Suites et récurrence/Comparaison de suites
Suites bornées
modifier- Une suite est majorée s'il existe (au moins) un réel M supérieur à tous les termes de la suite : pour tout indice , .
- Une suite est minorée s'il existe (au moins) un réel m inférieur à tous les termes de la suite : pour tout indice , .
- Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, c'est-à-dire si la suite est majorée.
La suite définie pour par est bornée, et même convergente.
Les suites et sont bornées et non convergentes.
Soit la suite définie par et la relation de récurrence . Montrer que cette suite est majorée.
À l'aide d'un algorithme, on conjecture que la suite est bien majorée par exemple par 15.
Montrons la propriété : pour tout , .
On a , la propriété est donc vraie au rang .
Supposons la propriété vraie au rang fixé. On a d'où soit donc on a . La propriété est donc héréditaire.
La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire, elle est donc vraie pour tout entier . La suite est donc bien majorée.
Remarque : En fait, on peut montrer que la suite est majorée par .
Deux théorèmes de convergence
modifierLes deux théorèmes ci-dessous sont admis. Ils seront démontrés au niveau 14.
Suites monotones
modifier- Toute suite croissante et majorée est convergente.
- Toute suite décroissante et minorée est convergente.
C'est un cas particulier du théorème de la limite monotone pour les fonctions, puisqu'une suite numérique monotone n'est autre qu'une fonction monotone de dans .
Toute suite monotone non bornée est divergente. Plus précisément :
- Toute suite croissante et non majorée tend vers
- Toute suite décroissante et non minorée tend vers
La suite est non majorée si et seulement si aucun réel ne majore tous les termes de la suite, autrement dit, si : pour tout réel , il existe un entier naturel N tel que .
Or, la suite est croissante donc pour tout entier naturel , . Comme , on a donc : pour tout réel , à partir d'un certain rang .
Par définition :
Une suite a pour limite si pour tout réel , à partir d'un certain rang.
Donc, la suite croissante non majorée admet comme limite.
La deuxième propriété se démontre de façon analogue.
Théorème des gendarmes
modifierSoient , et trois suites réelles. On suppose qu'à partir d'un certain rang :
Si les suites et convergent vers , alors .
C'est un cas particulier du théorème des gendarmes pour les fonctions, puisque sont trois applications de dans .