Approfondissement sur les suites numériques/Convergence

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Convergence
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Chapitre no 2
Leçon : Approfondissement sur les suites numériques
Chap. préc. :Définitions avancées
Chap. suiv. :Suites adjacentes

Exercices :

Convergence
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Approfondissement sur les suites numériques/Convergence
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On ne traitera ici que de définitions et de conséquences immédiates de la convergence. Pour les théorèmes ou pour les opérations sur les limites, se référer plutôt à la leçon « Suites et récurrence ».

DéfinitionsModifier


Limites et relation d'ordreModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


C'est un cas particulier d'un théorème analogue sur les fonctions.

On en déduit la propriété de passage à la limite dans les inégalités :


On utilise souvent ce théorème et son corollaire dans le cas où l'une des deux suites est constante. Par exemple, si une suite   a pour limite   alors, pour tout réel   :

  • si  , on a   à partir d'un certain rang, ou encore (par contraposition) :
  • si   pour une infinité d'indices   (en particulier : si   à partir d'un certain rang), on a  .

Unicité de la limiteModifier

Le théorème suivant légitime la notation   introduite dans les définitions ci-dessus.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Théorème des suites convergentesModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème


Théorème de la limite monotoneModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème

Autrement dit (compte tenu du théorème précédent) :

  • toute suite croissante et majorée converge ;
  • toute suite croissante et non majorée tend vers   ;
  • toute suite décroissante et minorée converge ;
  • toute suite décroissante et non minorée tend vers  .


Suite de CauchyModifier

On dit qu'une suite numérique   est de Cauchy si

 ,

c'est-à-dire si les termes de la suite   tendent globalement à se rapprocher les uns des autres quand   devient grand.

Une suite numérique converge si (et seulement si) elle est de Cauchy.

Théorème de comparaison avec une suite géométriqueModifier

Début d’un théorème
Fin du théorème