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Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre

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Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre
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Chapitre no 2
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Oscillateur harmonique
Chap. suiv. :Propagation d'un signal : Onde progressive dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive
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Signal mécanique transversal ou longitudinal, célérité de propagation modifier

 
Déplacement d'un ébranlement le long d'une corde sur une petite durée
 
Déplacement d'une compression ponctuelle le long d'un ressort sur une petite durée

     Un signal mécanique est, a priori, une perturbation de courte durée se propageant dans un milieu matériel élastique en provoquant des déformations  ou ébranlements  du milieu à son passage mais sans déplacement global de matière ;

     on distingue :

  • les signaux transversaux : ce sont des déformations orthogonales à la direction de propagation  comme la déformation d'une corde  ci-contre à gauche , une vague à la surface de l'eau   exemple observable sur une cuve à ondes   ;
  • les signaux longitudinaux : ce sont des déformations parallèles à la direction de propagation  comme l'ensemble « compression et élongation » d'un ressort  ci-dessous à droite   .

     On définit la célérité de propagation du signal mécanique notée   comme la vitesse  non algébrisée  de déplacement de la déformation mécanique c.-à-d. « » [1].

Grandeurs vibrantes en acoustique, célérité de la propagation modifier

     Un signal acoustique est un signal mécanique dans un milieu matériel élastique fluide [2] ou solide, correspondant à une variation locale de pression ;
     ce signal est nécessairement longitudinal dans un fluide [2], mais longitudinal ou transversal dans un solide [3].

Notion de pression en mécanique modifier

     Quand on exerce une force   sur un objet répartie sur une surface   de l'objet, on peut décomposer cette force en une composante normale  [4] et une composante tangentielle  [5], seule la composante normale « appuie » sur l'objet, la composante tangentielle ayant tendance à déplacer l'objet tangentiellement ;

     la « composante normale   est appelée force pressante »  cette dernière est effectivement pressante si   est   et
     on définit la « pression exercée par la force pressante sur l'objet par la relation   exprimée en  »  [6].

Les deux principales grandeurs vibrantes en acoustique modifier

     Dans le cas d'un liquide « normal » [7] ou un gaz, le signal acoustique est longitudinal, exemple :

          Dans le cas d'un liquide « normal » ou un gaz, un signal acoustique dans l'air où on observe la propagation par « compression ou dilatation » de « couches » d'air, la grandeur acoustique étant :

          Dans le cas d'un liquide « normal » ou un gaz, un signal acoustique dans l'air  l'« élongation   de la couche d'air » c.-à-d. son déplacement par rapport à sa position au repos  voir ci-dessous
          Dans le cas d'un liquide « normal » ou un gaz, un signal acoustique dans l'air  à gauche  ou, ce qui est une conséquence de la compression ou dilatation,
          Dans le cas d'un liquide « normal » ou un gaz, un signal acoustique dans l'air  la pression acoustique    ou pression relative voir le diagramme temporelle ci-dessous à droite  « »,   étant la pression au repos et   la pression instantanée, avec   pour une compression et   pour une dilatation.

  •  
    Propagation du déplacement d'un piston à l'extrémité d'un tuyau rempli d'air
  •  
    Propagation d'une surpression créée à l'extrémité d'un tuyau rempli d'air

     Dans le cas d'un solide ou d'un liquide « très visqueux » [8] le signal peut être :

  • longitudinal  onde  , exemple d'un signal acoustique   dans l'acier à   de carbone où on observe une succession de dilatations et compressions longitudinales  les grandeurs acoustiques possibles étant les mêmes que celles d'un signal acoustique dans un liquide « normal » [7] ou dans un gaz   voir ci-dessous à gauche  ou,
  • transversal  onde  , exemple d'un signal acoustique   dans le même acier où on voit une succession de cisaillements transversaux  voir ci-dessous à droite ,
    transversal  onde  , les grandeurs acoustiques possibles étant alors :
    transversal  onde  , les grandeurs acoustiques  le « déplacement latéral des atomes » c.-à-d. leur déplacement transversal relativement à leur position au repos  ce déplacement est le même pour tous les atomes d'une même surface transversale, mais il diffère d'une surface transversale à une autre  ou
    transversal  onde  , les grandeurs acoustiques  la « contrainte de cisaillement   du matériau » [9] définie par « » où   est la composante de force créant le déplacement latéral des atomes d'une surface transversale [10] et   l'aire de la surface sur laquelle s'exerce cette force.
  •  
    Succession de dilatations et compressions à un instant   dans un solide
  •  
    Onde de cisaillement observée à un instant   dans un solide

Célérité de propagation d'un signal acoustique modifier

     La « célérité de propagation du signal acoustique » notée « » est encore la « vitesse non algébrisée de déplacement de la grandeur acoustique »,
La «célérité de propagation du signal acoustique» elle dépend de la masse volumique du milieu mais aussi de son élasticité ;
     La « célérité de propagation du signal acoustique » «  est d'autant plus grande que la masse volumique et l'élasticité du milieu de propagation sont petites » ;
     La « célérité de propagation du signal acoustique » «  comme la masse volumique d'un gaz est plus petite que celle d'un liquide [11] laquelle est de même ordre de grandeur que celle d'un solide
     La « célérité de propagation du signal acoustique » «  alors que l'élasticité d'un gaz est plus grande que celle d'un liquide laquelle est plus grande que celle d'un solide,
     La « célérité de propagation du signal acoustique » on en déduit que :

  • la célérité de propagation d'une onde acoustique longitudinale dans un solide est plus grande que celle d'une onde acoustique de même nature dans un liquide « normal » [7]  dans les conditions usuelles de température et de pression, elle vaut dans l'acier à   de carbone     et dans l'eau  ,
  • la célérité de propagation d'une onde acoustique dans un gaz  donc longitudinale  est plus petite que celle d'une onde acoustique de même nature dans un liquide « normal » [7], [12]  dans les conditions usuelles de température et de pression, elle vaut dans l'eau   et dans l'air  .

     Dans les solides  ou les liquides « très visqueux » [8]  la célérité d'un signal acoustique longitudinal est toujours plus grande que celle d'un signal acoustique transversal  dans les conditions usuelles de température et de pression elles valent dans l'acier à   de carbone     pour les ondes   et   pour les ondes  .

Grandeurs vibrantes en électricité, célérité de la propagation modifier

     Un « signal électrique » est la « variation de courte durée d'une grandeur électrique dans un milieu matériel conducteur de l'électricité » [13].

Notion d'intensité de courant et de tension modifier

     Commentaire préliminaire : Ces notions seront vues plus en détail dans les paragraphes « notion de courant électrique et définition de l'intensité du courant en un point du circuit filiforme » et « potentiel d'un point d'un circuit électrique, choix de la référence de potentiel, définition de la tension entre deux points d'un circuit » du chap.  de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », seuls les éléments indispensables à la compréhension du paragraphe intitulé « grandeurs vibrantes en électricité, célérité de la propagation » sont introduits.

Notion de conducteur, isolant, semi-conducteur modifier

     Pour qu'un milieu soit conducteur il faut qu'il possède des éléments chargés mobiles que l'on appelle « porteurs de charge mobiles » [14].

     Un milieu sera plus ou moins bon conducteur s'il y a suffisamment de porteurs de charge mobiles :

  • électrons de conduction pour un métal [15],
  • ions pour un électrolyte [16],
  • électrons de conduction  ou porteurs   et « trous »  ou porteurs   pour un semi-conducteur intrinsèque [17],
  • porteurs   pour un semi-conducteur extrinsèque dopé  [18] et
  • porteurs   pour un semi-conducteur extrinsèque dopé  [19].

