En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Cauchy et d'Alembert Série numérique/Exercices/Cauchy et d'Alembert », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
(Généralisation de la règle de d'Alembert.) Soient et deux séries à termes strictement positifs vérifiant, à partir d'un certain rang :
.
Montrer que :
si converge alors converge ;
si diverge alors diverge.
Solution
Soit un rang à partir duquel l'inégalité est vraie. Les séries et étant de même nature, et de même pour les séries en , il suffit de démontrer que si converge alors converge.
Pour cela, montrons d'abord par récurrence que
,
où est le réel positif . La propriété est évidemment vraie pour . Supposons-la vraie en un certain rang . Alors,
et la propriété est établie au rang . Elle est donc vraie pour tout .
Donc converge si ou si et et diverge grossièrement si ou si et . Pour et , la règle de d'Alembert ne permet pas de conclure, mais on voit directement que la série diverge grossièrement : car (en utilisant l'équivalent de De Moivre pour les factorielles, on peut même montrer que ). Remarque : si , la convergence pour ou, ce qui revient au même, pour , peut aussi se déduire de la convergence de la série suivante, puisque .
Déterminer la nature des séries de terme général :
, pour ;
, pour ;
, pour ;
.
Solution
donc converge absolument, par la règle de Cauchy (celle de d'Alembert s'applique aussi). Remarque : puisque , la convergence de peut également se déduire de celle de , démontrée dans l'exercice ci-dessus.
avec et .
Si , c'est-à-dire si et , alors donc diverge grossièrement.
Si , c'est-à-dire si ou , alors donc converge, par la règle de Cauchy (celle de d'Alembert s'applique aussi).
Cette série est absolument convergente par la règle de D'Alembert, ou en remarquant que et ou, plus directement :
(en particulier, ).
Cette série est (absolument) convergente par la règle de Cauchy, car .