Théorie des groupes/Exercices/Caractères irréductibles de quelques groupes

Problème 1 (très facile)

Soit G un groupe fini. Prouver qu'une ligne (resp. une colonne) de la table des $\mathbb {C}$-caractères de G n'est jamais nulle (c'est-à-dire formée exclusivement de zéros).

Solution

Soit $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère irréductible de G. La ligne de la table correspondant à $\chi$ comprend la valeur $\chi (1)$, qui est égale au degré de $\chi$ et est donc > 0. La ligne n'est donc pas nulle.
Aucune colonne n'est nulle, puisqu'il existe une ligne dont tous les coefficients sont égaux à 1 (la ligne correspondant au caractère constant de valeur 1).

 

Problème 2

Soit G un groupe fini. Prouver que dans la table des $\mathbb {C}$-caractères de G, la colonne correspondant à la classe de conjugaison {1} est la seule colonne formée uniquement de nombres naturels.

Solution

La colonne correspondant à la classe de conjugaison {1} est formée des degrés $d_{1},\ldots d_{h}$ des différents $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G et est donc formée uniquement de nombres naturels.
Supposons que, par absurde, la colonne correspondant à une classe de conjugaison $K\not =\{1\}$ soit formée uniquement de nombres naturels, soient $n_{1},\ldots n_{h}$. En appliquant la seconde relation d'orthogonalité à la colonne correspondant à la classe {1} et à la colonne correspondant à la classe K, nous trouvons

$d_{1}n_{1}+\cdots d_{h}n_{h}=0$.

Comme les $d_{i}n_{i}$ sont tous des nombres réels $\geq 0$, cela entraîne $d_{i}n_{i}=0$ pour tout i. Puisque $d_{i}>0$, on a donc $n_{i}=0$ pour tout i. La table comporte donc une colonne nulle, ce qui est impossible d'après un problème ci-dessus.
Remarque. Le même raisonnement prouve que la colonne correspondant à la classe de conjugaison {1} est la seule colonne formée uniquement de nombres réels $\geq 0$.

 

Problème 3

Soit $(a_{i,j})_{1\leq i,j,\leq h}$ la table des $\mathbb {C}$-caractères proprement dite d'un groupe fini G. On sait donc que G a exactement h classes de conjugaison. On sait aussi qu'il existe une énumération $\chi _{1},\ldots ,\chi _{h}$ des $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G et une énumération $K_{1},\ldots ,K_{h}$ des classes de conjugaison de G telles que, pour tous i, j dans {1, ... , h},

$a_{i,j}=\chi _{i}(K_{j})$.

On ne fait aucune autre hypothèse : on ne suppose pas que la première colonne de la table correspond à la classe de conjugaison {1} et on ne suppose pas que les caractères de degré 1 sont numérotés avant les autres.
a) Prouver que la table des $\mathbb {C}$-caractères proprement dite de G permet de connaître l'ordre de G, ainsi que la deuxième et la troisième ligne de titre de la table.

Solution

D'après un problème ci-dessus, la colonne correspondant à la classe de conjugaison {1} est la seule colonne de la table comprenant uniquement des nombres naturels. Comme les coefficients de cette colonne sont les degrés, soient $d_{1},\ldots ,d_{h}$, des $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G, on connaît ces degrés. D'après un théorème du chapitre Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés,

$\vert G\vert =d_{1}^{2}+\cdots d_{h}^{2}$,

donc on connaît $\vert G\vert$.
D'autre part, en appliquant la seconde relation d'orthogonalité à la j-ième colonne et à elle-même ($1\leq j\leq h)$), on trouve la valeur de $\vert G\vert /\vert K_{j}\vert$. Puisqu'on connaît $\vert G\vert$, on connaît donc $\vert K_{j}\vert$, donc on connaît la deuxième et la troisième ligne de titre de la table.

