Suites et récurrence/Limite d'une suite

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Limite infinie

Définition 1

Dire qu'une suite $u$ a pour limite $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $]A,+\infty [$ (avec $A$ réel) contient tous les termes $u_{n}$ à partir d'un certain rang, autrement dit : si pour tout réel A, $u_{n}>A$ à partir d'un certain rang. On note alors :

On note $\lim \limits _{x\to +\infty }u_{n}=+\infty$

On dira aussi que la suite diverge vers $+\infty$

Début de l'exemple

Exemple

Montrer que la suite $(n^{2})$ diverge vers $+\infty$.

Soit $A$ un réel, on cherche à résoudre $u_{n}>A$, c’est-à-dire $n^{2}>A$. Si $A<0$, il suffit de prendre $n$ quelconque. Sinon on pose : $n_{0}={\sqrt {A}}$ et l'on a $n>n_{0}\Rightarrow n^{2}>A$.

La suite est donc bien divergente.

Fin de l'exemple

De même :

Définition 2

Dire qu'une suite $u$ a pour limite $-\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ signifie que tout intervalle de la forme $]-\infty ,A[$ (avec $A$ réel) contient tous les termes $u_{n}$ à partir d'un certain rang, autrement dit : si pour tout réel A, $u_{n}<A$ à partir d'un certain rang.

On note $\lim \limits _{x\to +\infty }u_{n}=-\infty$

On dira aussi que la suite diverge vers $-\infty$.

Limite finie

Définition 3

Soit $l$ un réel. Dire qu'une suite $u$ a pour limite $l$ ou converge vers $l$ ou tend vers $l$ quand $n$ tend vers $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les valeurs $u_{n}$ à partir d'un certain rang.

On note $\lim \limits _{x\rightarrow +\infty }u_{n}=l$.

Début de l'exemple

Exemple

Montrer que la suite $({\dfrac {1}{\sqrt {n}}})_{n\geq 1}$ converge vers 0.

On se donne un intervalle $I=]-\alpha ;+\beta [$ où $\alpha >0$ et $\beta >0$. Il s'agit de résoudre $-\alpha <{\dfrac {1}{\sqrt {n}}}<\beta$.

L'inégalité de gauche est évidente.

Pour celle de droite, on a alors : ${\sqrt {n}}>{\dfrac {1}{\beta }}$ soit $n>{\dfrac {1}{\beta ^{2}}}$.

Donc, dès que $n>{\dfrac {1}{\beta ^{2}}}$ on a ${\dfrac {1}{\sqrt {n}}}\in I$. La suite et donc convergente vers 0.

Fin de l'exemple

Remarque

La notation $\lim _{n\to +\infty }u_{n}=$ introduite dans les trois définitions ci-dessus est légitimée par le fait que la limite (finie ou infinie) d'une suite est unique (ou n'existe pas).

Suites divergentes

Une suite non convergente (c'est-à-dire sans limite finie) est dite divergente. Cela peut signifier :

• soit que $u_{n}$ tend vers + ou - $\infty$
• Soit que $u_{n}$ n'a pas de limite, par exemple $u_{n}=(-1)^{n}$.

Limite d'une suite géométrique

Propriété

Soit $(u_{n})$ une suite géométrique, de raison $q$ et de premier terme $u_{0}\neq 0$.

• Si $q>1$, alors $u_{n}$ diverge vers $+\infty$ (respectivement $-\infty$) si $u_{0}>0$ (respectivement si $u_{0}<0$) .
• Si $q=1$, alors $u_{n}$ est constante donc converge vers $u_{0}$.
• Si $-1<q<1$, alors $u_{n}$ converge vers $0$.
• Si $q\leq -1$, alors $u_{n}$ diverge (pas de limite).