Théorie des groupes/Exercices/Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier

Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier
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Exercices no46
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier

Exercices de niveau 14.

Exo préc. :Groupes libres, premiers éléments
Exo suiv. :Groupes libres : théorème de Howson
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Théorie des groupes/Exercices/Groupes libres : théorème de Nielsen-Schreier
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Problème 1 modifier

Soit F un groupe libre, soient x et y des éléments de F commutant entre eux. Prouver qu'il existe un élément z de F tel que x et y sont tous deux puissances (à exposants entiers relatifs) de z.
(Indication. Appliquer le théorème de Nielsen-Schreier au sous-groupe de F engendré par x et y.)

Problème 2 modifier

On a vu dans le chapitre théorique que tout sous-groupe K d'un groupe libre L est un groupe libre. On va voir que si K est d'indice fini dans L, le rang de K peut s'exprimer en fonction du rang de L et de l'indice [L:K].

Soient X un ensemble, F(X) le groupe libre construit sur X,   la base canonique de F(X), H un sous-groupe de F(X), T une transversale droite de Schreier de H dans F(X).

Pour t dans T et x dans  , on désignera par   (comme au lemme 6 du chapitre théorique) l'unique élément de H tel que

 

a) On pose

 

et

 .

Prouver que   définit une bijection de A sur B.

(Indication : on peut utiliser le lemme 6 du chapitre théorique.)

b) Prouver que le rang de H est égal au cardinal de l'ensemble

 

c) Soit E l'ensemble des   tels que  

(Donc, A étant défini comme au point a),  )

Prouver que

1° E est l'ensemble des   tels que  

On désigne par   (resp.  ) l'ensemble des éléments de   dont la dernière lettre signée appartient à   (resp. à  ).

On désigne par   l'ensemble des éléments (t, x) de E tels que t ne finisse pas par la lettre signée   ; on désigne par   l'ensemble des éléments (t, x) de E tels que t finisse par la lettre signée  

Prouver que

  est équipotent à   ;
  est équipotent à   ;
4° E est équipotent à  

d) On suppose que H est d'indice fini dans F(X). Prouver que le rang de H est égal à

 

e) Soient L un groupe libre et K un sous-groupe d'indice fini de L. Prouver que, rg désignant le rang,

rg(K) = [L:K] rg(L) - ([L:K] - 1).

f) Soient L un groupe libre de rang fini   et K un sous-groupe d'indice 2 de L. (On sait, par un exercice de la série Groupes libres, premiers éléments, qu'il existe un tel sous-groupe K.) Prouver que le rang de K est strictement supérieur à celui de L.

Remarque. Dans les hypothèses et notations du point f), choisissons une base Y de K. Alors Y est une partie libre de L. (En effet, Y est une base du sous-groupe de L qu'elle engendre, à savoir du sous-groupe K, donc, d'après une des définitions d'une partie libre, Y est une partie libre de L.) D'après le point f), le rang de K, autrement dit le cardinal de Y, est strictement supérieur au rang de L. Cela montre que le cardinal d'une partie libre d'un groupe libre L peut être strictement supérieur au rang de L.

g) Soit {a,b} un ensemble à 2 éléments ( ). Prouver que le dérivé F'({a,b}) du groupe libre F({a,b}) est de rang infini (ce qui montre qu'un sous-groupe d'un groupe libre de rang fini peut être de rang infini).

Indication : utiliser le point b) et une caractérisation du dérivé de F(X) donnée dans un exercice de la série Groupes libres, premiers éléments ; noter que les éléments  , avec r, s dans   forment une transversale droite de Schreier de F'({a,b}) dans F({a,b}).

Puisque le rang de F'({a,b}) est infini et que le rang d'un groupe libre est le plus petit cardinal de partie génératrice de ce groupe, F'({a,b}) n'est donc pas de type fini. D'autre part, F({a,b}), ayant une base à deux éléments, est de type fini. Cela montre que, comme annoncé dans le chapitre Classes modulo un sous-groupe, un sous-groupe d'un groupe de type fini n'est pas forcément de type fini.

Remarque. La démonstration du point g) peut être étendue à l'énoncé suivant : le dérivé d'un groupe libre de rang au moins égal à 2 est de rang infini[1]. Nous déduirons l'énoncé général de l'énoncé particulier dans un exercice de la série Groupes libres : théorème de Howson.

h) Il résulte du point e) que si L est un groupe libre et K un sous-groupe d'indice fini de L, le rang de K est déterminé par le rang de L et l'indice de K dans L. Montrer qu'il n'en est pas forcément de même si l'indice de K dans L est infini. Pour cela, donner un exemple de la situation suivante : L est un groupe libre,   et   sont deux sous-groupes de même indice (infini) de L et les rangs de   et de   sont différents. (On peut utiliser les résultats du point g) et le fait, démontré dans un exercice de la série Groupes, premières notions, que tout groupe engendré par une partie dénombrable est lui-même dénombrable, où « dénombrable » signifie « fini ou équipotent à   ».)

i) Soit G un groupe ayant une partie génératrice de cardinla fini m, soit H un sous-groupe d'indice fini j de G. On a vu au chapitre Classes modulo un sous-groupe que H admet une partie génératrice de cardinal   Prouver, à l'aide du point e) que H admet une partie génératrice de cardinal  

Remarque. Le point i) montre que les groupes libres ont un rôle d'outil, puisqu'ils permettent de démontrer des théorèmes qui se formulent indépendamment de la notion de groupe libre. Un autre rôle d'outil des groupes libres est qu'ils nous permettront de fonder rigoureusement la notion de présentation d'un groupe.

Problème 3 (une preuve du théorème de Nielsen-Schreier reposant sur la notion d'action de groupe) modifier

Soient L un groupe libre de base X, H un sous-groupe, T une transversale droite de Schreier de H dans L. Pour tout  , on note   l'élément de T tel que   et l'on pose

 .

On sait, d'après le lemme de Schreier, que B est une partie génératrice de H, et le but de l'exercice est de redémontrer que c'est une base de H, en utilisant le problème 7 de « Groupes libres, premiers éléments ».

Soient A un ensemble et   une application de B dans le groupe symétrique  , que l'on étend en posant  . On considère (cf. problème 7 mentionné ci-dessus) l'action à droite de L sur A×(L/H) telle que pour tout   :

 .
  1. Démontrer que pour tout  ,  .
  2. En déduire que pour tout  ,  .
  3. Conclure.

Problème 4 (une preuve d'existence de transversales de Schreier s'appuyant sur le lemme de Zorn) modifier

Soient L un groupe libre de base X et H un sous-groupe. On considère l'ensemble   des parties schreiériennes de L (relativement à la base X) contenant au plus un élément de chaque classe à droite suivant H.

  1. Vérifier que   est inductif.
  2. Soit T un élément maximal de  . Démontrer (par l'absurde) que T rencontre toute classe à droite suivant H.

Remarque. (en) Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups, AMS, 1976, 2e éd. [lire en ligne] , lemme 7.2.1, propose une variante, reposant sur le théorème de Zermelo (équivalent, comme le lemme de Zorn, à l'axiome du choix) : on choisit un bon ordre sur  , et on l'étend lexicographiquement à L. Puis on pose  .

Notes et références modifier

  1. Voir par exemple D.J.S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, 2e éd., 1996, p. 163.