 

b) Prouver que G est abélien si et seulement si sa table de $\mathbb {C}$-caractères comporte une colonne ne comprenant que des 1.

Solution

On utilisera le fait qu'un groupe fini est abélien si et seulement tous ses $\mathbb {C}$-caractères irréductibles sont de degré 1 (chapitre Caractères complexes des groupes finis, 2 : théorèmes sur les degrés).
Supposons G abélien. Alors tous ses $\mathbb {C}$-caractères irréductibles sont de degré 1, donc la colonne de la table correspondant à la classe de conjugaison {1} est formée uniquement de 1.
Réciproquement, supposons que, pour un certain j, la j-ième colonne de la table comprenne uniquement des 1. Cette colonne est formée uniquement de nombres naturels, donc, d'après un problème ci-dessus, c'est la colonne correspondant à la classe de conjugaison {1}. Comme les coefficients de la colonne correspondant à la classe de conjugaison {1} sont les degrés des différents $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G, ces degrés sont tous égaux à 1, donc G est abélien.

 

c) Prouver que la table de $\mathbb {C}$-caractères proprement dite de G permet de connaître l'ordre du dérivé G' de G.

Solution

D'après le chapitre théorique, le nombre des $\mathbb {C}$-caractères de degré 1 de G est égal à $\vert G\vert /\vert G'\vert$. Le nombre des $\mathbb {C}$-caractères de degré 1 est le nombre des coefficients égaux à 1 dans la colonne correspondant à la classe de conjugaison {1} et on a vu dans un problème précédent que la seule connaissance de la table proprement dite permet de repérer cette colonne. Donc la table permet de connaître $\vert G\vert /\vert G'\vert$. On a vu au point a) que la table proprement dite permet de connaître $\vert G\vert$, donc elle permet de connaître $\vert G'\vert$.

 

Remarque. Ce problème montre qu'à partir de la table des $\mathbb {C}$-caractères proprement dite d'un groupe fini G, on peut connaître certaines propriétés de la structure de G (mais non forcément la structure elle-même, car on verra dans un des problèmes suivants que deux groupes non isomorphes peuvent avoir la même table de $\mathbb {C}$-caractères). On s'est limité à des résultats très simples. Une analyse un peu plus fine montre que, par exemple, la table des $\mathbb {C}$-caractères proprement dite de G permet de savoir si G est nilpotent.

Problème 4

Soit G un groupe fini. Il est clair que la table des $\mathbb {C}$-caractères de G n'a pas deux lignes identiques (puisque deux différents caractères de G ne peuvent pas coïncider en tout point). Prouver que cette table n'a pas deux colonnes identiques. (Indication. On peut utiliser le fait que les $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G engendrent le $\mathbb {C}$-espace vectoriel formé par les applications centrales de G dans $\mathbb {C}$.)

Solution

Soient a et b des éléments de G tels que $\chi (a)=\chi (b)$ pour tout $\mathbb {C}$-caractère irréductible de G. Tout revient à prouver que a et b sont conjugués dans G.
On a vu au chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité que les $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G forment une base du $\mathbb {C}$-espace vectoriel formé par les applications centrales de G dans $\mathbb {C}$. En particulier, les $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G engendrent cet espace vectoriel. Puisque nous supposons que $\chi (a)=\chi (b)$ pour tout $\mathbb {C}$-caractère irréductible de G, il en résulte que

(1) pour toute application centrale f de G dans $\mathbb {C}$, f(a) = f(b).

Désignons par K la classe de conjugaison de b dans G et considérons l'application f de G dans $\mathbb {C}$ définie par f(x) = 1 si x appartient à K, f(x) = 0 sinon. Alors f est une application centrale de G dans $\mathbb {C}$ (que nous avons déjà rencontrée au chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité, dans la démonstration de la seconde relation d'orthogonalité). Donc, d'après (1), nous avons

f(a) = f(b).

