Approfondissement sur les suites numériques/Convergence

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On ne traitera ici que de définitions et de conséquences immédiates de la convergence. Pour les théorèmes ou pour les opérations sur les limites, se référer plutôt à la leçon « Suites et récurrence ».

Convergence
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Chapitre no 2
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chap. préc. :Définitions avancées
Chap. suiv. :Suites adjacentes

Exercices :

Convergence
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Approfondissement sur les suites numériques/Convergence
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Définitions

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Limites et relation d'ordre

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Début d’un théorème
Fin du théorème


C'est un cas particulier d'un théorème analogue sur les fonctions.

On en déduit la propriété de passage à la limite dans les inégalités :


On utilise souvent ce théorème et son corollaire dans le cas où l'une des deux suites est constante. Par exemple, si une suite   a pour limite   alors, pour tout réel   :

  • si  , on a   à partir d'un certain rang, ou encore (par contraposition) :
  • si   pour une infinité d'indices   (en particulier : si   à partir d'un certain rang), on a  .

Unicité de la limite

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Le théorème suivant légitime la notation   introduite dans les définitions ci-dessus.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Théorème des suites convergentes

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Début d’un théorème
Fin du théorème


Théorème de la limite monotone

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Début d’un théorème
Fin du théorème

Autrement dit (compte tenu du théorème précédent) :

  • toute suite croissante et majorée converge ;
  • toute suite croissante et non majorée tend vers   ;
  • toute suite décroissante et minorée converge ;
  • toute suite décroissante et non minorée tend vers  .


Suite de Cauchy

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On dit qu'une suite numérique   est de Cauchy si

 ,

c'est-à-dire si les termes de la suite   tendent globalement à se rapprocher les uns des autres quand   devient grand.

Une suite numérique converge si (et seulement si) elle est de Cauchy.

Théorème de comparaison avec une suite géométrique

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Début d’un théorème
Fin du théorème