Évaluation de la densité volumique particulaire des porteurs de charge mobiles dans quelques conducteurs typiques modifier

  • Exemple du cuivre : il s'agit d'un conducteur métallique, les porteurs de charge mobiles sont donc les « électrons de conduction » ; en moyenne un électron de valence  le moins lié dans l'atome de cuivre  étant libéré par atome de cuivre, on en déduit     ;
    Exemple du cuivre :  données : densité du cuivre  [20] d'où sa masse volumique  , masse molaire atomique du cuivre   et constante d'Avogadro [21]   ;
    Exemple du cuivre :   on trouve   soit finalement « ».
  • Exemple de solution aqueuse de chlorure de sodium : il s'agit d'un conducteur électrolytique, les porteurs de charge mobiles sont donc des « ions positifs  ou cations  et négatifs  ou anions » ; le chlorure de sodium est un cristal ionique totalement dissocié dans l'eau selon « », les porteurs de charge mobile sont « les cations sodium hydratés  » et « les anions chlorure hydratés  », en même quantité  assurant l'électroneutralité de la solution  ;
    Exemple de solution aqueuse de chlorure de sodium :  on considère une eau salée de concentration volumique molaire  , on peut facilement évaluer     à partir de   et de   selon « »,
    Exemple de solution aqueuse de chlorure de sodium :  on trouve alors     en  [22] soit « ».
  • Exemple de l'eau : elle est très légèrement ionisée selon « », les porteurs de charge mobiles sont « les cations oxonium hydratés  » [23] et « les anions hydroxydes hydratés  », en même quantité dans l'eau pure  assurant l'électroneutralité de cette dernière  ;
    Exemple de l'eau :  la densité volumique pour chaque porteur étant la même  , elle se détermine à partir de la valeur du   de l'eau pure à  , « » d'où « une concentration volumique molaire en oxonium  » et « une densité volumique molaire du même ion  » [24] ;
    Exemple de l'eau :  en multipliant par  , on obtient la densité volumique particulaire commune des deux ions     soit finalement « »  d'où le qualificatif de « mauvais conducteur » .

Modélisation filiforme d'un conducteur, sens conventionnel du courant modifier

     Quand une dimension   longitudinale   est très grande par rapport aux deux autres transversales, on modélise le conducteur par une portion dite « filiforme » correspondant à l'absence de dimensions transversales ;
     le sens du courant [25] est, par définition, le sens de déplacement d'ensemble des porteurs de charge positive  et le sens contraire du déplacement d'ensemble des porteurs de charge négative [26].

Définition de l'intensité algébrique du courant modifier

     Pour algébriser l'intensité du courant, on définit  arbitrairement  un sens   de mesure de l'intensité du courant :

     l'intensité  algébrique  « » du courant traversant le circuit filiforme en un point   est « la charge traversant le point   dans le sens   par unité de temps » c.-à-d. par   ou,

     l'intensité  algébrique  « » du courant si la charge   traverse   dans le sens   pendant  , « » ou,
     l'intensité  algébrique  « » du courant en notant   l'infiniment petit représentant  [27] et   l'infiniment petit correspondant à  [28],
     l'intensité  algébrique  « » du courant si la charge   traverse   dans le sens   pendant  , «  s'exprimant en  »,   ;

     on représente le courant sur un circuit filiforme par une flèche sur les fils de connexion dans le sens   de mesure de l'intensité algébrique et on indique celle-ci à côté de la flèche.

Nécessité d'imposer une tension aux bornes d'un récepteur pour qu'il soit traversé par un courant modifier

     Pour qu'il y ait circulation de courant dans la partie réceptrice d'un circuit filiforme, il faut que les porteurs soient soumis à une force motrice qui est d'origine électrique ; pour cela

     Pour qu'il y ait circulation de courant dans la partie réceptrice le récepteur est relié à un générateur qui impose en tout point du récepteur un champ électrique  , et par suite
     Pour qu'il y ait circulation de courant dans la partie réceptrice un porteur de charge   y subit une force électrique   le mettant en mouvement dans le sens du courant si   et
     Pour qu'il y ait circulation de courant dans la partie réceptrice un porteur de charge   y subit une force électrique   le mettant en mouvement dans le sens contraire si   ;
     Pour qu'il y ait circulation de courant dans la partie réceptrice on en déduit que le courant dans un récepteur est toujours dans le sens du champ électrique   ;

     le porteur de charge   dans le champ électrique   possède de l'énergie potentielle électrique  [29] tout comme un objet ponctuel de masse   dans le champ de pesanteur uniforme   possède de l'énergie potentielle de pesanteur   ;

     le porteur de charge   dans le champ électrique   dans l'hypothèse où   est  [30], son énergie potentielle électrique   dans le sens de   comme l'énergie potentielle de pesanteur de l'objet ponctuel   dans le sens de     est   à   comme   est   à  , l'autre facteur ne dépendant que de la position dans le champ  ;

     le porteur de charge   dans le champ électrique   on définit l'énergie potentielle électrique du porteur de charge  [30] dans le champ électrique   selon «   » où «  représente le potentiel électrique en   exprimé en  » par analogie avec l'énergie potentielle de pesanteur d'un objet ponctuel de masse   dans le champ de pesanteur   «   » [31] où «  est l'altitude de l'objet par rapport au sol »  le potentiel électrique en   étant l'analogue de la grandeur   que l'on pourrait baptiser « potentiel de pesanteur en  » [32] ,

     le porteur de charge   dans le champ électrique   l'expression «  avec   potentiel électrique en   en  » reste « applicable à un porteur de charge  » [33] ;

     le porteur de charge   dans le champ électrique   le « potentiel électrique   en   a la propriété de   dans le sens de  » [34]  comme le « potentiel de pesanteur en  [32]  » a la propriété de   dans le sens de  »  ;

     le porteur de charge   dans le champ électrique   une énergie potentielle nécessitant de préciser sa référence [35], il en est de même du potentiel électrique qui n'est donc défini qu'à une constante additive près, on choisit donc l'endroit où le potentiel est considéré comme nul et cet endroit définit la « masse » du circuit [36]  analogue de l'origine des altitudes pour le « potentiel de pesanteur » [32]  ;

     le porteur de charge   dans le champ électrique   on peut donc affirmer que le courant dans un récepteur est toujours dans le sens décroissant des potentiels.

     De même que l'on définit une dénivellation dans un champ de pesanteur comme une différence d'altitudes,
     De même que l'on définit une tension dans un champ électrique comme une différence de potentiels ou d.d.p., plus précisément
        De même que l'on définit la tension   représentée sur le schéma d'un circuit par une flèche à côté du circuit allant de   vers  , sa valeur notée à côté de la flèche ;

     si le courant dans un récepteur circule de   vers  , les potentiels des extrémités sont donc tels que     la tension   est  ,
     si le courant dans un récepteur circule de   vers  , la tension   étant représentée par une flèche à côté du circuit allant de   vers   et le courant par une flèche sur le circuit allant de   vers  , nous en déduisons que

« la flèche tension aux bornes d'un récepteur est toujours de sens contraire à la flèche courant circulant dans le récepteur »
pourvu que les flèches tension et courant définissent des tensions et des intensités toutes deux positives.

