Théorie des groupes/Classes modulo un sous-groupe

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Classes modulo un sous-groupe
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Chapitre no 3
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Groupes, premières notions
Chap. suiv. :Sous-groupe distingué et groupe quotient

Exercices :

Classes modulo un sous-groupe
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Théorie des groupes/Classes modulo un sous-groupe
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Classes à gauche et classes à droite suivant un sous-groupe

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Soient   un groupe et   un sous-groupe de  . Le lecteur vérifiera que la relation   est une relation d'équivalence (en   et  ) dans   et que les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de   de la forme    parcourt  . On appelle ces parties de   les classes à gauche (de  ) suivant  , ou encore modulo  .

De même, la relation   est une relation d'équivalence dans   et les classes d'équivalence correspondantes sont les parties de   de la forme  , où   parcourt  . On appelle ces parties de   les classes à droite (de  ) suivant  , ou encore modulo  .

La classe à gauche et la classe à droite suivant   de l'élément neutre sont toutes deux égales à   lui-même. De façon générale, la classe à gauche   d'un élément   de   est égale à   si et seulement si   appartient à  . Même chose pour la classe à droite.

Il est clair que si   est commutatif, les classes à gauche suivant   sont identiques aux classes à droite. Plus généralement, même si   n’est pas commutatif, il se peut que les classes à gauche suivant un certain sous-groupe   de   soient identiques aux classes à droite. Un tel sous-groupe est dit normal, ou encore distingué, ou encore invariant. On y reviendra plus loin.

Nous noterons   l’ensemble des classes à gauche d'un groupe   modulo un sous-groupe   de   (c'est-à-dire : l'ensemble quotient de   par la relation d'équivalence évoquée plus haut)[1].

Indice d'un sous-groupe

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Wikipédia possède un article à propos de « Indice d'un sous-groupe ».

L'application   est une bijection de l’ensemble des classes à gauche sur l’ensemble des classes à droite, donc l’ensemble des classes à gauche et l’ensemble des classes à droite ont même cardinal. Ce cardinal est appelé l'indice de   dans   et noté  , ou encore  , ou encore  .

Exemples : l'indice de   dans lui-même est égal à   ; l'indice dans   du sous-groupe réduit à l'élément neutre est égal à l’ordre de  .

Toutes les classes à gauche (et toutes les classes à droite) suivant   ont le même cardinal, à savoir l’ordre de  . Comme la somme des cardinaux des classes d'une relation d'équivalence sur un ensemble est le cardinal de cet ensemble, nous avons donc :

 .

Il en résulte que l’ordre de   divise celui de  , ce qui est banal si   est infini, mais constitue dans le cas fini l'important

Début d’un théorème
Fin du théorème


Exemple :

  • Nous verrons plus loin qu’il existe des groupes finis d'ordre premier, dont l'exemple classique est le groupe additif  , avec   premier. (Il s'agit d'un groupe quotient, dont la définition est donnée plus bas.) En raison du théorème de Lagrange, les seuls sous-groupes possibles de ce groupe sont d'ordre   ou  . Autrement dit, ce groupe n'a pas de sous-groupe propre (c'est-à-dire : différent de lui-même) non trivial.

Remarques :

  • Comme noté, les groupes finis sont les seuls groupes pour lesquels le théorème de Lagrange est intéressant. Il peut alors s'énoncer comme suit : soit   un groupe fini et   un nombre naturel. S'il existe un sous-groupe d'ordre   de  ,   divise l’ordre de  .

La réciproque du théorème ainsi formulé n’est pas vraie, en ce sens que si   est un diviseur de l’ordre d'un groupe fini, ce groupe n'admet pas forcément de sous-groupe d'ordre   : nous verrons, par exemple, dans les exercices sur le chapitre Groupes alternés que le groupe alterné A4, qui est d'ordre 12, n' a pas de sous-groupe d'ordre 6. Par contre, nous montrerons plus loin que cette réciproque est vraie dans le cas des groupes abéliens. Dans le cas général, nous rencontrerons des réciproques partielles (théorèmes de Cauchy, de Sylow et de Hall, ordres des sous-groupes normaux d'un groupe nilpotent fini).

  • La relation
 

montre aussi que l'indice   divise  .


Au lieu de « transversale à droite » (resp. « transversale à gauche »), nous dirons aussi « transversale droite » (resp. « transversale gauche »).

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Démontrons l'existence d'une transversale droite. Désignons par D l'ensemble des classes à droite de H dans G. Ces classes sont non vides, donc, d'après l'axiome du choix, il existe une application f de D dans G qui à toute classe à droite fait correspondre un élément de cette classe. (L'axiome du choix n'est pas nécessaire si l'ensemble D est fini, c'est-à-dire si H est d'indice fini dans G.) On vérifie facilement que l'image de f est une transversale droite de H dans G. (On a simplement adapté à un cas particulier la démonstration de ce théorème de théorie des ensembles : étant donné une partition P d'un ensemble E, il existe une partie de T de E telle que toute classe de la partition P comprenne un et un seul élément de T.)

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Choisissons un système de représentants des classes à gauche de   suivant  , c'est-à-dire une famille   d'éléments de   telle que, pour toute classe à gauche de   suivant  , il existe un et un seul   pour lequel   appartienne à cette classe ; donc  . De même, choisissons une famille   d'éléments de   telle que, pour toute classe à gauche de   suivant  , il existe un et un seul   pour lequel   appartienne à cette classe ; donc  . Prouvons que la famille   est un système de représentants des classes à gauche de   suivant  .

Soit   un élément de  . Puisque les   forment un système de représentants des classes à gauche de   suivant  , il existe   et   tels que  .

Puisque les   forment un système de représentants des classes à gauche de   suivant  , il existe   et   tels que  .

On a alors  , ce qui montre que pour tout élément   de  , il existe un couple   tel que   soit de la forme   avec  . Un tel couple est unique, car si   en est un autre, il existe   tel que  , d'où

 ,

d'où tout d’abord (puisque   appartiennent à  )  , d'où, par hypothèse sur les  ,   ; dès lors, (1) donne   avec   : par hypothèse sur les  ,  .

Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que la famille   est un système de représentants des classes à gauche de   suivant  . L'indice de   dans   est donc

 , ce qui démontre l'énoncé.

(Remarque : en prenant pour   dans la formule des indices le sous-groupe réduit à l'élément neutre, nous retrouvons l'égalité  . Nous aurions donc pu ne pas démontrer cette égalité séparément et la déduire de la formule des indices.)

Sous-groupe d'indice fini d'un groupe de type fini

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Cette section peut être omise en première lecture. On y démontre un lemme qui servira à prouver le théorème de Nielsen-Schreier dans un futur chapitre sur les groupes libres. On démontre aussi un théorème (tout sous-groupe d'indice fini d'un groupe de type fini est un groupe de type fini) qui intervient dans une des démonstrations d'un théorème de Schur[2].


Soient   un sous-groupe d'un groupe   et   une transversale droite de   dans  . Pour tout élément   de  , il existe un et un seul élément   de   tel que   soit de la forme   avec   dans  .

  • Posons  . Nous définissons ainsi une application   de   dans   (dépendant évidemment de  ). Cette application   est une surjection. En effet, si   est un élément de  , choisissons un élément   de T ; alors   est image par   de l'élément   de  .
  • Nous poserons aussi  . De cette façon,   donc  .
Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration[3]. Si p désigne la surjection de G sur H que nous avons considérée juste avant l'énoncé,  .

Soit   un élément du sous-groupe  . Il s'écrit

 .

Posons, pour   :

 .

En particulier,  , donc

 .

Or  , donc chacune des   parenthèses de ce produit est de la forme

 .

On conclut en remarquant que si   et  , en posant  , on obtient

 .
Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Choisissons une transversale droite   de   dans  . Si nous remplaçons dans   l'unique élément de   par 1, nous obtenons encore une transversale droite de H dans G. Nous pouvons donc supposer que T comprend l'élément 1. D'après le lemme qui précède, l'ensemble A des  , où t parcourt T et où x parcourt X, est une partie génératrice du groupe H. L'application   est une surjection de   sur A, donc

 

Comme le cardinal de T est égal à l'indice de H dans G, l'énoncé en résulte.

