Théorie des groupes/Action de groupe

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Définition d'une action

Définition – action à gauche

Une action à gauche d'un groupe G (de loi de groupe notée multiplicativement) sur un ensemble X est une application $G\times X\rightarrow X$ envoyant (g,s) sur un élément noté g.s, telle que :

• Pour tous éléments g et h de G, $g.(h.s)=(gh).s$ ;
• Pour tout élément s de X, $1.s=s$.

Remarques

• Pour un élément g de G et un élément s de X, on écrit souvent gs au lieu de g.s. On utilise aussi parfois la notation exponentielle $\ ^{g}s$. La relation $g.(h.s)=(gh).s$ ci-dessus devient alors $\ ^{g}(^{h}\!s)=\,^{gh}\!s$.
• On rappelle que l’ensemble des bijections d'un ensemble X dans X muni de la composition forme un groupe noté S(X) ou $\ S_{X}$ ou ${\mathfrak {S}}(X)$ (groupe des permutations de X) ; il a été introduit au chapitre Groupes, premières notions. Si G agit sur X, l’application $m_{g}:X\rightarrow X:s\mapsto g.s$ est une bijection dont l'inverse est $m_{g^{-1}}$. Les propriétés ci-dessus se traduisent :
  • $\forall g,h\in G,\;m_{gh}=m_{g}\circ m_{h}$ ;
  • $\ m_{e}=Id_{X}$.

Autrement dit, l’application $m:G\rightarrow S(X)$ est un morphisme de groupes. Un tel morphisme est appelé opération de G sur X. Réciproquement, tout morphisme de groupes $G\rightarrow S(X)$ définit une action du groupe G sur X par : $g.x=m_{g}(x)$.

En raison de cette correspondance, on peut dire (un peu abusivement) :

Les actions de groupes de G sur X sont exactement les morphismes de groupes $G\rightarrow S(X)$.

Nous dirons indifféremment : « soit G un groupe agissant sur un ensemble X », « soit G un groupe opérant sur un ensemble X » et « soit X un G-ensemble ». Le noyau de l'opération $m:G\rightarrow S(X)$ sera aussi appelé le noyau de l'action en question. Il nous arrivera même d'employer les mots action et opération l'un pour l'autre.

Exemples

(On notera par juxtaposition aussi bien l'action de G sur X que la composition dans G.)

• Action triviale de G sur X : pour tout élément g de G, la permutation de X associée à g est la permutation identique ; autrement dit, g.x = x pour tout élément g de G et tout élément x de X ; l'homomorphisme de G dans $\ S_{X}$ est l'homomorphisme trivial (valant partout l'élément neutre de $\ S_{X}$).
• G agit sur lui-même (plus exactement : sur son ensemble sous-jacent) par translation à gauche : pour tout élément g de G, la permutation associée à g est la translation à gauche $L_{g}:x\mapsto gx$, où gx désigne le produit de g et de x dans le groupe G ; autrement dit, l'action en question, si on la considère comme une application de $G\times G$ dans $\ G$, est identique à la loi de composition du groupe G.

Détails

L'associativité de la loi du groupe équivaut à :

$(\star )\qquad \forall g,h\in G\qquad L_{gh}=L_{g}\circ L_{h}$.

On en déduit en particulier que L_g est une permutation (de bijection réciproque L_g^-1), ce qui permet de définir une application L de G dans S(G) par :

$\forall g\in G\qquad t(g)=t_{g}$.

D'après $(\star )$, L est un homomorphisme de groupes.

 

