Topologie générale/Exercices/Compacité

Exercice 1

Redémontrer à l'aide du théorème de Bolzano-Weierstrass les théorèmes suivants du cours, dans le cas particulier où X est un espace métrique :

1. Toute partie compacte de X est fermée.
2. Si X est compact alors toute partie fermée de X est compacte.
3. La réunion de deux parties compactes de X est compacte.
4. Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de X est compacte.
5. L'image d'un compact, par une application continue à valeurs dans X (séparé), est compacte.

Solution

1. Soient A une partie compacte de X et x ∈ X la limite d'une suite d'éléments de A. Cette suite a une sous-suite qui converge dans A. Or la limite de cette sous-suite est x, qui appartient donc à A, ce qui prouve que A est fermé.
2. Supposons X compact. Soient A une partie fermée de X et (a_n) une suite d'éléments de A. Cette suite est à valeurs dans X donc admet une sous-suite qui converge dans X. Comme A est fermé, la limite appartient à A, donc (a_n) admet une sous-suite qui converge dans A, ce qui prouve que A est compact.
3. Soient A et B deux parties compactes de X, C leur réunion, et (c_n) une suite d'éléments de C. Si les c_n appartiennent tous à A à partir d'un certain rang, alors (c_n) admet une sous-suite qui converge dans A donc dans C. Si au contraire une infinité de c_n n'appartiennent pas à A, donc appartiennent à B, alors (c_n) admet une sous-suite qui converge dans B donc dans C. Ceci prouve que C est compact.
4. Soient $\left(B_{t}\right)_{t\in T}$ une famille non vide de parties compactes de X, $B:=\cap _{t\in T}B_{t}$ et (b_n) une suite d'éléments de B. Cette suite est à valeurs dans un compact (n'importe lequel des $B_{t}$) donc admet une sous-suite convergente. Soit $\ell \in X$ la limite. Pour tout $t\in T$, cette sous-suite est à valeurs dans $B_{t}$, fermé d'après le point 1, donc $\ell \in B_{t}$. Ceci prouve que (b_n) admet une sous-suite qui converge dans $\cap _{t\in T}B_{t}=B$, donc B est compact.
5. Soient C un espace compact, f : C → X une application continue, (x_n) une suite dans f(C), et pour tout indice n, c_n un antécédent de x_n. Par compacité de C, la suite (c_n) admet au moins une valeur d'adhérence c, et par continuité de f en ce point, f(c) est alors une valeur d'adhérence de (x_n) donc (puisque X est supposé métrique) c est limite d'une sous-suite de (x_n).

 

Exercice 2

Redémontrer à l'aide du théorème de Bolzano-Weierstrass le théorème suivant du cours, dans le cas particulier où I est dénombrable et les X_i sont des espaces métriques :

Si les X_i sont compacts alors ∏_i∈IX_i est compact.

Solution

Soit X le produit d'une suite (Xⁱ)_i∈ℕ d'espaces métriques compacts et soit (x_j)_j∈ℕ une suite d'éléments de X (une suite de suites). À partir de n₀(j) = j, on construit par récurrence une suite d'extractrices n_p, chacune extraite de la précédente et telle que dans X^p, la suite $(x_{n_{p+1}(j)}^{p})_{j\in \mathbb {N} }$ converge vers un certain x^p, puis on pose (pour tout entier naturel p) φ(p) = n_p(p). Cette extractrice φ donne alors une suite extraite de (x_j)_j∈ℕ qui converge par construction vers l'élément (x^p)_p∈ℕ de X, ce qui achève la preuve.

 

Exercice 3

Soient X et Y deux espaces topologiques, A une partie quasi-compacte de X, B une partie quasi-compacte de Y, et O un ouvert de X×Y contenant A×B.

1. Montrer que si A est un singleton alors O contient un ouvert élémentaire U×V contenant A×B.
2. Généraliser cette conclusion pour A (quasi-compact) quelconque.
3. Déduire de la question 1 que si Y est quasi-compact alors, pour tout x ∈ X, tout ouvert de X×Y contenant la partie {x}×Y contient un ouvert élémentaire U×Y contenant cette partie (c'est le « lemme du tube »).
4. En déduire le cas particulier suivant du théorème de Tychonoff : tout produit fini d'espaces quasi-compacts est quasi-compact.
5. Déduire de la question 2 que dans un espace séparé, deux parties compactes disjointes sont toujours incluses dans deux ouverts disjoints.