Tension aux bornes d'un générateur et sens du courant dans ce dernier modifier

     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, joue le rôle du « tire-fesses » pour des skieurs ou de « pompe » pour l'eau qui doit monter aux étages,
     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, l'énergie potentielle électrique des porteurs de charge mobiles arrivant par la borne « » d'un générateur de tension permanente [37], [38] ou
     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, l'énergie potentielle électrique des porteurs de charge mobiles arrivant par la borne noire d'un générateur de fonctions [39]
     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, l'énergie potentielle électrique des porteurs de charge mobiles doit croître pour que ces porteurs atteignent l'autre borne  à savoir la borne « » d'un générateur de tension permanente [40] ou la borne rouge d'un générateur de fonctions [41] ,
     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, la croissance de l'énergie potentielle électrique des porteurs de charge mobiles lors de la traversée d'un générateur dans le sens du courant que ce dernier délivre correspond à « une force électrique s'exerçant sur un porteur résistive » tout comme la composante résistive du poids du skieur le long de la pente quand ce dernier remonte en « tire-fesses » ou comme le poids résistif de l'eau quand celle-ci est montée aux étages à l'aide d'une pompe ;

     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, pour que ceci soit possible il faut donc que les porteurs de charge mobiles lors de la traversée d'un générateur dans le sens du courant que ce dernier délivre subissent une force motrice, cette dernière ayant une origine qui dépend de la nature du générateur  « origine électrochimique » pour une pile avec introduction de « phénomènes d'oxydo-réduction » ou « origine électromécanique » pour un alternateur avec introduction de « phénomènes d'induction »  peut être écrite en fonction d'un « champ dit électromoteur » noté « » indépendant du porteur, « » [42] ; cette force due au champ électromoteur étant la cause de la mise en mouvement des porteurs de charge mobiles dans le générateur est dans le sens du courant si est   et dans le sens contraire si   est   d'où la conclusion sur le sens du champ électromoteur dans le générateur et celui du courant délivré par ce dernier ;

     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, le courant délivré par un générateur est toujours  à l'intérieur de ce dernier  dans le sens du champ électromoteur   c.-à-d.
     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, le courant délivré par un générateur est toujours  à l'intérieur de ce dernier  dans le sens contraire du champ électrique   ;

     le lien entre champ électrique et potentiel restant le même que dans un récepteur à savoir « le champ électrique est dans le sens des potentiels  », nous en déduisons que
     Le générateur, vis à vis des porteurs de charge mobiles, le courant délivré par un générateur est toujours  à l'intérieur de ce dernier  dans le sens croissant des potentiels.

     Définissant toujours une tension   comme la différence de potentiels   et la représentant par une flèche à côté du générateur allant de   vers  , la valeur de la tension notée à côté de la flèche, nous pouvons affirmer que

la flèche tension aux bornes d'un générateur est toujours de même sens que la flèche courant circulant dans ce dernier
 pourvu que les flèches tension et courant définissent des tensions et des intensités toutes deux positives [43] .

Les deux principales grandeurs vibrantes en électricité modifier

     Nous savons déjà qu'un signal électrique est la variation  de courte durée  d'une grandeur électrique qui peut être une tension ou une intensité de courant :

     exemple : dans un câble coaxial, on crée un signal électrique de grandeur vibrante « tension » ou « intensité de courant » à une extrémité   du câble  reliée à un générateur  pour l'envoyer à l'autre extrémité    reliée à un récepteur , dans la section   du câble on retrouve les grandeurs vibrantes « tension » ou « intensité de courant » ;

     exemple : le signal associé à la grandeur vibrante « tension »   est transversal [44] et
          exemple : celui associé à la grandeur vibrante « intensité du courant »   est longitudinal [45].

Célérité de propagation d'un signal électrique modifier

     La « célérité de propagation du signal électrique, notée  », est la « vitesse  non algébrisée  de déplacement de la grandeur électrique », elle dépend de la nature du diélectrique [46] séparant les deux conducteurs de la ligne, « sa valeur maximale est  » [47].

     Remarque : Parmi les différentes vitesses intervenant dans un signal électrique se propageant le long d'un câble coaxial, il convient de distinguer :
     Remarque :  « la célérité de la propagation » correspondant à la rapidité de transmission de l'information de valeur maximale  , de
     Remarque :  « la vitesse d'agitation thermique des porteurs de charge mobiles » d'ordre de grandeur   à température ordinaire pour des électrons de conduction et de
     Remarque :  « la vitesse moyenne de ces porteurs de charge mobiles correspondant à une intensité donnée », vitesse qui dépend de la valeur de l'intensité mais qui reste, pour des intensités usuelles, inférieure à  .

Grandeurs vibrantes en électromagnétisme, célérité de la propagation modifier

     Un signal électromagnétique est la variation de courte durée d'un champ électromagnétique [48].

Notion de champ électromagnétique modifier

     Un ensemble de charges ponctuelles  im mobiles crée, en son voisinage, un « champ électrique »  [49] et
Un ensemble si les charges ponctuelles de l'ensemble sont mobiles, ce dernier crée, en son voisinage, en plus du champ électrique  , un « champ magnétique »  [50].

     Remarque : dans le cas où des charges ponctuelles sont immobiles dans un 1er référentiel d'étude, ces dernières créent un champ électrique sans champ magnétique mais si on considère un 2ème référentiel d'étude en mouvement par rapport au 1er, les charges ponctuelles y devenant mobiles créent un champ magnétique en plus d'un champ électrique ;
     Remarque : suivant le référentiel d'étude considéré, un ensemble de charges ponctuelles est source d'un couple de champs électrique et magnétique  avec, pour certains référentiels, un des deux champs nul , ce couple définissant un « champ électromagnétique »  [51].

Milieu de propagation et grandeur vibrante modifier

     Un signal électromagnétique n'a pas besoin de milieu matériel pour se propager, il traverse, par exemple, l'espace « vide » entre une galaxie lointaine et la Terre
     Un signal électromagnétique n'a pas besoin de milieu matériel pour se propage, il traverse, sous la forme d'un signal optique visible ou invisible,
     Un signal électromagnétique n'a pas besoin de milieu matériel pour se propage, il traverse, sous la forme d'un signal hertzien  ou radio ,
     Un signal électromagnétique n'a pas besoin de milieu matériel pour se propage, il traverse, sous la forme de rayons   ou de rayons   ;

          Un signal électromagnétique n'a pas besoin de milieu matériel, toutefois il peut traverser un milieu matériel, par exemple il peut être « guidé le long d'un câble de transmission constitué de deux conducteurs »  dans ce cas le signal électromagnétique est la cause du signal électrique introduit au paragraphe « les deux principales grandeurs vibrantes en électricité » plus haut dans ce chapitre  ;
          Un signal électromagnétique n'a pas besoin de milieu matériel, toutefois il peut traverser un milieu matériel, autre exemple un signal optique  cas particulier de signal électromagnétique  peut traverser des milieux matériels comme l'air, l'eau ou le verre, ces milieux sont alors qualifiés de « transparents »  les milieux ne permettant pas aux signaux optiques de traverser étant qualifiés d'« opaques »  ;

     la grandeur vibrante est le « champ électromagnétique » constitué de ses deux composantes vectorielles « électrique et magnétique » ;

     « dans le vide le signal électromagnétique est nécessairement transversal [52] » mais
     « dans la matière, à la composante transversale peut s'y ajouter une composante longitudinale ».

Célérité de propagation d'un signal électromagnétique modifier

     La « célérité de propagation du signal électromagnétique » est la « vitesse non algébrisée de déplacement du champ électromagnétique »,
     La « célérité de propagation du signal électromagnétique » dans le vide, elle est notée   et vaut « » et
     La « célérité de propagation du signal électromagnétique » dans un milieu matériel, elle est notée   en vérifiant toujours « »  la valeur de   dépendant de la nature du milieu traversé .

Limitation de l'étude aux grandeurs vibrantes périodiques modifier

     Pour la suite nous envisageons une grandeur vibrante « source » [53] « », de fréquence  [54],
   Pour la suite nous envisageons cette grandeur vibrante définit le « signal physique » transporté par l'« onde » [55], il est donc « » a priori « non sinusoïdal  ou non harmonique ».

Exemple de signal périodique sinusoïdal modifier

L'onde correspondant au signal physique transporté est également dite « périodique sinusoïdale ».

     Si on note «  le signal   source » [56], celui-ci est sinusoïdal s'il s'écrit sous la forme

« »

où « » [57] est la « pulsation du signal source » sinusoïdal,   étant l'« amplitude » et   la « phase à l'origine des temps  ou initiale »,   étant la « phase à l'instant  ».

