big )}$ $\;{\big \{}$il s'agirait encore d'un « spectre de raies »${\big \}}$.

Exemple d'un signal créneau symétrique

     Ci-dessous à gauche le tracé du graphe d'un signal créneau « symétrique » « impair » d'amplitude $\;1\,V\;$ et de fréquence $\;1\,kHz\;$ ${\big (}$donc de période $\;1\,ms{\big )}$ :

• 
  Tracé d'un signal créneau « symétrique » sur un intervalle large d'une période $\;{\big (}$fréquence $\;1\,kHz{\big )}$
• 
  Spectre des $\;20\;$ premiers harmoniques d'un signal créneau « symétrique » $\;{\big (}$fréquence $\;1\,kHz{\big )}$

     Ci-dessus à droite le spectre d'amplitudes d'un signal créneau « symétrique » pour les $\;20\;$ premiers harmoniques ;
     Ci-dessus à droite la décroissance de l'amplitude des harmoniques avec leur rang se fait lentement car $\;\propto \;$ à $\;{\dfrac {1}{n}}$.

Valeur des "amplitudes" (de la représentation fréquentielle) d'un signal créneau symétrique

     «$\;U_{m}=1\,V\;$ étant l'amplitude du signal créneau symétrique  », on trouve «$\;C_{0}=0\;$ ${\big (}$absence de composante continue${\big )}\;$» et
«$\;C_{n}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad \,{\text{si}}\,n\,{\text{est pair}}\\{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi \,n}}\,{\text{si}}\,n\,{\text{est impair}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ${\big (}$uniquement présence d'harmoniques de rang impair${\big )}\;$».

Valeur numérique des "amplitudes" des 1^ers harmoniques d'un signal créneau symétrique

     Avec «$\;U_{m}=1\,V\;$ pour amplitude du signal créneau symétrique  » on obtient :
          à «$\;1\,kHz,\;C_{1}=1,273\,V\;$»,           à «$\;3\,kHz,\;C_{3}=0,424\,V\;$»,           à «$\;5\,kHz,\;C_{5}=0,255\,V\;$»,
          à «$\;7\,kHz,\;C_{7}=0,182\,V\;$»,           à «$\;9\,kHz,\;C_{9}=0,142\,V\;$»,           à «$\;11\,kHz,\;C_{11}=0,116\,V\;$»,
          à «$\;13\,kHz,\;C_{13}=0,098\,V\;$»,       à «$\;15\,kHz,\;C_{15}=0,085\,V\;$»,       à «$\;17\,kHz,\;C_{17}=0,075\,V\;$»,
          à «$\;19\,kHz,\;C_{19}=0,067\,V\;$»       $\ldots$

'Preuve des valeurs d'amplitudes (en complément)'

     Nous cherchons le 1^er développement en série de Fourier du signal créneau symétrique  :
     le signal étant à valeur moyenne nulle n'a pas de composante continue d'où $\;C_{0}=A_{0}=0$ ;
     le signal étant impair, les harmoniques pairs sont absents d'où $\;A_{n}=0\;\;$ $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}$ ;
     les cœfficients des harmoniques impairs se calculent par $\;B_{n}=$ ${\dfrac {2}{T}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{\frac {T}{2}}U_{m}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt+\displaystyle \int _{\frac {T}{2}}^{T}(-U_{m})\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt\right\rbrace$ $={\dfrac {2\,U_{m}}{T}}\left\lbrace \left[{\dfrac {-\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\right]_{0}^{\frac {T}{2}}+\left\lbrace \left[{\dfrac {\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\right]_{0}^{\frac {T}{2}}\right]_{\frac {T}{2}}^{T}\right\rbrace =$ ${\dfrac {U_{m}}{\pi \,n\,{\cancel {f\,T}}}}\left\lbrace -\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{2}}\right)+1+\cos(2\,\pi \,n\,f\,T)-\cdots \right.$ $\qquad \cdots \left.\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{2}}\right)\right\rbrace \;$ soit
     $\;B_{n}={\dfrac {2\,U_{m}}{\pi \,n}}\left[1-(-1)^{n}\right]=$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad \,{\text{si}}\,n\,{\text{est pair}}\\{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi \,n}}\,{\text{si}}\,n\,{\text{est impair}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et,
     comme $\;A_{n}=0\;$ $\Rightarrow$ «$\;C_{n}=B_{n}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad \,{\text{si}}\,n\,{\text{pair}}\\{\dfrac {4\,U_{m}}{\pi \,n}}\,{\text{si}}\,n\,{\text{impair}}\end{array}}\right\rbrace \;$».

