Théorie des groupes/Représentations complexes des groupes finis, 1

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Dans ce chapitre, on va donner les premiers éléments sur les représentations complexes des groupes finis.

Représentations complexes des groupes finis, 1
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Chapitre no 39
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Théorème de Maschke
Chap. suiv. :Représentations complexes des groupes finis, 2

Exercices :

Représentations complexes des groupes finis, 1
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Théorie des groupes/Représentations complexes des groupes finis, 1
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Le chapitre est un peu long pour son contenu, car on a voulu expliciter des choses sur lesquelles les auteurs passent rapidement. On a donné très peu de démonstrations, car elles ne sont pas difficiles, même si une rédaction rigoureuse demande parfois un effort de concentration. On ne conseille d'ailleurs pas au lecteur de s'astreindre à rédiger les démonstrations de tous les énoncés, mais plutôt de réserver son attention aux énoncés qualifiés de théorèmes.

On utilisera parfois une notation inhabituelle de la somme d'une famille finie d'éléments d'un monoïde commutatif (noté additivement) :
par , on désignera la somme de la famille , où E désigne l'ensemble (supposé fini) des u possédant la propriété P(u). Cette notation a sur la notation courante

l'avantage de montrer clairement que la variable de sommation est u.

En ce qui concerne les matrices, on suivra les mêmes conventions qu'au chapitre Groupes linéaires. Au lieu de « matrice à coefficients dans  » (où désigne le corps des nombres complexes), on dira parfois « -matrice ».

Notion de représentation

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On désignera par   le corps des nombres complexes.
Si V est un  -espace vectoriel, on désignera par GL(V) le groupe formé par les  -automorphismes de V, la loi de groupe étant la composition de droite à gauche   (Cette composition est dite de droite à gauche parce qu'on prend d'abord la valeur par g, qui est écrit à droite, puis la valeur du résultat par f, qui est écrit à gauche.)
Pour un nombre naturel n, on désignera par GL(n,  ) le groupe multiplicatif formé par les matrices   inversibles à coefficients dans  , le produit de deux matrices étant défini comme au chapitre Groupes linéaires.


Remarques.

  1. Si on convient d'incorporer les  espaces vectoriels de départ et d'arrivée dans la notion d'un homomorphisme de  -espaces vectoriels, autrement dit si on convient par exemple de définir un homomorphisme de  -espaces vectoriels comme un triple (V,f,W), où V et W sont des  espaces vectoriels et f une application de V dans W possédant les propriétés voulues, alors V est déterminé par n'importe quel élément de GL(V) et est donc déterminé par T, de sorte que parler de (V,T) est redondant. Donc, si on adopte la convention en question, on peut se contenter de définir une  -représentation vectorielle de G comme un homomorphisme de groupes T de G dans GL(V) pour un certain  -espace vectoriel V de dimension finie.
  2. Même sans adopter cette convention, on identifie couramment la représentation (V,T) et l'homomorphisme T.
  3. Une  -représentation (vectorielle) de G dans V peut être considérée comme un cas particulier d'action (à gauche) du groupe G sur l'ensemble (sous-jacent de) V, et même comme un cas particulier d'action de G sur le groupe additif V, + par automorphismes (voir chapitre Produit semi-direct).


Remarques.

  1. On peut définir une F-représentation (vectorielle ou matricielle) de G pour tout corps commutatif F, ce qui donne lieu à des développements théoriques importants, mais on ne s'intéressera dans ce cours qu'au cas où  .
  2. Comme le groupe GL(1,  ) est canoniquement isomorphe au groupe multiplicatif   du corps  , une  -représentation matricielle de degré 1 d'un groupe fini G peut être assimilée à un homomorphisme de G dans  .




Deux représentations qui se correspondent ont évidemment même degré.

Étant donné un espace vectoriel V de dimension finie n, muni d'une base numérotée B, désignons par   l'isomorphisme de groupes qui à tout élément de GL(V) fait correspondre sa matrice dans la base B, et par   l'isomorphisme réciproque. Alors, l'application   est une bijection (dépendant de B), de l'ensemble des  -représentations vectorielles de G dans V sur l'ensemble des  -représentations matricielles de degré n de G, sa bijection réciproque étant  .

