Topologie générale/Exercices/Propriété de Baire

Exercice 1

Démontrer que si $f$ est une fonction C^∞ telle que $\forall x\in \mathbb {R} \quad \exists n\in \mathbb {N} \quad f^{(n)}(x)=0$, alors c'est un polynôme.

Solution

Considérons les intervalles non triviaux maximaux (donc fermés) sur lesquels $f$ est polynomiale (par Taylor, ils sont disjoints deux à deux, et sur tout voisinage d'une de leurs extrémités finies, $f$ n'est polynomiale que d'un côté), et notons $\Omega$ la réunion de leurs intérieurs. Le fermé $F:=\mathbb {R} \setminus \Omega$ est donc sans point isolé. Supposons (par l'absurde) qu'il est non vide. Comme il est de Baire et recouvert par les fermés $F_{n}:=\{x\in \mathbb {R} \mid f^{(n)}(x)=0\}$, il existe un entier naturel $n$ et un intervalle ouvert $I$ tels que

$\varnothing \neq I\cap F\subset F_{n}$.

Soit $J$ une composante connexe de $I\cap \Omega$. Sur son adhérence ${\overline {J}}$, $f$ est un polynôme $P$. L'inclusion de l'intervalle ouvert $J$ dans $I$ est stricte (car $I\not \subset \Omega$) donc l'une (au moins) des deux extrémités de $J$ — notons-la $c$ — appartient à $I$ et alors, au voisinage de $c$, $f$ n'est polynomiale que d'un côté, donc $c\in F$. Or tout point de $F$ est point d'accumulation donc, sur $I\cap F$, non seulement $f^{(n)}$ est nulle mais aussi, de proche en proche, ses dérivées successives. Donc (par Taylor en $c$) le degré de $P$ est strictement inférieur à $n$. Ainsi, $f^{(n)}=0$ non seulement sur $I\cap F$ mais sur chaque composante connexe $J$ de $I\cap \Omega$, donc sur $I$ tout entier. Mais alors, $I\subset \Omega$ : absurde.

Voir aussi « Chapitre II Propriétés de Baire », sur testard.frederic.pagesperso-orange.fr

 

Exercice 2

Soit $f:\left[0,+\infty \right[\to \mathbb {R}$ une fonction continue. On suppose que pour tout $a>0$, $\lim _{n\to \infty }f(na)=0$. Montrer que $\lim _{x\to \infty }f(x)=0$.

Indication : pour $\varepsilon >0$, on pourra appliquer le théorème de Baire aux ensembles $F_{p}=\{x\in \left[0,+\infty \right[\mid \forall n\geq p\quad |f(nx)|\leq \varepsilon \}$.

Solution

Les $F_{p}=\cap _{n\geq p}f^{-1}(\left[-\varepsilon ,\varepsilon \right])$ sont des fermés de $\left[0,+\infty \right[$ (comme intersections de fermés) et recouvrent $\left[0,+\infty \right[$, qui est de Baire (car complet, car fermé dans un complet). Au moins l'un d'entre eus est donc d'intérieur non vide. Il existe donc un entier $p>0$ et un intervalle ouvert $\left]a,b\right[$ tels que $\forall x\in \left]a,b\right[\quad \forall n\geq p\quad |f(nx)|\leq \varepsilon$, c'est-à-dire tels que $|f|\leq \varepsilon$ sur $\cup _{n\geq p}\left]na,nb\right[$. Soit $N\geq p$ tel que $N>(b-a)/a$. $\forall n\geq N\quad nb>(n+1)a$ donc $\cup _{n\geq p}\left]na,nb\right[\supset \cup _{n\geq N}\left]na,nb\right[=\left]na,+\infty \right[$ donc $\forall x>Na\quad |f(x)|\leq \varepsilon$.