« Théorie des groupes/Transfert, théorème du complément normal de Burnside » : différence entre les versions
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→Théorème du complément normal de Burnside : Noté que dans certains cas, il y a mieux que le théorème du complément normal de Burnside. |
→Applications du théorème du complément normal de Burnside : précisé un énoncé |
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Ligne 333 :
| titre = Cas particulier
| contenu =
Soient G un groupe fini, ''p'' un nombre premier et P un p-sous-groupe de Sylow de G. On suppose que P est abélien et que les ordres de Aut(P) et de <math>\ N_{G}(P)</math> sont premiers entre eux ou n'ont que ''p'' comme diviseur premier commun. Alors <math>\ N_{G}(P)
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{{Démonstration
Ligne 347 :
Puisque P est abélien par hypothèse de l'énoncé, il est contenu dans <math>\ C_{G}(P),</math> donc <math>\vert C_{G}(P)\vert</math> est multiple de <math>\vert P\vert</math>, donc <math>\vert N_{G}(P)/C_{G}(P) \vert </math> divise <math>\vert N_{G}(P)\vert /\vert P \vert ,</math> qui divise <math>\vert G\vert /\vert P \vert ,</math> qui est premier avec ''p'' (puisque P est un p-sous-groupe de Sylow de G). Donc
:<math>(4) \qquad \vert N_{G}(P)/C_{G}(P) \vert </math> est premier avec p.
De (3) et (4), il résulte que <math>\vert N_{G}(P)/C_{G}(P) \vert = 1</math>, d'où <math>\ N_{G}(P) = C_{G}(P)</math>. Donc, d’après le théorème du complément normal de Burnside, P admet un complément normal dans G, autrement dit G est p-nilpotent.
}}
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