Théorie des groupes/Exercices/Classes modulo un sous-groupe

Problème 1

Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G. Désignons par φ l’application canonique x ↦ xK de G sur l’ensemble G/K des classes à gauche de G modulo K. Prouver que l’ensemble H/ (H ⋂ K) des classes à gauche de H modulo H ⋂ K est équipotent à l’ensemble φ(HK), autrement dit à l’ensemble des classes à gauche modulo K des éléments de l’ensemble HK. (Rappel : HK est une partie de G mais n’est pas forcément un sous-groupe de G.)

Solution

On vérifie facilement que l’application h ↦ φ(h) de H dans φ(HK) est une surjection et que deux éléments h et h' de H ont même image par cette application si et seulement si h et h' ont la même classe à gauche modulo H ⋂ K. Donc l’application considérée induit une bijection de H/ (H ⋂ K) sur φ(HK), ce qui démontre l'énoncé.

 

Remarque : on pourra comparer cet énoncé au second théorème d'isomorphisme, qui sera démontré dans le chapitre Sous-groupe distingué, groupe quotient.

Problème 2

a) Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G. Prouver que [G : H ⋂ K] ≤ [G : H] [G : K].

Solution

D'après le théorème des indices, [G : H ⋂ K] = [G : H] [H : (H ⋂ K)]. Il suffit donc de prouver que [H : (H ⋂ K)] ≤ [G : K]. Or le second membre est le cardinal de l’ensemble des classes à gauche de G modulo K et, d’après le problème précédent, le premier membre est le cardinal de l’ensemble des classes à gauche de HK modulo K. Comme HK est une partie de G, la thèse est claire.

 

b) Soient G un groupe, H et K des sous-groupes d'indices finis de G. Prouver que le sous-groupe H ⋂ K de G est d'indice fini dans G. (Théorème de Poincaré.)

Solution

C'est une conséquence immédiate du point a).

 

Problème 3

Soient G un groupe, H et K des sous-groupes d'indices finis de G. On suppose que [G : H] et [G: K] sont premiers entre eux. Prouver que [G : H ⋂ K] = [G : H] [G : K].

Solution

D'après le théorème des indices, [G : H ⋂ K] = [G : H] [H : (H ⋂ K)], donc [G : H] divise [G : H ⋂ K]. De même, [G : K] divise [G : H ⋂ K]. Ainsi, [G : H] et [G : K] divisent tous deux [G : H ⋂ K]. Si [G : H] et [G : K] sont premiers entre eux, il en résulte que leur produit [G : H] [G : K] divise [G : H ⋂ K], d'où [G : H] [G : K] ≤ [G : H ⋂ K]. Joint au problème 2, a), cela prouve que [G : H ⋂ K] = [G : H] [G : K].

 

Problème 4 (facile)

a) Soient $B\leq A\leq G$ des groupes, X une transversale droite de A dans G et Y une transversale droite de B dans A. La façon dont, dans la théorie, on a prouvé que $\vert G:B\vert =\vert G:A\vert \cdot \vert A:B\vert$ revient à prouver que XY est une transversale droite de B dans G (ou l'énoncé analogue pour les transversales gauches). Prouver que YX est une transversale droite de B dans G en utilisant le fait que si K est un sous-groupe de H, une partie T de H est une transversale droite de K dans H si et seulement si l’application $K\times T\rightarrow H$ est une bijection.

Solution

Puisque X est une transversale droite de A dans G, l’application $A\times X\rightarrow G:(a,x)\mapsto ax$ est une bijection. Elle induit donc par restriction une bijection $Y\times X\rightarrow YX:(y,x)\mapsto yx$. Cette dernière bijection admet une réciproque f qui peut être caractérisée par f(yx) = (y,x).
En composant les bijections

$\ B\times YX\rightarrow B\times (Y\times X):(b,yx)\mapsto (b,f(yx))=(b,(y,x))$

$\ B\times (Y\times X)\rightarrow (B\times Y)\times X:(b,(y,x))\mapsto ((b,y),x)$

$\ (B\times Y)\times X\rightarrow A\times X:((b,y),x)\mapsto (by,x)$

$\ A\times X\rightarrow G:(a,x)\mapsto ax$

(l'avant-dernière application étant une bijection parce que Y est une transversale droite de B dans A et la dernière application étant une bijection parce que X est une transversale droite de A dans G), nous trouvons que l'application

$\ B\times YX\rightarrow G:(b,yx)\mapsto byx$

est une bijection, donc YX est une transversale droite de B dans G.

 

b) Soient G un groupe, B un sous-groupe de G et Y une transversale droite de B dans G. Prouver que, quel que soit l'élément x de G, Yx est une transversale droite de B dans G.

Solution

Il est clair que le singleton {x} est une transversale droite de G dans G. En faisant A = G et X = {x} dans l'énoncé a), nous trouvons que Y {x} est une transversale droite de B dans G, ce qui est l'énoncé b).
(On peut évidemment donner une démonstration plus directe.)

 

Problème 5 (facile)

a) Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et T une transversale droite de H dans G. Prouver que T^-1 est une transversale gauche de H dans G.

Solution

Soit T une transversale droite de H dans G. En composant les bijections

$\qquad T^{-1}\times H\rightarrow H\times T:(v,h)\mapsto (h^{-1},v^{-1})$

$\qquad H\times T\rightarrow G:(h,t)\mapsto ht$

$\qquad G\rightarrow G:x\mapsto x^{-1},$

nous trouvons que l'application

$\qquad T^{-1}\times H\rightarrow G:(v,h)\mapsto vh$

est une bijection, donc T^-1 est une transversale gauche de H dans G.

 

b) Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et U une transversale gauche de H dans G. Prouver que U^-1 est une transversale droite de H dans G.

Solution

On peut dire par exemple que H est un sous-groupe du groupe opposé de G et que, comme on le vérifie facilement, U est une transversale droite de H dans le groupe opposé de G. D'après le point a), U^-1 est donc une transversale gauche de H dans le groupe opposé de G, autrement dit U^-1 est une transversale droite de H dans G.