Par définition de f, le second membre égale 1, donc f(a) = 1. Par définition de f, cela signifie que a appartient à K, autrement dit, a et b sont conjugués dans G, ce qu'il fallait démontrer.

Remarque. On aurait pu aussi utiliser la seconde relation d'orthogonalité (et le fait qu'une somme de nombres réels tous $\geq 0$ ne peut être nulle que si tous ses termes sont nuls), mais la démonstration donnée a l'avantage de ne pas reposer sur la structure d'ordre entre nombre réels et de pouvoir ainsi s'étendre à certains caractères plus généraux que les $\mathbb {C}$-caractères.

 

Problème 5

a) Soient G un groupe fini et g un élément de G. Prouver que les trois conditions suivantes sont équivalentes :

(i) g et g^-1 sont conjugués;

(ii) pour tout $\mathbb {C}$-caractère $\chi$ de G, $\chi (g)$ est réel;

(iii) pour tout $\mathbb {C}$-caractère irréductible $\chi$ de G, $\chi (g)$ est réel.

Solution

Supposons (i) satisfaite et prouvons (ii). Soit $\chi$ un $\mathbb {C}$-caractère de G; il s'agit de prouver que $\chi (g)$ est réel. Puisque nous supposons (i) satisfaite, g et g^-1 sont conjugués, donc, puisque les caractères sont des fonctions centrales,

(1) $\chi (g)=\chi (g^{-1})$.

D'après le chapitre Caractères complexes des groupes finis, 1 : relations d'orthogonalité, $\chi (g^{-1})={\overline {\chi (g)}}$, donc (1) peut s'écrire

$\chi (g)={\overline {\chi (g)}}$,

donc $\chi (g)$ est réel. Nous avons donc prouvé que (i) entraîne (ii).
L'implication (ii) $\Rightarrow$ (iii) est banale.
Supposons (iii) et prouvons (i).
L'hypothèse (iii) revient à dire que pour tout $\mathbb {C}$-caractère irréductible $\chi$ de G, $\chi (g)={\overline {\chi (g)}}$, ce qui revient encore à dire que pour tout $\mathbb {C}$-caractère irréductible $\chi$ de G,

$\chi (g)=\chi (g^{-1})$.

D'après le problème 1, il en résulte que g et g^-1 sont conjugués.

 

b) On a vu dans le chapitre théorique que toutes les valeurs de la table des $\mathbb {C}$-caractères d'un groupe diédral sont réelles. Donc, d'après le point a), tout élément d'un groupe diédral est conjugué à son inverse. Démontrer ce dernier fait sans utiliser la théorie des caractères.

Solution

On pourrait examiner la liste des classes de conjugaison d'un groupe diédral qu'on a utilisée dans le chapitre théorique. Sans dresser cette liste, on peut dire ce qui suit. Soit D_2n le groupe diédral d'ordre 2n. D'après le chapitre Groupes diédraux, D_2n contient un sous-groupe cyclique A d'ordre n tel que tout élément b de $D_{2n}\setminus A$ soit d'ordre 2 et que pour tout élément a de A et tout élément b de $D_{2n}\setminus A$, on ait $bab^{-1}=a^{-1}$. Cette dernière relation montre que tout élément de A est conjugué à son inverse. D'autre part, tout élément de $D_{2n}\setminus A$, étant d'ordre 2, est égal à son inverse et a fortiori conjugué à son inverse.

 

c) Un élément g d'un groupe fini G tel que les conditions équivalentes (i), (ii) et (iii) du point a) soient satisfaites est appelé (abusivement) un élément réel de G. Prouver que si un groupe fini G comprend un élément réel distinct de 1, G est d'ordre pair.