Il est alors clair que deux représentations qui se correspondent sont toutes deux fidèles ou toutes deux non fidèles, et sont toutes deux triviales ou toutes deux non triviales.

Exemples de représentations

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1. Les représentations triviales, dont il a été question, fournissent un premier exemple (trivial) de  -représentations vectorielles et matricielles.

2. Soit G un groupe cyclique d'ordre n, noté multiplicativement, soit x un élément de G qui engendre G, soit   une racine primitive n-ième de 1, c'est-à-dire un élément d'ordre n du groupe multiplicatif de  . Soit U l'unique homomorphisme de G dans GL(1,  ) qui applique x sur la matrice   dont l'unique coefficient est  . Pour tout entier rationnel r,   est donc la matrice   dont l'unique coefficient est  . Alors U est une  -représentation fidèle de degré 1 du groupe cyclique G.

3. Rappelons cette définition[1] :

Si l'anneau A est non nul, toute ligne et toute colonne d'une matrice de permutation (relativement à l'anneau A) a donc un et un seul coefficient non nul et ce coefficient est égal à 1. Réciproquement, on vérifie facilement que toute matrice carrée de taille n à coefficients dans A possédant cette propriété est la matrice d'une certaine permutation de {1, ... , n}.
Le lecteur vérifiera facilement les faits suivants :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Soit G un sous-groupe du groupe symétrique  . Donc tout élément de G est une permutation de l'ensemble {1, 2, ... , n}. Si à l'élément   de G, on fait correspondre la  -matrice de la permutation  , on définit, d'après les énoncés du rappel, une  -représentation matricielle fidèle de degré n de G.

4. Représentation régulière gauche. Soit G un groupe fini. Rappelons que le  -espace vectoriel libre construit sur l'ensemble G est par définition l'ensemble des applications de G dans  , muni d'une addition et d'une loi externe définies « point par point ».
Cet espace vectoriel est noté  .
Si, pour tout élément g de G, on désigne par   l'application de G dans   qui vaut 1 en g et 0 partout ailleurs, les éléments de   de la forme   forment une base de  .
L'application   de G dans   est injective, ce qui amène à identifier l'élément   de   à l'élément g de G et donc à écrire g au lieu de  . Avec cette identification, G est une base de  . (En faisant des remplacements convenables dans  , on pourrait d'ailleurs obtenir un  -espace vectoriel ayant l'ensemble G pour base en toute rigueur des termes, mais cela n'en vaut pas la peine.) En particulier, la dimension de   est égale à  .
La structure de monoïde de G permet de munir le  -espace vectoriel   d'une structure de  -algèbre associative unifère. (Pour la définition d'une telle algèbre, voir le chapitre Théorème de Maschke.) Pour cela, on définit une multiplication dans   en posant, pour toute famille   et toute famille   de nombres complexes,

 ,

ce qui peut encore s'écrire

 ,

 . Cette multiplication dans   coïncide dans la partie G de   avec la loi de groupe de G.
La  -algèbre ainsi définie est notée   ou  . On notera de même l'espace vectoriel sous-jacent de cette algèbre, c'est-à-dire l'espace vectoriel qu'on a noté juqu'ici  .
Pour tout élément g de G, désignons par   la transformation   de  , où gx est calculé selon la multiplication qu'on vient de définir dans  . On vérifie facilement que   est un automorphisme du  -espace vectoriel   et que   définit un homomorphisme de groupes de G dans  , autrement dit une  -représentation (vectorielle) de G dans l'espace  . Cette représentation, qui joue un rôle dans la théorie, est appelée la  -représentation régulière gauche de G.
En considérant la transformation   de  , on définira de même une  -représentation de G, dite  -représentation régulière droite de G. (Noter qu'ici, il faut inverser g pour obtenir une représentation conforme à notre définition des représentations.)
Il nous arrivera de dire « représentation régulière » tout court pour « représentation régulière gauche ».

Représentations équivalentes

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Remarques.

