Topologie générale/Exercices/Compacité

Compacité
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Exercices no7
Leçon : Topologie générale
Chapitre du cours : Compacité

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Dénombrabilité
Exo suiv. :Propriété de Baire
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Topologie générale/Exercices/Compacité
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Exercice 1Modifier

Redémontrer à l'aide du théorème de Bolzano-Weierstrass les théorèmes suivants du cours, dans le cas particulier où X est un espace métrique :

  1. Toute partie compacte de X est fermée.
  2. Si X est compact alors toute partie fermée de X est compacte.
  3. La réunion de deux parties compactes de X est compacte.
  4. Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de X est compacte.
  5. L'image d'un compact, par une application continue à valeurs dans X (séparé), est compacte.

Exercice 2Modifier

Redémontrer à l'aide du théorème de Bolzano-Weierstrass le théorème suivant du cours, dans le cas particulier où I est dénombrable et les Xi sont des espaces métriques :

Si les Xi sont compacts alors ∏iIXi est compact.

Exercice 3Modifier

Soient X et Y deux espaces topologiques, A une partie quasi-compacte de X, B une partie quasi-compacte de Y, et O un ouvert de X×Y contenant A×B.

  1. Montrer que si A est un singleton alors O contient un ouvert élémentaire U×V contenant A×B.
  2. Généraliser cette conclusion pour A (quasi-compact) quelconque.
  3. Déduire de la question 1 que si Y est quasi-compact alors, pour tout xX, tout ouvert de X×Y contenant la partie {xY contient un ouvert élémentaire U×Y contenant cette partie (c'est le « lemme du tube »).
  4. En déduire le cas particulier suivant du théorème de Tychonoff : tout produit fini d'espaces quasi-compacts est quasi-compact.
  5. Déduire de la question 2 que dans un espace séparé, deux parties compactes disjointes sont toujours incluses dans deux ouverts disjoints.

Exercice 4Modifier

Soient   un espace compact et   une application continue. On définit   par :  .

  1. Démontrer que   est continue. Que peut-on dire alors de   ?
  2. Pour  ,   et  , vérifier ces propriétés par le calcul.