Application (mathématiques)/Famille

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Famille
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Chapitre no 4
Leçon : Application (mathématiques)
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Étant donné un ensemble E quelconque, nous voulons indicer certains éléments de E, pas forcément avec des entiers naturels comme avec les suites, mais avec les éléments d’un ensemble I. Nous allons donc définir une famille d'éléments de E comme une application de I dans E, ce qui va autoriser, comme pour les suites, à attribuer plusieurs indices à un même élément de E.

Définition et exemplesModifier


  Une famille n’est pas nécessairement injective, et donc deux indices différents peuvent être attribués à un même élément de E.
Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Opérations sur les famillesModifier

  Si   alors l'ensemble   n'est pas défini en général (tandis que  ). Mais dans ce contexte (intersection d'une famille de parties d'un ensemble E fixé), on a convenu, par la définition ci-dessus, que l'intersection d'une famille vide de parties de E est égale à E.

Changement d'indiceModifier


AssociativitéModifier


DistributivitéModifier


Plus généralement, on a l'égalité   (dans laquelle l'inclusion   est immédiate mais l'inclusion   utilise l'axiome du choix si   est infini), ainsi que l'égalité duale[1].

Passage au complémentaireModifier


Recouvrement, partitionModifier



Image directe et image réciproqueModifier


RéférenceModifier

  1. Robert L. Vaught, Set Theory: An Introduction, Birkhäuser, 2001, 2e éd. (1re éd. 1985) [lire en ligne], p. 21 .