 

Exemple d'un signal triangulaire symétrique

     Ci-dessous à gauche le tracé du graphe d'un signal triangulaire « symétrique » « impair » d'amplitude $\;1\,V\;$ et de fréquence $\;1\,kHz\;$ ${\big (}$donc de période $\;1\,ms{\big )}$ :

• 
  Tracé d'un signal triangulaire « symétrique » sur un intervalle large d'une période $\;{\big (}$fréquence $\;1\,kHz{\big )}$
• 
  Spectre des $\;20\;$ premiers harmoniques d'un signal triangulaire « symétrique » $\;{\big (}$fréquence $\;1\,kHz{\big )}$

     Ci-dessus à droite le spectre d'amplitudes d'un signal triangulaire « symétrique » pour les $\;20\;$ premiers harmoniques ;
     Ci-dessus à droite la décroissance de l'amplitude des harmoniques avec leur rang se fait assez rapidement car $\;\propto \;$ à $\;{\dfrac {1}{n^{2}}}$.

Valeur des "amplitudes" (de la représentation fréquentielle) d'un signal triangulaire symétrique

     «$\;U_{m}=1\,V\;$ étant l'amplitude du signal triangulaire symétrique  », on trouve «$\;C_{0}=0\;$ ${\big (}$absence de composante continue${\big )}\;$» et
«$\;C_{n}=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad \,{\text{si}}\,n\,{\text{est pair}}\\{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}\,n^{2}}}\,{\text{si}}\,n\,{\text{est impair}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ${\big (}$uniquement présence d'harmoniques de rang impair${\big )}\;$».

Valeur numérique des "amplitudes" des 1^ers harmoniques d'un signal triangulaire symétrique

     Avec «$\;U_{m}=1\,V\;$ pour amplitude du signal triangulaire symétrique  » on obtient :
          à «$\;1\,kHz,\;C_{1}=0,811\,V\;$»,           à «$\;3\,kHz,\;C_{3}=0,090\,V\;$»,           à «$\;5\,kHz,\;C_{5}=0,032\,V\;$»,
          à «$\;7\,kHz,\;C_{7}=0,016\,V\;$»,           à «$\;9\,kHz,\;C_{9}=0,010\,V\;$»,           à «$\;11\,kHz,\;C_{11}=0,007\,V\;$»,
          à «$\;13\,kHz,\;C_{13}=0,005\,V\;$»,       à «$\;15\,kHz,\;C_{15}=0,004\,V\;$»,       à «$\;17\,kHz,\;C_{17}=0,003\,V\;$»,
          à «$\;19\,kHz,\;C_{19}=0,002\,V\;$»       $\ldots$

'Preuve des valeurs d'amplitudes (en complément)'

     Nous cherchons le 1^er développement en série de Fourier du signal triangulaire symétrique  :
     le signal étant à valeur moyenne nulle n'a pas de composante continue d'où $\;C_{0}=A_{0}=0$ ;
     le signal étant impair, les harmoniques pairs sont absents d'où $\;A_{n}=0\;\;$ $\forall n\in \mathbb {N} ^{*}$ ;
     avant de poursuivre il faut déterminer l'expression algébrique du signal «$\;s(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {-4\,U_{m}}{T}}\left(t-{\dfrac {T}{2}}\right)\;{\text{si}}\,t\in \left[{\dfrac {T}{4}}\,{,}\,{\dfrac {3\,T}{4}}\right]\\{\dfrac {4\,U_{m}}{T}}\,t\qquad \qquad \quad {\text{si}}\,t\in \left[-{\dfrac {T}{4}}\,{,}\,{\dfrac {T}{4}}\right]\end{array}}\right.\;$»  ;