(V1) Deux représentations vectorielles équivalentes ont même degré, puisque deux espaces vectoriels isomorphes ont même dimension.
(V2) On vérifie facilement que l'équivalence entre  -représentations vectorielles de G est une relation d'équivalence.
(V3) L'équivalence définie ici est évidemment plus forte que l'équivalence entre les actions de G sur les ensembles V1 et V2, puisqu'on demande que   soit non seulement une bijection mais un isomorphisme de  -espaces vectoriels.
(V4) Deux  -représentations de G de degré n, l'une vectorielle,  , et l'autre matricielle,  , se correspondent, si et seulement si T est équivalente à la représentation vectorielle T' définie par :
pour tout élément g de G, T'(g) est l'automorphisme de   de matrice U(g) dans la base canonique.

Pour une démonstration de la remarque V4, voir les exercices.


Remarques.

(M1) Deux représentations matricielles équivalentes ont même degré, puisqu'une matrice inversible est nécessairement carrée.
(M2) Ici encore, on vérifie facilement que l'équivalence entre  -représentations matricielles de G est une relation d'équivalence.
(M3) Deux  -représentations matricielles de G de degré n, U1 et U2, sont équivalentes si et seulement si les  -représentations vectorielles T1 et T2 définies comme suit sont équivalentes :
pour tout élément g de G, Ti(g) est l'automorphisme de   de matrice Ui(g) dans la base canonique.

Pour une démonstration de la remarque M3, voir les exercices.

Les matrices carrées à coefficients dans   forment un ensemble, donc, pour tout groupe fini G, les  -représentations matricielles de G forment un ensemble. Donc l'équivalence entre  -représentations matricielles de G est une relation d'équivalence dans un ensemble. Il en résulte d'une part que pour toute  -représentation matricielle U de G, les  -représentations matricielles de G équivalentes à U forment un ensemble, que nous appellerons la classe d'équivalence de U, et d'autre part que les classes d'équivalence de  -représentations matricielles de G forment elles aussi un ensemble. De même que pour toute relation d'équivalence dans un ensemble, deux  -représentations matricielles de G sont équivalentes si et seulement elles appartiennent à la même classe d'équivalence.

En revanche, si n est un nombre naturel, les  -espaces vectoriels de dimension n ne forment pas un ensemble, donc, si G est un groupe fini et T une représentation vectorielle de G, les  -représentations vectorielles de G équivalentes à T ne forment pas un ensemble. Donc, si on voulait parler de la « classe d'équivalence » d'une  -représentation vectorielle de G (ce que nous ne ferons pas dans ce cours), certaines précautions d'ordre logique seraient nécessaires.


L'énoncé suivant résulte immédiatement des remarques V2, V4 et M3 ci-dessus.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Représentations irréductibles

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Dire qu'une  -représentation vectorielle   est irréductible revient donc à dire que les conditions suivantes sont satisfaites : l'espace V de T n'est pas nul et il n'existe pas de sous- -espace vectoriel W de V tel que 0 < W < V et que, pour tout g dans G et tout w dans W, (T(g)) (w) appartienne à W, ce qui équivaut à : pour tout g dans G, (T(g))(W) = W.

Exemples. 1° Il est clair que toute  -représentation vectorielle de degré 1 est irréductible.

2° Si une  -représentation vectorielle triviale (c'est-à-dire dont l'image est réduite au  -automorphisme identité de son espace) est irréductible, elle est de degré 1. Cela résulte du fait, noté dans les exemples de groupes linéaires réductibles (chapitre Théorème de Maschke), que le sous-groupe de GL(V) réduit à l'élément neutre (V étant un espace vectoriel) n'est irréductible que si V est de dimension 1.

3° On trouvera dans les exercices un exemple de  -représentation vectorielle irréductible de degré 2.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Laissée au lecteur.

Soient G un groupe fini et U une  -représentation matricielle de G. D'après les énoncés 1 et 2, les deux conditions suivantes sont équivalentes :

  1. il existe une  -représentation vectorielle de G qui correspond à U et qui est irréductible ;
  2. toute  -représentation vectorielle de G qui correspond à U est irréductible.

