Théorie des groupes/Exercices/Groupes, premières notions

Groupes, premières notions
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Exercices no2
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes, premières notions

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Lois de composition internes, monoïdes
Exo suiv. :Classes modulo un sous-groupe
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes, premières notions
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Problème 1 (très facile)

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Montrer que   et   ne sont pas des groupes.

Problème 2 (très facile)

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On définit une loi   sur   :

 
  •   forme t-il un groupe ?


Problème 3

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(Ce problème suppose la connaissance des propriétés de corps ordonné de l’ensemble des nombres réels.)

Soit S l'intervalle réel  . On définit une loi   sur   :

 

  • Montrer que   est un groupe


Problème 4 (Sous-groupe réunion de deux sous-groupes ?)

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On a vu dans la théorie que la réunion de deux sous-groupes d'un groupe G n’est pas forcément un sous-groupe de G.

  1. Prouver que si G est un groupe, si H et K sont deux sous-groupes de G, alors   est un sous-groupe de G (si et) seulement si   ou  . (H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 4, p. 9.)
  2. Prouver que si G est un groupe et   une suite de sous-groupes de G croissante pour l'inclusion, ou plus généralement une famille non vide de sous-groupes de G sur laquelle l'inclusion est un ordre filtrant à droite, alors la réunion   est un sous-groupe de G.

Problème 5 (Quand tous les carrés sont égaux à 1.)

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Soit G un groupe, noté multiplicativement, tel que, pour tout élément x de G, x2 = 1. Prouver que G est commutatif.

Remarque. L'énoncé devient faux si on y remplace 2 par un nombre premier p distinct de 2. Le contre-exemple qui suit suppose connues quelques notions d'algèbre linéaire, ainsi que la structure d'anneau de  

Soit  

une matrice 3 × 3 unitriangulaire supérieure à coefficients dans un anneau quelconque. On prouve par récurrence sur n que, pour tout nombre naturel n,

 

Si p est un nombre premier distinct de 2, p(p-1)/2 est divisible par p. Il en résulte que pour toute matrice M unitriangulaire supérieure 3 × 3 à coefficients dans le corps Z/pZ, Mp est la matrice unité. Donc dans le groupe multiplicatif des matrices unitriangulaires supérieures 3 × 3 à coefficients dans le corps Z/pZ, la p-ième puissance de tout élément est égale à 1. Pourtant, ce groupe n’est pas commutatif, car, par exemple, les matrices

 

et

 

ne commutent pas.

Problème 6 (Passage à l'inverse et homomorphisme)

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Soit G un groupe. On note f l'involution x ↦ x–1 de G.

a) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. G est abélien
  2. f est un endomorphisme (et donc un automorphisme)
  3.  
  4.  
  5.   pour  .

b) Déduire du 1 ⇔ 2 du point a) une nouvelle preuve du fait que si x2 = 1 pour tout élément x de G, G est commutatif.

c) Démontrer que si |G| > 2, G admet un automorphisme non trivial (c'est-à-dire différent de idG).

d) Soit h un endomorphisme de G dont 1 est le seul point fixe.

  1. On pose  . Vérifier que   est injective
  2. On suppose de plus que G est fini et que h est une involution. En déduire que h = f (donc d'après le 2 ⇒ 1 de (a), G est abélien).

Problème 7. Monoïdes réguliers finis

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a) Appelons monoïde régulier un monoïde dont tout élément est régulier (simplifiable). Prouver que tout monoïde régulier fini est un groupe. (Indication : pour un élément x d'un monoïde régulier fini M, considérer l’application   de M dans lui-même.)

b) Soit S un sous-monoïde fini d'un groupe G. Prouver que S est un groupe.

c) Soit S une partie stable finie non vide d'un groupe G. Prouver que S est un groupe.

d) Généraliser c) en remplaçant l'hypothèse « S est fini » par l'hypothèse « tout élément de S est d'ordre fini » (c'est-à-dire engendre un sous-groupe fini).

Problème 8

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Soient A et B des sous-groupes d'un groupe G. Prouver que AB est un sous-groupe de G si et seulement si AB = BA.

Référence : Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, P.U.F., énoncé 1.47, p. 37.

Problème 9

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Par « ensemble dénombrable », on entendra ici un ensemble fini ou équipotent à l'ensemble des nombres naturels. Prouver que tout groupe admettant une partie génératrice dénombrable est dénombrable. (Indication : utiliser la « description constructive du sous-groupe engendré ». On rappelle que le lecteur est supposé connaître les propriétés les plus classiques des cardinaux infinis.)

Problème 10 (Cardinal d'une partie génératrice infinie)

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Soient G un groupe et T une partie génératrice infinie de G. Prouver que  . (Indication. Utiliser la « description constructive du sous-groupe engendré ». On rappelle que le lecteur est supposé connaître les propriétés les plus classiques des cardinaux infinis.)

Remarque. L'énoncé de ce problème servira dans une démonstration de l'équipotence des bases d'un groupe libre.

Problème 11

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a) Soient G un groupe et   deux familles de parties de G telles que pour tout indice i,  .

Prouver que  .

b) Soient G un groupe et   une famille de sous-groupes de G. Soit   une famille telle que, pour tout i dans I, Zi soit une partie génératrice de Hi (ce qui revient à dire que Hi est le sous-groupe ⟨Zi⟩ de G engendré par Zi).

Déduire du point a) que   est une partie génératrice du sous-groupe   de G engendré par les Hi.

(En particulier, si H et K sont des sous-groupes de G, si X est une partie génératrice de H et Y une partie génératrice de K, X∪Y est une partie génératrice de ⟨H, K⟩.)

Remarque. Il résulte du point b) que le sous-groupe engendré par une famille finie de sous-groupes de type fini d'un groupe G est lui-même un sous-groupe de type fini de G. Ce fait nous servira dans un chapitre ultérieur sur le théorème de Howson.

Problème 12. Les homomorphismes injectifs de groupes comme monomorphismes

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Soient G, H des groupes, soit   un homomorphisme de G dans H. Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(i)   est injectif;
(ii) pour tout groupe K et pour tous homomorphismes   et   de K dans G, l'égalité   entraîne  

Indication : pour prouver que (ii) entraîne (i), on peut prendre pour K un certain sous-groupe de G dont une propriété détermine si   est injectif ou non.

Remarques. L'énoncé du problème revient à dire que, dans la catégorie des groupes, les monomorphismes sont exactement les homomorphismes injectifs de groupes. Si le groupe G de l'énoncé est abélien, le groupe K que nous avons utilisé dans la démonstration est lui aussi abélien (puisque c'est un sous-groupe de G), donc la démonstration qui précède s'étend immédiatement à la catégorie des groupes abéliens. Même chose pour la catégorie des groupes finis et pour la catégorie des groupes abéliens finis.

Lien externe

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« Groupes, sous-groupes, ordre (35 exercices corrigés) », sur exo7