     les cœfficients des harmoniques impairs $\;B_{n}\;$ se calculent par $\;{\dfrac {T}{2}}\,B_{n}=$ $\displaystyle \int _{-{\frac {T}{4}}}^{\frac {T}{4}}\left[{\dfrac {4\,U_{m}}{T}}\,t\right]\sin(2\pi nft)\,dt+\cdots$ $\displaystyle \int _{\frac {T}{4}}^{\frac {3\,T}{4}}\left[-{\dfrac {4\,U_{m}}{T}}\left(t-{\dfrac {T}{2}}\right)\right]\sin(2\pi nft)\,dt\;$ ou, en faisant le « changement de variable $\;t'=t-{\dfrac {T}{2}}\;$ dans la 2^ème intégrale » , on trouve que cette dernière est l'opposé de la 1^ère multipliée par $\;(-1)^{n}\;$ soit $\;{\dfrac {T}{2}}\,B_{n}=$ ${\dfrac {4\,U_{m}}{T}}\left[1-(-1)^{n}\right]\displaystyle \int _{-{\frac {T}{4}}}^{\frac {T}{4}}t\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt$ ;
     cette dernière intégrale s'intègre « par parties » , en posant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}u(t)=t\\v(t)=\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}u'(t)=1\\V(t)={\dfrac {-\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et par conséquent $\;\displaystyle \int _{-{\frac {T}{4}}}^{\frac {T}{4}}t\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt=$ $\left[t\times {\dfrac {-\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\right]_{-{\frac {T}{4}}}^{\frac {T}{4}}-\displaystyle \int _{-{\frac {T}{4}}}^{\frac {T}{4}}1\times {\dfrac {-\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\,dt=$ $\left[t\times {\dfrac {-\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\right]_{-{\frac {T}{4}}}^{\frac {T}{4}}+\left[{\dfrac {\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}{4\,\pi ^{2}\,n^{2}\,f^{2}}}\right]_{-{\frac {T}{4}}}^{\frac {T}{4}}\;$ soit, avec $\;\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{4}}\right)=\cos \!\left(n\,{\dfrac {\pi }{2}}\right)=\left\lbrace {\begin{array}{l}(-1)^{\frac {n}{2}}\;{\text{si}}\,n\,{\text{est pair}}\\0\qquad \;\;{\text{si}}\,n\,{\text{est impair}}\end{array}}\right\rbrace \;$ et $\;\sin \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{4}}\right)=\sin \!\left(n\,{\dfrac {\pi }{2}}\right)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad \quad \;\,{\text{si}}\,n\,{\text{est pair}}\\(-1)^{\frac {n-1}{2}}\;{\text{si}}\,n\,{\text{est impair}}\end{array}}\right\rbrace$, $\;\left[t\times {\dfrac {-\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,\pi \,n\,f}}\right]_{-{\frac {T}{4}}}^{\frac {T}{4}}=2\;{\dfrac {-T}{4}}\,{\dfrac {\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{4}}\right)}{2\,\pi \,n\,f}}\;$ et $\;\left[{\dfrac {\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}{4\,\pi ^{2}\,n^{2}\,f^{2}}}\right]_{-{\frac {T}{4}}}^{\frac {T}{4}}=2\;{\dfrac {\sin \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{4}}\right)}{4\,\pi ^{2}\,n^{2}\,f^{2}}}\;$ soit $\;{\dfrac {T}{2}}\,B_{n}=$ ${\dfrac {8\,U_{m}}{T}}\left[1-(-1)^{n}\right]\left[-{\dfrac {T}{4}}\,{\dfrac {\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{4}}\right)}{2\,\pi \,n\,f}}+{\dfrac {\sin \!\left(2\,\pi \,n\,f\,{\dfrac {T}{4}}\right)}{4\,\pi ^{2}\,n^{2}\,f^{2}}}\right]$ ;
     si $\;n\;$ est pair, le cœfficient $\;\left[1-(-1)^{n}\right]=0\;$ et par suite $\;B_{n}=0$ ;
     si $\;n\;$ est impair, le cœfficient $\;\left[1-(-1)^{n}\right]=2\;$ et $\;{\dfrac {T}{2}}\,B_{n}=$ ${\dfrac {16\,U_{m}}{T}}\,{\dfrac {(-1)^{\frac {n-1}{2}}}{4\,\pi ^{2}\,n^{2}\,f^{2}}}\;$ ou finalement $\;B_{n}=(-1)^{\frac {n-1}{2}}\,{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}\,n^{2}}}\;$ et,
     comme $\;A_{n}=0\;$ nous en déduisons «$\;C_{n}=\vert B_{n}\vert =\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad \;{\text{si}}\,n\,{\text{est pair}}\\{\dfrac {8\,U_{m}}{\pi ^{2}\,n^{2}}}\,{\text{si}}\,n\,{\text{est impair}}\end{array}}\right\rbrace \;$».