• Si H est un sous-groupe de G, G agit par translation à gauche sur l’ensemble G/H des classes à gauche de G suivant H : pour tout élément g de G, la permutation de G/H associée à g est la permutation $X\mapsto gX$. (Si X est une classe à gauche xH, gX en est une aussi, à savoir la classe (gx)H de gx.)
• Opération d'un groupe sur lui-même par conjugaison (ou par automorphismes intérieurs) : pour tout élément g du groupe G, la permutation (de l’ensemble sous-jacent) de G associée à g est l'automorphisme intérieur $x\mapsto gxg^{-1}$, autrement dit $g.x=gxg^{-1}$. Il s'agit bien d'une opération du groupe G sur (l'ensemble sous-jacent de) G, car nous avons vu que si Int(g) désigne l'automorphisme intérieur $x\mapsto gxg^{-1}$ de G, l’application $g\mapsto \mathrm {Int} (g)$ définit un homomorphisme de G dans Aut(G) et donc aussi dans le groupe des permutations de (l'ensemble sous-jacent de) G.
• Si un groupe G opère sur un ensemble X, si H est sous-groupe de G, l'opération de G sur X induit de façon évidente une opération de H sur X : l’application $H\times X\rightarrow X$ est la restriction de l’application $G\times X\rightarrow X$ et l'homomorphisme $H\rightarrow S_{X}$ est la restriction de l'homomorphisme $G\rightarrow S_{X}$.
• Tout groupe G agissant sur un ensemble X agit naturellement sur l'ensemble des parties de X, par $G\times {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X),\ (g,A)\mapsto g\cdot A:=\{g\cdot x\mid x\in A\}$.

Actions équivalentes

Si G agit sur deux ensembles X et Y, une application $f:X\rightarrow Y$ est appelée un homomorphisme de G-ensembles (ou un G-morphisme, ou une application compatible avec les opérations de G) si, pour tout x dans X et pour tout g dans G, on a :

$f(g.x)=g.f(x)$.

Si un homomorphisme f de G-ensembles est bijectif, son application réciproque est elle aussi un homomorphisme de G-ensembles et on dit que f est un isomorphisme de G-ensembles.

Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. On dira que ces opérations sont quasi équivalentes s'il existe un isomorphisme $\ \sigma$ de G sur H et une bijection f de X sur Y tels que, pour tout élément g de G et tout élément x de X, on ait

$f(g.x)=\sigma (g).f(x)$.

On dit aussi dans ce cas que le G-ensemble X et le H-ensemble Y sont isomorphes. Nous dirons que le couple (f, σ) est un isomorphisme du G-ensemble X sur le H-ensemble Y, ou encore un isomorphisme de la première opération sur la seconde. Nous dirons aussi que f et σ constituent un tel isomorphisme (ou que les deux actions sont équivalentes via f et σ).

On dira qu'une action d'un groupe G sur un ensemble X et une action du même groupe G sur un ensemble Y sont équivalentes s'il existe un isomorphisme de G-ensembles de X sur Y. Deux actions équivalentes sont quasi équivalentes (avec la transformation identité comme automorphisme de G).

Remarque. Deux opérations appelées ici quasi équivalentes sont appelées équivalentes par certains auteurs. Il arrivera qu'on dise dans le présent cours « équivalentes » au lieu de « quasi équivalentes ».

Groupes de permutations

Soient X un ensemble et G un groupe de permutations de X, c'est-à-dire un sous-groupe de $\ S_{X}$. G opère de façon naturelle sur X par $G\times X\rightarrow X:(\sigma ,x)\mapsto \sigma (x)$. Si G est un groupe de permutations d'un ensemble X et H un groupe de permutations d'un ensemble Y, nous dirons que G et H sont semblables si l'opération naturelle de G et l'opération naturelle de H sont quasi équivalentes.

D'après la définition des opérations quasi équivalentes, cela signifie qu'il existe une bijection f de X sur Y et un isomorphisme de groupes σ de G sur H tels que, pour tout élément g de G et tout élément x de X, on ait

$f(g\cdot x)=\sigma (g)\cdot f(x),$

où les points représentent respectivement l'opération naturelle de G (sur X) et celle de H (sur Y).
Vu la définition des opérations naturelles, cela revient à dire qu'il existe une bijection f de X sur Y et un isomorphisme de groupes σ de G sur H tels que, pour tout élément g de G, on ait

$f\circ g\circ f^{-1}=\sigma (g).$

On voit que σ est entièrement déterminé par f, donc G et H sont semblables si et seulement s'il existe une bijection f de X sur Y telle que H soit l'image de G par l'isomorphisme s ↦ f ∘ s ∘ f^-1 de S_X sur S_Y.
Nous dirons qu'une telle bijection f de X sur Y est une similitude de G vers H.

Deux groupes de permutations d'un même ensemble X sont semblables si et seulement s'ils sont conjugués dans S_X.

