Monoïde/Définition d’un monoïde
Définition
modifierUn monoïde est un magma associatif unifère , c'est-à-dire un ensemble muni d’une loi de composition interne associative admettant un élément neutre .
La loi de composition de E induit alors sur S une loi de composition qui fait de S un monoïde.
Partie génératrice, base
modifierPartie génératrice
modifierSoit P une partie de E. Le sous-monoïde engendré par P est l'intersection de tous les sous-monoïdes de E contenant P.
C'est ainsi le plus petit (au sens de l'inclusion) sous-monoïde de E contenant P. Il est noté .
On dit que P est génératrice de E lorsque .
Base
modifierSoit B une partie génératrice de E.
E est libre de base B lorsque tout élément de E peut s'écrire de manière unique comme composé d'éléments de B.
Morphisme de monoïdes
modifierSoient et deux monoïdes.
Une application est un morphisme de monoïdes si c'est un morphisme de magmas unifères, c'est-à-dire si :
Soient et deux morphismes de monoïdes.
Le morphisme de magmas composé est un morphisme de monoïdes.
Soit un morphisme de monoïdes.
- L'image directe par de tout sous-monoïde de est un sous-monoïde de .
- L'image réciproque par de tout sous-monoïde de est un sous-monoïde de .
Conséquence immédiate de la propriété correspondante pour les morphismes de magmas.