Théorie des groupes/Exercices/Lois de composition internes, monoïdes

Exercice 1

Soient $(G,*,e_{G})$ et $(H,\star ,e_{H})$ deux monoïdes.

1. Montrer que dans $H$, le seul élément idempotent simplifiable à gauche ou à droite est l'élément neutre.
2. En déduire que si $H$ est régulier, tout morphisme de magmas de $G$ dans $H$ applique élément neutre sur élément neutre (donc est un morphisme de monoïdes).

Solution

1. $e_{H}$ est évidemment idempotent et (inversible donc) simplifiable. Réciproquement, soit $h$ un idempotent de $H$, simplifiable par exemple à gauche. Alors, $h\star h$ et $h\star e_{H}$ sont égaux (car tous deux égaux à $h$) donc $h=e_{H}$.
2. Soit $f:G\to H$ un morphisme de magmas. Alors, $f(e_{G})$ est idempotent ($f(e_{G})=f(e_{G}*e_{G})=f(e_{G})\star f(e_{G})$) donc si de plus il est simplifiable, il est égal à $e_{H}$.

 

Exercice 2

Soient $f:G\to H$ un morphisme de monoïdes, et $x$ un élément inversible de $G$. Montrer que $f(x)$ est inversible dans $H$ et que son inverse est $f(x^{-1})$.

Solution

Désignons par $e_{G}$ le neutre de G et par $e_{H}$ le neutre de H. Alors

$f(x)\star f(x^{-1})=f(x*x^{-1})=f(e_{G})=e_{H}$

et de même,

$f(x^{-1})\star f(x)=e_{H}$.

 

Exercice 3

Soit M un monoïde, soient a et b deux éléments de M commutant entre eux, soit n un nombre naturel. Prouver que $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$.

Solution

Le plus simple est de raisonner par récurrence sur n. La formule est banalement vraie pour n = 0. Supposons-la vraie pour un nombre naturel n. D'après une formule du chapitre théorique,

$(ab)^{n+1}=(ab)^{n}ab.$

Par hypothèse de récurrence, le second membre peut s'écrire

$(a^{n}b^{n})ab$,

donc

$(ab)^{n+1}=a^{n}b^{n}ab.$

Puisque a commute avec b, il commute avec bⁿ, donc notre résultat peut s'écrire

$(ab)^{n+1}=a^{n}ab^{n}b,$

$(ab)^{n+1}=a^{n+1}b^{n+1},$

d'où la thèse par récurrence sur n.