• Remarque. Si X et Y sont des ensembles équipotents, tout groupe de permutations de X est semblable à un groupe de permutations de Y. (Soit f une bijection de X sur Y, soit G un groupe de permutations de X. Désignons par H l'image de G par l'isomorphisme de groupes $S_{X}\rightarrow S_{Y}:\sigma \mapsto f\circ \sigma \circ f^{-1}$; H est un groupe de permutations de Y semblable à G.)

Vocabulaire

• Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. On dit qu'un élément g de G agit trivialement (sur X) si, pour tout élément x de X, g x = x. Cela revient à dire que g appartient au noyau de l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à l'action de G sur X.
• Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite fidèle si l'homomorphisme de G dans S_X correspondant à cette action est injectif. Cela revient à dire que le seul élément de G qui agit trivialement est l'élément neutre.
• Remarque. Soit G un groupe opérant sur un ensemble X. Supposons que cette opération soit fidèle, c'est-à-dire, comme vu plus haut, que l'homomorphisme $\ \varphi$ de G dans $\ S_{X}$ correspondant à cette opération soit injectif. Alors l'opération de G sur X est équivalente à l'opération naturelle du groupe de permutations $\ \varphi (G)$. Plus précisément, la bijection identité de X sur lui-même et l'isomorphisme de groupes $\ G\rightarrow \varphi (G)$ constituent un isomorphisme de la première de ces deux opérations sur la seconde.
• L'orbite d'un point x de X pour une opération d'un groupe G sur l’ensemble X est l’ensemble des éléments g.x où g parcourt le groupe G. On parle de G-orbite d'un élément de X si la mention du groupe G suffit à faire comprendre de quelle opération il s'agit. Deux orbites sont égales ou disjointes ; les orbites partitionnent X. Une orbite réduite à un seul élément est parfois appelée orbite ponctuelle.
• Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes. Alors les orbites de la première opération peuvent être mises en correspondance biunivoque avec les orbites de la seconde opération de façon que deux orbites se correspondant aient le même cardinal. (Soit f une bijection de X sur Y formant avec un isomorphisme du groupe G sur le groupe H un isomorphisme de la première opération su la seconde. Le lecteur vérifiera que si à toute orbite A de la première opération, on fait correspondre f(A), on définit une bijection g de l’ensemble des orbites de la première opération sur l’ensemble des orbites de la seconde opération et que, pour toute orbite A de la première opération, g(A) a le même cardinal que A.)
• Si g est un élément de G et x un élément de X, si g.x=x, on dit que g fixe x ou que x est un point fixe de g. Les points fixes de g⁻¹ sont exactement les points fixes de g. (En effet, on passe de l'égalité g(x) = x à l'égalité g⁻¹(x) = x en multipliant les deux membres à gauche par g^-1 et de la seconde égalité à la première en multipliant les deux membres à gauche par g.)
• Remarque. Soient G un groupe opérant sur un ensemble X et H un groupe opérant sur un ensemble Y. Supposons que ces opérations soient équivalentes par une bijection f de X sur Y et un isomorphisme de groupes $\sigma$ de G sur H. Alors un élément g de G fixe un élément x de X pour la première opération si et seulement $\sigma (g)$ fixe f(x) pour la seconde opération.
• On dit qu'un élément x de X est point fixe pour l'opération de G sur X si x est fixé par tout élément de G, ce qui revient à dire que l'orbite de x est réduite à x.
• Le stabilisateur d'un élément x de X est l’ensemble des éléments g de G qui fixent x, autrement dit tels que g.x=x. C’est un sous-groupe de G. Il en résulte qu'un élément x de X est point fixe d'un élément g de G si et seulement s'il est point fixe pour l'opération du sous-groupe <g> de G sur X. (Nous retrouverons ce fait dans l'étude des groupes symétriques finis.)
• Une action est dite transitive lorsqu'elle possède une et une seule orbite. (Postuler l’existence d'une orbite revient à postuler que l’ensemble sur lequel le groupe opère n’est pas vide.) Si un groupe G opère transitivement sur un ensemble X, on dit que X est un G-ensemble homogène ou encore un G-espace homogène. On dit qu'un groupe de permutations d'un ensemble X est transitif si son action naturelle est transitive.
• Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite libre lorsque tout élément non neutre de G est sans points fixes. Cela revient à dire que pour tout élément x de X, le stabilisateur de x est le sous-groupe trivial de G. Cela revient encore à dire que pour tout élément x de X, l’application $\ f_{x}:G\rightarrow X:g\mapsto gx$ est injective. (L'application $\ f_{x}$ est appelée l’application orbitale définie par x.) Dans ce cas, le cardinal de toute orbite est égal à $\vert G\vert$ et $\vert G\vert$ divise $\vert X\vert$. Si X n'est pas vide, on a donc $\vert G\vert \leq \vert X\vert .$ Toute action libre sur un ensemble non vide est fidèle.
• Une action d'un groupe G sur un ensemble X est dite simplement transitive si elle est transitive et libre. On dit alors que X est un G-ensemble homogène principal. Pour tout élément x de X, l’application orbitale $\ f_{x}:G\rightarrow X:g\mapsto gx$ est alors une bijection de G sur X. Puisque, par définition d'une action transitive, X n'est pas vide, il en résulte que X est équipotent à G.