 

Notion de filtrage linéaire et réponse fréquentielle du filtre à un signal périodique

Notion de filtre linéaire

     Un filtre est dit linéaire quand, d'un « signal d'entrée sinusoïdal » il donne un « signal de sortie sinusoïdal de même fréquence » ;
     Un filtre est dit linéaire quand, d'un « signal d'entrée sinusoïdal » il donne ce « signal de sortie » est appelé « réponse du filtre au signal d'entrée »,
     Un filtre est dit linéaire quand, d'un « signal d'entrée sinusoïdal » il donne son amplitude et sa phase initiale dépendent de l'amplitude et la phase initiale du « signal d'entrée »
     Un filtre est dit linéaire quand, d'un « signal d'entrée sinusoïdal » il donne son amplitude et sa phase initiale dépendent mais aussi de « sa fréquence »  ;

     de plus pour que le filtre soit linéaire il faut que « la réponse du filtre à une somme de signaux d'entrée » soit « la somme des réponses du filtre à chaque signal d'entrée pris isolément » .

Réponse fréquentielle du filtre (linéaire) à un signal d'entrée périodique

Réponse fréquentielle du filtre (linéaire) à un signal d'entrée périodique

     De l'analyse de Fourier du signal d'entrée périodique, nous en tirons la « représentation fréquentielle $\;C_{0,\,e},\,\left\lbrace C_{n,\,e},\,\varphi _{n,\,e}\right\rbrace _{(n\in \mathbb {N} ^{*})}\;$ de ce dernier » constituée de l'éventuelle « composante continue » et des couples « amplitude, phase initiale » de tous les harmoniques du signal d'entrée ;
     le filtre modifie alors chaque harmonique et, appliquant le mode opératoire découlant de la nature du filtre « multiplier les amplitudes par le gain du filtre pour la fréquence considérée et ajouter à la phase initiale la phase du filtre pour la fréquence considérée », nous obtenons
     la « représentation fréquentielle du signal de sortie $\;C_{0,\,s},\,\left\lbrace C_{n,\,s},\,\varphi _{n,\,s}\right\rbrace _{(n\in \mathbb {N} ^{*})}\;$» définissant la « réponse fréquentielle du filtre au signal d'entrée périodique ».

Synthèse spectrale (de Fourier) permettant de trouver le signal périodique à partir de sa représentation fréquentielle

     Il s'agit de « trouver le signal de sortie $\;s_{s}(t)\;$ connaissant sa représentation fréquentielle $\;C_{0,\,s},\,\left\lbrace C_{n,\,s},\,\varphi _{n,\,s}\right\rbrace _{(n\in \mathbb {N} ^{*})}\;$» ;
     Il s'agit de « trouver ce signal de sortie $\;s_{s}(t)\;$ est la « somme infinie $\;C_{0,\,s}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }C_{n,\,s}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{n,\,s})\;$», faire cela pratiquement c'est réaliser une « synthèse $\;{\big (}$spectrale${\big )}\;$ de Fourier » .

     Remarque : Le signal de sortie étant une somme $\;{\big (}$théoriquement infinie${\big )}\;$ d'harmoniques de fréquences multiples d'une même fréquence $\;f\;$ $\Rightarrow$ c'est un « signal périodique de fréquence $\;f\;$» .

Filtre passe-bas idéal

     Introduit pour son utilisation dans les paragraphes « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire symétrique » et « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » plus loin dans ce chapitre ;

     Description d'un filtre passe-bas idéal : c'est un filtre idéal laissant passer, sans aucune modification, les fréquences inférieures à une fréquence critique $\;{\big (}$appelée fréquence de coupure${\big )}\;$ et
     Description d'un filtre passe-bas idéal : c'est un filtre idéal arrêtant toutes les fréquences supérieures à cette fréquence critique ;

     Description d'un filtre passe-bas idéal : la fréquence de coupure du filtre passe-bas idéal $\;{\big \{}$utilisé dans les paragraphes « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire symétrique » et « nombre minimal de 1^ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » plus loin dans ce chapitre${\big \}}\;$
     Description d'un filtre passe-bas idéal : la fréquence de coupure du filtre passe-bas idéal est celle de l'harmonique de rang $\;10\;$ des signaux d'entrée, c.-à-d. que le filtre laisse passer tous les harmoniques jusqu'au rang $\;10\;$ inclus.