Solution

Soit G un groupe fini, soit g un élément réel de G distinct de 1; il s'agit de prouver que G est d'ordre pair.
Si $g=g^{-1}$, alors (puisque g est supposé distinct de 1), g est d'ordre 2, donc G est d'ordre pair (il contient un sous-groupe d'ordre pair).
Supposons maintenant que $g\not =g^{-1}$. Désignons par K la classe de conjugaison de $g$ (qui est aussi la classe de conjugaison de $g^{-1}$). Pour tout élément h de K, il résulte de $g\not =g^{-1}$ que $h\not =h^{-1}$ (car h est l'image de g par un automorphisme intérieur de G). De plus, $h^{-1}$ appartient à K (par exemple parce que h étant conjugué à g, $h^{-1}$ est conjugué à $g^{-1}$ et donc, puisque g est réel, à g). Donc la classe de conjugaison K se partitionne en ensembles de cardinal 2 de la forme $\{h,h^{-1}\}$, donc cette classe est de cardinal pair. On sait que le cardinal de cette classe est l'indice du stabilisateur de g, donc G contient un sous-groupe d'indice pair, donc G est d'ordre pair.

 

Problème 6 (Caractères complexes des groupes dicycliques)

Soit G un groupe dicyclique d'ordre 4m (m nombre naturel non nul).
Il existe donc des éléments a et b de G tels que a soit d'ordre 2m, $b^{2}=a^{m}$ et $b^{-1}ab=a^{-1}$.
On va déterminer les $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G. (La méthode sera très semblable à celle qu'on a suivie dans le chapitre théorique pour déterminer les $\mathbb {C}$-caractères irréductibles d'un groupe diédral.)

a) Déterminer les $\mathbb {C}$-caractères de degré 1 de G. (Indication : G' désignant le dérivé de G, on a déterminé G' et G/G' dans un exercice de la série Groupes dicycliques. Il faut distinguer les cas m pair et m impair.)

Solution

Pour déterminer les $\mathbb {C}$-caractères de degré 1 de G (ce qui revient à déterminer les homomorphismes de G dans le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls), on pourrait utiliser un exercice de la série Groupes dicycliques intitulé « Homomorphismes partant d'un groupe dicyclique », mais on va suivre la méthode plus générale de détermination des caractères de degré 1 qui a été exposée dans le chapitre théorique.
D'après un exercice de la série Groupes dicycliques, nous savons que $G'=\langle a^{2}\rangle$, que les éléments de G/G' sont les quatre éléments $\langle a^{2}\rangle ,\langle a^{2}\rangle a,\langle a^{2}\rangle b$ et $\langle a^{2}\rangle ab$, que si m est pair, G/G' est un groupe de Klein et que si m est impair, G/G' est un groupe cyclique d'ordre 4 admettant $\langle a^{2}\rangle b$ pour générateur. Par la méthode indiquée au chapitre théorique, on en déduit que si m est pair (auquel cas G/G' est le produit direct du sous-groupe de G/G' engendré par l'élément $\langle a^{2}\rangle a$ et du sous-groupe de G/G' engendré par l'élément $\langle a^{2}\rangle b$, les $\mathbb {C}$-caractères de degré 1 de G sont les quatre caractères $\chi _{1},\chi _{2},\chi _{3}$ et $\chi _{4}$ définis de la façon suivante :

$\chi _{1}$ est constant de valeur 1;

$\chi _{2}(x)=1$ si $x\in \langle a^{2}\rangle$, 1 si $x\in \langle a^{2}\rangle a$, -1 si $x\in \langle a^{2}\rangle b$, -1 si $x\in \langle a^{2}\rangle ab$;

$\chi _{3}(x)=1$ si $x\in \langle a^{2}\rangle$, -1 si $x\in \langle a^{2}\rangle a$, 1 si $x\in \langle a^{2}\rangle b$, -1 si $x\in \langle a^{2}\rangle ab$;

$\chi _{4}(x)=1$ si $x\in \langle a^{2}\rangle$, -1 si $x\in \langle a^{2}\rangle a$, -1 si $x\in \langle a^{2}\rangle b$, 1 si $x\in \langle a^{2}\rangle ab$.