Relations entre orbite et stabilisateur

• Si x est un élément donné d'un G-ensemble X, il résulte d'un des exemples ci-dessus qu'on définit de façon évidente une action à gauche de G sur G/Stab(x) (ensemble des classes à gauche de G modulo Stab(x)). L'application $g\mapsto gx$ induit un isomorphisme de G-ensembles $G/Stab(x)\rightarrow O(x)$. En particulier, le cardinal de l'orbite d'un point est égal à l'indice dans G du stabilisateur de ce point : $\vert G/Stab(x)\vert =\vert O(x)\vert$. (Nous utiliserons ce fait dans l'équation aux classes.) Comme le noyau K de l'opération est évidemment contenu dans Stab(x), il en résulte que $\vert G/K\vert$ est multiple du cardinal de chaque orbite. A fortiori, évidemment, $\vert G\vert$ est multiple du cardinal de chaque orbite.

• On montre facilement (voir exercices) que si deux points x, y de X appartiennent à la même orbite, leurs stabilisateurs dans G sont conjugués dans G. (Plus précisément, si g est un élément de G tel que y = gx, alors Stab(y) = g(Stab(x))g^-1.) Les orbites de x et de y sont dites de même type lorsque les stabilisateurs des éléments de l'une sont conjugués dans G aux stabilisateurs des éléments de l'autre.

Action à droite

(Le lecteur peut se contenter de survoler cette section.)

Soient G un groupe et X un ensemble. Comme pour la définition d'une action à gauche, considérons une application $G\times X\rightarrow X$ envoyant (g,x) sur un élément noté g.x ou gx, telle que :

pour tout élément x de X, $1.x=x$,

mais supposons maintenant que :

pour tous éléments g et h de G et tout élément x de X, $g.(h.x)=(hg).x$.

Une telle application est appelée action à droite de G sur X.

On vérifie facilement que, pour tout $g\in G$, l’application $\sigma _{g}:x\mapsto gx$ de X dans lui-même est une bijection et que l’application $g\mapsto \sigma _{g}$ est un homomorphisme de G dans l'opposé du groupe des permutations de X. (Rappelons que cet opposé est l’ensemble des permutations de X muni de la loi de composition $f\star g=g\circ f$, de sorte que $f\star g(x)=g(f(x))$.)
Réciproquement, pour tout homomorphisme $\lambda$ de G dans l'opposé du groupe des permutations de X, il existe une et une seule action à droite de G sur X telle que l'homomorphisme associé à cette action comme ci-dessus soit $\lambda$.

Soient G un groupe et X un ensemble. On vérifie facilement les deux faits suivants :

1. une application $G\times X\rightarrow X:(g,x)\mapsto gx$ est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si elle est une action à gauche relativement au groupe opposé de G ;
2. une application $G\times X\rightarrow X:(g,x)\mapsto gx$ est une action à droite relativement au groupe G si et seulement si l’application $G\times X\rightarrow X:(g,x)\mapsto g^{-1}x$ est une action à gauche relativement au même groupe G.

