Théorie de la mesure/Mesures

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On a vu au chapitre 1 qu'une mesure m sur un ensemble fini X est un objet relativement simple, qui s'écrit $m(A)=\sum _{x\in A}\mu (x)$ pour une certaine fonction positive $\mu$ sur X. Bien que l’on en reste dans cette leçon à des exemples simples, les choses peuvent devenir considérablement plus compliquées sur un ensemble quelconque X.

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Une mesure positive est une fonction d'une tribu vers $\left[0,+\infty \right]$, vérifiant certaines propriétés.

Définition

Soit $(X,{\mathcal {A}})$ un espace mesurable. Une application $\mu :{\mathcal {A}}\to \left[0,+\infty \right]$ est appelée mesure si les propriétés suivantes sont vérifiées :

• $\mu (\varnothing )=0$ ;
• $\mu$ est $\sigma$-additive : pour toute famille dénombrable $\left(E_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ d'éléments deux à deux disjoints de la tribu ${\mathcal {A}}$,

  $\mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\mu (E_{n})$.

Début de l'exemple

Exemple

On peut définir une mesure de dénombrement (ou mesure de comptage) par $\mu (S)=\operatorname {card} \left(S\right)$ si $S$ est fini et $\mu (S)=+\infty$ sinon.

Fin de l'exemple