Théorie des groupes/Exercices/Groupes libres, premiers éléments

Groupes libres, premiers éléments
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Exercices no45
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes libres, premiers éléments

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Caractères irréductibles de quelques groupes
Exo suiv. :Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes libres, premiers éléments
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Problème 1 (très facile)

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Soient G un groupe, X une base de G, x et y deux différents éléments de X. Prouver que x et y ne commutent pas.

Remarque. L'énoncé de ce problème montre que tout groupe libre de rang   est non abélien. On a noté dans le chapitre théorique que les groupes libres de rang 0 sont les groupes triviaux et que les groupes libres de rang 1 sont les groupes isomorphes à  , donc si un groupe abélien n'est ni trivial ni isomorphe à  , ce n'est pas un groupe libre. (Attention : comme signalé dans le chapitre théorique, l'expression « groupe abélien libre » ne signifie pas « groupe libre abélien ».) Le problème 1 fournit donc des exemples de groupes n'admettant pas de bases.

Problème 2 (Centre d'un groupe libre)

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a) Soit G un groupe libre de rang  . Prouver que le centre de G est trivial (c'est-à-dire réduit à l'élément neutre).

b) Soient X un ensemble, y un élément de X et w un élément de F(X) commutant avec ((y, 1)) dans le groupe F(X). Prouver que w est une puissance (d'exposant entier rationnel) de ((y, 1)) dans le groupe F(X).

Remarques.

  • Plus généralement, si deux éléments v et w d'un groupe libre F commutent entre eux, ils sont puissances (à exposants entiers relatifs) d'un même élément de F. On le démontrera dans les exercices du chapitre sur le théorème de Nielsen-Schreier.
  • La question a) peut se déduire de la b).

Problème 3 (très facile)

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Soit X une partie libre d'un groupe G. (On ne suppose pas que le groupe G est libre.) Prouver que X ne comprend pas l'élément neutre de G.

Problème 4 (Tout groupe libre est sans torsion)

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Un groupe sans torsion est par définition un groupe dont le seul élément d'ordre fini est l'élément neutre. On va prouver que tout groupe libre est un groupe sans torsion.
Soit X un ensemble, soit   un mot réduit sur X (avec  ).
On dit[1] que   est cycliquement réduit si n = 0 ou que les lettres signées   et   ne sont pas inverses l'une de l'autre. En d'autres termes, on dit que   est cycliquement réduit si n = 0 ou (n > 0 et (  ou  )).
Il est clair que si w n'est pas cycliquement réduit, long(w) > 1.
On vérifie facilement que w est cycliquement réduit si et seulement si   (où   désigne le carré de w dans le groupe F(X) ).

a) Prouver que si w est un élément cycliquement réduit de X, alors, pour tout nombre naturel r,

 

(où   désigne la r-ième puissance de w dans le groupe F(X) ).

b) Prouver que tout élément de F(X) est conjugué dans le groupe F(X) à un élément cycliquement réduit.

c) Prouver que tout groupe libre est un groupe sans torsion.

Remarque. Des raisonnements semblables permettent de prouver l'énoncé suivant : si F est un groupe libre, si a et b sont des éléments de F, s'il existe un nombre naturel   tel que an = bn, alors a = b. En faisant b = 1, on obtient l'énoncé c) comme cas particulier.

Problème 5 (Dérivé du groupe F(X))

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Soient X un ensemble et F(X) le groupe libre construit sur X. Pour tout élément   de F(X) et pour tout élément x de X, posons

 

(On pourrait appeler   l'exposant total de x dans w.)

Pour un élément donné w de F(X), les éléments x de X tels que   sont en nombre fini; en effet, un tel élément x doit être égal à un des   apparaissant dans l'écriture   de w.

(En revanche, évidemment, un   apparaissant dans l'écriture   de w n'est pas forcément un x tel que   : prendre par exemple w = ((a, 1), (b, 1), (a, -1)), avec a et b distincts; alors  )

Désignons par   le groupe additif de entiers rationnels et par   la somme directe (ou encore somme restreinte) de la famille  , indexée par X, de groupes tous égaux à  . Autrement dit,   est l'ensemble des familles à support fini d'entiers rationnels indexées par X, cet ensemble étant muni de la loi de groupe « addition composante par composante ». (Le groupe   est appelé le groupe abélien libre construit sur X, où le mot « libre » n'a pas le même sens que dans l'expression « groupe libre ».)

D'après ce qui précède, nous pouvons considérer l'application

 

a) Prouver que   est un homomorphisme de groupes.

b) Prouver que le dérivé F'(X) du groupe F(X) est l'ensemble des éléments   de F(X) tels que, pour tout x dans X,

 

autrement dit l'ensemble des éléments w de F(X) tels que, pour tout x dans X,

 

c) Prouver que l'abélianisé F(X)/F'(X) de F(X) est isomorphe au groupe  

d) Soient L un groupe libre et X une base de L. Prouver que l'abélianisé L/L' de L est isomorphe au groupe  

Problème 6 (facile)

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a) Soient X un ensemble non vide et n un nombre naturel non nul. Notons H l'ensemble des éléments   de F(X) tels que

 

Prouver que H est un sous-groupe normal d'indice n de F(X).

b) Soient L un groupe libre non trivial et n un nombre naturel non nul. Prouver que L contient au moins un sous-groupe normal d'indice n.

Problème 7

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Soient L un groupe et X une partie de L. Montrer que X est une base de L si et seulement si toute application de X dans le groupe symétrique d'un ensemble A se prolonge de façon unique en une action de L sur A.

Références

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  1. N. Bourbaki, Algèbre, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, p. A I.148, exerc. 26, a).