Il est donc possible de passer mécaniquement d'un énoncé relatif aux actions à gauche à un énoncé relatif aux actions à droite. Cela explique que les auteurs qui considèrent des actions à gauche ne s'occupent généralement pas des actions à droite, et réciproquement. Quand on traite d'une action à droite d'un groupe G sur un ensemble X, on préfère placer l'élément (soit g) de G à droite de l'élément (soit x) de X et écrire xg plutôt que gx. La règle g(hx) = (hg)x prend alors la forme plus élégante (xh)g = x(hg). Toujours dans le cas d'une action à droite, on écrit aussi $x^{g}$ au lieu de gx; ici encore, la règle se formule de façon plus élégante.

Les auteurs qui considèrent des actions à droite appellent en général groupe des permutations d'un ensemble X le groupe opposé du groupe qui est appelé ici le groupe des permutations de X. Dans la terminologie de ces auteurs, ce sont donc les actions à droite (et non à gauche) d'un groupe G sur un ensemble X qui correspondent aux homomorphismes de G dans le « groupe des permutations » de X. Ces auteurs désignent l'image d'un élément x par une permutation $\alpha$ en plaçant $\alpha$ à droite de x, c'est-à-dire que là où nous écrivons $\alpha (x)$, ils écrivent $x\alpha$ ou $x^{\alpha }$. La définition de ce qu'eux appellent le groupe des permutations est alors (avec la seconde notation) :

$x^{\alpha *\beta }=(x^{\alpha })^{\beta }$,

ce qui rend l'harmonie des notations complète.

Théorème de Cayley

Début d’un théorème

Théorème de Cayley

Soit G un groupe. G est isomorphe à un sous-groupe du groupe symétrique de (l'ensemble sous-jacent de) G. Tout groupe est isomorphe à un groupe de permutations.

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

Pour tout élément g de G, désignons par L_g la permutation (translation à gauche) $\ x\mapsto gx$ de G. On a vu que $\ g\mapsto L_{g}$ définit un homomorphisme de G dans $S_{G}$. Cet homomorphisme est injectif. En effet, si g est un élément de G tel que L_g soit la permutation identique de G, alors L_g(1) = 1, c'est-à-dire g = 1, ce qui prouve que l'homomorphisme $\ g\mapsto L_{g}$ est injectif (autrement dit, l'action correspondante de G sur son ensemble sous-jacent est fidèle). Donc G est isomorphe à son image par $\ g\mapsto L_{g}$, ce qui prouve la première assertion de l'énoncé. La seconde assertion résulte de la première.

Fin de la démonstration

Équation aux classes

Soit G un ensemble agissant sur un ensemble X. Soit $\Omega$ l’ensemble des orbites. Puisque les orbites partitionnent X, nous avons

$\vert X\vert =\sum _{\omega \in \Omega }{}\vert \omega \vert$,
où $\omega$ parcourt les orbites et où les barres verticales désignent le cardinal.

Soit $(x_{\omega })_{\omega \in \Omega }$ une famille d'éléments de X tels que, pour chaque orbite $\omega$, $x_{\omega }$ appartienne à $\omega$. (Nous choisissons donc un et un seul élément dans chaque orbite.) L'égalité ci-dessus peut s'écrire
$\vert X\vert =\sum _{\omega \in \Omega }{}\vert orb(x_{\omega })\vert$

où $orb(x)$ désigne l'orbite de x.
Nous avons vu que le cardinal de l'orbite d'un point x est égal à l'indice dans G du stabilisateur $G_{x}$ de ce point, donc
$\vert X\vert =\sum _{\omega \in \Omega }{}[G:G_{x_{\omega }}]$.

Il revient au même de dire que si $(x_{i})_{i\in I}$ est une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite ω, il existe un et un seul $i\in I$ tel que $x_{i}\in \omega$, on a

$\vert X\vert =\sum _{i\in I}{}[G:G_{x_{i}}]$.

En séparant des autres les orbites ponctuelles (c'est-à-dire réduites à un élément) et en notant que le nombre des orbites ponctuelles est égal au nombre des points fixes de l'opération considérée, nous pouvons mettre l'égalité ci-dessus sous la forme suivante : soit X' l’ensemble des points fixes, soit $(x_{j})_{j\in J}$ une famille d'éléments de X telle que, pour toute orbite non ponctuelle ω, il existe un et un seul $j\in J$ pour lequel $x_{j}\in \omega$, alors

$\vert X\vert =\vert X'\vert +\sum _{j\in J}{}[G:G_{x_{j}}]$.

