Topologie générale/Propriété de Baire

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Définition

On dit qu'un espace topologique est un espace de Baire si (dans cet espace)

toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense.

De façon équivalente, un espace topologique est de Baire si

toute union dénombrable de fermés d'intérieurs vides est d'intérieur vide,

ou encore, si

le seul ouvert maigre est le vide

(« maigre » signifiant : contenu dans une réunion dénombrable de fermés qui sont tous d'intérieur vide).

Début d’un théorème

Théorème de Baire

1. Tout espace localement compact est de Baire.
2. Tout espace topologique complètement métrisable (c'est-à-dire sous-jacent à un espace métrique complet) est de Baire.
3. Tout ouvert d'un espace de Baire est de Baire (pour la topologie induite).

Fin du théorème

Début d'une démonstration

Démonstration

Dans ce qui suit, int(A) désigne l'intérieur d'une partie A de E.

1. Soit E un espace localement compact. Nous utiliserons que dans E, tout ouvert non vide contient un compact d'intérieur non vide. En effet, tout ouvert contenant un point x contient un voisinage compact de x, puisque x possède une base de voisinages compacts.

Soient $(U_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite d'ouverts denses dans E et V un ouvert non vide quelconque ; nous voulons montrer que l'intersection des U_n rencontre V.

Puisque U₀ est dense, il rencontre V. L'ouvert U₀∩V étant non vide, il contient un compact K₀ d'intérieur non vide. Une fois K₀ choisi, U₁∩int(K₀) est un ouvert non vide, donc contient un compact K₁ d'intérieur non vide.

En itérant cette construction, on obtient une suite décroissante de compacts non vides K_n tels que $K_{0}\subset V$ et $\forall n\in \mathbb {N} ,K_{n}\subset U_{n}$.

Alors $V\cap \bigcap _{n\in \mathbb {N} }U_{n}$ contient l'intersection des K_n qui (d'après le théorème des compacts emboités) est non vide, ce qui prouve le résultat.

2. Dans le cas où E est un espace métrique complet, le raisonnement est analogue en utilisant cette fois que dans un espace métrique, tout ouvert non vide contient une boule fermée de rayon strictement positif (donc d'intérieur non vide). On construit ainsi une suite décroissante de boules fermées B_n de rayon inférieur à 1/(n+1), telles que $B_{0}\subset V$ et $\forall n\in \mathbb {N} ,B_{n}\subset U_{n}$.

Alors $V\cap \bigcap _{n\in \mathbb {N} }U_{n}$ contient l'intersection des B_n, qui (d'après le théorème des fermés emboîtés) est non vide, ce qui prouve le résultat.

3. Soit O un ouvert d'un espace de Baire E. Tout ouvert maigre de O (pour la topologie induite) est aussi ouvert et maigre dans E, donc vide.

Fin de la démonstration