Solution

1. On peut supposer B non vide. Soit O un ouvert de X×Y contenant {x}×B. Pour tout y ∈ B, le couple (x, y) appartient à O, donc à un ouvert élémentaire U_y×V_y inclus dans O. Le recouvrement ouvert (V_y)_y∈B du quasi-compact B possède un sous-recouvrement fini (V_y)_y∈Z. Pour un tel Z (fini et non vide), l'ouvert U := ∩_y∈Z U_y contient x, l'ouvert V := ⋃_y∈Z V_y contient B, et U×V est inclus dans ⋃_y∈Z U_y×V_y donc dans O.
2. On peut supposer A non vide. D'après le point précédent, pour tout a ∈ A, il existe un ouvert élémentaire U_a×V_a inclus dans O et contenant {a}×B. Le recouvrement ouvert (U_a)_a∈A du quasi-compact A possède un sous-recouvrement fini (U_a)_a∈C. Pour un tel C (fini et non vide), l'ouvert V := ∩_a∈CV_a contient B, l'ouvert U := ⋃_a∈CU_a contient A, et U×V est inclus dans O.
3. Il suffit d'appliquer la question 1 à B = Y.
4. Par récurrence sur le nombre de facteurs du produit, il suffit de le démontrer pour deux facteurs. Soient donc X et Y quasi-compacts et (G_i)_i∈I un recouvrement ouvert de X×Y. Pour tout point x de X, la partie {x}×Y est quasi-compacte (car homéomorphe à Y) et incluse dans la réunion des G_i donc dans une certaine réunion finie O_x := ⋃_j∈JxG_j. D'après le lemme du tube, l'ouvert O_x contient un ouvert élémentaire U_x×Y contenant {x}×Y. Les U_x quand x parcourt X constituent alors un recouvrement ouvert du quasi-compact X, dont on peut extraire un sous-recouvrement fini U_x1⋃…⋃U_xn. Chaque O_xi (pour i de 1 à n) contient U_xi×Y donc X×Y est inclus dans la réunion de ces O_xi, c'est-à-dire la réunion des G_j pour j appartenant à l'ensemble fini J_x1⋃…⋃J_xn. Ces G_j constituent donc un sous-recouvrement fini.
5. Il suffit d'appliquer la question 2 à Y = X séparé et O = le complémentaire de la diagonale (celle-ci étant alors fermée).

 

Exercice 4

Soient $T$ un espace compact et $f:\mathbb {R} ^{n}\times T\to \mathbb {R}$ une application continue. On définit $F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ par : $F(z)={\underset {t\in T}{\sup }}f(z,t)$.

1. Démontrer que $F$ est continue. Que peut-on dire alors de $F\left([-1,1]^{n}\right)$ ?
2. Pour $n=2$, $T=[-1,1]$ et $f(x,y,t)=xt^{2}+yt$, vérifier ces propriétés par le calcul.

Solution

1. Remarquons d'abord que $F$ est bien à valeurs réelles (car la fonction $f_{z}:t\mapsto f(z,t)$ est continue sur le compact $T$) et qu'elle est semi-continue inférieurement car les $f_{z}$ le sont.
   Soient maintenant $z_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ et $\varepsilon >0$. Par compacité de $T$, la continuité de $f$ par rapport à $z$ au point $z_{0}$ est uniforme par rapport à $t$ donc il existe $\eta >0$ tel que $\forall z\in B(z_{0},\eta )\quad \forall t\in T\quad f(z,t)<f(z_{0},t)+\varepsilon$. On en déduit : $\forall z\in B(z_{0},\eta )\quad F(z)\leq F(z_{0})+\varepsilon$, ce qui prouve que $F$ est aussi semi-continue supérieurement. Elle est donc continue (on peut d'ailleurs le démontrer directement comme on vient de faire pour la semi-continuité supérieure ; voir aussi w:Module de continuité#Faits élémentaires), si bien que $F([-1,1]^{n})$ est compact.
2. $F(x,y)$ est égal à $f(x,y,-y/2x)=-y^{2}/4x$ si $x<0$ et $|y|\leq -2x$, et à $\max \left(f(x,y,1),f(x,y,-1)\right)=x+|y|$ si $x\geq 0$ ou $|y|\geq -2x$ (les deux expressions $-y^{2}/4x$ et $x+|y|$ coïncident à l'intersection de ces deux domaines, c'est-à-dire le long des deux demi-droites ouvertes $x<0,\;y=\pm 2x$).
   Par recollement, $F$ est donc continue, même en $(0,0)$ car ${\underset {x\to 0,\,|y|<-2x}{\lim }}-{\frac {y^{2}}{4x}}=0=0+|0|$.
   $F\left([-1,1]^{2}\right)=A\cup B\cup C$ avec
   $A={\underset {0\leq x\leq 1}{\cup }}x+[0,1]=[0,2]$,
   $B={\underset {-1/2\leq x<0}{\cup }}\left({\frac {1}{4|x|}}\left[0,(2|x|)^{2}\right]\cup x+[2|x|,1]\right)={\underset {-1/2\leq x<0}{\cup }}[0,1-|x|]=[0,1]$ et
   $C={\underset {-1\leq x\leq -1/2}{\cup }}{\frac {1}{4|x|}}[0,1]=[0,1/2]$ donc $F\left([-1,1]^{2}\right)=[0,2]$, qui est bien fermé borné donc compact.

 

Exercice 5

Lemme de Lebesgue. — Démontrer directement (sans passer par la compacité séquentielle) que tout recouvrement ouvert d'un espace métrique compact possède un nombre de Lebesgue.

Solution

Référence : Hervé Quéfellec, Topologie : Cours et exercices corrigés, Dunod, 2020, 6^e éd. [lire en ligne], p. 105 et 114 , ex. 3.17.

Soient $X$ un espace métrique compact et $(U_{i})_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de X. Par compacité, il existe un sous-recouvrement fini $(U_{i})_{i\in J}$ de $X$ ($J$ fini inclus dans $I$). L'application $X\to \mathbb {R} ,\;x\mapsto \max _{i\in J}d(x,X\setminus U_{i})$ est continue > 0 donc $\geq r$ pour un certain $r>0$. Pour tout $x\in X$, il existe $i\in J$ tel que $f(x)=d(x,X\setminus U_{i})$, et pour un tel $i$, on a $B(x,r)\subset U_{i}$.