De même, si m est impair, les $\mathbb {C}$-caractères de degré 1 de G sont les quatre caractères $\chi '_{1},\chi '_{2},\chi '_{3}$ et $\chi '_{4}$ définis de la façon suivante :

$\chi '_{1}$ est constant de valeur 1;

$\chi '_{2}(x)=1$ si $x\in \langle a^{2}\rangle$, -1 si $x\in \langle a^{2}\rangle a$, i si $x\in \langle a^{2}\rangle b$, -i si $x\in \langle a^{2}\rangle ab$;

$\chi '_{3}(x)=1$ si $x\in \langle a^{2}\rangle$, 1 si $x\in \langle a^{2}\rangle a$, -1 si $x\in \langle a^{2}\rangle b$, -1 si $x\in \langle a^{2}\rangle ab$;

$\chi '_{4}(x)=1$ si $x\in \langle a^{2}\rangle$, -1 si $x\in \langle a^{2}\rangle a$, -i si $x\in \langle a^{2}\rangle b$, i si $x\in \langle a^{2}\rangle ab$.

 

b) Posons $\zeta =e^{i\pi /m}$ (avec $i^{2}=-1$ dans $\mathbb {C}$). Donc $\zeta$ est une racine primitive 2m-ième de l'unité.
Désignons par A la matrice

$A={\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&\zeta ^{-1}\\\end{pmatrix}}$

et, pour tout entier rationnel j, posons

$B_{j}={\begin{pmatrix}0&(-1)^{j}\\1&0\\\end{pmatrix}}$.

Prouver que pour tout $j\in \mathbb {Z}$, il existe une et une seule $\mathbb {C}$-représentation de G, soit T_j, qui applique a sur A^j et b sur B_j. (Indication : on peut utiliser un exercice de la série Groupes dicycliques intitulé « Homomorphismes partant d'un groupe dicyclique ».)

Solution

Posons A_j = A^j. D'après un exercice de la série Groupes dicycliques intitulé « Homomorphismes partant d'un groupe dicyclique », il suffit de prouver que

(thèse 1) $\qquad A_{j}^{2m}=1$,

(thèse 2) $\qquad B_{j}^{2}=A_{j}^{m}$

et

(thèse 3) $\qquad B_{j}^{-1}A_{j}B_{j}=A_{j}^{-1}$.

Nous avons

$A_{j}^{2m}=A^{2mj}$,

d'où, d'après les propriétés des matrices diagonales,

$A_{j}^{2m}={\begin{pmatrix}\zeta ^{2mj}&0\\0&\zeta ^{-2mj}\\\end{pmatrix}}$.

Puisque $\zeta$ est une racine 2m-ième de l'unité, cela peut s'écrire

$\qquad A_{j}^{2m}=1$,

ce qui est la thèse (1).
De même,

$A_{j}^{m}=A^{jm}=(A^{m})^{j}={\begin{pmatrix}\zeta ^{m}&0\\0&\zeta ^{-m}\\\end{pmatrix}}^{j}$;

puisque $\zeta$ est une racine primitive 2m-ième de l'unité, $\zeta ^{m}=-1$, donc notre résultat peut s'écrire

$A_{j}^{m}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}^{j}$,

(4) $\qquad A_{j}^{m}={\begin{pmatrix}(-1)^{j}&0\\0&(-1)^{j}\\\end{pmatrix}}$.

D'autre part, le calcul donne

(5) $\qquad B_{j}^{2}={\begin{pmatrix}(-1)^{j}&0\\0&(-1)^{j}\\\end{pmatrix}}$.