Remarque. Pour définir une représentation matricielle irréductible, on a dû passer par une représentation vectorielle. Il y a donc une certaine dissymétrie entre représentations vectorielles et représentations matricielles.

Exemples. Les exemples donnés plus haut de  -représentations vectorielles irréductibles se traduisent facilement en exemples de  -représentations matricielles irréductibles. Ainsi, la seule  -représentation matricielle triviale de G qui soit irréductible est la  -représentation matricielle triviale de degré 1.


Il résulte immédiatement de l'énoncé 2 et de la remarque M3 que :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Somme directe de représentations vectorielles

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Si   est une famille finie de  -espaces vectoriels, si   est une famille telle que pour tout élément i de I,   soit un  -endomorphisme de  , alors   définit un  -endomorphisme de l'espace   (somme directe des espaces  ). Nous désignerons (abusivement) cet endomorphisme comme la somme directe des   et nous le noterons (abusivement)  . Si les   sont des  -automorphismes,   est lui aussi un  -automorphisme.

Soit G un groupe fini, soit   une famille finie de  -représentations vectorielles de G. Pour chaque i dans I, notons   l'espace de la représentation  . Soit g un élément de G. Dans la terminologie et les notations de l'alinéa précédent,   est un  -automorphisme de   et   définit un homomorphisme de groupes de G dans  , autrement dit une  -représentation (vectorielle) de G dans  .


Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Laissée au lecteur.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Laissée au lecteur.

Quelques faits concernant les matrices

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Pour définir sans ambiguïté la somme directe d'un multiplet de  -représentations matricielles d'un groupe fini et pour mettre cette définition en rapport avec celle de la somme directe de représentations vectorielles, on aura besoin de quelques notions sur les matrices. Comme il s'agit de théorie des matrices plutôt que de théorie des groupes, on sera avare de démonstrations.

Rappelons que, A étant un anneau,   désigne l'anneau des matrices carrées   à coefficients dans A.

M et N étant deux matrices (non forcément carrées) à coefficients dans un anneau A, définissons de façon informelle la somme directe de M et N comme la matrice obtenue en plaçant diagonalement le tableau de N à droite et en dessous du tableau de M et en complétant le nouveau tableau en mettant à chaque place libre le zéro de l'anneau A. (La somme directe ainsi définie dépend donc de la structure d'anneau de A, puisque c'est cette structure qui détermine le zéro de A.)

Dans la terminologie des blocs, la somme directe de M et N (par rapport à l'anneau A) est la matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont respectivement M et N[2].

Par exemple, si

 
et  ,

alors la somme directe de M et N est

 .

De façon formelle :

Nous noterons   la somme directe des matrices M et M'. Comme déjà noté,   dépend de A, ce que la notation ne montre pas.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. La définition informelle de la somme directe de deux matrices comme mise bout à bout diagonalement de ces deux matrices rend l'énoncé évident. De façon formelle, on peut dire que les matrices   et   sont toutes deux égales à la matrice

 

 

Soient   des matrices à coefficients dans l'anneau A. Puisque la somme directe des matrices à coefficients dans l'anneau A est associative, on peut écrire

 

sans parenthèses.

On peut d'ailleurs expliciter   de la façon suivante :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème

Remarque. La première partie de l'énoncé est plus forte que la seconde, car elle montre qu'on obtient la matrice   en conjuguant M par une matrice indépendante des coefficients de M. Cela servira dans la suite.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque. La première partie de l'énoncé est plus forte que la seconde, car elle montre qu'on obtient la matrice   en conjuguant   par une matrice indépendante des coefficients de M et de N. Cela servira dans la suite.

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème


Somme directe de représentations matricielles

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Remarque. Pour le fait que U est un homomorphisme de groupes de G dans   voir l'énoncé 11.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Esquisse de démonstration. Pour tout i dans {1, ... , n}, désignons par   l'espace de la représentation vectorielle   et par   le degré de  , autrement dit la dimension de  . Puisque, pour chaque i,   et   se correspondent, il existe pour tout i une base (numérotée)   de   telle que   et   se correspondent via cette base.
Pour tout r dans {1, ... , n}, désignons par   la r-ième injection canonique  . Désignons par B le  -uplet

 .

