Application (mathématiques)/Famille

Début de la boite de navigation du chapitre

Étant donné un ensemble E quelconque, nous voulons indicer certains éléments de E, pas forcément avec des entiers naturels comme avec les suites, mais avec les éléments d’un ensemble I. Nous allons donc définir une famille d'éléments de E comme une application de I dans E, ce qui va autoriser, comme pour les suites, à attribuer plusieurs indices à un même élément de E.

Famille
Icône de la faculté
Chapitre no 4
Leçon : Application (mathématiques)
Chap. préc. :Graphe
Chap. suiv. :Application caractéristique
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Application (mathématiques) : Famille
Application (mathématiques)/Famille
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définition et exemples

modifier


  Une famille n’est pas nécessairement injective, et donc deux indices différents peuvent être attribués à un même élément de E.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Opérations sur les familles

modifier
  Si   alors l'ensemble   n'est pas défini en général (tandis que  ). Mais dans ce contexte (intersection d'une famille de parties d'un ensemble E fixé), on a convenu, par la définition ci-dessus, que l'intersection d'une famille vide de parties de E est égale à E.

Changement d'indice

modifier


Associativité

modifier


Distributivité

modifier


Plus généralement, on a l'égalité   (dans laquelle l'inclusion   est immédiate mais l'inclusion   utilise l'axiome du choix si   est infini), ainsi que l'égalité duale[1].

Passage au complémentaire

modifier


Recouvrement, partition

modifier



Image directe et image réciproque

modifier


Référence

modifier
  1. Robert L. Vaught, Set Theory: An Introduction, Birkhäuser, 2001, 2e éd. (1re éd. 1985) [lire en ligne], p. 21 .