La comparaison avec (4) donne

$\qquad B_{j}^{2}=A_{j}^{m}$,

ce qui est la thèse (2).
La relation (5) entraîne $B_{j}^{4}=1$, donc

$B_{j}^{-1}=B_{j}^{3}$,

(6) $B_{j}^{-1}=B_{j}^{2}B_{j}$;

d'après (5), $B_{j}^{2}$ est la matrice scalaire $(-1)^{j}$, donc (6) peut sécrire

$B_{j}^{-1}=(-1)^{j}B_{j}$,

$B_{j}^{-1}={\begin{pmatrix}0&1\\(-1)^{j}&0\\\end{pmatrix}}$,

donc

$B_{j}^{-1}A_{j}B_{j}={\begin{pmatrix}0&1\\(-1)^{j}&0\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\zeta ^{j}&0\\0&\zeta ^{-j}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&(-1)^{j}\\1&0\\\end{pmatrix}}$

$B_{j}^{-1}A_{j}B_{j}={\begin{pmatrix}\zeta ^{-j}&0\\0&\zeta ^{j}\\\end{pmatrix}}$,

$\qquad B_{j}^{-1}A_{j}B_{j}=A_{j}^{-1}$, ce qui est la thèse (3).

 

Remarque. On a déjà rencontré les deux matrices T₁(a) = A et T₁(b) = B₁ dans le chapitre Groupes dicycliques, où on a donné une preuve de l'existence d'un groupe dicyclique d'ordre 4m en montrant que le sous-groupe de $GL(2,\mathbb {C} )$ engendré par ces deux matrices est un tel groupe. De ce dernier fait, on tire facilement que la représentation T₁ est fidèle.

c) Les $\mathbb {C}$-représentations T_j étant définies comme au point b), prouver que T₁, ... , T_m-1 sont irréductibles. (Indication : on peut imiter la façon dont on a prouvé un énoncé analogue relatif aux groupes diédraux dans le chapitre théorique.)

Solution

Soit V un $\mathbb {C}$-espace vectoriel de dimension 2, soit $(v_{1},v_{2}$ une base de V.
Pour tout $j\in \{1,2,\ldots ,m-1\}$, notons $\alpha _{j}$ (resp. $\beta _{j}$) l'automorphisme de V ayant

$T_{j}(a)={\begin{pmatrix}\zeta ^{j}&0\\0&\zeta ^{-j}\\\end{pmatrix}}$ (resp. $T_{j}(b)={\begin{pmatrix}0&(-1)^{j}\\1&0\\\end{pmatrix}}$)

pour matrice dans la base $(v_{1},v_{2})$.
Prouver que T_j est irréductible revient à prouver que si v est un élément de V tel que $\alpha _{j}(v)$ et $\beta _{j}(v)$ appartiennent tous deux à $\mathbb {C} v$, alors v = 0.
Soit $v=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}$, avec $c_{1},c_{2}\in \mathbb {C}$.
Tout d'abord, l'hypothèse $\alpha _{j}(v)\in \mathbb {C} v$ signifie que

$c_{1}\zeta ^{j}v_{1}+c_{2}\zeta ^{-j}v_{2}\in \mathbb {C} (c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2})$,

d'où

${\begin{array}{|cc|}c_{1}\zeta ^{j}&c_{2}\zeta ^{-j}\\c_{1}&c_{2}\\\end{array}}=0$,

$c_{1}c_{2}\ {\begin{array}{|cc|}\zeta ^{j}&\zeta ^{-j}\\1&1\\\end{array}}=0$,

(1) $\qquad c_{1}c_{2}(\zeta ^{j}-\zeta ^{-j})=0$.

Si $\zeta ^{j}-\zeta ^{-j}$ était nul, on aurait $\zeta ^{2j}=1$ avec $1\leq j\leq m-1$, ce qui est impossible puisque $\zeta$ est d'ordre 2m dans le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls. Donc $\zeta ^{j}-\zeta ^{-j}\not =0$, donc (1) donne

$c_{1}c_{2}=0$,

donc

(2) $\qquad c_{1}$ ou $c_{2}$ est nul.

Ensuite, l'hypothèse $\beta _{j}(v)\in \mathbb {C} v$ signifie que

$c_{2}(-1)^{j}v_{1}+c_{1}v_{2}\in \mathbb {C} (c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2})$

d'où

${\begin{array}{|cc|}c_{2}(-1)^{j}&c_{1}\\c_{1}&c_{2}\\\end{array}}=0$,

(3) $\qquad c_{2}^{2}(-1)^{j}-c_{1}^{2}=0$.

On a vu en (2) que $c_{1}$ ou $c_{2}$ est nul, donc, d'après (3), $c_{1}$ et $c_{2}$ sont tous deux nuls, donc v = 0. Comme on l'a vu, cela prouve que T_j est irréductible.

 

d) Prouver que les $\mathbb {C}$-représentations T₁, ... , T_m-1 de G sont deux à deux non équivalentes. (Indication : utiliser la démonstration de l'énoncé analogue relatif aux groupes diédraux qui a été donnée dans le chapitre théorique.)

Solution

Pour $j\in \{1,\ldots ,m-1\}$, désignons par $\psi _{j}$ le caractère de la représentation T_j.
Il suffit de prouver que les caractères $\psi _{1},\ldots ,\psi _{m-1}$ sont deux à deux distincts et, pour cela, il suffit de prouver que les nombres $\psi _{1}(a),\ldots ,\psi _{m-1}(a)$ sont deux à deux distincts.
Pour tout j, nous avons

$\psi _{j}(a)=Tr(T_{j}(a))$

$\psi _{j}(a)=Tr{\begin{pmatrix}\zeta ^{j}&0\\0&\zeta ^{-j}\\\end{pmatrix}}$

$\psi _{j}(a)=\zeta ^{j}+\zeta ^{-j}$.

Il suffit donc de prouver que pour tout nombre naturel n non nul, si $\epsilon$ désigne $e^{2\pi i/n}$, si j, j' sont deux différents nombres naturels tels que $1\leq j,j'$ et $2j,2j'<n$, alors

$\epsilon ^{j}+\epsilon ^{-j}\not =\epsilon ^{j'}+\epsilon ^{-j'}$

(faire alors n = 2m et $\epsilon =\zeta$). Or on l'a démontré dans le chapitre théorique en déterminant les $\mathbb {C}$-caractères irréductibles des groupes diédraux.

 

e) Dresser la table des $\mathbb {C}$-caractères de G (en distinguant selon que m est pair ou impair).

Solution

Nous avons trouvé quatre $\mathbb {C}$-représentations (irréductibles) de degré 1 et m-1 $\mathbb {C}$-représentations irréductibles de degré 2, deux à deux non équivalentes, de G. D'après le problème « Classes de conjugaison d'un groupe dicyclique » de la série Groupes dicycliques, G admet exactement m+3 classes de conjugaison, donc les caractères des m+3 représentations que nous avons trouvées sont les m+3 différents $\mathbb {C}$-caractères irréductibles de G.
(On pourrait aussi noter que

$1^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+(m-1)2^{2}=4m=\vert G\vert$

et appliquer un des théorèmes sur les degrés des caractères.)
Toujours d'après le problème « Classes de conjugaison d'un groupe dicyclique » de la série Groupes dicycliques, et dans les notations de ce problèmee, les classes de conjugaison de G sont

$\{1\},\{a,a^{2m-1}\},\{a^{2},a^{2m-2}\},\ldots ,\{a^{m-1},a^{m+1}\},\{a^{m}\},b\langle a^{2}\rangle$ et $ba\langle a^{2}\rangle$.

Pour chacun des m+3 caractères irréductibles trouvés, soit $\chi$, les résultats du point a) et les définitions du point b) permettent d'expliciter facilement $\chi (1),\chi (a),\chi (a^{2}),\ldots ,\chi (a^{m-1}),\chi (a^{m}),\chi (b)$ et $\chi (ba)=\chi (ab)$. Voici dès lors une façon de présenter la table des caractères.