Analyse spectrale d'un signal périodique modifier

     Faire l'analyse spectrale d'un « signal » périodique de fréquence  , c'est réaliser son développement en série de Fourier [58] ;
  Faire l'analyse spectrale à tout « signal » périodique   on associe l'éventuelle composante continue   et les couples   d'amplitude et de phase initiale de l'harmonique de rang  .

Représentation fréquentielle d'un signal périodique

     La « représentation fréquentielle d'un signal périodique   de fréquence  » est l'ensemble « » de l'éventuelle « composante continue » et des couples « amplitude, phase initiale » de tous les harmoniques du signal.

Spectre d'amplitudes (de la représentation fréquentielle) d'un signal périodique

     Le « spectre d'amplitudes [59] d'un signal périodique   de fréquence  » est le graphe des valeurs « » de la valeur absolue de l'éventuelle composante continue et de l'amplitude des harmoniques du signal en fonction de la fréquence «   » [60]  il s'agit bien sûr d'un « spectre de raies » .

Remarque

     On pourrait également tracer le « spectre de phases [61] d'un signal périodique   de fréquence  » défini comme le graphe des valeurs « » en fonction de la fréquence « » [62]  mais usuellement cela n'est pas fait car n'ayant que peu d'intérêt   il s'agirait encore d'un « spectre de raies » .

Exemple d'un signal créneau symétrique modifier

     Ci-dessous à gauche le tracé du graphe d'un signal créneau [63] « symétrique » [64] « impair » [65] d'amplitude   et de fréquence    donc de période   :

  •  
    Tracé d'un signal créneau [63] « symétrique » [64] sur un intervalle large d'une période  fréquence  
  •  
    Spectre des   premiers harmoniques d'un signal créneau [63] « symétrique » [64]  fréquence  

     Ci-dessus à droite le spectre d'amplitudes [59] d'un signal créneau [63] « symétrique » [64] pour les   premiers harmoniques ;
     Ci-dessus à droite la décroissance de l'amplitude des harmoniques avec leur rang se fait lentement car   à  .

Valeur des "amplitudes" (de la représentation fréquentielle) d'un signal créneau symétrique
     «  étant l'amplitude du signal créneau [63] symétrique [64] », on trouve
«   absence de composante continue » et
«   uniquement présence d'harmoniques de rang impair ».
Valeur numérique des "amplitudes" des 1ers harmoniques d'un signal créneau symétrique

     Avec «  pour amplitude du signal créneau [63] symétrique [64] » on obtient :
          à « »,           à « »,           à « »,
          à « »,           à « »,           à « »,
          à « »,       à « »,       à « »,
          à « »        

'Preuve des valeurs d'amplitudes (en complément)'

     Nous cherchons le 1er développement en série de Fourier [66] du signal créneau [63] symétrique [64] :
     le signal étant à valeur moyenne nulle n'a pas de composante continue d'où   ;
     le signal étant impair, les harmoniques pairs sont absents d'où     ;
     les cœfficients des harmoniques impairs se calculent par          [67] soit
         et,
     comme     « ».

 

Exemple d'un signal triangulaire symétrique modifier

     Ci-dessous à gauche le tracé du graphe d'un signal triangulaire « symétrique » [64] « impair » [65] d'amplitude   et de fréquence    donc de période   :

  •  
    Tracé d'un signal triangulaire « symétrique » [64] sur un intervalle large d'une période  fréquence  
  •  
    Spectre des   premiers harmoniques d'un signal triangulaire « symétrique » [64]  fréquence  

     Ci-dessus à droite le spectre d'amplitudes [59] d'un signal triangulaire « symétrique » [64] pour les   premiers harmoniques ;
     Ci-dessus à droite la décroissance de l'amplitude des harmoniques avec leur rang se fait assez rapidement car   à  .

Valeur des "amplitudes" (de la représentation fréquentielle) d'un signal triangulaire symétrique
     «  étant l'amplitude du signal triangulaire symétrique [64] », on trouve
«   absence de composante continue » et
«   uniquement présence d'harmoniques de rang impair ».
Valeur numérique des "amplitudes" des 1ers harmoniques d'un signal triangulaire symétrique

     Avec «  pour amplitude du signal triangulaire symétrique [64] » on obtient :
          à « »,           à « »,           à « »,
          à « »,           à « »,           à « »,
          à « »,       à « »,       à « »,
          à « »        

'Preuve des valeurs d'amplitudes (en complément)'

     Nous cherchons le 1er développement en série de Fourier [66] du signal triangulaire symétrique [64] :
     le signal étant à valeur moyenne nulle n'a pas de composante continue d'où   ;
     le signal étant impair, les harmoniques pairs sont absents d'où     ;
     avant de poursuivre il faut déterminer l'expression algébrique du signal « » [68] ;


     les cœfficients des harmoniques impairs   se calculent par       ou, en faisant le « changement de variable   dans la 2ème intégrale » [69], on trouve que cette dernière est l'opposé de la 1ère multipliée par   soit     ;
     cette dernière intégrale s'intègre « par parties » [70], en posant       et par conséquent       soit, avec   et  ,  [71] et  [71] soit     ;
     si   est pair, le cœfficient   et par suite   ;
     si   est impair, le cœfficient   et     ou finalement  [72] et,
     comme   nous en déduisons
« ».
 

Notion de filtrage linéaire et réponse fréquentielle du filtre à un signal périodique modifier

Notion de filtre linéaire modifier

     Un filtre est dit linéaire quand, d'un « signal d'entrée sinusoïdal » il donne un « signal de sortie sinusoïdal de même fréquence » ;
     Un filtre est dit linéaire quand, d'un « signal d'entrée sinusoïdal » il donne ce « signal de sortie » est appelé « réponse du filtre au signal d'entrée »,
     Un filtre est dit linéaire quand, d'un « signal d'entrée sinusoïdal » il donne son amplitude et sa phase initiale dépendent de l'amplitude et la phase initiale du « signal d'entrée »
     Un filtre est dit linéaire quand, d'un « signal d'entrée sinusoïdal » il donne son amplitude et sa phase initiale dépendent mais aussi de « sa fréquence » [73] ;

     de plus pour que le filtre soit linéaire il faut que « la réponse du filtre à une somme de signaux d'entrée » soit « la somme des réponses du filtre à chaque signal d'entrée pris isolément » [74].

Réponse fréquentielle du filtre (linéaire) à un signal d'entrée périodique modifier

Réponse fréquentielle du filtre (linéaire) à un signal d'entrée périodique

     De l'analyse de Fourier [75] du signal d'entrée périodique, nous en tirons la « représentation fréquentielle   de ce dernier » constituée de l'éventuelle « composante continue » et des couples « amplitude, phase initiale » de tous les harmoniques du signal d'entrée ;
     le filtre modifie alors chaque harmonique et, appliquant le mode opératoire découlant de la nature du filtre « multiplier les amplitudes par le gain du filtre pour la fréquence considérée et ajouter à la phase initiale la phase du filtre pour la fréquence considérée », nous obtenons
     la « représentation fréquentielle du signal de sortie  » définissant la « réponse fréquentielle du filtre au signal d'entrée périodique ».

Synthèse spectrale (de Fourier) permettant de trouver le signal périodique à partir de sa représentation fréquentielle modifier

     Il s'agit de « trouver le signal de sortie   connaissant sa représentation fréquentielle  » ;
     Il s'agit de « trouver ce signal de sortie   est la « somme infinie  », faire cela pratiquement c'est réaliser une « synthèse  spectrale  de Fourier » [75].

     Remarque : Le signal de sortie étant une somme  théoriquement infinie  d'harmoniques de fréquences multiples d'une même fréquence     c'est un « signal périodique de fréquence  » [76].

