Topologie générale/Exercices/Dénombrabilité

Exercice 1

1. Soient $X$ un espace séparable et $E$ un ensemble d'ouverts de $X$, non vides et deux à deux disjoints. Montrer que $E$ est au plus dénombrable.
2. En déduire que tout ouvert de $\mathbb {R}$ est réunion au plus dénombrable d'intervalles ouverts deux à deux disjoints.

Solution

1. Soit $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ une suite d'image dense dans $X$. L'application $E\to \mathbb {N} ,\;O\mapsto \min\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}\in O\}$ est alors injective.
2. Soit $U$ un ouvert de $\mathbb {R}$. Puisque $\mathbb {R}$ est localement connexe, les composantes connexes de $U$ sont des ouverts de $\mathbb {R}$. $U$ est donc réunion d'intervalles ouverts non vides deux à deux disjoints. Puisque $\mathbb {R}$ est séparable, l'ensemble de ces intervalles est au plus dénombrable d'après la question 1.

 

Exercice 2

Montrer que le produit de deux espaces topologiques séparables est séparable.

Solution

Pour cette topologie produit, l'adhérence du produit cartésien $A\times B$ d'une partie de $X_{1}$ par une partie de $X_{2}$ est le produit ${\overline {A}}\times {\overline {B}}$ de leurs adhérences respectives ; en particulier, le produit d'une partie dense dans $X_{1}$ par une partie dense dans $X_{2}$ est dense dans $X_{1}\times X_{2}$. Si ces deux parties sont au plus dénombrables, leur produit aussi.