De façon plus précise,la s-ième composante du  -uplet B est

 ,

  désigne l'élément de {1, 2, ... , n} défini par

 .

Alors B est une base (numérotée) de   et on vérifie que la  -représentation matricielle de G correspondant à la  -représentations vectorielle   via la base B est  .

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Conséquence immédiate de l'associativité de la somme directe des matrices.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Soient   et   les degrés respectifs de   et  . L'énoncé 10 fournit une certaine matrice (de permutation)  , ne dépendant que de   et de  , telle que, pour tout élément g de G,

 .

D'après la définition de la somme directe de deux représentations matricielles, cela peut s'écrire

 .

Puisque P ne dépend pas de g, cela prouve que les  -représentations matricielles   et   sont équivalentes.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Pour tout i dans {1, ... , n}, désignons par   le degré de   et de  . Puisque la représentation   et la représentation   sont équivalentes, il existe pour chaque i une matrice   telle que, pour tout g dans G,

 .

D'après l'énoncé 12, nous avons, pour tout g dans G,

 ,

  désigne la somme directe de deux matrices.
D'après la définition de la somme directe de représentations matricielles, cela peut s'écrire

 ,

  et   désignent des sommes directes de représentations.
Puisque la matrice   ne dépend pas de g, cela prouve que les représentations matricielles   et   sont équivalentes.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. D'après l'énoncé 16, on peut définir correctement la somme directe de deux classes d'équivalence de  -représentations matricielles de G en prenant la somme directe de deux représentantes respectives de ces deux classes et en passant à la classe d'équivalence.
D'après les énoncés 14 et 15, la somme directe ainsi définie est une loi de composition associative et commutative dans l'ensemble des classes d'équivalence de  -représentations matricielles de G. L'énoncé traduit dès lors une propriété connue des lois de composition à la fois associatives et commutatives.

Décomposition d'une représentation en somme directe de représentations irréductibles

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Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Soit V l'espace de la représentation T. Puisque la caractéristique du corps   est nulle, elle ne divise pas l'ordre du sous-groupe T(G) de GL(V), donc, d'après le Théorème de Maschke, il existe des sous- -espaces   de V invariants par le groupe linéaire T(G) tels que V soit somme directe interne de la famille   et que, pour tout i dans {1, ... , n}, le sous-groupe de GL(Vi) formé par les birestrictions à   des éléments de T(G) soit irréductible.
Pour tout i dans {1, ... , n}, pour tout g dans G, pour tout v dans  , posons

 .

On vérifie que cela définit une représentation vectorielle irréductible   de G dans  .
Prouvons que la représentation T est équivalente à la somme directe S =  .
Notons   la somme directe externe de la famille   de  -espaces vectoriels.
Puisque V est somme directe interne des  , il existe un (et un seul)  -isomorphisme   de   sur V qui, pour tout élément   de  , applique cet élément sur  .
On vérifie que, pour tout g dans G,

 ,

ce qui prouve que T est équivalente à S, d'où l'énoncé.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Démonstration. Soit d le degré de U. Choisissons un  -espace vectoriel V de dimension d et une base numérotée B de V. (On peut par exemple prendre pour V l'espace   et pour B la base canonique de  .)
Désignons par T la  -représentation vectorielle de G dans V correspondant à U via la base B de V.
D'après le théorème 18, T est équivalente à une somme directe

 

de  -représentations vectorielles irréductibles de G.
D'après la définition des  -représentations matricielles irréductibles,   correspond, pour tout i, à une  -représentation matricielle irréductible   de G.
D'après l'énoncé 13, la  -représentation vectorielle   correspond à la  -représentation matricielle  .
Récapitulons : U correspond à T, T est équivalente à   et   correspond à  .
D'après l'énoncé 1, il en résulte que U est équivalente à  , d'où la thèse.

Notes et références

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  1. Conforme à N. Bourbaki, Algèbre, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, p. II.151.
  2. Cette définition est conforme à Jean Dazord, « Une propriété extrémale de la diagonale d'une matrice », Linear Algebra and its Applications 254, 67-77 (1997), p. 67, consultable en ligne.