L'égalité que nous venons de donner sous deux formes est parfois appelée « équation aux classes » ou « formule des classes », mais la plupart des auteurs réservent l’expression « équation aux classes » au cas où l'opération considérée est l'opération de G sur lui-même par conjugaison. Alors X' est le centre $Z(G)$ de G et les $G_{x_{j}}$ sont les centralisateurs $C_{G}(x_{j})$ des $x_{j}$, donc si $(x_{j})_{j\in J}$ est une famille d'éléments de G telle que, pour toute classe de conjugaison ω non réduite à un élément, il existe un et un seul $j\in J$ pour lequel $x_{j}\in \omega$, alors

$\vert G\vert =\vert Z(G)\vert +\sum _{j\in J}{}[G:C_{G}{x_{j}}]$.

Cette équation est utilisée par exemple pour démontrer le théorème de Cauchy ou encore la non-trivialité du centre de tout p-groupe fini non trivial.

Le centralisateur et le normalisateur vus comme stabilisateurs

Soient G un groupe et x un élément de G. Le centralisateur de x, c'est-à-dire le sous-groupe de G formé par les éléments de G qui commutent avec x, est le stabilisateur de x pour l'action du groupe G sur lui-même par conjugaison. D'autre part, l'orbite de x pour cette action est l’ensemble des conjugués de x dans G. Puisque le cardinal de l'orbite d'un élément est égal à l'indice du stabilisateur de cet élément dans le groupe opérant, nous pouvons énoncer :

Début d’un théorème

Proposition

Soient G un groupe et x un élément de G. La classe de conjugaison de x dans G (ensemble des conjugués de x dans G) a pour cardinal l'indice (dans G) du centralisateur de x dans G. En particulier, le cardinal de la classe de conjugaison de x dans G divise l'ordre de G.

Fin du théorème

Considérons maintenant l'action par conjugaison d'un groupe G sur l'ensemble de ses parties (voir supra) : $G\times {\mathcal {P}}(G)\to {\mathcal {P}}(G),\;(g,A)\mapsto gAg^{-1}$. Pour cette action, l'orbite d'un sous-groupe H de G est constituée des sous-groupes de G de la forme $xHx^{-1}$, où $x$ parcourt G, appelés les conjugués de H dans G (nous les appellerons parfois aussi les G-conjugués de H). Le stabilisateur de H pour cette action est son normalisateur dans G. Donc, comme précédemment :

Début d’un théorème

Proposition

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. L'ensemble des conjugués de H dans G a pour cardinal l'indice (dans G) du normalisateur de H dans G. En particulier, le cardinal de l'ensemble des conjugués de H dans G divise l'ordre de G.

Fin du théorème

Argument de Frattini

Début d’un théorème

Argument de Frattini (forme générale)

Soient G un groupe opérant (à gauche ou à droite) sur un ensemble X et H un sous-groupe de G tel que l'opération de H sur X induite par celle de G soit transitive. Alors, pour tout élément x de X, $\ G=G_{x}H$ (où $\ G_{x}$ désigne le stabilisateur de x dans G).

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

Supposons que G opère à droite sur X par $G\times X\rightarrow X:(g,x)\mapsto x^{g}$.

Soient g un élément de G et x un élément de X. Puisque l'action de H est transitive, il existe un élément h de H tel que $\ x^{g}=x^{h}.$ Alors $\ x^{gh^{-1}}=x$, donc $\ gh^{-1}\in G_{x}$, donc $\ g\in G_{x}H.$ Ceci étant vrai pour tout élément g de G, on a donc $\ G=G_{x}H$. Par exemple en appliquant ce qui précède au groupe opposé de G et en tenant compte que, pour deux sous-groupes A, B de G, la relation G = AB équivaut à G = BA (Exercices/Groupes, premières notions#Problème 8), on trouve que l'énoncé est encore vrai pour une opération à gauche de G sur X.

Fin de la démonstration

La forme générale de l'argument de Frattini nous servira dans les chapitres Théorème de Gaschütz et Opérations transitives, plusieurs fois transitives et primitives. Dans le chapitre Sous-groupe de Frattini, nous verrons la forme particulière sous laquelle Frattini a publié l'«argument» qui porte son nom.