Filtre passe-bas idéal modifier

     Introduit pour son utilisation dans les paragraphes « nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire symétrique » et « nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » plus loin dans ce chapitre ;

     Description d'un filtre passe-bas idéal : c'est un filtre idéal laissant passer, sans aucune modification, les fréquences inférieures à une fréquence critique  appelée fréquence de coupure  et
     Description d'un filtre passe-bas idéal : c'est un filtre idéal arrêtant toutes les fréquences supérieures à cette fréquence critique ;

     Description d'un filtre passe-bas idéal : la fréquence de coupure du filtre passe-bas idéal  utilisé dans les paragraphes « nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire symétrique » et « nombre minimal de 1ers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique » plus loin dans ce chapitre 
     Description d'un filtre passe-bas idéal : la fréquence de coupure du filtre passe-bas idéal est celle de l'harmonique de rang   des signaux d'entrée, c.-à-d. que le filtre laisse passer tous les harmoniques jusqu'au rang   inclus.

Nombre minimal de premiers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal triangulaire symétrique modifier

 
Tentative de reconstruction d'un signal triangulaire symétrique [64] avec les dix 1ers harmoniques

     L'utilisation des   1ers harmoniques donne un signal triangulaire de « qualité »  seules les pointes correspondant aux sommets du signal triangulaire ne sont pas reproduits  ;

     on conçoit bien qu'utiliser les harmoniques jusqu'au « rang  , voire  [77] » [78] devrait suffire.

À retenir

     Pour reconstruire un signal triangulaire avec ses 1ers harmoniques il suffit d'utiliser tous les harmoniques de rang  .

Nombre minimal de premiers harmoniques nécessaire pour reconstruire un signal créneau symétrique modifier

 
Tentative de reconstruction d'un signal créneau [63] symétrique [64] avec les dix 1ers

     L'utilisation des   1ers harmoniques donne un signal créneau [63] de « qualité très médiocre »  fluctuations importantes sur les plateaux de crête et passage d'un plateau de crête à l'autre non instantané  ;

     on conçoit bien qu'utiliser les harmoniques jusqu'au « rang  , voire  [77] » [79] semble nécessaire.

À retenir
     Pour reconstruire un signal créneau [63] avec ses 1ers harmoniques il est nécessaire d'utiliser tous les harmoniques de rang  , il faut donc « en gros   fois plus de 1ers harmoniques que pour un signal triangulaire » ;
   le signal créneau [63] pouvant être considéré  à un décalage de temps près  comme la dérivée d'un signal triangulaire, nous pourrions vérifier la propriété approximative suivante :
     « si, pour reconstruire un signal à partir de ses 1ers harmoniques il faut aller jusqu'au rang   inclus,
     « si pour reconstruire le signal dérivé du précédent il faudra aller jusqu'au rang   inclus » [80].

Ordre de grandeur des fréquences dans les domaines acoustique et électromagnétique modifier

Domaine acoustique modifier

     Sons audibles par un être humain entre   et    graves pour les B.F. [81] et aigus pour les H.F. [82] ref> La fréquence du   :  .</ref> ;

     Sons audibles par un être humain en deçà de  , se situent les infrasons  nous n'entendons pas les sons en dessous de   mais nous pouvons partiellement les ressentir avec notre corps, en particulier avec notre cage thoracique ; la 1ère moitié de la 1ère octave [83] perçue par l'humain   est à la frontière entre l'infrason et le grave, elle produit une impression, à la fois auditive et physique, qui donne une sensation de « poids » ; les tremblements de terre, éruptions volcaniques, tonnerre et d'autres phénomènes naturels produisent des infrasons à un niveau parfois extrêmement élevé ; d'autre part des études récentes ont montré que les infrasons jouent un rôle dans la communication chez certains mammifères tels que les éléphants, les girafes ou les baleines  et

     Sons audibles par un être humain au-delà de  , se situent les ultrasons  de nombreux animaux, comme les chiens ou les chauve-souris, peuvent entendre les ultrasons, certains peuvent en émettre : les chauve-souris émettent des ultrasons qui se répercutent sur les objets environnants, ce qui leur permet ainsi de percevoir leur environnement, il s'agit du phénomène d'« écholocation » .

Domaine électromagnétique modifier

     On distingue quatre grands domaines suivant les valeurs de fréquence :

Ondes lumineuses modifier

     Lumières visibles par un être humain entre   et    côté de la plus B.F. [81] « rouge » et de la plus H.F. [82] « violet »  ;

     Lumières visibles par un être humain en deçà de   se trouve l'infrarouge qui s'étend approximativement jusqu'à    l'infrarouge est associé à la chaleur car, à température ambiante, les objets émettent spontanément des radiations dans le domaine infrarouge  et

     Lumières visibles par un être humain au-delà de   se trouve l'ultraviolet qui s'étend approximativement jusqu'à    en faible quantité, le rayonnement UV [84] est bénéfique et est indispensable à la synthèse de vitamine   ; les UV [84] servent également à traiter plusieurs maladies, dont le rachitisme, le psoriasis, l'eczéma ; en plus hautes quantités, lors d'expositions prolongées au soleil ou à des rayonnements artificiels  issus par exemple de lampes ou de dispositifs industriels type poste à souder , ils peuvent provoquer des cancers cutanés ou oculaires, un vieillissement prématuré de la peau, ainsi que des cataractes .

Ondes hertziennes (ou radioélectriques) modifier

     Pour les ondes radio réglementées les fréquences sont entre   et  [85] soit entre   et   ;

  • entre   et   ce sont des ondes myriamétriques  communication avec les sous-marins, implants médicaux  ,
  • entre   et   des grandes ondes ou ondes longues  radionavigation, radiodiffusion G.O. [86] ,
  • entre   et   des petites ondes ou ondes moyennes  radio AM [87], service maritime, appareil de recherche de victimes d'avalanche ,
  • entre   et   des ondes courtes  militaire, radiodiffusion, aéronautique, météo  ,
  • entre   et   des ondes ultra-courtes  radio FM [88], gendarmerie nationale, pompiers  ,
  • entre   et   des ondes décimétriques  G.P.S. [89] ou assistant de navigation, Wi-Fi [90], télévision  ,
  • entre   et   des ondes centimétriques  micro-ondes, radar météorologique  ,
  • entre   et   des ondes millimétriques  liaison vidéo transportable  .

Rayons X modifier

     Entre   et    ou entre   et  [91] , les rayons X sont un rayonnement ionisant utilisé dans de nombreuses applications dont l'imagerie médicale par radiographie standard et la cristallographie.

Rayonnements gamma modifier

     Au-delà de    c.-à-d. au-delà de  [91] , les ondes sont nommés « rayonnements gamma »  noté  , ils sont produits par la désexcitation d'un noyau atomique résultant d'une désintégration  processus d'émission appelé radioactivité  [92] ;

     les rayonnements gamma provenant de retombées radioactives seraient probablement le plus grand danger dans le cas d'une guerre nucléaire ; si les rayonnements γ sont moins ionisants que les rayons α ou les rayons β, ils demandent des épaisseurs de blindage beaucoup plus importantes pour s'en protéger  de l'ordre de quelques mètres d'épaisseur de béton armé  ; ils peuvent produire des dégâts similaires à ceux produits par les rayons X et les autres rayonnements ionisants tels que brûlures, cancers et mutations génétiques.