Nombre minimal de premiers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire symétrique

Tentative de reconstruction d'un signal triangulaire symétrique avec les dix 1^ers harmoniques

     L'utilisation des $\;10\;$ 1^ers harmoniques donne un signal triangulaire de « qualité » $\;{\big (}$seules les pointes correspondant aux sommets du signal triangulaire ne sont pas reproduits${\big )}$ ;

     on conçoit bien qu'utiliser les harmoniques jusqu'au « rang $\;3$, voire $\;5\;$ » devrait suffire.

À retenir

     Pour reconstruire un signal triangulaire avec ses 1^ers harmoniques il suffit d'utiliser tous les harmoniques de rang $\;\lesssim 3\;{\text{ou}}\;5$.

Nombre minimal de premiers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique

Tentative de reconstruction d'un signal créneau symétrique avec les dix 1^ers

     L'utilisation des $\;10\;$ 1^ers harmoniques donne un signal créneau de « qualité très médiocre » $\;{\big (}$fluctuations importantes sur les plateaux de crête et passage d'un plateau de crête à l'autre non instantané${\big )}$ ;

     on conçoit bien qu'utiliser les harmoniques jusqu'au « rang $\;30$, voire $\;50\;$ » semble nécessaire.

À retenir

     Pour reconstruire un signal créneau avec ses 1^ers harmoniques il est nécessaire d'utiliser tous les harmoniques de rang $\;\lesssim 30\;{\text{ou}}\;50$, il faut donc « en gros $\;10\;$ fois plus de 1^ers harmoniques que pour un signal triangulaire » ;
   le signal créneau pouvant être considéré $\;{\big (}$à un décalage de temps près${\big )}\;$ comme la dérivée d'un signal triangulaire, nous pourrions vérifier la propriété approximative suivante :
     « si, pour reconstruire un signal à partir de ses 1^ers harmoniques il faut aller jusqu'au rang $\;n\;$ inclus,
     « si pour reconstruire le signal dérivé du précédent il faudra aller jusqu'au rang $\;10\,n$ inclus » .

Ordre de grandeur des fréquences dans les domaines acoustique et électromagnétique

Domaine acoustique

     Sons audibles par un être humain entre $\;20\;$ et $\;20\,000\;Hz\;$ ${\big (}$graves pour les B.F. et aigus pour les H.F. ${\big )}\;$ref> La fréquence du $\;La3\;$ : $\;440\,Hz$.</ref> ;

     Sons audibles par un être humain en deçà de $\;20\;Hz$, se situent les infrasons $\;{\big (}$nous n'entendons pas les sons en dessous de $\;20\;Hz\;$ mais nous pouvons partiellement les ressentir avec notre corps, en particulier avec notre cage thoracique ; la 1^ère moitié de la 1^ère octave  perçue par l'humain $\;\left[20\,Hz\;{;}\;40\,Hz\right]\;$ est à la frontière entre l'infrason et le grave, elle produit une impression, à la fois auditive et physique, qui donne une sensation de « poids » ; les tremblements de terre, éruptions volcaniques, tonnerre et d'autres phénomènes naturels produisent des infrasons à un niveau parfois extrêmement élevé ; d'autre part des études récentes ont montré que les infrasons jouent un rôle dans la communication chez certains mammifères tels que les éléphants, les girafes ou les baleines${\big )}\;$ et

     Sons audibles par un être humain au-delà de $\;20\,000\;Hz$, se situent les ultrasons $\;{\big (}$de nombreux animaux, comme les chiens ou les chauve-souris, peuvent entendre les ultrasons, certains peuvent en émettre : les chauve-souris émettent des ultrasons qui se répercutent sur les objets environnants, ce qui leur permet ainsi de percevoir leur environnement, il s'agit du phénomène d'« écholocation »${\big )}$.

Domaine électromagnétique

     On distingue quatre grands domaines suivant les valeurs de fréquence :

Ondes lumineuses

     Lumières visibles par un être humain entre $\;4\,10^{14}\;$ et $8$