Espace préhilbertien réel/Exercices/Polynômes de Legendre

On travaille dans $E=\mathbb {R} [X]$ muni du produit scalaire $\left(f,g\right)=\int _{-1}^{1}f(x)g(x)\mathrm {d} x$

On pose $\forall n\in \mathbb {N}$ le n-ième polynôme de Legendre : $\forall x\in \mathbb {R} ,~\lambda _{n}(x)={\frac {n!}{(2n)!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}((x^{2}-1)^{n})$

1. Vérifier que $\left(\cdot ,\cdot \right)$ est bien un produit scalaire sur E.

2. Calculer λ₀, λ₁, λ₂ et λ₃

3. Montrer que $(\lambda _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est une famille orthonormale de $\mathbb {R} [X]$

4.Montrer que $\forall n\in \mathbb {N}$, λ_n vérifie l'équation différentielle $(E_{1})~:~{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[(1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} \lambda _{n}}{\mathrm {d} x}}\right]+n(n+1)\lambda _{n}=0$

5. Montrer que λ vérifie l'équation $(E_{2})~:~\forall n\in \mathbb {N} ,\forall x\in \mathbb {R} ,~(n+1)\lambda _{n+1}(x)-(2n+1)x\lambda _{n}(x)+n\lambda _{n-1}(x)=0$

Solution

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