Notes et références modifier

  1. ↑ Indépendante de la durée   séparant les observations ; la définition locale de la célérité donnerait « » mais celle-ci restant constante, il est inutile de l'introduire.
  2. ↑ 2,0 et 2,1 c.-à-d. liquide ou gazeux.
  3. ↑ Et aussi les liquides très visqueux.
  4. ↑   est un vecteur unitaire   à  , dirigé vers l'intérieur de l'objet.
  5. ↑   est un vecteur unitaire tangentiel à  , choisi dans le plan contenant   et  .
  6. ↑ La pression atmosphérique dans les conditions usuelles d'altitude et de température étant au voisinage de  , on utilise une unité dérivée « le bar » dont la conversion est  .
  7. ↑ 7,0 7,1 7,2 et 7,3 Dans cette catégorie on exclut les liquides très visqueux pour lesquels on observe aussi un signal transversal.
  8. ↑ 8,0 et 8,1 La très grande viscosité dans un liquide fait que ce dernier a un comportement plus proche de celui d'un solide que de celui d'un liquide « normal »  revoir la note « 7 » plus haut dans ce chapitre justifiant le qualificatif « normal » .
  9. ↑ De même homogénéité qu'une surpression, s'exprimant en   et le plus souvent en un multiple le  .
  10. ↑ Dans une même surface transversale  , si la surface transversale de droite   est décalée vers le haut par rapport à la surface   considérée,   exerce une force vers le haut sur   de composante   et si la surface transversale de gauche   est décalée vers le bas par rapport à la surface   considérée,   exerce une force vers le bas sur   de composante  .
  11. ↑ Un gaz a une masse volumique plus faible qu'un liquide dans les mêmes conditions de température et de pression, approximativement d'un facteur  .
  12. ↑ La densité et l'élasticité ont des effets contraires sur la célérité, l'augmentation de la densité a pour effet de diminuer la célérité de propagation alors que la diminution de l'élasticité pour effet d'augmenter cette célérité, les liquides étant plus denses mais moins élastiques que les gaz, on remarque donc que l'effet de l'élasticité est prépondérant.
  13. ↑ La grandeur électrique peut être une tension ou une intensité de courant ; sa variation peut être constatée par rapport à son absence  de tension ou d'intensité  ou par rapport à une tension ou intensité permanente, cette dernière constituant la valeur dite de « repos » ou de « polarisation ».
  14. ↑ Les éléments chargés fixes comme il peut en exister dans les milieux non fluides  c.-à-d. solides  ne jouant aucun rôle dans la conduction.
  15. ↑ La densité volumique particulaire a pour ordre de grandeur  , calcul exposé ci-après dans le cas du cuivre.
  16. ↑ La densité volumique particulaire dépend de la concentration de la solution mais usuellement elle ne dépasse pas  , calcul exposé dans le cas d'une solution décimolaire de chlorure de sodium et dans le cas de l'eau pure  très mauvais conducteur .
  17. ↑ Un semi-conducteur intrinsèque est un semi-conducteur pur  par exemple du silicium  , il est isolant à basse température  un isolant ayant une densité volumique particulaire   et mauvais conducteur à température ordinaire  seuls quelques électrons de valence ont suffisamment d'énergie pour devenir des électrons de conduction, ils laissent alors derrière eux un site de valence vide et un électron de valence des atomes voisins peut venir l'occuper laissant à son tour derrière lui son site initial de valence vide  ;
       pour simplifier l'étude  pour qu'il n'y ait pas deux types de porteurs de charge négative mobiles « les électrons de conduction » et « les électrons de valence sautant d'un site occupé à un site vide »  les électroniciens considèrent qu'aucun électron de valence ne peut migrer, les sites de valence restant tous occupés  pour les sites réellement vides, conséquence d'un électron de valence devenu électron de conduction, l'électron de conduction restant mobile ils ajoutent fictivement un électron de valence sans possibilité de migrer et ils y superposent une particule fictive mobile de charge positive qu'ils appellent « trou »  du point de vue électrique ils ajoutent donc fictivement une charge nulle  avec la propriété suivante : la superposition d'un « trou » et d'un « électron de valence » est équivalente à un site vide  ;
       ils remplacent alors la migration d'un électron de valence d'un site occupé   à un site vide   par la migration d'un trou du site   au site  , le départ du trou du site   découvrant l'électron de valence et le rendant réel alors que l'arrivée du trou sur le site   couvrant l'électron de valence et rendant ce dernier fictif, la superposition étant équivalente à un site vide ;
       il y a donc deux types de porteurs de charge mobiles : les « électrons de conduction » et les « trous » en quantités égales.
       La densité volumique particulaire à température ordinaire est nettement plus faible que dans un métal   et elle est quasi-nulle à basse température.
  18. ↑ Un semi-conducteur extrinsèque dopé   est un semi-conducteur  par exemple   dans lequel on a ajouté des impuretés pentavalentes  par exemple d'arsenic    on rappelle la définition de la valence d'un élément : nombre d'électrons de valence qui peuvent être cédés ou captés pour que la couche de valence devienne vide ou complètement remplie  l'électron supplémentaire par rapport au semi-conducteur tétravalent pouvant relativement aisément se déplacer, il constitue le porteur de charge mobile, la densité volumique particulaire ayant pour ordre de grandeur    on peut ainsi négliger la semi-conduction intrinsèque .
  19. ↑ Un semi-conducteur extrinsèque dopé   est un semi-conducteur  par exemple   dans lequel on a ajouté des impuretés trivalentes  par exemple de gallium  , le site de l'électron « manquant » par rapport au semi-conducteur tétravalent est remplacé par la présence simultanée d'un électron de valence fictif et d'un trou fictif, et comme dans un semi-conducteur intrinsèque les électrons de valence ajoutés restent fixes et les trous peuvent se déplacer pour « recouvrir » d'autres électrons de valence, les trous constituant donc les porteurs de charge mobiles, la densité volumique particulaire ayant le même ordre de grandeur que dans les semi-conducteurs dopés  ,      on peut ainsi négliger la semi-conduction intrinsèque .
  20. ↑ La masse volumique de l'eau vaut  .
  21. ↑ Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776 - 1856) est un physicien et chimiste du Piémont  région actuelle de l'Italie  à qui on doit essentiellement la loi d'Avogadro Ampère qu'il énonça en   et proposée indépendamment par Ampère en  , celle-ci spécifiant que « des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules ».
       André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière.
  22. ↑ En physique l'unité de volume du S.I.  Système international  est le   et non le  .
  23. ↑ L'ion oxonium est encore appelé ion hydronium.
  24. ↑ Il s'agit en fait de la même grandeur mais la première est utilisée en chimie et la seconde en physique  pour souligner la différence d'utilisation nous adoptons des noms différents ainsi que des notations différentes  ; de plus les unités employées ne sont pas les mêmes  on rappelle que l'unité de volume dans le S.I.  Système international  est le   et non le  .
  25. ↑ Ce sens est qualifié de « conventionnel » car, dans la plupart des matériaux conduisant plus ou moins l'électricité, il y a deux types de porteurs de charge mobiles circulant en sens inverse  quand un mouvement d'ensemble est imposé , il y avait donc deux choix possibles ; c'est en   que le français Ampère définit la grandeur « courant » matérialisée par la circulation des deux types de porteurs de charge mobiles en définissant, par convention, le sens du courant comme le sens de circulation de l'un des types de porteurs de charge mobiles, les porteurs de charge mobiles de signe opposé correspondant au sens contraire du courant   mais le choix aurait pu être l'inverse, il s'agit donc d'un choix historique ;
       André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des 1ers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière.
  26. ↑ Pour qu'il y ait déplacement d'ensemble de porteurs de charge mobiles il faut que le conducteur soit branché dans un circuit dans lequel il y a au moins un générateur qui lui impose une tension entre ses bornes  cette notion de tension est vue ultérieurement dans les paragraphes « nécessité d'imposer une tension aux bornes d'un récepteur pour qu'il soit traversé par un courant » et « tension aux bornes d'un générateur et sens du courant dans ce dernier » plus loin dans ce chapitre .