En particulier :

Début d’un théorème
Fin du théorème

Remarques. 1° La théorie des groupes libres nous permettra de démontrer l'énoncé plus fort que voici : si G est un groupe admettant une partie génératrice de cardinal fini m, si H est un sous-groupe d'indice fini j de G, alors H admet une partie génératrice de cardinal  . Voir les exercices sur le chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier.
2° Un sous-groupe d'un groupe de type fini n'est pas forcément de type fini. On en verra un exemple dans les exercices sur le chapitre Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier.

Formule du produit

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Début d’un théorème
Fin du théorème


Première démonstration. On prouve dans les exercices que

 ,

où E désigne l’ensemble des classes à gauche modulo K contenues dans HK.

HK est réunion disjointe de ces classes, donc  . Dès lors, en multipliant les deux membres de (1) par  , on obtient l'énoncé.

Seconde démonstration. Soit f l’application   de H × K dans HK. Prouvons que pour tout élément z de HK, il y a exactement   éléments (x, y) de H × K tels que f(x, y) = z. Puisque z appartient à HK, il existe a dans H et b dans K tels que z = ab. Prouvons que les éléments (x, y) de H × K tels que f(x, y) = z sont les éléments de la forme (ad, d-1b), où d parcourt  . Si (x, y) est tel que f(x, y) = z, alors xy = ab, d'où a-1x = by-1. Si nous désignons par d la valeur commune de a-1x et de by-1, il est clair que d appartient à   et que x = ad, y = d-1b. Nous avons donc prouvé que tout élément (x, y) de H × K tel que f(x, y) = z est un élément de la forme (ad, d-1b), où d appartient  . Réciproquement, si d appartient à  , il est clair que (a, d) est un élément de H × K et que f(ad, d-1b) = ab = z. Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que les éléments (x, y) de H × K tels que f(x, y) = z sont les éléments de la forme (ad, d-1b), où d parcourt  . Il est clair que si d et d' sont deux éléments distincts de  , les deux éléments (ad, d-1b) et (ad', d'-1b) de H × K sont distincts, donc les éléments de H × K de la forme (ad, d-1b), où d parcourt  , sont en quantité  . Nous avons donc prouvé, comme annoncé, que pour tout élément z de HK, il y a exactement   éléments (x, y) de H × K tels que f(x, y) = z. La formule du produit résulte donc du principe des bergers.

Troisième démonstration. Soit T une transversale à gauche de H ∩ K dans H. Comme |H| = |T|.|H ∩ K|, il suffit de prouver que (i) HK est égal à TK, et que (ii) TK est équipotent au produit cartésien T × K.
(i) Nous avons HK = (T (H ∩ K)) K = T ((H ∩ K) K) = TK
(ii) Pour prouver que TK est équipotent au produit cartésien T × K, il suffit de prouver que la surjection   de T × K sur TK est injective. Soient donc (t,k) et (t',k') deux éléments de T × K tels que tk = t'k'; il suffit de prouver que t = t' (ce qui entraîne évidemment k = k'). Nous avons t'-1 t = k' k-1. Puisque T est contenue dans H, le membre gauche est contenu dans H. Le membre droit est contenu dans K, donc le membre gauche t'-1 t est contenu dans (H ∩ K). Puisque T est une transversale gauche de H ∩ K dans H, on a donc t' = t, comme annoncé.

Notes et références

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  1. Cette notation est employée par N. Bourbaki, Algèbre, Paris, 1970, ch. I, § 5, no 5, p. 56.
  2. J. J. Rotman, An Introduction to the Theory of Groups, Springer, 4e éd., tirage de 1999, lemme 7.56, p. 198
  3. Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups, AMS, 2e éd., 1976, lemme 7.2.2 p. 96-97 (à ceci près que Hall appelle classes à gauche nos classes à droite).
  4. J. J. Rotman, ''An Introduction to the Theory of Groups, 4e éd., tirage de 1999, p. 30.