Théorie des groupes/Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur

Conjugaison, centralisateur, normalisateur
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Exercices no7
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Conjugaison, centralisateur, normalisateur

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Groupes monogènes, ordre d'un élément
Exo suiv. :Action de groupe
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Théorie des groupes/Exercices/Conjugaison, centralisateur, normalisateur
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Problème 1

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Soient G un groupe et A, B deux sous-groupes conjugués. Montrer que si AB = G, alors A et B sont égaux à G[1].

(Généralisation) Soient K et H deux sous-groupes d'un groupe G et x, y deux éléments de G. Montrer que

si G = HK alors G = HxKy

où, pour tout élément g et toute partie A de G, Ag désigne la partie conjuguée g-1Ag de A.

Problème 2

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Soient G un groupe fini et A un sous-groupe de G. Pour tout élément g de G, désignons par Ag le conjugué   de A, de sorte que (Ag)h = Agh. On suppose que   et que   pour tout  . Prouver que

 [2].

Problème 3

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Soient G un groupe fini et A un sous-groupe de G. Pour tout élément g de G, désignons par Ag le conjugué   de A, de sorte que (Ag)h = Agh. Prouver que si  , alors  , autrement dit G n’est pas la réunion des conjugués de A[3].

Remarque : on verra dans les exercices sur le chapitre Premiers résultats sur les groupes simples que l'énoncé du présent problème peut s'étendre au cas où A est un sous-groupe d'indice fini d'un groupe G non forcément fini.

Problème 4

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Soit G un groupe fini > 1 tel que deux différents sous-groupes maximaux de G aient toujours une intersection triviale. Alors un au moins des sous-groupes maximaux de G est normal dans G[4]. (Indication : étant donné un sous-groupe maximal M de G, appliquer deux problèmes ci-dessus à la réunion des conjugués de M.)

Problème 5 (facile)

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Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Soit K le cœur de H dans G, c'est-à-dire l'intersection des conjugués de H dans G (y compris H). Prouver que K est un sous-groupe distingué de G.

Problème 6 (facile)

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Soient G un groupe et X une partie de G. Prouver que le sous-groupe distingué de G engendré par X est le sous-groupe de G engendré par les conjugués des éléments de X.

Problème 7 (facile)

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Soient G un groupe fini et H un sous-groupe normal d'ordre 2 de G. Prouver que H est contenu dans le centre de G.

Problème 8 (facile)

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Soient a1, ... , an des éléments d'un groupe G qui commutent entre eux. Prouver que le sous-groupe de G engendré par a1, ... , an est l’ensemble des éléments de la forme   où r1, ... , rn parcourent les entiers rationnels[5].

Problème 9 (facile)

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Soient G un groupe (non forcément commutatif) et X une partie de G. Les deux conditions suivantes sont-elles équivalentes :
1° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à gauche modulo ce sous-groupe;
2° il existe un sous-groupe de G tel que X soit une classe à droite modulo ce sous-groupe.

Problème 10

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Soit G un groupe. Pour deux éléments a et b de G, on posera  , de sorte que, pour a, b et c dans G,   et  . Pour une partie X de G et un élément g de G, on désignera par   l’ensemble des  , x parcourant X.

a) Soient G un groupe et X une partie de G telle que

  pour tout élément g de G.

Supposons que X soit la réunion de n parties X1, ..., Xn de G :

 

Prouver que tout produit d'éléments de X peut se mettre sous la forme

 

avec

  pour tout   ( ) et tout  ,

en admettant que   puisse être nul, auquel cas   est le produit d'une famille vide et est donc égal à 1.

b) Soient G un groupe et A un sous-groupe de G. On suppose que les conjugués de A dans G sont en nombre fini. Soient   ces conjugués. Alors

 [6]. (Appliquer le point a).)

c) Soient G un groupe, x un élément de G et   deux sous-groupes de G. Désignons par C l’ensemble   des conjugués de x dans G. Supposons que   et  . Prouver que   ou  [7]. (Appliquer le point a).)

Problème 11 (facile)

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a) Soient A, B deux groupes,   un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que  

b) Soient A, B deux groupes,   un isomorphisme de A sur B et H un sous-groupe de A. Prouver que  

c) Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et a un élément de G. Prouver que

 

et

 

d) Soient G un groupe et H un sous-groupe normal de G. Prouver que le centralisateur de H dans G est normal dans G.

Problème 12

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Soient   un groupe et   un élément d'ordre  . On note :

  •   le sous-groupe engendré par   ;
  •   le centralisateur de   ;
  •   le normalisateur de  .

Remarquons que l'on a toujours  .

