Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient

Sous-groupe distingué et groupe quotient
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Exercices no4
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Sous-groupe distingué et groupe quotient

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Classes modulo un sous-groupe
Exo suiv. :Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z
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Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient
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Problème 1Modifier

Prouver que tout sous-groupe d'indice 2 est normal.

Problème 2Modifier

Désignons par S le groupe des permutations de l’ensemble E = {1, 2, 3}, la loi de groupe étant la composition (f, g) ↦ f ∘ g. Désignons par id la permutation identique de E. Si a et b sont deux différents éléments de E, désignons par (a b) la permutation de E qui applique a sur b, b sur a et laisse donc fixe l'élément de E distinct de a et de b. Il est clair que {id, (1 2)} est un sous-groupe de S. Prouver que ce n’est pas un sous-groupe normal de S.

Problème 3Modifier

Soient G un groupe et   une famille de sous-groupes de G. On désigne par H le sous-groupe de G engendré par les Hi. Prouver que

 

et que l'inclusion réciproque n’est pas forcément vraie.

Problème 4Modifier

Soient G1 et G2 deux groupes, f un homomorphisme surjectif de G1 sur G2. Soit A une partie de G1. Désignons par Dist(A) le sous-groupe distingué de G1 engendré par A. Prouver que f(Dist(A)) est le sous-groupe distingué de G2 engendré par f(A).

Problème 5Modifier

Soient G un groupe et H, K des sous-groupes normaux de G tels que H ⋂ K = 1. Tout élément de H commute avec tout élément de K. (Indication : x étant un élément de H et y un élément de K, considérer l'élément x-1 y-1 x y de G. Nous retrouverons les éléments de la forme x-1 y-1 x y au chapitre Commutateurs, groupe dérivé.)

Remarque. L'énoncé de ce problème nous servira au chapitre Produit direct et somme restreinte.

Problème 6Modifier

Soient   un groupe,   un sous-groupe distingué de   et   un sous-groupe de   contenant  . Notons   l’ensemble des classes à gauche de   suivant   (ici,   n'est donc pas nécessairement un groupe, contrairement à  ).

  1. Montrer qu’il existe une unique application   de   dans   telle que, pour tout   dans  ,  .
  2. Montrer que, pour tous   et   dans  ,   équivaut à ce que   et   appartiennent à la même classe à gauche du groupe   suivant son sous-groupe  .

Problème 7Modifier

a) Soient G et H deux groupes. Prouver que (comme énoncé dans le chapitre théorique) les deux conditions suivantes sont équivalentes :

1° il existe un homomorphisme surjectif de G sur H;
2° il existe un sous-groupe normal N de G tel que H soit isomorphe au groupe quotient G/N.

b) Supposons que les conditions 1° et 2° du point a) sont satisfaites. (Comme signalé dans le chapitre théorique, on exprime souvent ce fait en disant que H « est un quotient » de G.) Prouver que pour tout groupe K,

 

(Indication : à partir d'un homomorphisme surjectif de G sur H, définir une injection de Hom(H, K) dans Hom(G, K).)

Remarque. Le point b) nous servira dans une démonstration de l'équipotence des bases d'un même groupe libre.

Problème 8Modifier

Soient A et B des groupes abéliens. Prouver que pour tout homomorphisme   de A dans B, les deux conditions suivantes sont équivalentes :

  est surjectif;
2° pour tout groupe abélien C, pour tous homomorphismes   et   de B dans C, la relation   entraîne  

Indication : pour prouver que 2° entraîne 1°, on peut prendre pour C le quotient de B par un certain sous-groupe de B (dépendant de  ) dont une certaine propriété équivaut à ce que   soit surjectif.

Remarque. L'énoncé de ce problème exprime que les épimorphismes de la catégorie des groupes abéliens sont les homomorphismes surjectifs entre groupes abéliens. On a un énoncé analogue pour la catégorie des groupes (voir un exercice de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur).