Théorie des groupes/Exercices/Lois de composition internes, monoïdes

Lois de composition internes, monoïdes
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Exercices no1
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Lois de composition internes, monoïdes

Exercices de niveau 14.

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Théorie des groupes/Exercices/Lois de composition internes, monoïdes
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Exercice 1 modifier

Soient   et   deux monoïdes.

  1. Montrer que dans  , le seul élément idempotent simplifiable à gauche ou à droite est l'élément neutre.
  2. En déduire que si   est régulier, tout morphisme de magmas de   dans   applique élément neutre sur élément neutre (donc est un morphisme de monoïdes).

Exercice 2 modifier

Soient   un morphisme de monoïdes, et   un élément inversible de  . Montrer que   est inversible dans   et que son inverse est  .

Exercice 3 modifier

Soit M un monoïde, soient a et b deux éléments de M commutant entre eux, soit n un nombre naturel. Prouver que  .