Les trois lignes de titre sont

${\begin{array}{r|cccccccc}K\ :&\{1\}&\{a,a^{2m-1}\}&\{a^{2},a^{2m-2}\}&...&\{a^{m-1},a^{m+1}\}&\{a^{m}\}&b\langle a^{2}\rangle &ba\langle a^{2}\rangle \\\hline \vert G\vert /\vert K\vert :&4m&2m&2m&...&2m&4m&4&4\\\hline \vert \ K\vert :&1&2&2&...&2&1&m&m\\\hline \end{array}}$

Dans le cas m pair, les quatre premières lignes de la table proprement dite sont (voir point a)

${\begin{array}{r|rrrrrrrr}\chi _{1}&1&1&1&...&1&1&1&1\\\chi _{2}&1&1&1&...&1&1&-1&-1\\\chi _{3}&1&-1&1&...&-1&1&1&-1\\\chi _{4}&1&-1&1&...&-1&1&-1&1\\\end{array}}$

Dans le cas m impair, ces quatre lignes deviennent

${\begin{array}{r|rrrrrrrr}\chi '_{1}&1&1&1&...&1&1&1&1\\\chi '_{2}&1&-1&1&...&1&-1&i&-i\\\chi '_{3}&1&1&1&...&1&1&-1&-1\\\chi '_{4}&1&-1&1&...&1&-1&-i&i\\\end{array}}$

Les lignes suivantes sont, dans le cas m pair comme dans le cas m impair (et $\zeta$ étant défini comme au point b)

${\begin{array}{r|cccccccc}\psi _{1}=\chi _{5}&2&\zeta ^{1}+\zeta ^{-1}&\zeta ^{2}+\zeta ^{-2}&...&\zeta ^{m-1}+\zeta ^{1-m}&\zeta ^{m}+\zeta ^{-m}&0&0\\\psi _{2}=\chi _{6}&2&\zeta ^{2}+\zeta ^{-2}&\zeta ^{4}+\zeta ^{-4}&...&\zeta ^{2m-2}+\zeta ^{2-2m}&\zeta ^{2m}+\zeta ^{-2m}&0&0\\...&...&...&...&...&...&...&...&...\\\psi _{m-1}=\chi _{m+3}&2&\zeta ^{m-1}+\zeta ^{1-m}&\zeta ^{2m-2}+\zeta ^{2-2m}&...&\zeta ^{(m-1)^{2}}+\zeta ^{-(m-1)^{2}}&\zeta ^{m(m-1)}+\zeta ^{-m(m-1)}&0&0\\\end{array}}$

 

f) Montrer que le groupe des quaternions (groupe dicyclique d'ordre 8) a la même table de caractères que le groupe diédral d'ordre 8 (abstraction faite de la première ligne de titre). En conclure que deux groupes finis peuvent avoir la même table des caractères sans être isomorphes.

Solution

En faisant m = 2 dans le point e) (cas m pair), on obtient la table des caractères du groupe des quaternions :

${\begin{array}{c|ccccc}K\ :&\{1\}&\{a,a^{3}\}&\{a^{2}\}&\{b,ba^{2}\}&\{ba,ba^{3}\}\\\hline \vert G\vert /\vert K\vert :&8&4&8&4&4\\\hline \vert \ K\vert :&1&2&1&2&2\\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1\\\chi _{2}&1&1&1&-1&-1\\\chi _{3}&1&-1&1&1&-1\\\chi _{4}&1&-1&1&-1&1\\\chi _{5}&2&0&-2&0&0\\\end{array}}$

En comparant avec la table des caractères de D₈ qui a été trouvée dans le chapitre théorique, on voit que le groupe des quaternions et le groupe diédral d'ordre 8 ont la même table de caractères. On a démontré au chapitre Groupes dicycliques que ces deux groupes ne sont pas isomorphes, ce qui achève de prouver l'énoncé.