  27. ↑   est appelée « durée élémentaire » et correspond à l'élément différentiel de temps, voir le paragraphe « élément différentiel d'une variable » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  28. ↑   correspond à l'élément différentiel de charge, voir le paragraphe « élément différentiel d'une variable » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       en fait à l'échelle microscopique, la charge n'est pas une grandeur continue mais quantifiée, elle est toujours un multiple de la charge élémentaire  , mais à l'échelle macroscopique  ou mésoscopique  un échantillon est d'échelle mésoscopique s'il est de dimensions infiniment petites à l'échelle macroscopique mais infiniment grandes à l'échelle microscopique  toute charge comprenant un grande nombre de charges élémentaires   chaque charge élémentaire peut être considérée comme quasi-nulle ce qui revient à envisager le caractère continu de la charge.
  29. ↑ Les énergies potentielles seront notées   sauf quand il y a risque de confusion, ce qui est le cas en électricité,   étant réservée à la tension.
  30. ↑ 30,0 et 30,1 On se limite au choix de   car on souhaite d'induire une formule pour l'énergie potentielle électrique de la charge   dans le champ électrique   par analogie avec celle d'un objet ponctuel de masse    nécessairement   dans le champ de pesanteur  .
  31. ↑ Avec cette formule, l'énergie potentielle étant choisie nulle au niveau du sol, on dit que sa référence est le sol.
  32. ↑ 32,0 32,1 et 32,2 Mais cette notion de « potentiel de pesanteur au point  » n'est quasiment jamais introduite  de plus il s'agit d'une appellation personnelle .
  33. ↑ En un point   de potentiel  , un porteur de charge   ayant une énergie potentielle électrique opposée à celle d'un porteur de charge  , la décroissance de l'énergie potentielle électrique du porteur de charge   se fait dans le sens   des potentiels électriques alors que celle de l'énergie potentielle électrique du porteur de charge   dans le sens   des potentiels électriques, ceci étant conforme à ce qu'on attend :
       lors du déplacement spontané du porteur de charge   son énergie potentielle électrique doit    comme l'énergie potentielle de pesanteur d'un objet ponctuel   spontanément quand il n'est soumis qu'à l'action du champ de pesanteur sans vitesse initiale  et par suite son déplacement spontané doit se faire dans le sens des potentiels    comme le déplacement spontané d'un objet ponctuel soumis à la seule action du champ de pesanteur sans vitesse initiale se fait dans le sens du « potentiel de pesanteur  »    l'appellation « potentiel de pesanteur » étant personnelle  et
       lors du déplacement spontané du porteur de charge   son énergie potentielle électrique doit également  , ce qui correspond à un déplacement spontané dans le sens des potentiels   c.-à-d. effectivement en sens contraire du porteur de charge  .
  34. ↑ Retenir que le champ électrique est toujours dans le sens   du potentiel.
       Suite de la note « 33 »  plus haut dans ce chapitre  : le déplacement spontané du porteur de charge   devant se faire dans le sens des potentiels  , nous vérifions qu'il se fait effectivement dans le sens de   et
       Suite de la note « 33 »  plus haut dans ce chapitre  : celui du porteur de charge   dans le sens des potentiels  , nous vérifions qu'il se fait effectivement dans le sens contraire de  .
  35. ↑ C.-à-d. l'endroit où l'énergie potentielle est choisie nulle.
  36. ↑ On définira ultérieurement  autrement que par analogie  le potentiel électrique à partir du champ électrique.
  37. ↑ Historiquement le qualificatif « continu » est synonyme de « permanent » ; cela n'ayant rien à voir avec la continuité en mathématique je conseille d'éviter ce qualificatif autant que possible.
  38. ↑ La borne notée « » étant celle au « plus bas potentiel ».
  39. ↑ Dans ce cas il ne s'agit pas de la borne au plus bas potentiel mais de la borne reliée à la masse du générateur servant de référence au potentiel  le plus souvent cette borne est reliée à la Terre par l'intermédiaire du fil de secteur .
  40. ↑ La borne notée « » étant celle au « plus haut potentiel ».
  41. ↑ Dans ce cas il ne s'agit pas de la borne au plus haut potentiel mais de la borne non reliée à la masse du générateur laquelle sert de référence au potentiel  si la masse du générateur est reliée à la Terre par l'intermédiaire du fil de secteur, la borne rouge est donc à un potentiel dont le signe dépend de la fonction espérée aux bornes du générateur .
  42. ↑ Toutefois on ne parle pas de « force électromotrice » car celle-ci a une autre signification  laquelle n'est absolument pas celle d'une force  on dira « force due au champ électromoteur » s'exerçant sur le porteur de charge mobile.
  43. ↑ Ceci étant réalisé si le courant circulant dans le générateur est effectivement délivré par ce dernier.
  44. ↑ En effet il s'agit de la tension entre le conducteur intérieur   du câble relié à la masse du générateur  laquelle est très souvent reliée à la Terre par l'intermédiaire du fil de secteur  et le point   du conducteur extérieur, les deux conducteurs étant séparés par un isolant.
  45. ↑ En effet le courant principal circule le long du conducteur extérieur de   vers   en fuyant partiellement à travers l'isolant vers le conducteur intérieur d'où l'intensité du courant dépendant de    le courant de fuite circulant à travers l'isolant est, quant à lui, transversal, et d'intensité très faible voire nulle si l'isolant était parfait .
  46. ↑ Plus précisément elle dépend de la « permittivité diélectrique relative » du diélectrique « » dans laquelle   est la permittivité diélectrique du milieu et   la permittivité diélectrique du vide  la permittivité diélectrique relative du milieu caractérise l'effet d'« écran » de l'isolant  en effet deux charges ponctuelles interagissant entre elles selon une force inversement proportionnelle à   et proportionnelle au produit des charges, la norme de la force est diminuée quand les charges ponctuelles sont séparées par l'isolant étudié, plus exactement divisée par   par rapport à celle qui existerait entre elles dans le vide  ;
       l'air a une permittivité diélectrique relative  , mais certains milieux isolants peuvent avoir une permittivité diélectrique relative nettement plus élevée : exemple le verre  , les céramiques de   à    
  47. ↑ Pour observer une propagation, compte-tenu de la grande valeur de célérité maximale, il est nécessaire d'utiliser une longueur de câble coaxial suffisamment importante ; si on utilise un isolant de permittivité diélectrique relative égale à  , la célérité chute d'un facteur   et elle devient approximativement égale à  .
  48. ↑ Le plus souvent il s'agit d'une variation par rapport à l'absence de champ mais cela pourrait être aussi une variation par rapport à un champ permanent  même si cette dernière situation est très rare .
  49. ↑ La présence du champ électrique en un point   se détecte en plaçant en   une charge ponctuelle témoin   et en cherchant l'éventuelle force électrique s'exerçant sur elle ; on en déduit  .
  50. ↑ La présence du champ magnétique en un point   se détecte en plaçant en   une charge ponctuelle témoin   mobile de vecteur vitesse   et en cherchant l'éventuelle force magnétique  de Lorentz    s'exerçant sur elle  voir le paragraphe « cas particuliers (de force de Lorentz exercée sur une charge ponctuelle mobile dans un champ électromagnétique donné) » du chap.  de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »  ; en faisant deux expériences avec des vitesses judicieusement choisies on pourra en déduire   mais l'expression est nettement plus compliquée que celle permettant de déduire   de la force électrique    voir le paragraphe « définition du vecteur champ magnétique par le vecteur force magnétique de Lorentz que subit une charge témoin mobile » du chap.  de la leçon « Induction et forces de Laplace » .
       Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928) est un physicien néerlandais principalement connu pour ses travaux sur l'électromagnétisme, il a laissé son nom aux « transformations dites de Lorentz »  en fait les équations définitives des transformations de Lorentz ont été formulées en   par Henri Poincaré après avoir été introduites sous forme tâtonnante par quelques physiciens dont Hendrik Lorentz dès   pour ce dernier , transformations utilisées dans la théorie de la relativité restreinte élaborée par Albert Einstein en   ; Hendrik Lorentz partagea, en  , le prix Nobel de physique avec Pieter Zeeman (1865 - 1943) physicien néerlandais pour leurs recherches sur l'influence du magnétisme sur les phénomènes radiatifs  Pieter Zeeman ayant découvert l'effet qui porte son nom en  .
       Henri Poincaré (1854 - 1912) mathématicien, physicien, philosophe et ingénieur français à qui on doit des résultats d'importance en calcul infinitésimal, des avancées sur le problème à trois corps qui font de lui un des fondateurs de l'étude qualitative des systèmes d'équations différentielles et de la théorie du chaos, une participation active à la théorie de la relativité restreinte ainsi qu'à la théorie des systèmes dynamiques  
       Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en   puis suisse en   ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en  , la relativité générale en   ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en   pour son explication de l'effet photoélectrique.
  51. ↑   est la composante électrique du champ et   sa composante magnétique.
  52. ↑ Le champ électromagnétique étant, dans le vide,   à la direction de propagation.
  53. ↑ C.-à-d. créée à une extrémité du milieu de propagation.
  54. ↑ Avec les unités «  en  » et «  en  ».
  55. ↑ Une onde est définie comme un phénomène physique dans lequel une perturbation locale  c.-à-d. un signal  se déplace dans l'espace sans qu'il y ait de déplacement de matière en moyenne ;
       pour une onde donnée il peut y avoir plusieurs signaux physiques transportés par l'onde, par exemple :
        pour une onde acoustique dans un tuyau d'air, il y a deux signaux principaux transportés par l'onde, l'élongation d'une tranche d'air et la surpression qui lui est associée,
        pour une onde électromagnétique, les signaux transportés sont le champ électrique ou magnétique ;
       pour qu'un signal physique soit transporté par l'onde, il doit être nul dans l'état de repos et apparaître avec la perturbation.
  56. ↑ Ce signal peut aussi être vectoriel par exemple s'il est transporté par une onde électromagnétique, il suffit alors de remplacer la grandeur scalaire   par la grandeur vectorielle   où   représenterait le champ électrique ou le champ magnétique, mais ceci ne sera fait pratiquement que si le caractère vectoriel joue un rôle, sinon on conservera la notation  .
  57. ↑   est exprimée en  .
  58. ↑ Voir le paragraphe « deuxième développement en série de Fourier » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ; on choisit le 2ème développement  voir les paragraphes « 2ème développement en série de Fourier » et « « harmonique instantané complexe de rang n » du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) »  ;
       Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques et leur application au problème de la propagation de la chaleur.
  59. ↑ 59,0 59,1 et 59,2 Il s'agit d'un abus  pratiquement utilisé par tous  pour spectre d'amplitudes de la représentation fréquentielle.
  60. ↑ L'éventuelle composante continue étant considérée comme un signal sinusoïdal de fréquence nulle c.-à-d. correspondant à  .
  61. ↑ Il s'agirait également d'un abus pour spectre de phases de la représentation fréquentielle.
  62. ↑ L'éventuelle composante continue  correspondant à   pouvant être   ou  , on introduit   telle que   et ainsi    attention : quand on utilise les complexes dans un domaine où l'électricité intervient, le nombre imaginaire pur de module unité et d'argument   est noté   au lieu de  , ce dernier symbole étant réservé à l'intensité du courant .
  63. ↑ 63,00 63,01 63,02 63,03 63,04 63,05 63,06 63,07 63,08 63,09 et 63,10 Encore appelé « carré ».
  64. ↑ 64,00 64,01 64,02 64,03 64,04 64,05 64,06 64,07 64,08 64,09 64,10 64,11 64,12 64,13 64,14 et 64,15 Un signal alterné  c.-à-d. périodique avec une alternance positive et une négative  est dit « symétrique » si la durée de l'alternance positive est égale à celle de l'alternance négative.
  65. ↑ 65,0 et 65,1 Le signal étant tracé sur l'intervalle   est impair car sa valeur sur   est opposée à celle sur   ainsi que celle sur   opposée à celle  .
  66. ↑ 66,0 et 66,1 Voir le paragraphe « 1er développement en série de Fourier » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ;
       Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques et leur application au problème de la propagation de la chaleur.
  67. ↑ On utilise   d'où   et  .
  68. ↑ En effet la valeur absolue de la pente est  .
  69. ↑ On obtient   et  , les bornes inférieure et supérieure devenant respectivement   et  .
  70. ↑ Cette méthode sera vue dans le cours de mathématiques, elle est aussi exposée très succinctement dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (intégrer un produit de fonctions par parties) » du chap.  de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :
       si on doit calculer   en connaissant une primitive de   notée  , on peut écrire    , cela résultant de       soit encore   et finalement, par intégration, la relation énoncée précédemment.
  71. ↑ 71,0 et 71,1 Les deux fonctions à prendre entre les valeurs opposées   et   étant impaires, il suffit de prendre la valeur de la fonction en la borne supérieure et multiplier par  .
  72. ↑ Car « ».
  73. ↑ L'amplitude de la réponse du filtre au signal d'entrée s'obtient en multipliant l'amplitude du signal d'entrée par le « gain du filtre pour la fréquence considérée » et
       la phase à l'origine de la réponse du filtre au signal d'entrée s'obtient en ajoutant à la phase à l'origine du signal d'entrée le déphasage du filtre pour la fréquence considérée, déphasage que l'on appelle « phase du filtre pour la fréquence considérée » ;
       pour les notions de gain  et de phase  de filtre  dispositif électronique caractérisé par une fonction de transfert , voir le paragraphe « définition d'une fonction de transfert harmonique d'un Q.L.P. fermé sur une charge et alimenté en entrée par une source fonctionnant en r.s.f. » du chap.  de la leçon « Signaux physiques - bis (PCSI) ».
  74. ↑ Ceci constituant le théorème de superposition applicable à tout phénomène linéaire reliant causes à effets : « si à chaque cause   prise isolément on observe un effet   par un phénomène linéaire », « l'action de l'ensemble des causes prises simultanément   aura pour effet, par le phénomène linéaire précédent, l'ensemble des effets  ».
  75. ↑ 75,0 et 75,1 Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques et leur application au problème de la propagation de la chaleur.
  76. ↑ L'addition manuelle serait très laborieuse  sauf dans le cas peu fréquent où il n'y aurait que deux ou trois harmoniques  et de toute façon prendrait énormément de temps d'où la nécessité de la réaliser grâce à un logiciel.
  77. ↑ 77,0 et 77,1 Si on est plus exigeant.
  78. ↑ Peu d'harmoniques sont nécessaires car la forme du signal triangulaire est très proche de celle d'un signal sinusoïdal ; cela se justifie aussi par le fait que l'amplitude des harmoniques d'un signal triangulaire varie très rapidement en  .
  79. ↑ Un nombre important d'harmoniques est nécessaire car la forme du signal créneau est assez éloignée de celle d'un signal sinusoïdal ; cela se justifie aussi par le fait que l'amplitude des harmoniques d'un signal créneau varie assez lentement en  .
  80. ↑ Ce n'est évidemment que très approximatif mais assez bien vérifié.
  81. ↑ 81,0 et 81,1 Basse Fréquence.
  82. ↑ 82,0 et 82,1 Haute Fréquence.
  83. ↑ Intervalle séparant deux sons dont la fréquence fondamentale du plus aigu est le double de celle du plus grave.
  84. ↑ 84,0 et 84,1 Ultraviolet.
  85. ↑ Au-dessous de   ce sont encore des ondes radio mais elles ne sont pas réglementées.
  86. ↑ Grandes Ondes.
  87. ↑ Modulation d'Amplitude.
  88. ↑ Modulation de Fréquence.
  89. ↑ Global Positioning System.
  90. ↑ Wireless Fidelity.
  91. ↑ 91,0 et 91,1 Préfixes multiplicateurs :   ou « Peta »   et   ou « Exa »    il y a encore   ou « Téra »  ,   ou « Giga »    
  92. ↑ On réserve usuellement le nom de « rayons gamma »  noté   aux rayonnements issus de l'annihilation d'une paire électron-positron, dans les autres cas on parle plutôt de « rayonnements gamma »  noté  .


  Oscillateur harmonique
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