    1. Expliciter  ,   et   dans le cas   et  .
    2. Même question, toujours dans le cas  , avec  .
  1. On revient au cas général. Montrer que pour tout  , il existe un entier   premier avec   tel que  . Cet entier   est-il unique ? Montrer que si   est premier,  .
  2. Montrer que l'on peut définir une application   en posant   (où   provient de la question précédente) et montrer que cette application est un morphisme de groupes.
  3. Calculer le noyau de  .
  4. On suppose dans cette dernière question que   est un groupe symétrique   (où  ).
    1. Montrer que les générateurs du groupe   sont deux à deux conjugués dans  .
    2. En déduire que les groupes   et   sont isomorphes.

Problème 13

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L'objet de ce problème est de prouver que si   est un homomorphisme d'un groupe   dans un groupe G, alors   est surjectif si et seulement pour tout groupe L et pour tous homomorphismes   de G dans L, l'égalité   entraîne  

a) Soient G un groupe et H un sous-groupe propre de G. Notons G/H l'ensemble des classes à gauche de G modulo H. (Puisque le sous-groupe H de G n'est pas supposé normal dans G, l'ensemble G/H ne doit pas être vu comme un groupe.) D'après la théorie des ensembles, nous pouvons choisir un « élément » qui n'appartient pas à G/H et que nous noterons   Notons X l'ensemble   et notons K le groupe   des permutations de X.

Pour tout élément   de G, notons   la transformation de X qui applique   sur lui-même et, pour tout élément C de G/H, applique C sur aC ; donc, pour tout élément   de G,   Prouver que pour tout élément   de G,   est une permutation de X, que l'application   est un homomorphisme de G dans   et que si   alors la permutation   fixe l'élément H de X.

b) Prouver que, dans les hypothèses du point a) (G est un groupe et H un sous-groupe propre de H), il existe un groupe L et deux différents homomorphismes de G dans L qui coïncident en tout élément de H.

Indications. De façon générale, si T est un ensemble et   deux différents éléments de T, on note   la permutation de T qui applique   sur  ,   sur   et qui laisse fixes les autres éléments de T. Une telle permutation est appelée une transposition de T.

Dans les hypothèses et notations du point a) on définit un homomorphisme   de G dans   par  , où   est l'homomorphisme de G dans   considéré au point a) et où   est l'automorphisme intérieur   du groupe  

Prouver que   et   sont deux différents homomorphismes de G dans K et que   ce qui prouve le point b).

c) Soit   un homomorphisme d'un groupe   dans un groupe   Prouver que les deux conditions suivantes sont équivalentes :

(i)  est surjectif ;
(ii)  pour tout groupe L et pour tous homomorphismes   de G dans L, l'égalité   entraîne  

Indication : utiliser le point b).

Remarque. Le point c) montre que dans la catégorie des groupes, les épimorphismes sont les homomorphismes surjectifs de groupes. L'énoncé analogue pour les groupes abéliens est démontré au problème 8 de la série Sous-groupe distingué et groupe quotient.

Problème 14

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Soit Y une partie d'un ensemble X. Dans le groupe SX des permutations de X, on considère le sous-groupe A fixateur de Y :

 .

Soit M le sous-monoïde de SX formé des éléments   tels que  

L'objet de ce problème est de montrer que M est un sous-groupe de SX si et seulement si Y ou X\Y est fini[8].

On pose pour cela :

 .
  1. Vérifier que N ⊂ M.
  2. Si X\Y est un singleton, identifier A, puis M.
  3. Si X\Y n'est pas un singleton, montrer que M ⊂ N.
  4. Vérifier que si Y ou X\Y est fini, N est un sous-groupe de SX.
  5. Démontrer la réciproque.
  6. Conclure.

Problème 15

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Soit G un groupe.

  1. Montrer que s'il existe un sous-groupe H de Z(G) tel que G/H soit monogène, alors G est abélien.
  2. En déduire que si Aut(G) est monogène, alors G est abélien.

Références

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  1. H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 5, p. 9.
  2. H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 11, p. 10.
  3. Attribué à Jordan par Jean-Pierre Serre, Groupes finis, révision de 2004, théor. 6.1, p. 45, en ligne.
  4. Voir G. Endimioni, « Une introduction aux groupes nilpotents », Cours de D.E.A. 1996/1997, Centre de Mathématiques et d'Informatique, Université de Provence (France), en ligne, lemme 4.2, p. 17.
  5. Énoncé dans J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 127.
  6. H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.1, exerc. 13, p. 10.
  7. H. Kurzweil et B. Stellmacher, The Theory of Finite Groups, New York, 2004, 1.2, exerc. 5, p. 15.
  8. Bourbaki, Algèbre, 1970, ch. I, § 5, n° 3, p. I.54, dit que le cas se présente et renvoie à l'exercice 27 sur ledit § 5, p. I.134.